第十讲：和差问题

和差问题教案一、引言和差问题是数学中常见的一类问题，旨在通过对数值的和与差的运算进行解题。

此类问题广泛应用于初中数学、高中数学及相关的竞赛题中。

本教案旨在介绍和差问题的基本概念、解题思路和解题技巧，以帮助学生有效地解决和差问题。

二、基本概念1. 和差的定义和差是指两个数值之间进行加法和减法运算的结果。

假设有两个数值a和b，它们的和用a + b表示，而它们的差用a - b表示。

2. 和差问题的特点在和差问题中，通常需要根据给定的条件，通过计算数值的和与差来求解未知数或满足一定条件的数值。

此类问题常常涉及到未知数之间的关系，需要我们巧妙地运用代数方法进行求解。

三、解题思路在解决和差问题时，可以采用以下思路：1. 分析问题：仔细阅读题目，理解问题所给的条件和要求，确定需要求解的未知数或目标。

2. 建立方程：根据所给条件，假设未知数，并建立相应的方程式。

3. 求解方程：利用数学运算法则，将方程进行化简、整理，使其转化为更简单的形式。

4. 验证答案：将求得的未知数代入原方程中进行验证，确保所求解满足题目要求。

四、解题技巧在解决和差问题时，可以运用以下技巧：1. 利用代数运算性质：根据数学运算性质，合理地运用加法、减法、乘法和除法的法则，简化复杂的计算过程。

2. 列表法：当问题中的数值较多时，可以将所给的数值列成表格，以便更清晰地观察数值之间的关系。

3. 倍数关系：在一些和差问题中，数值之间存在倍数关系。

我们可以通过观察数值的特点，利用倍数关系进行解题。

五、例题演练1. 问题：已知两个数的和为15，差为3，求这两个数分别是多少？解题步骤：（1）假设第一个数为x，第二个数为y，根据题意可得以下方程： x + y = 15x - y = 3（2）将两个方程联立求解，可以采用消元法或代入法，最终解得：x = 9，y = 62. 问题：已知两个数的和为20，差为4，求这两个数分别是多少？解题步骤：（1）假设第一个数为a，第二个数为b，根据题意可得以下方程：a +b = 20a -b = 4（2）将两个方程联立求解，可以采用消元法或代入法，最终解得：a = 12，b = 8六、拓展应用和差问题不仅仅应用于数学中，还可以在实际生活和其他学科中找到应用。

第十讲、和差问题1. 果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？2. 数学兴趣小组有学生45人，男生比女生多3人，这个兴趣小组男女生各有多少人？3. 甲乙两个车间共有230人，甲车间比乙车间少30人，甲乙两车间车间各有多少人？4. 买一支自动铅笔与一支钢笔共用13元，已知铅笔比钢笔便宜5元，那么买铅笔和钢笔各花多少元？5. 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？6. 某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？7. 甲、乙两桶油共重60千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？8. 姐妹两人共有480元钱，如果姐给妹34元，则两人钱数相等，原来姐妹二人各有钱多少元？9. 两筐西瓜共重80千克，如果从每一筐中取出7千克，放入第二筐，则两筐的重量相等，两筐的西瓜原来各有多少千克？10. 王兵家和李华两家共存有960册书，如果王兵送给李华130册，则两家书的册数相等，王兵和李华两家原来各有存书多少册？11.甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20 人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人？12.甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？13.甲、乙共有58本连环画，甲给乙5本后，乙比甲还少4本，甲乙原来各有连环画多少本？14.今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？1、哥哥和弟弟都有储蓄的好习惯，哥哥存了90元钱，哥哥和弟弟存的钱数和恰好是钱数差的2 倍，已知哥哥存的钱比较多，则弟弟存了多少钱？2、1支铅笔、2支钢笔、3支圆珠笔共17元；2支铅笔、3支钢笔、4支圆珠笔共25元；3支铅笔、5支钢笔、2支圆珠笔共32元。

