欧式看涨期权定价中差分格式的稳定性分析

欧式期权价格的Monte-Carlo模拟
周心莲
【期刊名称】《《科技创业月刊》》
【年(卷),期】2007(20)8
【摘要】采用Monte-Carlo模拟方法对欧式看涨期权价格进行了数值实验模拟,把对偶变量(AV)方差下降技术运用于模拟试验中,并用标准MC方法模拟出的结果与AV法模拟出的结果进行比较,发现AV方法是有效的,能显著地降低方差。

【总页数】2页(P33-34)
【作者】周心莲
【作者单位】武汉理工大学应用数学系湖北武汉 430070
【正文语种】中文
【中图分类】F830.9
【相关文献】
1.欧式期权定价的Monte-Carlo方法 [J], 张丽虹
2.基于异质理念的欧式股票期权价格模型 [J], 郭文英;谢飞
3.欧式看跌期权价格的计算方法:计算机模拟与比较 [J], 代维
4.G-布朗运动环境下欧式期权价格数值模拟 [J], 陈毛毛; 薛红; 王琪
5.G-布朗运动环境下欧式期权价格数值模拟 [J], 陈毛毛;薛红;王琪
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欧式看涨期权定价的数值模拟
欧式看涨期权定价的数值模拟
作者：郭尊光;仉志余
作者机构：中北⼤学理学院,太原030051;太原⼯业学院理学系,太原030008;太原⼯业学院理学系,太原030008
来源：运城学院学报
ISSN：1008-8008
年：2011
卷：029
期：002
页码：21-23
页数：3
中图分类：O242.1
正⽂语种：chi
关键词：期权;对冲;⽆套利原则;有限差分
摘要：主要研究⽀付红利的欧式看涨期权定价的数值模拟问题.对⽀付红利的欧式看涨期权的模型作了推导,并通过变量代换得到满⾜终端条件的常系数反抛物⽅程.我们⽤时间向前差商和空间中⼼差商得到欧式看涨期权的差分格式,对⼀定条件下格式的稳定性进⾏了讨论.并利⽤matlab作出欧式看涨期权在各个时期不同股票价格的价值图像.。

第九章期权定价的有限差分方法在本章中，我们将给出几个简单的例子来说明基于偏微分方程（PDE）框架的期权定价方法。

具体的方法的是利用第五章中讲述的有限差分方法来解决Black-scholes偏微分方程。

在9.1节中，我们会回顾衍生品定价的数值解法以及指出如何利用适当的边界条件来模拟一个特定的期权。

在9.2节中我们将会应用简单的显式（差分）方法来求解一个简单的欧式期权。

正如你已熟知的那样，这种方法只能解出一些可以从金融角度来解释的不稳定的数值解。

在9.3节中我们将可以看到使用完全的隐式方法可以解决这种不稳定问题。

在9.4节中我们将介绍Crank-Nicolson方法在障碍期权定价中的应用，它可以看做是一种显式与完全隐式方法的混合。

最后，在9.5节中，我们会看到迭代松弛方法可以用于解决使用全隐式方法来解决美式期权定价时由于存在提前执行的可能性而导致的自由边界问题。

9.1 使用有限差分法解BS方程在2.6.2节中，我们给出了一个标的资产在时间t的价格为)(tS的期权，该期权的价格是一个函数),S(tf满足偏微分方程(tSf，且),（9.1）通过不同的边界条件可以让这个方程刻画不同的期权的特征。

在某些地方可能因为假设的改变或者对路径依赖的改变而导致方程式的具体形式改变，但是此处仅仅作为一个起点，帮助读者了解如何应用基于有限差分方法来解决期权定价的问题。

正如我们在第五章中遇到的情况那样，要用有限差分方法来解偏微分方程，在此处我们必须建立资产价格和时间的离散网格。

设T是期权的到期日，而Smax是一个足够大的资产价格，在我们所考虑的时间范围内，)(tS的数值不能超过Smax。

设定Smax是因为偏微分方程的区域关于资产价格是无边界的。

但是为了达到计算的目的，必须要求它是有界的。

Smax相当于+∞。

网格通过点(S,t)取得，其中(S,t)满足δ,M=S=SS，Sδ，Sδ2，……,maxδ。

N=t=t, tδ，tδ22，……,T本章中使用网格符号为,我们回顾一下（9.1）方程式的几种不同解法：向前差分向后差分中心（或对称）差分对于第二个差分式子，有至于究竟采用哪种方法进行离散化，我们将在后面的实际操作过程中对显式和隐式的方法作出详细的阐述说明。

