北师大版高中数学必修三数据的数字特征同步练习(3)

马鸣风萧萧高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数据的数字特征 同步练习一、选择题1.刻画数据离散程度的统计量有（ ）A.极差B.方差与标准差C.极差、方差与标准差D.平均数与标准差 答案：C2.如果数据x1，x2，…，xn 的平均数为x ，方差为s2，则3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数和方差分别为（ ） A. x 和s2B.3x +5和9s2C.3x +5和s2D.3x +5和9s2+30s+25 答案：B3.标准差的计算公式是（ ） A.n 1n i 1=∑xi B.n 1n i 1=∑(xi －x )2 C.21)(1x x n i n i -∑=D.n 1n i 1=∑|xi －x | 答案：C 4.已知n 个数据x1，x2，…，xn ，那么n 1［(x1－x )2+(x2－x )2+…+(xn －x )2］是（ ）A.sB.s2C.xD.中位数 答案：B5.数据3，7，4，6，5的平均数为（ ）A.7B.6C.5D.4 答案：C二、填空题6.某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所示. 视力 0.10.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5人数 1 1 3 4 3 4 4 6 8 10 6则该班学生右眼视力的众数为，中位数为 .答案：1.2 0.87.5个数据的和为405，其中一个数据为85，那么另4个数据的平均数是 .答案：80三、解答题8.已知两组数据：甲：9.9，10.3，9.8，10.1，10.4，10，9.8，9.7.乙：10.2，10，9.5，10.3，10.5，9.6，9.8，10.1.分别计算这两组数据的方差，并判断哪组数据波动大.答案：s甲2=0.055,s乙2=0.105,乙组数据比甲组数据波动大.9.某单位为了寻找高产稳定的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品种在五块试验田上试种，每块试验田的面积为0.7公顷，产量情况如下表.品种各试验田产量(kg)1 2 3 4 51 21.5 20.4 22.0 21.2 19.92 21.3 23.6 18.9 21.4 19.83 17.8 23.3 21.4 19.1 20.9试评定哪一个品种既高产又稳定.答案：第一个油菜品种既高产又稳定.10.某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98;乙车间：110，115，90，85，75，115，110.(1)这种抽样是何种抽样方法？答案：系统抽样方法.(2)估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间产品较稳定.答案：x甲==100;x乙==100;s甲2=3.4286;s乙2=228.5714.甲车间产品较乙车间产品稳定.马鸣风萧萧。

北师大版高中数学必修3统计同步训练（一）1、以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y的值分别为（）A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，82、某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件、80件、60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n= ( )A.9B.10C.12D.133、在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本:①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,02,,99,⋯抽出20个;②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机抽取1个;③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级品中抽取10个.则( )A.不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是1 5B.①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,③并非如此C.①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,②并非如此D.采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率各不相同4、某公司10位员工的月工资(单位:元)为1210,,,x x x ,其均值和方差分别为x 和s 2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A. 22,100x s +B. 22100,100x s ++C. 2,x sD. 2100,x s +5、已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A. 0.4.3ˆ2yx =+ B. 2 2.4ˆy x =- C. 9ˆ2.5yx =-+ D. 0.3 4.4ˆy x =-+ 6、某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本,已知从高中生中抽取70人,则n 为( )A.100B.150C.200D.2507、某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A.93B.123C.137D.1678、对某商店一个月(30天)内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,53北师大版高中数学必修3统计同步训练（一）参考答案 1.C解析：由题意得15,16.8(915101824)85x y y ==+++++⇒=，选C. 2.D解析：利用分层抽样抽取甲、乙、丙三个车间的产品数量比为120?:?80?:?606?:?4?:?3=,从丙车间的产品中抽取了3件,则3313n ⨯=,得13n =,故选D. 3.A解析：无论采用哪种抽样,每个个体被抽到的概率相等.4.D解析：设增加工资后10位员工下月工资均值为'x ,方差为2's , 则平均数()()()12101'10010010010x x x x =++++⋅⋅⋅++⎡⎤⎣⎦ ()1210110010010x x x x =++++=+; ()()()222212101'100'100'100'10s x x x x x x ⎡⎤=+-++-+⋅⋅⋅++-⎣⎦ ()()()22221210110x x x x x x s ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦.故选D . 5.A解析：变量x 与y 正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.∵变量x 与y 正相关,∴可以排除C,D; 样本平均数3x =, 3.5y =,代入A 符合,B 不符合,故选:A.6.A解析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数,利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n 值. 分层抽样的抽取比例为701350050=, 总体个数为350015005000+=, ∴样本容量1500010050n =⨯=. 故选:A.7.C解析：由图可知该校女教师的人数为()11070%150160%7760137⨯+⨯-=+= 故答案选C考点:概率与统计.8.A解析：样本中共有30个数据,中位数为4547462+=; 显然样本中数据出现次数最多的为45,故众数为45;极差为6812? 56-=,故选A.北师大版高中数学必修3统计同步训练（二）1、某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1,2,…, 840随机编号, 则抽取的42人中,编号落入区间[]481,720的人数为( )A.11B.12C.13D.142、为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )A.50B.40C.25D.203、在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析,在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是( )A.总体B.个体C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本4、为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为e m ,众数为o m ,平均值为x ,则( )A. e o m m x ==B. e o m m x =<C. e o m m x <<D. o e m m x <<5、,?A B 两名同学在5次数学考试中的成绩的茎叶图如图所示,若,?A B 两人的平均成绩分别是,A B X X ,则下列的结论正确的是( )A. A B X X <,B 比A 成绩稳定B. A B X X >,B 比A 成绩稳定C. A B X X <,A 比B 成绩稳定D. A B X X >,A 比B 成绩稳定6、在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的是( )A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(2)(3)7、根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 0.5- 0.5 2.0- 3.0-得到的回归方程为ˆybx a =+,则( ) A. 0a >,0b <B. 0a >,0b >C. 0a <,0b <D. 0a <,0b >8、若样本1＋x 1,1＋x 2,31x +,···, 1＋x n 的平均数是10,方差为2,则对于样本2＋x 1 ,2＋x 2 ,···,2＋x n ,下列结论正确的是( )A.平均数是10,方差为2B.平均数是11,方差为3C.平均数是11,方差为2D.平均数是12,方差为4北师大版高中数学必修3统计同步训练（二）参考答案1.B解析：使用系统抽样方法,从840人中抽取42人 ∵8404242=,抽取比例为1:2 编号在区间[]481,720的人数为240∴抽取的42人中, 编号落入区间[]481,720的人数为2401220= 2.C解析：由题意知,分段间隔为10002540=,故选C. 3.A解析：根据统计中总体、个体、样本、样本容量的相关定义直接进行判断.调查的目的是“了解某地5000名居民某天的阅读时间”,所以“5000名居民的阅读时间的全体”是调查的总体.4.D解析：由图可知05m =.由中位数的定义知应该是第15个数与第16个数的平均值,由图知将数据从小到大排,第15个数是5,第16个数是6, 所以562 5.5e m +==.()324351066738292102 5.9751350.x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈>, 所以0e m m x <<5.A解析：由茎叶图知, 1(91+92+96+103+?128)=?102,5A X =⨯ 1(?99+108+107+114+112)=?108,5B X =⨯ ∴A B X X <,且B 比A 更稳定,故选A.6.D解析：散点图(1)中,所有的散点都在曲线上,所以(1)具有函数关系;散点图(2)中,所有的散点都分布在一条直线的附近,所以(2)具有相关关系; 散点图(3)中,所有的散点都分布在一条曲线的附近,所以(3)具有相关关系, 散点图(4)中,所有的散点杂乱无章,没有分布在一条曲线的附近,所以(4)没有相关关系.故选D.7.A解析：由散点图知0b <,0a >,选A.8.C解析：∵样本1231,1,1,,1n x x x x +++⋯+的平均数是10,方差为2,∴123111110n x x x x n ++++++⋯++=,即123109n x x x x n n n +++⋯+=-=,方差()()()()()()22222221212111101101109992n n S x x x x x x n n ⎡⎤⎡⎤⎣=+-++-+⋯++-=-+-+⋯+⎣-⎦=⎦,则()1211222111n n x x x n n ++++⋯++==, 样本122,2,,2n x x x ++⋯+的方差()()()()()()22222221212112112112119992n n S x x x x x x n n ⎡⎤⎡⎤⎣=+-++-+⋯++-=-+-+⋯+⎣-⎦=⎦.故选C北师大版高中数学必修3统计同步训练（三）1、在用频率分布直方图表示尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组, [),a b 是其中的一组,抽查出的个数在该组内的频率为m ,表示该组的小矩形的高为h ,则b a -等于( )A. hmB.h m C. m hD.与,m h 无关 2、对于给定的两个变量的统计数据,下列说法中正确的是( )A.都可以分析出两个变量的关系B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系C.都可以作出散点图D.都可以用确定的表达式表示两者的关系3、某路段检查站监控录像显示,在某时段内,有1000辆汽车通过该站,现在随机抽取其中200辆汽车进行车速分析,分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图,则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不低于90/km h 的约有( )辆A.100B.200C.300D.3904、已知两组样本数据{}12,,,n x x x 的平均数为h ,{}12,,,m y y y 的平均数为k ,则把两组数据合并成一组以后,这组样本的平均数为( )A.2h k + B. nh mk m n++ C. nk mh m n ++ D. h k m n ++5、为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样6、现从100件产品中随机抽出10件进行质量检测,下列说法中正确的是( )A.100件产品是总体B.10件产品是样本C.样本容量为100D.样本容量为107、下列抽样方式是简单随机抽样的是( )A.某工厂从老年、中年、青年职工中按2:5:3的比例选取职工代表B.某班45名同学,指定个子高的5名同学参加学校组织的某项活动C.齐鲁福利彩票用摇奖机摇奖D.规定凡买到的明信片的最后四位号码是“6637”的人获得三等奖8、某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示。

