分布列

分布列知识点总结一、概念介绍1.1 分布列的定义分布列是离散随机变量的取值和相应概率的列。

对于离散型随机变量X，其所有可能取值x1，x2，……，xn及其上对应的概率P(X=x1)，P(X=x2)，……，P(X=xn)就构成了X的分布列。

1.2 分布列的性质（1）分布列的概率和为1对于任意一个随机变量X，其分布列中所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。

（2）随机变量的取值是有限个或可列无限个分布列中的随机变量的取值只能是有限个或可列无限个，不可能是连续的。

二、分布列的应用2.1 用分布列计算期望和方差分布列是计算离散随机变量的期望和方差的有力工具。

根据期望和方差的公式，可以直接利用分布列中的取值和概率来计算期望和方差。

2.2 利用分布列进行概率计算通过分布列，可以计算得到随机变量取某个值的概率，或者计算随机变量在某个范围内取值的概率等。

这对于一些概率问题的求解非常有用。

三、分布列的例子3.1 二项分布二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。

设X为二项分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 …… nP C(n,0) * p^0 * (1-p)^n C(n,1) * p^1 * (1-p)^(n-1) C(n,2) * p^2 * (1-p)^(n-2) …… C(n,n) * p^n * (1-p)^0其中，p为成功的概率，n为试验的次数。

3.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数。

设X为泊松分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 3 4 ……P e^(-λ) * λ^0 / 0! e^(-λ) * λ^1 / 1! e^(-λ) * λ^2 / 2! e^(-λ) * λ^3 / 3! e^(-λ) * λ^4 / 4! ……其中，λ为单位时间内随机事件发生的平均次数。

四、分布列与其他概率分布的关系4.1 分布列与连续型概率分布分布列适用于离散型随机变量，而连续型随机变量则需要用概率密度函数进行描述。

分布列概率公式好的，以下是为您生成的关于“分布列概率公式”的文章：咱先来说说啥是分布列概率公式哈。

简单来讲，这玩意儿就是在概率学里头帮咱们搞清楚各种可能情况出现的概率到底是多少的工具。

就拿我之前教过的一个班来说吧。

有次课堂上，我让同学们做一个小游戏，就是扔骰子。

咱假设骰子六个面分别标着1 到6 这几个数字。

那扔一次骰子，出现 1 的概率是 1/6，出现 2 的概率也是 1/6，以此类推。

这其实就是最简单的一种概率分布。

那分布列概率公式到底咋用呢？比如说，有个抽奖活动，奖券号码从 1 到 100，只有抽到特定的几个号码才能中奖。

那咱们就得算算每个号码中奖的概率是多少，这时候分布列概率公式就派上用场啦。

咱再深入一点，假如说有个袋子，里面装着红、蓝、绿三种颜色的球，红球有 3 个，蓝球 2 个，绿球 1 个。

那从袋子里随机摸一个球，摸到红球的概率就是 3/6，摸到蓝球的概率是 2/6，摸到绿球的概率是1/6。

如果咱们把这些概率整理成一个表格，这就是一个简单的分布列。

其实在生活里，分布列概率公式的应用可多了去了。

就像买彩票，虽然中奖的概率低得可怜，但咱也能通过这个公式大概算算自己的“幸运指数”。

还有像考试的时候，蒙个选择题，ABCD 四个选项，每个选项正确的概率理论上都是 1/4。

再比如说，学校组织运动会，报名参加跑步比赛的同学有 10 个。

其中小明平时跑步速度特别快，他夺冠的可能性比较大，咱们假设他夺冠的概率是 0.3，其他同学夺冠的概率分别是 0.1、0.15 等等。

这也能弄出个概率分布列来。

回到学习上，同学们刚开始接触这个分布列概率公式的时候，可能会觉得有点头疼，这很正常。

就像当初我学的时候，也迷糊了好一阵子。

但只要多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢地就能搞明白了。

比如说，有道题是这样的：一个盒子里有 5 个白球，3 个黑球，每次随机取出一个球，不放回，求取到白球和黑球的概率分布。

这时候咱们就得好好想想了，第一次取到白球的概率是 5/8，取到黑球的概率是 3/8。

分布列、期望、方差知识总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

）离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,x i , ,x nX取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质：①pi≥0, i =1，2，…；②p1 + p2 +…+p n= 1．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3因此所求分布列为：引出二点分布如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中{}min,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++ ≈0.191答：中奖概率为0.191.nNn MN MCC C -0nNn MN MCC C 11--nNm n MN m MCC C --条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9..0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P .1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤⋅=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==⇒C C AB P .103)(=A P相互独立事件2.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