跳跃-扩散模型资产定价公式的数值计算方法张鸿雁;李强;张志【摘要】假定资产价格变化过程服从跳跃-扩散过程,那么基于它的欧式期权就满足一个偏积分-微分方程(PIDE),本文利用差分法来离散这个PIDE方程,用两种迭代方法得到方程的数值解:基于雅可比正则分裂法和预条件共轭梯度法.【期刊名称】《经济数学》【年(卷),期】2010(027)002【总页数】6页(P51-56)【关键词】跳跃-扩散模型;差分法;FFT算法;欧式看涨期权【作者】张鸿雁;李强;张志【作者单位】中南大学,数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083;中南大学,数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083;中南大学,数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083【正文语种】中文【中图分类】O241.82美国芝加哥大学教授Black和Scholes[1]在1973年发表了“The Pricing of Op tions and Corpo rate Liabilities”一文,提出了著名的Black-Scholes期权定价公式,在B-S公式中,假设股票的价格过程是连续的几何布朗运动,但是,在现实市场中,一些突发情况会引起股票价格发生跳跃.基于上述考虑,M erton在1976年首先提出了跳跃-扩散模型,在M erton模型中,资产价格在没有受到外界重大影响时服从布朗运动,当资产价格受到突发事件的影响而发生跳跃时,就用跳跃过程来描述.本文首先介绍 PIDE[2]的具体形式,在Merton模型下对其差分离散,得到一个Toep litz矩阵方程,用两种方法解这个矩阵方程,一是基于雅可比正则分裂的迭代方法[3-4],二是预条件共轭梯度方法.考虑到 Toep litz[5]矩阵的特殊性,在迭代的过程中,将其植入到一个循环矩阵中,利用循环矩阵和向量的乘积来计算 Toep litz和向量的乘积,而循环矩阵向量乘积可以通过快速富里叶变换(FFT)快速计算,这样就加快了迭代速度.共轭梯度法是解决 Toep litz线性方程组的主要方法之一,在利用共轭梯度法的情况下,快速傅里叶变换的作用是加快共轭梯度法的迭代速度,但不改变其收敛速度,共轭梯度法的收敛速度取决于线性方程组系数矩阵的条件数,基于此考虑,本文采用预条件共轭梯度算法,选用R.Chan优化循环预条件器[6],预条件器的使用是为了改善系数矩阵的条件数,以便提高收敛速度.假设市场是完备无套利的市场,在跳跃-扩散模型下,资产的价格变化过程服从随机微分方程:其中,υ(t)是漂移率,σ(t)是波动率,ω(t)标准布朗运动,d q(t)是泊松过程,d q(t)=0的概率是1-λd t,d q(t)=1的概率是λd t,λ是泊松到达强度,η-1是由 S跳跃到Sη的跳跃幅度函数,是一个随机变量,用ζ表示平均跳跃幅度E(η-1),泊松过程d q(t)与布朗运动ω(t)是相互独立的.由文献[7]可知,在上述假设下,基于资产价格S与时间τ的未定权益V(S,τ)满足PIDE:这里,对于时间的偏导,当m≥2时,用向后的二阶差分来近似对时间的微分,当m=1时,用向后的一阶差分近似;对于空间的偏导,用中心差分来近似.定义向量um=(um1,…,umn)T.由初始条件,初始向量:由式(13)～(16),则式(5)的有限差分离散能写成矩阵形式:定义1 假设矩阵A可用分裂成形式:其中,Q是单调矩阵(Q-1≥0)且R≥0,则称 A可以正则分裂.对于每一个形如式(21)的分裂,都存在相应的迭代方法:若A是单调矩阵,则迭代式(22)是收敛的(ρ(Q-1R)<1),证明过程见文献[8].给出雅可比正则分裂的形式:(A)A=Q1-R1,其中Q1是A的对角矩阵.如果满足:则分裂(A)是正则的,且证明过程见文献[9].在有限差分法中,若:则可以得到一个精确稳定的解.若保持 k/h固定不变而让h→0,则存在一个 h0>0使得在h≤h0时条件(i)～(iv)同时成立.本文中系数矩阵A是一个 Toeplitz矩阵,现选择R.Chan优化循环预条件器[10]加快迭代过程中的收敛速度.预条件器C:其中,是矩阵A中的元素,j=0,…,n-1.在所有的 n阶循环矩阵中,C极小化 Frobenius范数‖C-T‖F,在这个意义下,C被视为A的一个近似矩阵.在预条件共轭梯度法下,每一次迭代都要计算矩阵向量积Ax 和C-1y(x和y是n维向量),可以利用快速富里叶变换(FFT)快速计算.C可以被n阶离散富里叶矩阵对角化,即其中其中,τ=T-t,η=eσ2J-1,σ2m=σ2+mσ2J/τ,rm=r-λη+m log(1+η)/τ,VBS表示欧式看涨期权的价格.用M atlab编程进行数值试验.在所有的实验中,式(22)的迭代停止时刻由前后两个迭代矩阵之间的差的l-范数决定,即当‖Vl+1-Vl‖ <ε时停止,这里取ε=10-8.在M erton模型中用FD和BDF2对空间与时间进行差分,并用三对角分裂法处理Toep litz矩阵,到期时刻 T=1,截断点 x＊=4,r=0,波动率σ=0.2,跳跃方差σJ=0.5,跳跃强度λ=0.1,协定价格 K=1,xK=log(K).结果为:在M erton模型[12]下做数值实验,当μJ=0时,欧式看涨期权有解:由表1和表2,随着差分节点数的增加,计算的误差越来越小,从空间差分节点数129开始,差分节点数每增加一倍,雅克比正则分裂迭代算法的计算误差就下降一个数量级,对于预条件共轭梯度法,当差分节点数从65增加到129时,计算误差下降了两个数量级,而在节点数从129增加到1 025的过程中,误差都是在同一数量级内减少,这说明预条件共轭梯度法的收敛速度很快.从计算的精确度来说,雅克比正则分裂法和预条件共轭梯度法相差不大,但是从计算的速度来看,后者要比前者快.本文讨论了当市场有跳跃时欧式期权定价的数值计算方法,期权的价格是一个PIDE 方程的解,本文用差分法对这个方程进行离散,得到一个 Toep litz矩阵系统,本文用两种方法来处理这个系统,由表1和表2可以看出,二者在计算精度上差别不大,预条件共轭梯度法比雅可比正则分裂法的迭代结果误差更小些,而且迭代过程中的迭代次数更少,分析这些差别的原因,是由于预条件共轭梯度法对系数矩阵进行了处理,使系数矩阵的条件数减小,因而加快了迭代的收敛速度.Keywords jump-diffusion model;finite differences;FFT algo rithm;European call op tion【相关文献】[1] BLACK F,SCHOLESM.The p rice of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(3),637-654.[2] AN ITA Mayo.Methods for the rapid solution of the p ricing PIDE in exponential andmerton models[J].Journal of Computational and Applied Mathematics:2008,22(34):128-143.[3] CONT R,VOLTCHKOVA E.A finite difference scheme foroption pricing in jump-diffusion and exponential levymodel[J].SIAM J 2005,43(67):1596-1626.[4] 杨向群,吴峦东.带跳的幂型支付欧式期权定价[J].广西师范大学学报:自然科学版,2007,25(34),56-58.[5] STANG G.A p roposal fo r toep litz calculations[J].Stud Appl M ath,1986,74(39):171-176.[6] CHAN T.An optimal circulant p reconditioner for Toeplitzsystems[J].SIAM,J,Sci,Stat,Comput,1988,9(13):766-771.[7] BRIAN T M,NA TAL IN IR,RUSSO G.Implicit-explicit numerical schemes for jump-diffusion p rocess[J].Technical Report,2004,38(37):35-45.[8] YOUNG D M.Iterative solution of large system s[J].New Yo rk:Academic,1971,5(23):25-35.[9] ARIEL Almendral,CORNEL ISW.Oosterlee.Numercial valuation of optionswith jumps in the underlying[J].Applied Numercial Mathematics,2005,53(29):1-18.[10]CHAN R,NAGY J,PLEMMONSR.Circulant p reconditioned:toeplitz least squares iterations[J].SIAM JMatrix Appl,1994,15(8):80-97.[11]BRIAN IM,Numericalmethods for option p ricing in jump-diffusionmarkets[D].Universita Degli Studi Di Roma“La Sapienza”Dottor to Di Ricerca in Miatematica Per Le Applicazioni Economiche e Finanziarie,2003.[12]ANDERSEN L,ANDREASEN J.Jump-diffusion p rocess:volatility smile fitting and numericalmethods for option p ricing[J].Rew.Derivatives Res,2000,4(17):231-262. Abstract The paper assume that the p rice p rocessof the assets is a jump-diffusion p rocess,then,the value of European op taon satisfies a general partial integro-differential equation(PIDE)under this assump tion.The equation was discretized by difference formula.The result was obtained by two iterative methods:Jacobi regular splitting method and p reconditioned conjugate gradient method.。

