捕食者-食饵系统中的功能性反应简介

具有Holling-Ⅱ型功能性反应的捕食者-食饵时标动力学系统的周期解倪铁;范猛【摘要】研究了定义在一般时标上的具有Holling-Ⅱ型功能性反应和两种群均密度制约的捕食者-食饵系统.利用重合度理论的延拓定理讨论了此系统周期解的存在性问题,得到了保证周期解存在的充分条件.【期刊名称】《天津大学学报》【年(卷),期】2009(042)001【总页数】5页(P86-90)【关键词】时标;捕食者-食饵系统;Holling-Ⅱ型功能性反应;周期解;重合度【作者】倪铁;范猛【作者单位】天津大学理学院,天津,300072;东北师范大学数学与统计学院,长春,130024【正文语种】中文【中图分类】Q141近年来，关于捕食者与食饵生态系统动力学特征的研究吸引了很多专家和学者的注意，并形成了许多具有很强实际背景的新课题．捕食者-食饵相互作用关系是生物种群之间相互作用的基本关系之一，是生态学、生物数学的研究热点.功能性反应在捕食者-食饵系统的研究中扮演着重要的角色．文献[1-4]对连续的捕食者-食饵系统模型的周期解存在性问题进行了研究，并给出了周期解存在的充分条件．文献[5-6]对离散的捕食者-食饵系统模型的周期解存在性问题进行了研究，并给出了周期解存在的充分条件．通过对其进行研究发现，二者对周期解存在性的研究方法和结果非常相似．1990年德国数学家Stefan Hilger在他的博士论文中建立了时标（time scales）理论，即一个连续和离散计算的统一方法．其工作成果使这一理论受到广泛关注. Bohner和Peterson[7]在2001年出版的著作中系统地分析了时标动力学方程的重要性质．张炳根[8]在 2004年综述了时标微分方程理论的基本概念及其进展．时标理论的出现，使得前面提到的问题有了很好的解决方法．文献[9]研究了时标上具有 Holling-Ⅱ型功能性反应的捕食者-食饵系统模型周期解的存在性问题，但模型中没有考虑捕食者的密度制约效应.因此对于两种群都具有密度制约的条件下，具有 Holling-Ⅱ型功能性反应的捕食者-食饵系统模型尚未进行研究．笔者在时标上系统地研究具有Holling-Ⅱ型功能性反应和两种群均密度制约的捕食者-食饵系统模型周期解的存在性问题，其研究方法是重合度理论的延拓定理．1 预备知识首先介绍一些时标中的基本概念和重要引理，这些概念的定义以及引理的证明可以参见文献[7].定义1任意一个实数集R是一个非空闭子集，称为一个时标，记为T.例如：R，Z，∪ k ∈Z [k,2 k+1].令ω＞ 0，对任意的t∈T，使得t+ ω∈T，则称T是ω-周期的.定义2定义前跃算子σ: T →T和后跃算子ρ: T →T，满足grainniness 函数μ:T→ R +=[0,∞)，满足μ( t)= σ( t) − t ,∀t ∈T.若σ( t) = t，点t称为右稠的，否则称为右散的.若ρ( t) = t，点t称为左稠的，否则称为左散的.定义3设函数f :T →R.令t∈T，定义f Δ(t)满足对于∀ε ＞ 0，∃ t 的邻域 U ( 即U = (t −δ,t + δ)), s.t.f Δ (t)称为 f在t的delta导数.若对于∀t ∈T，f Δ(t)存在，称 f在T上delta可导.显然，当T=R时，f Δ(t) = f′( t)；当 T =Z时，f Δ (t) = f( t + 1)− f( t)= Δ f( t).定义4函数F :T →R，称为f :T →R的原函数，若F Δ (t) = f( t) ,∀t ∈T，那么定义定义5函数f :T →R称为右稠连续，若在T上的右稠点处连续，左稠点处存在左极限.所有右稠连续函数f :T →R的集合记为 C rd(T).若f ∈ Crd(T)，则f可积.引理1每个右稠连续函数都有原函数.引理2如果a, b ∈T ,α, β∈R，函数f, g∈ Crd(T) ，那么（2）对任意的t∈T，当a≤t≤b时，如果f( t)≥0，那么（3）对任意t∈T，当a≤t≤b时，如果g( t)，那么为了方便起见，采用记号式中g ∈ Crd(T)是周期为ω的实函数，即对∀t∈T，有g( t + ω) = g( t).