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河南师范大学硕士学位论文非线性系统的鲁棒H<,∞>控制姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20090401摘要本文考虑了一类非线性时滞系统的鲁棒自适应巩控制和一类高阶非线性系统的鲁棒自适应比控制．在现有文献基础上，对非线性系统的鲁棒自适应如控制做了一些研究．首先，我们研究了一类非线性时滞系统的鲁棒自适应比控制，运用Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ方法和Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论，通过巧妙的选取Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，构造了鲁棒自适应控制器，不仅解决了非线性系统中的时滞问题，并且保证了闭环系统的渐近稳定，数值例子和仿真证明了结论的有效性．其次，我们研究了一类高阶非线性系统的Ｌ２ｍ增益鲁棒控制器设计方法，应用Ｂａｃｋ－ｓｔｅｐｐｉｎｇ方法和改进的幂积分器方法，设计了一种新的鲁棒自适应如控制器，不仅使闭环系统全局渐近稳定并且满足上ｋ范数界７．数值例子和仿真证明了结论的正确性．最后，针对以上非线性系统的鲁棒％控制问题作出了总结．关键词：鲁棒比控制，加幂积分器，自适应控制，渐近稳定ＡＢＳＴＲＡＣＴＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｒｏｂｕｓｔａｄａｐｔｉｖｅＨ∞ｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｔｉｍｅ－ｄｅｌａｙｓｙｓｔｅｍｓａｎｄｒｏｂｕｓｔａｄａｐｔｉｖｅＨ∞ｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｈｉｇｈ－ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ，ｓｏｍｅｓｔｕｄｙｈａｓｂｅｅｎｄｏｎｅｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｏｎｒｏｂｕｓｔａｄａｐｔｉｖｅＨ∞ｃｏｎｔｒｏｌｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ＷｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｒｏｂｕｓｔａｄａｐｔｉｖｅＨ∞ｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｕｎｃｅｒｔａｉｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｔｉｍｅ－ｄｅｌａｙｓｙｓｔｅｍｓ，ｕｓｉｎｇＢａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｎｄＬｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙ，ｂｙｃｈｏｏｓｉｎｇＬｙａｐｕｎｏｖｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｓｋｉｌｌｆｕｌｌｙ，ｗｅｈａｖｅａｄｅｓｉｇｎｏｆｒｏｂｕｓｔａｄａｐｔｉｖｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ．Ｗｅｎｏｔｏｎｌｙｄｅａｌｗｉｔｈｔｈｅｔｉｍｅ—ｄｅｌａｙｔｅｒｍｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ，ｂｕｔａｌｓｏｒｅｎｄｅｒｔｈｅｃｌｏｓｅｄ—ｌｏｏｐｓｙｓｔｅｍａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｓｔａｂｉｌｉｔｙ．Ｔｈｅｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｖｅｅｘａｍｐｌｅａｎｄｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｖｅｒｉｆｙｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｄｅｓｉｇｎｍｅｔｈｏｄｏｆＬ２仇一ｇａｉｎｅｄｒｏｂｕｓｔｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ．Ｔｈｅｓｙｓｔｅｍｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓａｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｌｏｗｅｒ—ｔｒｉａｎｇｕｌａｒｆｏｒｍ．ＢａｓｅｄｏｎＢａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｎｄｍｏｄｉｆｉｅｄｐｏｗｅｒｉｎｔｅｇｒａｔｏｒｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｎｅｗｒｏｂｕｓｔａｄａｐｔｉｖｅ比ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｉｓｄｅｓｉｇｎｅｄ，ｗｈｉｃｈｅｎｓｕｒｅｓｔｈａｔｔｈｅｃｌｏｓｅｄ—ｌｏｏｐｓｙｓｔｅｍｉｓｍａｋｅｓ比ｎｏｒｍｂｏｕｎｄ．Ｔｈｅｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｖｅｅｘａｍｐｌｅａｎｄｇｌｏｂａｌｌｙａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙｓｔａｂｌｅａｎｄｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｖｅｒｉｆｙｔｈｅｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓｏｆｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅｇｉｖｅａｓｕｍｍａｒｙｏｆｔｈｅａｂｏｖｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｒｏｂｕｓｔＨ∞ｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ．ＫＥＹＷＯＲＤＳ：ＲｏｂｕｓｔＨｏｏｃｏｎｔｒｏｌ，ＰｏｗｅｒＩｎｔｅｇｒａｔｏｒ，Ａｄａｐｔｉｖｅｃｏｎｔｒｏｌ，ＡｓｙｍｐｔｏｔｉｃｓｔａｂｉｌｉｔｙＩＩＩ独创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．签名：脚日期．鲨Ｚ：皇：型关于论文使用授权的说明本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅．本人授权河南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文．（保密的学位论文在解密后适用本授权书）签名：第一章绪论§１．１学科概述在科技日新月异的今天，人们对实际生产过程的分析要求较高，大量的分析表明很多物理系统都是非线性的．严格地说，几乎所有的控制系统都是非线性的，非线性控制系统的形成基于两类原因，一是被控系统中包含有不能忽略的非线性因素，二是为提高控制性能或简化控制系统结构而人为地采用非线性元件．非线性系统的分析远比线性系统为复杂，缺乏能统一处理的有效数学工具．在许多工程应用中，由于难以求解出系统的精确输出过程，通常只限于考虑：系统是否稳定；系统是否产生自激振荡（见非线性振动）及其振幅和频率的测算方法；如何限制自激振荡的幅值以至消除它．而现代广泛应用于工程上的分析方法有基于频率域分析的描述函数法和波波夫超稳定性等，还有基于时间域分析的相平面法和李雅普诺夫稳定性理论等．这些方法分别在一定的假设条件下，能提供关于系统稳定性或过渡过程的信息．在某些工程问题中，非线性特性还常被用来改善控制系统的品质．例如将死区特性环节和微分环节同时加到某个二阶系统的反馈回路中去，就可以使系统的控制既快速又平稳．非线性控制系统在许多领域都具有广泛的应用．