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有限差分法——傅立叶稳定性分析分析差分格式稳定性的方法很多，大部份应用于线性方程，这里只介绍其中最常用的一种：傅立叶稳定性分析法。
傅立叶稳定分析法由V on Neumann 于20世纪40年代提出，所以又称为V on Neumann 稳定性分析法。
该方法的基本思想是，将解的误差作周期延拓并用傅立叶级数表示出来，然后考察每一个傅立叶级数分量的增大和衰减情况。
如果每一分量的强度（或振幅）是随时间的推移而增大的，则所讨论的差分格式是不稳定的；反之，若每一分量的振幅是随时间的推移而衰减或保持不变，则格式是稳定的。
为了进行这种分析，可以把某一分量的表达式代入到误差传播方程中，得出相邻二时间层间该分量的振幅比，通常称为放大因子。
稳定性的条件要求放大因子的绝对值（或模）小于或等于1。
当放大因子等于1时，称为中性稳定，在这种情况下任何时刻引进的误差都不会衰减或放大。
【例11.1E 】讨论逼近以下一维对流方程的FTCS 格式的稳定性：0=∂∂+∂∂xu t u α α> 0 (11.1.51)该方程的FTCS 格式为 02111=∆-+∆--++xu u t u u n i n i n i n i α (11.1.52) 将式(11.1.52)改写成易于递推计算的差分格式，有()n i n i n i n i u u u u 1112-++--=λα式中，)/(x t ∆∆λ=为网格比。
相应于上式的误差传播方程为()n i n i n i n i 1112-++--=εελαεε (11.1.53) 式中，ε是各节点上的离散量。
如果对ε在正负方向上作周期延拓，即把ε看作是以某一定值为周期的周期函数，则n ε、1+n ε可以展开为以下的傅立叶级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑∑∞-∞=++∞-∞=k kx n k n k kx n k n e C x e C x I 11I )()(εε 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∑∑∞-∞=+++∞-∞=k kx n k i n n i k kx n k i n n i i i e C x e C x I 111I )()(εεεε (11.1.54) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±==±=∑∑∞-∞=±+++±∞-∞=±±k x x k n k i n n i k x x k n k i n n i i i e C x x e C x x )(I 1111)(I 1)()(∆∆∆εε∆εε (11.1.55) 其中，1I -=。
无条件稳定条件稳定有限差分法
无条件稳定条件稳定有限差分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于科学和工程领域中的物理模拟、流体力学、电磁学等问题的求解。
该方法是基于有限差分逼近微分方程的思想，将求解区域离散化为有限个网格点，然后利用差分公式来逼近微分方程。
其中，稳定性是该方法最重要的性质之一。
无条件稳定的有限差分法是指在任何时刻、任何网格密度下都能保持数值解的稳定性。
这种方法的优点是计算方便，不需要对时间步长进行严格限制，但缺点是精度较低。
常见的无条件稳定的有限差分法有前向差分法和后向差分法。
条件稳定的有限差分法是指在一定条件下才能保持数值解的稳定性。
这种方法通常需要严格限制时间步长和网格密度，以保证数值解的精度和稳定性。
常见的条件稳定的有限差分法有CFL条件、稳定性限制条件等。
总之，无论是无条件稳定还是条件稳定的有限差分法，都在不同程度上应用广泛，是解决科学和工程问题的重要数值方法之一。
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差分格式稳定性及数值效应比较实验一实验目的：1.以一阶线性双曲线方程为例，使用Matlab工具分析4种差分格式的误差。
2.了解4种差分格式的稳定性。
二实验问题：对于一阶线性双曲型方程：取a=1,2,4, h=0.1, τ=0.08, 对不同的差分格式（迎风格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，修正迎风格式）及不同的a值进行迭代计算。
通过将计算结果与精确解来进行比较，来讨论分析差分格式的稳定性。
三实验原理：1.迎风格式：这种格式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下：运算格式：x-Friedrichs格式：运算格式：x-Wendroff格式：这种格式构造是采用Taylor 级数展开和微分方程本身得到运算格式：4.修正迎风格式（目标点范围跟踪格式）：其中是取整数部分，=。
根据之后的理论分析可以得到这是一个无条件稳定结构。
四四种格式理论分析：通过求差分格式的增长因子G(τ, k)，来判定差分格式是否稳定。
1.迎风格式：记，则，得，即。
所以。
则在，满足von Neumann条件，格式稳定。
以下格式用相同方法求解稳定性条件。
x-Friedrichs格式：，在时稳定。
