研究有限差分格式稳定性的其他方法 - 报告

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差分格式的稳定性与收敛性9

1 Lhum 2 (um1 2um um1 ) q ( xm )um f ( xm ), a x b, (5) h u0 , u N ,
解线性代数方程组(5)，得 u( xm ) 的近似值 um . u0 , u1 , , uN 称为边值问题(1)的差分解. 从上面的推导过程可以看出，在节点 xm 建立差分方程的关键是在该点用函数 u ( x) 的二阶中心差商代替二阶导数，最后用差分算子 Lh 代替微分算子 L 就产生差分方程(5).
得到的，而在此边值问题的解是
(11)
v( x)
M ( x a)(b x) . 2
因为 v( x) 是 x 的二次函数，它的四阶导数为零，从式(2)、 (3)看到 v( x) 在点 xm 的二阶中心差商与 v '' ( xm ) 相等，因此差分方程(10)的解等于边值问题(11)的解，即
差分格式的稳定性与收敛性
第一部分：介绍了差分格式稳定性与收敛性的概念；第二部分：给出了一个二阶常微分方程边值问题的一种差分格式；第三部分：对上述问题的差分解的稳定性与收敛性作了讨论；第四部分：小结.
1 基本概念所谓稳定性问题是指在数值计算过程中产生的误差的积累和传播是否受到控制.在应用差分格式求近似解的过程中，由于我们是按节点逐次递推进行，所以误差的传播是不可避免的，如果差分格式能有效的控制误差的传播，使它对于计算结果不会产生严重的影响，或者说差分方程的解对于边值和右端具有某种连续相依的性质，就叫做差分格式的稳定性. 差分格式的收敛性是指在步长 h 足够小的情况下，由它所确定的差分解 um 能够以任意指定的精度逼近微分方程边值问题的精确解 u( xm ) .下面给出收敛性的精确定义：设 {um } 是差分格式定义的差分解，如果当 h 0 并且 um x 时，有 um u( x) 0 ，则称此格式是收敛的. 2 差分方程的建立对于二阶边值问题

有限差分法

有限差分法——傅立叶稳定性分析分析差分格式稳定性的方法很多，大部份应用于线性方程，这里只介绍其中最常用的一种：傅立叶稳定性分析法。

傅立叶稳定分析法由V on Neumann 于20世纪40年代提出，所以又称为V on Neumann 稳定性分析法。

该方法的基本思想是，将解的误差作周期延拓并用傅立叶级数表示出来，然后考察每一个傅立叶级数分量的增大和衰减情况。

如果每一分量的强度（或振幅）是随时间的推移而增大的，则所讨论的差分格式是不稳定的；反之，若每一分量的振幅是随时间的推移而衰减或保持不变，则格式是稳定的。

为了进行这种分析，可以把某一分量的表达式代入到误差传播方程中，得出相邻二时间层间该分量的振幅比，通常称为放大因子。

稳定性的条件要求放大因子的绝对值（或模）小于或等于1。

当放大因子等于1时，称为中性稳定，在这种情况下任何时刻引进的误差都不会衰减或放大。

【例11.1E 】讨论逼近以下一维对流方程的FTCS 格式的稳定性：0=∂∂+∂∂xu t u α α> 0 (11.1.51)该方程的FTCS 格式为 02111=∆-+∆--++xu u t u u n i n i n i n i α (11.1.52) 将式(11.1.52)改写成易于递推计算的差分格式，有()n i n i n i n i u u u u 1112-++--=λα式中，)/(x t ∆∆λ=为网格比。

相应于上式的误差传播方程为()n i n i n i n i 1112-++--=εελαεε (11.1.53) 式中，ε是各节点上的离散量。

如果对ε在正负方向上作周期延拓，即把ε看作是以某一定值为周期的周期函数，则n ε、1+n ε可以展开为以下的傅立叶级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑∑∞-∞=++∞-∞=k kx n k n k kx n k n e C x e C x I 11I )()(εε 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∑∑∞-∞=+++∞-∞=k kx n k i n n i k kx n k i n n i i i e C x e C x I 111I )()(εεεε (11.1.54) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±==±=∑∑∞-∞=±+++±∞-∞=±±k x x k n k i n n i k x x k n k i n n i i i e C x x e C x x )(I 1111)(I 1)()(∆∆∆εε∆εε (11.1.55) 其中，1I -=。

