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鲁棒控制理论第三章

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鲁棒控制理论第三章

鲁棒控制理论第三章

d
只需考察从r，d，n
r
—
x1
C
u
x2
y
P
到x1，x2，x3的9个
传递函数
v
F
x3
n
图3.3 基本反馈回路

求和点的方程 x1 = r - Fx3
x2 = d + Cx1 x3 = n + Px2
r
x1
—
v
d
C
u
x2
P x3
y
F
n

表达成矩阵形式
轾 1 0 犏 犏 -C 1 犏 犏 0 - P 犏 臌
ˆ+ T ˆ=1 S
对摄动的比
) ) ) ˆ DT T dT P ) ) = ) lim ˆ ˆ D P? 0 D P / D P dP T
ˆ 对 P ˆ 的变化的敏感程度。 表示了 T ) ) )) )) ˆ dT P C 1 + PC ˆ PC ˆ ) = ) ) P = )) = S ) ) 2 ˆ dP T 1 + PC (1+ PC) PC
输入信号一
考虑任意幅值不大于1的正弦信号
r (t ) ? {a sin wt a ? (0,1], w ? ¡
+
}
+
禳 镲 aw ˆ (s ) ? 睚 2 r a ? (0,1], w ? ¡ 2 镲 s +w 镲 铪 ) 由 e (t ) = a s ˆ ( jw))) ( jw) sin (wt + arg (s
鲁棒控制理论
第三章 基本概念
前言

本章和下一章（不确定性和鲁棒性）是最基本的。集中讨 论单回路反馈系统。 首先定义系统的稳定性并给出其充分必要条件，进而分析 系统渐近跟踪某些信号（即阶跃和斜坡）的能力，最后我 们把跟踪作为一种性能指标来讨论。不确定性问题推迟到 下一章。 在前一章我们用到了时间域和频率域的信号，用u(t)记时 间函数，用记它的Laplace变换。当上下文仅在频率域内， 我们去掉^而更方便地写成u(s)；依此类推，脉冲响应 G(t)、相应的传递函数也可作同样的简化。

鲁棒稳定性鲁棒控制

鲁棒稳定性鲁棒控制

体现了开环特性的相对偏差 GK GK 到闭环频率特性 GB GB 的增益，因此，如果我们在设计控制器K时， 能够使S的增益足够小，即
S( j) ,为充分小正数
那么闭环特性的偏差将会抑制在工程允许的范围内。 传递函数S(s)称为系统的灵敏度函数。实际上S(s)还等 于干扰w到输出的闭环传递函数，因此减小S(s)的增益 就等价于减小干扰对控制误差的影响。引入定义
即为设计K使得A+BK＋EF稳定，也即
F(sI A BK )1 E 1
实验
Furuta摆实验
三自由度直升机系统
考虑下图所示系统
G(s)
u
y
-
kK(s)
G(s)
其中(s)为任意稳定的真有理分式且满足||(s)||1 定理：上图所示的闭环系统对任意的(s)均稳定当且 仅当
K(s)(I G(s)K(s))1 1
闭环系统鲁棒稳定性分析
▪ 乘性不确定性
考虑下图所示系统
G(s)
u
y
-
kK(s) G(s)
其中(s)为任意稳定的真有理分式且满足||(s)||1 定理：上图所示的闭环系统对任意的(s)均稳定当且 仅当
可以找到适当的界函数W( j),有( j) W( j)
鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的 控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综 合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定 性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性 综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模 型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设 计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。 主要的鲁棒控制理论有：
S(s) sup [S( j)] R 1
其中 ()表示最大奇异值，即 ( A) {max (A*A)}2 ,

鲁棒控制毕业论文

鲁棒控制毕业论文

目前对鲁棒控制的研究多使用状态反馈，但在许多实际问题中，系统的状态往往是不能直接测量的，此时难以应用状态反馈控制律实现系统控制。

有时即使系统的状态可以直接测量，但考虑到实施控制的成本和系统的可靠性等因素，同样需要运用输出反馈来实现系统控制。

因此，研究控制系统的输出反馈镇定及其控制器设计具有重要的理论意义和实际应用价值。

本文基于Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式（LMI ）方法，对不确定时滞系统研究了输出反馈控制器的设计方法，针对不确定的时滞系统设计了输出反馈控制器，保证闭环系统渐近稳定，运用MATLAB中的LMI工具箱求解控制器参数，并用SIMULINK对实际系统进行了仿真实验，通过仿真实例证明了控制器设计方法能够达到较好的控制效果，而且具有较强的鲁棒性和稳定性，证明了设计方法的有效性。

