人教A版必修三《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案及教学反思

2. 2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征〖教学目标〗1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

〖教学重难点〗教学重点用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。

教学难点能应用相关知识解决简单的实际问题。

〖教学过程〗一、复习回顾作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？二、创设情境在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？上节课我们学习了用图表的方法来研究，为了从整体上更好地把握总体的规律，我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特。

三、新知探究众数、中位数、平均数众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。

中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。

平均数——将所有数相加再除以这组数的个数；在频率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。

思考探究：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？答：（1）从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样，因为频率分布直方图损失了一部分样本信息，所以不如原始数据准确。

（2）众数和中位数不受极端值的影响，平均数反应样本总体的信息，容易受极端值的影响。

2.2.2 用样本的数学特征估计总体的数学特征[知识与技能]1、用样本平均数估计总体平均数；2、样本平均数和样本频率分布直方图的联系；3、分析样本数学特征方法：（1）用平均数描述数据的平均水平；（2）用标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小；4、用样本标准差估计总体标准差：（1）样本的方差与标准差；（2）计算样本数据12n x x x ⋅⋅⋅，，的标准差的一般步骤： ① 算出样本数据平均数② 算出每个样本数据与样本平均数的差③ 算出 的平方④ 算出 的平均数，即样本的方差；⑤ 算出样本方差的算术平方根，即标准差。

[过程与方法][例1] 某课外活动小组对该市空气含尘调查，下面是一天每隔两小时测得的数据： 0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位3M G )（1）求出这组数据的众数和中位数？（2）若国标（国家环保局的标准）是平均值不得超过0.0253M G ；问这一天城市空气是否符合标准？解： （1）由题知众数是0.03，中位数为0.03；（2）这一天数据平均数是∵ 0.03>0.025∴ 这一天该城市空气不符合国标。

[例2] 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？分析：看哪种玉米的苗长得高，只要比较 甲、乙两种玉米的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数。

解（1）-甲X =101（25+41+40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42）＝30－乙X =101（27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40）＝31 -甲X <－乙X（2）可运算 2S 甲＝104.22S 乙＝128.8 ∴ 2S 甲<2S 乙答：乙种玉米苗长得高，甲种玉米的苗长得齐。

2.2.2 用样本的数学特征估计总体的数学特征[知识与技能]1、用样本平均数估计总体平均数；2、样本平均数和样本频率分布直方图的联系；3、分析样本数学特征方法：（1）用平均数描述数据的平均水平；（2）用标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小；4、用样本标准差估计总体标准差：（1）样本的方差与标准差；（2）计算样本数据12n x x x ⋅⋅⋅，，的标准差的一般步骤： ① 算出样本数据平均数② 算出每个样本数据与样本平均数的差③ 算出 的平方④ 算出 的平均数，即样本的方差；⑤ 算出样本方差的算术平方根，即标准差。

[过程与方法][例1] 某课外活动小组对该市空气含尘调查，下面是一天每隔两小时测得的数据： 0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位3M G )（1）求出这组数据的众数和中位数？（2）若国标（国家环保局的标准）是平均值不得超过0.0253M G ；问这一天城市空气是否符合标准？解： （1）由题知众数是0.03，中位数为0.03；（2）这一天数据平均数是∵ 0.03>0.025∴ 这一天该城市空气不符合国标。

[例2] 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？分析：看哪种玉米的苗长得高，只要比较 甲、乙两种玉米的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数。

解（1）-甲X =101（25+41+40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42）＝30－乙X =101（27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40）＝31 -甲X <－乙X（2）可运算 2S 甲＝104.22S 乙＝128.8 ∴ 2S 甲<2S 乙答：乙种玉米苗长得高，甲种玉米的苗长得齐。

2。

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2 用样本的数字特征估计总体的数字特征一、教学目标1．能从样本数据中提取基本的数字特征，并做出合理的解释． 2．会求样本的众数、中位数、平均数．3．能从频率分布直方图中，求得众数、中位数、平均数． 二、教学重难点重点:根据实际问题，对样本数据提取基本的数字特征并做出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性．难点:在频率分布直方图中分析众数、中位数、平均数. 三、众数、中位数、平均数的概念 1。

众数的概念一组数据中重复出现次数_____的数叫做这组数的众数 2。

中位数的定义把一组数据按大小顺序排列，把处于_____位置的那个数称为这组数据的中位数； 当数据个数为奇数时，中位数是按大小顺序排列的____的那个数；当数据个数为偶数时,中位数是按大小顺序排列的最中间两个数的_________。

3.平均数的概念 如果有n 个数12,,,n x x x ,那么这n 个数的算术平均数就是这组数平均数，即例1:在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下: 甲运动员：7,8，6,8,6，5，8，10,7,4 乙运动员：9，5，7,8，7，6，8,6，7,7观察上述样本数据，分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数？ 甲运动员命中环数:众数: 中位数：平均数:786865810746.910x +++++++++==乙运动员命中环数:众数： 中位数：平均数：9578768677710x +++++++++==例2、在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。

众数（最多的）： ；中位数（最中间的）: 平均数 ：四、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 思考1：如何从频率分布直方图中估计出众数的值？例3：在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，这些样本数据的频率分布直方图如下所示:观察图形，估计出众数的思考2：如何从频率分布直方图中估计出中位数的值？在样本中，有50％的个体小于或等于中位数,也有50％的个体大于或等于中位数反映到频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值. 所以，中位数在频率分布直方图中，就是使其左右小矩形面积和相等 思考3：如何从频率分布直方图中估计出平均数的值?例4：射击选手甲10次的射击情况，求其命中环数的平数2.54.5所以,平均数为:456272831010x ++⨯+⨯+⨯+=1122314567810101010101010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯即：平均数等于每个命中环数乘以该数的频率之和例5：100位居民月均用水量的频率分布表，求其平均数的估计值0.250.040.750.08 1.250.15 1.750.22 2.250.252.750.14 3.250.06 3.750.04 4.250.022.02x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以，平均数的估计值=小矩形底边中点的横坐标乘以对应频率之和 思考4：怎么在样本的频率分布直方图中估计出平均数的值？平均数的估计值=每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 五、反思与感悟 :众数：最高矩形端点的横坐标;中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和。