一、欧式看涨期权的显性差分clearS0 = 50;K = 50;r = 0.1;T = 12;sigma = 0.2;Smax = 100;dS=1;dt=0.001;%建立网格，并且在必要时调整增量M=round(Smax/dS);dS=Smax/M;N=round(T/dt);dt=T/N;matval=zeros(M+1,N+1);vetS=linspace(0,Smax,M+1);veti=0:M;vetj=0:N;%建立边界条件matval(:,N+1)=max(vetS-K,0); % 在时间到期时的期权价格matval(1,:)=0; %在S=0时的期权价格matval(M+1,:)=dS*M-K*exp(-r*dt*(N-vetj)); %在S=Smax时的期权价格%建立三对角矩阵a=0.5*dt*(sigma^2*veti-r).*veti;b=1-dt*(sigma^2*veti.^2+r);c=0.5*dt*(sigma^2*veti+r).*veti;%求解方程for j=N:-1:1for i=2:Mmatval(i,j)=a(i)*matval(i-1,j+1)+b(i)*matval(i,j+1)+c(i)*matval(i+1,j+1);endend %返回价格，有可能在网格外线性插值生成price=interp1(vetS,matval(:,1),S0)二、欧式看跌期权的显性差分clearS0 = 50;K = 50;r = 0.01;T = 12;sigma = 0.2;Smax = 100;dS=2;dt=0.01;%建立网格，并且在必要时调整增量M=round(Smax/dS);dS=Smax/M;N=round(T/dt);dt=T/N;matval=zeros(M+1,N+1);vetS=linspace(0,Smax,M+1);veti=0:M;vetj=0:N;%建立边界条件matval(:,N+1)=max(K-vetS,0);matval(1,:)=K*exp(-r*dt*(N-vetj));matval(M+1,:)=0;%建立三对角矩阵a=0.5*dt*(sigma^2*veti-r).*veti;b=1-dt*(sigma^2*veti.^2+r);c=0.5*dt*(sigma^2*veti+r).*veti;%求解方程for j=N:-1:1for i=2:Mmatval(i,j)=a(i)*matval(i-1,j+1)+b(i)*matval(i,j+1)+c(i)*matval(i+1,j+1);endend %返回价格，有可能在网格外线性插值生成price=interp1(vetS,matval(:,1),S0)。

