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2019精品概率论及数理统计概率分布数学

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精编2019概率论与数理统计期末考试题库200题(含参考答案)

精编2019概率论与数理统计期末考试题库200题(含参考答案)

2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含答案]一、选择题1．已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为7 66 9⎛⎫ ⎪⎝⎭ 求随机向量（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28 D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4Cov(X+Y , X-Y)= DX-DY =7-9= -22814*282)()(),(,-=-=-+-+=-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ所以，（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 28 -2-2 4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和⎛⎪⎪⎭2．某人外出可以乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，其概率分别为5％.15％.30％.50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％.70％.60％.90％。

求该人如期到达的概率。

解：设1A ，2A ，3A ，4A 分别表示乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，B 表示如期到达。

则41()()(|)i i i P B P A P B A ==∑ 0.0510.150.70.30.60.50.90.785=⨯+⨯+⨯+⨯=答：如期到达的概率为0.785。

四（1）设随机变量X 的概率密度函数为, 01()0 Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩，其它求（1）A ； （2）X 的分布函数F (x)； （3） P (0.5 < X <2 )。

解： 121001 ()| 1222 A Af x dx Axdx x A +∞-∞=====⎰⎰（）2020 ()()0 01 ()()21 ()()xxxxx F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞-∞<==≤<===≥==⎰⎰⎰⎰（）当时，当时，当时，122 10, 0(), 0 11, 1tdt x F x x x x =<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩⎰故(3) P （1/2<X<2）=F(2)—F(1/2)=3/43．已知连续型随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=求（1）A ，B ； （2）密度函数f (x)；（3）P (1<X<2 )。

概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布

概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布


以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台 数”以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中 ,
发生故障时不能及时维修”, 则知80台中发生故障
而不能及时维修的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 )
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用10ห้องสมุดไป่ตู้0小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} 视为事件A .每次试验, A )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2出现的概率为0.8
本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其 一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同 维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法
2019教师资格证科目三数学之数理统计与概率论

2019教师资格证科目三数学之数理统计与概率论

第一节：数理统计的基本概念01第二节：事件和概率02第五章数理统计与概率论第三节：随机变量及其分布列03第四节：随机变量的数字特征04第五节：正态分布05初级中学Lorem ipsum dolor sit amet 高级中学2015年下：4,112016年上：112016年下：6,112017年上：5,112017年下：5,102018年上：5,172018年下：142019年上：92015年下：3,112016年上：11，172016年下：6,112017年上：5,112017年下：5,10，172018年上：5,172018年下：142019年上：9第一节数理统计的基本概念一二基本统计量抽样一、基本统计量（一）平均数（二）加权平均数P197选一、基本统计量1，2，3，2，4选+教二、抽样（一）样本和总体总体：所有考察对象的全体叫做总体。

个体：总体中每一个考察对象叫做个体。

样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。

样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

1.简单随机抽样定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n(n≤N)个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

基本思想：用样本估计总体。

特点：（1）总体个数有限；（2）逐个抽取；（3）不放回抽样；（4）等可能抽样。

抽样方法：抽签法、随机数表法、计算机模拟法例如：从全班随机抽10人调查本节课的学习效果。

2. 系统抽样定义：当总体元素个数很大时，样本容量不宜太小，这时可将总体分为均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本（等距抽样）。

，其中k表示抽样距离,N表示总体，n表示样本个数。

前提条件：实施步骤：（1）编号；（2）分段；（3）不确定起始个体编号；（4）按规则抽取。

概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件

概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件


0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.
概率论与数理统计经典概率论-资料

概率论与数理统计经典概率论-资料

记为：FX(x)，FY(y称)，为边缘分布函数。
FX (x) F(x, ) FY (y) F(, y)
事实上， F X ( x ) P ( X x ) P ( X x , Y ) F ( x , )
即 在 分 布 函 数 F ( x , y ) 中 令 y ， 就 能 得 到 F X ( x )
|0
3 5
14
例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 y
kxy, 0xy1 f(x,y)0, 其他
1
yx
(1) (1) 求常数k；(2) 求概P率(XY1)
0
x
(1)
解：
1利 用 f(x,y)dxdy1