关键词：鲁棒控制；输出反馈；线性矩阵不等式；不确定性；时滞AbstractAt prese nt,people ofte n use state feedback con trol law to study robust control,but in many practical problems,the system state often cannot be measured directly,it is difficult to use state feedback con trol law to con trol the system.Sometimes,eve n if the state can be measured directly,but,c on sideri ng the cost of impleme nti ng the con trol and reliability of the system and other factors,the state feedback control cannot achieve acceptable effect .If the output feedback law can achieve the performa nee requireme nts of the closed-loop system,then it can be selected withpriority.Therefore,the output feedback stabilization of uncertain systems and controller design has important theoretical and practical value.This paper is based on Lyap unov stability theory and Lin ear MatrixInequality(LMI)methods.For uncertain time-delay systems with norm bounded un certa in parameters,the paper studied the output feedback con troller con troller desig n methods.The controller parameters were worked out by means of LMI toolbox in MATLAB.Simulatio n of the actual system was con ducted on the basis of the SIMULINK toolbox in Matlab,the results of which proved that the new controller desig n method could achieve better con trol effect and was more robust and stable.Key words:Robust con trol;Output feedback;L in esr Matrix In equality(LMI); Un certai nty;Time-delay目录第1章概述 (1)1.1输出反馈概述 (1)1.2鲁棒控制理论概述 (1)第2章基本理论 (4)2.1系统的非结构不确定性 (4)2.2系统的结构不确定性 (5)2.3线性矩阵不等式 (5)2.4 L YAPUNO稳定性理论 (8)第3章输出反馈控制器设计 (13)3.1不确定时滞系统的静态输出反馈控制器设计 (13)3.2具有控制时滞的不确定时滞系统静态输出反馈控制器设计 (16)3.3不确定时滞系统的动态输出反馈控制器设计 (21)结论 (26)参考文献 (27)致谢 (28)第1章概述1.1输出反馈概述在许多实际问题中，系统的状态往往是不能直接测量的，故难以应用状态反馈控制律来对系统进行控制。

鲁棒控制理论及应用lesson3

鲁棒控制理论及应用lesson3

1
鲁棒控制问题第三讲：
2
非结构不确定性的引入
讨论非结构不确定性的描述更加重要，这主要有以下两个方面的原因：
¾在控制系统设计中采用的所有控制对象模型，由于需要覆盖未建模的动态特性，均应该包括某些非结构化的不确定性，这是从给定的控制问题中自然引出来的；¾对于一种特定类型的非结构不确定性，可以找到一种既简单又具有一般性的分析方法。

C 1
C 1
11
)
Ωωεω∞
<∈，2()
T j ωεω∞
<，
鲁棒控制理论及应用中南大学信息科学与工程学院吴敏
31
谢谢各位！Thank you!
2007年10月9日。

鲁棒控制理论及应用课程吴敏

鲁棒控制理论及应用课程吴敏

∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x
•
x
=
f
(x) +
1 2γ 2
gg T
∂φ ∂x
(x)
d)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
9
雅可比不等式
∂φ ∂xT
f
成立 + 1 ∂φ gg T ∂φ + hTh + ε xT x ≤ 0
4γ 2 ∂xT
∂x
2015年10月25日
鲁棒控制理论及应用课程
•
x=
f
(x) +
1 2γ 2
g1 g1T
∂φ ∂x
−
1 2
g2
g2T
∂ϕ ∂x
+
g1
γ 2
g1T
∂φ ∂x
+
~
z
是渐进稳定的，而且是局部L2稳定的
b)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
雅可比不等式 成立,而且 ∂φ ∂xT
f
+
1 4
∂φ ∂xT
⎛ ⎜ ⎝
给定一个常数γ>0,下述条件是等价的。
a)非线性系统Szw是指数稳定的,而且 γ S < zw Lc2 b)近似线性系统 S%zw 是稳定的,而且 S%zw ∞ < γ
c)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x),使哈密顿－雅可比方程
成立,而且 是指数稳定的 ∂φ f + 1 ∂φ ggT ∂φ + hTh = 0
∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x
7
成立，而且
1 gT ∂φ 2
lim 2 ∂x < ∞

鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式

鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式

k<r
则 A 与秩为 k 的任一矩阵 B 之差的 L1 和 L2 范数分别为
min A − B =
rank (B )=k
1
A − Ak
1 = σ k +1
和
(3.1.30)
3－5
第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
min A − B 2 =rank (B )=k2A − Ak
2 2
=
σ
2 k +1
+
L
∂A ∂θ
= [ ∂A ∂θ1
,
∂A ∂θ 2
,L ,
∂A ∂θ n
]
(3.1.12)
4） 标量对矩阵求导仍为矩阵。设 J 为标量， M 为矩阵，则 ∂J 是以 ∂J 为第 ij 元素的矩阵，
∂M
∂mij
其中 mij 表示 M 矩阵的第 ij 元素。
在上述约定下，有如下一些结果：
1） ∂ (aT x) = aT ； ∂x
−
A21
A -1 11
A12
]
(3.1.5) (3.1.6)
证明：因为
所以有
⎡ A11
⎢ ⎣
A21
A12 ⎤ ⎡ I
A22
⎥ ⎦
⎢⎣−
A−1 22
A21
0⎤
A−1 22
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A11
⎣
−
A12 0
A−1 22
A21
A12
A−1 22
I
⎤ ⎥ ⎦
det
A ⋅ det
A −1 22
=
det[ A11
3.1.2 矢量与矩阵的微分运算
在鲁棒控制理论和系统建模中，矢量与矩阵的微分运算是非常重要的。本节我们不加证明地给出 一些常用到得运算定理和公式。为了叙述方便，采用下列约定。

