高中数学必修三北师大版 数据的数字特征教案

1.4 数据的数字特征【教材版本】北师大版【教材分析】本节课的教学内容是高中数学《数学3》第一章§4数据的数字特征，教学课时为1课时.数据的信息除用统计图、统计表整理和分析之外，还可以用一些统计量来描述，也就是将多个数值转化为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的特征，这个数值就被称为数据的数字特征．在初中阶段，学生已经学习了反映数据集中程度的数字特征：平均数、中位数、众数；也学习了反映数据离散程度的数字特征：极差、方差，并简单提及标准差．本节课首先在学生已有的认知基础上，让学生在实际问题中复习上述统计量的概念，明确其计算方法．其次着重通过实例让学生理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力．使学生理解不同数字特征所表达的意义，能够根据问题需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．从而体会数学语言应用的多样性、简洁性，体会数学语言在实际生活中的应用．上节课学生从“形”上反映数据信息，本节课从“量”上反映数据信息的数字特征，锻炼了学生有意识地从“形”与“量”两个方面挖掘数据信息的能力，而且为后续学习用样本的基本数字特征来刻画反映总体的数字特征、从样本数据推断总体信息打下坚实的基础．【学情分析】对于学生而言，平均数、中位数、众数以及极差、方差等概念早已植根于学生已有的认知结构．学生在初中八年级上下学期陆续学习了上述的概念，不仅可以用笔计算一些给定数据的上述统计量，而且学生对于借助计算机、计算器等工具计算平均数、方差等一些统计量有了一定的学习和了解．但是学生在数字特征的掌握上还存在着一些问题:一方面在这些数字特征的意义掌握上还存在着一些问题．在上述数字特征的把握上精力分配上容易流于计算，不能真正地理解和明确不同数字特征所反映的数据的信息．另一方面,对于标准差的学习有待进一步深化.此节课的学习将在教师问题情境的精心选择上，通过实际题目的的计算和问题回答通过激发学生自主探究，积极思考，交流合作，配合教师的适时总结，不断完善学生对于不同数字特征概念以及意义的认识和理解，进而培养和锻炼能在具体的数据面前选用合适的数字特征来刻画数据的信息能力．提高学生合理应用数学语言表达统计相关问题，揭示其内部关系的能力．【教学目标】1.知识与技能（1）明确平均数、中位数、众数，极差、方差的概念和计算方法．掌握标准差的概念和计算方法．学会合理应用相关符号语言表示数据信息和特征，体会数字特征就是一种数学语言．（2）能够理解不同数字特征所表达的意义，能够根据问题需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．能够准确合理地应用数学语言表示统计的数字特征．2.过程与方法教师通过选择具有代表性的例子，引导学生回顾和思考已学的数字特征的知识，在解决具体问题的基础上，引导学生通过合作交流探究给定的问题，自我总结各个数字特征的计算方法和所表达的数据的意义．搭配学生积极地思考，辅助教师的及时指导归纳，可以使学生主动地整理、完善和优化自身的关于数字特征的认知结构．体会对数学语言的合理应用，为后续的学习打下坚实的基础．3.情感、态度与价值观在教学过程中让学生经历从数据中提取信息，进行估计，做出推断的全过程．体会用数字特征来描述纷繁的数据的统计学意义．培养学生用数据说话的理性精神，选用合理数学语言准确地挖掘和解释数据信息的能力．教学过程中，通过学生主动思考和回答问题的方式，培养自我总结能力，合作交流的意识和能力，以及准确使用数学语言的能力．【重点难点】本节课的教学重点是数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用．本节课的教学难点是运用数据的数字特征表达数据的信息，能够通过问题的实际需要，选择合适的数字特征表达数据的信息进而解决问题．【教学过程】1.导入新课上两节课我们学习了用统计图表来整理和分析数据，今天我们将利用给定的数据计算一些“量”（统计量）来挖掘数据的信息，它们可以反映数据的集中程度或者离散状况.因为这些量能够反映数据的特点，我们把它们也叫做数据的数字特征．除过大家比较熟悉的那五种之外，我们今天还会学习到刻画数据离散程度较好的另一个数字特征—“标准差”．我们这节课的主要目标不光是要会计算这些“量”，更重要的是能够理解不同数字特征所表达的意义，能够根据问题需要选择适当的数字特征来表达数据的信息（出示课题）2.提出问题，温故求新2.1问题引入教师展现课件题目，以分析和评价考试成绩来激发学生的认知需要，然后在此基础上回忆复习数据的数字特征的概念、计算方法和意义．学生以小组讨论的形式思考交流．每次考完试后各科老师都要对班里学生的成绩进行分析，从中分析学生学习的情况，并与同级的其他班级作比较，进而为后续的教学提供指导．面对貌似杂乱的数据，我们运用所学的数字特征的知识能够让这些数据告诉我们什么有用的信息呢？回忆总结数据数字特征的计算方法和表达的意义，学生发言，教师总结.2.2 复习旧知平均数：一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数．数据12,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为121()n x nx x x =++⋅⋅⋅+ ．平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势．众数：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势．极差：一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况．方差：方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用s 2表示，通常用公式2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-来计算．反映了数据的离散程度．方差越大，数据的离散程度越大．方差越小数据的离散程度越小．标准差：标准差等于方差的正的平方根，即s =据围绕平均数的波动程度的大小．3. 深化认知例1 某公司员工的月工资情况如表所示：（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数.（2）假设个别人的工资从8 000元提升到20 000元，从5000元提升到10 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？（3）公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？解：（1）经计算可以得出：该公司员工月工资的平均数为1373元，中位数为800元，众数为700元.（2）经计算可以得出：该公司员工月工资的平均数为1740元，中位数为800元，众数为700元.（3）公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数；而税务官希望取中位数，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数，因为每月拿700元的员工最多.说明：问题（3）的回答不仅要能选对数字特征，还要引导学生反思为什么？知其然更要知其所以然．小组讨论后，由小组代表给出解释．最后由教师总结．对于学生来说，计算数值、以及数字的选取都不会有太大的障碍，主要问题在于学生的回答是否完整、准确，这是学生常犯的错误，故在这里老师要给出完整答案，作出示范．点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心，中位数不受少数几个极端数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响，在存在一些错误数据时，应该利用抗极端性很强的中位数来表示数据的中心值；众数通常用来表示分类变量的中心值．例2在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图（1）甲乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？（2）你能从图中分别比较甲乙两组数据平均数和方差的大小吗？说明：引导学生思考如何通过统计图表来获取数据数字特征；以及进一步引导学生反思统计图表和数据数字特征在整理和分析数据信息过程中的不同作用，并且能够根据具体问题有意识地运用这两种工具，即相应的数学语言去刻画和分析数据的信息．例3 甲、乙两台机床同时生产直径是40mm 的零件.为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示（1）你能选择适当的数分别表示这两组数据的离散程度吗？（2）分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差解：（1）参见课本27页.（2）经计算可以得出：==40mm x x 甲乙（），.=0161mm s 甲（），.=0077mm s 乙（）． 说明：1.充分调动学生的能动性，发挥想象力，体会比较不同的表示方法．以不同方式表示数据的离散程度，选择方法和计算的过程就是应用数学语言来表示相应特征，这是对数学语言的总结和升华．2.体会刻画数据离散程度的三个原则：（1）应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息；（2）仅用一个数值来刻画数据的离散程度；（3）对于不同的数据集，当离散程度大时，该数值亦大.3.标准差等于方差的正的平方根，即s 平均数的波动程度的大小.方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响．标准差更好的体现了数学语言在实际生活方面的联系，体现了数学语言的多个特征．4 巩固练习1、下面是一家快餐店的所有工作人员（共7人）一周的工资表：（1）计算所有人员一周的平均工资．（2）计算出的平均工资能反映所有工作人员这个周收入的一般水平吗？（3）去掉总经理的工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般工作人员的收入水平吗？解：（1）所有人员一周的平均工资：750元．（2）计算出的平均工资不能反映所有工作人员这个周收入的一般水平．（3）去掉总经理的工资后，剩余人员的平均工资是375元，这能代表一般工作人员的收入水平．2、为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：哪种小麦长得比较整齐？解：因为s 甲=1.90，s 乙=3,97，所以甲种小麦长得比较整齐．5.课堂小结这节课首先带着问题复习了数据的数字特征的计算方法、意义和作用，然后通过不同的数字特征的对比，深化了对于数据数字特征的认识和理解．此节课最主要的目的就是在具体问题情境中理解不同数字特征的作用，能就具体问题选择不同的数字特征提取数据信息．体会数学语言在统计方面的应用．⎧⎨⎩集中趋势：平均数、中位数、众数数据的数字特征离散程度：极差、方差、标准差6．作业： 课本：P31 习题1—4，1、2题.【板书设计】精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

