西安工业大学试题纸

高等数学（Ⅱ）期末参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1.已知)2,1,0(),2,1,1(-=-=b a，则=⨯b a =--21211kj i )1,2,0(-- . 2.点)1,1,1(到平面014263=+-+z y x 的距离为 3.3.过点)1,0,3(-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程为04573=-+-z y x .4.已知)2,(2y e x xy f z +=，则=∂∂xz 212f f y '+' .5.曲线2,3,4234tz ty tx ===在相应于1=t 处的法平面方程为0)21()31()41(=-+-+-z y x .6.交换积分dy y x f dx x ⎰⎰11),(的积分次序为dy y x f dy y ⎰⎰10),( .7.设∑：)10(22≤≤+=z yx z ，则⎰⎰∑=zdS dxdy yx y x 212222⋅+⎰⎰≤+π322=.8.设向量k xy z j zx y i yz x A )()()(222-+-+-=，则=A d i v=∂∂+∂∂+∂∂zR yQ xP)(2z y x ++.9.设函数)(x f 以π2为周期，且)()(ππ≤<-=x x x f ，其Fourier 级数为∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=2b =⎰ππ02sin 2xdx x 1- .10.函数xx f +=21)(的麦克劳林级数为nn nnx ∑∞=-02)1(21.二、（8分）求函数1),(22--+++=y x y xy x y x f 的极值，并指出是极大值还是极小值. 解： 12),(++=y x y x f x ， 12),(-+=x y y x f y ，令 ,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f yx 即 ⎩⎨⎧=-+=++012012x y y x ，得驻点)1,1(-.由于 2),(==y x f A xx ， 1),(==y x f B xy ， 2),(==y x f C yy ，且03221)(112<-=⨯-=-=-=y x AC B ，02>=A ,则)1,1(-为极小值点，极小值为2)1,1(-=-f .三、（8分）求级数n n x n ∑∞=+0)1(的收敛域及它的和函数.解：由于 1|1|lim ||lim 1=+=∞→+∞→n n a a n nn n ，则1=R ，当1±=x 时，级数n n n )1()1(0±+∑∞=均发散，所以收敛域为)1,1(-.设=)(x s nn xn ∑∞=+0)1(，则xx xdt t n dt t s n n xnn x -==+=∑⎰∑⎰∞=+∞=1])1[()(01，于是20)1(11)()(x x x dt t s dx d t s x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰. 四、（8分）计算dy y xyy x dx y xyx L)33()35(222324+-+-+⎰，其中L 是抛物线2x y =上自点)0,0(到点)1,1(的一段弧.解：32435),(y xyx y x P -+=，22233),(y xyy x y x Q +-=在xoy 面偏导数连续，且236y xy xQ yP -=∂∂=∂∂，则曲线积分与路径无关，取折线段)1,1()0,1()0,0(→→，则dy y xyy x dx y xyx L)33()35(222324+-+-+⎰dy y y y dx x x ⎰⎰+⋅⨯-⋅⨯+-⋅+=10222322104)1313()0035(611)31123(1=+-+=.五、（8分）计算曲面积分dxdy y x dzdx x z dydzz y x I )()()(-+-+-=⎰⎰∑，其中∑是由柱面122=+y x ，平面3,0==z z 所围立体表面的外侧.解：y x z y x R x z z y x Q z y x z y x P -=-=-=),,(,),,(),(),,(在柱面122=+y x ，平面3,0==z z 所围立体Ω上偏导数连续，则由高斯公式有dxdy y x dzdx x z dydzz y x I )()()(-+-+-=⎰⎰∑dv z y dv zR yQ xP ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=∂∂+∂∂+∂∂=)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=dv z dv y （第一个积分为0，想想为什么？）ππ29103230-=⋅-=-=⎰⎰⎰⎰dz z dxdy dz z zD .六、（8分）求下列方程的通解： 1.xy y y x ln='解：xy y y x ln ='xy x y y ln ='⇒，方程为齐次微分方程；设xy u =，则u x u y '+='，代入得xdx u u du=-)1(ln ，两端积分dx x u d u ⎰⎰=--1)1(ln 1ln 1即 C x u ln ln )1ln(ln +=- 或 1ln +=Cx u 将xy u =代回得 1+=Cx ex y2.xe y y y 234=+'+''.解：方程为二阶非齐次线性微分方程，对应齐次线性微分方程的特征方程0342=++r r 的特征根为3,121-=-=r r ；xex f 2)(=中2=λ不是特征方程的根，则特解形式为x Ae y 2*=，代入得151=A ，在由解的结构得方程的通解为xxxeeC eC y 2321151++=--七、（10分）设2nn n u u v +=，2nn n u u w -=，证明：1.若级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则级数∑∞=1n n v 收敛；证：由于∑∞=1n n u 绝对收敛，即||1∑∞=n n u 收敛，则∑∞=1n n u 也收敛，又n n n u u v 21||21+=，由性质知∑∞=1n n v 收敛.2.若级数∑∞=1n n u 条件收敛，则级数∑∞=1n n w 发散.证：（反证）假设∑∞=1n n w 收敛，已知∑∞=1n n u 收敛，由2nn n u u w -=，即nn n u w u +=2||及性质知||1∑∞=n n u 收敛，即∑∞=1n n u 绝对收敛，与已知条件矛盾.所以∑∞=1n n w 发散.八、（10分）一均匀物体Ω是由抛物面22y x z +=及平面1=z 所围成. 1.求Ω的体积；解：Ω在xoy 面投影域1:22≤+y x D ，则所围体积为 d x d y y xV D])(1[22⎰⎰+-=dr r r d ⎰⎰-=πθ2012)1(2)4121(2ππ=-=.2.求Ω的质心.解：由于Ω是均匀物体及几何体关于yoz 面、xoz 面对称，则质心坐标应为),0,0(z ； 而3223101202====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩππρθρρρπVdzz dr r d dvdvz z r，所以质心坐标为)32,0,0(.九、（10分）设{}]1[,0,0,2|),(2222y x y x y x y x D ++≥≥≤+=表示不超过221y x ++的最大整数，计算二重积分dxdy y x xy D⎰⎰++]1[22.解：设 }0,0,1|),{(221≥≥<+=y x y x y x D ，}0,0,21|),{(222≥≥≤+≤=y x yx y x D ,则21D D D +=,且当1),(D y x ∈时，1]1[22=++y x ，当2),(D y x ∈时，2]1[22=++y x ，所以dxdy y x xy D⎰⎰++]1[22=+++⎰⎰dxdy y x xy D 1]1[22dxdy y x xy D ⎰⎰++2]1[22⎰⎰⎰⎰+=212D D dxdyxy dxdyxy⎰⎰⎰⎰+=421320132cos sin 2cos sin dr r d dr r d θθθθθθππ8381281=⨯+=。