1.5数据的数字特征同步练习1．某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人．为了调查他们的身体状况,需从他们中抽取一个容量为36的样本,最适合抽取样本的方法是（）A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.先从老年人中剔除一人,然后分层抽样答案：D2．10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12．设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有（）A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a答案：D3．下列说法错误的是（）A.在统计里,把所需考察对象的全体叫做总体B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大答案：B4．下列说法中,正确的是（）A.数据5,4,4,3,5,2的众数是4B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C.数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数答案：C5．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验,其测验成绩的方差分别为s12=13.2,s22=26．26,则（）A.甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B.乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C.甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D.不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度答案：A6．下列说法正确的是（）A.根据样本估计总体,其误差与所选择的样本容量无关B.方差和标准差具有相同的单位C.从总体中可以抽取不同的几个样本D.如果容量相同的两个样本的方差满足s12<s22,那么推得总体也满足s12<s22是错的答案：C7．某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（）A.3.5B.-3C.3D.-0.5答案：B8．在一次数学测验中,某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2,3,-3,-5,12,12,8,2,-1,4,-10,-2,5,5,那么这个小组的平均分是分（）A.97.2B.87.29C.92.32D.82.86答案：B9．某题的得分情况如下：20.2其中众数是（）A.37.0％B.20.2％C.0分D.4分答案：C10．如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这一组数的（）A.平均数不变,方差不变B.平均数改变,方差改变C.平均数不变,方差改变D.平均数改变,方差不变答案：D。

2020-2021学年数学北师大版必修3学案：1.4数据的数字特征含解析§4 数据的数字特征知识点一众数、中位数、平均数[填一填]1．众数(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数． (2)特征：一组数据的众数可能多个，也可能没有，它反映了该组数据的频率分布．2．中位数(1)定义：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．(2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．3．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商叫作这组数据的平均数，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n. (2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的平均水平，但平均数受数据中的每一个数据的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．[答一答]1．一组数据的平均数是否一定能说明现实中的平均水平？提示：在用平均数估计总体时，样本中的每一个数据都会影响到平均数的大小，因此在实际操作中，一定要注意异常数据对平均数的影响，以便作出正确估计．比如：某地区的年平均家庭年收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭年收入普遍较高．但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭年收入计算出来的，那么，它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入．知识点二标准差、方差、极差[填一填]4．标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，通常用以下公式来计算s 可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小．5．方差(1)定义：标准差的平方，即s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．(2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动的(3)取值范围：s2≥0.6．极差(1)定义：一组数据的最大值和最小值的差称为这组数据的极差．(2)特征：表示该组数据之间的差异情况．[答一答]2．怎样正确理解标准差与方差．提示：①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．1．三种数字特征应注意以下四点(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋(4)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．2．关于方差、标准差应注意以下几点(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．(2)若样本数据都相等，则s＝0.(3)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量．(4)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准差．类型一平均数、中位数、众数【例1】据报道，某销售公司有33名职工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示(单位：万元)：部门 A B C D E F G人数11215320 每人所创年利润 5.55 3.53 2.52 1.5(2)假设部门A所创年利润从5.5万元提高到30万元，部门B所创年利润由5万元提高到20万元，那么新的平均数、中位数、众数、极差又是多少？(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平？【思路探究】(1)(2)根据表中数据及平均数、中位数、众数、极差的定义求解．(3)分析各统计量与公司职工每人所创年利润的关系→看其是否偏离一般情况【解】(1)x＝5.5＋5＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×2033≈2.1(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元，极差为4万元．(2)x＝30＋20＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×2033≈3.3(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元，极差为28.5万元．(3)中位数或众数均能反映该公司职工每人所创年利润的平均水平．这是因为公司中少数人每人所创年利润与大多数人每人所创年利润差别较大，这样导致平均数与中位数或众数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平．规律方法中位数、众数、平均数的选择标准平均数、中位数、众数均反映了样本数据的“集中趋势”，但各有侧重，在实际生活中应结合实际情况，灵活应用．(1)平均数与每一个样本数据都有关，任何一个样本数据的改变都可能会引起平均数的改变．(2)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势．因此，若平均数受数据中的极端值影响较大时，估计的可靠性就较低，这时可用众数、中位数来表示这组数据的集中趋势．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：销售量(件) 1 800 510 250 210 150 120 人数113532(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．解：(1)平均数为115(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额．类型二方差和标准差【例2】甲、乙两机床同时加工直径为100cm 的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．【思路探究】着眼点——直接利用x 及s 2的公式求解(1)—先比较x 的大小，再分析s 2的大小【解】(1)x －甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x －乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x －甲＝x －乙，比较它们的方差．∵s 2甲>s 2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．规律方法(1)在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．(2)关于统计的有关性质及规律：①若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a ；②数据x 1，x 2，…x n 与数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差相等；③若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩如图所示．(1)分别求出两人成绩的平均数与方差；(2)根据上图和(1)中结果，对两人的训练成绩作出评价．解：(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10,13,12,14,16；乙：13,14,12,12,14. x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13， s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．类型三综合应用题【例3】对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀．【思路探究】分别计算两组数据的平均值与方差，然后加以比较并作出判断．【解】 x －甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，s 2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2 ＋(31－33)2]＝16×94≈15.7，x －乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝1986＝33，s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝16×76≈12.7.∴x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙.这说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．规律方法判断甲、乙两运动员成绩的优劣，通常用平均数和方差作为标准来比较，当平均数相同时，还应考查他们的成绩波动情况(方差)，以达到判断上的合理性和全面性．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命； (2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？解：(1)各组中值分别是165.5,195.5,225.5,255.5,285.5,315.5, 345.5,375.5，由此可算得平均数约为165.5×1%＋195.5×11%＋225.5×18%＋255.5×20%＋285.5×25%＋315.5×16%＋345.5×7%＋375.5×2%＝268.4≈268(天)．(2)将各组中值对(1)问中的平均数求方差：1100×[1×(165.5－268.4)2＋11×(195.5－268.4)2＋18×(225.5－268.4)2＋20×(255.5－268.4)2＋25×(285.5－268.4)2＋16×(315.5－268.4)2＋7×(345.5－268.4)2＋2×(375.5－268.4)2]＝2 128.59.故标准差为2 128.59≈46(天)．答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故可在222到314天左右统一更换较合适．类型四综合应用【例4】已知一组数据x i (i ＝1,2，…，n )，另一组数据y i ，满足y i ＝ax i ＋b (a 、b ∈R )，若x i (i ＝1,2，…，n )的平均数为x ，方差为s 21，标准差为s 1，则y i (i ＝1,2，…，n )的平均数y i 、方差s 22、标准差s 2分别为多少？【思路探究】该题主要考查学生对公式的理解与应用，熟记公式是关键．【解】由公式可得：x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )s 21＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] s 1＝s 21.又y i ＝ax i ＋b (i ＝1,2，…，n )，∴y ＝1n (y 1＋y 2＋…＋y n )＝1n [(ax 1＋b )＋(ax 2＋b )＋…＋(ax n ＋b )] ＝1n [a (x 1＋x 2＋…＋x n )＋nb ]＝a ·1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＋b ＝a ·x ＋b ，∴s 22＝1n [(y 1－y )2＋(y 2－y )2＋…＋(y n －y )2]＝1n {[(ax 1＋b )－(a x ＋b )]2＋[(ax 2＋b )－(a x ＋b )]2＋…＋[(ax n ＋b )－(a x ＋b )]2}＝1n [a 2(x 1－x )2＋a 2(x 2－x )2＋…＋a 2(x n －x )2] ＝a 2·1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2·s 21. ∴s 2＝s 22＝a 2·s 21＝a ·s 1. 规律方法结合本题可总结出如下结论：若x 1，x 2，…，x n 的平均数是x ，方差是s 2，则①ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数、方差为a x ，a 2s 2.②ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数、方差为a x ＋b ，a 2s 2.若样本x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1，…，x n ＋1的平均数为10，方差为2，则对于样本x 1＋2，x 2＋2，…，x n ＋2，下列结论正确的是( C )A ．平均数为10，方差为2B ．平均数为11，方差为3C ．平均数为11，方差为2D ．平均数为12，方差为4解析：将一组数据中的每一个数增加同一常数时，方差不变，平均数再加上该常数．——规范解答——巧用分类讨论思想求数字特征【例5】(12分)某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．【思路点拨】x 的大小未知，可根据x 的取值不同分别求中位数．【满分样板】该组数据的平均数为14(x ＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x 不知是多少，所以要分几种情况讨论．(1)当x ≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10，其中位数为12×(10＋8)＝9.若14(x ＋28)＝9，则x ＝8，此时中位数为9.4分(2)当8<="">2(x ＋10)，则x ＝8.而8不在8<="">8分(3)当x>10时，原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10，x ，其中位数为12×(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9或10.12分【方法总结】当在数据中含有未知数x ，求该组数据的中位数时，由于x 的取值不同，所以数据由小到大(或由大到小)排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论．讨论时要做到全面合理，不重不漏．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10.解析：设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知x1＋x2＋x3＋x4＋x55＝7，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x ＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.一、选择题1．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(A)A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92解析：x＝90＋18(－1－3＋3＋1＋6＋4＋0＋2)＝91.5.中位数＝91＋922＝91.5.2．甲、乙两台机床同时生产一种零件，现要检验它们的运行情况，统计10天中两台机床每天出的次品数分别为甲：0,1,0,2,2,0,3,1,2,4；乙：2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.则出次品数较少的为( B )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不能比较解析：x 甲＝1.5，x 乙＝1.2. 二、填空题3．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班有40人，乙班有50人，现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是85分．解析：由题意：该校数学建模兴趣班的平均成绩40×90＋50×8190＝85分．4．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝3.2.解析：x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝165＝3.2.三、解答题5．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：解：x 甲＝15×(60＋80＋70＋90＋70)＝74；x乙＝15×(80＋60＋70＋80＋75)＝73；s2甲＝15×(142＋62＋42＋162＋42)＝104；s2乙＝15×(72＋132＋32＋72＋22)＝56.∵x甲>x乙，s2甲>s2乙，∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．。