五 课 后 巩 固 练 习为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是 .(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数 .(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数 .数据的数字特征自主学习1.众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。

[)[)[)55,65,65,75,75,85[)45,55[)85,95[)55,75中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。

平均数——将所有数相加再除以这组数的个数；在频率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。

2. 答：（1）从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样，因为频率分布直方图损失了一部分样本信息，所以不如原始数据准确。

（2）众数和中位数不受极端值的影响，平均数反应样本总体的信息，容易受极端值的影响。

3.例1．我们知道，77x x ==乙甲， 。

两个人射击的平均成绩是一样的。

那么，是否两个人就没有水平差距呢？直观上看，还是有差异的。

很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。

例2解：90068908608509509608909006920910850900920900=+++++==+++++=乙甲x x ()()()()()()[]573106340090092090091090085090090090092090090061222222==-+-+-+-+-+-=甲s ()()()()()()[]14106840090089090086090085090095090096090089061222222==-+-+-+-+-+-=乙s乙甲乙甲，s s <=x x所以甲水稻的产量比较稳定。

§1.4 数据的数字特征【学习目标】1、会求数据的中位数、众数、平均数、方差、极差；2、掌握求几个数据的方差、标准差的计算方法；2、会求样本数据的平均数、标准差，分析样本。

一、知识记忆与理解【自主预习】阅读教材P25-P30，完成下列问题1、什么叫平均数？有什么意义？2、什么叫中位数？有什么意义？3、什么叫众数？有什么意义？4、什么叫极差？有什么意义？5、什么叫方差？有什么意义？【预习检测】1、在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：908990959394 93；去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A．92,2B．92,2.8C．93,2 D．93,2.82、已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是() A．7 B．5 C．6 D．113、已知a>0,b>0,如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则()A.x A>x B，s A>s BB.x A<x B，s A>s BC.x A>x B，s A<s BD.x A<x B，s A<s B二、思维探究与创新【问题探究】探究一：方差、标准差的计算及应用甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．整理反思变式1：已知对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲：273830373531乙：332938342836根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀．探究二：.如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）。

温故知新问题1 ：在上一节中，从甲乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示如下1°甲乙两组数据的中位数众数极差分别是多少？2°你能从上图中分别比较甲乙两组数据的平均数和方差的大小吗？解：（1）观察茎叶图，我们不难看出：甲城市销售额的中位数为20，众数为10，18，30，极差为53；乙城市销售额的中位数为29，众数为23，34，极差为38．（2）从茎叶图中我们可以看出：甲城市的销售额分布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销售额分布则相对集中在茎叶图的中部．由此，我们可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小，而方差比乙城市的大．通过计算我们得到：甲城市销售额的平均数和方差分别为22.8和210.9，乙城市销售额的平均数和方差分别为28.6和115.2，这与上面的估计是一致的．结合上节课的茎叶图的相关内容，为学生复习巩固初中学习的统计量的内容，提供了材料信息教科书设计了这个问题，自然承接上一节统计图表的内容，并初步发展学生从统计图中获取数字特征的能力．创设情境，讲授新课导入：请大家思考，初中时我们学习了哪些统计量？他们怎样定义的？他们在刻画数据时，各有怎样的优缺点？请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考？探究学习：问题2：某公司员工的月工资情况如表所示：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员学生讨论回答过阅读材料，让学生感受数据的数字在活动开始时，建议教师控制“开始”和“停止”之间的时间间隔在20秒以内，并且在增加时间间隔之前，可以先保持“开始”和“停止”之间的时间间隔不变，重复刚才的试验．此时，得到的平均值与确切的时间值应该会更接近，标准差也应该会比第一次的更小．这是因为经历了刚才的活动，学生已经积累了一定的经验，加之时间间隔又没有改变，他们估计的结果应该会比第一次更准确．随后，教师再增加“开始”和“停止”之间的时间间隔，重复试验，并让学生分析自己以及全班同学最后的估计结果．这个活动还可以初步培养学生的估计能力．作业课本P31 习题1-4（1）、（2）思考：“用数据说话”，这是我们经常可以听到的一句话，但数据有时也会被利用，从而产生误导。

