具有扩散的捕食者-食饵系统的稳定性

ｆ ＝ “ （ ａ一 ｌ 一 １ ＋ ｕ － ｖ ）
其 ＝ ＝ ＝
（ １ ． ２ ）
Ｅ（ ｔ ） ＝Ｅ（ “ ） （ ） ＋ｋ Ｅ（ ｖ ） （ ｔ ） 。 注意 到 Ｅ （ ） （ ￡ ） ， Ｅ （ ） （ ￡ ） 都是非 负的 ， 当且仅 当 （ ｕ （ ｘ， ） ， ｖ （ ｘ ， ￡ ） ） ＝ （ ｘ ｉ ＊ ， ｖ ） 时， Ｅ （ “ ） （ ） ＝ ０ 和Ｅ （ ） （ ￡ ） ＝ Ｏ 。进一 步计算 得出 ， ｄ Ｅ （ ｕ ）
：
＝ １ ｌ ＋ ｎ ２ “ 一 盘 ３ 一 ｋ ｖ ） ＋ ｄ １ 。 ， ＝ ｌ 一 １ ＋ “ 一 ｖ ） ＋ ｄ ｚ Ｖ ，
其 中， ｄ ＞ ｏ（ ｉ ＿ １ ， ２ ） 是 相应 于 “和 的扩散 系数 。 。 ＝ 是二 维空间的 Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ 算子 。 模 型（ １ ． ３ ） 在如下 的非零 初始条件下进行分析 ： ｕ （ ｒ ， ０ ） ＝Ｉ ｘ ｏ （ ｒ ） ０ ， ｖ （ ｒ ， ０ ） ＝口 ｏ ｒ ） ≥０， 其中 ｒ ＝ （ ， ｙ ） ＥＱ＝ ［ Ｏ ， Ｌ ］ ｘ ［ ０ ， Ｌ ］ 。 零流边 界条件 为 ： 口 ＝ ａ ＝ ０， （ ｘ ， ｙ ） Ｅｏ ｎ ｘ （ ０ ， ∞） ， 其中 代 表边
ｄ ｅ ｔ Ａ ， ＝ ｄ ａ ｄ ｚ ｐ ￣ ＋ １ ＋ ２ （ ２ 吼 一 ２ ） ｆ ＋ （ 正 ＋ ２ ａ ３ “ 一 口 ２ ）
丁 ， ＝一 （ １ ＋ｄ ｚ ） ｋ ９一 （ ２ ａ ３ －ａ ２ ） －ｖ ＜－ｕ （ ２ ａ ３ ｕ －ａ ２ ） －ｖ 其中 ｄ ｅ ｔ Ａｆ 和 Ｔ ｒ Ａ， 分别 是 矩 阵 Ａｆ 的行 列式 和 迹 。易 知 ， 如 果

＿ ＾ｌ ｌ ） ６ （ （） Ｉ （ Ｉ －（ ㈦ ｂ 刊 】 （） ３
｛（一（： ）∽６） ）（圳 （ Ｉ Ａ∽ｕ ［ ）（ １ ｔ ）（ｎ 一 ｕ Ｏ ） （ ＿ｘｕ ： ２ ２ （ ， ） ｕ ２ Ⅱ ‘ ，
Ｉ Ａ１ ）１６） ．， ３ ，［ ， ）１） ！ ｕ）（。）（，＋一］ －（：，（一，１ ３ １ １（ （ ， ， ，
Ⅱ ￡ ） Ｕ０ｆ ）（，） （ ｆ０ × ｉ １２３ ， ＝ ｉ（， ，ｆ ‘ 一 ，］ ，＝ ，， （ ． ｌ Ｅ ． （） ２ 其中 ｎ是 中的有界区域， 边界为ａ 算子 Ａ 定义为 ｎ，
）
（） ２ ｌ１ ｉ１ １ － （） ｌ１ ｂ Ｉ ＋（ ’ 删
㈦ 也（ ｆ Ｉ ＩＩ ｆ） ｆ］ ｌ
＋
Ｊ １） Ｉｒ） （ ＝（ ， ， ＃ ＋１
●
２
，
（） ４
则称 （ 。 ，， ， 五，： ） 五 ， ） （ 。五， 为系统 （－的有序上、 １ ） 下解． ｎ 定义 ２ 若有一对光滑 函数 （ 。 ， ） （ 。 ， … 五， ，五，
＾ ．
－２ ） ＾ 咖 ：
【 （ ８１Ｔ ｌ １ １－’ ｌ １ （ 枷： 小
．
ＯＢ ，
的生态模型 ， 已为科学工作者们广泛关注．１ 尤其是近 ［ 叫
年来 ， 们考虑 时滞 和空 间等 因素对 模 型 的影 响 ， 出 学者 提
ｙ（ ） ０ Ｅ Ｑ，ｉ（，） 一 ，］ ｃ （ ， “ｏ≥ Ｏ， ‘ ≥ ， ｕ０￡ ∈（ Ｔ０ ，０ ）且 ‘ ａ ．
（，） ．０ × ｔ ∈（ ，］ ． ｒ 本文中， 我们将使用含时滞抛物型微分方程上下解的
概念 和如下一 些 引理 ：
含时滞和扩散的捕食者一食饵模型， 并对其周期性等渐近

