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一类具有阶段结构时滞功能反应的捕食者-食饵模型
刘琼
【期刊名称】《广西科学》
【年(卷),期】2009(016)002
【摘要】A non-autonomous predator-prey model with stage-structured on prey,time delay,type Ⅲ functional response,continuous harvesting on predator has been studied in this paper.The existence of a positive periodic solution of the system has been established.%研究一类食饵具有阶段结构、捕食者具有时滞功能反应和连续收获的非自治捕食者-食饵模型,得到该模型存在正周期解的充分条件.
【总页数】5页(P126-130)
【作者】刘琼
【作者单位】钦州学院数学与计算机科学系,广西钦州,535000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
【相关文献】
1.一类具有时滞和HollingⅡ类功能反应的捕食者-食饵模型 [J], 唐贵坚;唐清干
2.一类具有时滞和阶段结构的强身型食饵-捕食者模型的Hopf分支 [J], 王丽丽;徐瑞
3.一类具有阶段结构和时滞的捕食者-食饵模型的稳定性分析 [J], 李永凤;朱城志
4.一类具有阶段结构和时滞的捕食者-食饵模型分析(英文) [J], 杨金根;周学勇;师向
云
5.一类具有时滞和阶段结构的食饵-捕食者模型的全局稳定性分析 [J], 王丽丽;徐瑞因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
具阶段结构、密度制约的捕食者—食饵模型本文的主要目的是建立几个捕食者-食饵模型并研究这些模型的渐近性态以及阶段结构、密度制约对种群的影响。
本文第一章，我们将捕食者种群分为未成年与成年两个阶段，并且假使只有成年个体捕食食饵，而未成年个体不捕食食饵；同时假设捕食种群中未成年个体成熟为成年个体的转化率是未成年种群密度的函数；建立了具有阶段结构的捕食者-食饵模型。
得到了系统持续生存的条件，并得到了渐近稳定的周期解。
这说明阶段结构可能是种群数量周期扰动的原因，从而使得种群模型的性态更加复杂。
本文第二章，我们对比率依赖型的捕食者-食饵模型进行了研究。
对于捕食者的死亡率，我们不仅考虑了捕食者的自然死亡因素，而且还考虑了由于种内之间争夺资源及其它原因引起的死亡等因素，即考虑捕食者之间密度制约因素。
对系统在原点的性态，我们作了全面的分析。
原点是一个高阶奇点，在它的邻域内存在多种拓扑结构。
我们得到了系统稳定性的条件，并通过分支理论得到了极限环的存在性。
对退化的唯一正平衡点进行研究，得到了Bogdanov-Takens分支，分支出同宿圈。
并进行了数值模拟。
本文第三章，首先假设捕食者的死亡率依赖于捕食者与食饵的比率，接着分别考虑了捕食者的功能性反应为双线性型的与比率依赖型的捕食者-食饵模型。
对于功能性反应为双线性型的模型，我们得到了正平衡点的全局稳定性。
对于功能性反应为比率依赖型的捕食者-食饵模型，通过分支理论得到了极限环的存在性。
并进行了数值模拟。
一类具时滞有避难所捕食者—食饵系统的Hopf分支及周期解本文研究了一类具有时滞的食饵有避难所的捕食者——食饵系统模型，讨论了该模型非负平衡点的存在性、稳定性。
对正平衡点，得到它稳定的条件；把τ作为参数，得出Hopf分支存在的条件，给出时滞界限τ<sub>0</sub>，确定在适当参数条件下τ<sub>0</sub>为Hopf分支值；进而计算出决定Hopf分支的方向、分支周期解的稳定性和周期的参数的计算公式中的参数值。
并且通过数值模拟，利用图形对上述结果加以形象的描述。
最后讨论了避难所在此生态学模型中的作用。
本文分为五个部分：模型引入（前言）；预备知识（第一章）；模型分析（第二章、第三章）；例子及数值模拟（第四章）；讨论（第五章）。
一类具时滞和比率依赖的捕食-食饵模型2个周期解存在性吴书韬;梁峰【摘要】In this paper,the authors studies the existence of two periodic solutions for a generalized delayed ratio-dependent predator-prey model with Holling type III functional response:dx(t)dt =x(t)[r1(t)-a(t)x(t-τ1(t))-b(t)∫-t∞k(t-s)x(s)ds]- c1(t)x(t)y2(t)m2 y2(t)+x2(t) dy(t)dt =y(t)[-r2(t)+mc2(t)x(t-τ2(t))y(t-τ2(t))2y2(t-τ2(t))+x2(t-τ2(t))]. By applying Mawhin′s continuation theorem,some new results on the existence of two positive periodic solu⁃tions are obtained.An example is represented to illustrate the feasibility of our main result.%研究一类带有HollingIII型反应函数的捕食-食饵模型 dx(t)dt =x(t)[r1(t)-a(t)x(t-τ1(t))-b(t)∫-t∞k(t-s)x(s)ds]-c1(t)x(t)y2(t)m2 y2(t)+x2(t)， dy(t)dt =y(t)[-r2(t)+mc2(t)x(t-τ2(t))y(t-τ2(t))2y2(t-τ2(t))+x2(t-τ2(t))]。
