高一数学一次函数的性质与图象
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一次函数一、定义与定义式:自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
即:y=kx (k为常数,k≠0)二、一次函数的性质:1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k即:y=kx+b (k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质:1.作法与图形:通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k,b与函数图像所在象限:当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;当b=0时,直线通过原点当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式:已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程:y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用:1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
【导语】进⼊到⾼中阶段,⼤家的学习压⼒都是呈直线上升的,因此平时的积累也显得尤为重要,⼀次函数的图像及性质知识点为⼤家总结了⾼⼀年级数学素有知识点内容,希望⼤家能谨记呦!! 1.作法与图形:通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线,可以作出⼀次函数的图像——⼀条直线。
因此,作⼀次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质:(1)在⼀次函数上的任意⼀点P(x,y),都满⾜等式:y=kx+b。
(2)⼀次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正⽐例函数的图像总是过原点。
3.k,b与函数图像所在象限: 当k>0时,直线必通过⼀、三象限,y随x的增⼤⽽增⼤; 当k<0时,直线必通过⼆、四象限,y随x的增⼤⽽减⼩。
当b>0时,直线必通过⼀、⼆象限; 当b=0时,直线通过原点 当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表⽰的是正⽐例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过⼀、三象限;当k<0时,直线只通过⼆、四象限。
【同步练习题】 ⼀、选择题: 1.下列函数中,y是x的⼀次函数的是()A.y=2x2+1;B.y=x-1+1C.y=-2(x+1)D.y=2(x+1)2 2.下列关于函数的说法中,正确的是()A.⼀次函数是正⽐例函数B.正⽐例函数是⼀次函数C.正⽐例函数不是⼀次函数D.不是正⽐例函数的就不是⼀次函数 3.若函数y=(3m-2)x2+(1-2m)x(m为常数)是正⽐例函数,则()A.m=;B.m=;C.m>;D.m< 4.下列函数:①y=-8x;②y=;③y=8x;④y=8x+1;⑤y=.其中是⼀次函数的有() xA.1个B.2个C.3个D.4个 5.若函数y=(m-3)xm?1+x+3是⼀次函数(x≠0),则m的值为()A.3B.1C.2D.3或1 6.过点A(0,-2),且与直线y=5x平⾏的直线是()A.y=5x+2B.y=5x-2C.y=-5x+2D.y=-5x-2 7.将直线y=3x-2平移后,得到直线y=3x+6,则原直线()A.沿y轴向上平移了8个单位B.沿y轴向下平移了8个单位C.沿x轴向左平移了8个单位D.沿x轴向右平移了8个单位 8.汽车由天津开往相距120km的北京,若它的平均速度是60km/h,则汽车距北京的路程s(km)与⾏驶时间t(h)之间的函数关系式是()A.s=60t;B.s=120-60tC.s=(120-60)tD.s=120+60t ⼆、填空题:(每⼩题3分,共27分) 1.若y=(n-2)xn2?n?1是正⽐例函数,则n的值是________. 2.函数y=x+4中,若⾃变量x的取值范围是-3 4.长⽅形的长为3cm,宽为2cm,若长增加xcm,则它的⾯积S(cm2)与x(cm)之间的函数关系式是_____,它是______函数,它的图象是_______. 5.已知函数y=mxm?m?1?m2?1,当m=______时,它是正⽐例函数,这个正⽐例函数的关系式为_______;当m=________时,它是⼀次函数,这个⼀次函数的关系式为_______. 6.把函数y=2x的图象沿着y轴向下平移3个单位,得到的直线的解析式为_____.a13 7.两条直线l1:y?x?b,l2:y?x?中,当a________,b______时,L1∥L2.425 8.直线y=-3x+2和y=3x+2是否平⾏?_________. 9.⼀棵树现在⾼50cm,若每⽉长⾼2cm,x⽉后这棵树的⾼度为ycm,则y与x之间的函数关系式是________. 三、基础训练:(共10分) 求⼩球速度v(⽶/秒)与时间t(秒)之间的函数关系式:(1)⼩球由静⽌开始从斜坡上向下滚动,速度每秒增加2⽶;(2)⼩球以3⽶/秒的初速度向下滚动,速度每秒增加2⽶; (3)⼩球以10⽶/秒的初速度从斜坡下向上滚动,若速度每秒减⼩2⽶,则2秒后速度变为多少?何时速度为零? 四、提⾼训练:(每⼩题9分,共27分) 1.m为何值时,函数y=(m+3)x2m?1+4x-5(x≠0)是⼀次函数? 2.已知⼀次函数y=(k-2)x+1-:(1)k为何值时,函数图象经过原点?(2)k为何值时,函数图象过点A(0,3)?(3)k为何值时,函数图象平⾏于直线y=2x?3.甲每⼩时⾛3千⽶,⾛了1.5⼩时后,⼄以每⼩时4.5千⽶的速度追甲,设⼄⾏⾛的时间为t(时),写出甲、⼄两⼈所⾛的路程s(千⽶)与时间t(时)之间的关系式,并在同⼀坐标系内画出函数的图象. 五、中考题与竞赛题:(共12分) 某机动车出发前油箱内有油42升,⾏驶若⼲⼩时后,途中在加油站加油若⼲升,油箱中余油量Q(升)与⾏驶时间t(时)之间的函数关系如图所⽰,回答下列问题.(1)机动车⾏驶⼏⼩时后加油? (2)求加油前油箱余油量Q与⾏驶时间t的函数关系,并求⾃变量t的取值范围;(3)中途加油多少升? (4)如果加油站距⽬的地还有230千⽶,车速为40千⽶/时,要到达⽬的地,油箱中的油是否够⽤?请说明理由. 参考答案: ⼀、1.C2.B3.A4.C5.D6.B7.A8.B⼆、1.-12.1 5.-1y=-x2或-1y=2x+3或y=-x 36.y=2x-37.=2≠-8.不平⾏9.y=50+2x 5三、(1)v=2t(2)v=3+2t.(3)解:v=10-2t, 当t=2时,v=10-2t=6(⽶/秒),∴2秒后速度为6⽶/秒;当v=0时,10-2t=0, ∴t=5,∴5秒后速度为零. 四、1.解:当m+3=0,即m=-3时,y=4x-5是⼀次函数;当m+3≠0时,由2m+1=1,得m=0,∴当m=0时,y=7x-5是⼀次函数; 1由2m+1=0,得m=-. 215∴当m=-时,y=4x-是⼀次函数, 221综上所述,m=-3或0或-. 2k22.解:(1)∵原点(0,0)的坐标满⾜函数解析式,即1-=0, 4∴k=±2,⼜∵k-2≠0,∴k=-2 k2(2)把A(0,-3)代⼊解析式,得-3=1-, 4∴k=±4. (3)∵该直线与y=2x平⾏,∴k-2=2,∴k=4.3.解:S甲=3t+4.5(t>0),S⼄=4.5t(t>0),五、提⽰:(1)t=5. (2)Q=42-6t(0≤t≤5).(3)Q=24 (4)∵加油后油箱⾥的油可供⾏驶11-5=6(⼩时),∴剩下的油可⾏驶6×40=240(千⽶),∵240>230, ∴油箱中的油够⽤.。