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第五章 频率分析法(三)讲解

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自动控制原理第5章频域分析法

自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。

第五章 频率域方法讲解

第五章 频率域方法讲解
22
图5－8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
23
对数频率特性
L 20lg A 1 T 2 2 1
2 2
20lg T 1
G tan1 T
当 当
T 1,
L 0
T 1,
L 20lg T
5
返回子目录
输出
Ci B D C ( s) s j s j i 1 s si
n
拉氏反变换得 c(t )
C e
i 1 i
n
si t
( De Be
j t
jt
)
ct (t ) cs (t )
其中
Ar D (s) 2 ( s j ) s j 2 s j [ ( j ) ] Ar ( j ) 2 ( j ) Ar e 2j 2
6
同理
B
cs (t )
( j )
2
Ar e
j [ ( j ) ] 2

将B、D代入（5－5）则
( j )
2
( j ) Ar cos( t ( j ) ) 2 ( j) Ar sin(t ( j))
11
G( j ) G( j ) G( j ) j ( ) =
图5－2
RC网络的幅频特
性和相频特性
12
图5－3 RC网络 的频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
对数幅频特性：
L( ) 20lg A( ) ~ (lg )
2 n
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )

第五章 频率特性分析法

第五章 频率特性分析法

由于 G( j ) G(s) s j 是一个复数，可写为
G( j ) G( j ) e
jG ( j )
A( )e
j ( )
G( j ) 和 G( j )是共轭的，故 G( j ) 可写成
G( j ) A( )e
j ( )
R Kc A( )e j ( ) 2j R K c A( )e j ( ) 2j
Kc e
jt
K c e
jt
若系统稳定， G ( s ) 的极点均为负实根。当 t 时得 c(t ) 的稳态分量为 css (t ) lim c(t ) K c e jt K c e jt
t
R G ( j ) R 其中 K c G( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j R G ( j ) R K c G ( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j
为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。
若输入信号为正弦函数，即
r (t ) R sin t
其拉氏变换为
R R R( s ) 2 2 s ( s j )(s j )
N ( s) X 则 C ( s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn ) ( s j )(s j )
第5章 线性系统的频域分析法
频率特性是研究控制系统的一种工程方法， 应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳 态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验 直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率 特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具 图表及经验公式。
有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、

频率分析法

频率分析法

log
更详细的刻度如下图所示
1
2
3 4 5 6 7 8 910
20
一倍频程 一倍频程 一倍频程
一倍频程
30 40 50 60 80 100 一倍频程
十倍频程 十倍频程
十倍频程
一倍频程 十倍频程
lg
0
1
2
ω １ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lgω 0.000 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000
纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以
贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将
或
或 log表A示(。)其2单0位lo分g别A为() 值标注在纵坐标上。log A()
20log A()
相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。
一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。
当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：
增益 20 log(幅值) 20 lg A()
幅值 1
A( )
增益 0
1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0
2
4
6
8
10
15
20
幅值A() 1.00 1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 100 1000 10000
对数幅值
0 2 4 6 8 10 15 20 40 60
80
20lgA()
幅值A() 1.00 0.79 0.63 0.50 0.39 0.32 0.18 0.10 0.01 0.001 0.0001
对数幅值 20lgA()

孙炳达版 《自动控制原理》第5章 控制系统的频率特性分析法-3

孙炳达版 《自动控制原理》第5章 控制系统的频率特性分析法-3

比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入 信号，幅值上有放大或衰减作用；υ (ω)=0º ，表示输 出与输入同相位，既不超前也不滞后。
5.3 典型环节的频率特性
二、积分环节 1.代数表达式 传递函数
G (s) 1 s 1
频率特性 相频特性
幅频特性
A( )

