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自身阻滞作用的食耳捕食者模型引言生物群落中存在着各种各样的食物链关系，其中包括捕食者与被捕食者之间的关系。
在某些情况下，被捕食者能够通过一种自身阻滞作用来影响食物链的稳定性。
本文将介绍自身阻滞作用的食耳捕食者模型，并给出相应的差分方程模型，解释模型的含义。
自身阻滞作用的概念自身阻滞是指被捕食者通过某种方式抑制自己的数量增长或降低自己的生存率，以减少捕食者的数量。
这种自我调控机制可以帮助被捕食者在资源有限的环境中生存下去，从而维持整个食物链的平衡。
食耳捕食者模型食耳捕食者模型是一种用于描述捕食者和被捕食者之间相互作用的数学模型。
在自身阻滞作用的食耳捕食者模型中，被捕食者通过减少自身的繁殖能力来限制捕食者的数量。
模型假设在自身阻滞作用的食耳捕食者模型中，我们假设以下条件： 1. 被捕食者种群的增长率正比于被捕食者种群的数量，即被捕食者数量越多，增长率越快。
2. 捕食者种群的增长率正比于被捕食者种群的数量和捕食者种群的数量的乘积，即两者数量越多，增长率越快。
3. 被捕食者的繁殖率与其自身数量呈负相关，即被捕食者数量越多，繁殖率越低。
4. 被捕食者的死亡率与其自身数量呈正相关，即被捕食者数量越多，死亡率越高。
模型表达式根据以上假设，我们可以得到自身阻滞作用的食耳捕食者模型的差分方程表达式如下：其中，N表示被捕食者的数量，P表示捕食者的数量，r1表示被捕食者的增长率，r2表示捕食者的增长率，a表示被捕食者的繁殖减少系数，b表示被捕食者的死亡增加系数。
模型解析通过分析差分方程，我们可以得到以下结论和解释： 1. 当没有捕食者时，被捕食者的数量会以r1的速率增长。
这是因为没有捕食者时，被捕食者没有受到外部的控制，可以自由地繁殖。
2. 当捕食者的数量增加时，被捕食者的繁殖率会下降，即被捕食者的数量增长被限制。
这是因为捕食者的存在对被捕食者造成了威胁，被捕食者会通过减少繁殖来抑制自己的数量增长，从而逃避被捕食的风险。
食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。
关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。
就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。
1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。
羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。
2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。
（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。
攀枝花学院学生课程设计（论文）题目：产品广告费用分配对销量及利润的影响模型学生姓名：**学号： ************ 所在院(系)：数学与计算机学院专业：信息与计算科学班级： 12信本1班指导教师：马亮亮职称：讲师2014年12 月19 日攀枝花学院教务处制攀枝花学院本科学生课程设计任务书注：任务书由指导教师填写。
摘要广告，就是广而告知的意思。
随着市场经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成为了重要的竞争工具，也是企业培育市场、培养品牌的重要方式。
不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放时间、投放程度、投放市场的选择都是千差万别的。
今天我们从数学建模角度结合数学知识研究产品广告费用分配对销量及利润的影响，建立广告投入策略的模型，讨论了不确定环境下使得公司获利最大的最优广告费投入量。
并用模拟近似法进行应用实例分析，从而得到模型参数的变化对最优策略的影响．本文还进一步考虑了模型的优缺点，并根据提出的缺点，对模型进行了进一步改进，并提供了一些相关的评估方法。
[关键词]：广告费用; 市场竞争；销量；利润；优化模型；增长因子目录摘要 (I)一丶问题重述 (1)二丶符号说明 (2)三、问题分析 (2)四、模型假设 (3)五、模型建立与求解 (4)六、结果解释 (6)七、实例分析 (6)八丶模型评估 (9)参考文献 (10)一丶问题重述甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x和y。
设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占得份额，是它们的广收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。
试构造，模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。
（2）写出甲公司利润的表达式p(x)。
对于一定的y，使p(x)最大的x的最优值应满足什么关系。
用图解法确定这个最优值。
二丶符号说明k 、c: 任意常数；x 、y:甲、乙两公司各自投入的广告费； t: yx x t +=；p(x): 甲公司投入广告后获得的利润。
《数学建模》课程教学论文题目：具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型专业：班级：学号：学生姓名：完成日期：⇒,,,>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=d b a r bxy dy dtdy axy rx dt dx ()⎩⎨⎧+-=-=)()()(bx d y t y ay r x t x 研究具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型摘要：讨论具有作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定性的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论的正确性。
研究自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者，目的是延迟或阻止自身反应过程的发生和发展，运用Volterra 模型和Logsitic 规律的功能研究自身阻滞作用，由稳定性和相轨线来论证。