信达数据的数字特征同步练习思路导引1.在8个试验点对两个早稻品种进行栽培对比试验，它们在各试验点的单位面积产量如下（单位：kg ）： 甲 402 492 495 409 460 420 456 501 乙 428 466 465 428 436 455 449 459 在这些试验点中哪种水稻的产量比较稳定？解：比较甲、乙两组数据标准差的大小.S 甲=37.5，S 乙=14.7.S 乙<S 甲，这说明在这些试验点乙种水稻比甲种水稻的产量稳定. 2.下列数据是30个不同国家中每100000名男性患某种疾病的死亡率：27.0 23.9 41.6 33.1 40.6 18.8 13.7 28.9 13.2 14.5 27.0 34.8 28.9 3.2 50.1 5.6 8.715.27.15.216.5 13.819.211.215.710.05.61.5 33.89.2（1）作出这些数据分布的频率分布直方图； （2）请由这些数据计算平均数、标准差等，并对它们的含义进行解释.解：（1）画频率分布直方图.频000.0亡率图←标准差可以反映数据的离散程度，比较标准差的大小.←先作频率分布表，统计数据.（2）平均数是19.3；标准差是12.7.说明30个国家中每十万名男性患某种疾病的平均死亡率为19.3%；但各个国家的差异较大.3.在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”，“去年，在50名员工中，最高年收入达到了100万，他们年收入的平均数是3.5万”.（1）你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者？（2）如果招聘员继续告诉你，“员工收入的变化范围是从0.5万到100万”，这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？（3）如果招聘员继续给你提供如下信息，员工收入的中间50%（即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的）的变化范围是1万到3万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定？（4）为什么平均数比中间50%高很多？你能估计出收入的中位数是多少吗？解：（1）不能判断一定能成为此公司的一名高收入者.（2）由此可知员工收入的变化范围及平均数.高收入者只是极少数，不能作为受聘的决定.（3）大部分员工的收入是1万到3万，这也是我们受聘该公司后最有可能的收入状况.（4）收入极高的少数人对平均数影响较大，他们的收入与平均数相差太多.可以估计收入的中位数大约是2万元. ←中位数、众数、平均数可以从不同角度反映这组数据的特征.信达。

课时作业5 数据的数字特征时间：45分钟 满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为( C )A ．84,68B ．84,78C ．84,81D ．78,81解析：将所给数据按从小到大的顺序排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81.2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为8,12,10,11,9，估计此人每次上班途中平均花费的时间为( D )A ．8分钟B ．9分钟C ．11分钟D ．10分钟解析：估计此人每次上班途中平均花费的时间为8＋12＋10＋11＋95＝10(分钟)．3．样本数据：2,4,6,8,10的标准差为( D ) A ．40 B ．8 C ．210D ．2 2解析：直接把数据代入标准差公式可得．4．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 为( A )A ．21B ．22C ．20D ．23 解析：由x ＋232＝22，得x ＝21.5．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩统计，如下表，则这100人成绩的标准差为( B )A. 3 C ．3D.85解析：∵x ＝20×5＋10×4＋30×3＋30×2＋10×1100＝3，∴s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝1100[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝160100＝85，∴s ＝2105.6．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( C )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：本题考查了数理统计中的平均数、中位数、方差、极差及条形图等问题． x －甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x －乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15(12×3＋32×1)＝2.4.故选C.数理统计有关知识是每年高考必考，常涉及直方图、平均数、方差等内容．对于统计的考查多以容易题出现，解答时只需细心一些即可．7．甲、乙、丙、丁四人参加亚运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和标准差见下表：甲 乙 丙 丁 平均数x 8.5 8.8 8.8 8 标准差s3.53.52.18.7A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：从平均数来看，乙、丙的平均值最大，从标准差来看，丙的标准差最小，因此，应选择丙参加比赛．8．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x ，方差为s 2，则( A )A.x ＝5，s 2<2B.x ＝5，s 2>2C.x >5，s 2<2D.x >5，s 2>2解析：∵18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，∴19(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，∴x ＝5.由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，∴s 2<2，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)9．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x ＝15.解析：由中位数的定义知x ＋172＝16，∴x ＝15.10．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差是a ，那么另一组数据x 1－2，x 2－2，…，x n－2的方差是a .解析：将一组数据同时减去一个数，所得新数据的方差与原数据的方差相等． 11．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(1)平均命中环数为7； (2)命中环数的标准差为2. 解析：本题考查平均数与标准差．(1)平均数＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7；(2)标准差＝＝2注意：方差与标准差的区别．三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：每户丢弃旧塑料袋个数2 3 4 5 户数6161513(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．解：(1)平均数x ＝150×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝18550＝3.7.众数是3，中位数是4.(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为 s 2＝150×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2＝150×48.5＝。

一、选择题1．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数为：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A．92,2B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.82．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是() A．7 B．5 C．6 D．113．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x，样本标准差分别为s A和s B，则()BA.x A>x B，s A>s BB.x A<x B，s A>s BC.x A>x B，s A<s BD.x A<x B，s A<s B4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均数为x，则()A．m e＝m0＝x B．m e＝m0<x C．m e<m0<x D．m0<m e<x5．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是()A．57.2 3.6 B．57.256.4 C．62.863.6 D．62.8 3.6二、填空题6．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x＝________.7．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝________.8．(湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7, 8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________． 三、解答题9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数； (2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．10．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：(1)请你对下面的一段话给予简要分析： 甲了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．答 案1. 解析：选 B 去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为x ＝90＋90＋93＋94＋935＝92，方差为s 2＝15×[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝15×(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.2. 解析：选B 这组数据的众数为5，则5出现的次数最多， ∴x ＝5，那么这组数据按从小到大排列为－3,5,5,7,11，则中位数为5.3. 解析：选B A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A <x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A >s B .4. 解析：选D 易知中位数的值m e ＝5＋62＝5.5，众数m 0＝5，平均数x ＝130×(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)≈6，所以m 0<m e <x .5. 解析：选D 设该组数据为x 1，x 2，…，x n ，则1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＝2.8，1n [(x 1－2.8)2＋(x 2－2.8)2＋…＋(x n －2.8)2]＝3.6， 所以，所得新数据的平均数为1n [(x 1＋60)＋(x 2＋60)＋…＋(x n ＋60)]＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＋60＝2.8＋60＝62.8.所得新数据的方差为1n [(x 1＋60－62.8)2＋(x 2＋60－62.8)2＋…＋(x n ＋60－62.8)2]＝1n [(x 1－2.8)2＋(x 2－2.8)2＋…＋(x n －2.8)2] ＝3.6.6. 解析：由中位数的定义知x ＋172＝16，∴x ＝15. 答案：157. 解析：计算可得两组数据的平均数均为7， 甲班的方差s 2甲＝(6－7)2＋02＋02＋(8－7)2＋025＝25；乙班的方差s 2乙＝(6－7)2＋02＋(6－7)2＋02＋(9－7)25＝65.则两组数据的方差中较小的一个为s 2甲＝25. 答案：258. 解析：(1)由公式知，平均数为110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7；(2)由公式知，s 2＝110(0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4⇒s ＝2.答案：（1）7 （2）29. 解：(1)平均数x ＝150×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝18550＝3.7.众数是3，中位数是4.(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s2＝150×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝150×48.5＝0.97，所以标准差s≈0.985.10. 解：(1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游．但也不能单以班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．。

[A基础达标］1．已知一组数据10，30，50,50，60，70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是( ）A．平均数〉中位数〉众数B．平均数<中位数<众数C．中位数〈众数〈平均数D．众数＝中位数＝平均数解析：选D。

中位数、平均数、众数都是50，从中看出一组数据的中位数、众数、平均数可以相同．2．如图所示,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为x A和x B,样本标准差分别为s A和s B,则( )A．错误!A〉x B，s A〉s BB．错误!A〈x B，s A>s BC．错误!A〉x B,s A<s BD．错误!A〈x B,s A<s B解析：选B。

A中的数据都不大于B中的数据,所以x A〈x B，但A中的数据比B中的数据波动幅度大，所以s A>s B。

3．期中考试后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均数为N，那么M∶N为（）A.错误!B．1C。

错误!D．2解析:选B.设40位同学的成绩为x i(i＝1，2,…，40)，则M＝错误!，N＝错误!＝错误!＝M。

故M∶N＝1。

4．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如下表，则这100人成绩的标准差为（)A。

错误!B。

错误!C．3 D。

错误!解析：选B. 错误!＝错误!＝3，所以s2＝错误!（20×22＋10×12＋30×12＋10×22）＝错误!＝错误!,所以s＝错误!,故选B.5．一组数据中的每一个数据都减去80，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．81.2,4。

4B．78。

8，4。

4C．81.2，84.4D．78。

8，75。

6解析：选A。

由平均数和方差的计算公式知，如果数据中的每一个数都减去80，则平均数就减去80，因而原来数据的平均数为80＋1.2＝81。

高中数学第一章统计1.5.2 估计总体的数字特征同步训练北师大版必修3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章统计1.5.2 估计总体的数字特征同步训练北师大版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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5。