1 1 1 j 90 G( j ) j e j () 90
对数频率特性曲线是一条斜线, 斜率为-20dB/dec, 称为高频渐 近线，与低频渐近线的交点为ωn=1/T，ωn称为交接频率或转 折频率，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。
5.3 典型环节的频率特性
3.伯德图 对数幅频图
L( ) 20lg A( ) 20lg 1 1 2T 2 20lg 1 2T 2
G ( j ) 1 j 2 2 2 (1 2 2 ) j 2 (1 2 2 ) 2 (2 ) 2 e
2 T j arctan 1 2 2
5.3 典型环节的频率特性
2.极坐标图 理想微分环节的极坐标图在0 ＜＜的范围内，与正虚轴重合。 可见，理想微分环节是高通滤 波器，输入频率越高，对信号的 放大作用越强；并且有相位超前 作用，输出超前输入的相位恒为 90º ，说明输出对输入有提前性、 预见性作用。 （纯微分）
在控制工程中，采用分段直线表示对数幅频特征 曲线，作法为： a.当Tω<<1（ω<<1/T）时，系统处于低频段 L( ) 20lg1 0 b.当Tω>>1（ω>>1/T）时，系统处于高频段
L( ) 20lg T
此直线方程过（1/T，0）点， 且斜率为-20dB/dec。

第五章线性系统的频率分析法

第五章线性系统的频率分析法
5.1 频率特性
一、频率特性的定义： 指线性系统或环节在正弦信号作用下，系统输入
量的频率由0变化到 时，稳态输出量与输入量的振 幅之比和相位差的变化规律，用G(jω) 表示。
xr (t) xrm sin(t)
xc(t) xcm sin(t ( ))
稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。
3）在ω轴上，十倍频程的长度相等；
4）可以将幅值的乘除化为加减L(ω)=20lgA(ω) ；
5）满足直线方程：斜率k
k L(2 ) L(1 ) lg2 lg1
例如：G ( s )
1 Ts
1
的（对数频率特性曲线）伯德图
1）频率特性： G( j ) 1
1
tg1T
jT 1 2T 2 1
微分方程、传递函数、频率特性之间的关系：
s d dt
传递函数
微分方程 系统
d j
dt
频率特性
s j
四、 频率特性的几何表示法
常用频率特性的三种表示法： 1)幅相频率特性曲线（又称：幅相曲线、奈奎斯
特图（Nyquist）、极坐标图） 2)对数频率特性曲线（又称：伯德图 (Bode)）
频率对数分度,幅值/相角线性分度
2）对数频率特性：
0
Bode Diagram
Magnitude (dB)
L( ) 201g 1
-10
T 1 2 2
-20
-30
( ) tg1T
-40 0
Phase (deg)
3）画出伯德图：
-45
-90 10-1
100
101
Frequency (rad/sec)
102
五、典型环节的分解

自动控制原理第五章

自动控制原理第五章

第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。

对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。

②便于系统的分析与设计。

③易于用实验法定传函。

§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n-+⋅⋅+⋅⋅⋅+=t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t稳态响应为：tj tj ss eA eA t y ωω⋅+⋅=-)(而)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-=)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m tj m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即φωωj e j G j G )()(= φωωj e j G j G -=-)()(∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j mss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m =)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。