为了得到本文的主要结果，引入重合度理论中的延拓定理.设X、Z是赋范向量空间，L :DomL⊂ X →Z为线性映射，N: X → Z连续映射.如果dimKer L= codimImL＜+∞且ImL是Z的闭子集，则映射L称为指标为零的Fredholm 映射.如果L是指标为零的Fredholm 映射且存在连续映射P: X → X和Q: Z →Z 使Im P = KerL,Im L = KerQ=Im(I − Q ),则L可逆，设其逆映射为 Kp.设Ω是X中的有界开集，如果QN(Ω)有界且Kp(I − Q) N :Ω→ X是紧的，则称N在Ω上是L-紧的.因为Im Q与Ker L同构，故J :ImQ→Ker L存在.引理 3设L是指标为零的 Fredholm 映射，N /在是L-紧的，假设（1）对任意的λ∈ (0,1)，方程Lx = λNx的解满足x ∉∂Ω ．（2）对任意的x ∈∂Ω∩ KerL，Q Nx≠ 0并且，则Lx = Nx在Dom L∩内至少存在一个解.引理 4[9]设t1, t12∈ Iω,t∈T.如果g :T →R是ω-周期的，那么2 正周期解的存在性考虑时标T上的具有 Holling-Ⅱ型功能性反应且两种群均密度制约的捕食者-食饵系统，其具体模型为式中：ri, a i j∈ Crd(T )，是正的周期为ω的函数，i, j= 1,2；m是一个正数. 令( t) =eu1(t)，( t) =eu2(t).当T = R时，式（1）变为连续的具有 Holling-Ⅱ型功能性反应且两种群均密度制约的捕食者-食饵系统模型，即式中 ( t)和 (t)是食饵和捕食者的密度.当T=Z时，式（1）变为离散的具有Holling-Ⅱ型功能性反应且两种群均密度制约的捕食者-食饵系统模型，即为了研究式（1）的周期解的存在性，将此模型嵌入到重合度理论的框架中，定义且容易看出£ω是一个Banach空间.令不难得出£0ω和£cω都是£ω的闭线性子空间，定理 1假设ri, a i j∈ Crd(T)是正的周期为ω的函数，i, j= 1,2.如果r( a 21−mr2 )−a11r2e2 r1ω＞ 0，那么，系统式（1）至少有一个ω-周期正解.证明令X = Z = £ω，定义则Ker L =, ImL =,dimKer L=2= codimImL.因为在£ω中是闭的，所以L是一个指标为零的Fredholm映射.不难发现，P和 Q是连续映射.使得Im P =Ker L ,Im L = Ker Q = Im(I − Q)，并且L的逆Kp:Im L → Ker P ∩ DomL是存在的，即式中容易看出QN和K p(I − Q) N都是连续的.因为X是 Banach空间，所以由Arzelá-Ascoli定理，容易得出K p(I − Q) N (Ω ~)在Ω上是紧的，而且QN(Ω~)是有界的．因此，N在Ω~上是L-紧的.为了应用引理 3，需要找到一个合适的有界集合Ω.考虑算子方程Lx = λN x,λ ∈ (0,1)，即设是式（4）的一个解，对某一个λ∈ (0,1).在[k, k + ω]上对式（4）进行积分，得由式（4）、式（5）推导出因为所以存在[k, k + ω]使得由式（5）和式（9），得进一步又得出由式（7）、式（10）和引理4，得由式（6）得由式（9）得由式（8）、式（12）和引理4，得另一方面，由式（6）得由式（9）得由式（7）、式（13）和引理4，得由式（11）和式（15），有类似地，由式（6）和式（9），得进一步，有注意到由式（17）可得由式（11）推导出由式（8）、式（18）和引理4，得由式（13）得显然，式（16）和式（19）中的 R1和 R2都是与λ无关的.记，其中 R0是一个充分大的数，使得代数方程组（20）的每个解 (x* ,y * )T满足现在令显然,Ω 满足引理 3的条件（1）.当时，( u1, u 2)T是R 2中的一个常值向量且如果系统式（20）至少有一个解，有如果系统式（20）没有解，推导出由此，证明了引理 3的条件（2）的前半部分被满足.最后证明引理3的条件（2）的后半部分成立.