得 ： 1

4 . 在 f(x ,y )的 连 续 点 ( x , y ) ， 有 2 F (x ,y )f(x ,y ) x y
注 ： 1在 几 何 上 ， zf(x,y)表 示 空 间 一 个 曲 面 ， 介 于 它 和 xoy平 面
的 空 间 区 域 的 体 积 为 1
2P((X,Y)G )等 于 以 G为 底 ， 以 曲 面 zf(x,y)为 顶 面 的 柱 体 体 积 。 所 以 X,Y落 在 面 积 为 零 的 区 域 的 概 率 为 零 。
概率论与数理统计
2019/9多维随机变量及其分布
关键词：
二维随机变量
分布函数
分布律
边缘分布函数 边缘分布律
条件分布函数 条件分布律
随机变量的独立性
Z=X+Y的概率密度
M=max(X,Y)的概率密度
N=min(X,Y)的概率密度
概率密度 边缘概率密度 条件概率密度
概率论与数理统计各种分布总结

概率论与数理统计各种分布总结

概率论与数理统计各种分布总结概率论与数理统计中有许多不同的概率分布，每个分布都具有不同的特征和应用。

下面是一些常见的概率分布的总结：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：在一个区间内的所有取值都具有相等的概率。

它可以是离散的（离散均匀分布）或连续的（连续均匀分布）。

2. 二项分布（Binomial Distribution）：描述了在一系列独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。

每个试验只有两个可能结果（成功和失败），并且成功的概率保持不变。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）：用于描述在给定时间或空间单位内发生某事件的次数的概率分布。

它通常用于模拟稀有事件的发生情况。

4. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一。

它具有钟形曲线的形状，对称且具有明确的均值和标准差。

许多自然现象和测量数据都可以近似地用正态分布来描述。

5. 指数分布（Exponential Distribution）：描述了连续随机事件之间的时间间隔的概率分布。

它通常用于模拟无记忆性事件的发生情况，如设备故障、到达时间等。

6. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：由正态分布的平方和构成的概率分布。

它在统计推断中广泛应用，特别是在假设检验和信赖区间的计算中。

7. t分布（Student's t-Distribution）：用于小样本量情况下参数估计和假设检验。

与正态分布相比，t分布具有更宽的尾部，因此更适用于小样本数据。

8. F分布（F-Distribution）：用于比较两个或多个样本方差是否显著不同的概率分布。

它经常用于方差分析和回归分析中。

这只是一些常见的概率分布的总结，还有其他许多分布，每个都在不同的领域和应用中起着重要的作用。

概率论与数理统计_15_均匀分布

概率论与数理统计_15_均匀分布


这时，可以认为随机变量 X 在区间a， b上取值是等可能的．
P{c X c l}

c l c
c l
c
f ( x)dx
X a l 0 l X b x
1 l dx . ba ba
均匀分布的累积分布函数（CDF）
若随机变量 X 服从区间
a ， b 上的均匀分布，
1 y2 x 1 y2 其它
即当 1 y 1 时，X 在 Y y下的条件分布是区间

1 y2 ,
1 y 2 上的均匀分布．

均匀分布的期望与方差
1 /( b a ), a x b f ( x) 。 0, 其它

EX


1 ab xf ( x )dx x dx ba 2
上的均匀分布，试求条件密度函数 f X Y x y ．
练习3解答
2 2 X Y 设二维随机变量 ， 服从圆域：x y 1
上的均匀分布，试求条件密度函数 f X Y x y ．
解：
二维随机变量 X ， Y 的联合密度函数为 1 f x， y p 0 x y 1
2
则
P A P 4 4 4 2 0
2


P 1或 2 1 6 1 1 dx dx 9 9 3 2 2 4 2 9 9 3
P 1 2 0
练习3
2 2 X Y 设二维随机变量 ， 服从圆域：x y 1
1 y 1 其它
y
x2 y2 1
x
由此得，当 1 y 1时，fY y > 0
练习3解答（续2）
概率论与数理统计常用的统计分布

概率论与数理统计常用的统计分布


Y X ~ N ( 0 ,1) , 2 (n 1)S 2 ~ 2 (n 1)
/ n
2
且 Y 与 2 独立，由 t 分布的定义有
X
X
S/ n
/ n (n 1)S 2 / 2