§4数据的数字特征知识点一众数、中位数、平均数[填一填]1．众数(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．(2)特征：一组数据的众数可能多个，也可能没有，它反映了该组数据的频率分布．2．中位数(1)定义：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．(2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．3．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商叫作这组数据的平均数，数据x1，x2，…，x n的平均数为x＝x1＋x2＋…＋x nn.(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的平均水平，但平均数受数据中的每一个数据的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．[答一答]1．一组数据的平均数是否一定能说明现实中的平均水平？提示：在用平均数估计总体时，样本中的每一个数据都会影响到平均数的大小，因此在实际操作中，一定要注意异常数据对平均数的影响，以便作出正确估计．比如：某地区的年平均家庭年收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭年收入普遍较高．但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭年收入计算出来的，那么，它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入．知识点二标准差、方差、极差[填一填]4．标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算s＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2].可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小．5．方差(1)定义：标准差的平方，即s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]．(2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动的大小．(3)取值范围：s2≥0.6．极差(1)定义：一组数据的最大值和最小值的差称为这组数据的极差．(2)特征：表示该组数据之间的差异情况．[答一答]2．怎样正确理解标准差与方差．提示：①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．1．三种数字特征应注意以下四点(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋势．(4)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．2．关于方差、标准差应注意以下几点(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．(2)若样本数据都相等，则s＝0.(3)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量．(4)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准差．类型一平均数、中位数、众数例1据报道，某销售公司有33名职工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示(单位：万元)：部门 A B C D E F G人数11215320 每人所创年利润 5.55 3.53 2.52 1.5(2)假设部门A所创年利润从5.5万元提高到30万元，部门B所创年利润由5万元提高到20万元，那么新的平均数、中位数、众数、极差又是多少？(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平？思路探究(1)(2)根据表中数据及平均数、中位数、众数、极差的定义求解．(3)分析各统计量与公司职工每人所创年利润的关系→看其是否偏离一般情况解(1)x＝5.5＋5＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×2033≈2.1(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元，极差为4万元．(2)x＝30＋20＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×2033≈3.3(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元，极差为28.5万元．(3)中位数或众数均能反映该公司职工每人所创年利润的平均水平．这是因为公司中少数人每人所创年利润与大多数人每人所创年利润差别较大，这样导致平均数与中位数或众数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平．规律方法中位数、众数、平均数的选择标准平均数、中位数、众数均反映了样本数据的“集中趋势”，但各有侧重，在实际生活中应结合实际情况，灵活应用．(1)平均数与每一个样本数据都有关，任何一个样本数据的改变都可能会引起平均数的改变．(2)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势．因此，若平均数受数据中的极端值影响较大时，估计的可靠性就较低，这时可用众数、中位数来表示这组数据的集中趋势．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：销售量(件) 1 800510250210150120 人数11353 2(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．解：(1)平均数为115(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额．类型二 方差和标准差例2 甲、乙两机床同时加工直径为100cm 的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定． 思路探究着眼点—⎪⎪⎪⎪—直接利用x 及s 2的公式求解(1)—先比较x 的大小，再分析s 2的大小解 (1)x －甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x －乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x －甲＝x －乙，比较它们的方差．∵s 2甲>s 2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定． 规律方法 (1)在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．(2)关于统计的有关性质及规律：①若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a ；②数据x 1，x 2，…x n 与数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差相等； ③若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩如图所示．(1)分别求出两人成绩的平均数与方差；(2)根据上图和(1)中结果，对两人的训练成绩作出评价． 解：(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10,13,12,14,16；乙：13,14,12,12,14. x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．类型三 综合应用题例3 对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31； 乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀．思路探究 分别计算两组数据的平均值与方差，然后加以比较并作出判断． 解 x －甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，s 2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝16×94≈15.7，x －乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝1986＝33，s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝16×76≈12.7.∴x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙.这说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀． 规律方法 判断甲、乙两运动员成绩的优劣，通常用平均数和方差作为标准来比较，当平均数相同时，还应考查他们的成绩波动情况(方差)，以达到判断上的合理性和全面性．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命； (2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？解：(1)各组中值分别是165.5,195.5,225.5,255.5,285.5,315.5, 345.5,375.5，由此可算得平均数约为165.5×1%＋195.5×11%＋225.5×18%＋255.5×20%＋285.5×25%＋315.5×16%＋345.5×7%＋375.5×2%＝268.4≈268(天)．(2)将各组中值对(1)问中的平均数求方差：1100×[1×(165.5－268.4)2＋11×(195.5－268.4)2＋18×(225.5－268.4)2＋20×(255.5－268.4)2＋25×(285.5－268.4)2＋16×(315.5－268.4)2＋7×(345.5－268.4)2＋2×(375.5－268.4)2]＝2 128.59.故标准差为 2 128.59≈46(天)．答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故可在222到314天左右统一更换较合适．类型四 综合应用例4 已知一组数据x i (i ＝1,2，…，n )，另一组数据y i ，满足y i ＝ax i ＋b (a 、b ∈R )，若x i (i ＝1,2，…，n )的平均数为x ，方差为s 21，标准差为s 1，则y i (i ＝1,2，…，n )的平均数y i 、方差s 22、标准差s 2分别为多少？思路探究 该题主要考查学生对公式的理解与应用，熟记公式是关键． 解 由公式可得：x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )s 21＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] s 1＝s 21.又y i ＝ax i ＋b (i ＝1,2，…，n )， ∴y ＝1n(y 1＋y 2＋…＋y n )＝1n[(ax 1＋b )＋(ax 2＋b )＋…＋(ax n ＋b )] ＝1n[a (x 1＋x 2＋…＋x n )＋nb ] ＝a ·1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＋b ＝a ·x ＋b ，∴s 22＝1n [(y 1－y )2＋(y 2－y )2＋…＋(y n －y )2] ＝1n{[(ax 1＋b )－(a x ＋b )]2＋[(ax 2＋b )－(a x ＋b )]2＋…＋[(ax n ＋b )－(a x ＋b )]2} ＝1n[a 2(x 1－x )2＋a 2(x 2－x )2＋…＋a 2(x n －x )2] ＝a 2·1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2·s 21. ∴s 2＝s 22＝a 2·s 21＝a ·s 1. 规律方法 结合本题可总结出如下结论：若x 1，x 2，…，x n 的平均数是x ，方差是s 2，则①ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数、方差为a x ，a 2s 2.②ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数、方差为a x ＋b ，a 2s 2.若样本x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1，…，x n ＋1的平均数为10，方差为2，则对于样本x 1＋2，x 2＋2，…，x n ＋2，下列结论正确的是( C )A ．平均数为10，方差为2B ．平均数为11，方差为3C ．平均数为11，方差为2D ．平均数为12，方差为4解析：将一组数据中的每一个数增加同一常数时，方差不变，平均数再加上该常数．——规范解答—— 巧用分类讨论思想求数字特征例5 (12分)某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．思路点拨 x 的大小未知，可根据x 的取值不同分别求中位数．满分样板 该组数据的平均数为14(x ＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x不知是多少，所以要分几种情况讨论．(1)当x ≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10，其中位数为12×(10＋8)＝9.若14(x ＋28)＝9，则x ＝8，此时中位数为9.4分 (2)当8<x ≤10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x,10,10，其中位数为12(x ＋10)．若14(x ＋28)＝12(x ＋10)，则x ＝8.而8不在8<x ≤10的范围内，所以舍去． 8分(3)当x>10时，原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10，x ，其中位数为12×(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9或10.12分方法总结 当在数据中含有未知数x ，求该组数据的中位数时，由于x 的取值不同，所以数据由小到大(或由大到小)排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论．讨论时要做到全面合理，不重不漏．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10.解析：设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则由题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x －7|＝3可得x ＝10或x ＝4.由|x －7|＝1可得x ＝8或x ＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.一、选择题1．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( A )A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92解析：x ＝90＋18(－1－3＋3＋1＋6＋4＋0＋2)＝91.5.中位数＝91＋922＝91.5.2．甲、乙两台机床同时生产一种零件，现要检验它们的运行情况，统计10天中两台机床每天出的次品数分别为甲：0,1,0,2,2,0,3,1,2,4；乙：2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.则出次品数较少的为( B )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不能比较解析：x甲＝1.5，x乙＝1.2.二、填空题3．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班有40人，乙班有50人，现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是85分．解析：由题意：该校数学建模兴趣班的平均成绩40×90＋50×8190＝85分．4．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝3.2. 解析：x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝165＝3.2.三、解答题5．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：解：x甲＝15×(60＋80＋70＋90＋70)＝74；x乙＝15×(80＋60＋70＋80＋75)＝73；s2甲＝15×(142＋62＋42＋162＋42)＝104；s2乙＝15×(72＋132＋32＋72＋22)＝56.∵x甲>x乙，s2甲>s2乙，∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．。

