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2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性

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第五部分收敛性和稳定性

第五部分收敛性和稳定性
种方法是稳定的。
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
2、条件稳定和绝对稳定
如果一个算法的稳定是在一定条件下才成立，则称这种稳定 是条件稳定。譬如，步长的选取以保证格式收敛的稳定性。 如果一个算法的稳定是任何条件下都成立，则称这种稳定是 绝对稳定。 3、稳定的意义 稳定性是判别一个算法可用与否的重要条件，在此基础上构 造快捷（收敛速度快！）的方法才是追求的目标。详细分析 在此省略。
第五部分 收敛性和稳定性
引子
微分方程在离散为差分方程来求解，当步长 h 0 时，
存在着差分方程的解 yn能否收敛到微分方程的准确解 y(xn )
的问题，这就是差分方法的收敛性问题。以及在差分方程的求 解过程中，存在着各种计算误差，这些误差如舍入误差等引起 的扰动，在误差传播过程中，可能会大量积累，以至于“淹没” 了差分方程的真解，这就是差分方法的稳定性问题。
即：对 0, 0 ，如果h 0 ，有
en y(xn ) yn
2、欧拉格式的收敛性分析 定理 如果初始条件是准确的，则欧拉格式是收敛的。
3、收敛的意义
收敛性是保证一个算法有效性的重要特征。量化就是 收敛速度（阶）或局部截断误差。
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
二、稳定性
1、定义
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
例如 初值问题
y ' 30 y(0) 1
y
,
x
[0,1.5]
的准确解为 y e30x
如果用欧拉格式、Runge-Kutt似解如下表所列
欧拉格式 Runge-Kuatta Adams
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
精确解
-3.27675104 1.8719102 2.41115106 2.8625210-20

9-5相容性收敛性与稳定性

9-5相容性收敛性与稳定性
的解？
相容性、收敛性
相容性 如果增量函数(x, y, h) 关于 h 连续且满足条件
(x, y,0) f (x, y)
则称单步法与问题（*）相容，也称问题（**）与（*）相容。
收敛性 如果某种数值方法对任意初值 y0 , x a,b 都有
lim
h0
yn
y(x)
则称该数值方法是收敛的。
x a nh
n1
(1
h
2 h 2
2
)
故改进 Euler 法的绝对稳定区域为
1 h 2h2 1
2
梯形公式旳稳定性
梯形公式用于模型方程则为
yn1
yn
h 2
(
yn
yn1)
1
1
h
2
h
yn
2
故其绝对稳定区域为
1 h
2
1 h
1
2
即
1 h 1 h
2
2
Re(h) 0
因此梯形公式是 A―稳定的。
龙格-库塔法旳稳定性
1.0000 1.0000
1.0000
2.0000 2.5000101 2.5000
4.0000 6.2500102 6.2500
8.0000 1.5625102 1.5626101
1.60001013.9063103 3.9063101
3.20231019.7656104 9.7656101
精确解 y e30 x
作业：P264 1（1），4，13 上机试验
h0
lim (1
h0
ha) h
eax
容易验证 y eax 是初值问题的解。
稳定性
例：考察初值问题

差分法

差分法

第三章 有限差分法函数()f x ，x 为定义在区间[]a b ,上的连续变 量。

将区间[]a b ,等分成n 份，令()h b an =-称为 步长，x 在这些离散点处的取值为x a ih i =+ ()i n =01,,,Λ称为节点。

函数()f x 在这些节点处的差值()()()()()()f x h f x f x f x h f x h f x h i i i i i i +---+--⎧⎨⎪⎩⎪ (5-1) 分别称为一阶向前、向后和中心差分，可以用它 们作为函数()f x 在x i 处的微分近似值。

这些差分 与相应x 区间的比值()()[]()()[]()()[]1112h f x h f x h f x f x h h f x h f x h i i i i i i +---+--⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ (5-2) 分别称为一阶向前、向后和中心差商，可以用它 们作为函数()f x 在x i 处的导数近似值。

完全类似 地可以定义高阶差商，例如常用的二阶中心差商()()()[]122hf x h f x f x h i i i +-+- (5-3) 可以作为函数()f x 在x i 处的二阶导数近似值。