x-Wendroff格式：，在时稳定。
4.修正迎风格式（目标点范围跟踪格式）：，其中，的成立条件为。
而恒成立，故格式无条件稳定。
五实验结果：a=1（）迎风格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式修正迎风格式a=2（）迎风格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式修正迎风格式a=4（）迎风格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式修正迎风格式六总结：本次实验，通过4种差分格式求解T=4时的解并与解析解画图比较，可以看出：(1)a=1（aλ=0.8＜1）时，迎风格式，Lax-Friedrichs格式，修正迎风格式的计算结果与解析解近似情况较好，而Lax-Wendroff格式则在间断点处出现了波前波，形成双波现象，这符合Lax-Wendroff格式为二阶迭代格式的性质。
差分格式的稳定性讨论
关于差分格式的稳定性讨论
本文在差分格式稳定性的概念的基础上,按照稳定性的定义来验证某个差分格式,验证差分格式是否稳定,往往比较复杂.讨论稳定性有很多方法,如矩阵方法,离散扰动方法.Hitt呲启示性方法和Fouder方法等等.每个方法各有优劣,本文讨论应用最广泛,也较为方便的Fourier方法.
作者：李卓识作者单位：吉林农业大学,吉林,长春,130118 刊名：网络财富英文刊名：INTEMET FORTUNE 年，卷(期)：2009 ""(23) 分类号：G64 关键词：差分格式稳定性 Lax等价定理 Foutier方法。
2015 年秋季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:偏微分方程数值解法学生所在院（系）:理学院数学系学生所在学科:数学学生姓名:H i t e r学号:1X S012000学生类别:考核结果阅卷人研究有限差分格式稳定性的其他方法摘要偏微分方程的求解一直是大家比较关心的一个问题，而有限差分格式则是求解偏微分方程时常用并且有效的一个方法。
因此，研究有限差分格式的性质就显得尤为重要。
在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt启示型方法、直接方法（或称矩阵方法）和能量不等式方法。
关键字：偏微分方程；有限差分格式；稳定性AbstractThe solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a common and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of commonly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method.Key words: partial differential equation; finite difference scheme; stability1 前言微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。
在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。
如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。
不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。
与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。
同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。
所以要采用可行的数值解法。
有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt 启示型方法、直接方法和能量不等式方法。
2 Hirt启示性方法2.1 方法概述Hirt启示性方法是一种近似分析方法。
主要是把差分格式在某确定点上作泰勒级数近似展开，把高阶误差略去，只留下最低阶的误差项。
如果差分格式是相容的，那么这样得到的新的微分方程（称之为第一微分近似或修正微分方程）与原来的微分方程相比只增加了一些含小参数的较高阶导数的附加项。
Hirt方法就是利用第一微分近似的适应性来研究差分格式的稳定性。
Hirt方法的判别准则是这样的：如果第一微分近似是适定的，那么原来微分方程的差分格式是稳定的，否则不稳定。
其实所述的微分格式是原来微分方程问题的相容的差分格式，那么也可以看作第一微分近似问题的相容的差分格式。
如果第一微分近似问题是不适定的，那么它的差分格式将不稳定[1]。