除了一般工程系统外，在机器人，生态系统和经济系统的控制中也具有重要意义．§１．２研究背景２０世纪８０年代以来，非线性科学越来越受到人们的重视，非线性系统的分析和设计问题引起了科研工作者的广泛兴趣【１１．因为非线性系统所包含的现象十分复杂，迄今非线性系统理论还很不成熟．相平面法、李雅普诺夫方法和描述函数法是处理非线性控制系统的最经典的方法，但这三种分析方法对大多数非线性控制系统并不适用．变结构控制是目前最常用的非线性综合方法，并且已在实际中得到了一些应用，但使用该方法所设计的控制器会产生严重的抖动现象．各种智能方法也被用到非线性控制系统中，并提出了一些有效的控制方案．另一种研究非线性系统的思路是利用现代数学方法，其中的微分几何和微分代数控制方法极大地推动了非线性系统方面的研究．非线性系统的鲁棒比控制很多控制对象的数学模型随着时间或工作环境的改变而变化，其变化规律往往事先不知道．例如导弹或飞机的气动参数会随其飞行速度、飞机高度的变化而变化，因而导弹的数学模型参数可在很大的范围内变化．在飞行过程中，导弹的质量和质心位置会随着燃料的消耗而改变，这也会影响其数学模型的参数．当对象的数学模型参数在小范围内变化时，可用一般的反馈控制、最优控制或补偿控制等方法来消除或减小参数变化对控制品质的有害影响．如果控制对象参数在大范围内变化时，系统仍能自动地工作于最优工作状态或接近于最优的工作状态，因而就提出了自适应控制问题【２】．自适应控制是一种比较复杂的反馈控制，利用自适应控制能够解决一些常规的反馈控制所不能解决的复杂控制问题，可以大幅度地提高系统的稳态精度和动态品质．自从１９８３年Ａｒｔｓｔｅｉｎ［３】与Ｓｏｎｔａｇ［ａ］提出控制Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数（ＣＬＦ）概念后，借助于控制Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数构造稳定控制律的方法得到了广泛的研究．对于某些类型的非线性系统，如果能找到其ＣＬＦ，我们便能直接利用一些基于ＣＬＦ与系统动态的通用公式【５＇６】计算出使系统稳定的控制律．这样，Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数不再局限于对非线性系统稳定性的描述，而在非线性控制系统的设计方面也显示出巨大的应用价值．近年来的研究已经使ＣＬＦ进一步应用于时变系统、随机系统、离散系统等许多领域．Ｌｉ与Ｋｏｋｏｔｏｖｉｃ［７１将ＣＬＦ引入自适应非线性系统中，提出了自适应控制Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数（ＡＣＬＦ）的概念，将对自适应系统的控制问题转化为对非自适应系统的控制问题．并利用ＡＣＬＦ构造控制律与自适应律．利用Ｌｙａｐｕｎｏｖ构造控制律具有较大的优势，因为即使我们通过其它方法构造出一个控制律，仍然需要一个适当的Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数去证明其稳定性．Ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ方法【５ｌ是上世纪九十年代提出的，由于其独特的构造性的设计过程和对非匹配不确定的处理能力，在飞机及导弹控制系统设计中得到成功的应用．该方法是针对不确定性系统的一种系统化的控制器综合方法，是将Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数的选取与控制器的设计相结合的一种回归设计方法．它通过从系统的最低阶次微分方程开始，引入虚拟控制的概念，一步一步设计满足要求的虚拟控制，最终设计出真正的控制律．时滞现象在各种各样的控制系统中都是普遍存在的，如长管道进料或皮带传输，极缓慢的过程或复杂的在线分析仪等均存在时滞现象．时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，因此，在过去的几十年内，不确定时滞系统的稳定性分析和镇定问题受到很多学者关注，并取得了丰硕成果【８—１５】．在许多控制过程中，我们希望设计的控制器不仅要镇定整个闭环系统而且要实现系统第一章绪论满意的性能指标，其中的一种方法就是所谓的如控制．基于此种思想，如性能问题已取得了一些成果，见文献【１６—２９】．鲁棒上ｋ控制理论是在上ｋ空间（即Ｈａｒｄｙ空间）通过某些性能指标的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种理论．控制界将鲁棒日ｏ。
