北师大版高中数学必修三§4 数据的数字特征

1.4 数据的数字特征【教材版本】北师大版【教材分析】本节课的教学内容是高中数学《数学3》第一章§4数据的数字特征，教学课时为1课时.数据的信息除用统计图、统计表整理和分析之外，还可以用一些统计量来描述，也就是将多个数值转化为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的特征，这个数值就被称为数据的数字特征．在初中阶段，学生已经学习了反映数据集中程度的数字特征：平均数、中位数、众数；也学习了反映数据离散程度的数字特征：极差、方差，并简单提及标准差．本节课首先在学生已有的认知基础上，让学生在实际问题中复习上述统计量的概念，明确其计算方法．其次着重通过实例让学生理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力．使学生理解不同数字特征所表达的意义，能够根据问题需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．从而体会数学语言应用的多样性、简洁性，体会数学语言在实际生活中的应用．上节课学生从“形”上反映数据信息，本节课从“量”上反映数据信息的数字特征，锻炼了学生有意识地从“形”与“量”两个方面挖掘数据信息的能力，而且为后续学习用样本的基本数字特征来刻画反映总体的数字特征、从样本数据推断总体信息打下坚实的基础．【学情分析】对于学生而言，平均数、中位数、众数以及极差、方差等概念早已植根于学生已有的认知结构．学生在初中八年级上下学期陆续学习了上述的概念，不仅可以用笔计算一些给定数据的上述统计量，而且学生对于借助计算机、计算器等工具计算平均数、方差等一些统计量有了一定的学习和了解．但是学生在数字特征的掌握上还存在着一些问题:一方面在这些数字特征的意义掌握上还存在着一些问题．在上述数字特征的把握上精力分配上容易流于计算，不能真正地理解和明确不同数字特征所反映的数据的信息．另一方面,对于标准差的学习有待进一步深化.此节课的学习将在教师问题情境的精心选择上，通过实际题目的的计算和问题回答通过激发学生自主探究，积极思考，交流合作，配合教师的适时总结，不断完善学生对于不同数字特征概念以及意义的认识和理解，进而培养和锻炼能在具体的数据面前选用合适的数字特征来刻画数据的信息能力．提高学生合理应用数学语言表达统计相关问题，揭示其内部关系的能力．【教学目标】1.知识与技能（1）明确平均数、中位数、众数，极差、方差的概念和计算方法．掌握标准差的概念和计算方法．学会合理应用相关符号语言表示数据信息和特征，体会数字特征就是一种数学语言．（2）能够理解不同数字特征所表达的意义，能够根据问题需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．能够准确合理地应用数学语言表示统计的数字特征．2.过程与方法教师通过选择具有代表性的例子，引导学生回顾和思考已学的数字特征的知识，在解决具体问题的基础上，引导学生通过合作交流探究给定的问题，自我总结各个数字特征的计算方法和所表达的数据的意义．搭配学生积极地思考，辅助教师的及时指导归纳，可以使学生主动地整理、完善和优化自身的关于数字特征的认知结构．体会对数学语言的合理应用，为后续的学习打下坚实的基础．3.情感、态度与价值观在教学过程中让学生经历从数据中提取信息，进行估计，做出推断的全过程．体会用数字特征来描述纷繁的数据的统计学意义．培养学生用数据说话的理性精神，选用合理数学语言准确地挖掘和解释数据信息的能力．教学过程中，通过学生主动思考和回答问题的方式，培养自我总结能力，合作交流的意识和能力，以及准确使用数学语言的能力．【重点难点】本节课的教学重点是数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用．本节课的教学难点是运用数据的数字特征表达数据的信息，能够通过问题的实际需要，选择合适的数字特征表达数据的信息进而解决问题．【教学过程】1.导入新课上两节课我们学习了用统计图表来整理和分析数据，今天我们将利用给定的数据计算一些“量”（统计量）来挖掘数据的信息，它们可以反映数据的集中程度或者离散状况.因为这些量能够反映数据的特点，我们把它们也叫做数据的数字特征．除过大家比较熟悉的那五种之外，我们今天还会学习到刻画数据离散程度较好的另一个数字特征—“标准差”．我们这节课的主要目标不光是要会计算这些“量”，更重要的是能够理解不同数字特征所表达的意义，能够根据问题需要选择适当的数字特征来表达数据的信息（出示课题）2.提出问题，温故求新2.1问题引入教师展现课件题目，以分析和评价考试成绩来激发学生的认知需要，然后在此基础上回忆复习数据的数字特征的概念、计算方法和意义．学生以小组讨论的形式思考交流．每次考完试后各科老师都要对班里学生的成绩进行分析，从中分析学生学习的情况，并与同级的其他班级作比较，进而为后续的教学提供指导．面对貌似杂乱的数据，我们运用所学的数字特征的知识能够让这些数据告诉我们什么有用的信息呢？回忆总结数据数字特征的计算方法和表达的意义，学生发言，教师总结.2.2 复习旧知平均数：一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数．数据12,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为121()n x nx x x =++⋅⋅⋅+ ．平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势．众数：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势．