1.4平均数、中位数、众数、极差、方差一、教学教法分析1、教学目标：【知识与技能】（1）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、方差），并做出合理的解释。

（2）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特。

（3）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

【过程与方法】通过对实例的探究，感知平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度。

【情感、态度与价值观】通过本节的学习，感受数据的数字特征的意义和作用，从而提高根据问题的需要而选择不同的统计量来表达数据的信息能力。

2、重点难点【重点】会求一组数据的平均数、方差【难点】方差在实际问题的应用3、教学方法探究法二、课堂互动探究【课前自主导学】知识1：众数、中位数、平均数1．众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且不唯一．2．中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．它不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个，且在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．3．平均数样本数据的算术平均数，即x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)，它与每一个样本数据有关，仅有一个．【问题导思】由初中知识，你能完成下列填空吗？（1）、已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为_______（2）已知样本数据x1， x2，…，x n的均值x＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2x n＋1的均值为________ 知识2：极差、方差极差：一组数值中最大值与最小值的差，它反映一组数据的波动情况，但极差只考虑两个极端值，可靠性极差方差：考查样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差。

【课堂探究】类型1：众数、中位数、平均数的计算与应用例1：为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为 A药， B药）的疗效，随机地选取 40位患者服用药，20 位患者服用 A药，20 位患者服用 B药,这 40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h ），试验的观测结果如下：服用A 药的位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用 B药的位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2）根据两组数据用茎叶图表示，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【规律方法】平均数受数据中的极端值影响较大，它的可靠性不如众数和中位数，这三个数据是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势变式训练：某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如图：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分众数及平均数分别是多少；；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．例2：甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．【规律方法】方差越小，样本数据越稳定，波动越小；方差(标准差)越大，样本数据越不稳定，波动越大．变式训练：1、某车间20名工人年龄数据如表：年龄(岁)工人数(人)19 128 329 330 531 432 340 1合计20(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差.2、设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝618.0215≈-，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。

数据的数字特征教案数据的数字特征教案一、教材内容分析数据的数字特征是北师大版必修三第一章第4节内容，本节内容与现实生活息息相关如; 统计学最关心的是：我们的数据能提供哪些信息．为了能从数据中得到信息，除了对数据进行整理外，人们还用这些数据生成一些新的数，用它们来反映这组数据的特性，给出我们需要的信息，从而从整体上更好地把握总体的规律．二、学生学习情况分析：学生在上一节中学习了统计图表，利用统计图表表达和分析数据，也是用图表体现样本估计总体的思想。

本节是从多个数据加工成几个数据来反映样本特征，从而估计总体特征。

在初中学生学习了各数据特征，对基本概念比较熟悉，本节是对初中知识的深化。

三、设计思路（1）、教法构想本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。

（2）学法指导学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合。

四、教学过程设计（一）、教学目标1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。

2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。

（二）、教学重、难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

（三）、教学实施“用数据说话”是我们经常听到的一句话，数据在我们日常生活中处处存在，例如股市的涨跌，GDP的增长，物价的涨幅等等无不与数据有关，本节课我们就来研究数据的数字特征。

初中我们就已经学习过一些刻画数据数字特征的统计量，请同学们回忆这些统计量都有哪些？Ⅰ 提出问题什么叫平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差？它们各有什么意义？设计意图：旨在复习几个统计量的概念Ⅱ 应用示例例1下图从甲乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用如下茎叶图表示（打出幻灯片2）：观察此图，找出每组数据的众数，中位数，平均数，极差，方差。