关键词： 食饵-捕食者系统 自身阻滞 平衡点稳定性 符号说明：;食饵的数量--x 捕食者的数量；--y;)(时刻的数量食饵在t t x --时刻的数量；捕食者在t t y --)(r --食饵独立生存时的增长率；a --捕食者掠取食饵的能力b --食饵对捕食者的供养能力；d --捕食者独自存在时的死亡率； 1r --食饵的固有增长率；2r --捕食者的固有增长率； 1N --食饵最大容量；2N --捕食者最大容量；1σ--食饵自身的竞争能力；2σ--捕食者自身的竞争能力基本假设：(1 )食饵由于捕食者的数量增长使得食饵数量减少，即r 与捕食者数量y 成正比，即;y r x =∙（2）捕食者没有食饵的存在就会死亡，死亡率为d ，即;dy y -=∙（3）对于食饵有)1(11N xx r x -=∙,其中11N x -是由于食饵对资源的消耗导致自身的增长阻滞作用。
建立模型：1.模型一 没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞该模型反映了在没有捕获时食饵--捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是V olterra 提出的最简单的模型[]1。
具时滞和食物补贴的捕食者—食饵模型的分支研究为了保护物种的多样性,维护生态平衡,需要对种群动力学模型进行深入研究,揭示出种群之间的相互作用关系。
在种群动力学中,捕食者-食饵模型因其重要性一直受到各界学者的关注。
在描述种群数量变化时,需要考虑到物种的成熟期和能量的转化时间,因此有必要在系统中引入时滞,以便更好地反应实际情况。
所以本文讨论了一类具时滞的捕食者-食饵模型,并在模型中引入了食物补贴项的影响。
首先,讨论了系统正平衡点的存在唯一性,在此基础上利用特征方程根的分布分析方法分析其稳定性,得到了在正平衡点处存在局部Hopf分支的充分条件。
又由中心流形定理和规范型理论,分析了正平衡点处Hopf分支的性质,包括分支的方向、分支周期解的稳定性以及周期解周期的变化等。
其次,在局部Hopf分支的基础上进一步研究系统周期解的大范围存在性问题。
由全局Hopf分支定理可以得到每个连通分枝是无界的,接着证明了系统的解具有正性,又利用常微分方程高维Bendixson定理证明系统没有非常值?-周期解,进而得到了周期解的全局存在性结论。
最后,本文分为两部分进行数值模拟。
第一部分以时滞为参数,观察系统在不同时滞处的稳定性和全局Hopf分支的存在性,对之前的理论结果给予了算例支撑;第二部分分别以食物补贴投放率、环境承载量、捕食者消耗食饵的最大速率和转换因子为参数。
通过模拟观察其对第一个分支值的影响,从而得到各参数对系统稳定区间的影响,同时解释了各种情况下的生物学意义。
食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。
关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。
就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。
1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。
羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。
2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。
（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。
被捕食者—捕食者模型稳定性分析【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。
本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。
【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性一、问题重述在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。
下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。
二、问题分析本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方程，并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。
然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。
三、模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；四、符号说明)(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量；)(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量；1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率；2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量；1σ——单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ——单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d ——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。
两类食饵—捕食者模型的稳定性分析两类食饵—捕食者模型的稳定性分析引言生态系统中食物链是一种基本的生态关系，其中包括食饵和捕食者之间的相互作用。
食饵-捕食者模型是用来描述食饵和捕食者之间相互作用关系的数学模型。
在自然界中存在不同类型的食饵-捕食者模型，其中一种常见的模型是“两类食饵—捕食者模型”。
本文将对该模型的稳定性进行分析。
一、模型描述这个模型中包括两类食饵和一个捕食者。