高等数学(H)期末参考答案、填空题(每小题 3分，共36 分)u = ln ..x 2• y 2• z 2，则它在点 M °(1, -1,1)处地方向导数地最大值为f (x, y) =2x 2 ax xy 22y 在点(1, -1)处取得极值，则常数 a =「5.7.设平面曲线L 为下半圆周y 二 - .1 - x28.设匕为曲面z = . x 2 y 2在0岂z 乞1地部分，贝U I I xdS 二0 .10.设y 1, y 2, y 是微分方程 9 p(x)y ' q(x)y 二f (x)地三个不同地解，且 y —社=常 y 2 -y 3数，则微分方程地通解为C’y , -y 2) • C 2(y 2 - y 3) * % .2 21 2，贝U [ (x + y ) ds = (1 -ds = ? 4 兀=三5.空 线 y 2 二 2x, z 2 = 1「x 在点 (>,J 处地切线方程为1 x --2 1=_y -1 .2 z ―— 2 1 一 2i 22 2x _x 26.改变积分次序：I dx ,f (x, y)dy -1 1 • 1 _y°dy 亠口？ f(x,y)dx .L 1 1.lim 1 —X f1 xy-V二 lim i 1 — xy丿劣xy 丿 Jlim 1 丄 阚Ixy 丿Hr 12.函数z二z(x, y)由方程e^ sin 》=0确定，则 —=xcyF yF1 y-cos- x x xz xeco 显X ~2 xz x e3.设函数4.设函数 9.设 f (x) n -xe1,--•：：： x ■ 0 ,则其以2兀为周期地傅里叶级数在处收敛于 0 岂 x ：二'11.函数f(x) =1 展开为x 地幕级数地形式为 a 」yx n(-2, 2).2—x n^2n41112.微分方程y y = xe x地通解为Cx - xe xx-------二、计算下列各题(每小题6分，共18分)1•设z 二f(y,e xy)，y =(x)，其中f,「均为一阶可微函数，求 x解:虫=f 「yx 2 yf 2 e xy( y xy)dxx二2f 2 e xy( (x) X : (x))x2.求曲面z =4(x 2y 2)与平面z = 2所围立体地体积. 2解：所围立体在xoy 面地投影域D ： x2• y 2_ 4，所围立体地体积V = M[4_；(x 2+y 2)] _2Rxdy = 2JJdxdy —1 2二.22d ： r rdr =8 二-4 二-4 ■:解：设曲面在第一卦限地切点地坐标为M (x, y, z)，令F (x, y,z) = x 22y 23z 2「66，则切平面地法向量n = (F x , F y , F Z )M 二(2x, 4y, 6z),已知平面x y ^1地法向量n 1 =(1, 1, 1)依题意n//ni ，即 空=41 =央令t1 1 1代入曲面方程中解地 x =6, y =3, z=2，即切点坐标为 M (6, 3, 2). 三、计算下列各题(每小题6分，共18分)1.设门是由锥面.x 2 y 2与半球面z= J -x 2 -y 2围成地空间区域,dz dx(x 2 y 2)dxdyD3.在曲面x 2 2y 23z-66上第一卦限部分求一点，使该点地切平面与 已知平面2x s(x)_ (1 _x)2 _1 xx2(5 (1))，1s(2)二x+ x 2_ I X(2n-1)于 . n 1 2 _(1 - X) 1 x=2边界地外侧，求曲面积分[jxdydz- ydzdx • zdxdy .Q(x, y,z)=y ， R(x, y,z) = z ，由高斯公式有cP cQcR ■i I xdydz ydzdx zdxdy 二 ()dv ¥ ¥r rr L\、x _y_z= 3 ! i idv = 3 o dr °4d [；r 2sin ： drQ=3 2 二(1 2) [=(2-、2)二 2 3 13 572.写出级数--飞 N •…地通项，判别该级数地敛散性.若级数收敛时，试求其和2 2 2 2limUnl^im 1,n = u n n=2 2n —12由比值审敛法知该级数收敛.令解：已知 P(x, y,z) = x , 解：该数项级数地通项为 U n 二2n -1 2n;级数为正项级数，由于s(x) oOoo八(2n -1) x n= 2x'二 nxn -1oOn=2x®(x)-s 2(x) x (—1,1)，x :: Xo3(t)dt 二 I 。