基于有限差分法的露采高边坡稳定性研究

以完成 “ 拉格朗日分析 ” 的 “ 式有限差分程序 ” 显，可用于模拟三维土体、岩体或其他材料
体力学特性，尤其是达到屈服极限时的塑性流变特性，广泛应用于边坡稳定性评价、矿山工
程、支护设计及评价等多个领域。
式中：Ｓ为围绕单位的路径；Ａ为单兀的
面积；。单元向外法矢量；ｚ为位置矢量；为，代表一个标量、矢量或张量。定义面积Ａ导数的平均值为：
＜＞
包括以下方程：
＜ｆＯ
／
ｆｄｆＡ
（）２
国内一些研究人员在矿山边坡研究中使用有限差分法、有限单元等方法，取得了一定的研究成果ｌ。但这些研究中均未考虑结构面对稳定性的影响，如果能对在矿山边坡稳定性数值】］模拟中增加对结构面介质的考虑将更逼近真实情况。
裂隙块状花岗岩岩组、碎裂状花岗岩夹隐爆角砾岩岩组、散体状隐爆角砾岩岩组。采场边坡地下水的补给主要依靠大气降水，由于矿体大部分位于当地侵蚀基准面以上，地形有利于自
然排水。矿区的地震动峰值加速度为００，相应的地震基本烈度值为 Ⅵ ，场地抗震设防烈．５ｇ裂状和散体状岩体，并且风化程度也很高。２２计算模型与力学参数选取．根据该采场边坡的岩性和岩体结构分析（２，将模型自下而上按岩组分为块状花岗图）

一类非线性反应--扩散方程差分格式的稳定性问题

关键词
中图法分类号
０４．４；文献标识码２１８
Ａ
在使用微分方程的有限差分格式进行数值计算
时，须选用稳定的格式计算才有意义。因此，出必给
一
冥中，＞０，为自然数．Ｐｍ
个差分格式，先要考虑它的稳定性问题。对于首
１ｎ — ：＋（Ｕ）＾（：～＋１印（Ｕ，一：）＋（），ｌｈｈ
和内积
，１
Ｕ一）＝０，ｈ：
于是
（ＵＶ）』＾出＝＾，Ｖ。（￣））＾（ｈ）ｈｈ＾＾＾ｈ
在上述定义的内积下的范数记为ｌＩＪ・Ｊ＾：
的稳定性的问题。
对方程（）行离散．到有限差分格式为１进得
—＿一一盟—— — — ｐ — ｐ — —— ～
一
＋（ｎ２－ｕ．＋一ｘ１－０ｔｍ；
一
＝Ｕ（），０
ｉ＝１， … ，；２， Ⅳ
一ｎ
０，
ｎ＝ｌ２ … ，，，
一
Ｌ［，］上的内积记为（，・此Ｏ１。），
内积下的范数记为１１，且ｌｌ和１１在．并＿・Ｊ＾．
上是Ｈｌｅｔ数。ｉｒ范ｂ有了步长函数空间，以将有限差分方程可
（）２
２引人步长函数空问１对—维反应一扩散方程引人有限差分格式
２１步长函数空间的基本概念．为讨论有限差分格式（的稳定性，２）引入如下