和差问题公式和差问题是高中数学中的一类代数问题，也是解线性方程组的常用方法之一。

所谓和差问题，即通过构造等量代换或运算，利用两个或多个数的和、差的关系，求解未知数的问题。

这类问题广泛应用于数学竞赛、应试考试以及实际问题中。

在解和差问题时，我们需要灵活运用代数知识和数学算法，通过构造等式或等量代换，将复杂的问题简化为最基本的数学运算。

下面我们将介绍和差问题的公式和一些典型例题，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。

1. 和差问题的基本公式对于两个数a和b，和差问题的基本公式如下：(1) 两数之和：a + b(2) 两数之差：a - b(3) 两数之积：ab(4) 两数之商：a/b2. 和差问题的应用2.1. 解线性方程组线性方程组是高中数学中的重要内容，解线性方程组的一种常用方法就是利用和差关系。

通过构造等量代换，我们可以将复杂的线性方程组转化为简单的和差方程组，在解题过程中更容易操作。

下面是一个典型的例子：例题1：解方程组{ x + y = 8{ x - y = 2解法：我们可以通过两个方程的加减法得到和差方程组： { x + y = 8 (I){ x - y = 2 (II)加上：{ 2x = 10{ x = 5再代回方程(I)，可以得到y的值：5 + y = 8y = 3所以解为：x = 5，y = 32.2. 求平均数在求平均数的过程中，我们经常会遇到一些和差问题，例如求一组数的平均数或者某个数与平均数的差。

通过定义公式和等量代换，我们可以简化这类问题的解答。

下面是一个典型的例子：例题2：求一组数的平均数已知10个人的体重分别是60kg、65kg、70kg、75kg、80kg、85kg、90kg、95kg、100kg、105kg，求他们的平均体重。

解法：我们可以通过求和再除以个数的方法，得到这10个人的平均体重，即：平均体重 = (60 + 65 + 70 + 75 + 80 + 85 + 90 + 95 + 100 + 105)/10= 795/10= 79.5kg所以这10个人的平均体重为79.5kg。

和差问题练习(二)1．甲乙二人是在3月里相同的星期几出生的，甲的日期早，两人日期合计是36，乙的生日是3月几日? 2．红球和白球合在一起13个，白球和黑球合在一起9个，红球和黑球合在一起12个。

三种球各是多少个? 3．甲乙二人共集邮票32张，乙丙二人共集邮票30张，甲丙二人共集邮票22张。

三人各集邮票多少张? 4．甲乙丙三人练习跳高，甲乙两人共跳182厘米，乙丙两人共跳178厘米，甲丙两人共跳176厘米，三人各跳了多少厘米?5．王欣同学期末考试成绩如下:语文和数学平均成绩94分;数学和外语平均成绩是88分;外语和语文平均成绩是86分。

王欣语文、数学、外语各得多分?6．小明去商店买小刀铅笔和橡皮三种学习用品，一块橡皮和一把小刀合起来是38角，一把小刀和一支铅笔是34角，一块橡皮和一支铅笔合起来是24角。

三种学习用具各多少钱?7．某校四个年级总共有138名学生，其中一、二年级共70名学生，一、三年级共65名学生，二、三年级共59名学生，四年级有儿名学生?8．小光小明两人今年的年龄和是9岁:小光小亮两人今年年龄和是12岁:小明小亮两人今年的年龄和是15岁。

三人中年龄最大的多少岁?9．甲、乙两班共83人，乙、丙两班共86人，丙丁两班共88人，甲、丁两班共多少人?10．桥南小学画展上展出了许多幅画，其中有18幅画不是四年级的，有17幅画不是五年级的，还知道四、五年级画共有25幅，其他年级的画共有多少幅?11．李叔叔从工人文化宫出发经过青年宫去少年宫要走21千米:从工人文化宫出发经少年宫去青年宫要15千米:从青年宫出发经过工人文化宫去少年宫要18千米。

相距最近的两地之间有多少千米?12．有苹果49千克，分给甲、乙、丙三个组，甲组比乙组多分4千克，乙组比丙组多分6千克三组各得几千克? 13．某校三个中队共有少先队员130人，第一中队比第二中队少2人复第二中队比第三中队多3人。