高考数学 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征整体设计教学分析教科书结合实例展示了频率分布的众数、中位数和平均数.对于众数、中位数和平均数的概念,重点放在比较它们的特点,以及它们的适用场合上,使学生能够发现,在日常生活中某些人通过混用这些（描述平均位置的）统计术语进行误导.另一方面,教科书通过思考栏目让学生注意到,直接通过样本计算所得到的中位数与通过频率直方图估计得到的中位数不同.在得到这个结论后,教师可以举一反三,使学生思考对于众数和平均数,是否也有类似的结论.进一步,可以解释对总体众数、总体中位数和总体平均数的两种不同估计方法的特点.在知道样本数据的具体数值时,通常通过样本计算中位数、平均值和众数,并用它们估计总体的中位数、均值和众数.但有时我们得到的数据是整理过的数据,比如在媒体中见到的频数表或频率表,用教科书中的方法也可以得到总体的中位数、均值和众数的估计.教科书通过几个现实生活的例子,引导学生认识到：只描述平均位置的特征是不够的,还需要描述样本数据离散程度的特征.通过对如何描述数据离散程度的探索,使学生体验创造性思维的过程.教科书通过例题向学生展示如何用样本数字特征解决实际问题,通过阅读与思考栏目“生产过程中的质量控制图”,让学生进一步体会分布的数字特征在实际中的应用.三维目标1.能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数；能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法；初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法；通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风.2.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差；能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）,并作出合理的解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.3.在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法；会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系.重点难点教学重点：根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性.教学难点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决简单的实际问题.课时安排2课时教学过程第1课时众数、中位数、平均数导入新课思路1在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,4；乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究.——用样本的数字特征估计总体的数字特征.(板书课题)思路2在日常生活中,我们往往并不需要了解总体的分布形态,而是更关心总体的某一数字特征,例如：买灯泡时,我们希望知道灯泡的平均使用寿命,我们怎样了解灯泡的使用寿命呢？当然不能把所有灯泡一一测试,因为测试后灯泡则报废了.于是,需要通过随机抽样,把这批灯泡的寿命看作总体,从中随机取出若干个个体作为样本,算出样本的数字特征,用样本的数字特征来估计总体的数字特征.推进新课新知探究提出问题(1)什么是众数、中位数、平均数？(1)如何绘制频率分布直方图？(3)如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？活动:那么学生回忆初中所学的一些统计知识,思考后展开讨论,教师提示引导.讨论结果：(1)初中我们曾经学过众数（在一组数据中,出现次数最多的数称为众数）、中位数（在按大小顺序排列的一组数据中,居于中间的数称为中位数）、平均数（一般是一组数据和的算术平均数）等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息. (2)画频率分布直方图的一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图.(3)教材前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是2.25 t（最高的矩形的中点）,它告诉我们,该市的月均用水量为2.25 t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少.请大家翻回到课本看看原来抽样的数据,有没有 2.25 这个数值呢？根据众数的定义,2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02.思考：2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）课本显示,大部分居民的月均用水量在中部（2.02 t左右）,但是也有少数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考：中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗？（让学生讨论,并举例）对极端值不敏感有利的例子：考察课本中表21中的数据,如果把最后一个数据错写成22,并不会对样本中位数产生影响.也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防错误数据的影响,而在实际应用中,人为操作的失误经常造成错误数据.对极端值不敏感有弊的例子:某人具有初级计算机专业技术水平,想找一份收入好的工作,这时如果采用各个公司计算机专业技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒这样的风险:很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很低,其原因是中位数对极小的数据不敏感.这里更好的方法是同时用平均工资和中位数来作为参考指标,选择平均工资较高且中位数较大的公司就业.对极端值不敏感的方法,不能反映数据中的极端情况.同样的,可以从频率分布直方图中估计平均数,上图就显示了居民用水的平均数,它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.由估计可知,居民的月均用水量的平均值为2.02 t.显示了居民月均用水量的平均数,它是频率分布直方图的“重心”.由于平均数与每一个样本数据有关,所以,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具有的性质.也正因为这个原因,与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.从图上可以看出,用水量最多的几个居民对平均数影响较大,这是因为他们的月均用水量与平均数相差太多了.利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点） 估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 总之,众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述,可以作为总体相应特征的估计.样本众数易计算,但只能表达样本数据中的很少一部分信息,不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息,与数据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响,绝对值越大的数据,对平均数的影响也越大．三者相比,平均数代表了数据更多的信息,描述了数据的平均水平,是一组数据的“重心”.应用示例思路1例1 （1）若M 个数的平均数是X,N 个数的平均数是Y,则这M+N 个数的平均数是___________；（2）如果两组数x 1,x 2,…,x n 和y 1,y 2,…,y n 的样本平均数分别是x 和y,那么一组数x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n 的平均数是___________．活动：学生思考或交流,教师提示,根据平均数的定义得到结论.解：（1）NM NY MX ++； （2）2y x +. 例2 某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150分）,试确定这次考试中,哪个班的语文成绩更好一些．甲班：112 86 106 84 100 105 98 102 94 10787 112 94 94 99 90 120 98 95 119108 100 96 115 111 104 95 108 111 105104 107 119 107 93 102 98 112 112 9992 102 93 84 94 94 100 90 84 114乙班：116 95 109 96 106 98 108 99 110 10394 98 105 101 115 104 112 101 113 96108 100 110 98 107 87 108 106 103 97107 106 111 121 97 107 114 122 101 107107 111 114 106 104 104 95 111 111 110分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中水平,因此,分别求出甲、乙两个班的平均分即可．解：用计算器分别求出甲班的平均分为101.1,乙班的平均分为105.4,故这次考试乙班成绩要好于甲班．思路2例1 下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表(单位：h),试估计该校学生的日平均睡眠时间．睡眠时间人数频率［6,6.5) 5 0．05［6.5,7) 17 0．17［7,7.5) 33 0．33［7.5,8) 37 0．37［8,8.5) 6 0．06［8.5,9) 2 0．02合计100 1分析：要确定这100名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间,由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围,可以用各组区间的组中值近似地表示．解法一：总睡眠时间约为6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75×37+8.25×6+8.75×2=739（h）,故平均睡眠时间约为7.39 h．解法二：求组中值与对应频率之积的和6.25×0.05+6.75×0.17+7.25×0.33+7.75×0.37+8.25×0.06+8.75×0.02=7.39（h）. 答：估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h．例2 某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元之间的职工所占的比分别为10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%,试估计该单位职工的平均年收入．分析：上述百分比就是各组的频率．解：估计该单位职工的平均年收入为12 500×10%+17500×15%+22 500×20%+27 500×25%+32 500×15%+37 500×10%+45 000×5%=26 125(元).答：估计该单位人均年收入约为26 125元．知能训练从甲、乙两个公司各随机抽取50名员工月工资：甲公司：800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 2001 2001 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 5001 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 5002 000 2 000 2 0002 000 2 000 2 500 2 500 2 500乙公司：700 700 700 700 700 700 700 700 700700 700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 6 000 8 000 10 000试计算这两个公司50名员工月工资平均数、众数、中位数,并估计这两个企业员工平均工资. 答案：甲公司：员工月工资平均数1 240,众数1 200,中位数1 200；乙公司：员工月工资平均数1 330,众数1 000,中位数1 000；从总体上看乙公司员工月工资比甲公司少,原因是乙公司有几个收入特高的员工影响了工资平均数.