§3.1 常微分方程初值问题的差分解法考虑电学中的一个问题：如图5-1。

研究 电容器上的电荷随时间的变化规律。

图5-1 RC 放电回路这个问题对应的微分方程及其定解条件为：d d Q tQ RC Q Q t =-=⎧⎨⎪⎩⎪=00(5-4) 这是一阶微分方程的初值问题，它的解析解为 Q Q e t RC =-0 (5-5)一、欧拉(Euler )折线法求解下列普遍形式的一阶微分方程的初值 问题：()[]()'=∈=⎧⎨⎪⎩⎪y f x y x a b y a y ,,0(5-6) 首先，将区间[]a b ,等分n 份，取值a x x xb n =<<<=01Λ，步长h x x i i =-+1。

偏微(03)相容性收敛性稳定性

偏微(03)相容性收敛性稳定性

1
2.1 有限差分格式的截断误差
u 2u a 2 , x R, t 0, 1.3 t x u x,0 g x , x R 1.4
n 1 un u j j

a
n n un 2 u u j 1 j j 1
h
2
0
(1.14)
扩散方程（1.3）的隐式差分格式（1.14）
n 1 j
Lh u u a u
n j
n j
n j 1
u
n j

(1 a )Iu aTu
n j
n j
a0 1 a , a1 a
Sun j
1 n un u j j

a
n un u j 1 j
h
0
2.1 有限差分格式的截断误差
T ( x j , tn ) Su( x j , tn ) Lu( x j , tn )
T x j , tn
不在边界上的任意一点 ( x j , tn )定义截断误差为


u( x j , tn1 ) u( x j , t n )

a
u( x j 1 , t n ) 2u( x j , t n ) u( x j 1 , t n ) h
2
(2.7)
u 2u a 2 , x R, t 0, 1.3 t x u x,0 g x , x R 1.4
1 n un u j j

a
n n un 2 u u j 1 j j 1
h2
T x j , tn
u( x j , tn1 ) u( x j , t n )