Y S2/n
~ t(n 1)n 1概率论与数理统计 例1 设 X ~ N (21,22 ), X1, X 2,, X 25 为X的一个样本,求: (1) 样本均值的数学期望与方差; (2) P{| X 21| 0.24}.
试估计未知参数 .
解 E(X )
认为可以用 X 代替 E( X )
ˆ X 是的估计量
ˆ x 172.7是的估计值
概率论与数理统计
点估计没有给出估计值接近总体参数程度 的信息；同时，也可以看到, 对于同一个 参数, 用不同的估计方法求出的估计量可 能不相同。
那么那一个估计量好坏的标准是什么?
概率论与数理统计
定理 1 设总体 X ~ N (, 2 ) ， X1, X2,...Xn 是取自 X 的一个样本， X 为该样本的样本均值，则有 （1） X ~ N(, 2 / n) （2）U X ~ N (0,1)
/ n
概率论与数理统计
本,则
设 X1, X2 ,, Xn 是来自总体 X ~ N(, 2 ) 的样
(1) 样本均值的数学期望与方差;
(2) P{| X 21| 0.24}.
P{| X 21| 0.24} P{21 0.24 X 21 0.24}
P{19.76 21 X 21 21.24 21}
0.4
0.4
0.4
( 21.24 21) (19.76 21) 2(0.6) 1
概率论与数理统计知识

概率论与数理统计知识

结果：A 或 A .
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 抽验产品：“是正品”，“是次品”
这样的试验E称为伯努利试验 .
概率论
将伯努利试验E独立地重复地进行n次 , 则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 .
“重复”是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变.
“独立”是指各 次试验的结果互不影响 .
解: 设该商品每月的销售数为X,
已知X服从参数λ=5的泊松分布.
设商店在月底应进某种商品m件,
求满足 P{ X ≤ m }>0.95 的最小的m .
销售数
进货数
概率论
求满足 P {X ≤ m }>0.95 的最小的m.
也即 P{X>m}≤ 0.05
或
e55k 0.05
km1 k!
查泊松分布表得
PX k pk 1 p 1k , k 0,1 0 p 1
或
X
~
0 1
p
1 p
2.伯努利试验和二项分布 看一个试验 将一枚均匀骰子抛掷3次.
概率论
令X 表示3次中出现“4”点的次数
X的分布律是：
P{ X
xk }
3
k
1 6
k
5 6
3k
,k
0,1, 2, 3.
概率论
一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的
事件及 事件概率
随机变量及其 取值规律
概率论
三、随机变量的分类
我们将研究两类随机变量： 离散型随机变量
随 机 如“取到次品的个数”， 变 “收到的呼叫数”等. 量
连续型随机变量
例如，“电视机的寿命”，实际中 常遇到的“测量误差”等.
概率论
2019年4月全国自考概率论与数理统计答案详解19页word