现代控制理论鲁棒控制资料课件

现代控制理论鲁棒控制资料课件

鲁棒优化算法的应用
01
02
03
鲁棒优化算法是一种在不确定环 境下优化系统性能的方法。
鲁棒优化算法的主要思想是在不 确定环境下寻找最优解，使得系 统的性能达到最优，同时保证系 统在不确定因素影响下仍能保持 稳定。
鲁棒优化算法的主要应用领域包 括航空航天、机器人、能源系统 、化工过程等。
05
现代控制理论鲁棒控制实 验及案例分析
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
• 广泛应用在工业、航空航天、医疗等领域
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
01
02
不足
控制系统的复杂度较高，难以设 计和优化
对某些不确定性和干扰的鲁棒性 仍需改进
03
实际应用中可能存在实现难度和 成本问题
04
未来研究方向与挑战
研究方向
深化理论研究，提高鲁棒控制器 的设计和优化能力
线性鲁棒控制实验
线性鲁棒控制的基本原理
01
介绍线性鲁棒控制的概念、模型和控制问题。
线性鲁棒控制实验设计
02 说明如何设计线性鲁棒控制实验，包括系统模型的建
立、鲁棒控制器的设计和实验步骤。
线性鲁棒控制实验结果分析
03
对实验结果进行分析，包括稳定性、性能和鲁棒性能
等。
非线性鲁棒控制实验
非线性鲁棒控制的基本原理
03
线性系统的分析与设计：极点配置、最优控制和最优
估计等。
非线性控制系统
1
非线性系统的基本性质：非线性、不稳定性和复 杂性。
2
非线性系统的状态空间表示：非线性状态方程和 输出方程。
3
非线性系统的分析与设计：反馈线性化、滑模控 制和自适应控制等。
离散控制系统

生了现代鲁棒控制。鲁棒控制理论发...

生了现代鲁棒控制。鲁棒控制理论发...

Classified Index: TP273U.D.C: 681.513.3Thesis for the Master Degree in EngineeringRESEARCHES ON ROBUST CONTROL AND APPLICATION OF NON-MINIMUM PHASESYSTEMSWenjun Candidate: Fan Supervisor: Associate Prof. Ma JieAcademic Degree Applied for: Master of EngineeringSpeciality: Control Science and Engineering Affiliation: Control and Simulation CenterDate of Defence: June, 2009Degree Conferring Institution: Harbin Institute of Technology摘 要本文以磁悬浮球和一级倒立摆两个典型的非最小相位系统为研究对象，对只有一个不稳定极点的非最小相位系统采用混合灵敏度设计，对同时具有不稳定零、极点的非最小相位系统采用复合控制，并分别在磁悬浮球系统和一级倒立摆系统中实现。

首先，分别建立磁悬浮球系统和一级倒立摆系统的数学模型，并将非线性模型线性化，分别分析系统的能控性以及系统中包含的不确定性因素。

其次，研究了灵敏度设计中的鲁棒性、加权函数选择原则、优化指标等问题，针对只有不稳定极点的磁悬浮球系统，先运用PV控制将其稳定，测试系统对象特性，得到名义对象和不确定性界后再运用混合灵敏度设计，通过转化成H∞标准问题求解控制器。

然后，针对同时具有不稳定零、极点的非最小相位系统，研究输出反馈鲁棒性设计的极限，并采用复合控制方案，以倒立摆系统为例，先用经典控制稳定摆角回路，再对位置回路进行H∞输出反馈控制设计。

鲁棒控制理论

鲁棒控制理论


1
这种形式的摄动可用下图表示
q
H
L
W
p
v z
L
-
上图可以简化为
L
p q
H
根据小增益定理,闭环系统稳定的充分条
件是 H 1 L
H L H L ,且 L 摄动系统稳定的充分条 H

1
件是
1
实际上上式是一个充要条件
从方框图可得 稳定条件为
假设相对摄动满足下面不等式
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) W ( j ) , R
则稳定条件变为
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) T 0 ( j ) W ( j )T 0 ( j ) 1, R
W 2 ( j ) L ( j ) 1 L ( j ) ,
上式表明在每一频率下，临界点－1都位于 以 L ( j ) 为圆心，以 W 2 ( j ) L ( j ) 为半径的圆外。
摄动系统框图，设 || || 1
W 2T
W2

K
P
W 2T
即峰值 S
R
大,在高频衰减下来。
考虑SISO反馈系统的回路增益L=PC的Nyquist图,L是 标称值,L’是实际值
-1 L’ L
0
实际闭环系统稳定的充分条件是L’的
Nyquist图不包围-1点。由图可以看出,也 就是对于所有频率有:
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) ( 1) L ( j ) 1 , R