美式期权定价的C-N差分格式分析
李海蓉
【期刊名称】《廊坊师范学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】2012(012)006
【摘要】金融衍生物就是一种风险管理的工具，而期权就是最重要的金融衍生工具之一，它在防范和规避风险以及投机中起着非常重要的作用。

期权理论的核心就是期权定价问题。

由于美式期权与欧式期权不同，它不可能得到解的显式表达式，所以研究它的数值解以及解本身的一些性质就显得尤为重要。

而对美式看跌期权的Crank—Nicolson格式推导表明，用Crank-Nicolson格式可以得到有效的数值解。

【总页数】3页(P11-12,14)
【作者】李海蓉
【作者单位】宁夏大学,宁夏银川750021
【正文语种】中文
【中图分类】N029
【相关文献】
1.美式期权定价的四阶指数型差分格式分析 [J], 李海蓉;
2.美式期权定价的C-N差分格式分析 [J], 李海蓉
3.美式期权定价的指数型差分格式分析 [J], 李海蓉
4.美式期权定价的四阶指数型差分格式分析 [J], 李海蓉
5.美式期权定价的隐式差分格式分析 [J], 李海蓉
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毕业论文欧式期权定价理论及其数值计算方法摘要随着全球金融市场的迅猛发展，期权也越来越受到很多人的关注，有必要对期权进行更加深入的研究。

前人已经对欧式期权定价进行了很深入的研究，在1973年Fischer Black 和Myron Scholes 建立了看涨期权定价公式并因此获得诺贝尔学奖。

本文对欧式期权的定价的讨论主要在其定价模型和数值计算方法两个方面，探讨其理论知识和进行实例分析，并得出简单的结论。

本文将从以下六个方面讨论。

第一：介绍问题的背景和意义，先前的研究成果以及本文框架；第二：讨论期权的基础知识，了解期权损益和定价界限；第三：研究二项式模型，由浅入深的分别给出股价运动一期、二期和多期的欧式期权定价公式；第四：研究Black-Scholes 模型，通过求解Black-Scholes 方程得到Black-Scholes 公式()12(,)()()r T t C S t SN d Xe N d --=-，并探讨Black-Scholes 模型和二项式模型的联系，即得到波动率σ，就可以求出与之相匹配的二项式模型中的u ，d 和q ；第五：用数值计算方法求解欧式期权定价，分析了二叉树图法和有限差分法，有限差分方法又包括内含有限差分方法、外推有限差分方法及Crank-Nicolson 差分方法。

两种数值方法都要求得到末期的期权值来推出初期的期权值，然后进行实例分析进行应用，并用计算机语言把数学内容表示出来，实现数学知识与计算机语言的结合。

第六：通过以上的内容得出一些结论。

本文的重心是基于对期权定价的模型和数值方法的探讨和分析，加以实例辅助突出其应用性，不足之处在于理论的突破性不大。

关键词 欧式期权定价 二项式模型 Black-Scholes 模型 有限差分 二叉树图目 录1 前言 (1)1.1 选题的背景和意义 (1)1.2 前人的研究成果 (2)1.3 论文的研究框架 (3)2 期权基本理论 (3)2.1 期权的相关术语 (3)2.2 期权的损益与期权价格的界限 (4)2.2.1 期权的损益 (4)2.2.2 欧式期权价格的界限 (5)3 二项式模型 (6)3.1 二项期权定价模型介绍 (6)3.2 欧式期权定价模型 (7)3.2.1 一期模型的欧式看涨期权定价 (7)3.2.2 二期模型的欧式看涨期权定价 (9)3.2.3 多期二项式期权定价公式 (10)4 Black-Scholes模型 (12)4.1 股票价格的行为模式 (12)4.2 历史回顾 (13)4.3 Black-Scholes方程 (14)4.4 Black-Scholes公式(欧式看涨期权的定价) (15)4.5 二项式模型和Black-Scholes的模型的关系 (17)5 欧式期权定价的数值方法 (18)5.1 二项式模型的数值计算 (18)5.1.1 二叉树图方法 (18)5.1.2 实例分析 (19)5.2 Black-Scholes公式(欧式期权定价)的数值计算 (23)5.2.1 有限差分方法 (23)5.2.2 实例分析 (26)6 总结 (28)6.1 本文结论 (28)6.2 展望未来 (30)致 (31)参考文献 (32)Abstract (33)附录 (34)本科专业毕业论文成绩评定表 (39)1 前言1.1 选题的背景和意义期权交易的出现已达几个世纪之久。