三个中队各有少先队员多少人?14．红星农场有三块小麦地，共计410公亩，已知第二块比第一块少5公亩，比第三块少15公亩。

和差问题知识点在数学的学习中，和差问题是一个重要且常见的知识点。

它看似简单，却蕴含着丰富的解题思路和方法，对于培养我们的逻辑思维和数学能力有着重要的作用。

什么是和差问题呢？简单来说，就是已知两个数的和以及这两个数的差，求这两个数分别是多少的问题。

举个例子，假如小明和小红一共有 18 个苹果，小明比小红多 2 个苹果，那么小明和小红分别有几个苹果？这就是一个典型的和差问题。

为了更好地解决和差问题，我们需要掌握一些关键的方法和思路。

首先，我们可以通过画图的方式来直观地理解问题。

比如，我们可以画两条线段，一条代表小明的苹果数，一条代表小红的苹果数，然后根据题目中的条件进行标注，这样就能更清晰地看出数量关系。

其次，我们可以运用公式来解决。

对于和差问题，有两个常用的公式：大数＝（和＋差）÷ 2小数＝（和差）÷ 2还是以上面小明和小红的例子来说，他们一共有 18 个苹果，小明比小红多 2 个苹果。

这里的和是 18，差是 2。

按照公式，小明的苹果数（大数）就是：（18 ＋ 2）÷ 2 ＝ 10（个）小红的苹果数（小数）就是：（18 2）÷ 2 ＝ 8（个）理解了公式，我们来多做几道练习题巩固一下。

例 1：甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？和是 98，差是 6。

甲班人数＝（98 ＋ 6）÷ 2 ＝ 52（人）乙班人数＝（98 6）÷ 2 ＝ 46（人）例 2：果园里有苹果树和梨树共 180 棵，苹果树比梨树多 20 棵，两种树各有多少棵？这里和是 180，差是 20。

苹果树的数量＝（180 ＋ 20）÷ 2 ＝ 100（棵）梨树的数量＝（180 20）÷ 2 ＝ 80（棵）在解决和差问题时，一定要认真分析题目中的条件，确定哪个是和，哪个是差，然后再选择合适的公式进行计算。

和差问题在我们的日常生活中也有很多实际的应用。

1. 年龄问题变化关系的三个基本规律1) 两人年龄的倍数关系是变化的量；2) 每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量；3) 两个人之间的年龄差不变。

2. 年龄问题的解题要点1) 1．入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系；2) 2．关键：抓住“年龄差”不变；3) 3．解法：应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式；4) 4．陷阱：求过去、现在、将来。

【例 1】 ①妈妈5年前比豆豆大28岁，5年后妈妈比豆豆大多少岁？②去年奶奶的年龄是小平年龄的12倍，明年奶奶的年龄还是小平的12倍吗？ ③前年王同一家三口人的年龄和是80岁，今年他们一家人的年龄之和为多少岁？【解析】 ①两个人同时长大，所以他们的差仍然是28岁。

②不是，如果小平去年6岁，明年8岁，奶奶去年72岁，明年将是74岁，显然不是小平的12倍。

③前年和今年相差2年，这两年每人同时增加2岁，现在他们的年龄和是86岁。

【拓展】 ①妈妈10年后比欢欢大25岁，今年妈妈比欢欢大多少岁？②今年爷爷的年龄是小明年龄的11倍，小明今年5岁，5年后爷爷的年龄是小明年龄的多少倍？③今年王小儿一家三口人的年龄和是60岁，王小二今年的年龄是4岁，5年前王小二全家的年龄和为多少岁？【解析】 ①两个人同时长大，所以他们的差仍然是25岁。

②5年后小明10岁，爷爷60岁，6倍的关系。

③5年前全家的年龄和为6053+146-⨯=（岁）。

【例 2】 两姐妹今年年龄之和为58岁，十年之后姐姐比妹妹大8岁，今年姐姐几岁？【解析】 利用和差问题求解：58+8233÷=（）（岁）第十讲年龄问题知识概述例题精讲【拓展】 小明的父亲比他大30岁，问小明几岁时父子俩的年龄和等于68岁？【解析】利用和差问题求解：68-30219÷=（）（岁）。

【拓展】 东东3年前的年龄与西西4年后的年龄之和是25岁，东东3年后的年龄等于西西l 年前的年龄，求东东、西西今年的年龄各是多少？【解析】东东3年后的年龄等于西西1年前的年龄，说明东东比西西小4岁；东东3年前的年龄与西西4年后的年龄之和是25岁，所以今年东东和西西的年龄和是253424+-=(岁)，今年东东的年龄：(244)210-÷=(岁)，今年西西的年龄：241014-=(岁)。