鲁棒控制的发展与理论摘要：首先介绍了鲁棒控制的发展过程，之后主要介绍了H∞控制理论、μ理论的发展、研究内容和实际应用，和鲁棒控制尚待解决的问题及研究热点。
关键词：鲁棒控制理论、H∞控制理论、μ理论、分析、综合1 概述传统控制器都是基于系统的数学模型建立的，因此，控制系统的性能好坏很大程度上取决于模型的精确性，这正是传统控制的本质。
现代控制理论可以解决多输入、多输出( MIMO )控制系统地分析和控制设计问题，但其分析与综合方法也都是在取得控制对象数学模型基础上进行的，而数学模型的精确程度对控制系统性能的影响很大，往往由于某种原因，对象参数发生变化使数学模型不能准确地反映对象特性，从而无法达到期望的控制指标，为解决这个问题，控制系统的鲁棒性研究成为现代控制理论研究中一个非常活跃的领域。
简单地说，鲁棒控制( Robust Control )就是对于给定的存在不确定性的系统，分析和设计能保持系统正常工作的控制器。
鲁棒振定是保证不确定性系统的稳定性，而鲁棒性能设计是进一步确定保有某种指标下的一定的性能。
根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。
以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。
鲁棒控制自其产生便得到了广泛的注目和蓬勃发展。
其实人们在系统设计时，常常会考虑到鲁棒性的问题。
当前这一理论的研究热点是在非线形系统中控制问题，另外还有一些关于鲁棒控制的理论如结构异值理论和区间理论等。
2 鲁棒控制理论的发展最早给出鲁棒控制问题解的是Black在1927年给出的关于真空关放大器的设计，他首次提出采用反馈设计和回路高增益的方法来处理真空管特性的大范围波动。
之后，Nquist( 奈奎斯特)频域稳定性准则和Black回路高增益概念共同构成了Bode( 伯德)的经典之著中关于鲁棒控制设计的基础。
20世纪60年代之前这段时期可称为经典灵敏度设计时期。
此间问题多集中于SISO(单变量)系统，根据稳定性、灵敏度的降低和噪声等性能准则来进行回路设计。
自动控制原理鲁棒性知识点总结自动控制原理是现代控制理论的重要组成部分，鲁棒性则是自动控制系统中一个重要的性能指标。
本文将对自动控制原理中的鲁棒性知识点进行总结。
一、鲁棒性的概念和意义鲁棒性是指控制系统在面对多种扰动或参数变化的情况下，仍能保持稳定性和性能指标。
在实际控制系统中，扰动和参数变化是不可避免的，因此提高系统的鲁棒性对于实现良好的控制效果具有重要意义。
二、鲁棒性设计的基本原则1. 感知扰动和参数变化：鲁棒性设计要求控制系统能够感知到扰动和参数变化，可以通过系统辨识和参数自适应等方法来实现。
2. 抑制扰动和参数变化：通过增加控制器的增益和设计鲁棒控制器等方法，可以有效地抑制外部扰动和参数变化对系统的影响。
3. 增强系统的稳定性和性能：鲁棒性设计还应该注重提高系统的稳定性和性能，包括减小超调量、提高响应速度等。
三、鲁棒性设计的方法和技术1. 鲁棒性控制器设计：鲁棒控制器是一种能够保持系统稳定性和性能指标的控制器，常见的鲁棒控制器包括H∞控制器、μ合成控制器等。
这些控制器能够通过设计合适的权重函数来抑制外部扰动和参数变化的影响。
2. 鲁棒辨识方法：鲁棒辨识是指通过建立鲁棒模型来描述系统的动态特性，常见的鲁棒辨识方法包括RIVC辨识方法、LPV辨识方法等。
通过鲁棒辨识可以更好地感知到扰动和参数变化，并根据实时测量数据进行辨识和估计。
3. 鲁棒优化方法：鲁棒优化是指在考虑扰动和参数变化的条件下，通过优化设计方式来提高系统的控制性能。
常见的鲁棒优化方法包括基于线性矩阵不等式(LMI)的方法、基于H∞控制理论的方法等。
四、鲁棒性在控制系统中的应用1. 鲁棒性在飞行器控制系统中的应用：飞行器控制系统面临着风扰、负载变化等多种外界扰动，通过设计鲁棒控制器可以实现对飞行器的稳定控制和姿态跟踪。
