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2019年高中数学人教A版选修2-2课件：2.2.2反证法(共18张PPT)

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人教A版选修2-22.2.2反证法课件23张ppt优质课件PPT

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一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
小华的理由：
我们可以把这种说理方法总结一下：
1．反证法 假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________、____、____、____等矛盾．
A
B
C
P
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立. ∴PB≠PC
作业： 练习：学案中巩固提高 习题91页：A组
独立 作业
谢谢大家
0
（平行四边形对边平行）
证明：假设CD、BE互相平分
连结DE，故四边形BCED是平行四边形
∴BD∥CE
这与BD、CE交于点A矛盾
假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
变式训练1 已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca不大于零． 证明：假设ab＋bc＋ca>0， 因为a2＋b2＋c2≥0. 则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0. 所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.
显然这与故事中的李树长满果子相矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？

人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件

人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．

(vip免费)【数学】2.2.2《反证法》课件(人教A版选修2-2)

(vip免费)【数学】2.2.2《反证法》课件(人教A版选修2-2)
2.2.2 反证法
一般地，从要证明的结论出发，逐步
寻求推证过程中，使每一步结论成立的充
分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件（已知条件、
定理、定义、公理等）为止，这种证明的
方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元-结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。

高中数学 2.2.2反证法2课件 新人教A版选修22

高中数学 2.2.2反证法2课件 新人教A版选修22
反证法
第一页，共17页。
前面我们学习了直接证明(zhí jiē zhènɡ mínɡ)的两种 综合法和分析法，其基本特点如下：
综合法
分析法
特点
由因索果
由果索因
条件
充分条件
不要条件
格式 关系
P→Q1→Q2→...→Qn→Q 解答个一般方式
Q←P1←P2←...←Pn←P 解法的探讨
实际证题过程，分析与综合是统一运用的
于是,存在互质的正整数m,n
使得
2m n
m 2n
m2=2n2 m为偶数(ǒu shù),令m=2k(k是正整数)
4k2=2n2
n2=2k2
n也为偶数(ǒu shù).与m,n互质矛盾!
所以 2是无理数.
第十二页，共17页。
练习(liànxí)1
求证：两条直线相交，只有(zhǐyǒu)一个交点.
已知：直线 L1、L2 相交
第八页，共17页。
反证法的一般适用(shìyòng)情形： （1）结论为否定性命题； （2）结论为“至少”、“至多”类命题； （3）结论为 “唯一”类命题； （4）结论为 “有无穷多个”类命题.
第九页，共17页。
已知：在⊙O中,AB,CD为圆的两条相交
(xiāngjiāo)弦,且不全为直径.求证AB,CD不能互
第三页，共17页。
路边(lù 古时候有bi个ā人n)叫苦王戎李，7岁那年
的某一天和小伙伴在路边(lù biān)玩， 看见一棵李子树上的果实多得把树 枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘， 只有王戎站着没动.他说：“李子是 苦的,我不吃.”小伙伴摘来一尝，李子 果然苦的没法吃。
第四页，共17页。
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎 么(zěn me)知道李子是苦的啊?”

人教版高中数学选修2-2课件：2.2.2 反证法

人教版高中数学选修2-2课件：2.2.2 反证法

预习探究
[探究] 用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误. ②所以一个三角形不能有两个直角. ③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.
上述步骤的正确顺序为 ③①② .
[解析] 由反证法的一般步骤可知,正确的顺序应为③①②.
[答案] B
当堂自测
2.a+b>c+d的一个必要不充分条件是 ( )
A.a>c
B.b>c
C.a>c且b>d
D.a>c或b>d
[答案] D [解析] 由a+b>c+d可得 a>c或b>d,反之则不一定, 故选D.
当堂自测
3. “a<b”的反面应是
A.a≠b
B.a>b
() C.a=b
[答案] D
D.a=b或a>b
考点类析
[小结] (1)用反证法证题时,首先要搞清反证法证题的思路步骤,其次注意反 证法是在条件较少、不易入手时常用的方法. (2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题,当 结论的反面比较具体时,适合应用反证法.
考点类析
考点三 含至多、至少、唯一型命题的证 [导入] 何时适明宜运用反证法?
当堂自测
4.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设 A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于c C.a⊥b D.a与b相交
()
[答案] D
当堂自测
5.已知a≠0,证明:关于x的方程ax=b有且只有一个根.

