19.2.1 矩 形(一)

《19.2.1 矩形（一）》教学设计一．内容和内容解析矩形是学生学习了平行四边形后要理解的第一个特殊的平行四边形，学生已具备了初步探究问题的水平，但对知识的主动迁移水平较弱，为了使学生更好地构建新的认知结构，促动学生的发展，在课堂教学中采用探究式教学法。

基于上述分析，确定本节课的教学重点是：矩形的性质。

二．目标和目标解析经历探究矩形性质的过程，•通过直观操作和简单推理发展学生推理论证水平，培养学生的主动探究习惯．②通过探究活动，激发学生的学习兴趣，渗透转化思想，学会类比的研究方法。

体会矩形的内在美和应用美．③掌握矩形的性质，学会使用矩形的性质解决问题，进一步发展学生的合情推理水平，使其逐步掌握说理的基本方法；④通过演示、观察，感受矩形与平行四边形之间的关系，掌握矩形性质相对于平行四边形的相关性与特殊性．三.教学问题诊断分析学生才开始系统学习四边形，所以对图形性质的得到及证明不熟悉，所以这节课的难点定为：矩形性质的探究四．教学方法利用多媒体教学平台，自制教具（活动平行四边形），采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的教学方式。

五．教学过程设计（一）创设情景，复习旧知（多媒体创设情景：图片及问题）：找出图中你所熟悉的图形。

设疑激情，导入新课（展示自制教具（活动平行四边形））现在来看一个平行四边形，当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生怎样的特殊情况。

这时的图形是什么图形呢？（用自制教具演示内角α由锐角变为钝角的全过程）1．思考： 教具演示内角α由锐角变为钝角的全过程，观察不管怎么移动，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示移动过程）2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)。

矩形是我们最常见的图形之一。

你能举出一些例子吗？例如：门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等以矩形的形象．【设计意图】借助教具演示能够对矩形性质的直观理解，这样就有助于归纳出矩形的定义，学生总结矩形的定义，举例生活中的矩形，有利于培养学生的语言表达水平和概括水平。

课题19.2.1 矩形（2）（矩形的判定）第（ 2 ）课时课型新授教学目标知识与技能理解矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达．过程与方法经历探索矩形的判定过程，培养实验探索能力．形成几何分析思路和方法．情感态度与价值观在探究过程中养成独立思考的习惯,在引导学生研究性学习中培养学生合作交流的学习意识重点理解矩形的判定定理难点矩形的判定及性质的综合应用．课前准备教具学具补充材料平行四边形框架学案问题与情境师生活动设计意图一.复习巩固，引入新知：二.矩形判定定理的证明：判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定2：对角线相等的平行四边形是矩形．矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.教师活动：拿出教具进行操作，将平行四边形渐变为矩形，然后在渐变的过程中明确判定一个四边形是矩形的第一种方法是通过定义来判定．判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．教师解释：也就是说：证明一个四边形是矩形可先证这个四边形是平行四边形，然后再证这个平行四边形有一个角是直角．学生活动：观察教具，回忆学过的矩形定义，深刻理解定义可作为矩形判定的方法之一，并归纳出通俗易记的构架：先证 →再证一个Rt△→矩形．教师活动：出示教具继续操作，探究，提问：当矩形一个角变成90°后，其余三个角同时都变成90°，两条对角线也成为相等的线段，那么这个变形中你们想到了什么呢？能从中得到怎样的启发？学生活动：观察、联想后，提出各自的见解：考虑到对角线，因为四边形的两条对角线在保持互相平分的前提条件下，无论怎么伸缩，它们的长度都是相等时，平行四边形将变为矩形．（如图）判定2：对角线相等的平行四边形是矩形．教师解释：也就是说，要证明一个四边形是矩形，复习旧知，温故新知。