2. 鲁棒性在机器人控制系统中的应用：机器人控制系统需要应对不同工作环境和任务变化带来的扰动和参数变化，鲁棒性设计可以提高机器人在复杂环境下的鲁棒性和适应性。
控制理论中的最优控制与鲁棒控制最优控制与鲁棒控制控制理论是研究如何设计和实现控制系统以满足一定要求的系统工程学科。
在控制理论中，最优控制和鲁棒控制是两个重要的概念。
最优控制旨在找到能使系统性能达到最佳的控制策略，而鲁棒控制则关注设计一种能使系统对参数扰动和外部干扰具有稳定性和鲁棒性的控制器。
本文将从最优控制和鲁棒控制的定义、应用以及优缺点等方面进行论述。
一、最优控制最优控制是控制理论中的一个重要分支，主要研究如何寻找使系统性能达到最优的控制策略。
最优控制可以分为静态最优控制和动态最优控制两种情况。
静态最优控制是指在系统的特定状态下，通过调整控制信号来使系统性能达到最优。
典型的例子是线性二次型控制器，它通过求解二次代价函数的最小值来确定最优的控制策略。
静态最优控制在很多工程领域都有广泛应用，如经济学、交通规划等。
动态最优控制是指在给定一段时间内，通过对系统状态和控制信号的优化，使得系统性能达到最优。
这种控制方法一般使用优化算法来求解，如动态规划、最优控制和近似优化等。
动态最优控制在航天、自动驾驶和机器人等领域有重要应用。
最优控制的优点是能够使系统性能达到最佳，同时也考虑了系统性能与控制信号的代价之间的平衡。
然而，最优控制的计算复杂度较高，需要大量的计算和运算资源。
二、鲁棒控制鲁棒控制是控制理论中的又一个重要分支，主要研究如何设计一种能使系统对参数不确定性和外部干扰具有稳定性和鲁棒性的控制器。
鲁棒控制通过考虑系统参数的范围和不确定性来设计控制器，使得系统具有更好的稳定性和容错性。
鲁棒控制常用的方法包括H∞鲁棒控制、μ合成和自适应控制等。
H∞鲁棒控制是一种通过最大化系统灵敏度函数的最小鲁棒稳定性来设计控制器的方法。
μ合成是一种基于μ合成算法以及线性矩阵不等式(LMI)的优化方法，用于求解复杂的鲁棒控制问题。
自适应控制则通过实时调整控制器参数来适应系统参数的变化。
鲁棒控制的优点是能使系统对参数不确定性和外部干扰具有鲁棒性和稳定性，适用于实际工程系统中存在参数不确定性和外部干扰的情况。
鲁棒控制的发展与理论摘要：首先介绍了鲁棒控制的发展过程，之后主要介绍了H∞控制理论、μ理论的发展、研究内容和实际应用，和鲁棒控制尚待解决的问题及研究热点。
关键词：鲁棒控制理论、H∞控制理论、μ理论、分析、综合1 概述传统控制器都是基于系统的数学模型建立的，因此，控制系统的性能好坏很大程度上取决于模型的精确性，这正是传统控制的本质。
现代控制理论可以解决多输入、多输出( MIMO )控制系统地分析和控制设计问题，但其分析与综合方法也都是在取得控制对象数学模型基础上进行的，而数学模型的精确程度对控制系统性能的影响很大，往往由于某种原因，对象参数发生变化使数学模型不能准确地反映对象特性，从而无法达到期望的控制指标，为解决这个问题，控制系统的鲁棒性研究成为现代控制理论研究中一个非常活跃的领域。
简单地说，鲁棒控制( Robust Control )就是对于给定的存在不确定性的系统，分析和设计能保持系统正常工作的控制器。
鲁棒振定是保证不确定性系统的稳定性，而鲁棒性能设计是进一步确定保有某种指标下的一定的性能。
根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。
以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。
鲁棒控制自其产生便得到了广泛的注目和蓬勃发展。
其实人们在系统设计时，常常会考虑到鲁棒性的问题。
当前这一理论的研究热点是在非线形系统中控制问题，另外还有一些关于鲁棒控制的理论如结构异值理论和区间理论等。
2 鲁棒控制理论的发展最早给出鲁棒控制问题解的是Black在1927年给出的关于真空关放大器的设计，他首次提出采用反馈设计和回路高增益的方法来处理真空管特性的大范围波动。
之后，Nquist( 奈奎斯特)频域稳定性准则和Black回路高增益概念共同构成了Bode( 伯德)的经典之著中关于鲁棒控制设计的基础。
20世纪60年代之前这段时期可称为经典灵敏度设计时期。
此间问题多集中于SISO(单变量)系统，根据稳定性、灵敏度的降低和噪声等性能准则来进行回路设计。
