一类具阶段结构的捕食者-食饵模型的周期解

一类具有阶段结构时滞功能反应的捕食者-食饵模型
刘琼
【期刊名称】《广西科学》
【年(卷),期】2009(016)002
【摘要】A non-autonomous predator-prey model with stage-structured on prey,time delay,type Ⅲ functional response,continuous harvesting on predator has been studied in this paper.The existence of a positive periodic solution of the system has been established.%研究一类食饵具有阶段结构、捕食者具有时滞功能反应和连续收获的非自治捕食者-食饵模型,得到该模型存在正周期解的充分条件.
【总页数】5页(P126-130)
【作者】刘琼
【作者单位】钦州学院数学与计算机科学系,广西钦州,535000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
【相关文献】
1.一类具有时滞和HollingⅡ类功能反应的捕食者-食饵模型 [J], 唐贵坚;唐清干
2.一类具有时滞和阶段结构的强身型食饵-捕食者模型的Hopf分支 [J], 王丽丽;徐瑞
3.一类具有阶段结构和时滞的捕食者-食饵模型的稳定性分析 [J], 李永凤;朱城志
4.一类具有阶段结构和时滞的捕食者-食饵模型分析(英文) [J], 杨金根;周学勇;师向
云
5.一类具有时滞和阶段结构的食饵-捕食者模型的全局稳定性分析 [J], 王丽丽;徐瑞因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

具阶段结构、密度制约的捕食者—食饵模型本文的主要目的是建立几个捕食者-食饵模型并研究这些模型的渐近性态以及阶段结构、密度制约对种群的影响。

本文第一章，我们将捕食者种群分为未成年与成年两个阶段，并且假使只有成年个体捕食食饵，而未成年个体不捕食食饵；同时假设捕食种群中未成年个体成熟为成年个体的转化率是未成年种群密度的函数；建立了具有阶段结构的捕食者-食饵模型。

得到了系统持续生存的条件，并得到了渐近稳定的周期解。

这说明阶段结构可能是种群数量周期扰动的原因，从而使得种群模型的性态更加复杂。

本文第二章，我们对比率依赖型的捕食者-食饵模型进行了研究。

对于捕食者的死亡率，我们不仅考虑了捕食者的自然死亡因素，而且还考虑了由于种内之间争夺资源及其它原因引起的死亡等因素，即考虑捕食者之间密度制约因素。

对系统在原点的性态，我们作了全面的分析。

原点是一个高阶奇点，在它的邻域内存在多种拓扑结构。

我们得到了系统稳定性的条件，并通过分支理论得到了极限环的存在性。

对退化的唯一正平衡点进行研究，得到了Bogdanov-Takens分支，分支出同宿圈。

并进行了数值模拟。

本文第三章，首先假设捕食者的死亡率依赖于捕食者与食饵的比率，接着分别考虑了捕食者的功能性反应为双线性型的与比率依赖型的捕食者-食饵模型。

对于功能性反应为双线性型的模型，我们得到了正平衡点的全局稳定性。

对于功能性反应为比率依赖型的捕食者-食饵模型，通过分支理论得到了极限环的存在性。

并进行了数值模拟。

一类具时滞有避难所捕食者—食饵系统的Hopf分支及周期解本文研究了一类具有时滞的食饵有避难所的捕食者——食饵系统模型，讨论了该模型非负平衡点的存在性、稳定性。

对正平衡点，得到它稳定的条件；把τ作为参数，得出Hopf分支存在的条件，给出时滞界限τ₀，确定在适当参数条件下τ₀为Hopf分支值；进而计算出决定Hopf分支的方向、分支周期解的稳定性和周期的参数的计算公式中的参数值。