2 估计总体的数字特征1．可以描述总体稳定性的统计量是（)A．样本平均数错误!B．样本中位数C．样本方差s2 D．样本最大值2．下列数字特征一定是数据组中数据的是…（）A．众数 B．中位数 C．标准差 D．平均数3．在统计中，样本的标准差可以近似地反映（）A．平均状态 B．波动大小C．分布规律 D．最大值和最小值4．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人，现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分．5．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3，7，a,b，12,13。

7,18。

3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是______、______.答案：1.C2．A 根据各数字特征的意义可知唯有众数一定是原数据中的数．3．B 由定义知,数据的标准差反映数据的波动大小．4．85 由题意知，所求平均成绩为:错误!＝85（分)．5．10.5 10。

5 ∵总体的个体数是10，且中位数是10。

5，∴错误!＝10。

5，即a＋b＝21,∴总体的平均数为10。

要使总体的方差最小，只要(a－10）2＋（b－10)2最小，即(a－10)2＋（b－10）2＝（a－10）2＋（21－a－10)2＝2a2－42a＋221＝2(a－错误!)2＋错误!，∴当a＝错误!＝10。

高中数学 1.4 数据的数字特征课时作业北师大版必修3课时目标 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题．1．众数、中位数、平均数(1)众数的定义：一组数据中重复出现次数________的数称为这组数的众数．(2)中位数的定义及求法把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最______位置的那个数称为这组数据的中位数．①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的__________那个数．②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的________．(3)平均数①平均数的定义：如果有n个数x1，x2，…，x n，那么x＝____________，叫做这n个数的平均数．②平均数的分类：总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数．样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数．2．标准差、方差(1)标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝________________________________________________________________________.(2)方差的求法：标准差的平方s2叫做方差．s2＝________________________________________________________________________.一、选择题1．下列说法正确的是( )A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高2．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a3．甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，他们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是( )A．甲 B．乙C．甲、乙相同 D．不能确定4．一组数据的方差为s2，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差是( )A.13s2 B．s2 C．3s2 D．9s25．如图是2010年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为( ) A．84,4.84 B．84,1.6C．85,1.6 D．85,0.46．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B则( )A.x A>x B，s A>s BB.x A<x B，s A>s BC.x A>x B，s A<s BD.x A<x B，s A<s B题号12345 6答案7．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.8．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：甲108999乙10107999．若a1，a2，…，a20，这20个数据的平均数为x，方差为0.20，则数据a1，a2，…，a20，x这21个数据的方差为________．三、解答题10．(1)已知一组数据x1，x2，…，x n的方差是a，求另一组数据x1－2，x2－2，…，x n －2的方差；(2)设一组数据x1，x2，…，x n的标准差为s x，另一组数据3x1＋a,3x2＋a，…，3x n＋a的标准差为s y，求s x与s y的关系．11．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：(1)请填写表：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲乙(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．能力提升12．为了了解市民的保护意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一每户丢弃塑料袋个数234 5户数6161513求这5013．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：统计量平均成绩标准差组别第一组90 6第二组80 41．平均数、众数、中位数都是描述数据的集中趋势的，其中平均数是最重要的量．众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也成为缺点，因为这些极端值有时是不能忽视的．由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．2．极差、方差、标准差是描述数据的离散程度的，即各数据与其平均数的离散程度．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．答案 知识梳理1．(1)最多 (2)中间 ①中间位置的 ②平均数 (3)①x 1＋x 2＋…＋x nn2．(1)1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] (2)1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] 作业设计1．B [A 中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C 中求和后还需取平均数；D 中方差越大，射击越不平稳，水平越低．]2．D [由题意a ＝110(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝15710＝15.7，中位数为16，众数为18，即b ＝16，c ＝18，∴c>b>a.]3．B [方差或标准差越小，数据的离散程度越小，表明发挥得越稳定．∵5.09>3.72，故选B .]4．D [s 20＝1n [9x 21＋9x 22＋…＋9x 2n －n(3x )2]＝9·1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n －n x 2)＝9s 2(s 20为新数据的方差)．]5．C [由题意x ＝15(84＋84＋86＋84＋87)＝85.s 2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝15(1＋1＋1＋1＋4)＝85＝1.6.] 6．B [样本A 数据均小于或等于10，样本B 数据均大于或等于10，故x A <x B ， 又样本B 波动范围较小，故s A >s B .] 7．91解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＋10＋11＋x ＋y ＝5×10，15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2]＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝7.所以xy ＝91.8．甲解析 x 甲＝9，2s 甲＝0.4，x 乙＝9，2s 乙2s 乙=2，故甲的成绩较稳定，选甲．9．0.19解析 这21个数的平均数仍为20，从而方差为121×[20×0.2＋(20－20)2]≈0.19.10．解 (1)设x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则有： a ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． ∵x 1－2，x 2－2，…，x n －2的平均数为x －2， 则这组数据的方差s 2＝(x 1－2－x ＋2)2＋…＋(x n －2－x ＋2)2n ＝(x 1－x )2＋…＋(x n －x )2n ＝a.(2)设x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则3x 1＋a,3x 2＋a ，…，3x n ＋a 的平均数为3x ＋a.s y ＝2y s ＝1n[(3x ＋a －3x 1－a)2＋…＋(3x ＋a －3x n －a)2] ＝1n·32·[(x －x 1)2＋…＋(x －x n )2] ＝9·2x s ＝3s x ，∴s y ＝x s 3.11．解 由折线图，知甲射击10次中靶环数分别为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 将它们由小到大重排为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击10次中靶环数分别为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10. 也将它们由小到大重排为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10. (1)x 甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7010＝7(环)， x 乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7010＝7(环)，s 2甲＝110×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝110×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2， s 2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝110×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4. 根据以上的分析与计算填表如下：(2)①∵平均数相同，s 甲< s 乙，∴甲成绩比乙稳定． ②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数， ∴乙的成绩比甲好些．③∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些． ④甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，所以乙较有潜力．12．解 ∵x ＝2×6＋3×16＋4×15＋5×1350＝3.7，s 2＝150×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝150×(17.34＋7.84＋1.35＋21.97)＝0.97， ∴标准差s ＝0.97≈0.985.13．解 设第一组20名学生的成绩为x i (i ＝1,2，…，20)， 第二组20名学生的成绩为y i (i ＝1,2，…，20)， 依题意有：x ＝120(x 1＋x 2＋…＋x 20)＝90，y ＝120(y 1＋y 2＋…＋y 20)＝80， 故全班平均成绩为：140(x 1＋x 2＋…＋x 20＋y 1＋y 2＋…＋y 20)＝140×(90×20＋80×20)＝85；又设第一组学生成绩的标准差为s 1，第二组学生成绩的标准差为s 2，则s 21＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220－20x 2)，s 22＝120(y 21＋y 22＋…＋y 220－20y 2)(此处，x ＝90，y ＝80)， 又设全班40名学生的标准差为s ， 平均成绩为z (z ＝85)，故有s 2＝140(x 21＋x 22＋…x 220＋y 21＋y 22＋…＋y 220－40z 2)＝140(20s 21＋20x 2＋20s 22＋20y 2－40z 2) ＝12(62＋42＋902＋802－2×852)＝51. s ＝51.所以全班同学的平均成绩为85分，标准差为51.。

§4数据的数字特征一、非标准1.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的方差是( )A.0.127B.0.016C.0.08D.0.216解析:∵×(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,∴s2=×[(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2]=0.016.答案:B2.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如图所示.则下面结论中错误的是( )A.甲的极差是29B.乙的众数是21C.甲罚球命中率比乙高D.甲的中位数是24解析:甲的极差为37-8=29,A正确;乙的众数为21,B正确;由茎叶图知,甲罚球命中个数集中在20~30之间;而乙罚球命中个数集中在10~20之间,故C正确;甲的中位数为=23.D错误.答案:D3.某商场一天中售出某品牌运动鞋13双,其中各种尺码鞋的销量如下表所示,则这13双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别为( )鞋的尺码(单位:cm) 23.52424.52526销售量(单位:双)1 2 2 5 3A.25cm,25cmB.24.5cm,25cmC.26cm,25cmD.25cm,24.5cm解析:易知众数为25cm,因为共有13个数据,所以中位数应为第7个数据,而尺码为23.5cm到24.5cm的共有5个数据,且尺码为25cm的有5个数据,因此第7个数据一定是25cm,即中位数为25cm.答案:A4.一组数据中的每一个数据都减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( )A.81.2,4.4B.78.8,4.4C.81.2,84.4D.78.8,75.6解析:原数据的平均数应为1.2+80=81.2,原数据的方差与新数据的方差相同,即为4.4.答案:A5.已知样本甲和乙分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为s甲和s 乙,则( )A.,s甲>s乙B.,s甲>s乙C.,s甲<s乙D.,s甲<s乙解析:甲中的数据都不大于乙中的数据,所以,但甲中的数据比乙中的数据波动幅度大,所以s甲>s乙.答案:B6.在一次数学测验中,某小组10名学生分别与全班的平均分85分的差是:2,3,-3,-5,12,8,2,-10,-2,5,那么这个小组的平均分是分.解析:这个小组的平均分是85+=85+1.2=86.2(分).答案:86.27.已知甲、乙两人在相同条件下练习射击,每人打5发子弹,命中环数如下:甲 6 8 9 9 8乙17 7 7 9则两人射击成绩的稳定程度是.解析:∵=8,=8,而=1.2,=1.6,,∴甲的稳定性较强.答案:甲比乙稳定8.若一组数据x1,x2,…,x n的方差为9,则数据3x1,3x2,…,3x n的方差为,标准差为.解析:数据3x1,3x2,…,3x n的方差为32×9=81,标准差为=9.答案:81 99.从甲、乙两种玉米苗中各抽10株,分别测得它们的株高如下(单位:cm):甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42;乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问:(1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐?解:(1)×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=×300=30(cm),×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=×310=31(cm),所以,即乙种玉米的苗长得高.(2)×[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]=×1042=104.2(cm2),×[(27-31)2×2+(16-31)2×3+(44-31)2×2+(40-31)2×3]=×1288=128.8(cm2),所以,即甲种玉米的苗长得齐.10.一名射击运动员射击8次所中环数如下:9.9,10.3,9.8,10.1,10.4,10,9.8,9.7.(1)这8次射击的平均环数是多少?标准差是多少?(2)环数落在①-s与+s之间;②-2s与+2s之间的各有几次?所占百分比各是多少?解:(1)=10(环);s2=[(9.9-10)2+(10.3-10)2+(9.8-10)2+(10.1-10)2+(10.4-10)2+(10-10)2+(9.8-10)2+(9.7-10)2]=(0.01+0.09+…+0.09)==0.055,所以s=≈0.235(环).(2)①-s≈10-0.235=9.765,+s≈10+0.235=10.235,在这两个数据之间的数有5个,占到=62.5%.②-2s≈10-0.235×2=9.53,+2s≈10+0.235×2=10.47,在这两个数据之间的数有8个,占到100%.。