拓展提升“用数据说话”, 这是我们经常可以听到的一句话.但是,数据有时也会被利用,从而产生误导.例如,一个企业中,绝大多数是一线工人,他们的年收入可能是一万元左右,另有一些经理层次的人,年收入可以达到几十万元.这时,年收入的平均数会比中位数大得多.尽管这时中位数比平均数更合理些,但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时,也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问.你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎么解释?这句话的目的是谨防利用人们对统计术语的模糊认识进行误导(蒙骗).使学生能够正确理解在日常生活中像“我们单位的收入水平比别的单位高”这类话的模糊性,这里的“收入水平”是指员工收入数据的某个中心点,即可以是中位数、平均数或众数,不同的解释有不同的含义.在这里应该注意以下几点:1.样本众数通常用来表示分类变量的中心值,容易计算,但是它只能表达样本数据中的很少一部分信息,通常用于描述分类变量的中心位置.2.中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或排序靠后的数据)的影响,容易计算,它仅利用了数据中排在中间数据的信息.当样本数据质量比较差,即存在一些错误数据(如数据的录入错误、测量错误等)时,应该用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值,可以利用计算机模拟样本,向学生展示错误数据对样本中位数的影响程度.3.平均数受样本中的每一个数据的影响,“越离群”的数据,对平均数的影响也越大.与众数和中位数相比,平均数代表了数据更多的信息.当样本数据质量比较差时,使用平均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误差.可以利用计算机模拟样本,向学生展示错误数据对样本平均数的影响程度.在体育、文艺等各种比赛的评分中,使用的是平均数.计分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量保证公平性4.如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解样本数据中极端数据的信息,帮助我们作出决策.5.使用者常根据自己的利益去选取使用中位数或平均数来描述数据的中心位置,从而产生一些误导作用.课堂小结1．能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（平均数）,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；2．平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平；3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识．作业习题2.2A组3.设计感想本堂课在初中学习的众数、中位数、平均数的基础上,学习了利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数,这是一种近似估计,但都能说明总体的分布特征,各有优缺点,讲解时紧扣课本内容,讲清讲透,使学生活学活用,会画频率分布直方图,会利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数,对总体作出正确的估计.(设计者:路波)第2课时标准差导入新课思路1平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.(教师板书课题)思路2在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕甲运动员:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？如果你是教练,选哪位选手去参加正式比赛？我们知道,x甲=7，x乙=7.两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是否两个人就没有水平差距呢？从上图直观上看,还是有差异的.很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据——标准差.推进新课新知探究提出问题(1)如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？(2)有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个标本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现,两个样本的平均数均为125.甲110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪种钢筋的质量较好？(3)某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植对比实验,年亩产量分别如下:(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?(4)全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心,某市按当地物价水平计算,人均年收入达到1.5万元的家庭即达到小康生活水平.民政局对该市100户家庭进行调查统计,它们的人均收入达到了1.6万元,民政局即宣布该市民生活水平已达到小康水平,你认为这样的结论是否符合实际?(5)如何考查样本数据的分散程度的大小呢?把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断数据的离散程度?讨论结果：(1)利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. (2)由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）.由上图可以看出,乙的极差较大,数据点较分散；甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论.(3)选择的依据应该是,产量高且稳产的品种,所以选择乙更为合理.(4)不符合实际.样本太小,没有代表性.若样本里有个别高收入者与多数低收入者差别太大.在统计学里,对统计数据的分析,需要结合实际,侧重于考察总体的相关数据特征.比如,市民平均收入问题,都是考察数据的分散程度.(5)把问题(3)中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道,乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近,即乙的分散程度小, 如何用数字去刻画这种分散程度呢? 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差.标准差：考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ,x 表示这组数据的平均数.x i 到x 的距离是|x i -x |(i=1,2,…,n).于是,样本数据x 1,x 2,…,x n 到x 的“平均距离”是S=nx x x x x x n ||||||21-++-+- . 由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差: s=])()()[(122221x x x x x x nn -++-+- . 意义：标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数.标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,在关于居民月均用水量的例子中,平均数x =1.973，标准差s=0.868，所以x +s=2.841,x +2s=3.709；x -s=1.105,x -2s=0.237.这100个数据中，在区间［x -2s,x +2s ］=［0.237,3.709］外的只有4个，也就是说，［x -2s, x +2s ］几乎包含了所有样本数据.从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：s 2=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］. 显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时，一般多采用标准差.需要指出的是,现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小,实际应用中比较广泛的是标准差.如导入中的运动员成绩的标准差的计算器计算.用计算器计算运动员甲的成绩的标准差的过程如下：即s 甲=2.用类似的方法，可得s 乙≈1.095.由s 甲>s 乙可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.应用示例思路1例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83.它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm 的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.3625.34 25.42 25.45 25.38 25.4225.39 25.43 25.39 25.40 25.4425.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.4725.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值.解：用计算器计算可得甲x ≈25.401，乙x ≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.点评：从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性. 变式训练某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）. 解：运用计算器计算得：100450126024701880309012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=79.40, (12+30+18+24+12)÷100=96%,所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分,合格率是96%.思路2例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.品种第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8解：甲品种的样本平均数为10,样本方差为［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02.乙品种的样本平均数也为10,样本方差为［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24.因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.例 2 为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下,试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差. 天数151—180 181—210 211—240 241—270 271—300 301—330 331—360 361—390 灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2 分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命,再求平均寿命.解：各组中值分别为165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均数约为165×1%+195 ×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天). 这些组中值的方差为1001×［1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+。