并且通过数值模拟，利用图形对上述结果加以形象的描述。

最后讨论了避难所在此生态学模型中的作用。

本文分为五个部分：模型引入（前言）；预备知识（第一章）；模型分析（第二章、第三章）；例子及数值模拟（第四章）；讨论（第五章）。

一类具时滞和比率依赖的捕食-食饵模型2个周期解存在性吴书韬;梁峰【摘要】In this paper,the authors studies the existence of two periodic solutions for a generalized delayed ratio-dependent predator-prey model with Holling type III functional response:dx(t)dt =x(t)[r1(t)-a(t)x(t-τ1(t))-b(t)∫-t∞k(t-s)x(s)ds]- c1(t)x(t)y2(t)m2 y2(t)+x2(t) dy(t)dt =y(t)[-r2(t)+mc2(t)x(t-τ2(t))y(t-τ2(t))2y2(t-τ2(t))+x2(t-τ2(t))]. By applying Mawhin′s continuation theorem,some new results on the existence of two positive periodic solu⁃tions are obtained.An example is represented to illustrate the feasibility of our main result.%研究一类带有HollingIII型反应函数的捕食-食饵模型 dx(t)dt =x(t)[r1(t)-a(t)x(t-τ1(t))-b(t)∫-t∞k(t-s)x(s)ds]-c1(t)x(t)y2(t)m2 y2(t)+x2(t)， dy(t)dt =y(t)[-r2(t)+mc2(t)x(t-τ2(t))y(t-τ2(t))2y2(t-τ2(t))+x2(t-τ2(t))]。