稳定性与收敛性分析方法

稳定性与收敛性分析方法

稳定性与收敛性分析方法稳定性和收敛性是科学研究中非常重要的概念和指标，用于评估一个系统、方法或算法的可行性和有效性。

在各个领域，包括数学、物理学、工程学等，稳定性和收敛性分析方法都起着关键的作用。

本文将介绍稳定性和收敛性的概念，并重点讨论在数值计算中常用的分析方法。

一、稳定性分析方法稳定性是指一个系统在输入或参数扰动下，输出的响应是否会趋于有界或者稳定的状态。

在数学建模、控制理论等领域，稳定性分析是评估一个系统的重要手段之一。

以下是一些常见的稳定性分析方法：1. Lyapunov 稳定性分析方法: Lyapunov 稳定性分析方法是一种基于Lyapunov 函数的稳定性判断方法。

通过构造一个满足特定条件的Lyapunov 函数，可以判断系统是否是稳定的。

2. Routh-Hurwitz 稳定性判据: Routh-Hurwitz 稳定性判据是一种基于判别式的稳定性分析方法。

通过构造一个 Routh-Hurwitz 判别式，可以得到系统的稳定性边界条件。

3. 极点配置法: 极点配置法是一种常用的控制系统设计方法，也可以用于稳定性分析。

通过选择合适的极点位置，可以实现系统的稳定性。

二、收敛性分析方法收敛性是指一个数值计算方法在迭代过程中，得到的结果是否趋于准确解。

在数值计算和优化算法中，收敛性是评估算法有效性的重要指标。

以下是一些常见的收敛性分析方法：1. 收敛准则: 收敛准则是一种用于判断迭代算法是否收敛的方法。

常见的收敛准则包括绝对误差判据、相对误差判据和残差判据等。

2. 收敛速度分析: 收敛速度是指迭代算法的收敛过程有多快。

常用的收敛速度分析方法包括收敛阶数的估计、收敛速度的比较等。

3. 收敛性证明: 在一些数值计算方法中，为了证明其收敛性，需要使用一些数学工具和技巧，如递推关系、数学归纳法等。

总结：稳定性和收敛性分析方法在科学研究和工程实践中具有重要的意义。

通过对系统的稳定性进行分析，可以评估其可靠性和安全性。

【文献综述】热传导方程差分格式的收敛性和稳定性

【文献综述】热传导方程差分格式的收敛性和稳定性

文献综述信息与计算科学热传导方程差分格式的收敛性和稳定性在实际研究物理问题过程中, 往往能给出问题相应的数学表达式, 但是由于实际物理问题的复杂性, 它的解却一般不容易求出. 由此计算物理应运而生, 计算物理是以计算机为工具, 应用数学的方法解决物理问题的一门应用性学科, 是物理、数学和计算机三者结合的交叉性学科. 它产生于二战期间美国对核武器的研究, 伴随着计算机的发展而发展.计算物理的目的不仅仅是计算, 而是要通过计算来解释和发现新的物理规律. 这一点它与传统的实验物理和理论物理并无差别, 所不同的只是使用的工具和方法. 计算物理早已与实验物理和理论物理形成三足鼎立之势, 甚至有人提出它将成为现代物理大厦的“栋梁”.在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观, 更有价值. 在实际求解方程时, 除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外, 在一般情况下, 当方程或定解条件具有比较复杂的形式, 或求解区域具有比较复杂的形状时, 往往求不到, 或不易求到其精确解. 这就需要我们去寻找方程的近似解, 特别是数值近似解, 简称数值解. 这里主要研究的是热传导方程.有限差分法是微分方程和积分微分方程数值解的方法. 其基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似, 积分用积分和来近似, 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组, 即有限差分方程组, 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解. 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.热传导的差分法是求解热传导方程的重要方法之一. 对于差分格式的的求解, 我们首先要关注差分格式的收敛性和稳定性. 对于一个微分方程建立的各种差分格式, 为了有实用意义, 一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程, 即相容性要求. 一个差分格式是否有用, 就要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解, 即收敛性的概念. 此外, 还有一个重要的概念必须考虑, 即差分格式的稳定性. 因为差分格式的计算过程是逐层推进的, 在计算第n ＋1层的近似值时要用到第n 层的近似值 , 直到与初始值有关. 前面各层若有舍入误差, 必然影响到后面各层的值, 如果误差的影响越来越大, 以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖, 这种格式是不稳定的, 相反如果误差的传播是可以控制的, 就认为格式是稳定的. 只有在这种情形, 差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解. 由Lax 等价定理告诉我们, 对于各适定的线性的初值问题, 对相容性的差分逼近来说, 稳定性则是差分方程的解收敛于微分方程的解的充分必要条件. 收敛是差分方程的本质要求, 稳定是差分方程的基本特性, 对于计算的问题来说, 数值稳定性事差分格式必须要具备的条件, 一个不稳定的差分格式, 即使其他方面有很多的优点, 也是不能用来计算的. 可见由于收敛性和稳定性的重要性, 对于他们的研究是非常具有价值的.热传导方程： 2222222.u u u u a t x y z ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 一维热传导方程的初边值问题：22200120(0,0),()(0),(),()(0).t x x l u u a x l t t x u x x l u t u t t ϕμμ===⎧∂∂==<<>⎪∂∂⎪⎪ =<<⎨⎪⎪⎪ = =>⎩用, , 及分别表示初边值问题的解及其偏导数及n j u n j u t ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭22nj u x ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭(,)u x t (,)u x t t ∂∂在点之值, 表示求解区域内网格节点. 当初边值问题的解在22(,)u x t x ∂∂(,)j n x t (,)j n x t 区域内部适当光滑时, 对任一区域内部的节点利用泰勒展开公式, 然后化简得(,)j n x t 到显示差分格式：1112200220,()()(1,,1),(),()(0,1,2,).n n nn n j j j j j j n n J U U U U U a t x U j x j J U n t U n t n ϕμμ++-⎧--+-=⎪∆∆⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪⎪⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎩这里由于差分方程的解与原初边值问题的解一般是不同的, 故用不同的记号表示.U u 明显的用上式近似热传导方程的初边值问题, 所忽略掉的项, 即截断误差是. 记 2()(())O t O x ∆+∆22()t a x λ∆=∆ 其隐式格式： 111110012(12),()(1,,1),(),()(0,1,2,).n n n n j j j j j n n J U U U U U j x j J U n t U n t n λλλϕμμ+++-+⎧-++-=⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎪⎩ 其中. 22()t a x λ∆=∆参考文献[1] 谷超豪, 李大潜, 陈恕行等. 数学物理方程[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2] 刘盾. 实用数学物理方程[M ]. 重庆: 重庆大学出版社, 1996.[3] 张锁春. 抛物型方程定解问题的有限差分数值计算[M ]. 北京: 科学出版社, 2010.[4] (美)哈伯曼. 实用偏微分方程[M ]. 北京: 机械工业出版社, 2007.[5] 陆金甫, 关治. 偏微分方程数值解法[M ]. 北京: 清华大学出版社, 2003.[6] K. W. Morton, D. F. Mayers. 偏微分方程数值解[M ]. 北京: 人民邮电出版社, 2006.[7] 戴嘉尊, 邱建贤. 微分方程数值解法[M ]. 南京: 东南大学出版社, 2002.[8] 徐琛梅. 一类非线性偏微分方程差分格式的稳定性分析[J ]. 江西科学, 2008,27(3) :227~230.[9] 张天德, 张希华, 王玮. 偏微分方程差分格式的构造[J]. 山东工业大学学报, 1997,26(2) :245~246.[10] P. Darania and A. Ebadian. A method for the numerical solution of integrodifferentialequations [J]. Applied Mathematics and Computation , 2007, 188(1): 657~668.[11] Yang Zhang. A finite difference method for fractional partial differential equation [J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 215(2):524~529.。