其幅值是输入正弦信号幅值的)(ωj G 倍，其相移为)(ωφj G ∠=。

《频率分析法》课件

《频率分析法》课件

频率分析法的原理
1
计算频率
2
通过统计每个元素在数据样本中出现
的次数，计算出其频率。
3
数据收集
首先，收集需要分析的数据样本。
绘制频率分布图
将元素频率绘制成柱状图、饼图等可 视化图表，以便更直观地展示数据特 征。
频率分析法的优缺点
1 优点
快速、简单易行的分析方法，可以发现数据中隐藏的特征和规律。
2 缺点
《频率分析法》PPT课件
欢迎来到我们的《频率分析法》PPT课件！在这个课件中，我们将介绍频率 分析法的原理、应用领域以及其优缺点。接下来，我们将通过实例和其他检 测分析方法的比较，帮助您更好地理解并掌握这一方法。
频率分析法的介绍
频分析法是一种用于分析数据中成分频率分布的方法。通过统计数据中各个元素出现的频率，我们可 以揭示出数据中的重要特征和趋势，从而为进一步的分析提供依据。
对数据样本的选择和样本量的大小敏感，可能存在样本偏差和统计误差。
频率分析法的实例
股票市场分析
通过对历史股票交易数据进行 频率分析，可以揭示出股票市 场的波动特征和趋势。
客户购买分析
将客户的购买行为数据进行频 率分析，可以识别出客户的偏 好和潜在需求。
网站流量分析
通过对网站访问数据进行频率 分析，可以了解用户访问模式 和流量来源。
频率分析法与其他检测分析方法的比较
频率分析法
通过统计元素出现的频率， 揭示数据的特征和趋势。
回归分析
通过建立数学模型，分析变 量之间的关系。
聚类分析
通过将数据分组，寻找相似 性和差异性。
总结和展望
通过频率分析法，我们可以更好地理解和分析数据中的特征和趋势。未来， 随着数据分析技术的发展，频率分析法将在更多领域发挥重要作用。

第五章频率特性分析法

第五章频率特性分析法

146第5章 线性系统的频域分析与校正时域分析法具有直观、准确的优点。

如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。

然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。

而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是容易实现事。

本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。

频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故又称为频率响应法。

频率法的优点较多。

首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。

其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。

因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。

此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。

这对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。

因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。

5.1 频率特性的基本概念5.1.1 频率特性的定义为了说明什么是频率特性，先看一个R －C 电路，如图5-1所示。

设电路的输入、输出电压分别为()r u t 和()c u t ，电路的传递函数为 ()1()()1c r U s G s U s Ts ==+ 式中，RC T =为电路的时间常数。

若给电路输人一个振幅为X 、频率为ω的正弦信号 即： ()sin r u t X t ω= (5-1) 当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为图5-1 R C -电路1472211()()11c r X U s U s Ts Ts s ωω==⋅+++ 对上式取拉氏反变换，得出输出时域解为()22()arctan 1t T c XT u t e t T T ωωωω-=+-+ 上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。

频率分析法

频率分析法
b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm G( S ) H ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0 一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0 积分环节：1/s 微分环节：s 振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 式中ωn>0，0<ζ<1 二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1; 式中ωn>0，0<ζ<1
j ω=∞ 0 ω=0 K
L( ) 20lg 1 2T 2
-45o ω=1/T
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT = -20(lgω-lg1/T)
仿真图 如下 1
(dB) 20 0
图5.8 惯性环节幅相曲线
20dB/dec 0.1 1/T
(dB) 40 20 0 0.1 -20 (o ) 180 0 -180 图5.12 振荡环节的对数坐标图 0.1 1 10 ω/ωn 1
40dB/dec
10 ω/ωn -40dB/dec
0.9
0.3
0.5
0.1

0.7

1 G( s) 2 , n 1 s 2s 1
0 k
0
(o) 0
ω
·
1
10
ω
图5.3 比例环节K的幅相曲线
图5.4 比例环节的 对数 频率特性曲线
比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是： L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和φ(ω)=0 相应曲线如上右图。

自动控制原理第5章 频率特性分析法

自动控制原理第5章 频率特性分析法

Kce jt

Kce jt
Kc

Gs s
X
j s

j s
j
s j

G j
2j
X
Kc

Gs s
X
j s

j s

j
s j

G
j
2j
X
e e G j G s s j G j G j jG j B() j
知识要点
频率特性是一种数学模型,主要包括三种图形：
幅相频率特性曲线（又称极坐标或Nyquist曲线）， 利用Nyquist稳定判据可由开环频率特性判别闭环系 统的稳定性
对数频率特性曲线（又称Bode图），用相位裕度和幅 值裕度来反映系统的相对稳定性。
对数幅相频率特性曲线（又称Nichols曲线），利用 等M圆和等N圆可由开环频率特性求闭环频率特性， 进而定性或定量分析系统的时域响应。
G(s)

N(s) D(s)


s

p1


s
N(s)
p2


s

pn

设 pi互不相同的实数
若： x(t) X sin t,
则X (s)