【文献综述】热传导方程差分格式的收敛性和稳定性

文献综述信息与计算科学热传导方程差分格式的收敛性和稳定性在实际研究物理问题过程中, 往往能给出问题相应的数学表达式, 但是由于实际物理问题的复杂性, 它的解却一般不容易求出. 由此计算物理应运而生, 计算物理是以计算机为工具, 应用数学的方法解决物理问题的一门应用性学科, 是物理、数学和计算机三者结合的交叉性学科. 它产生于二战期间美国对核武器的研究, 伴随着计算机的发展而发展.计算物理的目的不仅仅是计算, 而是要通过计算来解释和发现新的物理规律. 这一点它与传统的实验物理和理论物理并无差别, 所不同的只是使用的工具和方法. 计算物理早已与实验物理和理论物理形成三足鼎立之势, 甚至有人提出它将成为现代物理大厦的“栋梁”.在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观, 更有价值. 在实际求解方程时, 除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外, 在一般情况下, 当方程或定解条件具有比较复杂的形式, 或求解区域具有比较复杂的形状时, 往往求不到, 或不易求到其精确解. 这就需要我们去寻找方程的近似解, 特别是数值近似解, 简称数值解. 这里主要研究的是热传导方程.有限差分法是微分方程和积分微分方程数值解的方法. 其基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似, 积分用积分和来近似, 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组, 即有限差分方程组, 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解. 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.热传导的差分法是求解热传导方程的重要方法之一. 对于差分格式的的求解, 我们首先要关注差分格式的收敛性和稳定性. 对于一个微分方程建立的各种差分格式, 为了有实用意义, 一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程, 即相容性要求. 一个差分格式是否有用, 就要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解, 即收敛性的概念. 此外, 还有一个重要的概念必须考虑, 即差分格式的稳定性. 因为差分格式的计算过程是逐层推进的, 在计算第n ＋1层的近似值时要用到第n 层的近似值 , 直到与初始值有关. 前面各层若有舍入误差, 必然影响到后面各层的值, 如果误差的影响越来越大, 以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖, 这种格式是不稳定的, 相反如果误差的传播是可以控制的, 就认为格式是稳定的. 只有在这种情形, 差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解. 由Lax 等价定理告诉我们, 对于各适定的线性的初值问题, 对相容性的差分逼近来说, 稳定性则是差分方程的解收敛于微分方程的解的充分必要条件. 收敛是差分方程的本质要求, 稳定是差分方程的基本特性, 对于计算的问题来说, 数值稳定性事差分格式必须要具备的条件, 一个不稳定的差分格式, 即使其他方面有很多的优点, 也是不能用来计算的. 可见由于收敛性和稳定性的重要性, 对于他们的研究是非常具有价值的.热传导方程： 2222222.u u u u a t x y z ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 一维热传导方程的初边值问题：22200120(0,0),()(0),(),()(0).t x x l u u a x l t t x u x x l u t u t t ϕμμ===⎧∂∂==<<>⎪∂∂⎪⎪ =<<⎨⎪⎪⎪ = =>⎩用, , 及分别表示初边值问题的解及其偏导数及n j u n j u t ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭22nj u x ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭(,)u x t (,)u x t t ∂∂在点之值, 表示求解区域内网格节点. 当初边值问题的解在22(,)u x t x ∂∂(,)j n x t (,)j n x t 区域内部适当光滑时, 对任一区域内部的节点利用泰勒展开公式, 然后化简得(,)j n x t 到显示差分格式：1112200220,()()(1,,1),(),()(0,1,2,).n n nn n j j j j j j n n J U U U U U a t x U j x j J U n t U n t n ϕμμ++-⎧--+-=⎪∆∆⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪⎪⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎩这里由于差分方程的解与原初边值问题的解一般是不同的, 故用不同的记号表示.U u 明显的用上式近似热传导方程的初边值问题, 所忽略掉的项, 即截断误差是. 记 2()(())O t O x ∆+∆22()t a x λ∆=∆ 其隐式格式： 111110012(12),()(1,,1),(),()(0,1,2,).n n n n j j j j j n n J U U U U U j x j J U n t U n t n λλλϕμμ+++-+⎧-++-=⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎪⎩ 其中. 22()t a x λ∆=∆参考文献[1] 谷超豪, 李大潜, 陈恕行等. 数学物理方程[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2] 刘盾. 实用数学物理方程[M ]. 重庆: 重庆大学出版社, 1996.[3] 张锁春. 抛物型方程定解问题的有限差分数值计算[M ]. 北京: 科学出版社, 2010.[4] (美)哈伯曼. 实用偏微分方程[M ]. 北京: 机械工业出版社, 2007.[5] 陆金甫, 关治. 偏微分方程数值解法[M ]. 北京: 清华大学出版社, 2003.[6] K. W. Morton, D. F. Mayers. 偏微分方程数值解[M ]. 北京: 人民邮电出版社, 2006.[7] 戴嘉尊, 邱建贤. 微分方程数值解法[M ]. 南京: 东南大学出版社, 2002.[8] 徐琛梅. 一类非线性偏微分方程差分格式的稳定性分析[J ]. 江西科学, 2008,27(3) :227~230.[9] 张天德, 张希华, 王玮. 偏微分方程差分格式的构造[J]. 山东工业大学学报, 1997,26(2) :245~246.[10] P. Darania and A. Ebadian. A method for the numerical solution of integrodifferentialequations [J]. Applied Mathematics and Computation , 2007, 188(1): 657~668.[11] Yang Zhang. A finite difference method for fractional partial differential equation [J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 215(2):524~529.。