1
1.3.2 控制系统的摄动形式

《鲁棒控制》-3-H无穷控制理论

《鲁棒控制》-3-H无穷控制理论

考虑不确定系统
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
其中： A = A0 + ΔA ； B = B0 + ΔB
[ΔA ΔB] = DΩ[E1 E2 ] = DΩE
ΩT Ω ≤ I
问题：求状态反馈 u = Kx, s.t.
( E1 + E2 K ) ( sI − A0 − ) B0 K −1 D ∞ < 1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
r
=
Tzr r
性能指标等价为：
∫ min ∞ zT z dt = min z 2
0
2
设
{ } r ∈
r
r = Wd, d ∈ H2 ,
d
≤1
2
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
-- H∞ 次优问题
问题：求 C1 和 C2 使系统内稳定，且：
⎡
min ⎢ sup ⎣ C1 ,C2 d∈H2 , d 2 ≤1
1 min
K 1+ PK ∞
-- H∞ 最优问题
（3） 频域鲁棒镇定问题
Δ
+
−
P0
K
} G = {P P = P0 + Δ, Δ 稳定，且 Δ ( jω ) ≤ r ( jω ) ,∀ω ∈ R
其中： P0 为标称对象； r ( s) 是已知的稳定的实有理函数。
• 鲁棒镇定： K 镇定 G ，即对 ∀P ∈G, K 使闭环系统内稳定。
问题：
( ) min
K内稳G
Tzw
∞
= min K内稳 P
1+ PK −1
∞
2、鲁棒镇定问题 ⇒ 标准问题
Δ

鲁棒控制发展与理论

鲁棒控制发展与理论

鲁棒控制发展与理论鲁棒控制的发展与理论摘要：首先介绍了鲁棒控制的发展过程，之后主要介绍了H?控制理论、?理论的发展、研究内容和实际应用，和鲁棒控制尚待解决的问题及研究热点。

关键词：鲁棒控制理论、H?控制理论、?理论、分析、综合 1 概述传统控制器都是基于系统的数学模型建立的，因此，控制系统的性能好坏很大程度上取决于模型的精确性，这正是传统控制的本质。

现代控制理论可以解决多输入、多输出( MIMO )控制系统地分析和控制设计问题，但其分析与综合方法也都是在取得控制对象数学模型基础上进行的，而数学模型的精确程度对控制系统性能的影响很大，往往由于某种原因，对象参数发生变化使数学模型不能准确地反映对象特性，从而无法达到期望的控制指标，为解决这个问题，控制系统的鲁棒性研究成为现代控制理论研究中一个非常活跃的领域。

简单地说，鲁棒控制( Robust Control )就是对于给定的存在不确定性的系统，分析和设计能保持系统正常工作的控制器。

鲁棒振定是保证不确定性系统的稳定性，而鲁棒性能设计是进一步确定保有某种指标下的一定的性能。

根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。

以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。

鲁棒控制自其产生便得到了广泛的注目和蓬勃发展。

其实人们在系统设计时，常常会考虑到鲁棒性的问题。

当前这一理论的研究热点是在非线形系统中控制问题，另外还有一些关于鲁棒控制的理论如结构异值理论和区间理论等。

2 鲁棒控制理论的发展最早给出鲁棒控制问题解的是Black在1927年给出的关于真空关放大器的设计，他首次提出采用反馈设计和回路高增益的方法来处理真空管特性的大范围波动。

之后，Nquist( 奈奎斯特 )频域稳定性准则和Black回路高增益概念共同构成了Bode( 伯德 )的经典之著中关于鲁棒控制设计的基础。

20世纪60年代之前这段时期可称为经典灵敏度设计时期。

此间问题多集中于SISO(单变量)系统，根据稳定性、灵敏度的降低和噪声等性能准则来进行回路设计。

鲁棒控制原理及应用举例.doc

鲁棒控制原理及应用举例.doc

鲁棒控制原理及应用举例摘要：本文简述了鲁棒控制的由来及其发展历史，强调了鲁棒控制在现代控制系统中的重要性,解释了鲁棒控制、鲁棒性、鲁棒控制系统、鲁棒控制器的意义，介绍了鲁棒控制系统的分类以及其常用的设计方法，并对鲁棒控制的应用领域作了简单介绍，并举出实例。