我们用 V1, V2 分别表示两类食饵的个体数量，用 P 表示捕食者的个体数量。
模型可以由以下方程组描述：（1）dV1/dt = r1V1(1 - V1/K1) - a1V1P（2）dV2/dt = r2V2(1 - V2/K2) - a2V2P（3）dP/dt = b1a1V1P - m1P + b2a2V2P - m2P其中，r1和r2分别表示两类食饵的增长率，K1和K2表示它们的环境容量；a1和a2是食饵和捕食者之间的捕食率；b1和b2分别是捕食者每次捕食时所消耗的食饵个体数量；m1和m2分别表示捕食者的自然死亡率。
二、平衡点的求解平衡点是指系统中各个物种个体数量不发生变化的状态。
我们令方程组（1）-（3）中各个方程等于零，解得平衡点：V1* = 0；V2* = 0；P* = 0这是一个零平衡点，表示所有个体数量均为零。
三、稳定性的分析我们需要分析模型中平衡点的稳定性，以了解该模型的动态行为。
1. 线性稳定性分析为了方便分析，我们将模型（1）-（3）化为线性形式：（4）dV1/dt = (r1 - a1P)V1（5）dV2/dt = (r2 - a2P)V2（6）dP/dt = (b1a1V1 + b2a2V2 - m1 - m2)P对于线性系统（4）-（6），可以利用特征值的方法进行分析。
计算特征值后得到系统的特征方程：λ^3 + (m1 + m2 - b1a1V1* - b2a2V2*)λ^2 + (a1a2P* - (r1 + r2 + m1 + m2))λ + a1a2P*(r1 + r2) = 0通过分析特征方程的根的实部和虚部，可以判断平衡点的稳定性。
楚雄师范学院数学系《数学模型》课程教学论文自身阻滞作用下的食饵—捕食者模型题目：专业：数学与应用数学班级：数学系09级01班学号： 20091021135学生姓名：韩金伟完成日期： 2011 年 12 月楚雄师范学院数学系09级01班韩金伟学号：20091021135楚雄师范学院数学系09级01班 韩金伟 学号：20091021135自身阻滞作用下的食饵——捕食者模型V olterra （Logistic ）考虑自身阻滞作用的食饵——捕食者模型一、模型要求讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵——捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。
二、问题叙述针对两种群的生存关系食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）的V olterra 模型，我们在实际的生态系统中观察不到V olterra 模型显示的那种周期性震荡，而是趋向于某种平衡状态，即系统存在稳定平衡点。
在V olterra 模型中，我们看到他并没有考虑种群的自身阻滞作用对模型的影响。
为此，我们现在就在V olterra 模型中加入考虑种群自身阻滞作用Logistic 项重新建立模型对食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）的关系加以分析。
三、建立模型食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）在时刻t 的数量分别记作)(),(21t x t x ，因为大海中资源丰富，假设在它们生存的空间里容纳食饵和捕食者的最大容纳量分别为21N N ，，当食饵独立存在时以指数规律增长，（相对）增长率为1r ，即11x r x= ，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者的数量成正比，即22N x ，食饵数量的增长对自身也有一定的阻滞作用，阻滞率为11N x，于是)(1t x 满足方程)1(r )(2211111N xN x x t xσ--= （1） 1σ反映单位数量的乙（相对于甲）捕食单位数量甲（相对于乙）的能力。
捕食者离开食饵无法生存，设它独立存在时死亡率为2r ，即22x r y-= ，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长，设这种作用与食饵数量成正比，即11N x ，而捕食者的增长又对自身产生了阻滞作用，阻滞率为22N x ，于是)(2t x 满足方程)1()(2211222N x N x x r t y-+-=σ （2）2σ反映单位数量的甲（相对于乙）供养单位数量乙（相对于甲）能力。
方程（1），（2）是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约关系，这里考虑到了种群的自身阻滞作用，是V olterra 模型的延伸。
四、符号说明)(1t x：食饵（食用鱼）在时刻t 的数量。
）t x (2 ：捕食者（鲨鱼）在时刻t 的数量。
1r ：食饵（食用鱼）独立存在是以指数规律增长，（相对）增长率。
2r ：捕食者（鲨鱼）独立存在时的死亡率。
1σ：单位数量的乙（相对于1N ）捕食单位数量甲（相对于2N ）的能力。
2σ：单位数量的甲（相对于2N ）供养单位数量乙（相对于1N ）的能力。
1N ：生存环境允许食饵的最大生存量。
2N ：生存环境允许捕食者的最大生存量。
五、模型分析1、稳定性分析：为了了解食饵和捕食者在自身阻滞作用下的生存结局，即∞→t 时，)(),(21t x t x 的趋向，我们对方程（1），（2）的平衡点进行稳定性分析。
首先根据微分方程（1），（2）解代数方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-≡==--≡=0)1(),(0)1(),(22212222212211111121N xN x x r dt dx x x f N xN x x r dt dx x x f σσ 可以得到3个平衡点：)0,0(1p )0,(12N p ()2122211131)1(,1)1(σσσσσσ+-++N N p按照判断平衡点稳定性的方法计算，可以得到：（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=）2211221222211122111121(-)21(A 2121N x N x r N x r N x r N x N x r g g f f x x x xσσσσ4,3,2,1,|)(21=+-=i g f p i p x x 4,3,2,1,|det ==i A q i p 对三个平衡点进行稳定性分析：（1）、对于)0,0(1p 点，由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210A σσ，2121,r r q r r p -=+-=，故1p 点不稳定。