§4数据的数字特征1．某班一次语文测验的成绩如下：得100分的3人，得95分的5人,得90分的6人，得80分的2人,70分的16人，60分的5人,则该班这次语文测验的众数是（）A．70分B．80分C．16人D．10人2．一组数据为168,170,165,172，180,163,169,176,148,则这组数据的中位数是（）A．168 B．169 C．168。

5 D．1703．已知容量为40的样本方差s2＝4，则其标准差s等于（) A．4 B．3 C．2 D。

错误!4．已知下列一组数据：10 20 80 40 30 90 50 40 50 40试分别求出该组数据的众数、中位数与平均数．答案:1．A 众数即出现次数最多的数．由题意知，该班这次语文测验的众数是70分．故选A.2．B 将一组数据按从小到大的顺序依次排列,处在中间位置的一个(或最中间两个数据的平均数）即为该组数据的中位数,所以169是所求的中位数．3．C s＝s2＝2.4．解：将数据由小到大排列得:10 20 30 40 40 40 50 50 80 90在上面数据中，40出现了3次，是出现次数最多的,所以这组数据的众数为40；最中间的两个数均为40,所以中位数为40;平均数错误!＝错误!（10＋20＋30＋40＋40＋40＋50＋50＋80＋90）＝45.1．下列说法错误的是( ）A ．一组数据的众数、中位数和平均数不可能是同一个数B ．极差、方差和标准差都是刻画数据离散程度的统计量C ．一组数据的平均数既不可能大于，也不可能小于这组数据中的所有数据D ．众数、中位数和平均数从不同角度描述了一组数据的集中趋势 2．期中考试结束以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，若把M 当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N,则MN 等于( ）A 。

错误!B ．1 C.错误! D ．23．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人,得95分的有1人，得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为… ( )A ．85,85,85B ．87，85,86C ．87，85,85D ．87，85,904．5个数1,2，3,4，a 的平均数是3，则a ＝______，这5个数的标准差是________．5．在一次歌手大奖赛中，6位评委现场给每位歌手打分，然后去掉一个最高分和一个最低分，其余分数的平均数作为该歌手的成绩．已知6位评委给某位歌手的打分是:9．2 9。