关键词：鲁棒控制鲁棒性不确定性设计方法现代控制系统经典的控制系统设计方法要求有一个确定的数学模型。

在建立数学模型的过程中，往往要忽略许多不确定因素：如对同步轨道卫星的姿态进行控制时不考虑轨道运动的影响，对一个振动系统的控制过程中不考虑高阶模态的影响等。

但经过以上处理后得到的数学模型已经不能完全描述原来的物理系统，而仅仅是原系统的一种近似。

对许多要求不高的系统，这样的数学模型已经能够满足工程要求。

然而，对于一些精度和可靠性要求较高的系统，如导弹控制系统设计，若采用这种设计方法，就会浪费了大量的人力物力在反复计算数弹道、调整控制器参数以及反复试射上。

因此，为了解决不确定控制系统的设计问题，科学家们提出了鲁棒控制理论。

由于鲁棒控制器是针对系统工作的最坏情况而设计的，因此能适应所有其它工况，所以它是解决这类不确定系统控制问题的有力工具。

鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代。

上世纪60年代，状态空间结构理论的形成，与最优控制、卡尔曼滤波以及分离性理论一起，使现代控制理论成了一个严密完整的体系。

随着现代控制理论的发展，从上世纪80年代以来，对控制系统的鲁棒性研究引起了众多学者的高度重视。

在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。

通常说一个反馈控制系统是鲁棒的，或者说一个反馈控制系统具有鲁棒性，就是指这个反馈控制系统在某一类特定的不确定性条件下具有使稳定性、渐进调节和动态特性保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性影响的能力。

设被控系统的数学模型属于集合D，如果系统的某些特性对于集合U中的每一对象都保持不变，则称系统具有鲁棒性。

鲁棒控制

鲁棒控制

注：定理中的四个多项式通常被称作Kharitonov顶点多 定理中的四个多项式通常被称作 顶点多 项式。 项式。Kharitonov定理的意义在于它将区间多项式中无 定理的意义在于它将区间多项式中无 穷多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来， 穷多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来， 将无穷检验变为有限检验（顶点检验）。 将无穷检验变为有限检验（顶点检验）。
系统的不确定性
参数不确定性，如二阶系统： 参数不确定性，如二阶系统：
可以代表带阻尼的弹簧装置， 电路等。 可以代表带阻尼的弹簧装置，RLC电路等。这种不确 电路等 定性通常不会改变系统的结构和阶次。 定性通常不会改变系统的结构和阶次。
1 G(s) = 2 , a ∈ [a − , a + ] s + as + 1
Robust Control
姓名： 姓名：丁 琳 学号： 学号：20100272 专业： 专业：检测技术与自动化装置
主要内容
一、引 言 二、发展概况 三、鲁棒控制理论 3.1 Kharitonov定理 定理 3.2 H∞控制理论 四、研究热点
一、引
言
我们总是假设已经知道了受控对象的模型， 我们总是假设已经知道了受控对象的模型，但由于实 际中存在种种不确定因素， 际中存在种种不确定因素，如： • • • • • 参数变化； 参数变化； 未建模动态特性； 未建模动态特性； 平衡点的变化； 平衡点的变化； 传感器噪声； 传感器噪声； 不可预测的干扰输入； 不可预测的干扰输入；
Kharitonov定理： (1)中的每一个多项式均稳定当且仅当 定理： 定理 中的每一个多项式均稳定当且仅当 下面的四个多项式稳定
+ − − + + P (s) = a0 + a1+s + a2 s2 + a3 s3 + a4 s4 + a5 s5 +L 1 − + + 2 − 3 − 4 + 5 P (s) = a0 + a1 s + a2 s + a3 s + a4 s + a5 s +L 2 + − − 2 + 3 + 4 − 5 P (s) = a0 + a1 s + a2 s + a3 s + a4 s + a5 s +L 3 − + + − − P (s) = a0 + a1−s + a2 s2 + a3 s3 + a4 s4 + a5 s5 +L 4

鲁棒控制与故障诊断 第三章

鲁棒控制与故障诊断 第三章
⎡A ⎢C ⎣
B⎤ ⎡ A∗ ↦ ⎢ ∗ D⎥ ⎦ ⎣B
C∗⎤ ⎥. D∗⎦
• conjugate system or equivalently
G ↦ G ~ ( s ) := G T ( − s ) = B ∗ ( − sI − A∗ ) −1 C ∗ + D ∗
⎡A ⎢C ⎣
B⎤ ⎡− A∗ ↦ ⎢ ∗ D⎥ ⎦ ⎣ B
Stability and Stabilizability
A is stable if RБайду номын сангаасλ(A)<0.
• (A,B) is stabilizable. • A+BF is stable for some F. PBH test: • The matrix [A-λI, B] has full row rank for all Reλ ≥ 0. • For all λ and x such that x∗A=x∗λ and Reλ ≥0, x∗B≠0.
PBH test:
right eigenvector of A, i.e., Ay= λy, then Cy≠ 0.
Duality:
• (C, A) is observable if and only if (A*,C*) is controllable.
Detectability
The following are equivalent: • (C,A) is detectable. • A+LC is stable for a suitable L. • (A*,C*) is stabilizable. PBH test:
− C∗⎤ ⎥. D∗ ⎦
In particular, we have G*(jω):=[G(jω)]*=G˜(jω). • inverse system: Let D+ denote a right (left) inverse of D if D has full row (column) rank. Then