差分方法的稳定性之青柳念文创作对于一阶线性双曲线型方程：其中初值()01,00,0x u x x ≤⎧=⎨>⎩取空间长度h=0.01，对于分歧的差分格式（迎风格式，Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff 格式，Beam-Warming 格式以及蛙跳格式）及分歧的网格比（时间长度与空间长度比hτλ=）停止迭代计算.通过将计算成果与切确解停止比较，来讨论和分析差分格式的稳定性.这种格式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下：运算格式： ()1111(1),01,0n n n j j j n n n j j j u a u a u a u a u a u a λλλλ+-++=-+>=+-<2.2 Lax-Friedrichs 格式运算格式： ()()111111122n n nj j j u a u a u λλ++-=-++ 2.3 Lax-Wendroff 格式这种格式构造采取Taylor 级数展开和微分方程自己得到运算格式： ()()()()111111122n n n n j j j j a a ua u a a u a u λλλλλλ++-=-++-++ 2.4 Bean-Warming 格式（二阶迎风格式）借助于双曲型方程的解在特征线上为常数这一事实，可以构造出多种差分格式.设在n t t =时间层上网格点A,B,C 和D 上u的值已给定，要计算出在1n t t +=时间层上网格点P 上的u 的值.假定C.F.L 条件成立，过P 点特征线与BC 交于点Q ，故微分方程解的性质知()()u P u Q =.对于()u Q ：① 用B,C 两点值停止线性插值，得到的是迎风格式; ② 用B,D 两点值停止线性插值，得到的是Lax-Friedrichs 格式；③ 用B,C 和D 三点值停止抛物型插值，得到的是Lax-Wendroff 格式.如果我们采取A,BC 三点来停止抛物型插值，可以得到 这就是Beam-Warming 格式.2.5 蛙跳格式运算格式： ()1111n n n n j j j j u u a u u λ+-+-=--由于它是个三层格式，需要先用一个二层格式计算出t τ=那一层的值1j u .为了坚持精度的阶数相同，一般我们用Lax-Wendroff 格式或Beam-Warming 格式.2.6 方针点范围跟踪格式（迎风格式的改进）其中[]a λ是a λ取整数部分，{}[]a a a λλλ=-.下面的分析将会得到这是一个无条件稳定布局.稳定性分析：记n ijkh j nu v e =，则()()11i j kh n ijkh n ijkh n ijkh n v e v e a v e v e λ-+=--，得()111n n ikh v v a e λ+-⎡⎤=--⎣⎦ 即()()(),1111cos sin ikh G k a e a kh a i kh τλλλ-=--=---. 则在1a λ≤时，有(),1G k τ≤，格式稳定.3.2 Lax-Friedrichs 格式稳定性分析： 则在1a λ≤时稳定.3.3 Lax-Wendroff 格式稳定性分析： 则在1a λ≤时稳定.3.4 Beam-Warming 格式稳定性分析： 则在2a λ≤时稳定.3.5 蛙跳格式稳定性分析：命()1111n n n n j j j j n n j ju v a u u v u λ++-+⎧=--⎪⎨=⎪⎩ 令[],TU u v =则()2sin 1,10a i kh G k λτ-⎛⎫= ⎪⎝⎭则1a λ<时稳定.3.6 方针点范围跟踪格式 稳定性分析：()[]{}(),11i a kh ikh G k e a e λτλ--⎡⎤=--⎣⎦，其中[]1i a kh e λ-=，{}()111ikh a e λ---≤的成立条件为1a λ≤.然而{}1a λ≤恒成立，故无条件稳定.。

毕业设计说明书欧式看涨期权设计[摘要]本文主要介绍了期权分析的原理及相关应用，简要地介绍了利用欧式看涨期权来计算股票及期权的涨幅空间，通过观察数据的变化来达到对股市和期货市场的预估及评判。