2.2 操作方法先给出几个方程0,,0,0>∈>=∂∂+∂∂t R x a xu a t u （2.1） ,2,1,0,,2,1,0,011=±±==-+-++n j hu u au u njn j n jn j τ（2.2）011=-+--+hu u au u n j n j n jn j τ（2.3）考虑对流方程（2.1）的差分格式（2.3），在点），（n j t x 进行Taylor 技术展开，有 )(][2][),(),(2221h O x u h x u ht u u t x u nj n j n j n j +∂∂-∂∂=-- )(][2][),(),(2221ττO tu h t u t u u t x u nj n j n j n j +∂∂-∂∂=-+ 利用对流方程（2.1），有22222)(x u a x u a t t u ∂∂=∂∂-∂∂=∂∂ 因此，在点），（n j t x 上，有差分方程（2.3）可以得到 )(2222222h O xu a ah x u a t u ++∂∂-=∂∂+∂∂ττ）（ 略去高阶误差项，得出第一微分方程近似22222xua ah x u a t u ∂∂-=∂∂+∂∂）（τ 要使上面的抛物型方程有意义，必须有0222>-τa ah 而上面的不等号改为等号，则就化为原来的对流方程。
在这两种情况下，相应的问题是适定的。
即第一微分近似适定的条件是0222≥-τa ah 由此得出差分格式（2.3）的稳定性条件是1≤λa ，其中hτλ=。
此结论与Fourier 方法分析得到的结论是一致的。
下面我们再来分析逼近对流方程（2.1）（仍设0>a ）的差分格式（2.2）的稳定性。
模仿上面的推导可以得到它的第一微分近似是22222x u a ah x u a t u ∂∂+-=∂∂+∂∂）（τ 可以看出22xu∂∂的系数小于0，因此第一微分近似是不适定的，从而推出差分格式（2.2）是不稳定的。
3 直接方法关于抛物型方程初值问题的差分格式的稳定性问题，可以用直接方法（或称矩阵方法）来研究。
下面用具体例子来说明这个方法的基本思想及使用方法。
考虑常系数扩散方程的初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==∈=>∈>∂∂=∂∂0,0),(),0(),0(),()0,(0),,0(,0,022t t l u t u l x x u x u t l x a x ua tu （3.1） 采用显示差分格式来逼近，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==-==-=>+-=--++0,01,2,1),(1,2,1,0,200002111n u u J j x u u J j n h u u u a u u J n j j n j n j n j n j n j τ （3.2） 其中l Jh =。
先把差分格式（3.2）写成1,2,1,)21(111-=+-+=-++J j u a u a u a u n j n j n j n j λλλ （3.3） 其中2hτλ=。
可以把（3.3）写成向量形式，即]00[]][21212121[][00122111121211Jnn J nJ n n n J n J n n u u a u u u u a a a a a a a a a a u u u uλλλλλλλλλλλ+----=--+-+-++ （3.4） 如果令Tn J n n n u u u u ),,,(121-=并考虑到00==nJ n u u ，则（3.4）式可以写成n n Au u =+1 （3.5）其中]21212121[λλλλλλλλλλa a a a a a a a a a A ----=（3.6）从显示格式出发，得到方程组（3.5）式，也可以理解为较为一般的形式，即对于逼近初值问题（3.2）的其他二层格式也可以化为（3.5）式的形式。
当然此时A 不是（3.6）式所表示的形式。
如果差分格式是二层隐式格式。
则A 为C B 1-这种形式。
因此（3.5）式这种形式可理解为既包含二层显示格式又包含二层隐士格式的较为一般的形式。
引入误差向量~nnn u u z -=，其中nu 是差分方程（3.5）的精确值（理论值），~nu 是差分方程（3.5）经数值求解得到的值（包括了舍入误差等）。
显然，nz 满足n n Az z =+1 （3.7）从而推出0z A z n n = （3.8）差分格式（3.5）的稳定性就要求0,≥≤n K z n （3.9）其中•为向量的2-范数。
由于02z A z n n •≤因此（3.9）式成立的充分必要条件为M A n≤2（3.10）上述采用2-范数，当然也可以采用其他类型的范数。
对于稳定性条件（3.10），可以仿Fourier 方法中的推导，得到一些结论：（1）谱半径条件τρM A +≤1)( （3.11）是差分格式稳定的一个必要条件，其中M 为常数。
（2）如果矩阵A 是一个正规矩阵，则（3.11）式也是格式稳定的一个充分条件。
下面讨论差分格式（3.5），（3.6）的稳定性。
矩阵（3.6）是对称矩阵，所以只要使条件（3.11）成立即可。
现在来计算A 的特征值。
令)1( J 阶方阵]011011110[=S 则A 可以表示为S a I a A λλ+-=)21(其中I 为)1(-J 阶单位矩阵。
由此可知，关键是求出S 的特征值和特征向量。
设γ和T J w w w w ),,,(121-= 分别为S 的特征值和特征向量，w Sw γ=写成分量的形式有⎩⎨⎧==-==+-++02,,1,0,0021J j j j w w J j w w w γ （3.12） 先求出j w ，再求出S 的特征值γ。