３ ｆ—
ｄ ３ Ａｕ ３＝一ｃ ３＋ｄ ｕ １ ３＋ｅ ｕ ２一 ３ ， ∈Ｑ ，ｔ ＞ ０，
（ ３ ）
８． ｕ １ ＝Ｄ ， ｕ ２： ａ ３＝０ ，Ｘ∈ａ Ｑ ，ｔ＞０
／ ｄ ｉ （ ｘ ， Ｏ ） ：Ｕ ｉ ０ （ ） ， ｉ ＝ｌ ， ２ ， ３ ， Ｘ∈Ｑ
ＤＯｈ １ ０ ． ３ ８ ７ ５ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ４ — ３ ５ ６ ３ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ４ ． ０ ０ ９
本 文 考虑 如 下捕 食者 具 阶段 结构 的食 饵一 捕食 者模 型 ：
（ １ 一
Ｖ
＝
Ⅳｌ Ⅳ３ ，
ｐ Ｎ３ 一 Ｎ２
ＮＯ Ｖ ， ２ ０ １ ３
具 阶段结构 的食饵一 捕食 者扩散模 型 的稳 定性
苗 亮英 ，张 睿 ，刘志 高 ２ ，卢 雪丽
（ １ ． 兰州交通大学数理与软件工程学院， 甘肃兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ； ２ ． 白银市工业学校， 甘肃白银 ７ ３ ０ ９ ０ ０ ）
摘 要 ：讨论 了一类捕食 者种群具有 阶段 结构 的食饵 一 捕食者扩散模 型，运 用线性化方法和 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ
数 ．文献 ［ １ ］ 中，作者给模 型 （ １ ）加 上捕获 项后 讨论 了其 非负平衡 点 的稳 定性 ，获得 了其 持续 生存
的条 件及最 优 收获策 略 。受 文献 ［ １ 】 启发 ，本文考 虑给模 型 （ １ ）加上扩散项 ，之 后再讨论 其稳 定性 ．
令 ： 堕
ｄ ｂ ／ ｜
一
ｄⅣ
＝
Ｎ３ ＋ｍａＮ￣ Ｎ３ ＋ｙ Ｎ２ —６Ｎ
其 中，
为食 饵种 群 密度 ，

磐： 粤：， ∈ ｄ ｎ ， ￡ ＞， ｄｎ ａ ｎ “ －
０ ０
， ｅ ｎ 。 ，
詈 一 ｄ ２ Ａ ＝ （ ｅ ｖ ） ， ｅ ｎ ， ｔ ＞ ０ ，
ｕ （ ｘ ， ０ ）＝‰（ ）≥０ ， ｖ （ ｘ ， ０ ）＝ｖ ｏ （ ｘ ） ≥０ ， ｘ∈ｎ
Ｓ ｅ ｐ ．２ ０１ ５
一
类 具 有 反 应 扩 散 和 比 率 依 赖 功 能 性 反 应 的 捕食 者一 食 饵 模 型 的全局 稳 定 性
李学鹏 ， 杨 文生
（ 福建师 范大学 数学与计算机科学学院 ， 福建 福州 ３ ５ ０ ０ ０ ７ ）
摘
பைடு நூலகம்
要： 研究一类具有反应扩散 和比率依 赖功能性反应 的捕食 者一 食 饵模 型。通过 构造 递推序 列和运 用迭 代方法 ， 得
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ａ ｄ ｉ ｆ ｕ ｓ ｉ ｖ ｅ ｐ ｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ — ｐ ｒ ｅ ｙ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｗ ｉ ｔ ｈ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ — ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｆ ｍｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ ｉ ｓ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ．Ｓ ｕ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ
ＤＯ Ｉ ： １ ０ ． １ ４ ０ ９ ６ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｅ ｎ ３ ４ — １ ０ ６ ９ ／ ｎ ／ １ ０ ０ ４ ４３ － ２ ９ （ ２ ０ ］ ５ ） ０ ３ － ０ １ ２ － ０ ４
Ｇｌ ｏ ｂ ａ ｌ ａ ｓ ｙ ｍｐ ｔ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ａ ｄ ｉ ｆｕ ｓ ｉ ｖ ｅ ｐ ｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ － ｐ ｒ ｅ ｙ ｍｏ ｄ ｅ ｌ