极差：一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况．方差：方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用s 2表示，通常用公式2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-来计算．反映了数据的离散程度．方差越大，数据的离散程度越大．方差越小数据的离散程度越小．标准差：标准差等于方差的正的平方根，即s =据围绕平均数的波动程度的大小．3. 深化认知例1 某公司员工的月工资情况如表所示：（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数.（2）假设个别人的工资从8 000元提升到20 000元，从5000元提升到10 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？（3）公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？解：（1）经计算可以得出：该公司员工月工资的平均数为1373元，中位数为800元，众数为700元.（2）经计算可以得出：该公司员工月工资的平均数为1740元，中位数为800元，众数为700元.（3）公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数；而税务官希望取中位数，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数，因为每月拿700元的员工最多.说明：问题（3）的回答不仅要能选对数字特征，还要引导学生反思为什么？知其然更要知其所以然．小组讨论后，由小组代表给出解释．最后由教师总结．对于学生来说，计算数值、以及数字的选取都不会有太大的障碍，主要问题在于学生的回答是否完整、准确，这是学生常犯的错误，故在这里老师要给出完整答案，作出示范．点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心，中位数不受少数几个极端数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响，在存在一些错误数据时，应该利用抗极端性很强的中位数来表示数据的中心值；众数通常用来表示分类变量的中心值．例2在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图（1）甲乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？（2）你能从图中分别比较甲乙两组数据平均数和方差的大小吗？说明：引导学生思考如何通过统计图表来获取数据数字特征；以及进一步引导学生反思统计图表和数据数字特征在整理和分析数据信息过程中的不同作用，并且能够根据具体问题有意识地运用这两种工具，即相应的数学语言去刻画和分析数据的信息．例3 甲、乙两台机床同时生产直径是40mm 的零件.为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示（1）你能选择适当的数分别表示这两组数据的离散程度吗？（2）分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差解：（1）参见课本27页.（2）经计算可以得出：==40mm x x 甲乙（），.=0161mm s 甲（），.=0077mm s 乙（）． 说明：1.充分调动学生的能动性，发挥想象力，体会比较不同的表示方法．以不同方式表示数据的离散程度，选择方法和计算的过程就是应用数学语言来表示相应特征，这是对数学语言的总结和升华．2.体会刻画数据离散程度的三个原则：（1）应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息；（2）仅用一个数值来刻画数据的离散程度；（3）对于不同的数据集，当离散程度大时，该数值亦大.3.标准差等于方差的正的平方根，即s 平均数的波动程度的大小.方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响．标准差更好的体现了数学语言在实际生活方面的联系，体现了数学语言的多个特征．4 巩固练习1、下面是一家快餐店的所有工作人员（共7人）一周的工资表：（1）计算所有人员一周的平均工资．（2）计算出的平均工资能反映所有工作人员这个周收入的一般水平吗？（3）去掉总经理的工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般工作人员的收入水平吗？解：（1）所有人员一周的平均工资：750元．（2）计算出的平均工资不能反映所有工作人员这个周收入的一般水平．（3）去掉总经理的工资后，剩余人员的平均工资是375元，这能代表一般工作人员的收入水平．2、为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：哪种小麦长得比较整齐？解：因为s 甲=1.90，s 乙=3,97，所以甲种小麦长得比较整齐．5.课堂小结这节课首先带着问题复习了数据的数字特征的计算方法、意义和作用，然后通过不同的数字特征的对比，深化了对于数据数字特征的认识和理解．此节课最主要的目的就是在具体问题情境中理解不同数字特征的作用，能就具体问题选择不同的数字特征提取数据信息．体会数学语言在统计方面的应用．⎧⎨⎩集中趋势：平均数、中位数、众数数据的数字特征离散程度：极差、方差、标准差6．作业： 课本：P31 习题1—4，1、2题.【板书设计】精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