§4数据的数字特征知识梳理1.数据的信息除了通过用各种统计图表来加工整理和表达之外,还可以通过一些统计量来表达.常用的统计量有平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等,它们都反映一组数据的集中趋势和离散程度.2.平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量.极差只是利用了数据中最大和最小的两个值,对极值过于敏感;方差的单位是原始数据的单位的平方,其算术平方根,即标准差与原始数据的单位相同,所以我们在实际统计中常用标准差来刻画数据的离散程度.知识导学样本的基本数字特征主要包括:众数、中位数、平均数、标准差.其中这些概念在初中已学过,因此学习本节前可先回顾表达样本中数字特征的有关概念,复习表达样本数据分布的频率分布直方图和频率分布表的结构特征.由于样本的数字特征定量地反映了数据的集中趋势与离散程度,所以学习时首先要明确各种基本数字特征量(如平均数、标准差等)的概念、含义及它们各自的特点;其次注意与样本的频率分布表和直方图结合起来理解用样本的基本数字特征如何估计总体的数字特征;尽可能地使用计算器、计算机来处理数据,以便更好地体会统计思想.计算数据x1,x2,…,x n的标准差的算法步骤如下:1.算出数据的平均数x;2.算出每个数据与平均数x的差x i-x;3.算出(2)中x i-x的平方;4.算出(3)中n个平方数的平均数,即为方差;5.算出(4)中平均数的算术平方根,即为标准差.学习中建议大家始终结合具体实例理解基本数字特征的概念和含义及用法.疑难突破1.方差、极差和标准差在表示数据的特征时分别具有什么特点?怎样根据这些数据的值理解数据的特征?剖析:刻画数据离散程度的统计量有极差、方差和标准差.方差、极差和标准差是从不同角度描述一组数据的离散趋势的.它们各自的特点及应用如下:虽然极差没有充分利用数据,不能提供更确切的信息,但由于只涉及两个数据,计算非常简便,所以极差在实际现场检查时经常利用,但极差没有考虑各中间值.方差虽然充分利用了所得到的数据,提供了更确切的信息.在统计中,方差能够较好地区别出不同组数据的分散情况或程度,但方差的单位是原始观测数据的单位的平方.而标准差能够和方差一样区分数据的分散情况,且其单位与原始观测数据的单位相同.2.刻画数据离散程度的方式是多种多样的,那么要比较准确地刻画数据的离散程度,应该注意哪些主要问题?剖析:刻画数据离散程度的度量,其理想形式应满足以下三条原则:首先,应充分利用所得到的数据,以便提供更确切的信息;其次,仅用一个数值来刻画数据的离散程度;另外,对于不同的数据集,当离散程度大时,该数值亦大.极差不满足上面的第一条原则.方差虽然满足上面的三条原则,但它的单位是原始观测数据的单位的平方,而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原数据相同的单位,解决这一局限性的方法是取方差的正的平方根,即标准差,因此我们通常用标准差来刻画数据的离散程度.典题精讲例1 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛,对他们的射击水平进行了测试,两人在相同条件下各射击10次,命中的环数如下: 甲:7,8,6,8,6,5,9,10,7,4. 乙:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.(1)计算甲、乙两人射击命中环数的平均数和标准差; (2)比较两人的成绩,然后决定选择哪一个人参赛. 思路分析:数据x 1,x 2,…,x n 的平均数x =.21nx x x n+⋯++标准差s=.)()()(2222nx x x x x x n i -+⋯+-+-根据计算得平均数和标准差,分析甲、乙两人成绩的集中和离散程度,从而选择一人参赛. 解:(1)计算得x 甲=7,x 乙=7,s 甲=1.73,s 乙=1.10.(2)由(1)可知,甲、乙两人的平均成绩相等,但s 乙＜s 甲,这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些,从成绩的稳定性考虑,可以选择乙参赛.黑色陷阱:对于常用的平均数、方差、标准差的公式要能够熟练记忆,不能将公式记错,造成计算上的失误,使得统计的结果失去真实的意义.另外应用求得的标准差的结论始终要特别注意标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小.变式训练 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下:甲 60 80 70 90 70 乙8060708075问:甲、乙谁的平均成绩最好?谁的各门功课发展较平衡? 思路分析:根据一组数据x 1,x 2,…,x n 的平均数nx x x x n+⋯++=21和标准差s=.)()()(22221nx x x x x x n -+⋯+-+-计算得平均数和标准差的值,再分析甲、乙两人的学习情况. 解:x 甲=51(60+80+70+90+70)=74, x 乙=51(80+60+70+80+75)=73, s 甲2=51(142+62+42+162+42)=104,s 乙2=51(72+132+32+72+22)=56.∵x 甲＞x 乙,s 甲2＞s 乙2.∴甲的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡. 例2 某企业员工的月工资资料如下(单位:元): 800 800 800 800 800 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 5001 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 5002 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 5002 500 2 500(1)计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数.(2)假如你去这家企业应聘职位,你会如何看待员工的收入情况?思路分析:平均数、中位数和众数都是用来描述数据集中趋势的统计量,它们又有各自的特点.平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量,它是反映数据集中趋势最常用的量;中位数可靠性较差,当一组数据中个别数据变动较大时,常用中位数表示数据的集中趋势;而众数求法较简便,也经常被用到.解:(1)经计算,公司员工的月工资的平均数为x=50500 2800800+⋯++=1 320(元),中位数为1 200,众数为1 200.(2)应该考虑用月工资的平均数1 320元作为月工资的代表,因为,一般来讲,月平均工资水平可以用来与同类企业的工资待遇作比较.绿色通道:大多情况下人们会把眼光仅停留在工资表中的最大与最小值处,把最高工资作为一个单位工资的评价,这是一种错误的评价方式.变式训练某学校高一(1)(2)班各有49名学生.两班在一次数学测验中的成绩统计如下:班级平均分众数中位数标准差(1)班79708719.8(2)班797079 5.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析:(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均分79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了!”(2)请你根据表中的数据,对这两个班的数学测验情况进行简要分析,并提出教学建议.解:(1)由中位数可知,85分排在第25位之后,从位次上讲,不能说85分是上游;但也不能以位次来判断学习的好坏,小刚得了85分,说明他对这段的学习内容掌握得较好,从掌握学习的内容上讲,也可以说属于上游.(2)(1)班的成绩的中位数是87分,说明高于87分的人数占一半以上,而平均分为79分,标准差又很大,说明低分也多,两极分化严重,建议加强对学习困难学生的帮助.(2)班的中位数和平均数都是79分,标准差又小,说明学生之间差别较小,学习很差的学生少,但学习优异的也很少,建议采取措施提高优秀率.例3画出下列四组数据的直方图,并说明它们的异同点.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5;(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6;(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7;(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.思路分析:比较四组数据的异同可从它们的平均数、标准差这些基本特征入手,分析它们的集中趋势或离散程度.解:四组数据的直方图如图1-4-1.图1-4-1四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是0.00,0.82,1.49,2.83.虽然它们有相同的平均数,但是它们的标准差不同,说明数据的分散程度是不一样的.绿色通道:直方图可以将我们所要求得的平均数、众数、中位数、标准差等数据一一用图形直观显示出来,帮助我们获取有用的信息,特别是在进行两组数据间的比较中,应用非常方便. 变式训练甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图1-4-2:图1-4-2(1)求出这两名同学数学成绩的平均数和标准差;(2)比较这两名同学的成绩,谈谈你的看法.思路分析:首先由茎叶图读出数据,计算平均数,注意用简便方法,然后求出标准差,最后依据结果比较.解:(1)x甲=87,s甲=12.7;x乙=95,s乙=9.7.(2)由于x甲＜x乙,s甲＞s乙可知,甲的学习状况不如乙的学习状况.问题探究问题平均数真的很平均吗?导思:平均数又称均值,它是刻画一组数据平均状况的量.那么平均值真能如实反映一组数据的平均水平吗?可结合一个具体的实际问题来研究.探究:我们不妨通过一个具体的例子来探究这个问题.以下是某企业员工工资情况调查表:某企业员工及工资构成人员经理管理人员高级技工工人学徒周工资 2 200250220200100人数165101合计 2 200 1 500 1 100 2 000100(1)计算这个问题中工资的平均数;(2)在这个问题中,工资的平均数能客观地反映该企业的工资水平吗?为什么?本问题应着眼于平均数的特点及适应对象.一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数.由表格数据可知,平均数为(2 200+1 500+1 100+2 000+100)÷23=300.虽然平均数为300元/周,但由表格中所列出的数据可以看出,只有经理在平均数以上,其余的人都在平均数以下,故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.该问题说明平均数受数据中的极端值的影响较大,妨碍了对总体估计的可靠性.因此不能说平均值就一定能反映一组数据的平均水平.。