（2）、对于)0,(12N p 点，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=122121110r r N N r r A σσ，解得)1(221--=σr r p ，)1(221-=r r r q ，所以当12<σ时2p 点稳定。
（3）、对于()2122211131)1(,1)1(σσσσσσ+-++N N p 点，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-++-+--=21222211221212111212111)1()1()1()1(1σσσσσσσσσσσσσσr r N N N N r r A （4）解得2121212122111)1)(1(,1)1()1(σσσσσσσσ+-+=+-++=r r q r r p ，当1,1,12121>>>σσσσ时3p 点稳定。
从上表中可以看出)0,0(1p 是不稳定的点；当12<σ时，)0,(12N p 点是稳定点；当12>σ时，()2122211131)1(,1)1(σσσσσσ+-++N N p 是稳定点。
2、相轨线分析： 对于非线性方程（1），（2）我们对它们的局部稳定性做基础上的相轨线分析，在代数方程组（3）中，令： 2211121_1),N x N x x x σφ-=（ 22112211),N x N x x x --=σϕ（ 对于稳定点32,p p 做稳定点的相平面分析即：对于2p 点的相平面分析我们可以看到图像的各个区域都趋向于)0,(12N p 点，3p 点的相平面分析可以看到各个区域都趋向于()2122211131)1(,1)1(σσσσσσ+-++N N p 点。
六、模型求解方程（1），（2）没有解析解，我们从前面的分析可以看出，21,σσ的取值对食饵和捕食者的关系有直接的影响，有前面的分析我们可以知道1σ对方程（1），2p 点的相平面分析3p 点的相平面分析（5）（2）的稳定性没影响，主要是是2σ对方程产生了影响。
我们现在就分两步对这个模型所描述的现象进行分析。
首先，利用Matlab 软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜想它的解析解的结构；然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜想。
记食饵和捕食者的初始数量分别为：)0(1x ＝0x ，)0(2x ＝0y （6）求微分方程（1），（2）及初始条件（6）的数值解)(),(21t x t x （并作图）及相轨线）（t x 2。
1、当12>σ时，设35,100,2)2(,6.1)1(,5.0,1212121========N N a a r r σσ，0x =10，0y =30,)()(),()(21t x t y t x t x ==则用MATLAB 软件编程序如下： 建立M 文件输入以下程序并保存 function xdot=shier(t,x)r(1)=1;r(2)=0.5;a(1)=1.6;a(2)=2;N(1)=100;N(2)=35;xdot=[(1-x(1)/N(1)-a(1)*x(2)/N(2)).*(r(1)*x(1));(-1+a(2)*x(1)/N(1)-x(2)/N(2)).*(r(2)*x(2))];在执行栏中直接输入下列程序求解 ts=0:0.1:50; x0=[10,30];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,可得到)()(),()(21t y t x t x t x ==及相轨线)()(2t y t x =的图形（由于数值结果太多也不是太重要，所以此处就省略去）。
12>σ时，由图形可以看出)(),(21t x t x 是相互趋于稳定的函数，以此相对应的相轨线)(x 2t 也只是在某段才有曲线。
并且当食饵的数量小于捕食者的数量时，曲线会自动的上升和下降，也就是食饵和捕食者最终都将归于平衡状态，在自身的阻滞作用下食饵和捕食者的数量终究都不能达到环境允许的最大值。
2、当12<σ时，设100,6.0)2(,6.1)1(,5.0,112121=======N a a r r σσ，35N 2=，0x =10，0y =30,)()(),()(21t x t y t x t x ==则用MATLAB 软件编程序如下：建立M 文件输入以下程序并保存 function xdot=shier(t,x)r(1)=1;r(2)=0.5;a(1)=1.6;a(2)=0.6;N(1)=100;N(2)=35;xdot=[(1-x(1)/N(1)-a(1)*x(2)/N(2)).*(r(1)*x(1));(-1+a(2)*x(1)/N(1)-x(2)/N(2)).*(r(2)*x(2))];在执行栏中直接输入下列程序求解 ts=0:0.1:50; x0=[10,30];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,可得到)()(),()(21t y t x t x t x ==及相轨线)()(2t y t x =的图形（由于数值结果太多也不是重要，所以此处就省略去）。
数值解x(t),y(t)的图形相轨线)(2t x 的图形12<σ时，由图形可以看出)(),(21t x t x 是相互趋于稳定的函数，以此相对应的相轨线)(x 2t 也只是在某段才有曲线。
并从图像中可以看出，食饵和捕食者由于捕食者的捕食能力低于自身要求水平，所以最终捕食者的数量趋近于零，而食饵的数量则趋于最大值，同样的两个种群相互的作用下最终达到平衡，不在发生明显的波动现象。
七、模型结论通过上述实验的数据和图形可以表明：当12>σ时，3p 点稳定，食饵和捕食者共存，无论是食饵和捕食者的数量如何，只要同时存在二者就能分别趋向于非零的有限值，而且始终都不能达到自己环境所允许的最大值；12<σ时，2p 点稳定此时因为食饵供养捕食者的能力低于捕食者自身的基本生存要求，所以捕食者就慢慢灭绝了，而食饵则趋向环境允许的最大容量。