1.4数据的数字特征(设计者阜阳三中侯斌斌)【教学背景分析】本节课是高中数学必修3，第一章第4节。

在初中，学生已经学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。

在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。

【教学目标】1、知识与技能能结合具体情境理解不同数字特征的意义和作用，并能根据问题的需要选择适当的数字特征表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。

2、过程与方法在分析和解决具体实际问题的过程中学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。

3、情感态度与价值观通过对现实生活和其他学中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学问题的方法，认识数学的重要性。

【教学重、难点】教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征表达数据的信息。

【教学过程】教学环节一：创设情境引入新课教学内容提出问题：甲、乙两种玉米苗各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm）问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？教师点出课题：数据的数字特征师生互动：引导学生讨论、质疑、并提出问题设计意图：通过实例引起学生对平均数的实际意义产生质疑从而引出课题，引导学生从多角度观察数据的数字特征。

教学环节二：巩固复习 提出问题1、 什么叫平均数？有什么意义？2、 什么叫中位数？有什么意义？3、 什么叫众数？有什么意义？4、 什么叫极差？有什么意义？5、什么叫方差？有什么意义？讨论结果： 1、一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数。

数据12,,,n x x x 的平均数为12nx x x x n+++= 。

平均数代表该组数据的平均水平。

2、一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数。

[核心必知]1．众数、中位数、平均数(1)众数的定义：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．(2)中位数的定义及求法：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．(3)平均数：①平均数的定义：如果有n 个数x 1、x 2、…、x n ，那么＝，叫作这n 个数的平均数．x x 1＋x 2＋ (x)n ②平均数的分类：总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数．样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数．2．标准差、方差(1)标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝.1n[ x 1－x 2＋ x 2－x 2＋…＋ xn －x 2](2)方差的求法：标准差的平方s 2叫作方差．s 2＝[(x 1－)2＋(x 2－)2＋…＋(x n －)2]．1n x x x 其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，是样本均值．x (3)方差的简化计算公式：s 2＝[(x ＋x ＋…＋x )－n 2]1n 2122n x＝(x ＋x ＋…＋x )－2.1n 2122n x 3．极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．4．数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．[问题思考]1．一组数据的众数一定存在吗？若存在，众数是唯一的吗？提示：不一定．若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数；不是，可以是一个，也可以是多个．2．如何确定一组数据的中位数？提示：(1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数．(2)当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值．讲一讲1.据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法．[尝试解答]　(1)平均数是＝1 500＋x 4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋591＝2 091(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)新的平均数是′＝1500＋x 28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．1．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．2．众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．3．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋势．练一练1．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：销售量(件)1 800510250210150120人数113532(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．解：(1)平均数为(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，115中位数为210件，众数为210件．(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额.讲一讲2.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：甲：99　100　98　100　100　103乙：99　100　102　99　100　100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．[尝试解答]　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 16乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，x 16s ＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2甲162＋(103－100)2]＝，73s ＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2乙162＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s >s ，所以乙机床加工零件的质量2甲2乙更稳定．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性就越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．练一练2．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲：27　38　30　37　35　31乙：33　29　38　34　28　36根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀．解：甲＝×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝＝33，x 161986s ＝×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]2甲16＝，946s 甲＝≈3.96，946乙＝×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝＝33，x 161986s ＝×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]2乙16＝，766s 乙＝≈3.56.766由上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为33 m/s ，甲的标准差为3.96 m/s ，乙的标准差为3.56 m/s ，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的成绩更稳定，故乙比甲更优秀．讲一讲3.在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100甲组251013146人数乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．[尝试解答]　(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)甲＝(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)x 12＋5＋10＋13＋14＋6＝×4 000＝80(分)，150乙＝(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝×4 x 14＋4＋16＋2＋12＋12150000＝80(分)．s ＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2甲12＋5＋10＋13＋14＋62＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s ＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2乙14＋4＋16＋2＋12＋122＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵s <s ，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．2甲2乙(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本讲的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．练一练3．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：(1)请填写下表：平均数中位数命中9环以上的次数(含9环)甲7乙(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？