北师大版高中数学必修3第一章统计-4数据的数字特征-典题题库(三)一、选择题(共30小题,每小题5.0分,共150分)1.以下两个茎叶图表示的是15个评委为竞争15亿元的产业转移扶持资金的甲、乙、丙、丁四个市所打出的分，按照规定，去掉一个最高分和一个最低分，平均分排在前三位的市将各获得5亿元，则不能获得这5亿元的是()A．甲市B．乙市C．丙市D．丁市【答案】A【解析】按照规定去掉分数以后，求出四组数据的平均分甲＝≈88.54；乙＝≈89.6；丙＝＝89；丁＝≈88.6.经过比较，甲市的平均分最低，∴甲市将不能获得这5亿元．2.设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝≈0.618，这种矩形给人以美感称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是()A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【答案】A【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613.故甲批次的总体平均数与标准值更接近．3.已知10个数据：1 203 1 201 1 194 1 200 1 204 1 201 1 199 1 204 1 195 1 199则它们的平均数是()A． 1 400B． 1 300C． 1 200D． 1 100【答案】C【解析】∵已知10个数据：1 203 1 201 1 194 1 2001 204 1 201 1 199 1 204 1 195 1 199∴这10个数据的平均数是＝1 200，即这组数据的平均数是1 200.4.如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有()A．a1＞a2B．a2＞a1C．a1＝a2D．a1，a2的大小不确定【答案】B【解析】由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，代入数据可以求得甲和乙的平均分a 1＝＋80＝84，a 2＝＋80＝85，∴a2＞a1.5.数据5,7,7,8,10,11的平均数是()A． 7B． 8C． 10D． 11【答案】B【解析】(5＋7＋7＋8＋10＋11)÷6＝8，∴数据5,7,7,8,10,11的平均数是8.6.从总体中抽取的样本数据共有m个a，n个b，p个c，则总体的平均数的估计值为() A．B．C．D．【答案】D【解析】由样本数据共有m个a，n个b，p个c，得出样本平均数为，则总体的平均数的估计值为.7.若m个数的平均数是x，n个数的平均数是y，则这m＋n个数的平均数是()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵m个数的平均数是x，n个数的平均数是y，∴m个数的和是mx，n个数的和是ny，∴这m＋n个数字的和是mx＋ny，∴这m＋n个数字的平均数是.8.一位同学用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是()A． 3B． 3.5C． 4D． 4.5【答案】A【解析】因为105－15＝90，所以数据比真实数据增加了90，则平均增加90÷30＝3.即由此求出的平均数与实际平均数的差是3.9.已知样本x1，x2，…xm的平均数为，样本y1，y2，…yn的平均数，若样本x1，x2，…xm，y 1，y2，…yn的平均数＝α＋(1－α)，其中0＜α≤，则m，n的大小关系为()A．m＜nB．m＞nC．m≤nD．m≥n【答案】C【解析】由题意知，x1＋x2＋…＋xm＝m，y1＋y2＋…＋yn＝n，故＝＝＋，故0＜≤，故m≤n.10.五位同学在某次考试的数学成绩如茎叶图，则这五位同学这次考试的数学平均分为()A． 88B． 89C． 90D． 91【答案】C【解析】根据茎叶图中的数据得，这5位同学考试的数学平均数为(84＋86＋88＋95＋97)＝90.11.数名射击运动员第一轮比赛成绩如下表所示：则他们本轮比赛的平均成绩是()A． 7.8环B． 7.9环C． 8.1环D． 8.2环【答案】C【解析】由题意可知：该运动员的平均成绩为＝8.1(环)．故选C.12.一组数据的观测值分别为4,3,5,6，出现的次数分别为2,2,4,2，则这组数据的样本平均数为() A． 1.64B． 12.5C． 4.5D． 4.6【答案】D【解析】＝＝4.6.13.某超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30 kg，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“＋”，不足标准重量的记作“－”，他记录的结果是＋0.5，－0.5,0，－0.5，－0.5，＋1，那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是()A． 0,1.5B． 29.5,1C． 30,1.5D． 30.5,0【答案】C【解析】平均数为30＋(0.5－0.5＋0－0.5－0.5＋1)÷6＝30，极差为(30＋1)－(30－0.5)＝1.5，故选C.14.为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33,25,28,26,25,31.如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约为()A． 900个B． 1 080个C． 1 260个D． 1 800个【答案】C【解析】根据平均数的计算方法得：(33＋25＋28＋26＋25＋31)×45＝1 260(个)．15.已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为()A．B．C．D．【答案】B【解析】前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，样本平均数为10个数据的和除以10. 16.如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是()A． 5B． 6C． 7D． 8【答案】D【解析】x1，x2，x3，x4，x5的平均数是7，即(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7，从而x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数为(x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＋x4＋1＋x5＋1)÷5＝8.17.已知一组正数x1，x2，x3，x4的平均数为2，则数据x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为()A． 2B． 3C． 4D． 6【答案】C【解析】∵＝2，∴＝4.18.在一次数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是2,3，－3，－5,12,12,8,2，－1,4，－10，－2,5,5，那么这个小组的平均分是()A． 97.2B． 87.29C． 92.32D． 82.86【答案】B【解析】根据平均数的公式可知这个小组的平均分为85＋(2＋3－3－5＋12＋12＋8＋2－1＋4－10－2＋5＋5)＝85＋≈87.29.19.一个样本的数据在60左右波动，各个数据都减去60后得到一组新数据，算得其平均数是6，则这个样本的平均数是()A． 6.6B． 6C． 66D． 60【答案】C【解析】样本中的数据都减去60后得到一组新数据，新数据的平均数是6，那么这个样本的平均数是6＋60＝66.20.已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为2，则数据组2x1＋1,2x2＋1,2x3＋1，…2xn＋1的平均数为()A． 2B． 3C． 5D． 6【答案】C【解析】∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为2，∴x1＋x2＋x3＋…＋xn＝2n，∴2x1＋1＋2x2＋1＋2x3＋1＋…＋2xn＋1＝2(x1＋x2＋x3＋…＋xn)＋n＝5n.∴2x1＋1,2x2＋1,2x3＋1，…，2xn＋1的平均数为5.21.某住宅小区六月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示．那么这5天平均每天的用水量是()A． 30吨B． 31吨C． 32吨D． 33吨【答案】C【解析】由折线图知该住宅小区六月份1日至5日每天用水量分别为30吨，32吨，36吨，28吨，34吨，∴这5天平均每天的用水量为(30＋32＋36＋28＋34)＝32(吨)．22.某一个班全体学生参加物理测试，成绩的茎叶图如图，则该班的平均分估计是()A． 79B． 88C． 85D． 83【答案】C【解析】由茎叶图知，得分数据为79,84,82,85,81,88,93，∴该班的平均分为＝85.23.已知8个数的平均值为12，从中取走一个数后，其平均值却增加1，则取走的那个数为() A． 4B． 5C． 7D． 11【答案】B【解析】设取走的那个数为x，由题设知，(8×12－x)＝12＋1，解得x＝5.24.在一次射击训练中，某一小组10名成员的成绩如表：已知该小组的平均成绩为8.3环，则xy的值为()A． 0B． 4C． 5D． 6【答案】B【解析】由题意知，成绩为8环的人数为x，成绩为10环的人数为y，则有7×2＋8x＋9×3＋10y＝8.3×10，且2＋x＋3＋y＝10.解得x＝4，y＝1.则xy的值为4.25.将一组以1开头的连续的正整数写在黑板上，擦去其中一个数，余下的数的算术平均数为，则擦去的那个数是()A． 5B． 6C． 7D． 8【答案】B【解析】设共有n个数，去掉的数为x.由已知，n个连续的自然数的和为Sn＝，若x＝n，剩下的数的平均数是＝；若x＝1，剩下的数的平均数是＝＋1.由≤≤＋1，解得30≤n≤32，∵n为正整数，∴n＝31或32.当n＝32时，31×＝－x，解得x＝21(不符合题意)；当n＝31时，30×＝－x，解得x＝6.∴去掉的数是6.26.某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的平均分M，如果把M当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N为()A． 40∶41B． 41∶40C． 2D． 1【答案】D【解析】设全班40人数学成绩的和为S，则M＝，即S＝40M，因为把M当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，所以N＝＝＝M，所以M∶N＝1.27.在一次射击训练中，一小组的成绩如下表：已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是()A． 5B． 6C． 4D． 7【答案】A【解析】设成绩为8环的人数是x，由平均数的概念，得7×2＋8x＋9×3＝8.1(2＋x＋3)⇒x＝5.28.一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图，记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为()A． 5B． 6C． 7D． 8【答案】D【解析】＝177，解得x＝8.29.在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如表，则第6位同学成绩x6是()A． 80B． 90C． 86D． 70【答案】A【解析】根据平均数的定义得，(74＋76＋72＋70＋78＋x6)÷6＝75，解得x6＝80.30.已知1,2,3,4，x1，x2，x3的平均数是8，那么x1＋x2＋x3的值是()A． 14B． 22C． 32D． 46【答案】D【解析】∵1,2,3,4，x1，x2，x3的平均数是8，∴1＋2＋3＋4＋x1＋x2＋x3＝8×7，∴x1＋x2＋x3＝46.二、填空题(共56小题,每小题5.0分,共280分)31.数据100,80,75,72,70,50的中位数是________．【答案】73.5【解析】将这组数据按从小到大排列为50,70,72,75,80,100.由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数即为中位数，则中位数为＝73.5.32.有一组数据：10,50,30,40,70，它们的中位数是________．【答案】40【解析】数据按由大到小排列为：10,30,40,50,70，共有5个数，最中间的数为40，所以这组数据的中位数为40.33.有一组数据：2.78,2.90,3.06,2.74,3.52,2.83，2.89中，它们的中位数是________．【答案】2.89【解析】数据按从小到大的顺序排列：2.74,2.78,2.83，2.89，2.90,3.06,3.52，此组数据有奇数个，所以中位数是2.89.34.数据3,5,8,9,7,6,2的中位数是________．【答案】6【解析】将这组数据从小到大重新排列后为2,3,5,6,7,8,9，最中间的那个数是6，所以中位数是6.35.一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x＝________.【答案】21【解析】数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值＝22，∴x＝21.36.在综合实践课上，五名同学做的作品的数量(单位：件)分别是5,7,3,6,4，则这组数据的中位数是________件．【答案】5【解析】按从小到大的顺序排列是3,4,5,6,7.中间的是5，故中位数是5.37.在一次信息技术考试中，某兴趣小组8名同学的成绩(单位：分)分别是7,10,9,8,7,9,9,8，则这组数据的中位数是________．【答案】8.5【解析】题目中数据共有8个，按从小到大排列后为7,7,8,8,9,9,9,10.故中位数是按从小到大排列后第4，第5两个数的平均数，故这组数据的中位数是×(8＋9)＝8.5.38.某城市在“五一”期间举行了“让城市更美好”大型书画、摄影展览活动，据统计，星期一至星期日参观的人数分别是2 030,3 150,1 320,1 460,1 090,3 150，4 120，则这组数据的中位数和众数分别是________，________.【答案】2 030 3 150【解析】将这组数据按从小到大的顺序排列为1 090，1 320，1 460，2 030,3 150,3 150,4 120，处于中间位置的那个数是2 030，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是2 030，在这一组数据中3 150是出现次数最多的，故众数是3 150.39.数据9.30,9.05,9.10,9.40,9.20,9.10的众数是________；中位数是________．【答案】9.109.15【解析】出现次数最多的是9.10，故众数是9.10.将这些数按大小顺序排列，中间两个数为9.10,9.20，其平均数为＝9.15，则中位数为9.15，故答案为9.10,9.15.40.某公司有25名雇员，他们的工资情况如表所示：他们年薪的中位数是________．(结果精确到0.1)【答案】40.0【解析】由已知可得25个人的工资如下所示：135．0,95.0,80.0,80.0,70.0,60.0,60.0,60.0,52.0,52.0,52.0，52.0，40.0,31.0,31.0,31.0,31.0,31.0,31.0,31.0,31.0,31.0,31.0,31.0,31.0，故其年薪的中位数是40.0.41.某市东城区2016年中考模拟考的总分(均为整数)成绩汇总如下表：所有总分成绩的中位数位于________之间．(填写序号)①521到530；②531到540；③541到550；④551到560.【答案】②【解析】∵所有学生有3 300人，中位数是第1 650与第1651个数据的平均数，∴所有总分成绩的中位数位于531到540之间．42.某班40名同学的年龄情况如下表，则这40名同学的年龄的中位数是________.【答案】15.5【解析】∵一共有40名队员，∴其中位数应是第20和第21名同学的年龄的平均数，∴中位数为(15＋16)÷2＝15.5，故答案为15.5.43.为了了解学生使用零花钱的情况，小军随机地抽查了他们班的30名学生，结果如下表：这些同学每天使用零花钱的众数是________，中位数是________．【答案】46【解析】∵4出现了10次，它的次数最多，∴众数为4.∵小军随机调查了30名同学，∴根据表格数据可知中位数为(6＋6)÷2＝6.44.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和为________．技术水平较好的是________．【答案】63乙【解析】根据茎叶图所给的数据可以看出甲的中位数是27，乙的中位数是36，∴两个人的中位数之和是27＋36＝63，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，整体水平也比较高，∴技术水平较好的是乙．45.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.【答案】4546【解析】甲组数据按从小到大的顺序排列为28,31,39,42,45,55,57,58,66，中位数为45.