[核心必知]1．众数、中位数、平均数(1)众数的定义：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．(2)中位数的定义及求法：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．(3)平均数：①平均数的定义：如果有n 个数x 1、x 2、…、x n ，那么＝，叫作这n 个数的平均数．x x 1＋x 2＋ (x)n ②平均数的分类：总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数．样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数．2．标准差、方差(1)标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝.1n[ x 1－x 2＋ x 2－x 2＋…＋ xn －x 2](2)方差的求法：标准差的平方s 2叫作方差．s 2＝[(x 1－)2＋(x 2－)2＋…＋(x n －)2]．1n x x x 其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，是样本均值．x (3)方差的简化计算公式：s 2＝[(x ＋x ＋…＋x )－n 2]1n 2122n x＝(x ＋x ＋…＋x )－2.1n 2122n x 3．极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．4．数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．[问题思考]1．一组数据的众数一定存在吗？若存在，众数是唯一的吗？提示：不一定．若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数；不是，可以是一个，也可以是多个．2．如何确定一组数据的中位数？提示：(1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数．(2)当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值．讲一讲1.据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法．[尝试解答]　(1)平均数是＝1 500＋x 4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋591＝2 091(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)新的平均数是′＝1500＋x 28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．1．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．2．众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．3．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋势．练一练1．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：销售量(件)1 800510250210150120人数113532(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．解：(1)平均数为(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，115中位数为210件，众数为210件．(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额.讲一讲2.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：甲：99　100　98　100　100　103乙：99　100　102　99　100　100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．[尝试解答]　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 16乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，x 16s ＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2甲162＋(103－100)2]＝，73s ＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2乙162＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s >s ，所以乙机床加工零件的质量2甲2乙更稳定．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性就越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．练一练2．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲：27　38　30　37　35　31乙：33　29　38　34　28　36根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀．解：甲＝×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝＝33，x 161986s ＝×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]2甲16＝，946s 甲＝≈3.96，946乙＝×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝＝33，x 161986s ＝×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]2乙16＝，766s 乙＝≈3.56.766由上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为33 m/s ，甲的标准差为3.96 m/s ，乙的标准差为3.56 m/s ，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的成绩更稳定，故乙比甲更优秀．讲一讲3.在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100甲组251013146人数乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．[尝试解答]　(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)甲＝(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)x 12＋5＋10＋13＋14＋6＝×4 000＝80(分)，150乙＝(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝×4 x 14＋4＋16＋2＋12＋12150000＝80(分)．s ＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2甲12＋5＋10＋13＋14＋62＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s ＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2乙14＋4＋16＋2＋12＋122＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵s <s ，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．2甲2乙(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本讲的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．练一练3．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：(1)请填写下表：平均数中位数命中9环以上的次数(含9环)甲7乙(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？解：(1)由图可知，甲打靶的成绩为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同．①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．【解题高手】【多解题】一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：178, 179, 181, 182, 176, 183, 176, 180, 183, 175, 181, 185, 180, 184，问这个球队的队员平均身高是多少？(精确到1 cm)[解]　法一：利用平均数的公式计算．＝×(178＋179＋181＋…＋180＋184)＝×2 523≈180.x － 114114法二：建立新数据，再利用平均数简化公式计算．取a ＝180，将上面各数据同时减去180，得到一组数据：－2，－1,1,2，－4,3，－4,0,3，－5,1,5,0,4.′＝×(－2－1＋1＋2－4＋3－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4)＝×3＝≈0.2，x － 114114314∴＝′＋a ＝0.2＋180≈180.x － x－ 法三：利用加权平均数公式计算．＝×(185×1＋184×1＋183×2＋182×1＋181×2＋180×2＋179×1＋178×1＋176x － 114×2＋175×1)＝×2 523≈180.114法四：建立新数据（方法同法二），再利用加权平均数公式计算．′＝×[5×1＋4×1＋3×2＋2×1＋1×2＋0×2＋(－1)×1＋(－2)×1＋(－4)x － 114×2＋(－5)×1]＝×3≈0.2.114∴＝′＋a ＝0.2＋180≈180.x － x－1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数大小关系是( )A ．平均数＞中位数＞众数B ．平均数＜中位数＜众数C ．中位数＜众数＜平均数D ．众数＝中位数＝平均数解析：选D 可得出这组数据的平均数、中位数和众数均为50.2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )A. B. C. D ．265652解析：选D ∵样本的平均数为1，即×(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a ＝－1，∴样本方差15s 2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.153.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )89 793 1 64 0 2A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92解析：选A 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数＝＝91.5，中位数为＝91.5.x 87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96891＋9224．(湖南高考)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s 2＝[(x 1－)2＋(x 2－)2＋…＋(x n －)2]，其中为x 1，x 2，…，x n 的平均1n x x x x 数)解析：该运动员五场比赛中的得分为8,9,10,13,15，平均得分＝＝11，x 8＋9＋10＋13＋155方差s 2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.15答案：6.85．甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：甲68998乙107779则两人射击成绩的稳定程度是________．解析：∵甲＝8，乙＝8，x － x－ s ＝1.2，s ＝1.6，2甲2乙∴s <s .2甲2乙∴甲稳定性强．答案：甲比乙稳定6．某农科所为寻找高产稳定的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品种在五块试验田试种．每块试验田的面积为0.7公顷，产量情况如下表：各试验田产量(kg)品种12345121.520.422.021.219.9221.323.618.921.419.8317.823.321.419.120.8试评定哪一品种既高产又稳定．解：1＝21.0 kg ，2＝21.0 kg ，3＝20.48 kg ；x x x s ＝0.572，s ＝2.572，s ＝3.5976，21223∴1＝2＞3，s ＜s ＜s .x x x 21223∴第一个品种既高产又稳定．一、选择题1．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数为：90　89　90　95　93　94　93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．92,2B ．92,2.8C ．93,2D ．93,2.8解析：选B去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为＝x ＝92，90＋90＋93＋94＋935方差为s 2＝×[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]15＝×(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.152．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是( )A ．7 B ．5 C ．6 D ．11解析：选B 这组数据的众数为5，则5出现的次数最多，∴x ＝5，那么这组数据按从小到大排列为－3,5,5,7,11，则中位数为5.3．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A 和xB ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )xA.A >B ，s A >s BB.A <B ，s A >s BC.A >B ，s A <s BD.A <B ，s A <s Bx x x x x x x x 解析：选B A 中的数据都不大于B 中的数据，所以A <B ，但A 中的数据比B 中的数据x x 波动幅度大，所以s A >s B .4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均数为，则( )xA ．m e ＝m 0＝B ．m e ＝m 0<C ．m e <m 0<D ．m 0<m e <x x x x 解析：选D易知中位数的值m e ＝＝5.5，众数m 0＝5，平均数5＋62＝×(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)≈6，所以m 0<m e <.x 130x 5．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．57.2　3.6B ．57.2　56.4C ．62.8　63.6D ．62.8　3.6解析：选D 设该组数据为x 1，x 2，…，x n ，则(x 1＋x 2＋…＋x n )＝2.8，1n [(x 1－2.8)2＋(x 2－2.8)2＋…＋(x n －2.8)2]＝3.6，1n 所以，所得新数据的平均数为[(x 1＋60)＋(x 2＋60)＋…＋(x n ＋60)]1n ＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋60＝2.8＋60＝62.8.1n 所得新数据的方差为[(x 1＋60－62.8)2＋(x 2＋60－62.8)2＋…＋(x n ＋60－62.8)2]1n ＝[(x 1－2.8)2＋(x 2－2.8)2＋…＋(x n －2.8)2]1n ＝3.6.二、填空题6．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x ＝________.解析：由中位数的定义知＝16，∴x ＝15.x ＋172答案：157．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表所示：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2＝________.解析：计算可得两组数据的平均数均为7，甲班的方差s ＝＝；2甲 6－7 2＋02＋02＋ 8－7 2＋02525乙班的方差s ＝＝.2乙 6－7 2＋02＋ 6－7 2＋02＋ 9－7 2565则两组数据的方差中较小的一个为s ＝.2甲25答案：258．(湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7, 8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．解析：(1)由公式知，平均数为(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7；(2)由公式知，110s 2＝(0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4⇒s ＝2.110答案：（1）7　（2）2三、解答题9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：每户丢弃旧塑料袋个数2345户数6161513(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数；(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．解：(1)平均数＝×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝＝3.7.x 15018550众数是3，中位数是4.(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s 2＝×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]150＝×48.5＝0.97，150所以标准差s ≈0.985.10．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：班级平均分众数中位数标准差甲班79708719.8乙班7970795.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析：甲了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．解：(1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游．但也不能单以班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．。