X s2 2

s
X
js
j
Y (s)

s

N (s)
p1 s

pn


s

X
j s

j
第一节 频率特性的基本概念
一、频率特性的定义
R
+
+

第五章 频率分析法

第五章 频率分析法
相频特性： ϕ(ω) = ∠G( jω) = −900
三.微分环节
传递函 数： 频率特性：
G(s) = s G( jω) = jω
对数幅频特性： L = 20 lg G( jω) = 20 lgω
对数相频特性： ϕ (ω) = 900
40
0
−40 ϕ( ° )
90° 0°
−90°
20dB / dec ω
相频特性：
ϕ(ω) = 00
20 10
01 − 10 ϕ( ° ) 10°
0° 1 −10°
20lg k
10
100
1000 ω
10
100
1000 ω
二.积分环节
传递函数： 频率特性：
G(s) = 1 s
G( jω) =
1 jω
幅频特性：
M (ω) = G( jω) = 1 ω
对数幅频特性：L = 20 lg M (ω) = 20 lg 1 = −20 lgω ω
2
⎟⎞ ⎠
九.延迟环节
频率特性： 幅频特性：
G( jω) = e− jωτ
M (ω) = G( jω) = 1
对数幅频特性： L = L = 20 lg G( jω) = 20 lg1 = 0
相频特性： ϕ(ω) = ∠G( jω) = −τω
八.一阶不稳定环节
传递函数： 频率特性：
G(s) = 1
−180° 0.1
0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1 Tω
2 3 4 6 8 10
六.震荡环节
传递函数：
s ωω ω ω ω G(s) = 2 + 2ξ
2 n
S+
n

自动控制原理第五章频率分析法

自动控制原理第五章频率分析法

回章首
回节首
12
(2) 频率特性与微分方程的关系 已知线性定常系统的微分方程为
a y
i0 i n
n
(i )
(t ) b j x( j ) (t )
j 0
m
(5-15)
类似于拉氏变换将微分方程两边作傅氏变换可得
[ai ( j) ] Y ( j) [b j ( j) j ] X ( j)
bm s m bm1s m1 ... b1s b0 G( s) n s an 1s n 1 ... a1s a0
这是一个复自变量s的复变函数。 由于 s j ，令s的实部为零时，就可以得到另外一个复 变函数G(j)，表为
G( j) G(s) |s j
（5-1）
复变函数G(j)的自变量为频率，因此将其称为频率特性。
回章首
4
G(j) 以实部和虚部可以表为
G( j) P() (j)的实部；
Q() Im[G( j)] ，为G(j)的虚部。
另外还可以用G(j)的模和幅角来表示为
因此，当频率 从-0及从0++时，G(j)正负频率 的曲线是实轴对称的。通常只画出正频率的曲线即可， 即图中的实线所示。 同理，幅频特性A()是的偶函数，而相频特性() 是的奇函数。
回章首 回节首
16
G(j)的极坐标图绘制时需要取的增量逐点作出，因 此不便于徒手作图。一般情况下，依据作图原理，可以粗 略地绘制出极坐标图的草图。在需要准确作图时，可以借 助于计算机辅助绘图工具来完成G(j)的极坐标图绘制。 G(j)的极坐标图经常用于频域稳定性分析的作图中。
（5-5）
回章首
回节首
8
RC网络频率特性的两条曲线A()和()如图5-3所示。

第五章频域分析法—频率法

第五章频域分析法—频率法

L( ) 20lg M ( )
对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值， 线性均匀分度，单位是度或弧度。
lg
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1
采用对数坐标图的优点是：
(1) 可以将幅值的乘除转化为加减。 (2) 可以采用简便方法绘制近似的对数 幅频曲线。 (3) 扩大了研究问题的视野。在一张图 上，既画出频率特性的中、高频段特性， 又能画出其低频特性，而低频特性对分 析、设计控制系统来说是极其重要的。
惯性环节的幅相特性曲线 j