运用重合度拓展定理，证明其存在2个正周期解。

并举一个实例验证结论的可行性。

【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)004【总页数】7页(P15-21)【关键词】周期解;Mawhin重合度拓展定理;时滞;捕食-食饵模型;比率依赖【作者】吴书韬;梁峰【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖 241003;安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖 241003【正文语种】中文【中图分类】O175由于捕食和食饵的普遍存在性和重要性，它们之间的动态平衡问题一直是生态学和数学生态学中一个重要研究课题.前些年，传统捕食-食饵模型被广泛研究［1-3］.现阶段，由文献［4-6］知，存在更直接的生物学和生理学证据，其表明在许多情形下，尤其是捕食者之间不得不存在竞争或分享食物时，应该在基于比率的情形下，建立一个更具一般性的捕食-食饵模型［7-8］.许多研究者已经研究带有或不带时滞的基于比率依赖的捕食-食饵模型，并且研究了它们的动力学性质［9-19］.鉴于实际问题的周期性，文献［18］研究了带有时滞和基于比率的捕食-食饵模型的周期解存在问题：在（1）式中加入HollingIII反应函数，文献［19］研究了具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的周期解问题：然而，对此类系统的带有2个周期解存在性的研究结果相对较少.受以上研究结果启发，在本文中，我们研究具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的2个周期解存在性问题：在这里，a,b,c1,c2，r1，r2，τ1，τ2是周期为T的连续非负周期函数，m＞0，K(s):R+→R+是可测函数，且满足.这里r1(t)代表食饵的内禀增长率，m代表半捕捉饱和常数，r2(t)代表捕食者死亡率，c1(t)和c2(t)代表转化率；函数代表在没有捕食者时食饵的比生长速率；x2(t)/(m2y2(t)+x2(t))代表捕食者反应函数（反映了捕食者的捕食能力）.运用Mawhin重合度拓展定理［20］，本文证明系统（3）存在2个正周期解.令X，Y是Banach空间，L:Dom L⋂X→Y是线性映射，N:X→Y是一个连续映射.如果L为指标为零的Fredholm映射且存在连续投影P:X→X，及Q:Y→Y使得ImP=Ker L，Ker Q=Im L=Im(I-Q)，则L|DomL⋂KerP:(I-P)X→Im L是可逆的.设其逆映射为 Kp.如果Ω是 X中的有界开集，有界且Kp(I-Q):是紧的,则称 N在是 L-紧的.由于 Im Q与 Ker L同构，故存在同构映射J:Im Q→Ker L.下面的Mawhin重合度拓展定理是证明本文结论的主要工具.例1 在系统（3）中，令则可得那么可验证（h1）和（h2）成立.因此，由定理1，可知系统（3）至少有2个不同的正周期解.注2 由于只有相对较少的文献考虑具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的多个周期解问题，所以本文结果相对来说是较为新颖的.【相关文献】［1］ZHANG Zhengqiu，HOU Zhenting，WANG Li.Multiplicity of positive periodic solutions to a generalized delayed predatorprey system with stocking［J］.Nonlinear Anal，2008，68：2608-2622.［2］DING Xiaoquan，JIANG Jifa.Positive periodic solutions in delayed Gause-type predator-prey systems［J］.J Math Anal Ap⁃pl，2008，339：1220-1230.［3］HU Xiaoling，LIU Guirong，YAN Jurang.Existence of multiple positive periodic solutions of delayed predator-prey models with functional responses［J］.Comput Math Appl，2006，52：1453-1462.［4］KUANG Y，BERETTA E.Global qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system［J］.J Math Biol，1998，36：389-406.［5］JOST C，ARINO O，ARDITI R.About deterministic extinction in ratio-dependent predator-prey models［J］.Bull Math Bi⁃ol，1999，61：19-32.［6］HSU S，HWANG T，KUANG Y.Global dynamics of a predator-prey model with Hassell-Varley type functional response［J］.J Math Biol，2008，10：1-15.［7］HANSKI I.The functional response of predator：worries bout scale［J］.TREE，1991，6：141-142.［8］ARDITI R，PERRIN N，SAIAH H.Functional response and heterogeneities：an experiment test with cladocerans［J］. OIKOS，1991，60：69-75.［9］LIU Xiangsen，LI Gang，LUO Guilie.Positive periodic solution for a two-speciesratio-dependent predator-prey system with time delay and impulse［J］.J Math Anal Appl，2007，325：715-723.［10］SAHA T，BANDYOPADHYAY M.Dynamical analysis of a delayed ratio-dependent prey-predator model within fluctuat⁃ing environmen［tJ］.Appl Math Comput，2008，196：458-478.［11］XIAO Dongmei，LI Wenxia，HAN Maoan.Dynamics in a ratio-dependent predator-prey model with predator harvesting［J］.J Math Anal Appl，2006，324：14-29.［12］RYU K，AHN I.Positive solutions for ratio-dependent predator-prey interaction systems［J］.J Differential Eqns，2005，218：117-135.［13］DAI Binxiang，ZHANG Na，ZOU Jiezhong.Permanence for the Michaelis-Menten type discrete three-species ratio-depen⁃dent food chain model with delay［J］.J Math Anal Appl，2006，324：728-738.［14］AKHMET M，BEKLIOGLU M，ERGENC T，et al.An impulsive ratio-dependent predator-prey system with diffusion［J］. Nonlinear Anal RWA，2006，7：1255-1267. ［15］FAN Yonghong，LI Wantong.Global asymptotic stability of a ratio-dependent predator-prey system with diffusion［J］.J Comput Appl Math，2006，188：205-227. ［16］DEANGELIS D，HOLLAND J.Emergence of ratio-dependent and predator-dependent functional responses for pollination mutualism and seed parasitism［J］.Ecol Model，2006，191：551-556.［17］WANG Mingxin.Stationary patterns for a prey-predator model with prey-dependent and ratio-dependent functional re⁃sponses and diffusion［J］.Phys D：Nonlinear Phenom，2004，196：172-192.［18］FAN Meng，WANG Ke.Periodicity in a delayed ratio-dependent predator-prey system［J］.J Math Anal Appl，2001，262：179-190.［19］WANG Linlin，LI Wantong.Periodic solutions and permanence for a delayed nonautonomous ratio-dependent predatorprey model with Holling type functional response［J］.J Comput Appl Math，2004，162：341-357.［20］GAINES R，MAWHIN J.Coincidence degree and nonlinear differential equations，Lecture notes in math［M］.Berlin：Springer，1977.。

双状态脉冲控制的一类食饵-捕食者模型阶1周期解的存在性耿妍;窦霁虹;李鹏【摘要】研究一类具有HollingⅢ型功能反应函数的食饵-捕食者系统,在两种状态脉冲控制下周期解的存在性问题运用微分方程的几何理论和后继函数的方法,对食饵-捕食者模型中控制参数可能出现的五种情况进行了具体讨论,得到了该系统阶1周期解存在的条件.最后用数值模拟检验了结论的有效性,为现代病虫害治理提供了有效的方法.%This paper proposed the existence of periodic solutions for a class of Holling Ⅲ functional predatorprey model under two-state dependent impulses.By using differential equation geometry theory and method of successor functions,for the possible five cases of controlling parameter in predator-prey system to detailed discussion.Got the existence conditions of order-1 periodic solution with possiblecases.Moreover,numerical simulations are used to illustrate that the main results are effective,providing effective method for the modern pest management.【期刊名称】《西北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(047)005【总页数】6页(P643-648)【关键词】Holling Ⅲ型食饵-捕食者模型;双状态脉冲;周期解;后继函数【作者】耿妍;窦霁虹;李鹏【作者单位】西北大学数学学院,陕西西安710127;西北大学数学学院,陕西西安710127;西北大学数学学院,陕西西安710127【正文语种】中文【中图分类】O175种群动力学中的很多自然现象和人为干预行为都可用脉冲来描述[1]。