解：(1)由图可知，甲打靶的成绩为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同．①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．【解题高手】【多解题】一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：178, 179, 181, 182, 176, 183, 176, 180, 183, 175, 181, 185, 180, 184，问这个球队的队员平均身高是多少？(精确到1 cm)[解]　法一：利用平均数的公式计算．＝×(178＋179＋181＋…＋180＋184)＝×2 523≈180.x － 114114法二：建立新数据，再利用平均数简化公式计算．取a ＝180，将上面各数据同时减去180，得到一组数据：－2，－1,1,2，－4,3，－4,0,3，－5,1,5,0,4.′＝×(－2－1＋1＋2－4＋3－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4)＝×3＝≈0.2，x － 114114314∴＝′＋a ＝0.2＋180≈180.x － x－ 法三：利用加权平均数公式计算．＝×(185×1＋184×1＋183×2＋182×1＋181×2＋180×2＋179×1＋178×1＋176x － 114×2＋175×1)＝×2 523≈180.114法四：建立新数据（方法同法二），再利用加权平均数公式计算．′＝×[5×1＋4×1＋3×2＋2×1＋1×2＋0×2＋(－1)×1＋(－2)×1＋(－4)x － 114×2＋(－5)×1]＝×3≈0.2.114∴＝′＋a ＝0.2＋180≈180.x － x－1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数大小关系是( )A ．平均数＞中位数＞众数B ．平均数＜中位数＜众数C ．中位数＜众数＜平均数D ．众数＝中位数＝平均数解析：选D 可得出这组数据的平均数、中位数和众数均为50.2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )A. B. C. D ．265652解析：选D ∵样本的平均数为1，即×(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a ＝－1，∴样本方差15s 2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.153.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )89 793 1 64 0 2A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92解析：选A 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数＝＝91.5，中位数为＝91.5.x 87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96891＋9224．(湖南高考)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s 2＝[(x 1－)2＋(x 2－)2＋…＋(x n －)2]，其中为x 1，x 2，…，x n 的平均1n x x x x 数)解析：该运动员五场比赛中的得分为8,9,10,13,15，平均得分＝＝11，x 8＋9＋10＋13＋155方差s 2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.15答案：6.85．甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：甲68998乙107779则两人射击成绩的稳定程度是________．解析：∵甲＝8，乙＝8，x － x－ s ＝1.2，s ＝1.6，2甲2乙∴s <s .2甲2乙∴甲稳定性强．答案：甲比乙稳定6．某农科所为寻找高产稳定的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品种在五块试验田试种．每块试验田的面积为0.7公顷，产量情况如下表：各试验田产量(kg)品种12345121.520.422.021.219.9221.323.618.921.419.8317.823.321.419.120.8试评定哪一品种既高产又稳定．解：1＝21.0 kg ，2＝21.0 kg ，3＝20.48 kg ；x x x s ＝0.572，s ＝2.572，s ＝3.5976，21223∴1＝2＞3，s ＜s ＜s .x x x 21223∴第一个品种既高产又稳定．一、选择题1．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数为：90　89　90　95　93　94　93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．92,2B ．92,2.8C ．93,2D ．93,2.8解析：选B去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为＝x ＝92，90＋90＋93＋94＋935方差为s 2＝×[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]15＝×(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.152．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是( )A ．7 B ．5 C ．6 D ．11解析：选B 这组数据的众数为5，则5出现的次数最多，∴x ＝5，那么这组数据按从小到大排列为－3,5,5,7,11，则中位数为5.3．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A 和xB ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )xA.A >B ，s A >s BB.A <B ，s A >s BC.A >B ，s A <s BD.A <B ，s A <s Bx x x x x x x x 解析：选B A 中的数据都不大于B 中的数据，所以A <B ，但A 中的数据比B 中的数据x x 波动幅度大，所以s A >s B .4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均数为，则( )xA ．m e ＝m 0＝B ．m e ＝m 0<C ．m e <m 0<D ．m 0<m e <x x x x 解析：选D易知中位数的值m e ＝＝5.5，众数m 0＝5，平均数5＋62＝×(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)≈6，所以m 0<m e <.x 130x 5．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．57.2　3.6B ．57.2　56.4C ．62.8　63.6D ．62.8　3.6解析：选D 设该组数据为x 1，x 2，…，x n ，则(x 1＋x 2＋…＋x n )＝2.8，1n [(x 1－2.8)2＋(x 2－2.8)2＋…＋(x n －2.8)2]＝3.6，1n 所以，所得新数据的平均数为[(x 1＋60)＋(x 2＋60)＋…＋(x n ＋60)]1n ＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋60＝2.8＋60＝62.8.1n 所得新数据的方差为[(x 1＋60－62.8)2＋(x 2＋60－62.8)2＋…＋(x n ＋60－62.8)2]1n ＝[(x 1－2.8)2＋(x 2－2.8)2＋…＋(x n －2.8)2]1n ＝3.6.二、填空题6．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x ＝________.解析：由中位数的定义知＝16，∴x ＝15.x ＋172答案：157．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表所示：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2＝________.解析：计算可得两组数据的平均数均为7，甲班的方差s ＝＝；2甲 6－7 2＋02＋02＋ 8－7 2＋02525乙班的方差s ＝＝.2乙 6－7 2＋02＋ 6－7 2＋02＋ 9－7 2565则两组数据的方差中较小的一个为s ＝.2甲25答案：258．(湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7, 8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．解析：(1)由公式知，平均数为(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7；(2)由公式知，110s 2＝(0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4⇒s ＝2.110答案：（1）7　（2）2三、解答题9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：每户丢弃旧塑料袋个数2345户数6161513(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数；(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．解：(1)平均数＝×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝＝3.7.x 15018550众数是3，中位数是4.(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s 2＝×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]150＝×48.5＝0.97，150所以标准差s ≈0.985.10．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：班级平均分众数中位数标准差甲班79708719.8乙班7970795.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析：甲了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．解：(1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游．但也不能单以班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．。