M()
()
0 1 0




1
0 -90
O
3.对数坐标图—伯德图(H.W.Bode)
对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数幅频 和对数相频两条曲线。 对数频率特性曲线的横坐标表示频率 ，并按 对数分度，单位是1/s。 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函 数值，线性均匀分度，单位是分贝，记作dB。 对数幅频特性定义为
幅相曲线
1
对数幅频特性：
L( ) 20 lg G (j ) 20 lg 20 lg1 20 lg
T 22源自1 T 1 20 lg
T
2
1
对数相频特性： G(j ) arctanT
近似对数幅频特性： 当
1 T
时，T
-26.6 -45 -63.5 -71.5 -76
-78.7 -90
幅频和相频特性曲线
1 1 2T 2 1

频率分析法的基本概念15页PPT

频率分析法的基本概念15页PPT
可见，频率特性就是输出、输入正弦函数用矢量表示时的比值。 表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学 关系。
频率响应法的优点
频率响应法的优点之一在于它可以通过实验量测来获得， 而不必推导系统的传递函数。
事实上，当传递函数的解析式难以用推导方法求得时，常用 的方法是利用对该系统频率特性测试曲线的拟合来得出传递函 数模型。
A() P2()Q2()
()tg1 Q() P()
频率特性与传递函数的关系为：
G(j)G(s)|sj
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域 法在数学上是等价的。
[结论]：当传递函数中的复变量s用jw 代替时，传递函数就转变
为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下 几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们 之间的关系如下：
Hale Waihona Puke ▪27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
15
微分方程
j d
dt
频率特性
s d dt
传递函数
sj
L{g(t)} L1{G(s)}
脉冲函数
从另一方面，若线性系统在正弦信号输入作用下，在稳态 情况下，输入输出都是正弦函数，可用矢量表示：
R (j) R m e jx ， Y (j) Y m e jy
Y(j )Ymej(yx)A ( )ej() R(j ) R m

