下载文档原格式
常见的空间曲⾯与⽅程常见的空间曲⾯与⽅程常见的空间曲⾯有平⾯、柱⾯、锥⾯、旋转曲⾯和⼆次曲⾯。
1. 平⾯空间中平⾯的⼀般⽅程为0a x b y c zd +++=其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。
例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表⽰空间中的平⾯，zyoz 平⾯（x =0） y y x图8-6（a ）图8-6 (b)图8-62. 柱⾯与给定直线L 平⾏的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲⾯，称为柱⾯，l 为母线，C 为准线。
如图8-7所⽰图8-7 图8-8例如，222x y R +=表⽰空间中母线平⾏于z 轴，准线是xoy 平⾯上的圆222x y R +=的圆柱⾯的⽅程，简称圆柱⾯图（8-8）。
3. ⼆次曲⾯三元⼆次⽅程2221231231230a x a y a z b x yb y z b z xc x c y c zd+++++++++= 所表⽰的曲⾯称为⼆次曲⾯，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0.⼆次曲⾯有以下⼏种标准形式，它们分别为：球⾯：图8-9 椭球⾯：2222221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10图8-9 图8-10单叶双曲⾯：2222221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11双叶双曲⾯：2222221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R ++=>xz图8-11 图8-12⼆次锥⾯： 2222220(,,0)x y z a b c a b c +-=>图8-13椭圆抛物⾯： 22222(,0)x y z a b a b +=>图8-14双曲抛物⾯（马鞍⾯）22222(,0)x y z a b a b-=->图8-15xyzO图8-13 图8-14 图8-15 锥⾯xyzyOyxxzOz2222(z a x y =+z =±。
第六节 常用空间曲面一、曲面方程的概念在第四节中，我们已经知道了，在空间中一个平面可以用一个三元一次方程来表示；反过来，一个三元一次方程的图形是一个平面。
在一般情况下，如果曲面S 与三元方程(,,)0F x y z = （1）有下述关系：（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1）； （2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1） （1）就叫做曲面S 的方程，而那么方程曲面S 就叫做方程（1）的图形（图6-21）。
象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。
运用这个观点，我们来建立球面方程。
例1 若球心在点0000(,,)M x y z ，半径为R ，求该球面方程。
解：设(,,)M x y z 是球面上任一点，那么又0M M =故 2222000()()()x x y y z z R -+-+-= （2）这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以0000(,,)M x y z 为球心，R 为半径的球面方程。
如果球心在原点，那么0000x y z ===，从而球面方程为将（2）式展开得所以，球面方程具有下列两个特点：（1） 它是,,x y z 之间的二次方程，且方程中缺,,xy yz zx 项；（2） 222,,x y z 的系数相同且不为零。
现在我们要问，满足上述两个特点的方程，它的图形是否为球面呢？例2 方程22240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面？ 解：配方，得所以所给方程为球面，球心为1(2,,0)2-，半径为。
例3 方程2222230x y z x y z ++-+-+=是否表示球面？解：配方，得显然没有这样的实数,,x y z 能使上式成立，因而原方程不代表任何图形。
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量,,x y z 间的方程通常表示一个曲面。
空间曲面方程区分
空间曲面是指三维空间中的曲面,它的几何形态可以用方程来描述。
常见的空间曲面有球面、椭圆面、抛物面、双曲面、圆柱面、圆锥面等。
这些曲面的方程可以分为两类：一类是二次型方程,如球面、椭圆面、抛物面等。
二次型方程的曲面在三维空间中呈现出弯曲的形态,且曲面的曲率是一致的。
一类是高次型方程,如双曲面、圆柱面、圆锥面等。
高次型方程的曲面在三维空间中呈现出扭曲的形态,且曲面的曲率可能不一致。
空间曲面的方程常见的有平面方程、椭圆方程、双曲线方程、圆柱面方程、圆锥面方程等。
可以根据曲面的几何形态和曲率分别选择不同的方程进行描述。
第三节 曲面及其方程
[教学目的]掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用“截痕法”画出其简图
[教学重点]曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程 [教学难点]空间想象能力和曲面图形的描绘 [教学过程] 一、问题的提出
在日常生活中，我们经常遇到各种曲面，例如反光镜的镜面、管道的外表面以及锥面等等。
那这些曲
面相应的方程是什么呢，怎样才能准确地画出准确的图形呢？
二、曲面方程的概念
（一）曲面方程的基本概念
在一般情况下，如果曲面S 与三元方程
(,,)0F x y z = （1）
有下述关系：
（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1）； （2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1）
那么方程（1）就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程（1）的图形。
象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。
（二）建立几个常见的曲面方程
例1 若球心在点0000(,,)M x y z ，半径为R ，求该球面方程。
解：设(,,)M x y z 是球面上任一点，那么
0M M R =
又 0M M =
故 2222000()()()x x y y z z R -+-+-= （2）
这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以
0000(,,)M x y z 为球心，R 为半径的球面方程。
如果球心在原点，那么0000x y z ===，从而球面方程为
2222x y z R ++=
将（2）式展开得
222222
0000002220x y z x x y y z z x y z R ++---+++-=
所以，球面方程具有下列两个特点：
（1） 它是,,x y z 之间的二次方程，且方程中缺,,xy yz zx 项； （2） 2
2
2