乙组数据按从小到大的顺序排列为29,34,35,42,46,48,53,55,67，中位数为46.46.在由某电视台举办的歌唱比赛中，由12位评委现场给每位歌手打分，然后将去掉其中的一个最高分和一个最低分之后的其余分数的平均数作为该歌手的最后得分．已知12位评委给某位歌手打出的分数是9.6,9.2,9.4,9.3,9.7,9.6,9.2,9.3,9.2,9.5,9.4,9.5，那么这位歌手的最后得分是________．【答案】9.4【解析】去掉其中的一个最高分9.7和一个最低分9.2之后，其余分数的9.6,9.4,9.3,9.6,9.2,9.3,9.2,9.5,9.4,9.5，最后得分是(9.6＋9.4＋9.3＋9.6＋9.2＋9.3＋9.2＋9.5＋9.4＋9.5)÷10＝9.4.47.某篮球运动员在10场比赛中的得分用茎叶图表示如图，则该运动员的平均得分为________．【答案】21.6【解析】由茎叶图知，得分的数据为9,15,17,20,21,21,22,25,32,34，∴该运动员的平均得分为＝21.6.48.高一年级某班10名学生的单元测试成绩如下：70,84,68,72,87,92,76,88,73,90，则他们的平均成绩是________分．【答案】80【解析】由平均数公式可得，平均成绩为(70＋84＋68＋72＋87＋92＋76＋88＋73＋90)÷10＝80(分)．49.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．【答案】85【解析】甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，该校数学建模兴趣班的平均成绩是＝85(分)．50.已知某班级有女生20人，男生30人．一次考试女生的平均分为75分，全班的平均分为72分，则男生的平均分为________分．【答案】70【解析】设男生的平均分为X，则30X＋75×20＝(20＋30)×72，解得X＝70，即男生的平均分为70分．51.某水果店一周内甲、乙两种水果每天销售情况茎叶图(单位：斤)，则本周内甲、乙两种水果每天销售的平均数之和为________．【答案】99【解析】由茎叶图知甲水果店的平均数是＝49，乙水果店的平均数是＝50，∴本周内甲、乙两种水果每天销售的平均数之和为49＋50＝99.52.教育局对某校初二男生的体育项目“俯卧撑”进行抽样调查，被抽到的50名学生的成绩如下：由此可以估计，全校初二男生俯卧撑的平均成绩约为________次(精确到0.1)．【答案】7.2【解析】由题意知本题是求一个加权平均数，全校初二男生俯卧撑的平均成绩约为＝7.2.53.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的平均数为________.【答案】3【解析】由表格可以看出这100个人的成绩的平均数是＝＝3.54.某校在“五四”青年节到来之前，组织了一次关于“五四运动”的知识竞赛．在参加的同学中随机抽取100位同学的回答情况进行统计，答对的题数如下：答对5题的有10人，答对6题的有30人，答对7题的有30人，答对8题的有15人，答对9题的有10人，答对10题的有5人，则可以估计在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为________．【答案】7【解析】由题意知本题要求这次竞赛的答对题目数目的平均数，∵答对5题的有10人，答对6题的有30人，答对7题的有30人，答对8题的有15人，答对9题的有10人，答对10题的有5人，∴答对题目的平均数是＝7.55.有50个数它们的平均数为45.若将其中的两个数33和57舍去，则余下的平均数是________．【答案】45【解析】有50个数它们的平均数为45，那么这50个数的和为50×45.若将其中的两个数33和57舍去，则余下的平均数是＝45.56.如图是某跳水比赛中，八位评委为某运动员打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，这位运动员的平均得分为________．【答案】9.34【解析】由茎叶图知，去掉一个最高分9.45和一个最低分9.27后得到分数是9．42,9.31,9.31,9.34,9.37,9.29，则这组数据的平均数是＝9.34.57.对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如表：则这种卉的平均花期约为________天．【答案】16【解析】由表格知，花期平均为12天的有20个，花期平均为15天的有40个，花期平均为18天的有30个，花期平均为21天的有10个，∴这种花卉的平均花期约为≈16.58.根据某运动员在某赛季各场比赛的得分制作得到了如图的茎叶图，则该运动员的平均得分为________．【答案】33【解析】由茎叶图知，得分的数据为12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50，∴该运动员的平均得分为＝33.59.某校在高三年级学生中随机抽出10个学生用视力表进行视力检查，得到的视力数据茎叶图如图所示(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，则这组视力检查数据的平均数为________．【答案】4【解析】由茎叶图知，这组数据的平均数是＝4.60.如图是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是________．【答案】2【解析】由茎叶图知女生的平均数是＝77，男生的平均数是＝79，∴该组男生的平均得分与女生的平均得分之差为79－77＝2.61.某校在“爱护地球，绿化祖国”的创建活动中，组织学生开展植树造林活动．为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如下表：则这100名同学平均每人植树________棵；若该校共有1 000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数是________棵．【答案】5.8 5 800【解析】平均数＝(30×4＋5×22＋6×25＋8×15＋10×8)÷100＝580÷100＝5.8(棵)，植树总数＝5.8×1 000＝5 800(棵)．62.为建设绿色株洲，某校初三0801、0802、0803、0804四个班同学参加了植树造林，每班植树株数如下表，则这四个班平均每班植树________株.【答案】25【解析】这四个班平均每班植树的株数为(22＋25＋35＋18)÷4＝25.63.某校艺术节演出中，5位评委给某个节目打分如下：9分，9.3分，8.9分，8.7分，9.1分，则该节目的平均得分是________分．【答案】9【解析】＝＝9，∴该节目的平均得分是9分．64.如果x1与x2的平均数是4，那么x1＋1与x2＋5的平均数是________．【答案】7【解析】∵x1与x2的平均数是4，∴x1＋x2＝4×2＝8，∴x 1＋1与x2＋5的平均数＝＝＝7.65.从高二学生中任意抽取100名男生，测量他们的身高如下：则这一届高二男生估计其身高平均约为________m.【答案】1.73【解析】66.电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该电池的平均寿命估计为________小时．【答案】28【解析】平均寿命估计是依据抽取的电池的平均寿命，抽取的电池平均寿命为(30＋35＋25＋25＋30＋34＋26＋25＋29＋21)＝28.67.某商店的大米价格是3.00元/千克，面粉的价格是3.60元/千克，大米与面粉的销量分别是1 000千克，500千克，则该商店出售的粮食的平均价格是________元/千克．【答案】3.20【解析】平均价格为(3.6×500＋3×1 000)＝1.20＋2＝3.20.68.数据a，b，b，b，a，c，a，a，a的平均数为________．【答案】【解析】由加权平均数的公式得.69.为了解某商店的日营业额，抽查了商店某月5天的日营业额，结果如下(单位：元)14 845,25 304,18 954,11 672,16 330.则这5天的日平均营业额为________元．【答案】17 421【解析】a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝14 845＋25 304＋18 954＋11 672＋16 330＝87 105，∴日平均营业额为＝17 421(元)．70.在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间(单位：分钟)，结果如下：80707070606080606070在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是________分钟．【答案】68【解析】方法一观察数据知，80出现2次，60与70各出现4次，又总次数为2＋4＋4＝10，∴该学生平均每天完成家庭作业所需时间为＝68(分钟)．方法二观察数据知所有数据均在70附近波动，可将各数据同时减70得一组新数据：10,0,0,0，－10，－10,10，－10，－10,0，这组新数据的平均数为＝－2，∴该学生平均每天完成家庭作业所需时间为70＋(－2)＝68(分钟)．71.某几架飞机的最大飞行速度分别是(单位：米/秒)：422423410431418417425428413441则这些飞机的平均最大飞行速度为________米/秒．(精确到1米/秒)【答案】423【解析】观察这10个数据，它们都在420左右波动，将它们同时减去420得一组新数据：23－1011－2－358－721求得新数据的平均数约为3，所以这些飞机的平均最大飞行速度约为420＋3＝423(米/秒)．72.在一次京剧表演比赛中，11位评委现场给每一个演员评分，并将11位评委的评分的平均数作为该演员的实际得分．对于某个演员的表演，4位评委给他评10分，7位评委给他评9分，那么这个演员的实际得分是________．(精确到小数点后两位)【答案】9.36【解析】实际得分为≈9.36.73.在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本的平均数为3，则估计总体的平均数为________．【答案】0.03【解析】一组数据乘以100后得到的新的平均数3应是原平均数的100倍，∴原来样本平均数为0.03，因此估计总体平均数为0.03.74.已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为＝5，则数据3x1＋7,3x2＋7，…，3xn＋7的平均数为________．【答案】22【解析】由题意知，＝5，即x1＋x2＋…＋xn＝5n，∴(3x1＋7)＋(3x2＋7)＋…＋(3xn＋7)＝3(x1＋x2＋…＋xn)＋7n＝22n，∴所求数据的平均数是22.75.数据x1，x2，x3，…，x8平均数为6，则数据2x1－6,2x2－6,2x3－6，…，2x8－6的平均数为________．【答案】6【解析】∵x1，x2，x3，…，x8平均数为6，∴(x 1＋x2＋x3＋…＋x8)＝6，∴2x1－6,2x2－6,2x3－6，…，2x8－6的平均数为[(2x1－6)＋(2x2－6)＋(2x3－6)＋…＋(2x8－6)]＝[2(x 1＋x2＋x3＋…＋x8)－6×8]＝2×(x 1＋x2＋x3＋x4＋x5)－6＝2×6－6＝6.76.若k1，k2，…，k8的平均数为4，则2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k8－3)的平均数为________．【答案】2【解析】∵k1，k2，…，k8的平均数为4，∴2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k8－3)的平均数是2×(4－3)＝2.77.已知x1，x2，x3的平均数是，那么3x1＋5,3x2＋5,3x3＋5的平均数是________．【答案】3＋5【解析】∵x1，x2，x3的平均数是，即(x 1＋x2＋x3)＝，∴3x1＋5,3x2＋5,3x3＋5的平均数为(3x1＋5＋3x2＋5＋3x3＋5)＝(3x 1＋3x2＋3x3)＋5＝3＋5.78.某班级在一次身高测量中，第一小组10名学生的身高与全班学生平均身高170 cm的差分别是－4，－7，－8，－2,1，－10,15,10,7，－2.则这个小组10名学生的平均身高是________cm.【答案】170【解析】∵10人的总身高是170×10－4－7－8－2＋1－10＋15＋10＋7－2＝1 700，∴10名学生的平均身高是＝170.79.小李拟将1,2,3，…，n这n个数输入电脑求平均数，当他认为输入完毕时，电脑显示器只输入n－1个数，平均数为35，假设这n－1个数输入无误，则漏输的一个数是________．【答案】56【解析】由题意可得1＋2＋3＋…＋n－1＜(n－1)＜2＋3＋4＋…＋n，由等差数列的求和公式可得＜(n－1)＜，∴＜＜，解得69<n＜71，∴n＝70或71.又∵(n－1)为正数，∴n＝71，∴漏输的数为－70×＝56.80.一个样本1,3,2,5，x，它的平均数是3，则x＝________.【答案】4【解析】因为样本平均数是3，所以x＝3×5－1－3－2－5，即x＝4.81.茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示．若甲组的平均数比乙组多2棵，则x＝________.【答案】5【解析】由茎叶图，甲组四名同学的植树棵数为9,9,11,11，甲组的平均数为10，乙组四名同学的植树棵数为x,8,9,10，乙组的平均数为(x＋8＋9＋10)＝(x＋27)，由已知，10－(x＋27)＝2，解得x＝5.82.五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a＝_________________________________.【答案】5【解析】由题意知，＝3，∴10＋a＝15，∴a＝5.83.已知2,4,2x,4y四个数的平均数是5，而5,7,4x,6y四个数的平均数是9，则xy的值是________．【答案】6【解析】因为2,4,2x,4y四个数的平均数是5，则2＋4＋2x＋4y＝4×5，又由5,7,4x,6y四个数的平均数是9，则5＋7＋4x＋6y＝4×9，x与y满足的关系式为解得所以xy＝6.84.数据1,2，x，－1，－2的平均数是1，则这组数据的中位数是________．【答案】1【解析】由题意可知，(1＋2＋x－1－2)÷5＝1，解得x＝5，这组数据从小到大排列－2，－1,1,2,5，∴中位数是1.85.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区5月份至7月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数量为________万只.【答案】90【解析】5月份注射疫苗的鸡的数量是20×1＝20(万只)，6月份注射疫苗的鸡的数量是50×2＝100(万只)，7月份注射疫苗的鸡的数量是100×1.5＝150(万只)，这三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数量为＝90(万只)．86.某媒体在调查某中学学生日睡眠情况活动中，得到一个班的数据如下：则该班学生日睡眠时间平均为________小时．【答案】7.52【解析】三、解答题(共12小题,每小题12.0分,共144分)87.某市对上、下班交通情况做抽样调查，上、下班时间各抽取了12辆机动车行驶时速如下(单位：km/h)：上班时速：30,33,18,27,32,40,26,28,21,28,35,20.下班时速：27,19,32,29,36,29,30,22,25,16,17,30.用茎叶图表示上面的数据，并求出样本数据的中位数．【答案】解以十位数为茎，个位数为叶，作出茎叶图由图可见，上班时间行驶时速的中位数是＝28；下班时间行驶时速的中位数是＝28.【解析】88.某校八年级(1)班50名学生参加2016年贵阳市数学质量检测考试，全班学生的成绩统计如下表：请根据表中提供的信息解答下列问题：(1)该班学生考试成绩的众数是________；(2)该班学生考试成绩的中位数________；(3)该班张华同学在这次考试中的成绩是83分，能不能说张华同学的成绩处于全班中游偏上水平？试说明理由．【答案】解(1)88出现的次数最多，所以众数是88.(2)排序后第25,26个数据的平均数是86，所以中位数是86.(3)用样本来估计总体不能说张华的成绩处于中游偏上的水平，因为全班成绩的中位数是86,83分低于全班成绩的中位数，张华同学的成绩处于全班中游偏下水平．【解析】89.某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况：同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下人平均每人投进2.5个球．那么投进3个球和4个球的各有多少人？【答案】解设投进3个球和4个球的各有x，y人，则即解得即投进3个球和4个球的分别有9人和3人．【解析】90.某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？【答案】解(1)样本均值为＝22.(2)抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人．【解析】91.某课外活动小组对该市空气含尘调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03,0.03,0.04,0.05,0.01,0.03(单位G/M3)．。