一类中立型捕食者－食饵系统的正周期解李建东【摘要】捕食者－食饵是种群生态学中一类重要的模型，考虑了一类带有Watt 型功能反应的中立型捕食者－食饵系统，利用重合度理论中的延拓定理和一些数学分析方法，得到该系统正周期解的存在性，并推广了有关结果。

%Predator-prey is a kind of important model in population ecology.In this paper, a class of neu-tral predator-prey system with Watt-type functional response is ing the continuation theo-rem of coincidence degree theory and some mathematical analysis method, we obtain the existence of pos-itive periodic solutions of this system and generalize the results in the existing literature.【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】6页(P402-407)【关键词】捕食-食饵系统;中立型;延拓定理【作者】李建东【作者单位】吕梁学院数学系，山西吕梁033000【正文语种】中文【中图分类】O175.14捕食者-食饵是一类重要的种群模型，其定性研究受到了很多国内外专家和学者的关注，并产生了许多具有很强实际背景的研究课题.根据生物实验以及捕食者与食饵的内在变化规律，国内外许多学者研究了具有不同功能反应的捕食者-食饵系统，如Monod型功能反应[1]、Holling型功能反应[2]、Bedington型功能反应[3]等.文献[4]建立了具有Watt型功能反应的捕食者-食饵系统：由于Watt型功能反应能够合理地刻画一些捕食者与食饵之间的关系，受到许多生物数学专家的重视，并做了一些很好的研究工作[5-7].2001年，Fan 和Wang[8]研究了下列比率依赖型捕食者-食饵系统:的周期解与稳定性.本文将利用延拓定理研究下列具有Watt型功能反应的中立型捕食者-食饵系统：正周期解的存在性.下面给出一些预备知识.设X,Y是赋范线性空间，L：DomLX→Z是线性映射N:X→Z是连续映射.如果dimKerL=codimImL且ImL是Z中的闭子集，则称L为指标为零的Fredholm映射.如果L为指标为零的Fredholm映射且存在连续投影P:X→X及Q:Z→Z使得ImP=KerL,ImL=KerQ=Im(1-Q),则L|KerP∩DomL(1-P)X→ImL可逆，记其逆映射为Kp.设Ω是X中的有界开集，如果有界且是紧的，则称N在上是L-紧的.由于ImQ与KerL同构，因而存在同构映射J：ImQ→Ker L. 引理1[9] 设X,Z是赋范线性空间，L为指标为零的Fredholm映射,在上是L-紧的，其中Ω是X中的有界开集，并满足：①Lx≠λNx,∀x∈∂Ω∩DomL,λ∈(0,1);②QNx≠0,∀x∈∂Ω∩KerL;③deg{JQNx,Ω∩KerL,0}≠0,则方程Lx=Nx在中至少存在一个解.对于连续的正的ω-周期函数p(t), 定义:在系统(3)中,假设:(H1)b,ρ,n∈(0，+);m∈(0,1);σ∈R;a∈C(R,R);c,d,f,k∈C(R,[0,+])是ω-周期函数；其中β=ln+(|d|0+|f|0)ω.(H4)方程有唯一解定理1 若(H1)～(H4)成立，则系统(3)至少存在一个正ω-周期解.证明令x(t)=eu1(t),y(t)=eu2(t)，系统(3)可写为：若是系统(4)的ω-周期解，则是系统(3)的正ω-周期解.定义赋范线性空间：其中X的范数为|u|{|u1(t)|+|u2(t)|}，Z的范数为‖u‖=|u|+|u′|.令L:X→Z为:N:X→Z为：(1-exp(-neu1(t)/emu2(t)))-d(t)+f(t)(1-exp(-neu1(t)/emu2(t)))].令投影P:X→Z和Q:Z→Z为:Z.显然，KerL=ImP=R2,KerQ=ImL=Im(1-Q). 此外,dimKerL=codim ImL=2,因此L为一个指标为零的Fredholm算子.LP的逆KP:ImL→DomL∩KerP为:另外,QN:X→Z为：易知,QN与KP(I-Q)N是连续的,且对X中的任何有界开集与相对紧.因此，N在上是L-紧的.对于任意λ∈(0,1)，考虑方程Lu=λNu，即:若(u1(t),u2(t))T∈X是系统(5)的解，则：[-d(t)+f(t)(1-exp(-neu1(t)/emu2(t)))]dt=0.根据式(6),根据式(7)，根据式(5)～(8)及条件(H1)，ω.由式(6)，另外，根据式(11)与式(12)得：k(s)eu1(t-s)ds是一个ω-周期函数.