水力学 第二章 流体静力学

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2-3-1 重力作用下的流体平衡方程
对于静止流体中任意两点来讲，上式可写为 p p z1 1 z 2 2 g g 或 ： p2 p1 g ( z1 z2 ) p1 gh 上两式称为流体静力学基本方程， 又称水静力学基本方程。 式中: z1 、z2 分别为任意两点 在z轴上的铅垂坐标值，基准面 选定了，其值亦就定了。 p1、p2分别为上述两点的静压 强；h为上述两点间的铅垂向下 深度。
第二章
流体静力学
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§2— 0
流体静力学
1、流体静力学(hydrostatics/fluid statics) 研究流体处于静止(包括相对静止)状态下的力学平衡规律及 其在工程中的应用。 2、静止状态(static characteristic）:指流体质点之间不存在相对 运动。 特点：静止流体中不会有切应力，亦不会产生拉应力，而只有 压应力。 3、流体静压强（static pressure of fluid/hydrostatic pressure） 静止流体中的压应力。
上式为不可压缩均质流体平衡微分方程积分后的普遍关系式。
它表明不可压缩均质流体要维持平衡，只有在有势的质量力作 用下才有可能；任一点上的压强等于外压强p0与有势的质量力所产 生的压强之和。
§2一2
流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程 10
2-2-3 等压面· 帕斯卡定律
1、等压面（Equipressure Surface） 流体中压强相等的点所组成的面。 2、等压面的方程 因为 p = 常数, 则 : dp=0， 即: 3、等压面特点 （1）等压面就是等势面（Equipotential line） 因为 dp = 0, 又 dp = ρdW = 0, 则 : （2）等压面和质量力正交 因为 f x dx f y dy f z dz f ds 0 则等压面上移动距离ds与质量力 f 正交。
第二章 流体静力学
§2—0 流体静力学定义 §2—1 流体静压强特性 §2—2 §2—3 §2—4 §2—5 §2—6 §2—7 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程 流体静力学基本方程 液体的相对平衡 思考题 1 思考题 2
思考题 3 思考题 4 思考题 5
作用在平面上的液体总压力 作用在曲面上的液体总压力 浮力和潜体及浮体的稳定
§2一1 流体静压强特性
3
B
N'

