1.3_反证法_课件(北师大选修2-2)

设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2＋4m＋1.
∵4(m2＋m)是偶数， ∴4m2＋4m＋1为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾． ∴a一定是偶数.
这节课你有些什 么收获？
作业： 课本：P91 习题2.2 1、2、3、4
在这个前提下，若推出的结果与 定义 、 公理 、 定理 相
矛盾，或与命题中的 已知条件 相矛盾，或与 假定 相矛
盾，从而断定 命题的反面 不可能成立，由此断定 命题 的结论 成立，这种证明方法叫作反证法．
2．反证法的证题步骤 (1)作出 否定结论 的假设； (2)进行推理， 导出矛盾 ； (3) 否定假设 ，肯定结论．
2.2.2
反证法
兰州市五十九中（兰炼二中） 孙 雯
情境引入
【问题1】 广告词为：“
拥有的人们都幸福，幸
福的人们都拥有”．该广
告词实际说明了什么？
实际说的是“不拥有的人们不幸福”．
【问题2】 已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求
证：a，b，c不可能都是奇数．
你能利用综合法或分析法给出证明吗？
[例 1]
已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等
差数列，求证： a， b， c不成等差数列．
解：假设 a , b , 成等差数列,
则2 b a c , 即4b a c 2 ac
与命题条件 即2b a c 而 b ac , [思路点拨] 此题为否定形式的命题，可选用反证 相矛盾
【问题3】 a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？
此时，还满足条件a2＋b2＝c2吗？
a，b，c都是奇数．此时不满足条件a2＋b2＝c2.
新课讲解
【问题2】 已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c
不可能都是奇数． 1．反证法的定义
在证明数学命题时，先假定 命题结论的反面 成立，
与公理、定理或已被证明了 的结论矛盾
【例2】．用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条
直线b与已知直线a平行． 证明：假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行， 即b∩b′＝A，b′∥a. 因为b∥a，由平行公理知b′∥b. 这与假设b∩b′＝A矛盾，所以过直线外一点只有一条 直线与已知直线平行. 与假设自相矛 盾
等字样时，常用反证法． (2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表： 原结论词 至少有一个 至多有 至少有 一个 n个 一个也没有 至少有两 至多有 (不存在) 个 n－1个 至多有n个 至少有 n＋1个
反设词
练习：已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．
证明：假设a不是偶数，则a为奇数．
[例 3]写出命题的假设：已知 a，b，c 均为实数，且 a＝x －2y π π π 2 2 ＋ ，b ＝y －2z＋ ，c＝z －2x＋ .求证：a，b ，c 中至少有 2 3 6 一个大于 0. 解：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0. 小结：
2
(1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”
2
法，证题关键是利用等差中项、等比中项． 这与a, b, c不成等差数列矛盾，
故 a , b , c不成等差数列。
一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否 定性词语时，宜采用反证法证明．
练习：
1．用反证法证明 2＋ 3>3.
证明：假设 2＋ 3>3不成立，则 2＋ 3≤3.
平方得：2＋2 6＋3≤9，即 6≤2,6≤4，这与 实数的大小关系相矛盾，所以 2＋ 3>3.