§4 数据的数字特征整体设计教学分析在义务教育阶段,学生已经通过实例,学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等,并能解决简单的实际问题.(由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大,若是承接现行《大纲》的话,建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容.)在这个基础上,高中阶段还将进一步学习标准差,并在学习中不断地体会它们各自的特点,在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征.三维目标1.能结合具体情境理解不同数字特征的意义,并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息,培养学生解决问题的能力.2.通过实例理解数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差,提高学生的运算能力. 重点难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用.教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.中国女排与俄罗斯女排队员的身高、年龄如下表：中国女排俄罗斯女排号码身高/米年龄/岁号码身高/米年龄/岁2 1.83 25 2 1.90 263 1.83 24 4 1.84 334 1.86 245 1.94 276 1.85 247 1.88 257 1.82 25 8 1.92 298 1.96 23 9 1.90 299 1.82 29 10 1.80 2410 1.82 29 11 2.04 2412 1.78 24 12 1.80 1915 1.81 26 13 1.83 2816 1.81 24 14 1.85 2618 1.87 22 16 1.90 32怎样判断中国女排和俄罗斯女排的队员谁的身材更为高大？我们分别求出两队球员的平均身高,谁的平均身高数值大,谁的身材就更高大,教师点出课题：数据的数字特征.思路2.小明开设了一个生产玩具的小工厂,管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成.工作人员由五个领工和十个工人组成.工厂经营得很顺利,需要增加一个新工人,小亮需要一份工作,应征而来与小明交谈.小明说：“我们这里报酬不错,平均薪金是每周300元.你在学徒期每周75元,不过很快就可以加工资了.”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我,我已经找其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周100元,平均工资怎么可能是一周300元呢？”小明说：“小亮啊,不要激动,平均工资是300元,你看,这是一张工资表.”工资表如下：人员 小明 小明弟 亲戚 领工 工人 周工资 2 400 1 000 250 200 100 人数 1 1 6 5 10 合计 2 400 1 000 1 500 1 000 1 000 这到底是怎么了？教师点出课题：数据的数字特征.推进新课新知探究提出问题1.什么叫平均数？有什么意义？2.什么叫中位数？有什么意义？3.什么叫众数？有什么意义？4.什么叫极差？有什么意义？5.什么叫标准差？有什么意义？6.什么叫方差？有什么意义？讨论结果：1.一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x =nx x x n +++ 21.平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质.2.一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于中间位置的数称为这组数据的中位数.一组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中趋势.3.一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有,反映了该组数据的集中趋势.4.一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差,表示该组数据之间的差异情况.5.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示,通常用公式 s=])()()[(122221x x x x x x nn -++-+- 来计算. 可以用计算器或计算机计算标准差.标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差大,数据的离散程度大；标准差小,数据的离散程度小.取值范围是［0,+∞).样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差的计算步骤：①计算样本数据的平均数,用x 来表示；②计算每个样本数据与样本数据平均数的差：x i -x (i=1,2,…,n)；③计算x i -x (i=1,2,…,n)的平方；④计算这n 个x i -x (i=1,2,…,n)的平方的平均数,即方差;⑤计算方差的算术平方根,即为样本标准差.6.方差等于标准差的平方,即s 2=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］,与标准差的作用相同,描述一组数据围绕平均数波动的程度的大小.取值范围是［0,+∞).应用示例思路1例1 某公司员工的月工资情况如表所示：月工资/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800 700 600 500 员工/人 1 2 4 6 12 8 20 5 2(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数.