定义6 φv :Dom L× [0,1]→ X，即式中v∈ [0,1]是一个参数.当Ker L =∂Ω ∩ R2时，( u1, u 2)T是 R2中的一个常值向量，且容易看出，φ v(u1,u2) ≠0,即 0∉φv(∂ Ω ∩Ker L) ,v ∈[0,1].而且，代数方程组有唯一解即又因为Im Q = KerL，所以J = I.应用拓扑度的同伦不变性，有式中deg(⋅,⋅,⋅)表示Brouwer度.这样，就证明了集合Ω满足引理3的所有条件.因此，系统式（1）在Ω至少存在一个周期正解.［1］ Fan Meng，Kuang Yang. Dynamics of a nonautonomous predator-prey system with the Beddington-DeAngelis functional response［J］. J Math Anal Appl，2004，295（1）：15-39.［2］范猛，王克. 一类具有Holling Ⅱ型功能性反应的捕食者-食饵系统全局周期解的存在性［J］. 数学物理学报，2001，21A（4）：492-497.Fan Meng，Wang Ke. Global existence of positive periodic solution of a predator-prey system with Holling typeⅡ functional response［J］．Acta Math Sci，2001，21A（4）：492-497（in Chinese）.［3］ Fan Meng，Wang Ke. Periodicity in a delayed ratiodependent predator-prey system［J］．J Math Anal Appl，2001，262（1）：179-190.［4］ Huo Haifeng. Periodic solutions of a semi-ratiodependent predator-prey system with functional responses［J］．Appl Math Lett，2005，18：313-320.［5］ Fan Meng，Agarwal S. Periodic solutions for a class of discrete time competition systems［J］. Nonlinear Stud，2002，9（3）：249-261.［6］ Fan Meng，Wang Qian. Periodic solutions of a class of nonautonomous discrete time semi-ratio-dependent predator-prey system ［J］. Discrete Contin Dynam Systems：Ser B，2004，4（3）：563-574. ［7］ Bohner M，Peterson A. Dynamic Equations on Time Scales：An Introduction with Applications ［M］. Boston：Birkhauser，2001.［8］张炳根. 测度链上微分方程的进展［J］. 中国海洋大学学报，2004，34（5）：907-912.Zhang Binggen. Advances of differential equations on measures chains［J］．Periodical of Ocean University of China，2004，34（5）：907-912（in Chinese）.［9］ Bohner M，Fan Meng，Zhang J M. Existence of periodic solutions in predator-prey and competition dynamic systems［J］. Nonlinear Analysis：Real World Applications，2006，7：1193-1204.。