20世纪六七十年代中鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMO 进行了初步的推广，人们普遍研究灵敏度设计问题，包括跟踪灵敏度、性能灵敏度和特征值/特征向量灵敏度等的设计。
20世纪80年代，鲁棒设计进入了新的发展时期。
此间研究的目的是寻求适应大范围不确定性分析的理论和方法。
在研究鲁棒多变量控制的过程中，先后出现了参数空间法、Kharitonov(卡里托诺夫)法、状态空间法、H ∞方法以及μ方法。
下面就H ∞方法以及μ方法分别加以介绍。
3 H ∞控制理论3.1 H ∞控制理论概念H ∞方法在工程中应用最多，它以输出灵敏度函数的H ∞范数作为性能指标，旨在可能发生“最坏扰动”的情况下，使系统的误差在无穷范数意义下达到极小，从而将干扰问题转化为求解使闭环系统稳定，并使相应的H ∞范数指标极小化的输出反馈控制问题。
H ∞控制理论就是在H ∞空间（Hardy 空间）通过某些性能指标的无穷范数优化而获得控制器的一种控制理论。
H ∞空间是开在右半边平面解析且有解的矩阵函数空间，其范数定义为：[]{}sup ()Re 0F F s s σ∞=><∞ (1)即矩阵函数()F s 在开右半平面的最大奇异值的上阶。
其物理意义是：系统的输入若是有限的能量谱信号，系统的输出则是最大能量谱信号（即代表系统获得最大能量增益）。
3.1 H ∞控制理论的发展H ∞控制理论的研究可分为两大阶段。
分别以Zames 和美国学者Doly 等人发表的两篇论文为标志。
Zames 在1981年发表的重要文章“Feedback and Optimal Sensitivity : Model Reference Transformations, Multiplicative Seminorms, and Approximate Inverse ” 标志了H ∞控制理论的起步。
针对LQG( 线性二次高斯控制linear-quadratic-Gaussian control )设计中将不确定干扰表示成白噪声模型的局限性，Zames 考虑了干扰信号属于某一能量有限的已知信号集的情况下，能使系统内稳定及系统对扰动输出达到最小的控制器设计。
他找到了鲁棒控制与最优控制的一个契合点，是在理论内部超越了LQG 理论的尝试。
此阶段的主要特征是采用纯频域方法，以p H 空间、H ∞范数等概念为基础，研究的方法是把H ∞标准转化为模型匹配问题，然后将模型匹配问题转化为广义距离问题。
主要工具是所有稳定化控制器的Youla-Jabr-Kucera 参数化，传递函数的内外分解，Nevanlina-Pick 插值理论，Nehari 的距离定理等。
这种频率域/算子理论的处理方法目前仍然是一个很活跃的研究领域。
在第二阶段时，H ∞设计转向状态空间分析方法，进一步简化了求解过程。
Doly 等人于1989年，发表论文“State-space Solution to Standard H ∞ and 2HControl Problem”。
不仅对状态反馈，而且对输出反馈的情形给出了H∞标准控制问题有解的充要条件以及次优控制器的参数形式，其证明了可以通过解两个Riccati方程得到H∞控制器，且其阶数与被控对象的阶数相等，从而倒出H∞控制理论标准问题的一个相当清晰的解。
H∞控制问题在概念上和算法上都被大大的简化。
此阶段的主要特征是状态空间方法的采用，它以Lyapunov稳定理论、能控能观等概念为基础，以状态空间实现为工具，不仅得到了所有H∞次优解的表达式而且所得控制器阶数不超过广义对象的阶数。
因而，既具有理论意义，又有实现应用价值。
3.2 H∞控制理论研究(1) 线性H∞控制研究。
从耗散性能理论和微分对策理论出发，利用L增益2分析，非线性H∞控制问题可解决的充分条件被转化为一组Hamilton-Jacobi等式或不等式的可解性问题，并可通过求解来获得鲁棒控制器的形式。
Takagi Sugeno提出了著名的T - S模糊系统模型，为非线性控制系统提供了新的思路。
吴忠强等人利用T - S模糊动态模型描述非线性系统，首先将全局模糊系统表示成不确定系统形式，采用H∞控制策略，设计出使全局模糊系统渐进稳定的控制器。
然后采用并行分配补偿法，设计出使模糊系统全局渐进稳定的H∞控制器。