[关键字]投资期权、期权分析、欧式看涨将期权理论引入资本投资决策的理论研究越来越引起国内有关学者的关注。

但从目前研究的情况看，国内学者大多否认以NPV法为核心的传统投资决策方法，而从其他途径寻求解决问题的方法。

相反，近年来国外学者却并不完全否认传统的投资决策方法，而是将其与期权理论结合，对其进行改进，从而更好地解决资本投资决策问题。

这种改进方法的关键是确定基于期权理论的资本投资决策准则。

本文将利用资本投资决策的期权特性来对投资决策重新进行评估，从而为投资决策提供依据。

1现阶段投资决策的特征分析1.1投资的不可逆性所谓投资不可逆性是指当环境发生变化时，投资所形成的资产不可能在不遭受任何损失的情况下变现。

资产专有性是造成投资不可逆的重要原因之一。

因为资本所形成的资产都存在一定程度的专有性，而专有性资产在二级市场上的流动性较差。

换言之，这些具有某个企业或行业特性的资产很难为其他企业或行业使用，投资后很难收回而变为沉没成本。

现阶段投资的不可逆性更加突出，每个企业都想开发出具有市场独占性的产品，以获得超额利润。

这种产品往往是以前是市场从未出现的，对其的投资也是前所未有的。

所以新产品的开发一旦失败，其投资不可收回也就不言而喻了。

例如：银根紧缩可能使国内外投资者无法出售资产以收回他们的资金。

1.2投资的可推迟性所谓投资的可推迟性是指投资项目在一段不很长的时间内可以被推迟的可能性。

也就是说投资机会是可以选择的。

多数投资选择并不是那种“now or never”的机遇，即“要么现在投资，要么永远不投资”。

这是说投资者在投资时机上有一定的回旋余地。

投资者可以推迟行动以获得有关未来的更多信息。

在大多数情况下，只要某项投资存在可推迟性，则在面临外生风险的情况下，企业就可能通过推迟现在的投资以期获得更多的收益。

Liaoning Normal University教师指导本科生科研训练项目研究论文题目：期权定价的有限差分法学院：数学学院专业：数学与应用数学（金融数学）班级序号：6班号学号：**************学生姓名：***指导教师：***2011年12月期权定价的有限差分法学生：刘小芹指导教师：包振华数学学院数学与应用数学(金融数学)专业2008级摘要：期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。

第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世。

B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。

不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。

现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。

这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。

有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用，该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

关键词：期权定价；有限差分方法；Abstract: Hedging is one of the important reasons for the development of the financial derivatives. When we use derivatives to hedge the risk for other asset or derivatives, it is the nature method to compute some common insensitive index for hedging tool and the underlying asset，then we can construct the portfolio. In this paper we take into account the options, which is called the dynamic hedging. Most investors use some complex hedging strategies in order to reduce the risk they faced. They try to make their portfolio immune to the small changes in the underlying asset in the short future, which is the so called Delta hedging.Keywords: Hedging; Delta; risk neutral hedging1、引言期权，也即期货合约的选择权，指的是其购买者在交付一定数量的权利金之后，所拥有的在未来一定时间内以一定价格买进或卖出一定数量相关商品合约（不论是实物商品，金融证券或期货）的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。

第九章期权定价的有限差分方法在本章中，我们将给出几个简单的例子来说明基于偏微分方程（PDE）框架的期权定价方法。

具体的方法的是利用第五章中讲述的有限差分方法来解决Black-scholes偏微分方程。

在9.1节中，我们会回顾衍生品定价的数值解法以及指出如何利用适当的边界条件来模拟一个特定的期权。

在9.2节中我们将会应用简单的显式（差分）方法来求解一个简单的欧式期权。

正如你已熟知的那样，这种方法只能解出一些可以从金融角度来解释的不稳定的数值解。

在9.3节中我们将可以看到使用完全的隐式方法可以解决这种不稳定问题。

在9.4节中我们将介绍Crank-Nicolson方法在障碍期权定价中的应用，它可以看做是一种显式与完全隐式方法的混合。

最后，在9.5节中，我们会看到迭代松弛方法可以用于解决使用全隐式方法来解决美式期权定价时由于存在提前执行的可能性而导致的自由边界问题。

9.1 使用有限差分法解BS方程在2.6.2节中，我们给出了一个标的资产在时间t的价格为)(tS的期权，该期权的价格是一个函数),S(tf满足偏微分方程(tSf，且),（9.1）通过不同的边界条件可以让这个方程刻画不同的期权的特征。

在某些地方可能因为假设的改变或者对路径依赖的改变而导致方程式的具体形式改变，但是此处仅仅作为一个起点，帮助读者了解如何应用基于有限差分方法来解决期权定价的问题。

正如我们在第五章中遇到的情况那样，要用有限差分方法来解偏微分方程，在此处我们必须建立资产价格和时间的离散网格。

设T是期权的到期日，而Smax是一个足够大的资产价格，在我们所考虑的时间范围内，)(tS的数值不能超过Smax。

设定Smax是因为偏微分方程的区域关于资产价格是无边界的。

但是为了达到计算的目的，必须要求它是有界的。

Smax相当于+∞。

网格通过点(S,t)取得，其中(S,t)满足δ,M=S=SS，Sδ，Sδ2，……,maxδ。

tN=t, tδ，tδ22，……,T=本章中使用网格符号为,我们回顾一下（9.1）方程式的几种不同解法：向前差分向后差分中心（或对称）差分对于第二个差分式子，有至于究竟采用哪种方法进行离散化，我们将在后面的实际操作过程中对显式和隐式的方法作出详细的阐述说明。

