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第五章 频率分析法解析

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线性系统的频域分析法

线性系统的频域分析法

转折频率：
n 1 T
+20dB/dec
2 2
L( ) 20 lg 1 T
20 0 -20
1 T
• 低频段：T 1时，
G ( j ) j T 1 1 2T 2 e j arctanT
0
幅相曲线：
Im
∞
ω=0
1 Re
A( ) 1 T 幅频特性：
2
2
( ) arctanT 相频特性：
伯德图：
1）对数幅频图
A( ) 1 2T 2
L(ω)/dB
L( ) 20 lg
20dB/dec
ω
( )
90 0 0.1 1 10
2）对数相频图
( ) G( j ) 90
ω
微分环节的对数坐标图
（4）惯性环节
1 传递函数： G ( s ) Ts 1
频率特性： G ( j )
1 1 j T j T 1 1 2 T 2 1 e j arctanT 1 2T 2 1 幅频特性： A( ) 1 2T 2
1 G( s ) Ts 1
解: 将s=jω代入，求得频率特性为：
1 G( j ) G( s ) s j jT 1 1 T j 2 2 2 2 1 T 1 T
1 1 2T 2
11
e j arctanT
2 2T 22 1 1 T ( ) G( j ) arctan T 相频特性： T 虚频特性： Q( ) Im[ G ( j )] 1 2T 2
R(s) C(s)
G(s)
结论： 稳定的系统，在正弦信号作用下其稳态 输出也是同频率的正弦信号，但振幅和相 位不同。

自动控制原理第五章频域分析法

自动控制原理第五章频域分析法
mn 122
谐振峰值
Am(m) 2
1
12
振荡环节的对数频率特性
L ()2l0 oG g (j) 2l0 o(g 1 n 2 2)24 2 n 2 2
n L()0低频渐近线是零分贝线。
n L ( ) 4 0lo g (/ n) 4 0lo g (T ) n 1 /T
高频段是一条斜率为- 40/dB的直线，和零分
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
r n12 2 ( 1/ 20 .7) 0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
谐振频率
1 / T , L () 2l0 o1 g2 T 2 2l0 o 1 0 g ( d)B
在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。
1 / T , L ( ) 2l0 o1 g 2 T 2 2l0 o T g
当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直
线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。
( )
0 0.1 1 10
0 o 0.1 1 10
45o
20
90o
对数坐标刻度图
注意：
➢纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 ➢ 坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值， ➢ 是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 ➢在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 ➢ 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程 ➢ 的长度都是相等的。 ➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， ➢ 即横坐标每变化十倍频程〔即变化〕所对应的纵 坐

自动控制原理--第五章-频率特性法

自动控制原理--第五章-频率特性法
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出

频率特性分析方法

频率特性分析方法
0
（2）放大环节
Im
G(s) K G( j) K
φ
方法② 直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y 记录仪上显示 x jy或者 B e j 。
A
例1：某系统的传递函数为G：(s)
2(s s2
2)
当输入信号为：r(t) sin(t 1000 )
求出它的稳态输出响应。
解：
G(
j
2( j j )2
如何求模和相角？
G( j
tg1 1800
sin e j e j
2j
t 2
r=Asinωt
K Ts 1
Yss
KA
1 T 2 2
sin(
t
2 )
稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生 了变化，角频率ω没变。
稳态输出与输入 r Asint 比较可得：
幅值比 B
K
A 1 T 22
相位差 2 arctg(T )
2
KU 2 U2 V 2
整理：U 2
V
2
KU
经配方，
即：
U
K 2
2
U V 2
K 2
2
圆的方程。圆心 (K/2, j0),半径K/2。
G( j 与G( j 为共轭复数。
当ω: -∞→+∞，得到完整的频率特性。 顺时针方向是频率特性变化的方向，即ω增加的方向。
Im
K Re
G( j) 为频率特性，是一复数，模 K 为系统的幅
1 T 22
值比
B ，其相角 A
2 为系统的相位差。
推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只 要将传递函数中的变量s用jω代替，便得到了系统的 频率特性。

频域分析法

频域分析法

111 第五章 频域分析法用时域分析法分析和研究系统的动态特性和稳态误差最为直观和准确，但是，用解析方法求解高阶系统的时域响应往往十分困难。

此外，由于高阶系统的结构和参数与系统动态性能之间没有明确的函数关系，因此不易看出系统参数变化对系统动态性能的影响。

当系统的动态性能不能满足生产上要求的性能指标时，很难提出改善系统性能的途径。

本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。

频率特性可以由微分方程或传递函数求得，还可以用实验方法测定。

频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地揭示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响，并可以进一步指明如何设计校正。

第一节 频率特性对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号t U t u ωsin )(= (5—1)则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即) t Y t y ϕω+=sin()( (5—2)u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。