高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件

高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不

人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)

人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)
因此，a、b、c 中至少有一个大于 0.
用反证法证明唯一性问题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证 法证其唯一性简单明了． 【方法引导】 证明“有且只有一个” 的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．
【例3】求证方程2x＝3有 且仅有一个实根．
矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成
立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命 题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确
而全面的找出命题结论的反面。
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC

人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)最新课件PPT

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b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
证明：假设PB=PC。
在△ABP与△ACP中
AB=AC(已知）
AP=AP（公共边）
PB=PC（已知）
∴△ABP≌△ACP（S.S.S)
∴∠APB=∠APC(全等三角形
对应边相等）
B
这与已知条件∠APB≠∠APC
假设不成立，故三个方程中至少有一个方程
有实数解．
变式训练 2 若 a、b、c 均为实数，且 a＝ x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6， 求证：a、b、c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a、b、c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0， c≤0， 则 a＋b＋c≤0，
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x ＋π6 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c＞0， 这与 a＋b＋c≤0 矛盾．
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
显然这与故事中的李 树长满果子相矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？
所以，李子是苦的

(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件

(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件

规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.

高二数学 2.2.2反证法课件 新人教A版选修2-2

高二数学 2.2.2反证法课件 新人教A版选修2-2

►变式训练 3．过平面 α 内的一点 A 作直线 a，使得 a⊥α，求证：直线 a 是 唯一的． 证明：假设这样的直线 a 不唯一，则过点 A 至少还有一条直线 b， 使得 b⊥α.∵直线 a，b 是相交直线，∴两直线 a，b 可以确定一个平 面 β.设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥c，b⊥ c.这样在平面 β 内，过点 A 就有两条直线 a，b 垂直于直线 c，这与平 面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾，所以假设不成立， 故直线 a 是唯一的．
若 x1－x2>0，则 2x1－x2>1，这与 2x1－x2＝1 矛盾； 若 x1－x2<0，则 2x1－x2<1，这也与 2x1－x2＝1 矛盾， 因此只能 x1－x2＝0，这与 x1≠x2 矛盾， 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾， 故 2x＝3 只有一个根．
规律方法：用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题， 即存在性和唯一性，当证明结论以“有且只 有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题 时，由于假设结论易导出矛盾，所以用反证法证其 唯一性比较简单明了．
►变式训练 1．已知 f(x)＝ax＋xx－＋21(a>1)，证明方程 f(x)＝0 没有负数根． 证明：假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根， 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－xx00＋－12. 由 0<ax0<1⇒0<－xx00＋－12<1， 解得21<x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设不成立， 故方程 f(x)＝0 没有负数根．
【易错剖析】本题证明过程中，易反设为：“假设三个方程都没 有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0”．错误 的原因在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，“方 程没有两个相异实根”包括两种情况：一是方程无实根；二是方程有 两个相等实根，从而Δ≤0.

年高中数学人教A版选修2-2课件：2.2.2反证法(共18张PPT)