时间分数阶期权定价模型的一类有效差分方法杨晓忠; 张雪; 吴立飞【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】11页(P234-244)【关键词】时间分数阶期权定价模型; 显-隐格式; 稳定性; 收敛性; 数值试验【作者】杨晓忠; 张雪; 吴立飞【作者单位】华北电力大学数理学院，北京102206【正文语种】中文【中图分类】O241.8时间分数阶期权定价模型(时间分数阶Black-Scholes方程)是金融工程中期权定价的重要数学模型.在实际金融市场上,标准的Black-Scholes(B-S)期权定价模型的广泛应用带动了整个金融衍生产品市场的蓬勃发展[1].但标准的B-S模型包含了许多假设前提,通过对股票市场的观察和研究,发现标准的B-S模型假设过于理想化,与实际股票运动并不吻合,而时间分数阶B-S模型是通过削弱这些假设条件得到的.近年来,有关时间分数阶B-S模型的研究与改进取得了很多进展.W.Wyss(2000年)初步推导出时间分数阶B-S方程[2],A.Cartea等(2007年)给出分数阶跳跃扩散期权定价模型和分数阶障碍期权定价模型[3],G.Jumarie(2008年)利用分数阶Taylor 公式,参照标准B-S方程的推导过程,得到较完善的时间分数阶B-S方程[4],G.Jumarie(2010年)推进了他的工作,推导出了两类分数阶B-S方程即时间分数阶B-S方程和时间-空间分数阶B-S方程,给出了最优分数阶Merton投资组合,广泛应用到实际金融市场[5].时间分数阶期权定价模型—时间分数阶B-S方程[4-5]:其中,P为欧式看涨期权的价格;S为股票价格;r为无风险利率;σ为波动率;t为时间.(1)式中为Riemann-Liouville时间分数阶导数,α为其阶数.时间分数阶B-S方程没有解析解,目前对于时间分数阶B-S方程数值解的研究较少,Lina Song和Weiguo Wang(2013年)给出了欧式看跌期权的时间分数阶B-S 方程隐式差分方法[6];而隐式差分格式相对误差较大且计算速度较慢[7],张雪、孙淑珍等(2014年)给出了时间分数阶B-S方程的θ-差分数值方法[8].但所构造的θ-差分格式为条件稳定的,即θ-差分方法的数值稳定性较差.针对现有问题,本文重点研究时间分数阶B-S方程无条件稳定的高效数值解法.对欧式看涨期权的时间分数阶B-S方程构造了计算量较小且无条件稳定的显-隐格式和隐-显差分格式,分析了格式解的存在唯一性,稳定性和收敛性;最后,数值试验验证了理论分析,说明显-隐和隐-显差分方法求解时间分数阶B-S方程是有效的. 2.1 时间分数阶B-S方程对欧式看涨期权等衍生产品定价时,方程(1)必须结合相应的边界条件进行数值求解,其边界条件为[9]:1)P(S,T)=max{S−K,0},即期权到期时的价格是其损益,其中K为执行期权时的价格;2)S→∞时,P(S,t)～S−Ke−r(T−t),即当股票价格充分大时,实施看涨期权是必然的,敲定价格的即期价格为Ke−r(T−t);3)P(0,t)=0,即意味着股票价格一旦为0,一般不会再回到原始状态.对欧式看涨期权定价就是在区域Σ={0＜S＜∞,0≤t≤T},求解方程:(2)式是变系数分数阶抛物方程,为了便于构造差分方程格式,作自变量代换[5]:则(2)式转化为如下抛物方程:求解区域转化为:Σ0={−∞＜x＜+∞,0≤τ≤T}.当具体计算时,可选取充分大的数M+和充分小的数M−,此时边界条件转化为：相应地,求解区域转化为：Σ1={M+≤x≤M−,0≤τ≤T}.基于Pentium(R)Dual Core CPU 3.00GHz,在Matlab7.0环境下进行数值试验.为了比较文献[8]中θ-差分方法与本文的显-隐(隐-显)差分方法的稳定性,取[8]中的θ=1/3, α=5/7,做如下数值试验:例1 考虑一个欧式看涨期权,到期日分别为3个月,6个月,9个月,12个月,股票当前价格为97美元,敲定价格为50美元,风险利率r为每年1%,波动率为每年20%.从图1(a)可知,由θ-差分方法(θ=1/3)计算欧式看涨期权,当T=3,6时欧式看涨期权的价格趋势光滑平稳,而当T=12时欧式看涨期权的价格趋势跳动严重,计算不稳定.由图1(b)可知,相同条件下,显-隐(隐-显)差分格式计算的欧式看涨期权价格呈平稳上升的趋势,计算稳定.由此可见,显-隐(隐-显)差分方法的无条件稳定性优于θ-差分方法的条件稳定性.为了进一步验证显-隐和隐-显差分方法求解时间分数阶B-S方程的有效性,仍选取例1中的数据,进行数值试验.当α=5/7时,对时间分数阶B-S方程的隐式格式[6],C-N格式[8],显-隐和隐-显格式进行比较分析.当α=1,2/3,1/2,1/3时,使用本文的显-隐和隐-显差分格式来计算欧式看涨期权的价格,并对其结果进行比较.由表1可以看出,当股票价格S=97,时间T=3,6,9,12时,本文显-隐格式和隐-显格式解相同,计算时间也相同(仅差0.0008秒);显-隐格式和隐-显格式解与C-N格式解十分相近,但是计算时间仅为C-N格式的69.8%,即时间分数阶B-S方程的显-隐格式和隐-显格式与C-N格式相比,在保持计算精度相当的情况下,计算效率(计算时间)提高了30%.数值试验结果与理论分析一致,说明时间分数阶B-S方程的显-隐格式和隐-显格式是等价有效的.为了更好的比较本文的显-隐格式和隐-显格式与C-N格式的精度,给出当期权有效期T= 6时,相对误差随时间推移的变化情况:将C-N格式的解,与显-隐格式和隐-显格式的解作对比,定义相对误差(Relative Error,RE)由图2可以看出,显-隐(隐-显)格式与C-N格式的相对误差RE最大时不超过6,并且在开始的时候较大,随着时间步的推移相对误差迅速减少,说明时间分数阶B-S方程的显-隐(隐-显)格式是稳定的,并且与C-N格式的精度十分接近.下面,根据参数α与1(α=1时,即为整数阶)的接近程度,取不同的α值(分别取α=1,2/3, 1/2,1/3),使用显-隐(隐-显)格式计算欧式看涨期权的价格,计算结果如下所示:当时间导数的阶数(参数α)取不同值时,从表2和图3可知其形状和变化趋势与标准B-S方程(α=1)基本是一致的;由表3可知,对于不同的α来说,显-隐格式和隐-显格式的计算效率比经典C-N格式提高30%左右。