必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征●三维目标1．知识与技能(1)能利用频率分布直方图估计总体的众数，中位数，平均数．(2)结合实际，能选取恰当的样本数字特征，对问题作出合理判断，制定解决问题的有效方法．2．过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法．3．情感、态度与价值观通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风．●重点难点重点：利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数．难点：(1)从频率分布直方图中计算出中位数；(2)选取恰当的样本数字特征来估计总体，从而正确的对实际问题做出决策．●教学建议1．本节课让学生通过熟知的一组数据的代表－众数、中位数、平均数，并辅以计算器、多媒体手段，通过一定手脑结合的训练，让学生感受在只能得到频率分布直方图的情况下也可以估计总体数字特征．在课堂结构上，建议根据学生的认知水平，采取“仔细观察—分析研究—小组讨论—总结归纳”的方法，使知识的获得与知识的发生过程环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标．2．教学方法与手段分析(1)教学方法：结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，建议采用“问答探究”式的教学方法，层层深入．充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体．(2)教学手段：通过多媒体辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性．(3)本节课的教学过程重视学生探究知识的过程，突出了以教师为主导，学生为主体的教学理念．教师通过提供一些可供学生研究的素材，引导学生自己去研究问题，探究问题的结论．●教学流程创设问题情境引出问题⇒引导学生结合初中学过的众数、中位数、平均数的概念感受这三个数字特征⇒教师通过多媒体展示这三个数字特征，通过分组讨论总结求法⇒通过例1的展示及变式训练的强化使学生进一步体会这三个数字特征通过例2及变式训练使学生掌握求方差及标准差的方法，体会方差的应用⇒引导学生探究方差及标准差的特征及求法，分组讨论说明方差的实际意义⇒归纳整理进行课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．(重点) 2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．(重点) 3．会应用相关知识解决统计实际问题．(难点)众数、中位数、平均数的概念1.众数：一组数据中重复出现次数最多的数叫做这组数的众数．2．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间的那个数；当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的平均数．3．平均数：如果有n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫这n 个数的平均数．标准差、方差【问题导思】甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,51．甲、乙两战士命中环数的平均数x 甲、x 乙各是多少？ 【提示】 x 甲＝7环；x 乙＝7环． 2．由x 甲，x 乙能否判断两人的射击水平？ 【提示】 由于x 甲＝x 乙，故无法判断．3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？【提示】 从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中，故乙的射击水平更稳定．1．标准差的计算公式标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝ 1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 2．方差的计算公式 标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．其中，x i(i＝1,2，…，n)是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数.众数、中位数、平均数的应用某公司的33名人员的月工资如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500(元)(1)求该公司人员月工资的平均数、中位数、众数(精确到元)；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元；董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司人员的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．【思路探究】由平均数定义→计算平均数→将数据从小到大排列→得中位数、平均数→结论【自主解答】(1)平均数是x＝(5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20)÷33≈2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)平均数是x′＝(30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20)÷33≈3 288(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司人员的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司人员的工资水平．1．深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．3．平均数对极端值敏感，而中位数对极端值不敏感．因此两者结合，可较好地分析总体的情况．高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？【解】(1)利用平均数计算公式得x＝148(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)∵男同学的中位数是75，∴至少有14名男同学得分不超过75分．又∵女同学的中位数是80，∴至少有11名女同学得分不超过80分．∴全班至少有25人得分低于80分(含80分)．(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．用频率分布表或直方图求数字特征已知一组数据：125121123125 127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数累计频数频率[120.5,122.5)[122.5,124.5)[124.5,126.5)[126.5,128.5)[128.5,130.5]合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．【思路探究】将数据分组后依次填写分布表．然后画出直方图，最后根据数字特征在直方图中的求法求解．【自主解答】(1)分组频数累计频数频率[120.5,122.5)20.1 [122.5,124.5)30.15 [124.5,126.5)80.4 [126.5,128.5)40.2[128.5,130.5]3 0.15合计201(2)(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5＋2×58＝125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x －＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事实上平均数的精确值为x －＝125.75.1．利用频率分布直方图求数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边的中点．(2)中位数左右两侧直方图的面积相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．下表是某校学生的睡眠时间抽样的频率分布表(单位：h)，试估计该校学生的日平均睡眠时间．睡眠时间[6，6．5)[6.5，7)[7，7．5)[7.5，8)[8，8．5)[8.5，9]合计频数517333762100频率0.050.170.330.370.060.02 1 【解】法一日平均睡眠时间为x＝1100×(6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2)＝1100×739＝7.39(h)．法二求组中值与对应频率之积的和：x＝6.25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h)．所以，估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h.标准差与方差的应用甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．【思路探究】着眼点—错误!)【自主解答】 (1)x 甲＝16[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，x 乙＝16[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x 甲＝x 乙，比较它们的方差，∵s 2甲＞s 2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．1．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)：方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．2．关于统计的有关性质及规律：(1)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(2)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差相等． (3)若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.对划艇运动员甲、乙在相同的条件下进行了6次测试，测得他们每次的最大速度(m/s)如下：甲：27,38,30,37,35,31 乙：33,29,38,34,28,36根据以上数据，试判断他们谁更优秀．【解】 x 甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，s 2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝16×94≈15.7， x 乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝1986＝33，s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝16×76≈12.7. 所以x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙.这说明甲、乙两运动员的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.巧用分类讨论思想求数字特征(12分)某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．【思路点拨】 x 的大小未知，可根据x 的取值不同分别求中位数．【规范解答】 该组数据的平均数为14(x ＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x 不知是多少，所以要分几种情况讨论．(1)当x ≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10，其中位数为12×(10＋8)＝9.若14(x ＋28)＝9，则x ＝8，此时中位数为9.4分 (2)当8<x ≤10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x,10,10，其中位数为12(x ＋10)．若14(x ＋28)＝12(x ＋10)，则x ＝8，而8不在8<x ≤10的范围内，所以舍去.8分 (3)当x >10时，原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10，x ，其中位数为12×(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9或10.12分当在数据中含有未知数x ，求该组数据的中位数时，由于x 的取值不同，所以数据由小到大(或由大到小)排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论，讨论时要做到全面合理，不重不漏．1．一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么，最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数．2．利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点．②中位数左右两边直方图的面积应相等．③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．1．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为()A ．4.55B ．4.5C ．12.5D ．1.64【解析】 x ＝4×3＋3×2＋5×4＋6×23＋2＋4＋2≈4.55.【答案】 A2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x ＝________.【解析】 由题意知x ＋232＝22，则x ＝21.【答案】 213．五个数1,2,3,4，a 的平均数是3，则a ＝________，这组数据的标准差是________． 【解析】 由平均数公式得1＋2＋3＋4＋a 5＝3，则a ＝5，s 2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.∴s ＝ 2.【答案】 524.2012年青年歌手大奖赛民族唱法组中，6位评委现场给每位歌手打分，去掉一个最高分和一个最低分后，其余分数的平均数作为歌手的成绩，已知6位评委给某位歌手的打分是：9．2 9.5 9.4 9.6 9.8 9.5求这位歌手的得分及6位评委打分的众数和中位数．【解】这位歌手的得分为x＝14(9.5＋9.4＋9.6＋9.5)＝9.5分．在这组数据中，9.5出现了2次，出现的次数最多，所以6位评委打分的众数是9.5分，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，位于最中间的两个数都是9.5，所以6位评委打分的中位数是9.5分.一、选择题1．(2013·济南高一检测)某学习小组在某次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A．85,85,85B．87,85,86C．87,85,85 D．87,90,85【解析】从小到大排列为75,80,85,85,85,85,90,90,95,100观察可知，众数、中位数分别为85、85，计算得平均数为87.【答案】 C2．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是()甲乙丙丁x7887s2 6.3 6.378.7A.甲B．乙C．丙D．丁【解析】∵x乙＝x丙＞x甲＝x丁，且s2甲＝s2乙＜s2丙＜s2丁，∴应选择乙进入决赛． 【答案】 B3．(2012·山东高考)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差【解析】 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．【答案】 D4．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A ．3.5B ．－3C ．3D ．－0.5【解析】 少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际平均数等于－3.【答案】 B5．(2012·安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图2－2－9所示，则( )图2－2－9A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】 由条形统计图得到相关数据，然后利用平均数、中位数、方差、极差的概念求解．由条形统计图知：甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8； 乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9，所以x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x 乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6.所以x 甲＝x乙．故A 不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确．s 2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，s 2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2<125，所以s 2甲<s 2乙.故C 正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故D 不正确．故选C.【答案】 C 二、填空题6．(2013·深圳高一检测)已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，标准差为2，则xy ＝________.【解析】 由平均数得9＋10＋11＋x ＋y ＝50，∴x ＋y ＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2＝(2)2×5＝10，得x 2＋y 2－20(x ＋y )＝－192，(x ＋y )2－2xy －20(x ＋y )＝－192，∴xy ＝96. 【答案】 967．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________．分数 5 4 3 2 1 人数2010303010【解析】 平均成绩为5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10100＝3，s 2＝1100×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝160100. ∴s ＝2105【答案】21058．(2012·广东高考)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)【解析】 利用平均数、中位数、标准差公式分类讨论求解． 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4， 则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝ 14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(4－x 2－2)2＋(4－x 1－2)2 ＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2] ＝1，∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.【答案】 1,1,3,3 三、解答题9．某公司销售部有销售人员15人，为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：每人销售件数1 800 510 250 210 150 120 人数113532(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售定额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额．【解】 (1)平均数x ＝115×(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．(2)不合理，因为15人中就有13人的销售额达不到320件，也就是说320虽是这一组数据的平均数但它却不能反映销售人员的一般水平．销售额定为210件要合理些．由于210既是中位数，又是众数，是绝大部分人都能达到的销售额．10．某篮球队教练要从甲、乙两名运动员中挑选一名运动员，甲、乙两人进行10轮投篮比赛，每轮每人投10次，甲每轮投中的次数分别为9,7,8,7,8,10,7,9,8,7，乙每轮投中的次数分别为7,8,9,8,7,8,9,8,9,7，请你给教练一个人选的建议．【解】 由已知x 甲＝110×(9＋7＋8＋7＋8＋10＋7＋9＋8＋7)＝8，x 乙＝110×(7＋8＋9＋8＋7＋9＋8＋9＋8＋7)＝8，s 2甲＝110×[(9－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2]＝1.s 2乙＝110×[(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2]＝35.∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，∴乙运动员发挥稳定，应选乙．11．为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图2－2－10，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.图2－2－10(1)求第四小组的频率；(2)问参加这次测试的学生人数是多少？(3)问在这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？ 【解】 (1)第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)参加这次测试的学生人数为50.1＝50.(3)由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．∵0.1＋0.3＝0.4<0.5，0．1＋0.3＋0.4＝0.8>0.5，故这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.(教师用书独具)某学校高一A班和高一B班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下：班级平均分众数中位数标准差A班79708719.8B班797079 5.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析：A班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议．【思路探究】综合考虑四个数字特征对小刚成绩情况进行判断，同时对班级成绩作出分析．【自主解答】(1)由于A班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，成绩应该属于中游．但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游．(2)A班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助．B班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优异的也很少，建议采取措施提高优秀率．某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：分数5060708090100人数甲班16121115 5乙班351531311选用平均数、众数和中位数评估这两个班的成绩？【解】甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班．如果记90分以上(含90分)为优秀，甲班有20人，优秀率为40%，乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较好的是乙班．可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定．如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评估比较合适.。