频率法分析5.3

频率法分析5.3

作业：5-6,5-7,5-8
Monday, February 24,
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2020
三、奈魁斯特稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用：
具有开环0极点系统，其开环传递函数为：
m
k(is 1)
Gk (s)
i 1 n
s (Tjs 1)
j 1
可见，在原点有 重0极点。也就是在s=0点，Gk (s)不解析，
， Z闭环P系统R 是 0不稳(定2)的。2
Monday, February 24,
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2020
[例5-8]系统结构图如右：试判断闭 R(s)
k
环系统的稳定性并讨论稳定性和k
-
s 1
的关系。
[解]：开环系统奈氏图
是一个半径为 k，圆心
在
(
k
2
,0)的圆。显然，
2
k>=1时，包围(-1,j0)点，
我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此 开环频率特性是已知的。设想：
如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据
柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次
数应为：N F (s) |右半零点数 F (s) |右半极点数
闭环系统右半极点数 开环系统右半极点数 当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 ds 在F(s)平面上的映射。
同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭
曲线s，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 f （为 s的映射）。
[例]辅助方程为：F(s) s 2
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2
G1(s)的阶跃响应为 G2(s)的阶跃响应为
G1(s) 比G2(s)的频带宽2倍，时间响应就加快2倍，
频域2019描/5/10述与时域描述重成庆邮反电大比学自。动化学院
3
2、 L()与()的一一对应性质 最小相位系统，可以证明， L()与()有严格对应关
系，说明如下。
（1）如果L()的斜率恒为常数 则()也为恒值相位角
c处的相位角
相位裕度
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2、开环截止频率 c L() = 0 dB时的频率如图。
根据频率、时间反比性质，
c描述了系统的快速性。 c小，则系统响应慢； c大，则系统响应快。
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例5－15 已知二阶系统的 L()如图，试求阶跃响应的
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二、由开环频率特性确定系统的稳态性能
（1）低频段的斜率确定了系统的无差度；
积分器个数 与低频段的斜率相对应。
（2）低频段的高度确定了系统开环增益Ko的大小，进 而确定了有差系统的误差大小。
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开环增益的计算
0型系统
低频段的高度为
I型系统
II型系统
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中频段：0dB线上下约15dB范围内的频率段。 定义
中频段穿越斜率 c：c所对应的频率段 L()的斜率 中频段宽度 h： c所对应的频率段两端转折频率之比
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（1）如果L()在c处的穿越斜率保持为c = -1，且保 持一定的中频段宽度 h，可以保证相位裕度c > 0 ，
调节时间 ts 。 解 开环传递函数
闭环特征方程 调节时间
与c成反比，对于二阶系统严格解析。
高阶系统时，也为反比性质。经验关系式为
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3、闭环系统的频带宽度b
闭环频率特性的幅值由1衰减
至0.707时的频率称为闭环系统
的频带宽度b ，如图所示。
（或者闭环对数幅频特性的幅值下降3dB所对
应的频率为b ）
物理意义：输入信号中，低于b的频率分量全部可以从
系统的输入端传递到输出端，而高于b的频率分量将会
被不同程度地衰减。
c与 b相关
b越宽，允许通过的频谱分量就越多，系统阶跃响应
的上2019升/5/10沿就会越陡峭重。庆邮电大学自动化学院
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4、 中频段穿越斜率 c 和中频段宽度 h
§5.6 开环频率特性分析
用波德图作为工具，以图解方式 分析、讨论系统的稳定性、动态 性能、稳态性能等各种性能指标。
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一、频率特性的两个基本性质
1、频域描述与时域描述的反比性质 已知两个系统分别为G1(s)、G2(s) ，关系为
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穿越斜率c=-2<-1
相位裕度c=0 临界稳定
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（3）即使L()在c处的穿越斜率为-1，而两端 的衔接频率1 、 2很近，也就是说，不能保
持中频段宽度h为足够的宽度，那么，系统的 动态性能也是比较差的。
穿越斜率c=-1
中频段宽度 h =2.25<5 相位裕度c<30 动态性能差
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（2）如果L()在某一段频带宽度内的斜率不是常数， 则在某一角频率下()的大小除了决定于该角频率 下L()的斜率主值
之外，还要受到该频率段之外的各转折频率的影 响。近者影响大，远者影响小。
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两个重要性质说明：
系统一定是稳定的，且动态性能比较好。
穿越斜率 c= -1 > -2
中频段宽度 h = 9 > 5 相位裕度 c > 50 动态性能好。
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（2）如果在处的穿越斜率为c= -2，那么，系
统或者是不稳定的，或者即使是稳定的，其 平稳性也极差，会有较大的振荡产生。
是高阶系统不容易求得。
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例5－14 已知单位反馈的二阶系 统如图所示，其开环传递函数为
确定其相位裕度 c 与阻尼比 之间的关系。
解 开环频率特性
由折线对数幅频特性，相位裕度 c 是 的函数。
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由A()=1，计算开环截止频率c
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三、动态性能分析
1、幅值裕度 Lg 与相位裕度 c
稳定系统： Lg >0dB， c>0
平稳性： 稳性。
Lg 与c为频域指标，从频域描述平
（1）相位裕度c一般不要小于 30。
（2）幅值裕度Lg一般不要小于 6 dB。
c与时域指标相关： c 越大 Mp越小 二阶系统c与时域指标动化学院
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4、高频段衰减率h
L()在高频段的斜率
波德图上 高频分量衰减的程度。 系统克服高频干扰的能力 高阶系统一般情况下， 高频衰减率应为
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例5－16 已知开环对数幅频特性如图所示，试作系统 的性能分析。
解：（1）稳态分析
初始段斜率 = 0，0型系统。
阶跃响应有差， （2）动态性能分析
c
>0，系统稳定，但阶跃响应有一定的振荡
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。
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性质1 确定了时频关系中的伸缩尺度关系，从 而确定了在频域中研究时域运动的基础。
性质2 对于最小相位系统，简化了频域描述方
法 L()可以利用折线关系顺利地作出，而 ()相对 地作图准确性要差。因此由性质 2，最小相位系统时，省略()作图也可以
完成系统的频域分析。
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