A p
pn p
N
二、流体静压强特性 2
静止流体中任一点上流体静压强的大小与其作用面的方位 无关，即同一点上各方向的静压强大小均相等。 证明： 取一包含点M在内的微小四面体。 根据平衡条件，四面体处于静止状态下， 各坐标轴方向的作用力之和均分别为零。 F 0
解： 在作用下小活塞上产生流体静压
强为
p
1
P1
按帕斯卡定律， p1 将不变地传递到ω 2 上，所以
2 P2 p 2 P1 1
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程 13
§2一3 流体静力学基本方程
2-3-1 重力作用下的流体平衡方程
静止重力流体：所受的质量力只有重力的静止流体。
§2一3 流体静力学基本方程
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p1 /
h
(2) (1)
p2 /
Z1
Z2
o
o
2-3-1 重力作用下的流体平衡方程
自由表面上为大气压强 p0 的液体，水静力学基本方程为 说明： 1）静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。 2）静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体 的容 重与该点淹没深度的乘积。后一部分即为单位面积上淹没深度液柱 的重量 。
FP x 0, FP y 0, FP z 0,
现以x轴方向为例：
FPx FPn cos( n, x ) Fx 0
1 FPx p x dydz 2 1 FPn cos( n, x ) pn dAn cos( n, x ) pn dAn cos(n, x) pn dydz 2
1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dyd f x dxdydz 0 2 x 2 x
化简可得 ： 1 p fx 0 x 同理 ： 1 p fy 0 y 和 1 p fz 0 y
C
p dx D p x 2
A
z
dz p dx p H x 2 P(x,y,z) M dy B dx
1、用微元分析法推导流体的平衡微分方程 设点M的坐标为x、y、z，压强为p。 x 轴方向受力分析： 利 用 泰 勒 级 数 ， ABCD 和 z D EFGH中心点处的压强分别为： p dx p dx p p x dx 2 p 和 p 2 x 2 x
C G
dz H P(x,y,z)
p p0 gh
§2一3
流体静力学基本方程
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2-3-2 压强的计量单位和表示方法
一、常用三种压强计量单位
1、压强的基本定义：用单位面积上的力来表示，单位为Pa 。 2、大气压(atmospheric pressure)的倍数来表示，有两种大气压单位 （1）标准大气压 (standard atmospheric pressure) 温度为0℃、纬度为45°时海平面上的压强，用atm表示。相当于760mm水 银柱对柱底部所产生的压强，即： 1个标准大气压（atm）＝101.3 （kPa）＝1.033 （kgf／cm2） （2）工程大气压 (engineering atmospheric pressure) 海拔200m处的正常大气压。相当于736mm水银柱对柱底部所产生的压强， 即： 1个工程大气压（at）＝98 （kPa）＝1 （kgf／cm2 ）
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程 11
f x dx f y dy f z dz 0
W = 常数。
4、帕斯卡定律(Pascal’s Law)
在平衡的不可压缩均质流体中，由于部分边界面上的外力作 用而产生的压强将均匀地传递到该流体的各点上。 由
p p0 (W W0 ) p0 p0 p
3、液柱高度来表示。常用水柱高度或水银柱高度来表示，其单位为mH2O p 或mmHg。 h
g
§2一3
流体静力学基本方程
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二、从不同的基准算起，两种计量压强的方法
1、绝对压强（Absolute Pressure） 以绝对真空作为压强的零点，这样计量的压强值；以 p’表 示。 2、相对压强（Relative Pressure） 以当地大气压强(local atmospheric pressure ) pa作为零点起 算的压强值。以 p表示。 绝对压强值与相对压强值之间关系
右边也必须是某一个坐标函数W（x，y，z）的全微分，
f x dx f y dy f z dz dW
W W W 其 中 ：f x , fy , fz x y z W是力函数或势函数(potential function)，它对各坐标的偏导数 分别等于力场的力在对应坐标轴上的分量 。质量力则是有势力 (potential force)。
G
fx
F E
x
o
y
上述方程称为欧拉平衡微分方程。
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程 7
2、欧拉平衡微分方程的物理意义
上面三个式可用矢量形式表示为 ：
1 f p 0

式中：算子
i j k x y z
▽p称为压强梯度。 它表明了处于平衡状态的流体中压强的变化率（压强梯度 pressure gradient）与单位质量力之间的关系，即对于单位质量 的流体来讲，质量力分量和表面力分量是对应相等的。
可压缩流体的平衡微分方程 形式：
§2一2 流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程 9
dp dW
2-2-2 流体平衡微分方程的积分
对于不可压缩均质流体来讲，其密度ρ为常数，积分上式得
p W C
已知边界条件，势函数为W0和压强为p0，则得C = p0 - ρW0。
p p0 W W0
p y pn
pz pn
p x p y pz pn
说明：静止流体中任一点上压强的大小与通过此点的作 用面的方位无关，只是该点坐标的连续函数。 即： p p( x, y, z )
§2一1 流体静压强特性
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§2—2 流体平衡微分方程—欧拉平衡微分方程
2-2-1 流体的平衡微分方程—欧拉平衡微分方程
§2一2
流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程 8
2-2-2 流体平衡微分方程的积分
将方程组中的各式依次乘以dx、dy、dz，并将它们相加，得: p p p dx dy dz ( f x dx f y dy f z dz) x y z 左边为压强p的全微分dp ： dp ( f x dx f y dy f z dz)
由：
§2一1 流体静压强特性
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二、流体静压强特性 2
1 质量力 ： Fx f x dxdydz 6 1 1 1 将各式代入 ，得： p x dydz pn dydz f x dxdydz 0 2 2 6
当dx、dy、dz趋近于零，缩到M时有：
p x pn
同理可得: 所以 ：
fx
p
F
p dx x 2
表面力为：
M dy B dx E
1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz 2 x 2 x
质量力为：
§2一2
A
x
o
y
f x dxdydz
流体平衡微分方程——欧拉平衡微分方程 6
1、用微元分析法推导流体的平衡微分方程