(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况?税务官呢?工会领导呢? 解：(1)经过简单计算可以得出：该公司员工的月工资平均数为1 373元,中位数为800元,众数为700元.(2)公司经理为了显示本公司员工的收入高,采用平均数1 373元作为月工资的代表;而税务官希望取中位数800元,以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利;工会领导则主张用众数700元作为代表,因为每月拿700元的员工数最多.点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量,它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分,其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大,对于非对称的数据集,中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时,众数往往经常被使用.变式训练1.下表为某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 x 8 y 请参照这个表解答下列问题：(1)用含x,y 的代数式表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ；(2)若该班这次竞赛的平均分为2.5分,求x,y 的值.解：(1)f=405953++y x ； (2)依题意,有⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+.4,7,11,4153y x y x y x 解得 2.某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整,据统计,调价前后各景点的游客人数基本不变.有关数据如下表所示：景点 A B C D E原价(元) 10 10 15 20 25 现价(元) 5 5 15 25 30 平均日人数(千人)1 123 2(1)该风景区调整前后这5个景点门票的平均收费不变,平均日总收入持平,问风景区是怎样计算的？(2)游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前,实际上增加了约9.4%,问游客是怎样计算的？(3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？解：(1)风景区是这样计算的： 调整前的平均价格：52520151010++++=16(元),调整后的平均价格：530251555++++=16(元), 因为调整前后的平均价格不变,平均日人数不变,所以平均日总收入不变.(2)游客是这样计算的：原平均日总收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160(千元),现平均日总收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175(千元), 所以平均日总收入增加了160160175-≈9.4%. (3)游客的说法较能反映整体实际.例2 甲、乙两台机床同时生产直径是40 mm 的零件.为了检验产品质量,从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量,结果如下表所示.甲机床直径/mm40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2 39.8 乙机床直径/mm40.0 40.0 39.9 40.0 39.9 40.1 40.1 40.1 40.0 39.9 分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差.解：从数据很容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值x 甲=x 乙=40(mm).我们分别计算它们直径的标准差：s 甲=10/])408.39()408.39()4040[(222-++-+- =0.161(mm),s 乙=10/])409.39()4040()4040[(222-++-+- =0.077(mm).由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同,而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161 mm,比乙机床的标准差0.077 mm 大,说明乙机床生产的零件要更标准些,即乙机床的生产过程更稳定一些.点评：对数据数字特征内容的评价,应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用,而不是记忆和使用的熟练程度.变式训练设有容量为n 的样本x 1,x 2,…,x n ,其标准差为s x ,另有容量为n 的样本y 1,y 2,…,y n ,其标准差为s y ,且y k =3x k +5(k=1,2,…,n),则下列关系正确的是( )A.s y =3s x +5B.s y =3s xC.s y =3s xD.s y =3s x +5 答案：B思路2例1 某企业员工的月工资如下(单位：元)：800 800 800 800800 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 5002 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 5002 500 2 500(1)计算该公司员工的月工资的平均数、中位数和众数；(2)假如你去这家企业应聘职位,你会如何看待员工的收入情况？分析：(1)根据平均数、中位数和众数的定义可以分别求得；(2)主要根据月工资的平均数来看待员工的收入情况,当然也要考虑中位数和众数.