§４数据的数字特征４．１平均数、中位数、众数、极差、方差４．２标准差学习目标核心素养１．会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差．（重点）２．方差、标准差在实际问题中的应用．（难点）１．通过求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差，培养数学运算素养．２．通过方差、标准差在实际问题中的应用，提升数据分析素养.一、平均数、中位数、众数１．众数的定义一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．２．中位数的定义及求法把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，把处于最中间位置的那个数（或中间两数的平均数）称为这组数据的中位数．３．平均数的定义如果有n个数x１，x２，…，x n，那么错误!＝错误!，叫作这n个数的平均数．二、极差、方差、标准差１．标准差、方差（１）标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝错误!.（２）方差的求法：标准差的平方s２叫作方差．s２＝错误![（x１—错误!）２＋（x２—错误!）２＋…＋（x n—错误!）２]其中，x n是样本数据，n是样本容量，错误!是样本均值．（３）方差的简化计算公式：s２＝错误![（x错误!＋x错误!＋…＋x错误!）—n错误!２]＝错误!（x错误!＋x错误!＋…＋x错误!）—错误!２.２．极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．３．数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．思考：一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有相同的结论？[提示] 一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个．１．已知一组数据为２0,３0,４0,５0,５0,60,70,80，其中平均数，中位数和众数的大小关系是（）A．平均数＞中位数＞众数B．平均数＜中位数＜众数C．中位数＜众数＜平均数D．众数＝中位数＝平均数D [可得该组数据的平均数、中位数和众数均为５0．]２．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,１,２,３．若该样本的平均数为１，则样本方差为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!D．２D [∵样本的平均数为１，即错误!×（a＋0＋１＋２＋３）＝１，∴a＝—１，∴样本方差s２＝错误!×[（—１—１）２＋（0—１）２＋（１—１）２＋（２—１）２＋（３—１）２]＝２．]３．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高（单位：cm）分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为１77 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，则x等于（）１80 １１70 ３x 8 9Ａ．５B．6C．7 D．8D [由题意知，１0＋１１＋0＋３＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8．]４．某学员在一次射击测试中射靶１0次，命中环数如下：7,8,7,9,５,４,9,１0,7,４则：（１）平均命中环数为________；（２）命中环数的标准差为________．（１）7 （２）２[（１）错误!＝错误!＝7．（２）∵s２＝错误![（7—7）２＋（8—7）２＋（7—7）２＋（9—7）２＋（５—7）２＋（４—7）２＋（9—7）２＋（１0—7）２＋（7—7）２＋（４—7）２]＝４，∴s＝２．]平均数、中位数、众数的计算成绩１．５0１．60１．6５１．70１．7５１．80１．8５１．90（单位：m）人数２３２３４１１１[解] 在１7个数据中，１．7５出现了４次，出现的次数最多，即这组数据的众数是１．7５．题表里的１7个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据１．70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是１．70．这组数据的平均数是错误!＝错误!（１．５0×２＋１．60×３＋…＋１．90×１）＝错误!≈１．69．所以这１7名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为１．7５,１．70,１．69．中位数、众数、平均数的应用要点中位数、众数反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用．（１）求中位数的关键是将数据排序，一般按照从小到大的顺序排列．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势．（２）确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势．（３）平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据（比其他数据大很多或小很多的数据）的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数去估计总体．有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体．错误!１．（１）１6位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则其他１５位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（）A．平均数B．极差C．中位数D．方差（２）已知一组数据按从小到大排列为—１,0,４，x,6,１５，且这组数据的中位数是５，那么该组数据的众数是________，平均数是________．（１）C （２）6 ５[判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他１５位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他１５位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这１５位同学成绩的中位数．（２）因为中位数为５，所以错误!＝５，即x＝6．所以该组数据的众数为6，平均数为错误!＝５．故填6和５．]方差、标准差的计算据为：甲：99,１00,98,１00,１00,１0３；乙：99,１00,１0２,99,１00,１00．（１）分别计算两组数据的平均数及方差；（２）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．[解] （１）错误!甲＝错误!（99＋１00＋98＋１00＋１00＋１0３）＝１00，错误!乙＝错误!（99＋１00＋１0２＋99＋１00＋１00）＝１00．s错误!＝错误![（99—１00）２＋（１00—１00）２＋（98—１00）２＋（１00—１00）２＋（１00—１00）２＋（１0３—１00）２]＝错误!，s错误!＝错误![（99—１00）２＋（１00—１00）２＋（１0２—１00）２＋（99—１00）２＋（１00—１00）２＋（１00—１00）２]＝１．（２）两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s错误!＞s错误!，所以乙机床加工零件的质量更稳定．１．计算标准差的五个步骤（１）算出样本数据的平均数错误!.（２）算出每个样本数据与样本数据平均数的差：x i—错误!（i＝１,２,３，…，n）．（３）算出（２）中x i—错误!（i＝１,２,３，…，n）的平方．（４）算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差．（５）算出（４）中方差的算术平方根，即为样本标准差．２．