使用Jury准则对时域有限差分算法进行稳定性分析

摘要：在分析过程中要找出对应特征多项式的所有的根是相当困难的，尤其是对于高阶算法而言。为了解决
这个问题，控制领域中Ｊｒ准则将被引入，ｕｙ它仅需要使用特征多项式的系数而不需要直接求解整个方程获得所有的根。因此，使用它可以简化算法的稳定性分析，２实例验证了它的有效性。个关键词：时域有限差分算法；稳定性分析；Ｊｒ准则ｕｙ
ｅｐｃａｌｏｉｈｏｄｃｕａＤＴＤｔｏｓＴｈｕｙｓｕｏｔｏｌｌｅｒｓｉｔｄｃｄｉｅａｌｗｈｃｓｅｉｌｆｒｈｇ－ｒｅａｃｒｔＦｙｒｅｍｅｈｄ．ｅＪｒｔｔｉａｔｍａｃｃｎｒｏｉｎｒｕｅｄｔｉｉｈｅｎｉｏｔｙｏｈｎ，
Ｃｌｉｐｉｈｐｏｅｕｏｓｂｉａａｓ．ｅｕｙｓｉｓｃｅｆｌｐｌｄｂｉａｓｏｔｏｙｉｌＤＤａｍｌｙｔｒｃｒｆｔｉｔｎｌｉＴｒｔｔｓｕｃｓｕｌｐｉｉｓｉａｌｉｆｗｔｃＦＴｌｓｆｅｄｅａｌｙｙｓｈＪｅｓｙａｅｎｔｌｎｙｓａｔｙｐａ
时间步进格式，它仅是二阶精度。即，这些算法内在Ｊ的数值色散将导致数值相速变成频率和传播角的函数。另外一个重要的时间步进格式是交替方向隐式格式（Ｄ）ＡＩ，基于它的算法能具有无条件稳定的特点【ｊ叫，从本质上来说，ＡＩＤＤ算法仍然是二阶精度的。Ｄ－ＴＦ
ＨｏｖｒｔｉｄｏｔｌｒｏｓｆａａｔｒｔｏｙｏａｉｂｌａａｙｉｏｔｅＤＴｍｅｏｓｓｅｉｃｌｔｓ，ｗｅｅ，ｏｆｎｕａｌｏｔｏａｈｒｃｅｉｉｌｎｍｉｌｓｉｔｎｌｓｆｈＦＤｃｓｃｐｎｔｉａｙｓｔｄｉａｖｒｆｕｔａｋｈｙｄｉ

[精品文档]差分格式稳定性及数值效应比较实验

差分格式稳定性及数值效应比较实验一实验目的：1.以一阶线性双曲线方程为例，使用Matlab工具分析4种差分格式的误差。

2.了解4种差分格式的稳定性。

二实验问题：对于一阶线性双曲型方程：取a=1,2,4, h=0.1, τ=0.08, 对不同的差分格式（迎风格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，修正迎风格式）及不同的a值进行迭代计算。

通过将计算结果与精确解来进行比较，来讨论分析差分格式的稳定性。

三实验原理：1.迎风格式：这种格式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下：运算格式：x-Friedrichs格式：运算格式：x-Wendroff格式：这种格式构造是采用Taylor 级数展开和微分方程本身得到运算格式：4.修正迎风格式（目标点范围跟踪格式）：其中是取整数部分，=。

根据之后的理论分析可以得到这是一个无条件稳定结构。

四四种格式理论分析：通过求差分格式的增长因子G(τ, k)，来判定差分格式是否稳定。

1.迎风格式：记，则，得，即。

所以。

则在，满足von Neumann条件，格式稳定。

以下格式用相同方法求解稳定性条件。

x-Friedrichs格式：，在时稳定。

x-Wendroff格式：，在时稳定。

4.修正迎风格式（目标点范围跟踪格式）：，其中，的成立条件为。

而恒成立，故格式无条件稳定。

五实验结果：a=1（）迎风格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式修正迎风格式a=2（）迎风格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式修正迎风格式a=4（）迎风格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式修正迎风格式六总结：本次实验，通过4种差分格式求解T=4时的解并与解析解画图比较，可以看出：(1)a=1（aλ=0.8＜1）时，迎风格式，Lax-Friedrichs格式，修正迎风格式的计算结果与解析解近似情况较好，而Lax-Wendroff格式则在间断点处出现了波前波，形成双波现象，这符合Lax-Wendroff格式为二阶迭代格式的性质。

研究有限差分格式稳定性的Fourier方法

un1 j
2
a
un j 1
2unj h2
un j 1
0,
解. 先把差分格式变形为
un1 j
un1 j
2a(unj1
2unj
un j 1
)
此处 =
h2
.
这是一个三层格式,一般先化为等价的二层差分方程组.
unj 1
v
n j
2a (unj 1
2unj
un j 1
)
v
n1 j
unj
unj 1
v
n j
(1.3) (1.4)
的隐式格式
unj
un1 j
a
un j1
2unj h2
un j 1
0,
的稳定性.
解. 先把差分格式变形为
(1.14)
a
un j 1
(1
2a )unj
aunj1
un1 j
此处 =
h2
.
aunj1
(1
2a )unj
aunj1
un1 j
令unj vneikjh，代入上面方程并消去公因子eikjh，
整理得：
vn1 (1 a(1 eikh ))vn
增长因子为：
G( , k) 1 a(1 eikh )
实际应用时，我们常用更严格的控制条件，即
| [G( , k)]|1
G( , k) 1 a(1 eikh ) 1 a(1 cos kh) ia sin kh
| G( , k) |2 (1 a(1 cos kh))2 (a sin kh)2
作业
P44 1. 3.
练习：对一维对流方程
u
t
a