这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。

不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式)()()()()())(()()()()(121s A s B ps s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n =+=+++==∏= (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量；A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)；n p p p ---,,,21 —传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。

由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表)))(()(22ωωωωωj s j s U s U s U -+=+= （5—4） 输出信号y(t)的拉氏变换为Y(s)＝U(s)G(s)将式(5—3)、式（5—4)代人上式得∏=+⨯-+=n j j ps s B j s j s U s Y 1)()())(()(ωωω 上式可改写成(利用部分分式法)nn p s b p s b p s b j s a j s a s Y +++++++-++= 221121)(ωω (5-5)112上式中 n b b b a a ,,,,,2121 —待定系数，它们均可用留数定理求出。

自动控制原理-胡寿松-第五章-线性系统的频域分析法

自动控制原理-胡寿松-第五章-线性系统的频域分析法

第四象限
第三象限
Mr
注意： （特殊点与趋势） 1. A(0) 1, (0) 0; A() 0, () 180 2. 与虚轴的交点 （转折点，是阻尼比的减函数） 2 (0 ) 3.有谐振时， 2 r , M r 为 的减函数 。当 2 0.707 时，谐振峰值 M r 1 。 2
7.延迟环节和延迟系统
1.典型环节
2.最小相位环节的频率特性
（考试、考研重点，nyquist图与bode图必须会画，概率图）
考试的标准画法
L(dB)
20
10
20 lg k
0
10
1
10
100
1000

o
( )
10
0
1
10
100
1000

10
比例环节的nyquist图与bode图
本节目录 1.典型环节 2.最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 3.非最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图） 5.系统的开环对数频率特性曲线（bode图）
重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考，考研可能考。 6.传递函数的频域实验确定
考试的标准画法
o
注意考察几个特殊点： A(0), (0);
积分环节的nyquist图与bode 图
A(), ()
与横轴的交点。 注意横竖坐标交点处的的横坐标值（如果交点处没标横坐标值，则斜线不到头）
比较交点不标记的情况
0
0
纯微分环节的Bode图
半对数坐标系中的直线方程（重要，bode图解计算时经常用到）

第五章频域分析法


惯性环节的幅相特性曲线
j

M()
()
0 1 0




1
0 -90
O
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
3.对数坐标图—伯德图(H.W.Bode) 对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数 幅频和对数相频两条曲线。 对数频率特性曲线的横坐标表示频率 ， 并按对数分度，单位是1/s。 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性 的函数值，线性均匀分度，单位是分贝， 记作dB。 对数幅频特性定义为 L( ) 20lg M ( )
G( j) A()e j ( )
幅频特性A( ) 系统对不同频率输入信号在稳态情况下的衰减 （或放大）特性； 相频特性 ( ) 系统稳态输出对不同频率输入信号的相位滞后 （或超前）特性。 理论上可将频率特性的概念推广到不稳定系统，但是不稳定系 统的瞬态分量不会消失，瞬态分量和稳态分量始终同时存在， 不稳定系统的频率特性观察不到。 频率特性也是描述系统的动态数学模型，频率响应法 从频率特性出发研究系统。
频率特性反映了系统的内在性质,与外界因素无关!!
频率特性的定义: 稳定的线性定常系统，正弦信号的作用下 三种数学模型的关系如图 输出的稳态分量也是正弦信号，和输入频率相同; 振幅与输入信号振幅之比为幅频特性 A( )； 相位与输入信号相位差为相频特性 ( ) 。 输出稳态分量与输入正弦信号的复数比得频率特性。
-26.6 -45 -63.5 -71.5 -76
0
-78.7 -90
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅频和相频特性曲线
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1 1 2T 2 1

第五章频率分析法.ppt

第五章 频域分析法—频率法
频率法的特点：
1、不必直接求解系统的微分方程，而间接的运用系统的 开环特性分析闭环的响应； 2、频率特性具有明确的物理意义，很多元部件都可以用 实验方法确定，进而可计算传递函数； 3、应用广泛，适用于某些非线性系统； 4、频域法也是一种图解的方法； 5、利用频域法可以设计出能有效抑制噪声的控制系统。
-63.5 ° -71.5 °
-78.7 ° -90 °
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1/T 2/T 3/T
-20 -40 -60 -80 -100 0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T
ω 4/T 5/T
由上图曲线可知，输入电压频率ω较低时，输出和 输入的幅值几乎相等，相角滞后不大；当ω增大时，输 出幅值减小，相角滞后增大；ω趋于无穷时，输出幅值 为0，相角滞后90°。 函数1/(1+j ωT)完整的描述了网络在正弦输入下的 稳态输出电压幅值和相角随正弦输入信号频率ω变化的 规律，把1/(1+j ωT)称为网络的平率特性。 因此，对于任何线性定常系统， φ(j ω)＝φ(s)|s= jω 故 幅频特性M(ω)＝|φ(jω)| 相频特性ψ(ω)＝∠φ(jω) 因此，已知一个系统的微分方程或传递函数，只要将 复变量s置换成纯虚变量jω，就可以得到系统频率特性 的数学表达式，并依次作出频率特性曲线。
L/dB 40 20 0.1 ψ 0.1 -90°
积分环节的伯特图
特征点： ω＝1，L＝0dB j
-20
1 10 ω
1
10
0
ω
ω
积分环节的幅相曲线（极坐标图）
积分环节的对数幅频是一条在ω＝1处通过横轴 （0dB）、斜率为－20dB/10倍频程的直线，其相频特 性是一条ψ＝－90°的且和横轴平行的直线。