年高中数学人教A版选修2-2课件：2.2.2反证法(共18张PPT)
另一解法：正面、反面四种情况，若已知是正面，则反面是三 种情况即x，y至少有个是偶数即不都是奇数。
2）构造(x-1)2+(y-2)2=0。或同1）另一解法。 3)构造(x-1)(y-2)=0。或同1）另一解法
4)构造一个平面直角坐标系，正面是二、三、四象项，反面是一象限。或同1） 另一解法
结论1：（1）“或”的否定为“且”，
----要善待每一位同学
引入
我们从初中就开始学习反证法，到了高中继续学习。所以对反 证法的要求比起初中是有提高的。
这节课三个问题。 一、通俗讲反证法是什么东西？说的专业学术点就是反证法的 本质是什么。 二、反证法有什么用？ 三、什么时候用反证法？
同学们，反正发其实很难的，一些同学觉得挺简单，如果这样 我高兴。为什么反证法难？因为你们已经习惯了正面思考问题，对 于反面思考问题感觉不太适应。这是第一个原因，第二个原因是有 些事物的反面是很难知道的。我会举例子说明，这些例子如果是我 教的学生我已经举过了。
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
方法：1、构造一个具体的模型。2、列出全 部情况，剩余情况即为否定，类比于集合的 补集。
准确地作出否定结论是非常重要的，下面是 一些常见的结论的否定形式.
原结论 否定词 原结论
否定词
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
则有∠A+∠B+∠C ＜180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾。
所以假设不成立，
所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不 小于60°
注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下
手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。

人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)优秀课件PPT

人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)优秀课件PPT

【变式训练3】已知a≠0，证明x 的方程ax=b有且只有一个根.
回顾与归纳
反证法
假 设
公 得理
结 论
推理论证
出 矛
、 定
的 反 面 正
反确设
盾理 （等 已） 知
、归谬
命
假题
得出结论
设成 不立
.
成
立
，
原
结论
课堂练习
1.写出下列各结论的反面：
（1）a//b；
a∥b
（2）a≥0；
a<0
（3）b是正数；
b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
证明：假设PB=PC。
在△ABP与△ACP中
AB=AC(已知）
AP=AP（公共边）
PB=PC（已知）
∴△ABP≌△ACP（S.S.S)
∴∠APB=∠APC(全等三角形
对应边相等）
B
这与已知条件∠APB≠∠APC
你能对小华的判断说出理由吗？
小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与 早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
我们可以把这种说理方法总结一下：
知新益能
• 1．反证法 • 假设原命题_不__成_立__(即在原命题的条件下，
结论不成立)，经过正确的推理，最后得 出矛盾，因此说明_假__设__错_误__，从而证明了 _原__命_题__成__立__，这种证明方法叫做反证法． • 2．反证法常见矛盾类型 • 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾， 这个矛盾可以是与_已__知__条_件__、_公_理__、_定__义_、 _定_理__等矛盾．

人教A版高中数学选修2-2课件2.2.2反证法()