研究有限差分格式稳定性的Fourier方法-文档资料

i k h 由此可得: U ( k , t ) ( 1 aeU ( 1 ) ) ( k , t ) n 1 n

i k s F (( fxs ) ) e F (() fx )
i k h U ( k , t ) ( 1 aeU ( 1 ) ) ( k , t ) n 1 n
(*)
其中 j(G ( ,k)) 表示 G ( ,k) 的特征值， M 为常数
注：条件(*)被称为Von Neumann条件，Von Neumann 条件是稳定性的必要条件，其重要性在于很多情况下，这个条件也是稳定性的充分条件。
定理 3 . 2 : 如果差分格式的增长矩阵 G (, k ) 是正规矩阵，则 V o n N e u m a n n 条件是稳定性的必要且充分条件。

实际上函数 U ( x , t ) ,( x ) 在 R 上满足 k
U ( x , t )( U x , t )[ a U ( x , tU ) ( x h , t ) ] xR n 1 n n n

等式两边分别用Fourier积分表示： 1 1 i k x i k x Ukt ( , ) e d k Ukt ( , ) e d k n 1 n 2 2

实际上，我们就是用增长因子来判断稳定性的
n 假设：存在常数 K , 使得 | [ G ( , k )] | K
| | U ( t ) | | (, x t ) |d x n n |U
2 2

Parseval等式
由假设
( kt ,n )| d k |U

差分方法的稳定性之欧阳组创编

差分方法的稳定性1.实验内容对于一阶线性双曲线型方程：其中初值()01,00,0x u x x ≤⎧=⎨>⎩取空间长度h=0.01，对于不同的差分格式（迎风格式，Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff 格式，Beam-Warming 格式以及蛙跳格式）及不同的网格比（时间长度与空间长度比h τλ=）进行迭代计算。

通过将计算结果与精确解进行比较，来讨论和分析差分格式的稳定性。

2.算法思想与步骤2.1迎风格式这种格式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下：运算格式： ()1111(1),01,0n n n j j j n n n j j j u a u a u a u a u a u a λλλλ+-++=-+>=+-<2.2 Lax-Friedrichs 格式运算格式： ()()111111122n n nj j j u a u a u λλ++-=-++ 2.3 Lax-Wendroff 格式这种格式构造采用Taylor 级数展开和微分方程本身得到运算格式： ()()()()111111122n n n n j j j j a a ua u a a u a u λλλλλλ++-=-++-++ 2.4 Bean-Warming 格式（二阶迎风格式）借助于双曲型方程的解在特征线上为常数这一事实，可以构造出多种差分格式。

设在n t t =时间层上网格点A,B,C 和D 上u的值已给定，要计算出在1n t t +=时间层上网格点P 上的u 的值。

假定C.F.L 条件成立，过P 点特征线与BC 交于点Q ，故微分方程解的性质知()()u P u Q =。

对于()u Q ：① 用B,C 两点值进行线性插值，得到的是迎风格式; ② 用B,D 两点值进行线性插值，得到的是Lax-Friedrichs 格式；③ 用B,C 和D 三点值进行抛物型插值，得到的是Lax-Wendroff 格式。

差分格式的稳定性讨论

差分格式的稳定性讨论
关于差分格式的稳定性讨论
本文在差分格式稳定性的概念的基础上,按照稳定性的定义来验证某个差分格式,验证差分格式是否稳定,往往比较复杂.讨论稳定性有很多方法,如矩阵方法,离散扰动方法.Hitt呲启示性方法和Fouder方法等等.每个方法各有优劣,本文讨论应用最广泛,也较为方便的Fourier方法.
作者：李卓识作者单位：吉林农业大学,吉林,长春,130118 刊名：网络财富英文刊名：INTEMET FORTUNE 年，卷(期)：2009 ""(23) 分类号：G64 关键词：差分格式稳定性 Lax等价定理 Foutier方法。

(优选)研究有限差分格式稳定性的方法

以左偏格式为例：
un1 j
u
n j
a(u
n j
u
n j 1
)
un1 j
u
n j
a(u
n j
u
n j 1
)
令unj vneikjh 代入差分方程
vn1eikjh vneikjh a(vneikjh vneik ( j1)h )
整理得：
vn1 (1 a(1 eikh ))vn
增长因子为：
得其增长因子为G( , k)
1
.
1 4a sin2 kh
注:判断稳定性关键是求增长因子或增长矩阵的特征值。
3.3 例子
Fourier方法在具体应用时，可以采取离散的形式，直接从差分方程入手。不必要扩充、Fourier积分的烦琐步骤。具体是：
取：u
n j
v en ikjh,直接代入差分方程，分析增长因子。
(实际上是采用了Fourier积分的离散形式)
（优选）研究有限差分格式稳定性的方法
由于unj 及g
只是在网格点上有意义，为了应用
j
Fourier
方法进行讨论，必须扩充这些函数的定义域，使它们
在整个（，）上有定义。令：
U ( x, tn ) unj ( x) g j
(
j
1 )h
x
(
j
1 )h
2
2
( j 1)h x ( j 1)h
定理3.2 : 如果差分格式的增长矩阵G( , k)是正规
矩阵，则Von Neumann条件是稳定性的必要且充分条件。推论1：当是实对称矩阵，酉矩阵，Hermite 矩阵时， Von Neumann 条件是差分格式稳定的充分必要条件。