利用教具，生动直观形象，并且利用上节课的矩形的定义来反过来判定是否是矩形。

教师提示学生，充分体现学生学习的主体地位。

119.1.1 平行四边形及其性质(一)1．填空： （1）在ABCD 中，∠A=︒50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（2）如果ABCD 中，∠A —∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （3）如果ABCD 的周长为28cm ，且AB ：BC=2∶5，那么AB= cm ，BC= cm ，CD= cm ，CD= cm ．2．如图4.3－9，在ABCD 中，AC 为对角线，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， E 、F 为垂足，求证：BE ＝DF ．3．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）． （A ）对角相等 （B ）对角互补 （C ）邻角互补 （D ）内角和是︒360 4．在ABCD 中，如果EF ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交与点O ，那么图中的平行四边形一共有（ ）．（A ）4个 （B ）5个 （C ）8个 （D ）9个5．如图，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证AB=CE ．6、如图，在平行四边形ABCD 中，AE=CF ，求证：AF=CE ．19.1.1 平行四边形的性质(二)1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长2．如图，ABCD 中，AE ⊥BD ，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ．4．判断对错 （1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 5．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是__ ______．6．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．7．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积．8、 已知：如图4－21，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ．求证：OE ＝OF ，AE=CF ，BE=DF ．※【引申】若例1中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），例1的结论是否成立，说明你的理由．19.1.2（一）平行四边形的判定1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若A D=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．2．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．3．灵活运用课本P89例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：①第4个图形中平行四边形的个数为___ __．（6个）②第8个图形中平行四边形的个数为___ __．（20个）4．（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）．（A）对角线互相垂直（B）对角线相等（C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分5．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，求证：BE=CF19.1.2（二）平行四边形的判定1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）．（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D（C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形，并说明理由．3．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．4．判断题：(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；()(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；()(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；()(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；()(5)对角线相等的四边形是平行四边形；()(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形．()5．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形．6．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB ＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．（共有9对）7、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．19.1.2（三）平行四边形的判定——三角形的中位线1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m，理由是．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．24．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm．5．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是cm．6．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．7、已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．19.2.1 矩形(一)1．（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．2．（选择）（1）下列说法错误的是（）．（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．4．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm5．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．6．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．7．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．8、已知：如图，矩形ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．9、已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE＝EF．分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC．∴∠1=∠2．∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．∴∠B=∠AFD．又AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AF=BE．∴EF=EC．此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝E319.2.1 矩形(二)1．（选择）下列说法正确的是（）．（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形2．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．3．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：；⑶将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：；4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．5、下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．( )6、已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．解：7、已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH 是矩形．分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．证明：19.2.2 菱形（一）1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．5．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为8cm，求菱形的高．6．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．419.2.2 菱形（二）1．填空：（1）对角线互相平分的四边形是；（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。

班级：组别：姓名：钢屯中学八年级导学案（2011-2012学年度第二学期）学科：数学编号：77个性天地课题19.2.1 矩形（1）课型自学课总课时77 主创人刘国利教研组长签字王廷臣领导签字个性天地学习目标：1.掌握矩形的性质定理及推论。

2.能熟练应用矩形的性质进行有关证明和计算。

学习重点：掌握矩形的性质定理。

学习难点：利用矩形的性质进行证明和计算学法指导：1、学生独立阅读课本P94—P95，探究课本基础知识，提升自己的阅读理解能力。

2、完成导学案设置的问题，由组长组织对学与群学，进行知识汇报，展示讨论。

3、教师巡视，及时指导、帮助学生解决疑难问题。

导学流程：一、旧知回顾回顾平行四边形有哪些性质？二、基础知识探究1.（1）请用四根木棒拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形形状唯一吗？（2）试着改变平行四边形的形状，你能拼出面积最大的平行四边形吗？这时这个平行四边形的内角是多少度？（3）观察图形特征，得出概念.叫做矩形.矩形的性质：1.矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质;2.矩形的四个角______；3.矩形的对角线______；4.矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________ ．2.问题一如图，矩形ABCD，对角线相交于O，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？ODCBA问题二将目光锁定在Rt△ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”已知：图形：画在下面求证：证明：三、综合应用探究已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB。

求证：△AOB是等边三角形。

(注意表达格式完整性与逻辑性) ODCBA拓展与延伸：本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？四、达标反馈1．（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．2．（选择）（1）下列说法错误的是（）．（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．反思与评价：。

【知识要点】1、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）。

2、矩形的特有性质：（1）矩形的四个角都是直角。

（2）矩形的对角线相等。

小结：●矩形的性质：（从边、角、对角线三个方面总结出矩形的性质）（1）对边平行且相等；（2）每个角都是直角；（3）对角线相等且互相平分。

●矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

3、矩形的判定方法（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）有三个角都是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等的平行四边形是矩形。

(也可以表述成“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)。

4、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．逆定理：如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边所对的角为直角。

已知：在△ABC中，点D为BC中点，且AD=BD=DC求证：△ABC为直角三角形。

证明：∵AD=BD，AD=CD∴∠1=∠B，∠2=∠C∵∠1+∠2+∠B+∠C=180°∴∠1+∠2=90°即∠BAC=90°∴△ABC为直角三角形【典型例题】●矩形的性质例1、如图，矩形ABCD中，∠AOD=120°，，则下列结论：①∠2=30°；②AB=3cm；③AC=6cm；④；⑤△AOB是等边三角形，其中正确的有________。

分析：∵在矩形ABCD中，OB=OC，∠BOC=∠AOD=120°∴∠1=∠2=30°∵在Rt△ABC中，∠2=30°，∴AB=3cm，AC=6cm∴∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB∴△AOB为等边三角形∴①②③④⑤都是正确的。

例2、如图，在矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，若DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．解：∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠2+∠3=90°∵EF⊥CE∴∠1+∠2=90°∴∠1=∠3∵在△AEF和△DCE中∴△AEF≌△DCE（AAS）∴AE=CD设AE=x 则CD=x，AD=x+2 ∵矩形的周长为16 ∴2(AD+CD)=16即2(x+2+x)=16∴x=3 ∴AE的长为3●矩形的判定例3、己知：如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若BE=DE，则四边形ADBG是什么特殊四边形？并证明你的结论解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAE=∠C，AD=BC，AB=CD∵E、F分别是AB、CD的中点∴，∴AE=CF∴△ADE≌△CBF（SAS）（2）四边形ADBG是矩形，证明如下：法1．∵ABCD中，AD∥BC ∴AD∥BG∵AG∥DB ∴四边形ADBG是平行四边形∵BE=AE=DE∴∠ADB=90°∴ADBG是矩形。