人教A版高中数学选修2-2课件2.2.2反证法()
故假设不成立，结论成立。
注：唯一性命题(命题的结论是“有且只有”，“只 有一个，“唯一存在”等)常用反证法。
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
四、归纳步骤
这种证明方法就是-----反证法
一、探究定义
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条 件下，结论不成立），经过正确的推理，最后 得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原 命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
把这种不是直接从原命题的条件逐步推 得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法。
所以假设不成立，2是有理数成立。
练习：已知a≠0， 证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴ a（x1 - x2）= 0 x1 x2 x1 x2 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全 面的找出命题结论的反面。“至少”的 反面是“没有”，“最多”的反面是 “不止”。
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语
否定词
原词语
等于 不等于
任意的
是
不是
至少有一个
都是
不都是
至多有一个
大于
不大于
至少有n个
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证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0， 所以 x2+y2 ＞0， 也就是说x2+y2 ≠0. 矛盾，矛盾说明原命题成立。
注意：x=0且y=0的反面是什么。
即反证证原法命：题 若：若q，p，则则qp为即真若命题q。，则 p是真命题。即逆否
命题是真命题，而原命题与逆否命题同真同假，所以原命题 也是真命题
同学们，我为什么一心一意的对你们？
学校调进一年轻教师，校长语重心长地对他说： 考100分的学生你要对他好，以后他会成为科学家； 考80分的学生你要对他好，以后他可能和你做同事； 考试不及格的学生你要对他好，以后他会捐钱给学校的； 考试作弊的学生你也要对他好，他将来会当官的； 中途退学的同学，你也要对他好，他会成为比尔盖茨或乔 布斯； 爱打架的同学你要对他好，将来他会成为警察官； 早恋的同学你要对他好，将来他会成为文学家； 爱撒谎的同学你要对他好，将来他会成为名记者； 胡搅蛮缠的同学你要对他好，将来他会成为优秀城管； 考试弄虚作假的同学你要对他好，将来他要进发改委； 说话不着边际的同学你也要对她好 将来会成为政府发言人。
三、基本概念
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得 命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法
同一法也是一种间接证法 一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条 件下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出 矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这种证明方法叫做反证法。
2.这两种基本证法的推证过程和特点： 综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
二、引入思考？
正难则反!
（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在
同一只鸽笼，对吗？ （2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少
有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？
假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则 球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。
因此，假设不成立， 无论怎样染，至少有5个球是同色的
同学们这很显然但不是公理而是可以证明出来的原理。同学们记得公理系统 吗？公理系统只需那几条公理，其他的性质、推论、定理都可以从这几条公理推 出来，就算性质、推论、定理比公理还显然那也不算公理。这些性质、推论、定 理的证明每一步都有论据，这论据就是要么是公理要么是已经证明出来的定理、 性质、推论。
反证法的思维方法——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定面成立；
②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛
盾（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛
盾，与出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛
盾等等），从而否定假设； ③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反 证 法
复习选修1-1第一章与反证法有关的内容
下面学习反证法，同学们知道不知道反证法到底是个什么东西？ 即反证法的本质是什么。
反证法
反证法的步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
换个角度说法就是，欲证“若p则q”，从否定其结论即“非q” 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，一般推出非p,从而“非q” 为假，于是若p，则q为真。这样的证明方法称为反证法。
例2 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.
分析：你觉得正面法即直接法无话可说，你可以采用反证法。 什么是正面法即直接法换个角度理解那就是证明原命题：若p，则q 为真命题。
----要善待每一位同学
引入
我们从初中就开始学习反证法，到了高中继续学习。所以对反 证法的要求比起初中是有提高的。
这节课三个问题。 一、通俗讲反证法是什么东西？说的专业学术点就是反证法的 本质是什么。 二、反证法有什么用？ 三、什么时候用反证法？
同学们，反正发其实很难的，一些同学觉得挺简单，如果这样 我高兴。为什么反证法难？因为你们已经习惯了正面思考问题，对 于反面思考问题感觉不太适应。这是第一个原因，第二个原因是有 些事物的反面是很难知道的。我会举例子说明，这些例子如果是我 教的学生我已经举过了。
那好同学们仔细观察分析知道反证法是什么东西吗？即反证法 的本质是什么？
原命题：若p，则q，即证原命题为真命题。
反证法：若 q，则p，即若 q，则p为真即逆 否命题：若q，则 p为真，因为原命题与逆否命题同真
同假，所以原命题也是真。
反证法的本质就是原命题与逆否命题同真同假。而原命题与逆 否命题同真同假却是个公理。
结论成立。
同学们，反
即分三个步骤：假设—归谬—存真
正法的严格 定义及一般
简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论，
理论是数学 家干干的，
（其中推出矛盾是反证法证明的关键。） 我们只需理
反证法是制造矛盾的专家。
解具体的例 子。
四、例题选讲
例1.求证：在个三角形中，至少有一个内角不小于60°
分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手 证明：假设三角开有三个内角∠A 、∠B 、∠C都小于60°
什么是公理？那就是不证自明非常显然的事实，公理是我们证 明的原点或起点，从原点或起点出发到达我们要到的地方。证明先 从公理开始。证明的起点是显而易见的事实，这事实就是公理。公 理是去证别人而自己是不能证明的。公理是自己不能被证明的，只 能证别人。它是证明的起点。
一、复习回顾 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，
```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是 方程的两个根.
则有∠A+∠B+∠C ＜180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾。
所以假设不成立，
所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不 小于60°
注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下
手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。
四、例题选讲
例2.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。