Crank-Nicolson差分格式及其稳定性研究

Crank-Nicolson差分格式及其稳定性研究
李华;周维奎;邓培智
【期刊名称】《矿物岩石》
【年(卷),期】1998(0)S1
【摘要】本文以自己独特的方式，构造了一维和二维抛物型方程的Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ差分格式。

本文不仅详细地给出了离散误差的表达式，而且论证了它们的稳定性。

该差分格式具有精度高，稳定性好，计算量和存储量都比较小的特点，是一个很理想，便于应用的差分格式。

【总页数】4页(P253-256)
【关键词】抛物型方程;隐格式;离散误差;绝对稳定性
【作者】李华;周维奎;邓培智
【作者单位】成都理工学院;核工业部西南物理研究院
【正文语种】中文
【中图分类】O24
【相关文献】
1.扩大稳定性区域的扩散方程新型显式差分格式研究 [J], 张宝琳;杭旭登;徐涛;陆金甫
2.若干差分格式非线性计算稳定性研究的新进展 [J], 季仲贞;杨晓忠;林万涛
3.自忆模式中差分格式的稳定性研究 [J], 封国林;董文杰;李建平;丑纪范
4.一类非线性偏微分方程的有限差分格式的稳定性研究 [J], 王秀琴;徐琛梅
5.一类非线性反应-扩散方程有限差分格式的稳定性研究 [J], 徐琛梅
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有限差分方法24差分方程的相容性收敛性和稳定性

2.4.1 相容性（Consistency ）
• 差分方程相容性是讨论当 t , x 0 时，差分方程逼近于微分方程的程度，因此，相容性是讨论差分方程和微分方程的关系。
• 定义：对于一足够光滑函数 u ，若时间步长 t ，空间步长 x n R 趋近于0时，差分方程截断误差 j 对于每一点 x j , t n 都趋近于
•
n
n
当 t , x 0时，上等式右侧所有项都趋近0，差分方程趋近于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。
•
①
关于差分方程相容性需要作以下说明：
相容性是对求解区域内任意一点差分方程逼近于微分方程的程度，相容性是有限差分算法（包括有限体积算法）首先必须满足的有效性条件。
②
相容性要求对于求解区域内任意点 x j , t n ，在 t , x 同时趋近于0，截断误差R n 趋近于0。如果 t , x 不是同时趋近于0或并不趋近于0， j 而是趋近于某值，或结论并不是对每个点
0，则该差分方程 Lun 逼近微分方程 Lu 0，即差分方程与 j 0 微分方程是相容的。 • 差分方程相容性可以通过Taylor展开方法来证明。例如，扩散方程的FTCS差分格式为：
1 n un u j j
t

n n un 2 u u j 1 j j 1
x
2
0
• 把
定义：在某一个时刻tn存在计算误差 n j ，若在 t n 1时刻满足：
1 n n 0 n k 或 k j j j j
条件，则差分方程是稳定的。这里定义：
n j
n 2 2 j x

1 2
是某种定义的范数。

差分格式稳定性分析和基于Matlab编程对抛物线方程的数值计算

其解析解：
u( x, t ) exp( 2t )sin( x)
解：当取 h=0.1，t=0.01 和 h=0.1，t=0.001 计算时，网比 r 分别为 1 和 0.1，古典显式格式要求网比小于等于 1/2 才稳定，而古典隐式格式无条件稳定，所以本题采用古典隐式格式计算。古典隐式差分格式： (1 2r )u j ,k r (u j 1,k u j 1,k ) u j ,k 1 （ 1）首先取 h=0.1，t=0.01，即 r=1，并将结果与解析解比较。计算代码：
k 1 k k k 1 0 u j 0 u j 1 0 u j 1 0 1 u j 0 k 1 k k k 1 0 0 0 0 1 0 j j 1 j 1 j k u j k Wj k j 1 0 k 1 0 k 0 k 0 1 k 0 W j 0 0 W j 1 0 0 W j 1 1 Wj 1 0
W jk V k ei x 1 0 k 1 (ei h e i h ) 1 k V 0 V 1 1 0
则传播因子为：
2 cos( h) 1 G ( , ) 1 1 1 0
解：采用古典隐式格式计算，取 h=0.02， t=0.0001，即 r=0.25，画出物体表面温度在 0.5 秒时间内的分布图，计算代码如下：
clc;clear all; h=0.02;t=0.0001;n=1; r=t/h^2; s=0:0.02:1;s1=0:0.02:0.5;s2=0.5:0.02:1; k=0:0.0001:0.5; c=1:51;d=1:5001; u=zeros(5001,51); B=zeros(48,1);