第五讲——显式差分和隐式差分(5)


c(n)
T1n n T2 T3n n T4 T n 5n T 6
n1 n1 n1 n n n sTi (2 2 s ) T sT sT (2 2 s ) T sT 1 i i 1 i 1 i i 1
a=zeros(135,135); for i=1:135 a(i,i)=1; end; for i=1:7 a(15*i+1,15*i+2)=-0.25; a(15*i+1,15*i+16)=-0.25; a(15*i+1,15*i-14)=-0.25; end for i=1:7 a(15*i+15,15*i+14)=-0.25; a(15*i+15,15*i+30)=-0.25; a(15*i+15,15*i)=-0.25; End a(1,2)=-0.25; a(1,16)=-0.25; a(121,122)=-0.25;
b=a^(-1); c=zeros(135,1); for i=121:135 c(i,1)=25;end d=b*c; s=zeros(11,17); for i=2:16 s(11,i)=100; end for i=1:9 for j=1:15; s(i+1,j+1)=d(15*(i-1)+j,1); end end
一般差分格式
Forward-Time Central-Space method Backward -Time Central -Space method
1/ 2
Crank-Nicolson 隐式差分格式
一种隐式差分格式的程序实现
1 求解区域：
2
3

差分方程稳定性PPT课件

则称 a是差分方程(1-1)的平衡点.
又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定
的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞),
则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且 仅当|a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
讨论 x* 的稳定
性
SUCCESS
THANK YOU
2020/9/29
补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk1 f (xk ) (1) 的平衡点及稳定性
(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的
根 (1)的近似线性方 xk1 f ( x*) f ( x*)( xk x*) (2) 程
b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
y
yk 1
yk
ryk (1
k
N
)
(1)
变量 代换
xk
r (r 1)N
yk
yk 1
(r
1) yk

第二章 有限差分法的基本概念


x
间距h > 0称为空间步长，间距τ > 0称为时间步长．
2 用Taylor级数展开方法建立差分格式
设 f ( x) 在 x0 的某个邻域 U ( x0 , δ ) 内具有直 到n + 1阶的导数，则 ∀x ∈ U ( x0 , δ ) 有 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + + f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) n + Rn ( x) n! Rn ( x)是余项，且Rn ( x) = o(( x − x0 ) n )( x → x0 )．
∫
xj +h 2
xj −h 2
[u (tn + τ , x) − u (tn , x)]dx
tn+1
∂u ∂u h = a ∫ [ (t , x j + 2 ) − (t , x j − h )]dt 2 tn ∂x ∂x 应用数值积分可得： [u (tn + τ , x j ) − u (tn , x j )]h ∂u ∂u h ≈ a[ (tn , x j + 2 ) − (tn , x j − h τ 2 )] ∂x ∂x
∂t = O(τ + h)
−(
∂u ( x j , tn )
我们也用“精度”一词说明截断误差． 一般，如果一个差分格式的截断误差Ｔ = O(τ q + h p )， 就说差分格式对时间t (τ )是q阶精度的， 对空间x(h)是p阶精度的． 特别，当p = q时，说差分格式是p阶精度的． 差分格式(1.13),(1.15),(1.17)都是对t (τ )一阶精度， 对x(h)二阶精度．而差分格式(1.11)是一阶精度格式．