2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教学设计一、教材分析（一）地位与作用统计思想和方法“螺旋”式地从小学渗透到中学，这有助于人们在生活、生产实践中通过分析统计数据做出决策。

教会学生分析处理统计数据是高中数学课程标准的重要内容，有着广泛的实际应用。

在上一节我们已经学习了用图、表来组织样本数据，并且学习了如何通过图、表所提供的信息，用样本的频率分布估计总体的分布情况。

本节课是在前面所学内容的基础上，进一步学习如何通过样本的情况来估计总体，从而使我们能从整体上更好地把握总体的规律，为现实问题的解决提供更多的帮助。

并为后面选修学习随机变量的数字特征做铺垫。

（二）学情分析（1）学生在初中已经学习过平均数、中位数、众数等数字特征，但部分学生已经遗忘。

（2）学生初步掌握了频率分布直方图、茎叶图的概念及应用。

（3）学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

（4）学生层次参差不齐，部分学生计算能力差，个体差异比较明显。

二、目标分析新课标指出“三维目标”是一个密切联系的有机整体，这要求我们在教学中以知识技能的培养为主线，渗透情感态度与价值观，并把这两者充分体现在教学过程中，新课标指出教学的主体是学生，因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发，根据本节内容在教材内容中的地位与作用，结合学情分析，本节课教学应实现如下教师教学目标以及学生学习目标：（一）教师教学目标1.知识与技能（1）能利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数；（2）通过选取不同样本数据得到不同的数字特征，体会数字特征的随机性；（3）能用样本的众数,中位数,平均数估计总体的众数,中位数,平均数,并结合实际对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法。