学年学期2021-2022(1)课程名称大学物理Ⅱ命题教师审批考试形式闭卷考试类型考试使用班级考试时间考试地点未央学生班级姓名学号备注说明：本试题总分为100分；考生必须将所有解答写在答题纸上（00,με分别为真空中的介电常数、真空中的磁导率）。

一、选择题：（每题3分，共30分）1.一点电荷,放在球形高斯面的球心处,下列哪一种情况,通过高斯面的电通量发生变化()A.将另一点电荷放在高斯面外B.将另一点电荷放在高斯面内C.将球心处的点电荷移至高斯面内的另一位置D.将高斯面半径增大2、若取无限远处电势为0，则真空中半径为R,带电量为q 的均匀带电球面球心处的电势为（）A. B. C.0 D.-3.两个点电荷相距一定距离,若这两个点电荷连线的中垂线上电势为零,则这两个点电荷的带电情况为()A 、电荷量相等,符号相同B 、电荷量相等,符号不同C 、电荷量不同,符号相同D 、电荷量不等,符号不同二、填空题：（每空2分，共50分）1、真空中半径为R 的均匀带电球面（面电荷密度为σ）在距其球心R 2处的电场强度大小为____;2、若在静电场中，某一电场的电场线为均匀分布的平行直线，则在某一电场线方向上任意两点的电势_______。

（填“相同”或“不同”）3、如右图，在磁感强度为B的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n与B的夹角为α，则通过全闭合半球面（包括底面）的磁通量为____;通过半球面S （不包括底面）的磁通量为____。

4、如图，电流强度分别为1I 、2I 与3I ，则B沿回路的环流为：aB dl ⋅=⎰__。

5、一无限长载流直导线沿x 轴正向放置，在)0,0,(a 处取一电流元，一、3题图一、4题图则该电流元在坐标原点o 处的磁感应强度B=_____。

6、某一区域同时存在匀强电场E 和匀强磁场B，若某一电子以初速度V 进入该区域，则电子能够做匀速直线运动的条件是_______。

西安工业大学试题纸说明：本试题总分为100分；考生必须将所有解答写在答题卡上，考试完毕只交答题卡。

(h，c、ε0和μ0分别为普朗克常数，真空中的光速、介电常数和磁导率)一、填空题（每空2分，共52分）1、磁场的安培环路定理，说明磁场是场。

2、半径为R的圆形线圈，载有电流I，可绕'OO轴转动，放在匀强磁场B中，如图，线圈所受安培力为，线圈磁矩的大小为，方B 向，对于'OO轴线圈所受的力矩大小是，方向。

3、涡旋电场是由产生的。

4、已知平面简谐波方程为y=A cos (Bt-C x), 式中A、B、C为正值常量，任意时刻在波的传播方向上相距为L的两点的相位差为。

5、两光源的基本相干条件是频率相同、相位差恒定和。

6、一束光线在折射率为n的介质中通过的几何路程为r，则对应的光程为。

7、在杨氏双缝干涉实验中，当双缝间距变小时，接收屏上的条纹间距。

（填写“变大”或“变小”或“不变”）8、用波长为λ的单色光垂直入射到空气劈尖上，则反射光形成的相邻暗条纹对应的厚度差为。

9、在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射在宽度为5λ的单缝上，对应于衍射角为30的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为。

I的自然光通过一偏振片后，光强变为。

10、一束光强为60的入射角从空气中入射到平板玻璃表面上，若反射11、一束平行的自然光，以0光是线偏振光，则透射光的折射角为，玻璃的折射率为。

12、狭义相对论的两个基本假设，一个是相对性原理，另一个是原理。

13、在一个惯性系下，1、2分别代表一对因果事件的因事件和果事件，则在另一个惯性系下，1事件的发生2事件的发生。

（填“早于”或“晚于”）14、在地球上上一节课用45分钟，在以v=0.8c 飞行的光子火箭中的乘客看来，这节课用了 分钟。

15、某人测得一静止棒长为L ，当此棒相对于人以速度u 沿棒长方向运动时，则此人再测棒的长度为 。

16、一粒子静止质量为m 0 ,现以速度0.8c 运动，则它的动能为 。