标准差（方差）的两个作用（１）标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小．（２）在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．错误!２．（１）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数为：90,89,90,9５,9３,9４,9３，去掉一个最高分和一个最低分后，剩下数据的平均值和方差分别为（）A．9２,２B．9２,２．8C．9３,２D．9３,２．8（２）已知样本9,１0,１１，x，y的平均数是１0，标准差是错误!，则xy＝________.（１）B （２）96 [去掉最高分9５和最低分89后，剩余数据的平均数为错误!＝错误!＝9２，方差为s２＝错误![（90—9２）２＋（90—9２）２＋（9３—9２）２＋（9４—9２）２＋（9３—9２）２]＝错误!（４＋４＋１＋４＋１）＝２．8．（２）由平均数得9＋１0＋１１＋x＋y＝５0，所以x＋y＝２0．又由（9—１0）２＋（１0—１0）２＋（１１—１0）２＋（x—１0）２＋（y—１0）２＝（错误!）２×５＝１0，得x２＋y２—２0（x＋y）＝—１9２，（x＋y）２—２xy—２0（x＋y）＝—１9２，xy＝96．故填96．]数据的数字特征的综合应用１．在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你“我们公司的收入水平很高”“去年，在５0名员工中，最高收入达到了１00万，他们年收入的平均数是５．５万”．如果你希望获得年薪４．５万元，你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者？提示：这里的“收入水平”是指员工收入数据的某种中心点，即可以是中位数、平均数或众数，若是平均数，则需进一步了解企业各类岗位收入的离散情况．２．极差与方差是怎样刻画数据离散程度的？提示：方差与极差越大，数据的离散程度就越大，也越不稳定，数值越小，离散程度就越小，越稳定．【例３】在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数５060708090１00人数甲组２５１0１３１４6乙组４４１6２１２１２中的成绩谁优谁劣，并说明理由．[思路探究] 解答本题可从众数、平均数、方差等几方面综合分析．[解] （１）甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．（２）错误!甲＝错误!（５0×２＋60×５＋70×１0＋80×１３＋90×１４＋１00×6）＝错误!×４000＝80（分），错误!乙＝错误!（５0×４＋60×４＋70×１6＋80×２＋90×１２＋１00×１２）＝错误!×４000＝80（分）．s错误!＝错误![２×（５0—80）２＋５×（60—80）２＋１0×（70—80）２＋１３×（80—80）２＋１４×（90—80）２＋6×（１00—80）２]＝１7２，s错误!＝错误![４×（５0—80）２＋４×（60—80）２＋１6×（70—80）２＋２×（80—80）２＋１２×（90—80）２＋１２×（１00—80）２]＝２５6．∵s错误!＜s错误!，∴甲组成绩比乙组成绩稳定，故甲组好些．（３）甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中甲组成绩在80分以上（包括80分）的有３３人，乙组成绩在80分以上（包括80分）的有２6人．从这一角度看，甲组的成绩较好．（４）从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有２0人，乙组成绩大于等于90分的有２４人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好.像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言做出结论.错误!３．甲、乙两人在相同条件下各打靶１0次，每次打靶的成绩情况如图所示：（１）分别求甲、乙两人打靶成绩的平均数、中位数及命中9环以上的次数（含9环）；（２）从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：１从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？２从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？３从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？[解] （１）由图可知，甲打靶的成绩为２,４,6,8,7,7,8,9,9,１0；乙打靶的成绩为9,５,7,8,7,6,8,6,7,7．甲的平均数是7，中位数是7．５，命中9环及9环以上的次数是３；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是１．（２）由（１）知，甲、乙的平均数相同．１甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．２甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．３从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．１．一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序．２．标准差的平方s２称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.１．思考辨析（１）当样本中的数据都增加相同的量时，平均数不变．（）（２）一组样本数据的众数只有一个．（）（３）样本的中位数可以有两个值．（）（４）数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．（）（５）数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定．（）（6）样本的标准差和方差都是正数．（）[解析] （１）×，根据平均数的定义可知错误．（２）×，根据众数定义知众数可以一个，也可以多个．（３）×，由中位数的定义可知错误．（４）√，极差与标准差都反映了样本数据的波动性和离散程度．（５）×，平均数与数据的波动性无关．（6）√，根据标准差与方差的公式可知．[答案] （１）×（２）×（３）×（４）√（５）×（6）√２．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．9１．５和9１．５B．9１．５和9２C．9１和9１．５D．9２和9２A [将这组数据从小到大排列，得87,89,90,9１,9２,9３,9４,96．故平均数错误!＝错误!＝9１．５，中位数为错误!＝9１．５．]３．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为１0,6,8,５,6，则该组数据的方差s２＝________.错误![该组数据的平均数为错误!＝7，方差s２＝错误!＝错误!.]４．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶１0次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,５,9,１0,４,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,５．（１）分别计算以上两组数据的平均数；（２）分别求出两组数据的方差；（３）根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．[解] （１）错误!甲＝错误!（8＋6＋7＋8＋6＋５＋9＋１0＋４＋7）＝7（环）．错误!乙＝错误!（6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋５）＝7（环）．（２）由方差公式s２＝错误![（x１—错误!）２＋（x２—错误!）２＋…＋（x n—错误!）２]可求得s错误!＝３．0（环２），s错误!＝１．２（环２）．（３）∵错误!甲＝错误!乙，s错误!> s错误!，∴乙战士的射击成绩较稳定．。