将模糊控制与现代鲁棒控制相结合解决非线性问题，避免了偏微分方程的求解和一些假设条件。
(2) 时滞系统的H∞控制研究。
时滞现象普遍存在于实际的控制问题中。
时滞往往是使系统的性能变差甚至是造成系统不稳定的主要问题之一，一些学者将H∞控制理论应用到时滞系统的研究中，并且针对不确定性时滞系统的鲁棒H∞控制问题也有研究报道。
在这些研究的系统中，最常见的控制方法是利用系统状态构成线性无记忆反馈。
(3) 区间系统的H∞控制研究。
区间系统是含有参数不确定性的系统中最难研究的一种，这是因为对于一个n阶区间系统，在状态矩阵中就有2n个不确定参数。
尽管如此，近年来关于区间系统的研究还是取得了许多成果。
史忠科等先将区间系统转化为一类范数有界的结构不确定性系。
在此基础上，给出一系列定常区间系统鲁棒稳定性的判据，并利用H∞控制理论，来研究区间系统的鲁棒稳定和干扰抑制问题。
3.3 H∞控制理论应用H∞控制器用于泵控马达伺服系统，把经内环整定后的伺服电机扩展为增广对象()P s，对其求解标准H∞设计问题，得到具有很强鲁棒性的速度控制器。
将H ∞控制器用于船舶自动舵控制。
应用H ∞控制研究了具有冲击影响的宏观经济系统控制问题，给出政府政策和公众预期宏观经济H ∞控制的状态反馈解。
H ∞控制指标在时域的本质是“最大最小”问题，其系统意义是选择控制策略，是观测输出最大扰动最小。
相应于证券组合投资问题，使收益最大风险最小，运用H ∞对证券投资中的不确定性和风险问题的连续时间系统进行了研究。
离散时间系统状态空间模型的提出，推导了奇异H ∞控制策略，为证券组合投资的分析和实际应用提供了新的理论方法。
4 μ理论虽然H ∞控制理论是目前解决鲁棒控制问题比较成功且比较完善的理论体系，然而从实际中可知，H ∞设计方法虽然将鲁棒性直接反应在系统的设计指标中，不确定性反映在相应的加权函数上，但它“最坏情况”下的控制却导致了不必要的保守性；另外H ∞优化控制方法仅仅针对鲁棒稳定性而言，忽略了对鲁棒性能的要求。
因此，鲁棒多变量反馈系统设计方法一直存在的困难，是不能够在统一框架下同时处理性能指标与鲁棒稳定的折中问题。
与H ∞同时期发展的μ理论则考虑到了结构的不确定性问题，它不但能够有效的、无保守性的判断“最坏情况”下摄动的影响，而且当存在不同表达形式的结构化不确定性情况下，能分析控制系统的鲁棒稳定性和鲁棒性能问题。
4.1 μ理论的基本概念对于存在各类结构化不确定性的系统，用结构奇异值方法进行受控系统稳定性和性能分析的过程叫做μ分析。
而设计控制器的过程（即求一稳定控制器K ，使闭环系统在有结构化不确定性的情况下也能保持稳定性和性能），称为μ综合。
对于摄动比较集中的系统，不确定性可以通过估计其上确界，用H ∞范数条件约束来实现鲁棒性能的满足。
当摄动比较分散时，实际系统中的结构不确定性用块对角矩阵∆表示，如式(2)。
{}{}111=,,,,,r s rs F diag I I δδ∆∆∆ (2) 式中，i C δ∈，j j m n j C ⨯∆∈，11s F i j i j r m n ==+=∑∑μ理论通过输入、输出、传递函数、参数变化、摄动等所有线性关联重构，以隔离所有摄动得到如图1所示的块对角有界摄动问题(BDBP 系统)。
zw 图1 块对角有界摄动问题图1中，w 为评价控制性能与模型摄动的外部输入向量，z 为评价控制性能与模型摄动的输出向量，不确定性用式(2)定义的∆表示，系统传递函数矩阵m n M C ⨯∈的结构奇异值μ的定义如式(3)所示。
{}()1max ()min (det()0)M I M μσ-∆=∆-∆= (3)式中，m n C ⨯表示复数域，max ()σ∆表示∆的最大奇异值。
4.2 μ理论的发展对μ理论的发展产生重要影响的是20世纪70年代末鲁棒多变量控制系统的研究，他们对稳定性分析的早期工作，特别是小增益理论和圆盘理论产生了不可估量的影响。
这些理论给出了反馈中非线性环节稳定性的充要条件。
20世纪80年代初，Doly 和Stein 以奇异值为鲁棒性度量工具推广了多变量系统的Bode 幅值设计方法，他们指出影响系统鲁棒性的是系统回差矩阵或逆回差矩阵的奇异值。
然而在越来越多的实践中表明，基于奇异值的方法使非结构化不确定性的假设太粗略，对鲁棒性能的问题不能得到充分解决；对于结构化的对象扰动，基于奇异值的稳定性和品质测度通常是很保守的。