差分方程模型的稳定性分析分析解析

分类号 学号密题 目（中、英文）作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）摘要微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。

它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。

而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。

而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。

本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。

关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性差分方程模型的稳定性分析AbstractDifference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation.Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）目录摘要 (1)Abstract (II)目录 ................................................................................................................................................ I II 引言 .. (1)1、差分方程的定义及其分类 (1)（1）差分算子： (1)2. 差分方程的求解与稳定性判断方法: (2)（1）差分方程的求解： (2)（2）.差分方程的平衡解稳定性判断方法： (4)3. 差分方程模型的应用： (4)3.1模型：种群模型 (4)3．11模型的引入与假设 (4)3．12线性差分方程模型的建立与求解 (5)3．13生态模型的平衡点及稳定性分析: (7)总结 (10)参考文献 (11)附录 (12)谢辞 (13)差分方程模型的稳定性分析咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）引言随着科学技术的不断发展，将数学思想融入实际生活解决社会问题变得非常普遍。

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n j
，而计算到n+100时
刻，（xj，tn+100）点的计算误差将发展到
r

1
100

n j

r100
nn j
，其他各节点的计算
误差为零，则若取r=0.8，则

n100 j

1.8100

n j

3.37
1025

n j
。
由此可以看出，这个计算误差必定会将差分方程精确解原来面
① 相容性是对求解区域内任意一点差分方程逼近于微分方程的
程度，相容性是有限差分算法（包括有限体积算法）首先必
须满足的有效性条件。
② 相容性要求对于求解区域内任意点 x j , tn ，在 t, x 同时趋近于0，
截断误差Rnj 趋近于0。如果 t, x 不是同时趋近于0或并不趋近于0，
(b)
由（b）式可以看出离散化误差方程在形式上和差分方程是完全 相同的，由此可以得到：
en1 j

enj

a
t x
(enj

e
n j 1
)

O(x,
t )

1

a
t x

enj

a
t x
en j 1

O(x,
t)
设a≥0， a t≤1，则0≤ a ≤1t，于是有：

t

2u x2
n j


1 2
2u t 2
t

1 6
3u t 3
t 2


(t
3
)


(x
2
)

n
j
•
当 t, x 0时，上等式右侧所有项都趋近0，差分方程趋近
于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。
•
关于差分方程相容性需要作以下说明：
x
x
en1 j

1
a
t x

enj
a t x
en j 1
O(x, t)
(c)

1

a
t x

max j
enj
a t max x j
enj
O(x, t)
式中
max
j
e
n j
表示在n层的所有节点上离散化误差
e nj绝对值最
大值，对于所有节点j有：
目完全淹没了，所求得差分方程数值解已经没有任何意义了，
因此，FTFS差分方程是不稳定的。
（2）对流方程FTBS差分格式的误差传播方程为：

n1 j


n j

r

n j

n j1

1
r

n j

r
n j1
(b)
当a＞0，a t x
1
时，

n1 j

max
j

n j
u unj
是离散化误差，而
r

u
n j

u
n j
就是舍入误差。根据
收敛性条件，当
lim
t 0
e
n j

0，差分方程收敛于微分方程。而
r
数学
x0
性质讨论，就属于稳定性所要讨论的范围。由此可知，稳定性是讨
论在计算过程中，某一时刻，某一点产生计算误差，随着计算时间
增加，这个误差是否能被抑制的问题。
• Lax定理：对于适定和线性的初值问题微分方程，若逼近它的差分方程和它
是相容的，则差分方程稳定性是差分方程收敛性的充分和必要条件。
• Lax定理可以形象地表示为：
定义：在某一个时刻tn存在计算误差