假设当前股票价格为50美元，股票价格波动率sigma=0.3；以该股票为标的资产的欧式看跌期权的执行价格为50美元，期权有效期为5个月；市场上的无风险利率为10%。

利用显示差分格式为该期权进行定价。

%%% 显示法求解欧式看跌期权%%%s0=50; %股价k=50; %执行价r=0.1; %无风险利率T=5/12; %存续期sigma=0.3; %股票波动率Smax=100; %确定股票价格最大价格ds=2; %确定股价离散步长dt=5/1200; %确定时间离散步长M=round(Smax/ds); %计算股价离散步数，对Smax／ds取整运算ds=Smax/M; %计算股价离散实际步长N=round(T/dt); %计算时间离散步数dt=T/N; %计算时间离散实际步长matval=zeros(M+1,N+1);vets=linspace(0,Smax,M+1); %将区间[0,Smax]分成M段veti=0:N;vetj=0:M;%建立偏微分方程边界条件matval(:,N+1)=max(k-vets,0);matval(1,:)=k*exp(-r*dt*(N-veti));matval(M+1,:)=0;%确定叠代矩阵系数a=0.5*dt*(sigma^2*vetj-r).*vetj;b=1-dt*(sigma^2*vetj.^2+r);c=0.5*dt*(sigma^2*vetj+r).*vetj; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%L=zeros(M-1,M+1);for i=2:M%％建立递推关系L(i-1,i-1)=a(i); L(i-1,i)=b(i); L(i-1,i+1)=c(i);endfor i=N:-1:1matval(2:M,i)=L*matval(:,i+1);endmatval%寻找期权价格进行插值。

借鉴与启示 《生产力研究》No.7.2004使用拟蒙特卡罗模拟的欧式看涨期权的定价汪　东1,张为黎2(1.上海交通大学安泰管理学院,上海200052;2.上海市发展和改革委员会,上海200003)【摘 要】　传统蒙特卡罗模拟使用伪随机数序列,而拟蒙特卡罗模拟采用的是完全确定的拟随机数序列(又称低差异数序列)进行模拟。

本文对比了低差异序列与伪随机数序列的统计特点,应用两种模拟方法对欧式期权的价格进行了模拟计算。

实验结果显示拟蒙特卡罗模拟在计算精度高于传统蒙特卡罗模拟,并且计算速度也更快。

【关键词】　拟蒙特卡罗;蒙特卡罗模拟;低差异数序列;期权【中图分类号】F224.0 【文献标识码】A 【文章编号】1004—2768(2004)07—0109—02 一、介绍拟蒙特卡罗模拟(Quasi-Monte Carlo simulation)是采用拟随机数序列代替伪随机数的蒙特卡罗模拟。

这些随机数是实际问题中需要模拟的概率分布的代表样本。

拟随机序列也被称为低差异序列(low-discrepancy se2 quences),实际上,低差异数是完全确定的,因此“拟随机数”这种叫法是不严格的,不过本文仍使用这种叫法。

在一些应用中采用低差异数进行模拟,可以提高蒙特卡罗模拟的效果,使计算精度更高,计算时间更少。

本文将通过一个欧式期权的定价的例子来验证这一点。

进行蒙特卡罗模拟的主要步骤是:第一步在[0,1]区间上生成均匀分布的伪随机数,拟蒙特卡罗模拟要生成低差异数序列;第二步通常是用逆变换将均匀分布的随机数转换成正态分布的随机数;第三步是计算出一个模拟出的期权价格;最后是将以上的模拟过程反复进行n次,计算出n次模拟期权价格的平均价值。

根据大数定律,当n趋于无穷大时,平均价格等于期权的价值。

本文在第二部分分析低差异数序列的性质,并将它与传统的伪随机数序列的统计性质进行对比,另外也介绍了如何产生这些低差异数序列。

第三部分介绍产生正态分布的Moro逆变换。