自动控制理论第五章频率分析法1.详解


5.从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直线
的斜率等于过A点直线的斜率加这个环节的斜率（惯
性环节加-20，振荡环节加-40，一阶微分环节加+20 的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的 加减。 6.高频段最后的斜线的斜率应等于-20(n-m) dB/ 十倍频程。 7.若系统中有振荡环节，当<0.4时，需对L()进 行修正。
④
G(j)曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，
高频段，即ωT>>1时
L( ) 20lg( 2T 2 ) 40lg(T )
当ω增加10倍
L( ) 40lg10Tω 40 40lgTω
即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。当 1 ω ωn T
L( ) 40lg T 40lg1 0(dB)
1 2
振荡环节再分析
L(ω)dB
20lg
1 2 1 2
2 k n G (s ) 2 S 2 S 2 n n (0＜ ＜0.707) 0＜ ＜0.5
20 lg 1 2
= 0.5
0.5＜ ＜1 ω
20lgk
0dB
ωr ωn
[-40]
2 1 2 ωr= n
1. 将开环传递函数化为各典型环节传递函数相乘的形 式，并将分子分母中各因式常数项系数化为1。转化为 开环对数幅频特性；
2.确定出系统开环增益K，并计算 20lg K 。
3.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率 标注在半对数坐标的横轴上。 4.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgK dB的 点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20νdB/dec。当ν=0, ν=1, ν=2时，斜率分别是(0，-20，-40)dB/dec。

自动控制原理 第五章(第一次课)