n，若在
j
tn1时刻满足：

n1 j

k

n j
或

n j
k

0 j
条件，则差分方程是稳定的。
这里定义：
1

n j





n j
2
x
2

2

是某种定义的范数。
下面我们用几个简单的例子来说明差分方程稳定性概念。
（1）对流方程FTFS差分方程为：
差分格式稳定性有两种不同的形 式：有条件稳定和无条件稳定。
2.4.4 赖克斯(Lax)定理
• 我们已经讨论了差分方程稳定性和收敛性。稳定性是反映差分方程在时间
进程上的特性，收敛性是反映差分方程空间位置上的特性，它们都体现了
差分方程内在性质，都是十分重要的基本概念。那么，差分方程收敛性和
稳定性之间存在什么关系呢？Lax定理给出了这个问题的答案。
关于差分方程收敛性需要作以下说明： (1) 差分方程收敛性表示差分方程数值解和微分方程精确解
逼近程度，只有在差分方程收敛于微分方程时，差分方 程解才可能是微分方程精确解。 (2) 差分方程相容性是差分方程首先要满足的，差分方程相 容性是收敛性的必要性条件，但并不是充分条件。差分 方程相容性并不能保证差分方程数值解一定收敛于微分 方程精确解。若差分方程不相容，则数值解肯定不收敛 微分方程的精确解。
t
1。但是，对于
x
不同的a，Δt，Δx，FTBS差分格式的稳定条件是不同的（见
图b）。

n1 j


n j
r

n j

n j1

1
r

n j

r
n j1
(b)
通过对（b）式的数值分析可知：
当a=1，Δx=0.1，r=0.8，则有：
u
n1 j

0.2u
u j

u
n1 j

u
n j

r
u
n j1

u
n j
其中 r

t x
。设在n时刻计算误差为
n j
，n+1时刻计算误差
为
n1 j
，则计算误差传播方程为：

n1 j

r 1

n j

r
n j 1
(a)
可以采用直观的数值试验法来分析误差传播规律。
在（a）式中设在tn时刻xj的计算误差为
2.4.2 收敛性（Convergence ）
差分方程收敛性是讨论当 t, x 0 时，差分方程的解和微分 方程的解是否一致性的问题，也就是讨论差分方程的解和微分
方程的解的逼近程度。
定义1：差分方程
Lunj 0
的数值解为
u
n j
，微分方程的精确
解为
u
，它们之间的误差用
e
n j
表示，则
enj u unj 0 称
粗看起来，差分方程相容性要求时，差分方程逼近于微分 方程，似乎差分方程数值解也应该收敛于微分方程精确 解。事实上，当我们在证明相容性时，已经假定了差分 方程数值解就是微分方程精确解，在对微分方程进行展 开时，截断误差中已经忽略了离散化误差的存在。因此， 差分方程相容性并不能保证其收敛性。
(3) 差分方程同样也有两种不同形式的收敛性：有条件收敛 和无条件收敛。
n
j
x3


(x4
)
un j 1

u
n j


u x
n j
x

1 2

2u x2
n
j
x2

1 6

3u x3
n
j
x3

(x4
)
u u 将
u
n1 j
、
nj 1和
n j 1
代入FTCS格式中，即可得到：
u
为离散化误差。
定义2：节点 xp , t p 为微分方程求解区域 内任意一点，当
当
x xp,t tp
时，差分方程数值解
u
n j
趋近于微分方程
精确解
u
，即
enj

u

u
n j

0
，则差分方程收敛于微分方程。
差分方程收敛性有两种证明方法，直接证明法和数值试验法。
一、直接证明法
对流方程 u a u 0 的FTBS差分格式为： t x
计算力学基础
第二章 有限差分方法
2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性
一个微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么， 我们要问，对于这些不同的差分方程是否都同样有效，同样可靠，而 且能得到同样的计算结果呢？
答案是否定的。事实上，不同的差分方程和原方程有完全不同的 对应关系，它们具有各自不同的性质，因此，数值结果也完全不同。 在这些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的；些差分方程只有 在一定的条件下是有效的、可靠的；有些差分方程则是完全无效的、 不可靠的。所以，如何判断和分析差分方程有效性和可靠性就成为非 常必要和现实的问题了。
0.8u
n；
j1
当a=1，Δx=0.1，r=1.0，则有：
u
n1 j

u
n j1
；
当a=1，Δx=0.1，r=2.0，则有：
u
n1 j

u
u j

2u
n j1
。
图b中给出了上述不同条件下差分方程计算误差的图解。从图中 可以发现，当r=1.0时，差分方程解和微分方程解是一致的；当 r=0.8时，在差分方程解的两端有耗散现象，当r=2.0时，差分方 程解会出现振荡，并且在t=nΔt继续增加时，振荡也继续加剧， 直到计算完全失败。 数值分析表明，FTBS差分方程只有在r 1.0时计算才是稳定，当r ＞1.0时差分方程计算是不稳定。