解：(1)公司员工的月工资的平均数为502500320005150071200201000108005⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1 320元, 中位数为1 200元,众数为1 200元.(2)由于该公司员工的月工资的中位数和众数与平均数比较接近,所以主要考虑月工资的平均数1 320元作为月工资的代表,这样以该公司月平均工资1 320元与同类企业的工资待遇作比较即可.点评：大多情况下人们会把眼光仅停留在工资表中的最大与最小值处,把最高工资作为一个单位工资的评价,这是一种错误的评价方式.变式训练1.已知10个数据：1 203,1 201,1 194,1 200,1 204,1 201,1 199,1 204,1 195,1 199,它们的平均数是( )A.1 400B.1 300C.1 200D.1 100答案：C2.某公司有15名员工,他们所在的部门及相应每人所创的年利润(万元)如下表所示：部门 A B C D E F G 人数 1 1 2 4 2 2 3 每人所创的年利润 20 5 2.5 2.1 1.5 1.5 2 根据表中提供的信息填空：(1)该公司每人所创的年利润的平均数是___________万元.(2)该公司每人所创的年利润的中位数是___________万元.(3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创的年利润的一般水平？ 答案：(1)3.36 (2)2.1 (3)中位数.例2 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下：甲 60 80 70 90 70 乙 80 60 70 80 75(1)甲、乙的平均成绩谁最好？(2)谁的各门功课发展较平衡？分析：(1)利用公式计算平均数；(2)计算方差来分析.解：(1)51=甲x (60+80+70+90+70)=74,51=乙x (80+60+70+80+75)=73, ∴甲的平均成绩较好.(2)s 甲2=51 (142+62+42+162+42)=104,s 乙2=51(72+132+32+72+22)=56, ∵s 甲2＞s 乙2,∴乙的各门功课发展较平衡.点评：平均数和方差是样本的两个重要数字特征,方差越大,表明数据越分散,相反地,方差越小,数据越集中、稳定；平均数越大表明数据的平均水平越高,平均数越小表明数据的平均水平越低.变式训练已知一个样本中含有5个数据3,5,7,4,6,则样本方差为( )A.1B.2C.3D.4 分析：564753++++=x =5,则方差s 2=51［(5-3)2+(5-5)2+(5-7)2+(5-4)2+(5-6)2］=2. 答案：B知能训练1.下列说法正确的是( )A.甲、乙两个班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习甲班比乙班好D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习甲班比乙班好 答案：D2.在一次数学测验中,某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2,3,-3,-5,12,12, 8,2,-1,4,-10,-2,5,5,那么这个小组的平均分是—————分.( )A.97.2答案：B3.（2007海南高考,理11）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如下表：甲的成绩环数 7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成绩环数 7 8 9 10频数 6 4 4 6丙的成绩环数 7 8 9 10频数 4 6 6 4s 1、s 2、s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )A.s 3>s 1>s 2B.s 2>s 1>s 3C.s 1>s 2>s 3D.s 2>s 3>s 1 分析：方法一：计算得x 甲=x 乙=x 丙=8.5,s 12=2025,s 22=2028, s 32=2021,则s 2＞s 1＞s 3； 方法二：可以计算三名运动员成绩的平均数都等于8.5,观察对比三个表格,相比之下丙的环数集中在8.5周围,比甲和乙要稳定,乙的环数比甲更分散,则有s 1＞s 3,s 2＞s 3.答案：B4.某人射击5次,分别为8,7,6,5,9环,这个人射击命中的平均环数为____________. 答案：75.华山鞋厂为了了解中学生穿鞋的鞋号情况,对某中学初二(1)班的20名男生所穿鞋号的统计如下表：鞋号 23.5 24 24.5 25 25.5 26 人数 3 4 4 7 1 1 那么这20名男生鞋号数据的平均数是___________,中位数是___________,众数是___________,在平均数,中位数和众数中,鞋厂最感兴趣的是___________.答案：24.55 24.5 25 众数6.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是___________.答案：-3拓展提升甲、乙两种玉米苗中各抽10株,分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐?解：(1)101甲x (25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=101×300=30(cm), x 乙=101(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=101×310=31(cm). ∴x 甲＜x 乙，即乙种玉米的苗长得高.(2)s 甲2=104.2(cm 2),s 乙2=128.8(cm 2).∴s 甲2＜s 乙2,即甲种玉米的苗长得齐.课堂小结本节课学习了平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用.作业习题1－4 1、2.设计感想本节教学设计依据课程标准,在义务教育阶段的基础上,进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用,重在应用.。