,,x y z 的系数相同且不为零。
（三）曲面研究的两个基本问题
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量,,x y z 间的方程通常表示一个曲面。
因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。
（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。
（2） 已知坐标,,x y z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。
例2 方程2
2
2
40x y z x y ++-+=表示怎样的曲面？ 解：配方，得
222117
(2)()24x y z -+++=
所以所给方程为球面，球心为1(2,,0)
2-，半径为2。
三、旋转曲面
（一）旋转曲面的定义
一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面。
旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。
（二）旋转曲面的方程
设在y z O 坐标面上有一条已知曲线C ，它的方程为(,)0f y z =，曲线C 绕z 轴旋转一周，得到一个以z 轴为轴的旋转曲面
设111(0,,)M y z 为曲线C 上一点，则有
11(,)0f y z = （3）
当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 随C 绕到另一点(,,)M x y z ，这时，1z z =且点M 到z 轴的距离为
1d y ==
将1z z =
，1y =3）式，便得到
()0f z = （4）
这就是所求的旋转曲面的方程。
由此可知，在曲线C 的方程(,)0f y z =中将y
改成C 绕z 轴旋转所成的旋转曲
面的方程。
同理，曲线C 绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
(,0f y = （5）
例3 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。
两直线的交点叫做圆锥
面的顶点，两直线的夹角α（
02π
α<<
）叫做圆锥面的半顶角。
试建立顶点在原点O ，旋转轴为z 轴，
半顶角为α的圆锥面的方程（图6-24）。
解：在y z O 坐标面上直线L 的方程为cot z y α=，因为旋转轴为z 轴，所以只要将方程中的y
改成
z α=
或 2
2
2
2
()z k x y =+ 其中cot k α=。
例4 将x z O 坐标面上的双曲线
22
2
21x z a c -=
分别绕z 轴和x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
解：绕z 轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，它的方程为
222
221x y z a c +-=
绕x 轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为
222
221x y z a c +-=
四、柱面
（一）柱面的定义
设直线L 平行于某定直线并沿定曲线C 移动形成的轨迹。
定曲线C 叫做柱面的准线，直线L 叫做柱面的母线。
我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。
这种柱面方程有什么特点呢？
（二）柱面的分类
一般地，如果方程中缺z ，即(,)0f x y =，它表示准线在x y O 坐标面上，母线平行于z 轴的柱面。
方程(,)0,(,)0g y z h x z ==分别表示母线平行于x 轴和y 轴的柱面方程。
例如，方程2
y x =，方程中缺z ，所以它表示母线平行于z 轴的柱面，它的准线是x y O 面上的抛物线
2y x =，该柱面叫做抛物柱面
例如，方程0x z -=表示母线平行于y 轴的柱面，其准线是面上的直线0x z -=，所以它是过y 轴的平面
五、二次曲面 （一）定义
我们把三元二次方程(,,)0F x y z =所表示的曲面称为二次曲面。
（二）举例
（1） 椭圆锥面
222
22x y z a b +=
① 截痕法：通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法。
以垂直于z 轴的平面z t =截此曲面，当0t =时得一点(0,0,0)；当0t ≠时，得平面z t =上的椭圆
22
22
1()()x y at bt +=
当t 变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当t 从大到小变为0时，这族曲线从大到小并缩为一点。
②伸缩变形的方法：把空间图形伸缩变形形成新的曲面。
曲面(,,)0F x y z =
沿
y 轴方向伸缩λ倍，曲面(,,)0F x y z =的点111(,,)M x y z 变为点222(,,)M x y z '，其中
121212
1,,x x y y z z
λ
===，因为点M 在曲面(,,)0F x y z =上
，所以有111(,,)0F x y z =
，故2221
(,
,)0
F x y z λ
=。
例如将圆锥面222
2x y z a +=的图形沿y 轴方向伸缩b a 倍，则圆锥面2222
x y z a +=即变成椭圆锥面22222x y z a b +=。
（2） 椭球面
222
2221x y z a b c ++=
把x y O 面上的椭圆22
221x y a b +=绕y 轴旋转，所得的曲
面方程为
222221x z y a b ++=，该曲面称为旋转椭球面。
再把旋转椭球面沿z 轴方向伸缩c
a 便得椭球面。
（3）双曲面
单叶双曲面 222
2
221x y z a b c +-= 双叶双曲面 222
2221x y z a b c --=
把x z O 面上的双曲线22221x z a c -=绕z 轴旋转，得旋转单叶双曲面222
2
21x y z a c +-=，把此旋转曲面沿y 轴方向伸缩b
a 倍，即得单叶双曲面，类似的方法可得双叶双曲面。
（4）抛物面
椭圆抛物面 22
2
2x y z a b +=
双曲抛物面（马鞍面）2
2
22x y z a b -=
把x z O 面上的的抛物线2
2
x z a =绕z
轴旋转，得旋转
抛物面222
x y z a +=，把此旋转曲面沿y 轴方向伸缩b
a ，即得椭圆抛物面。
我们用截痕法来讨论双曲抛物面的形状。
用平面x t =截此曲面，得截痕l 为平面x t =上的抛物线
22
22y t z b a -=-
此抛物线开口向下，其顶点坐标为
2
2
,0,t x t y z a ===。
当t 变化时，l 的形状不变，只是位置平移，而l 的顶点的轨迹L 为平面0y =上的抛物线
2
2
x z a =。
（5）柱面
22222
22221,1,x y x y y ax a b a b +=-==
依次为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。
六、课堂小结
（一）曲面方程的概念
（二）旋转曲面（方程及其图形） （三）柱面（准线和母线） （四）二次曲面 七、布置作业 318478P T 、、。