捕食者-食饵系统中的功能性反应简介、引言生态学是研究有机体与其周围环境相互关系的科学。

随着人类社会的物质文明及科学技术发展到新的高峰, 同时, 人类活动对于地球和生物圈的负影响也上升到新的高度, 并已威胁到持续发展, 甚至于人类自身的生存。

生物多样性的丧失, 气候变暖, 生物入侵等都对整个地球生物圈产生了根本的影响。

因此, 人与自然必须协调发展的思想和发展经济必须保护自然环境和生物多样性同步的观点, 已经被人们广为接受。

而生物数学作为生态学重要组成部分, 引起了各国学者的广泛重视。

生物数学在很早就已经开始萌芽, 如著名的Malthus 和Logistic 人口增长模型:在这里,x(t)表示人口的数量,r和K分别代表人口的内禀增长率和最大环境容纳量。

1900 年, 意大利著名数学家V.Volterra 在罗马大学的一次题为“应用数学于生物和社会科学的成就”的演讲, 标志着生物数学发展到一个里程碑。

特别是在1926 年, Volterra 发表了解释Finme 港鱼群变化规律的著名论文, 使生物数学的发展一度达到高潮。

最近30 年, 生物数学呈现一派欣欣向荣的局面, 它所建立的模型和方法, 不仅直接推动着生态学的发展, 对自然科学的其他领域, 也产生着重要的影响。

我们主要介绍生态学及生物数学的一个重要组成部分――种间关系中捕食者- 食饵系统的功能性反应。

种群是在同一时期内占有一定空间的同种生物个体的集合。

长期以来, 种群之间的相互关系( 简称种间关系) 包括竞争, 捕食, 互利共生等, 是构成生物群落的基础, 并一直影响着种群的持续生存与灭绝。

其中, 捕食已经被证明是构成生物群落的一种主要的力量, 而功能性反应是各物种发生捕食作用的基石, 更是数学建模的主要手段。

因此对它进行详细的总结和论述具有及其重要的意义。

二、功能性反应及在捕食者- 食饵系统中的应用功能性反应定义为在单位时间内一个捕食者杀死食饵的数量, 描述了在不同营养等级之间的生物转移量。

三类具功能反应的食饵—捕食系统的定性分析本文对三类具功能反应的食饵-捕食系统做定性分析.在第一章里介绍了两种群具功能反应的食饵-捕食系统的研究现状及研究意义.第二章研究了一类未被开发的在参数变化下食饵-捕食系统当食饵种群的增长率和捕食率都为非线性情形的定性行为,详细分析了该系统平衡点的性态,给出了该系统极限环不存在、存在与唯一的充分条件,对该系统作了一般性的研究,补充完善了前人的结论.第三章分别研究了两类被开发的食饵种群具有非线性密度制约而捕食种群和食饵种群同时具有非常数收获率的食饵-捕食两种群模型:一类具有HollingⅡ类功
能反应函数,另一类具有HollingⅢ类功能反应函数.得到了相应系统的平衡点
存在的个数,类型及条件;细焦点的阶数及稳定的条件;极限环不存在的条件,极限环存在的条件,尤其得到相应系统至少存在多个极限环的条件,最后分别对以上两类模型作了开发研究,得到的结果对人们的生产生活具有一定的指导意义.。

两类具功能反应函数的捕食者—食饵系统的定性分析的开题报告1. 研究背景生态学研究中，捕食者-食饵关系是一个经典的研究课题。

以往的研究大多是定量分析捕食者-食饵系统中的各种参数的相互作用关系，例如种群增长率、种群密度、食饵体积等等，而忽略了其具体的功能反应函数。

但是，具体的功能反应函数对模型的定量描述有极大的影响，因此本研究将从定性的角度对具有不同功能反应函数的捕食者-食饵系统进行分析，以提高对其动态特征的认识。

2. 研究问题本研究旨在探讨两类具有功能反应函数的捕食者-食饵系统的定性特征。

具体而言，我们将研究以下两个问题：1) 不同的功能反应函数对捕食者-食饵系统的动态特征有哪些影响？2) 如何从定性的角度描述具有不同功能反应函数的捕食者-食饵系统的动态特征？3. 研究方法本研究采用理论分析与计算机模拟相结合的方法来探讨上述问题。

理论分析阶段，我们将首先利用基本的生态学方程式推导出两类具有不同功能反应函数的捕食者-食饵系统的解析表达式。

然后，我们将分析这些表达式的数学形式，挖掘出其共性和差异，并解释这些差异为何会对系统的动态特征产生影响。

计算机模拟阶段，我们将以某种常见的计算机模型平台为基础，编写两种不同的功能反应函数的模拟程序，以得到系统的动态特征。

然后，我们将分析模拟结果，并与理论分析结果进行对比，验证理论分析所预测的动态特征是否与实际情况相符合。

4. 预期结果本研究预期将获得以下两方面的结果：1) 对两类具有不同功能反应函数的捕食者-食饵系统的动态特征进行定性分析，发现不同的功能反应函数对系统运动形态、稳定性、周期性等具有不同的影响，揭示功能反应函数对生态系统动态性质的影响机理。