2.过程与方法通过对本节课知识的学习，初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法。

3.情感态度与价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够理解数学知识与现实世界的联系。

《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教学反思
今天开课的课题是《用样本的数字特征估计总体的数字特征》，这节课我主要是从学生的现有认知水平出发，利用问题探究式、小组合作讨论式等教学手段，让学生经历知识和方法的形成过程，从而加深了对所学知识的理解，有效地突破了本节课重点和难点。

总的来说今天的课还算圆满，我从以下几方面总结：
1、自身教学方面
1）刚上课的时候有些紧张，目标展示的有点慢；中间有些地方话不太连通；因为刚开始的时候语速有些过快，整个课堂有点先紧后慢。

2）对学生的回答都给予应答，并且以鼓励为主。

2、学生情况方面
1）受我的影响学生也有点紧张，学生回答问题时不如平日里踊跃；我共设计了5个讨论环节，在讨论时感觉学生声音不大，不太热烈。

2）学生对知识掌握的还可以，通过小测和平时的做题可以看出学生掌握的还不错；在学生回答问题时，他们敢于发言，敢表达自己的观念，感表达自己的意思，并且同学间相互竞争合作。

3、在内容方面上
总的说整堂课进行的比较顺利，也圆满完成了本堂课的三个教学目标，学生接受的也没问题；在知识上没有知识体系的遗漏，并且关键的地方都是以学生讨论为主，让他们讨论，自己去发现问题，自己去解决问题，自己去掌握知识关键点在哪里。

4、我自身存在的不足
首先在教学方式：以后采用以学生为本，自主学习，自主探究，互帮互助，生帮生，生带生，自己解决问题。

真正意义上放手让学生自己学，不应该老师大包大揽。

其次多创设情景，像今天的课堂这样多举身边的例子，多举与生活息息相关的例子，激发他们的积极性，激发他们的兴趣。

不足的地方还很多，多请教他人。

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

《用样本的数字特征估计总体的数字特征》-听课反思《用样本的数字特征估计总体的数字特征》取自人教B版必修三第二章第二节，是继初中所学相关内容的继续和深入。

学好本节内容，既是《课程标准》对高中数学学习内容的重要要求，又可以在学生今后的实际生活中起到重要作用。

我作出以下几点反思：一、对情景创设的反思本节课通过对三位学生6次数学测试的平均成绩，估计他们数学学习水平高低。

然后通过两个问题：假如选择一位或两位同学参加数学竞赛，应该如何选？把主动权放给学生，学生通过小组讨论后自然会得到从平均成绩高低和成绩是否稳定两个角度考虑，从而引出平均数和方差（或标准差）的概念。

这样既提高了学生的学习兴趣，又巧妙地导入了新课的学习。

二、对教学目标的反思本节课的教学目标设置较为具体、明确，符合学生的现有水平，便于学生对新课的学习及课后对学习内容的总结、反思，符合课程标准的精细化解读。

同时启发学生通过对具体问题的分析，形成对数据处理过程进行初步评价的意识，激发学生的数学应用意识。

三、对教学过程的反思在问题情境一中，通过计算三位同学5次数学测验成绩的平均成绩，选择一位同学参加竞赛，学生很容易选择平均成绩最高的那位同学。

如果选择两位同学参加比赛，除张同学平均成绩较高外，王同学和李同学平均成绩相等，又该如何选择？学生会想到选择成绩稳定的一位参加，进而再引出方差、标准差。

这是本节课的主线。

其中又充实例题和练习对两部分内容加以深化和理解。

但是整个过程中学生对例题的理解出现了偏差，对教学过程的顺利进行造成了一定影响。

四、对教学方法的反思本节课通过大量案例，让学生在实际案例中主动探索体会用样本的某些数字特征估计总体的数字特征，注意体现学生的主体地位。

讲练结合，以练为主，起到了预期的效果。

五、不足之处由于本人经验有限，对录像课的细节不甚了解，以致录像效果不甚理想。

本团队教师对我出现的问题都进行了细致入微的指导与帮助，相信在其他老师的帮助下，我一定能克服出现的问题。

课题：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征*课前预习：1.样本平均数，众数，中位数的定义；2.用样本标准差估计总体标准差（1）数据的离散程度可以用极差、_______或___________来描述。

样本方差描述了一组数据围绕____________波动的大小。

一般地，设样本的元素为x 1 ,x 2 ,x 3 ,…,x n ，样本的平均数为x ，定义样本方差 2s _______________________________________.(2)为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求样本方差的算术平方根。

s=________________.s 表示样本____________。

典型例题：题型一：众数、中位数、平均数1、高一、3班期末数学考试前10名的成绩：问：指出这组数据的众数、中位数、平均数？题型二：众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系1、某学校1800名学生在一次一百米测试中，全部介于13秒与18秒之间，抽取其中的50个样本，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13,14)，第二组[14,15)，第三组[14,15)，…，第五组[17,18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这在这次百米测试中成绩良好的人数； （2）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数与平均数； （4）请根据频率分布直方图，求样本数据的中位数．（保留两小数）高考链接 （2014广东高考 17题）某车间20名工人年龄数据如下表：（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差.上课时间：2016年3月16日（星期三）教学反思：作为一名高中数学教师来说不仅要上好每一堂课，还要对教材进行加工，对教学过程以及教学的结果进行反思。

《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案(1) 教学目标：
1．从样本数据中提取基本的数字特征（如众数、中位数、平均数等），并做出合理的解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；形成对数据进行初步评价的意识；
2．能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数，并结合实际对问题作出合理判断，制定解决问题的有效方法；
3．会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系．
教学重点难点：
1．重点：用样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数等；
2．难点：结合实际，对问题作出合理判断，制定解决问题的有效方法．
教法与学法：
1．教法选择：问题引导，合作探究，加强学生自主模仿，给予足够多时间当堂练习；
2．学法指导：通过各个问题的回答，逐步掌握知识；通过课堂练习，内化知识．
教学过程：
一、设置情境，引出概念
二、共同探究，获得知识
三、例题讲解，运用知识
四、思维拓展，归纳知识
五、归纳总结，作业巩固
教学设计说明
1．教材地位分析：本节是在已经学习了用图、表来组织样本数据，用样本的频率分布估计总体的分布情况下，进一步学习如何通过样本的数字特征来估计总体的数字特征，从而使我们能从整体上更好地把握总体的规律，并初步体会、领悟“用数据说话” 的统计思想方法．
2．学生现实分析：学生的自主探究和合作学习能力需要在课堂教学中进一步加强和引导．
3．本节课让学生通过熟知的一组数据的代表:众数，中位数，平均数，并辅以计算器、多媒体手段，通过一定手脑结合的训练，让学生感受在没有频率分布直方图的情况下也可以估计总体数字特征．。