【成才之路】2021-2021学年高中数学 第1章 4数据的数字特征课时作业 北师大版必修3一、选择题1．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，那么x 为( )[答案] A [解析] 由x ＋232＝22得x ＝21.2．以下说法正确的选项是( )A ．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B ．平均数反映数据的集中趋势，HY 差那么反映数据离平均值的波动大小C ．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击程度高 [答案] B[解析] 平均数、中位数、众数都是反映一组数据的“集中趋势〞的统计量，方差、HY 差、极差都是反映数据的离散程度的统计量，应选B.3．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为 3.2，全年比赛进球个数的HY 差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的HY 差为0.3，以下说法正确的有( )①甲队的技术比乙队好； ②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球； ④甲队的表现时好时坏[答案] D[解析] s 甲>s 乙，说明乙队发挥比甲队稳定，x 甲>x 乙，说明甲队平均进球多于乙队，但乙队平均进球数为1.8，HY 差仅有0.3，说明乙队确实很少不进球．4．在一次歌声大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )[答案] D[解析] 去掉一个最高分和一个最低分后剩余分数为9.4，9.4，9.6,9.4,9.7. 其平均数为x ＝,5)＝9.5. 方差s 2＝1522222)＝15×0.08＝0.016. 5．10名工人消费同一零件，消费的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，那么有( )A ．a >b >c B.a >c >b C ．c >a >b D.c >b >a[答案] D [解析] 由题意得a ＝11＋13＋15×2＋16×2＋17＋18×310中位数b ＝16，众数为c ＝18. 故c >b >a .选D.6．在某次测量中得到的AB样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，那么A，B两样本的以下数字特征对应一样的是( )[答案] D[解析] 此题考察样本的数字特征．A的众数88，B那么为88＋2＝90.“各样本都加2”后，平均数显然不同．A的中位数86＋862＝86，B的中位数88＋882＝88，而由HY差公式s＝1n[x1－x－2＋x2－x－2＋…＋x n－x－2]知D正确．二、填空题7．假设样本x1＋2，x2＋2，…，x n＋2的平均值为10，那么样本2x1＋3,2x2＋3，…，2x n＋3的平均值为________．[答案] 19[解析] ∵x1＋2，x2＋2，…，x n＋2的平均值为10，∴x1，x2，…，x n的平均值为8，∴2x1＋3,2x2＋3，…，2x n＋3的平均值为2×8＋3＝19.8．某赛季，甲、乙两名篮球运发动都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如下图的茎叶图表示，假设甲运发动的中位数为a，乙运发动的众数为b，那么a－b＝________.甲乙798078 5579111 33462202310140[答案] 8[解析] 由茎叶图知a ＝19，b ＝11，∴a －b ＝8. 三、解答题9．高一·三班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班平均分(准确到0.01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？ (3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？[解析] (1)利用平均数计算公式x －＝148(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)∵男同学的中位数是75， ∴至少有14人得分不超过75分． 又∵女同学的中位数是80， ∴至少有11人得分不超过80分． ∴全班至少有25人得分低于80分．(3)男同学的平均分与中位数的差异较大，说明得分男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．10.某校为了理解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进展数学程度测试，成绩如下(单位：分)：甲班：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74； 乙班：90,76,86,81,84,87,86,82,85,83. (1)求两个样本的平均数x 甲和x 乙； (2)求两个样本的方差和HY 差；(3)比拟两组数据的平均数，并估计哪个班的平均分较高； (4)比拟两组数据的HY 差，并估计哪个班的数学成绩比拟整齐． [解析] (1)x 甲＝110(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2(分)，x乙＝110(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84(分)．(2)s2甲＝110[(82－83.2)2＋(84－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝26.36(分2)，s2乙＝110[(90－84)2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝13.2(分2)，所以s甲＝26.36≈5.13(分)，s乙＝13.2≈3.63(分)．(3)因为x甲<x乙，所以据此估计乙班的平均分较高．(4)因为s甲>s乙，所以据此估计乙班的数学成绩比甲班整齐.一、选择题1.(2021·理，6)假设样本数据x1，x2，…，x10的HY差为8，那么数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的HY差为( )[答案] C[解析] 设样本数据x1，x2，…，x10的HY差为DX，那么DX＝8，即方差DX＝64，而数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差D(2X－1)＝22DX＝22×64，所以其HY差为22×64＝16.应选C.2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(非常制)如下图，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，那么( )A ．m e ＝m o ＝x B.m e ＝m o <x C ．m e <m o <x D.m o <m e <x[答案] D[解析] 30个数中第15个数是5，第16个数是6，故中位数为5＋62＝5.5，众数为5，x －＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930，所以m o <m e <x －，应选D. 二、填空题3．某企业职工的月工资数统计如下： 月工资数(元) 10 0008 0005 5002 5001 6001 200900600500得此工资人数133820354532元．如何选取该企业的月工资代表数呢？企业法人主张用平均值，职工代表主张用众数，监视部门主张用中位数．请你站在其中一立场说明理由：________________________________________. [答案] 1200 900 企业法人主张用平均值是为了显示本企业员工的收入高 [解析] 用中位数与众数的定义易求得答案．4．样本7,8,9，x ，y 的平均数是8，HY 差是2，那么xy 的值是________．[答案] 60[解析] 由得7＋8＋9＋x ＋y ＝5×8， 那么x ＋y ＝16， 所以x 2＋y 2＋2xy ＝256.又15[(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(x －8)2＋(y －8)2]＝2， 整理，得x 2＋y 2＝16(x ＋y )－120＝136， 所以136＋2xy ＝256，那么xy ＝60. 三、解答题5．给出以下10个数据：12 9 9 10 8 10 12 9 14 7写出这组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差． [解析] 这组数据的平均数是12＋9＋9＋10＋8＋10＋12＋9＋14＋710＝10，将这组数据按从小到大的顺序排列： 7 8 9 9 9 10 10 12 12 14那么中位数是9＋102＝9.5，众数是9，极差是14－7＝7，方差是s 2＝110[(12－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(9－10)2＋(14－10)2＋(7－10)2]＝4.6．个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有人员8月份的工资表：(2)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般程度？为什么？(3)去掉李某的工资后，再计算平均工资．这个平均工资能代表打工人员这个月的收入程度吗？(4)根据以上计算，以统计的观点，你对(3)的结果有什么看法？[解析] (1)这7人8月份的平均工资是x 1＝17×(30 000＋4 500＋3 500＋4 000＋3 200＋3 200＋4 100)＝7 500(元)．(2)计算出的平均工资不能反映打工人员这个月收入的一般程度．理由：可以看出，打工人员的工资都低于该平均工资，因为李某的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大，同时他也不是打工人员．(3)去掉李某的工资后的平均工资x 2＝16×(4 500＋3 500＋4 000＋3 200＋3 200＋4 100)＝3 750(元)．这个平均工资能代表打工人员这个月的收入程度．(4)从此题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此选择样本时，样本中尽量不用特殊数据．7.某农场方案种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进展田间试验. 选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总一共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验完毕以后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm 2)如下表：你认为应该种植哪一品种？[解析] 品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： x －甲＝18(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，s 2甲＝18(32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62)＝57.25.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： x －乙＝18(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，s 2乙＝18(72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12)＝56.由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。