运用重合度拓展定理，证明其存在2个正周期解。
并举一个实例验证结论的可行性。
【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)004【总页数】7页(P15-21)【关键词】周期解;Mawhin重合度拓展定理;时滞;捕食-食饵模型;比率依赖【作者】吴书韬;梁峰【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖 241003;安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖 241003【正文语种】中文【中图分类】O175由于捕食和食饵的普遍存在性和重要性，它们之间的动态平衡问题一直是生态学和数学生态学中一个重要研究课题.前些年，传统捕食-食饵模型被广泛研究［1-3］.现阶段，由文献［4-6］知，存在更直接的生物学和生理学证据，其表明在许多情形下，尤其是捕食者之间不得不存在竞争或分享食物时，应该在基于比率的情形下，建立一个更具一般性的捕食-食饵模型［7-8］.许多研究者已经研究带有或不带时滞的基于比率依赖的捕食-食饵模型，并且研究了它们的动力学性质［9-19］.鉴于实际问题的周期性，文献［18］研究了带有时滞和基于比率的捕食-食饵模型的周期解存在问题：在（1）式中加入HollingIII反应函数，文献［19］研究了具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的周期解问题：然而，对此类系统的带有2个周期解存在性的研究结果相对较少.受以上研究结果启发，在本文中，我们研究具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的2个周期解存在性问题：在这里，a,b,c1,c2，r1，r2，τ1，τ2是周期为T的连续非负周期函数，m＞0，K(s):R+→R+是可测函数，且满足.这里r1(t)代表食饵的内禀增长率，m代表半捕捉饱和常数，r2(t)代表捕食者死亡率，c1(t)和c2(t)代表转化率；函数代表在没有捕食者时食饵的比生长速率；x2(t)/(m2y2(t)+x2(t))代表捕食者反应函数（反映了捕食者的捕食能力）.运用Mawhin重合度拓展定理［20］，本文证明系统（3）存在2个正周期解.令X，Y是Banach空间，L:Dom L⋂X→Y是线性映射，N:X→Y是一个连续映射.如果L为指标为零的Fredholm映射且存在连续投影P:X→X，及Q:Y→Y使得ImP=Ker L，Ker Q=Im L=Im(I-Q)，则L|DomL⋂KerP:(I-P)X→Im L是可逆的.设其逆映射为 Kp.如果Ω是 X中的有界开集，有界且Kp(I-Q):是紧的,则称 N在是 L-紧的.由于 Im Q与 Ker L同构，故存在同构映射J:Im Q→Ker L.下面的Mawhin重合度拓展定理是证明本文结论的主要工具.例1 在系统（3）中，令则可得那么可验证（h1）和（h2）成立.因此，由定理1，可知系统（3）至少有2个不同的正周期解.注2 由于只有相对较少的文献考虑具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的多个周期解问题，所以本文结果相对来说是较为新颖的.【相关文献】［1］ZHANG Zhengqiu，HOU Zhenting，WANG Li.Multiplicity of positive periodic solutions to a generalized delayed predatorprey system with stocking［J］.Nonlinear Anal，2008，68：2608-2622.［2］DING Xiaoquan，JIANG Jifa.Positive periodic solutions in delayed Gause-type predator-prey systems［J］.J Math Anal Ap⁃pl，2008，339：1220-1230.［3］HU Xiaoling，LIU Guirong，YAN Jurang.Existence of multiple positive periodic solutions of delayed predator-prey models with functional responses［J］.Comput Math Appl，2006，52：1453-1462.［4］KUANG Y，BERETTA E.Global qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system［J］.J Math Biol，1998，36：389-406.［5］JOST C，ARINO O，ARDITI R.About deterministic extinction in ratio-dependent predator-prey models［J］.Bull Math Bi⁃ol，1999，61：19-32.