用样本的数字特征估计总体的数字特征说课稿尊敬的各位专家，老师，您们好，今天我为大家展示的课例是《用样本的数字特征估计总体的数字特征》.我的说课流程共分为以下5个环节，首先我对本课的教材内容做简要的分析.一、教材透视本节课是在已经学习了用图、表来组织样本数据，用样本的频率分布估计总体分布的基础上，进一步挖掘样本，从形的角度，利用样本的频率分布直方图来估计总体的数字特征，体现用样本估计总体的思想，以及统计思维与确定性思维的差异.同时它也为我们制定决策提供依据，因此学好本节课能帮助学生逐步建立用样本估计总体的统计思想，提高解决实际问题的能力.在初中的课标中对这段内容的要求，可用两个词来概括：“了解”和“感受”；而高中与初中不同点则可用一个字来体现：“会”.于是我将本课的教学重点确定为：教学重点：能用频率分布直方图估计总体的数字特征并对数字特征作出评价二、学情分析1.学生已有的认知基础通过初中和高二前面的学习，学生已有“统计初步知识”的数学现实，能从样本中直接提取样本的数字特征，能用频率分布直方图来呈现数据的分布形态，现实生活中很多数量化的实际问题也为学生的认知提供了经验基础.2.学生面临的问题学生对统计思想的认识还停留在表层，对用频率分布直方图估计总体的数字特征的认识及估算方法比较模糊；应用数字特征解决简单的实际问题并作出合理的决策比较困难.教学难点：应用数字特征解决简单的实际问题并作出合理的决策三、教法厘定针对学生的认知特点，我在教法上采用的是“问题探究式教学”,学法上采用“自主探究、合作交流”的方法.为落实重点，让学生在在自主探索与合作交流中经历数字特征的生成过程；在反思总结、阅读教材中建构知识和方法的正确认识；为突破难点，采用设置问题串的形式，通过追问的方式、结合生活实例，引导学生认识三个数字特征的特点并作出了合理的决策.四、程序预设为了全面达成教学目标，我预设了以下六个教学环节：（一）情境引入1.提出问题以阳光体育运动为背景，提出了以下的实际问题：【视频1】[设计意图]:数学源于生活，又服务于生活.将发生在学生身边的实际问题引入课堂，更有利于激发学生兴趣和参与意识.2. 展示同学们收集、整理数据的过程为了解决这个问题，课前让学生通过实习作业分组对我校同学的锻炼时间进行了数据收集与初步整理.在实习作业中，并没有指明抽样的方法和数据处理的方式，这为学生的探究留足了空间，同时为了避免方向的茫目性，我提供了研究的方向，重点关注了以下两方面的内容：（1）通过制作样本频率分布直方图（也可用其它图表组织样本数据）对数据进行初步分析.（2）探究我校同学锻炼时间的平均水平，大部分人的锻炼时间集中在那个时长?位于中间水平的锻炼时间又是多少？通过制作样本频率分布直方图既巩固了上节课的内容，又为本节课作了铺垫.通过探究这三个问题将用众数、中位数、平均数来刻画数据的特征并分析数据的思想显性化；直接在样本中求这三个数字特征，有利于学生回顾知识和方法，为在直方图中估计数字特征作铺垫，有助于学生在以有的知识和经验上构建新知.【收集数据视频】[设计意图]: 通过实习作业可让学生从实际出发，较为系统地经历数据收集与初步整理的过程，感受统计的思想在实际问题中的应用价值，体会数学知识与现实生活的联系.真正实现参与统计的完整过程.（二）问题探究以学生自己收集的数据作出的频率分布直方图探讨了以下几个问题：(PPT)问题1：（1）如何从频率分布直方图中估计众数？（2）从频率分布直方图中估计的众数与原始数据中的众数是否一样，你能解释其中的原因吗？问题2：如何从频率分布直方图中估计平均数，为什么？问题3： （1）在直方图中中位数左右两边小矩形的面积有什么关系？（2）如何从频率分布直方图中估计中位数？为了充分发挥学生的主体性，根据本课内容的特点及学生的认知基础，本环节的探索全部交于学生.1、对众数的探究采用了自主学习2、对平均数和中位数的探究，在学生独立思考后采用了合作学习,再由小组推荐代表展示探究成果，由学生的“说”和生生、师生间的“评”展开活动.【众数视频】获取数字特征可以从原始数据直接提取，也可以通过频率分布直方图获得，通过对比这两种方法，使学生明白从直方图中得到的数字特征实际上是一个估计值.针对问题2，学生能想到用定义求平均数，但由直方图求数据的总和会比较困难.在探究的过程中通过小组讨论，部分学生能类比众数的求法取每组的中点作为每组的数据的代表值来求数据的总和【平均数视频】同时我引导学生对求平均数的式子作以下变形：【图片】针对问题3，学生对在直方图中为什么中位数左右两边小矩形框面积相等，会有些疑惑.在探究的过程中我通过引导学生复习中位数的概念和求法来寻找在直方图中估计中位数的方法.【中位数视频】为了加深对数字特征特点的认识，我设计了以下两个追问：(PPT)追问1：有同学在录入数据时不小心将数据中的80全部录为800，平均数和中位数是否会发生变化？追问2：中位数不受少数几个极端值的影响，你认为这一特征是他的优点还是缺点？可以举例说明.【图片】253355459...95360X ⨯+⨯+⨯++⨯=3532535 (95606060)X =⨯+⨯++⨯通过对比极端数值对平均数和中位数的影响以及例举生活中的实例，可让学生进一步的体会数字特征的特点，为合理制定决策提供依据，突破难点.（三）归纳提升在充分体验的基础上，学生已经能够自主归纳由直方图获取数字特征的方法及数字特征的作用和局限性.【图片】（四）制定决策在此基础上学生已经可估计出我校同学锻炼时间这个总体的数字特征了，于是我们又回到课前的“阳光体育运动”的问题.( PPT)问题4：以这三个估计值为依据，你认为我校同学体育锻炼的时间达到“使大部分学生能做到每天锻炼一小时”的目标了吗？【视频】这是一个开放性的问题，所以对学生的发言给与充分的肯定，让学生在发表自己的见解的同时，深化对三种数字特征的认识和理解,并能综合数字特征的特点，做出合理决策. 再次突破难点（五）应用反馈为了强化认识、内化新知我设计了例1：( PPT)例1 （2016年四川改编）教材原型：人教A版必修3第65页探究我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，成都市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图，(1)试估计成都市居民月均用水量的众数、平均数.（2）如果希望85%的居民月均用水量不超过标准a，那么标准a定为多少比较合理呢？【视频】本例是以教材为原型，改编而成的高考题，设计的目的在于让学生明白，高考题来源于教材，而又高于教材.通过本例，进一步检测学生对教学目标：“会用频率分布直方图估计总体的数字特征的达成情况（六）反思小结在反思小结的环节中，我引导学生带着以下几个问题阅读教材：(PPT)1.本节课你在数学知识和方法上有哪些收获？2.你能从频率直方图中估计众数、中位数、平均数吗？3.众数、中位数、平均数有哪些作用和局限性？4.如果你作为一名决策者，你在处理数量化表示的实际问题时需要注意些什么？【图片】通过回归教材，以及师生共同小结与反思，使学生认识统计对于现实的意义，丰富和完善学生的认知结构，使知识与技能内化为学生的数学能力.附：板书设计(PPT)五、教学评价现代数学教学和新课改要求教学能从“让学生学会”向“让学生会学”转变、从“教教材”向“用教材教”转变，使数学教学真正成为数学活动的教学.所以，本节课我认为并不仅仅是单纯的知识教学，而更应该重视对统计思想的渗透和学生实践创新能力的培养.我从“阳光体育运动”案例入手，通过实习作业让学生较为系统地经历数据收集与初步整理的过程，从学生自己收集的数据得到的频率分布直方图出发，让学生在自主探索、合作交流中经历数字特征的生成过程以及应用数字特征分析实际问题并作出合理决策的过程，这样既激发了学生的学习兴趣，又分化突破了难点.教学过程中，我不断设问，不断变式，给每个学生提供思考、创造、表现的机会，意在培养学生发现问题解决问题的能力，逐步渗透数形结合及统计的思想.。