鲁棒控制理论及应用--

鲁棒控制理论及应用--

维纳滤波器方法的基本思想
r

e
C
u
d
P
y
d: 可以用某种随机过程来表示的外界扰动
把反馈控制问题变成数学上的某些优化问题 卡尔曼-布西滤波器 (Kalman-Bucy Filter)理论
现代控制理论
LQG控制器


e
C
u
d
P
y
Байду номын сангаас
卡尔曼-布西滤 波器
控制问题的解 (分离原理)： ·设计卡尔曼-布西滤波器，获得x的估计值； ·设计基于x的估计值的状态反馈增益矩阵K。
涉及课程及其参考书
涉及课程： • 线性系统理论（Linear System Theory) • 最优控制（Optimal Control) 参考书： • 吴敏,桂卫华,何勇:《现代鲁棒控制》（第2版） • 中南大学出版社，2006 • Zhou K, Doyle J C and Glover K.Robust and Optimal Control.Prentice Hall,1996
第一讲：
鲁棒控制研究的基本问题
基本的反馈控制系统
d
r
u
控制器 控制对象
y
v
传感器
n
r-目标输入，y-控制对象输出，u-控制输入
v-传感器输出，n-传感器噪声，d-外部扰动
控制系统设计与不确定性
控 制 理 论 模 设计方法 型 实际 控制 对象
扰来 动自 信控 号制 。系 统 本 身 外 部 的
系统不确定性
非结构不确定性 (Unstructured Uncertainty)
P0
P0 P
结构不确定性 (Structured Uncertainty)

10_线性鲁棒控制基础_600706940

10_线性鲁棒控制基础_600706940

u R 1 B T Px
This design method: 1. Without considering the disturbances; 2. Only if we can exactly describe the system, the optimal control law could be achieved.
Appendix： (a) Proof of the optimality of the LQR problem’s solution： (sufficient condition)
Step 1 : The constraint extreme value problem
0
The unconstraint extreme value problem
Stability Solve Robustness?
Disadvantages Can’t give the exact mathematic design method
Optimality
Second Stage：1950――1980 optimal control

Kalman: Controllability , Observability Bellman: Dynamic Programming Pontryagin: The Minimum Principle of Pontryagin
))dt J (( x T C T Cx u T Ku) T ( Ax Bu x
Step 2: Hamilton Function
H ( x, ,U ) xT C T Cx uT Ku T ( Ax Bu )
Step 3：Extremal Condition Adjoin equation :

鲁棒控制理论及应用

鲁棒控制理论及应用
2
1 T 2
D
1 T 12
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
H∞状态反馈控制器的一般形式 (2)
Ｈ∞状态反馈控制可解的充分必要条件是 而且黎卡提方程
T T T
T D 2 I D 11
11
>0
，
对于一个充分小的常数ε>0具有正定解 x>0 .此时，状态 反馈增益矩阵为
最优问题
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
关于态观测器的H∞状态反馈控制问题
w u
G
y
z
同维的状态观测器： ˆ + B1 y + B 2 u x = Ax
降维的状态观测器：
& = Aˆ + ˆB1 y +ˆB 2 u
FF
状态观测器 H∞控制器K
ˆ y xˆ = Cˆ + D
12
(6)
rank C2
A j I = rank D21 ⎥⎦ C p
Ap j I 0 A p j I = p + rank = n + p 。 I p 2007年10月9日 B1
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
假定条件的性质
1 2
%Y2 (s)G21 (s), T2 ( s) = G12 (s) M 2 ( s), T3 (s% T1 (s) = G11 (s) + G12 (s)M 2 (s) ) = M 2 (s)G21 (s)
条件(2), (3), (5), (6)分别与下述条件等价：

华中科技大学鲁棒控制理论基础3章

华中科技大学鲁棒控制理论基础3章

q 1 pq p(1 pq) 1 pq
一般被控对象
P Nr M
1 r
M Nl
1 l
Yr N l
X r M r Ml Nr
X l I 0 Yl 0 I
3. 参数化公式在控制系统中的应用
鲁棒控制理论基础
第三章、反馈系统的稳定性与参数化
华 中 科 技 大 学 控制科学与工程系，控制理论研究所
3.1 反馈控制系统的稳定性
1. 反馈系统良定性 a) 良定性的概念
a) 闭环系统良定的条件
闭环系统良定的充 分必要条件是该矩 阵非奇异
2. 系统的外部稳定性
3. 系统的内部稳定性
4. 系统内部稳定与外部稳定性之间的关系
5. 闭环系统的稳定性
3.2 控制器的参数化
1. 传递函数的互质分解
其中A表示全体正则、稳定的有理函数（对于离散系统则 是z传递函数）。易知A对于加法和乘法运算是封闭的。
SISO系统传递函数在A中的互质分解
MIMO系统在A中的互质分解
传递函数矩阵的右互质
传递函数矩阵的左互质
3.3 标准控制问题（广义调节器问题）
1. 线性分式变换