autocumt@
18
中国矿业大学信电学院 常俊林
ω =1
1 12 + 2 2 e
(− tg
−1 1 2
)j
= 0 . 45 e
− 26 .6 o
c ss (t ) = 2 ⋅ 0 .45 sin t + 30 o − 26 .6 o = 0 .9 sin t + 3 .4 o
autocumt@ 13
(
)
(
)
中国矿业大学信电学院 常俊林
c(t ) = b1e
− s1t
+ ... + bn e
− sn t
+c1e
− jωt
+ c2e
jωt
css (t ) = c1e
− jωt
+ c2 e
jωt
其中: 其中
c1 = C ( s)( s + jω ) s = − jω
Aω = G ( s) ⋅ ( s + j ω ) s = − jω ( s + jω )( s − jω )
[ a (ω ) c (ω ) + b (ω ) d (ω )] + j[ b (ω ) c (ω ) − a (ω ) d (ω )] = c 2 (ω ) + d 2 (ω )
autocumt@ 9 中国矿业大学信电学院 常俊林
5-1 频率特性
b(ω )c(ω ) − a(ω )d (ω ) ϕ (ω ) = arctg a(ω )c(ω ) + b(ω )d (ω )
自ห้องสมุดไป่ตู้控制原理
r (t ) = 2 sin(t + 30 )
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采用对数坐标图的优势：
① 可以展宽频带； ② 对数特性将乘除变为加减运算； ③ 典型环节可用分段直线（或渐近线）近似表
示； ④ 可用实验方法确定系统的频率特性表达式。
对数幅相特性曲线
尼柯尔斯(Nichols)曲线。对数幅相图的横坐标为 相角，纵坐标为对数幅频特性幅值的分贝数。横 坐标、纵坐标都是线性分度。而ω作为参变量标 在曲线相应点的旁边。
为讨论方便，不考虑重极点
G(s) Y (s) N(s)
N (s)
X (s) D(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
x(t) X sin t
X (s) X
X
s2 2 (s j)(s j)
N (s)
X
Y (s) G(s) X (s) (s p1) (s pn ) s2 2
A() | G( j) | ——幅频特性； ()=G( j) ——相频特性；
关系：
P() A() cos() Q() A() sin()
A() P2 () Q2 () () tan1 Q()
P()
频率特性曲线：
1、极坐标频率特性曲线——奈奎斯特(Nyquist)曲线； 2、对数频率特性曲线——伯德(Bode)曲线； 3、对数幅相特性曲线——尼柯尔斯(Nichols)曲线。
1. 应用奈奎斯特判据，根据系统的开环频率特性来分析 闭环系统稳定性；
2. 根据频率特性和性能指标的关系分析系统的瞬态性能 和稳定性指标；
3. 频率特性可以通过实验方法测得； 4. 可以推广应用于某些非线性系统； 5. 图解方法，直观性强，在工程上得到广泛应用。
5.1 频率特性的基本概念及作图
频率特性定义 频率特性和传递函数的关系 频率特性作图
在联系，可相互转化。
频率特性是频域 中的数学模型。
三、频率特性作图
极坐标频率特性曲线 对数频率特性曲线 对数幅相特性曲线
代数式： G( j) P() jQ() P()——实部； Q() ——虚部；
极坐标式： G( j) | G( j) | G( j) A()() 指数式： G( j) | G( j) | e jG( j) A()e j ()
第五章 频率分析法
引言 第一节 频率特性的基本概念及作图 第二节 典型环节频率特性图 第三节 开环频率特性绘制 第四节 Nyquist稳定判据 第五节 稳定裕度 第六节 开环频率特性与时域指标间关系 第七节 闭环频率特性简介 本章小结
引言
频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应 频率响应法是以频率特性为基础研究系统的性能 频率分析法特点：
uo (t)
1
UiT T 2
2te TUi sin(t tan1 T) 1 T 22
当 t 时，有：
lim
t
uo
(t)
Ui sin(t tan1 T) 1 T 22
Uo sin(t uo )
比较输入信号
ui (t) Ui sin t
1、输出电压稳态值是与输入信号同频率的正弦信号； 2、幅值和相角与输入不同，与频率ω和系统参数T有关；
2 21
lg2 lg1 lg2 / 1 lg 2 0.301
频率由1到10的对数分度：
对数坐标图的纵坐标：
• 对数幅频特性曲线的纵坐标：
L() 20lg A() 均匀分度，单位分贝(db)
• 相频特性曲线的纵坐标： 一般以度或弧度为单位进行线性分度。
对数频率特性曲线一般画在半对数坐标纸上。
幅频特性： 相频特性：
A() Y | G( j) |
X () y x G( j)
得到频率特性和传函的关系为：
A()e j() G(s) |s j G( j)
说明：
1. 频率特性适合线性系统或元件； 2. A(ω)和φ(ω)是频率ω的函数，随输入频率变
化而变化，与输入幅值和相角无关； 3. 微分方程、传递函数、频率特性之间具有内
对数频率特性曲线
伯德(Bode)曲线，包括对数幅频特性曲线和相频 特性曲线，应用最多。
对数坐标图的横坐标：横坐标按ω的对数lgω
线性分度，标以ω。
横轴上每一线性单位表示频率的十倍变化，称十 倍频或十倍频程，用符号dec表示。
2 101
lg2 lg1 lg2 / 1 lg10 1
如果ω变化1倍，在对数坐标上变化0.301，称为 倍频程。
n
Ki Kc
Kc
i1 s pi s j s j
n
y(t) Kie pit Kce jt Kce jt i 1
当系统稳定时：
y(t) |t Kce jt Kce jt
写出稳态响应表达式：
Kc
G(s) (s
X j)(s
j)
(s
j) |s j
G( j)X
2j
Kc
G(s)
(s
一、频率特性定义
例：一阶RC网络的频率特性
微分方程：
T
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
若 ui (t) Ui sin t
G(s) Uo(s) 1 Ui (s) Ts 1
则
Ui
(s)
Ui s2 2
Uo(s)
1 Ts
1Ui
(s)
1 Ts 1
Ui s2 2
A Ts 1
Bs c
s2 2
极坐标频率特性曲线
ω：0→∞向量G(jω)在复平面上的运动轨迹。
G(-jω)、 G(jω)共轭，频率特性曲线对称于实轴。
绘制极坐标曲线的方法： 方法一：计算实部和虚部，描点。
G( j) P() jQ()
方法二：计算幅值和相角，描点。
G( j) | G( j) | G( j) A()()
绘制极坐标草图的方法： 1、计算起点和终点； ω为0、∞时，G(jω) 2、计算关键点； 3、给出曲线走向； 4、画出草图。
X j)(s
j)
(s
j) |s j
G( j)X
2j
G( j) | G( j) | e j G( j) | G( j) | e j | G( j) | e j G( j)、G( j)共轭
y(t) X | G( j) | e j[t] e j[t]
2j
X | G( j) | sin(t ) Y sin(t y )
令： A() Uo
1
Ui 1 T 2 2
() tan1 T 0 tan1 T
A(ω)和φ(ω)反映了RC网络频率响应的振幅和相位随频率变换的规律。
:0
A(ω)和φ(ω)联合起来称为系统的频 率特性。
二、频率特性和传函的关系
结论： A()e j() G(s) |s j G( j)