《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教学设计（第一课时众数、中位数、平均数）【教材分析】：“用样本的数字特征估计总体的数字特征（众数、中位数、平均数）”是《普通高中课程标准实验教科书数学必修三》（人教A版）第二章第二节第二小节第一课时的教学内容。

这节课我们将学习如何从样本中提取基本信息（众数、中位数、平均数）来推断总体的情况。

统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据。

【学情分析】:我们班级是双语班，大多数同学相对于平行班基础要弱一点，上课学习安排的内容相对少点，讲解比较细致，语速也比较慢，只安排了众数、中位数、平均数，在频率分布直方图下求众数、中位数是重点讲解，就把在频率分布直方图下求平均数安排在下一节课上，这节课我们将学习如何从样本中提取基本信息（众数、中位数、平均数）来推断总体的情况。

【三维目标】：★知识与技能：1. 能够用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征。

2. 能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数，并结合实际对问题作出合理的判断，制定解决问题的有效方法。

★过程与方法:1初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法。

★情感态度与价值观:1通过对有关数据的收集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度。

【教学重点】：1. 根据实际问题的样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释，估计总体的基本数字特征。

【教学难点】：1准确求出样本的数字特征，并理解其意义并体会样本数据具有随机性。

【课前准备】：多媒体课件、教学设计、导学案（提前发给同学们预习使用）【教学方法】：启发式、探究式【教学过程】：★【复习导入】：对一个未知总体，我们常用样本的频率分布来估计总体的频率分布，其中表示样本数据的频率分布的基本方法有哪些？★【学生回答】：图、表、总体数据的数字特征★【老师提问】：下图是某赛季东、西部球队数据，那么如何比较东部赛区与西部赛区的优劣呢？（高中生对NBA的热爱超乎我们的想象，他们感兴趣的话题就更愿意去探讨与研究）★【老师总结】如果要求我们根据上面的数据，估计、比较某赛季东部赛区与西部赛区的优劣，就得有相应的数据作为比较依据，即通过样本数据对总体的数字特征进行研究，用样本的数字特征来估计总体的数字特征★【学生复习回顾初中知识】众数、中位数、平均数（把导学案的知识点过一遍）1众数的定义: 在一组数据中，出现数据叫做这一组数据的众数2中位数的定义: 将一组数据按依次排列，把处在位置的一个数据（或两个数据的）叫做这组数据的中位数3平均数的定义:一组数据的除以数据的所得到的数4一组数据中的众数可能，中位数是的，求中位数时，必须先．5众数规定为频率分布直方图中6中位数左右两边的直方图的面积★【问题1】众数、中位数及平均数中，哪个量最能反映总体的情况？学生回答：由于与每个数都相关，所以最能反映总体的情况★【问题2】单纯依据众数、中位数及平均数中的一个量能对总体做出准确的判断吗？（目的让学生体会它们各自的优缺点）学生回答：★【练习】：求下列一组数的众数、中位数、平均数（请两位同学上黑板，题目简单，预测都可以做正确。

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（一）一、教学目标分析1、知识与技能目标：（1）会用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数。

（2）会应用相关知识解决简单的统计实际问题．（3）根据频率分布直方图来估计总体数据的众数、中位数、平均数。

2、过程与方法目标：通过对本节课知识的学习，初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法。

3、情感态度与价值观目标：通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的学习态度以及用数学解决实际问题的意识。

二、教学的重点和难点重点：能利用众数,中位数,平均数解决实际问题。

难点：体会样本数字特征具有随机性。

三、教学方法：结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，采用“启发、诱导、答疑，合作探究”的教学方法。

充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。

四、教学过程（一）复习回顾，问题引入（1）频率分布直方图用来描述样本数据的分布情况，但原始的数据信息被掩盖了。

在日常生活的很多情况下，我们更关心的是总体数据的某些数字特征。

比如众数、中位数、平均数、方差、标准差等，这节课我们重点研究前三个数字特征。

（2）青年歌手大奖赛中评分规则是去掉最高分与最低分，然后取平均分为成绩，已知6位评委给某位参赛选手打的分是 9.0，9.5，9.4，9.6，9.9，9.5.如何计算其平均分？能否找出这组数据的众数，中位数？（3）某次数学期中考试，毛毛同学得了78分。

全班共30人，其他同学的成绩为1个100分， 4个90分， 22个80分, 以及一个2分和一个10分。

毛毛计算出全班的平均分为77分，所以毛毛回家告诉妈妈说，他这次成绩处于班级“中上水平”。

这种说法对吗？提出问题：什么是平均数，众数，中位数？（二）给出定义1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。

2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。