2. 标准控制问题
3. 标准控制问题的稳定性源自G11 G G21A G12 C1 G22 C 2
B1 D11 D21
B2 D12 D22
MIMI系统在A中的互质分解
其中 P A, B, C, D AF A BF, AH A HC
2. 控制器的参数化
开环稳定的系统
对于稳定的SISO系统 p(s)， 有
q k , q A, 1 pq 0 1 pq 1 1 H ( p, k ) 1 pk p k (1 pq) 1 1 1 p k 1
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DP DC DF + N P N C N F
闭环极点就是特征多项式的零点
反馈系统是内稳定的，当且仅当没有闭环极点在 Re s ≥ 0 反馈系统是内稳定的，当且仅当下面两个条件成立： （1）传递函数1+PCF没有零点在 Re s ≥ 0 （2）乘积PCF在 Re s ≥ 0 没有零极相消
Nyquist稳定判据
这种情况是由于控制器的零点和对象的极点在s=1相消引起 的。
PCF = s −1 1 s −1 = s + 1 s 2 −1 ( s + 1)2 ( s −1)
将P,C,F写成互质多项式的比：
内稳定性检验方法
定理1： 定理2：
P=
NP N N ,C = C , F = F DP DC DF
反馈系统的特征多项式就是
假定图3.1中的每一部分都是线性的，因此它的输出是输 入的线性函数 更特殊化，假定三个部分的输出是它们输入的和或差的线 性函数 y = P (d + u )
v = F ( y + n) u = C (r − v )
d
r
— C
对应的方框图如图3.2
u
y
P
v
F
n
图3.2 基本反馈回路
“良定性” （适定性，Well Postedness）
d
r — v e C
uPyFra bibliotekne为跟踪误差，当n=d=0， e等于参考输入（理想的响 应）r与对象输出（实际的 响应）y之差。
我们希望研究当时间趋向无穷时系统跟踪某些试验信号的 能力。
⎧ c, t ≥ 0 ⎪ r1 (t ) = ⎪ ⎨ ⎪0, t = 0 ⎪ ⎩
阶跃
⎧ct , t ≥ 0 ⎪ r2 (t ) = ⎪ ⎨ ⎪ 0, t = 0 ⎪ ⎩
鲁棒控制理论
第三章 基本概念
前言
本章和下一章（不确定性和鲁棒性）是最基本的。集中讨 论单回路反馈系统。 首先定义系统的稳定性并给出其充分必要条件，进而分析 系统渐近跟踪某些信号（即阶跃和斜坡）的能力，最后我 们把跟踪作为一种性能指标来讨论。不确定性问题推迟到 下一章。 在前一章我们用到了时间域和频率域的信号，用u(t)记时 ˆ 间函数，用 u ( s) 记它的Laplace变换。当上下文仅在频率 域内，我们去掉^而更方便地写成u(s)；依此类推，系统 的脉冲响应G(t)、相应的传递函数也可作同样的简化。
例 在图3.2中
s −1 C (s) = , s +1 1 P (s) = 2 , s −1 F =1
检验从r到y的传递函数是稳定的，但从d到y是不稳定的。因 此反馈系统不是内稳定的。
y PC 1 = = 2 r 1 + PCF s + 2 s + 2
y P s +1 = = d 1 + PCF ( s −1)( s 2 + 2s + 2)
判定：开环传递函数是否零极相消
跟踪性：系统跟踪不同信号的能力
ˆ 判定： W1S
∞
“良定性”是指图3.2中所有闭环传递函数都存在，即从三个 外部输入到所有内部信号u，y，v以及求和点的输出之间的 传递函数都存在。 诸求和点的输出示于图3.3中。 为获得良定性， 只需考察从r，d，n 到x1，x2，x3的9个 传递函数
r
— x1 C
d
u
x2
y
P
v
F
x3
n
图3.3 基本反馈回路
求和点的方程 x1 = r − Fx3
有一个极点在S=0 从而有： ˆ ˆ 如果反馈系统是内稳定的并且 P 或 C 有一个 极点在原点（即固有的积分），那么输出y(t)将渐近跟 踪任何阶跃输入。
ˆ = 1 , 令L = ˆ ∵ S ˆ 1+ L
ˆ ˆ DL NL ˆ , 故 S= ˆ ˆ ˆ DL DL + N L
例
ˆ (s) = 1 , P s
仅仅看输入-输出传递函数，如从r到y，是不够的，这个 传递函数可能是稳定的，因而当r有界时y也有界，但可能有 内部信号是无界的，这种情况可能会引起物理系统内部结构 的毁坏。 定义：对于基本反馈回路，当r，d，n到x1，x2，x3的所 有传递函数均稳定时，称系统是内稳定的。 内稳定的一个结果是：如果外部输入的幅值有界，那么 x1，x2和x3以及u，y和v都是有界的。因此，对所有有界的 外部信号，内稳定确保内部信号是有界的（保证系统的安全 性）。
ˆ ˆ T = 1− S
称为系统的补敏感函数
定理3
ˆ 系统渐近跟踪阶跃和斜坡的能力取决于敏感函数 S 在原点 s=0处的零点数。
定理3 假定反馈系统是内稳定的，且n=d=0