2) 以简洁的图示和文字描述，从定性的角度直观地展示具有不同功能反应函数的捕食者-食饵系统之间的区别和联系，为进一步的定量分析提供了理论和实证基础。

南京航空航天大学硕士学位论文两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20070301南京航空航天大学硕士学位论文摘要近年来，捕食关系成为数学与生态学界研究的一个重要课题。

食饵—捕食者相互作用的研究具有非常重要的理论意义和应用价值，其中生物种群持续生存是捕食理论中的一个重要而又广泛的问题，它受到越来越多的学者的关注。

本文在已有的Lotka-Volterra模型的基础上，对两类具有Holling型功能反应函数的食饵—捕食者模型进行了讨论。

本文首先讨论了一类两种群具有密度制约的Holling III类功能反应模型。

利用定性分析的方法，讨论了模型在收获率条件下平衡点的稳定性，解的有界性，极限环的存在性问题。

然后本文讨论了一类具有两捕食者和一食饵三种群并有Holling型功能反应的周期系数的三维模型，利用Brouwer不动点定理，得到系统存在唯一、全局渐近稳定周期解的充分条件。

最后本文进一步考虑概周期情形，讨论了对应的概周期系统的一致持续生存性，得到了存在唯一、全局渐近稳定正概周期解的充分条件。

这些结果推广了已知的一些结论。

关键词：食饵—捕食者系统，Holling III功能反应，正周期解，正概周期解，全局渐近稳定性I两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析IIAbstractIn recent years, the predator-prey relation has become a very important part inmathematics and ecology. The predator-prey theory has a great importance in both theory and applications. One of the most important questions in population ecology is to find the permanence conditions for the species, which has received a great deal of attention of many mathematicians and biologists. Based on the Lotka-V olterra population models, this thesis studies two classes of predator-prey systems with Holling functional responses. Firstly, this thesis studies the predator-prey system with Holling’s type III functional response under density restriction and linear harvesting rate. Using qualitative analysis methods, the paper studies the boundedness of solutions and the existence of limit cycles. Secondly, two-predator and one-prey systems of three species with Holling’s type III functional response and periodic coefficients are studied. With the help of differential inequality and Liapunov functions, some sufficient conditions are obtained for the existence and global stability of positive periodic solutions and positive almost periodic solutions. These results generalize some existing results.KEY WORDS: prey-predator system, Holling’s type III functional response, positive periodic solution, positive almost periodic solution, global asymptotic stability承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

一类具有Holling Ⅱ型功能性反应的捕食者-食饵系统全局周
期解的存在性
范猛;王克
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2001(021)004
【摘要】利用重合度理论中的延拓定理讨论了一类具有Holling Ⅱ型功能性反应的捕食者-食饵系统(即Rosenzweig-MacArthur模型)全局周期解的存在性,得到了保证周期解存在的充分条件,推广了某些已知的相关结果.
【总页数】6页(P492-497)
【作者】范猛;王克
【作者单位】东北师范大学数学系,;东北师范大学数学系,
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.一类具有 Holling III 型功能性反应的捕食者-食饵系统的周期解的存在性 [J], 徐炳祥;曾志军
2.一类具有Holling Ⅱ型功能性反应的捕食者-食饵系统正周期解的存在性 [J], 杜明银;雒志学
3.一类具有脉冲作用和HollingⅡ型功能性反应的非自治捕食者-食饵系统正周期解的存在性 [J], 王斌;朱勇
4.一类具有HollingⅡ型功能性反应的捕食者 -食饵系统正周期解的存在性 [J], 任
磊
5.一类具有功能性反应的中立型捕食者-食饵系统全局正周期解的存在性 [J], 陈凤德;陈晓星;林发兴;黄春潮
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