根据式(13)，所以，令{eu1(t)+ρeu1(t-σ)},η∈[0,ω].根据式(12)～(14)与条件(H1)得: 根据式(15)与条件(H1)，ρeu1(η-σ)≤ln.根据式(10)，式(16)～(17)，任意t∈[0,ω]，B.所以对任意t∈[0,ω],根据式(5)，式(8)，式(18)，利用(H2)，根据式(5)与式(9)，任意(u1(t),u2(t))T∈X，有ξi,ηi∈[0,ω]，i=1,2使:根据式(8)，式(21)和条件(H3)，所以，根据式(19)，式(22)，任意t∈[0,ω]，根据式(18)，式(23)，利用条件(H3),由于：所以：根据式(9)，式(24)及条件(H3)，任何根据式(25)，根据式(5)，式(18)，式(24)及式(26)，通过条件(H2)，因为|u2′(t)|≤|d|0+|f|0，所以：根据式(24)，式(26)～(28)，利用条件(H4)，令β0足够大，使符合‖‖令β=β2+β6+β7+β8+β0.显然β与λ无关.令:Ω={(u1(t),u2(t))T∈X:‖(u1(t),u2(t))T‖<β}.显然引理1中的条件(1)满足.当(u1(t),u2(t))T∈∂Ω∩KerL=∂Ω∩R2时，(u1(t),u2(t))T∈R2满足|u1|+|u2|=β.根据条件(H4)，QN(u1，u2)T≠(0,0)T,即，引理1中的条件(2)满足.令J=I:ImQ→KerL,(u1,u2)T→(u1,u2)T.记:根据条件(H1)，deg{JQN,Ω∩KerL,0}=从而引理1中的条件(3)满足.因此系统(4)至少存在一个ω-周期解.即系统(3)至少存在一个正ω-周期解.【相关文献】[1]Wang F,Zhang S,Chen L,et al.Bifurcation and complexity of Monod Type predator-prey system in a pulsed chemostat[J].Chaos,Solitons﹠Fractals,2006,27:447-58.[2]Liu B,Teng Z,Chen L.Analysis of a predator-prey model with Holling Ⅱ funvtional response concerning impulsive control strategy[J].J Comput Appl Math,2006,193:347-362.[3]Li Z,Wang W,Wang H.The dynamics of a Beddington-type system with impulsive control strategy[J].Chaos,Solitons﹠Fractaals,2006,29:1229-1239.[4]Watt.A mathematical model for the effect of densities of attacked and attacking species on the number attacked[J].Can Entomol,1959,91:129-144.[5]Lin X Q,Jiang Y L,Lin Y Z,et al.The dynamical complexity of an impulsive Watt-type prey-predator system[J].Chaos,Solitons﹠Fractals,2009,40:731-744.[6]Wang W M,Wang X Q,Lin Y plicated dynamics of a predator-prey system with Watt-typt functional response and impulsive sontrol strategy[J].Chaos,Solitons﹠Fractals,2008,37:1427-1441.[7]Lin X L,Jiang Y L,Wang X Q.Existence of periodic solution in predator-prey with Watt-type functional response and impulsive effeces[J].Nonlinear Analysis,2010,73:1684-1697.[8]Fan M,Wang K.Periodicity in delayed ratio-dependent predator-prey system[J].J Math Anal Appl,2001,262:179-190.[9]Gaines R E,Mawhin J L.Coincidence Degree and Non-linear DifferentialEquations[M].Berlin:Springer Press,1977.。