2.3 离散型随机变量的分布列及其期望基础梳理1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，x i，…x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝x i)＝p i，则称表X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．(4)分布列的两个性质①p i≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋p n＝_1_.2．两点分布如果随机变量X的分布列为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列X 01…mP C0M·C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N为超几何分布列．4.二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 5.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n基础训练1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为( )．A ．出现正面的次数B ．出现正面或反面的次数C ．掷硬币的次数D ．出现正、反面次数之和2．如果X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )． A ．X 取每个可能值的概率是非负实数 B ．X 取所有可能值的概率之和为1C ．X 取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值 或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ．(2)方差称D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均 ，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．数学期望 平均水平 偏离程度3．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )． A.316 B.14 C.116 D.5164．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )． A ．25 B ．10 C ．7 D ．65．设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________． 6.小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )．A.49B.29C.427D.227由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功 投资失败 192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是________．(1)可设出随机变量Y ，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．【训练1】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列【例2】►某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．【训练2】着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．【例3】►(某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.本题考查了相互独立事件同时发生的概率求法以及分布列，期望的相关知识，公式应用，计算准确是解题的关键．【训练3】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．【例4】►一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 3.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．【训练4】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．巩固提升1、设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为______________；2、甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．3.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．4.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差．。

随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，，，… 表示．ξη2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表()i i P x p ξ==ξx 1x 2…x i …PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1．5.求离散型随机变量的概率分布的步骤:ξ（1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(=x i )=p i ξ（36.两点分布列:ξ01P1p -p7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k ｝发生的概率为,其中(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== ，且．称分布列min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈X 01…mP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是，（k ＝0,1,2,…，n ，）．kn k k n n q p C k P -==)(ξp q -=1于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnn qp C 00111-n n qp C …kn k k n qp C -…qp C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。

随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格6.两点分布列:7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n kM NMnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 01 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。

2.1.2 离散型随机变量的分布列知识一 离散型随机变量的分布列 【问题导思】掷一枚骰子，所得点数为x ，则x 可取哪些数字？x 取不同的值时，其概率分别是多少？ 离散型随机变量分布列(1)定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：的 ，简称为的 ．为了简单起见，也用等式 ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (2)性质：①p i ，i ＝1,2，…，n ； ②∑i ＝1np i ＝ .知识二 两个特殊分布 【问题导思】(1)在同时抛掷两枚骰子的随机试验中，令Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 向上点数之和为奇数；1 向上点数之和为偶数.试写出随机变量Y 的分布列；(2)某人从含2个不合格骰子的4个骰子中任取2个同时抛掷，经过大量试验，发现“向上点数之和X ”的各频率值与概率值相差很大，这意味着什么，试分析此现象发生的可能性大小？两个特殊分布 (1)两点分布若随机变量X ＝ 为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝ ，k ＝0,1,2，…，m ， 其中m ＝min {}M ，n ，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布. 类型一 分布列的性质及应用例1.设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值；(2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X <710)．规律方法1．本题利用方程的思想求出常数a 的值．2．利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率． 变式训练已知随机变量X 的分布列如下表：则x 的值为________，P (23<X <92)＝________.类型二 两点分布例2.袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红；1，两球非全红.求X 的分布列．规律方法1．在两点分布中，无论求出P (X ＝0)或者P (X ＝1)都能写出分布列，因为P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1.2．两点分布又称为0－1分布或伯努利分布，它是一种比较特殊的分布列，反映了随机试验的结果只有两种可能且其概率之和为1. 变式训练袋中装有3个红球，2个绿球，从中摸出1个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (摸出绿球)1 (摸出红球)，求X 的分布列．类型三 超几何分布例3.袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．规律方法求超几何分布的分布列，关键是明确随机变量是否服从超几何分布，分清M 、N 、n 、k 的值，然后求出相应的概率，最后列表即可．变式训练若本例条件不变，问题改为“求取出的黑球数X 的分布列”该如何解？离散型随机变量分布列的应用典例.(12分)袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．当堂达标1．(2013·合肥检测)下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的是() A.B.C.D.2则a的值为()A．0.6B．0.7C．0.8D．0.33．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，若P(ξ<4)＝0.3，则n的值为________．4．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球.求X的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．5.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列．6.一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出3个球，用ξ表示取出的球最大号码，ξ可以取得哪些值？写出ξ的分布列．当堂检测（一）一、基础过关1．若随机变量X( )A.1B.12C.13D.162．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，则m 的值为( )A.1718B.2738C.1719D.27193．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于( )A.16B.13C.12D.234．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )A ．1,2,3，…，6B ．1,2,3，…，7C ．0,1,2，…，5D ．1,2，…，5 5．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则 ( ) A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为 ( ) A.1112 B.3136 C.536 D.1127．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5<X <2.5)＝________.二、能力提升8．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，13B.⎣⎡⎦⎤－13，13C ．[－3,3]D ．[0,1]9．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.212510．盒中装有大小相等的10个球，编号分别是0,1,2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一，求其概率分布列．11．已知随机变量ξ(1)求η1＝12ξ的分布列；(2)求η2＝ξ2的分布列．12．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X .求随机变量X 的分布列．三、探究与拓展13．安排四名大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．(1)求四名大学生中恰有两人去A 校支教的概率； (2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．当堂检测（二）一、基础过关1．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是 ( )A.150B.125C.1825D.14 950 2．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 44C 552 D.C 34C 248＋C 44C 148C 552 3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是 ( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)4．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为( )A.15B.16C.115D.135．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品6．若离散型随机变量X则c ＝________. 二、能力提升7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( )A.310B.710C.2140D.740 8．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝____.9．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)10．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．11．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．求X 的分布列．三、探究与拓展12．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X 的分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率．。