差分方法稳定性介绍

03
多尺度问题的求解
多尺度问题广泛存在于科学和工程领域，对差分方法的稳定性提出更高要求。未来研究中，将更加注重多尺度问题的求解方法和技术研究。
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差分方法稳定性介绍
• 引言 • 差分方法的基本原理 • 差分方法的稳定性分析 • 差分方法的误差分析 • 提高差分方法稳定性的措施 • 差分方法稳定性的应用案例 • 总结与展望
01
引言
差分方法的概念
差分方法
差分方法是一种数值计算方法，用于求解微分方程的近似解。它通过构造差分格式来逼近微分方程的导数，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
差分方法的稳定性分析
稳定性定义
数值稳定性
差分方法在数值计算过程中，对于初始条件和边界条件的小扰动，解的变化能够保持有界，即不会因计算步数的增加而无限放大。
渐近稳定性
当计算步数趋于无穷时，差分方法的解能够收敛到真实解，即误差能够逐渐减小并趋于零。
稳定性判据
要点一
Lax-Richtmyer稳定性判据
对于线性偏微分方程，如果差分格式能够保持离散能量不增长，则该格式是稳定的。该判据提供了判断差分格式稳定性的一个充分条件。
要点二
Courant-Friedrichs-Lewy （CFL…
对于显式差分格式，为了保证计算的稳定性，时间步长与空间步长之间需要满足一定的关系，即CFL条件。该条件给出了时间步长的上限。
边界条件的处理
Dirichlet边界条件
直接给出边界上的函数值，处理简单。
Neumann边界条件
给出边界上的法向导数值，需要通过差分近似进行处理。
Robin边界条件
周期边界条件