［6］HSU S，HWANG T，KUANG Y.Global dynamics of a predator-prey model with Hassell-Varley type functional response［J］.J Math Biol，2008，10：1-15.［7］HANSKI I.The functional response of predator：worries bout scale［J］.TREE，1991，6：141-142.［8］ARDITI R，PERRIN N，SAIAH H.Functional response and heterogeneities：an experiment test with cladocerans［J］. OIKOS，1991，60：69-75.［9］LIU Xiangsen，LI Gang，LUO Guilie.Positive periodic solution for a two-speciesratio-dependent predator-prey system with time delay and impulse［J］.J Math Anal Appl，2007，325：715-723.［10］SAHA T，BANDYOPADHYAY M.Dynamical analysis of a delayed ratio-dependent prey-predator model within fluctuat⁃ing environmen［tJ］.Appl Math Comput，2008，196：458-478.［11］XIAO Dongmei，LI Wenxia，HAN Maoan.Dynamics in a ratio-dependent predator-prey model with predator harvesting［J］.J Math Anal Appl，2006，324：14-29.［12］RYU K，AHN I.Positive solutions for ratio-dependent predator-prey interaction systems［J］.J Differential Eqns，2005，218：117-135.［13］DAI Binxiang，ZHANG Na，ZOU Jiezhong.Permanence for the Michaelis-Menten type discrete three-species ratio-depen⁃dent food chain model with delay［J］.J Math Anal Appl，2006，324：728-738.［14］AKHMET M，BEKLIOGLU M，ERGENC T，et al.An impulsive ratio-dependent predator-prey system with diffusion［J］. Nonlinear Anal RWA，2006，7：1255-1267. ［15］FAN Yonghong，LI Wantong.Global asymptotic stability of a ratio-dependent predator-prey system with diffusion［J］.J Comput Appl Math，2006，188：205-227. ［16］DEANGELIS D，HOLLAND J.Emergence of ratio-dependent and predator-dependent functional responses for pollination mutualism and seed parasitism［J］.Ecol Model，2006，191：551-556.［17］WANG Mingxin.Stationary patterns for a prey-predator model with prey-dependent and ratio-dependent functional re⁃sponses and diffusion［J］.Phys D：Nonlinear Phenom，2004，196：172-192.［18］FAN Meng，WANG Ke.Periodicity in a delayed ratio-dependent predator-prey system［J］.J Math Anal Appl，2001，262：179-190.［19］WANG Linlin，LI Wantong.Periodic solutions and permanence for a delayed nonautonomous ratio-dependent predatorprey model with Holling type functional response［J］.J Comput Appl Math，2004，162：341-357.［20］GAINES R，MAWHIN J.Coincidence degree and nonlinear differential equations，Lecture notes in math［M］.Berlin：Springer，1977.。