ˆ (1) 对于r1(阶跃)，系统渐近跟踪(t→∞,e(t)→0)，当且仅当 S 至少有一个零点在原点。 ˆ (2) 对于r2(斜坡)，系统渐近跟踪，当且仅当 S 至少有两个 个零点在原点。
ˆ 以 W1S
∞
为跟踪性能的量度，将性能指标进行了标称化。
一般地，这种处理可视为在参考输入信号后串联了一个滤波 器。
r0(t)
ˆ W1 ( s )
r(t)
ˆ S (s)
e(t)
ˆ W1 ( s ) 一般为低通滤波器
输入信号二
考虑任意能量（在沿频率加权的意义下）不大于1的输入信 号
ˆ ˆ r (t ) ∈ W1 ( s ) r0 ( s ) r0 (t ) 2 ≤ 1
P= NP N N ,C = C , F = F DP DC DF
则
DP DC DF + N P N C N F 1 + PCF = DP DC DF
可见当P严格正则时，1+PCF一定是双正则的。证毕。 在本课程中，一般假设P是严格正则的，C、F是正则 的，即系统是强良定的。
3.2 内稳定(Internal Stability)
定理的证明应用终值定理： ˆ 如果 y ( s ) 是一有理Laplace变换，除了可能有一单极点在原 ˆ 点以外没有极点在 Re s ≥ 0 , 那么 lim y (t ) 存在且等于 lim sy ( s ) t →∞ s →0
定理3的证明
(1)
c r1 ( s ) = , s c ˆ ˆ e ( s ) = S ( s ) r1 ( s ) = S ( s ) s
e(t)
{
}
2
r0(t)
ˆ ˆ W1S
ˆ ˆ e 2 ≤ W1S
∞
r0
∞
ˆ ˆ ⇒ sup e 2 = W1S
ˆ ˆ 标称化地，令 W1S
∞
< 1 作为系统跟踪性能设计的指标，可保
证
e
∞
<1
第三章总结
良定性：系统传递函数的可实现性
判定：开环传递函数的正则性
内稳定性：系统内部所有信号的稳定性，整个系 统的安全性
3.1 基本反馈回路
d
r
控制器
u
y
对象
v
敏感元件
n
图3.1 最基本的反馈控制系统
尽管性能目标是多种多样的，但总可以概括成y应当接近 某一预定的输入函数r。当然在外部干扰d，敏感噪声n以 及对象的不确定性存在的情况下也是如此 此外我们还可能要限制u的大小 因为我们往往是通过v得到y的，所以通常根据量测信号v 而不是y来描述系统的性能目标更有普遍意义 下面的分析在频率域里进行，为简化记号，省略了表示 Laplace变换的符号^
ˆ P ˆ T
ˆ ˆ 表示了 T 对 P 的变化的敏感程度。
dT dP ˆ P C 1 + PC ˆ 1 ˆ = P= =S 2 ˆ 1 + PC T (1 + PC ) PC
定义 敏感函数 Sensitivity Function ˆ ˆ 闭环传递函数 T 对 P 的无限小摄动的灵敏度称为系统的 敏感函数。 定义 补敏感函数 Complementory Sensitivity Function
−1
或
⎛ x1 ⎞ ⎡ 1 0 F⎤ ⎛r⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ 1 ⎜ x2 ⎟ = −C 1 0 ⎥ ⎜d ⎟ = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎢ 0 −P 1 ⎥⎥ ⎜ n ⎟ 1 + PCF ⎜ 3 ⎠ ⎢⎣ ⎜ ⎟ ⎝ ⎥⎦ ⎝ ⎠
⎡ 1 −PF −F ⎤⎛ r ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢C ⎥ ⎜d ⎟ ⎟ 1 −CF ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎢ PC ⎜ ⎟ P 1 ⎥⎦⎥ ⎝ n ⎠ ⎣
构造PCF的Nyquist图，将围 线D在虚轴上的极点处向左绕 过这一点（这样就把虚轴上的 极点划归到右半平面）。 令N表示P、C和F在 Re s ≥ 0 的极点总数，那么反馈系统是 内稳定的，当且仅当Nyquist 图不通过-1点，并且逆时针包 围-1点N次。
D
3.3 渐近跟踪
考虑如图3.4所示的单位反馈回路（F=1）
弱良定性 当且仅当行列式1+PCF不恒等于0时，称系统 是（弱）良定的。 这一定义说明了系统所有传递函数的存在性。 强良定性 当且仅当1+PCF不是严格正则时，称系统是 （强）良定的。 这一定义说明了系统所有传递函数的正则性 （系统的可实现性）。
性质：若P，C和F是正则的，并且其中之一是严格正则 的，则反馈系统是强良定的。 证明：不失一般性，设P是严格正则的， 设
输入信号一
考虑任意幅值不大于1的正弦信号
r (t ) ∈ {a sin ωt ∀a ∈ (0,1], ∀ω ∈
+
}
⎫ ⎪ +⎬ ⎪ ⎪ ⎭
⎧ aω ⎪ ˆ r (s) ∈ ⎨ 2 ∀a ∈ (0,1], ∀ω ∈ 2 ⎪s +ω ⎪ ⎩ 由 e (t ) = a S ( jω ) sin ωt + arg ( S ( jω )) ˆ