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3
关于抛物型方程初值问题的差分格式的稳定性问题，可以用直接方法（或称矩阵方法）来研究。下面用具体例子来说明这个方法的基本思想及使用方法。
考虑常系数扩散方程的初值问题
（3.1）
采用显示差分格式来逼近，即
（3.2）
其中。先把差分格式（3.2）写成
（3.3）
其中。可以把（3.3）写成向量形式，即
（3.4）
将它代入（3.12）式的第一式，便得到关于的一元二次方程
此方程称为（3.12）式的第一式的特征方程。由于，所以其解为
其中。可以看到
取，则。因此差分方程（3.12）的解可以表示为
由，得到。再由，得到，从而有
由此可推。，有。所以得到，可以得到。注意到，则的特征值为。从而得到的特征值为
2 Hirt
2.1
Hirt启示性方法是一种近似分析方法。主要是把差分格式在某确定点上作泰勒级数近似展开，把高阶误差略去，只留下最低阶的误差项。如果差分格式是相容的，那么这样得到的新的微分方程（称之为第一微分近似或修正微分方程）与原来的微分方程相比只增加了一些含小参数的较高阶导数的附加项。Hirt方法就是利用第一微分近似的适应性来研究差分格式的稳定性。Hirt方法的判别准则是这样的：如果第一微分近似是适定的，那么原来微分方程的差分格式是稳定的，否则不稳定。其实所述的微分格式是原来微分方程问题的相容的差分格式，那么也可以看作第一微分近似问题的相容的差分格式。如果第一微分近似问题是不适定的，那么它的差分格式将不稳定[1]。
2015年秋季学期研究生课程考核
（读书报告、研究报告）
考核科目
:偏微分方程数值解法
学生所在院（系）
:理学院数学系
学生所在学科
:数学
学生姓名
: Hiter
学号
: 1XS012000
学生类别
:
考核结果
阅卷人
研究有限差分格式稳定性的其他方法
摘要
偏微分方程的求解一直是大家比较关心的一个问题，而有限差分格式则是求解偏微分方程时常用并且有效的一个方法。因此，研究有限差分格式的性质就显得尤为重要。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt启示型方法、直接方法（或称矩阵方法）和能量不等式方法。
当时，。因此显示格式的稳定性条件为。
下面讨论隐式格式
的稳定性。
可以把隐式格式写成向量形式
其中，。利用前面已经求得的的特征值，可以得到的特征值
由此可知，，从而有。注意的为对称矩阵，所以也为对称矩阵，利用直接方法结论（2）知，扩散方程隐式格式是无条件稳定的。
从上面的叙述看来，利用直接方法来分析抛物型方程的初值问题的差分格式并不困难。但在实际应用中却存在着一定的限制。上面讨论稳定性的两个例子中式依据了特殊矩阵才求出了阶矩阵、的特征值。一般说来，计算高阶矩阵的特征值是相当困难的，因此直接方法应用也就很困难了。
[6] R．D．里奇特迈尔著，何旭初等译：《初值问题差分方法》，科学出版社，北京，1966
[7 ] R. D. Richtmyer，Difference Methods for Initial-Value Problems，Interscience Pub.，New York，1957.）
[8] R. D. Richtmyer，K. W. Morton，Difference Methods for Initial-Value Problems，2nd ed.，Interscience Pub.，New York，1967.
5
在本篇论文中，从微分方程的基本概念出发，先介绍了微分方程中比较基本的概念，然后又介绍了有限差分格式的性质。在介绍有限差分格式时从三种求解有限差分格式稳定性的方法出发，分别是：Hirt启示性方法、直接方法（或矩阵方法）和能量不等式方法。在介绍这三种的方法时也是先从基本思想出发，然后分别阐述其方法原理、公式推导和实际应用等。但是求解有限差分格式稳定性的方法很多，作者也仅仅介绍了三种方法，希望能起到抛砖引玉的作用。
关键字：偏微分方程；有限差分格式；稳定性
Abstract
The solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a common and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of commonly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method.
由此得出差分格式（2.3）的稳定性条件是，其中。此结论与Fourier方法分析得到的结论是一致的。
下面我们再来分析逼近对流方程（2.1）（仍设）的差分格式（2.2）的稳定性。模仿上面的推导可以得到它的第一微分近似是
可以看出的系数小于0，因此第一微分近似是不适定的，从而推出差分格式（2.2）是不稳定的。
4
4.1
在讨论线性常系数差分格式的稳定性问题时，建立了判别差分格式的稳定性准则，从而比较容易地判断一些差分格式的稳定性。但对于变系数问题和非线性问题，一般不能采用Fourier方法和直觉法来讨论差分格式的稳定性。而对于上述这些问题，能量不等式方法是研究差分格式稳定性的有力工具。用能量不等式方法讨论差分格式稳定性是从稳定性的定义出发，通过一系列估计式来完成的。这个方法是偏微分方程中常用的能量方法的离散模拟，在此我们仅通过例子叙述其基本思想。
参考文献
[1]陆金甫,关治：《偏微分方程数值解法》，清华大学出版社，北京，2003
[2]冯康等编：《数值计算方法》，国防工业出版社，北京，1978.
[3]胡祖炽编：《计算方法》，高等教育出版社，北京，1959。
[4]清华大学、北京大学《计算方法》编与组编：（计算方法），科学出版社，北京，1980。
[5]朱幼兰等著：《初边值问题差分法及绕流》，科学出版社，北京，1980。
（1）谱半径条件
（3.11）
是差分格式稳定的一个必要条件，其中为常数。
（2是格式稳定的一个充分条件。
下面讨论差分格式（3.5），（3.6）的稳定性。矩阵（3.6）是对称矩阵，所以只要使条件（3.11）成立即可。现在来计算的特征值。
令阶方阵
则可以表示为
其中为阶单位矩阵。由此可知，关键是求出的特征值和特征向量。
设和分别为的特征值和特征向量，
写成分量的形式有
（3.12）
先求出，再求出的特征值。由于为对称矩阵，所以其特征值为实数。由Gerschgorin定理知，
其中为矩阵的元素。由此得到。（3.12）式的第一式为常系数线性差分方程。设其解具有如下形式：
引入误差向量，其中是差分方程（3.5）的精确值（理论值），是差分方程（3.5）经数值求解得到的值（包括了舍入误差等）。显然，满足
（3.7）
从而推出
（3.8）
差分格式（3.5）的稳定性就要求
（3.9）
其中为向量的2-范数。由于
因此（3.9）式成立的充分必要条件为
（3.10）
上述采用2-范数，当然也可以采用其他类型的范数。对于稳定性条件（3.10），可以仿Fourier方法中的推导，得到一些结论：
如果令
并考虑到，则（3.4）式可以写成
（3.5）
其中
（3.6）
从显示格式出发，得到方程组（3.5）式，也可以理解为较为一般的形式，即对于逼近初值问题（3.2）的其他二层格式也可以化为（3.5）式的形式。当然此时不是（3.6）式所表示的形式。如果差分格式是二层隐式格式。则为这种形式。因此（3.5）式这种形式可理解为既包含二层显示格式又包含二层隐士格式的较为一般的形式。
2.2
先给出几个方程
（2.1）
（2.2）
（2.3）
考虑对流方程（2.1）的差分格式（2.3），在点进行Taylor技术展开，有
利用对流方程（2.1），有
因此，在点上，有差分方程（2.3）可以得到
略去高阶误差项，得出第一微分方程近似
要使上面的抛物型方程有意义，必须有
而上面的不等号改为等号，则就化为原来的对流方程。在这两种情况下，相应的问题是适定的。即第一微分近似适定的条件是
Key words:partial differential equation; finite difference scheme; stability