2019年4月全国自考概率论与数理统计答案详解19页word

2019年4⽉全国⾃考概率论与数理统计答案详解19页word 2019年4⽉⾼等教育⾃学考试《概率论与数理统计》（经管类）答案解析课程代码：04183⼀、单项选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）1.甲，⼄两⼈向同⼀⽬标射击，A表⽰“甲命中⽬标”，B表⽰“⼄命中⽬标”，C表⽰“命中⽬标”，则C=（）A.AB.BC.ABD.A∪B【答案】D【解析】“命中⽬标”=“甲命中⽬标”或“⼄命中⽬标”或“甲、⼄同时命中⽬标”，所以可表⽰为“A∪B”，故选择D.【提⽰】注意事件运算的实际意义及性质：（1）事件的和：称事件“A，B⾄少有⼀个发⽣”为事件A与B的和事件，也称为A 与B的并A∪B或A+B.性质：①,；②若，则A∪B=B.（2）事件的积：称事件“A，B同时发⽣”为事件A与B的积事件，也称为A与B的交，记做F=A∩B或F=AB.性质：①，；②若，则AB=A.（3）事件的差：称事件“A发⽣⽽事件B不发⽣”为事件A与B的差事件，记做A－B.性质：①；②若，则；③.（4）事件运算的性质（i）交换律：A∪B=B∪A, AB=BA；（ii）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）, （AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）.（iv）摩根律（对偶律）,2.设A，B是随机事件，，P（AB）=0.2，则P（A－B）=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【答案】A【解析】，，故选择A.【提⽰】见1题【提⽰】（3）.3.设随机变量X的分布函数为F（X）则（）A.F（b－0）－F（a－0）B.F（b－0）－F（a）C.F（b）－F（a－0）D.F（b）－F（a）【答案】D【解析】根据分布函数的定义及分布函数的性质，选择D.详见【提⽰】. 【提⽰】1.分布函数定义：设X为随机变量，称函数，为的分布函数.2.分布函数的性质：①0≤F（x）≤1；②对任意x1，x2（x1< x2），都有；③F（x）是单调⾮减函数；④，；⑤F（x）右连续；⑥设x为f（x）的连续点，则f′（x）存在，且F′（x）=f（x）.3.已知X的分布函数F（x），可以求出下列三个常⽤事件的概率：①；②，其中a③.4.设⼆维随机变量（X，Y）的分布律为0 1 20 1 0 0.1 0.2 0.4 0.3 0则（）A.0B.0.1C.0.2D.0.3【答案】D【解析】因为事件，所以，= 0 + 0.1 + 0.2 = 0.3故选择D【提⽰】1.本题考察⼆维离散型随机变量的边缘分布律的求法；2.要清楚本题的三个事件的概率为什么相加：因为三事件是互不相容事件，⽽互不相容事件的概率为各事件概率之和.5.设⼆维随机变量（X，Y）的概率密度为，则（）A.0.25B.0.5C.0.75D.1【答案】A【解析】积分区域D：0＜X≤0.5，0＜Y≤1，所以故选择A.【提⽰】1.⼆维连续型随机变量的概率密度f（x，y）性质：①f（x，y）≥0；②；③若f（x，y）在（x，y）处连续，则有，因⽽在f（x，y）的连续点（x，y）处，可由分布函数F（x，y）求出概率密度f（x，y）；④（X，Y）在平⾯区域D内取值的概率为.2.⼆重积分的计算：本题的⼆重积分的被积函数为常数，根据⼆重积分的⼏何意义可⽤简单⽅法计算：积分值=被积函数0.5×积分区域⾯积0.5.6.设随机变量X的分布律为X﹣2 0 2P 0.4 0.3 0.3则E（X）=（）A.﹣0.8B.﹣0.2C.0D.0.4【答案】B【解析】E（X）=（﹣2）×0.4+0×0.3+2×0.3＝﹣0.2故选择B.【提⽰】1.离散型⼀维随机变量数学期望的定义：设随机变量的分布律为，1，2，….若级数绝对收敛，则定义的数学期望为.2.数学期望的性质：①E（c）=c，c为常数；②E（aX）=aE（x），a为常数；③E（X+b）=E（X+b）=E（X）+b，b为常数；④E（aX+b）=aE（X）+b，a，b为常数.7.设随机变量X的分布函数为，则E（X）=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据连续型⼀维随机变量分布函数与概率密度的关系得，所以，=，故选择C.【提⽰】1.连续型⼀维随机变量概率密度的性质①;②;③;④；⑤设x为的连续点，则存在，且.2.⼀维连续型随机变量数学期望的定义：设连续型随机变量X的密度函数为，如果⼴义积分绝对收敛，则随机变量的数学期望为.8.设总体X服从区间[,]上的均匀分布（），x1，x2，…，x n为来⾃X的样本，为样本均值，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，，⽽均匀分布的期望为，故选择C.【提⽰】1.常⽤的六种分布（1）常⽤离散型随机变量的分布（三种）：X0 1概率q pA.两点分布①分布列②数学期望：E（X）=P③⽅差：D（X）=pq.B.⼆项分布：X～B（n，p）①分布列：，k=0，1，2，…，n；②数学期望： E（X）=nP③⽅差： D（X）=npq.C.泊松分布：X～①分布列：，0，1，2，…②数学期望：③⽅差：＝（2）常⽤连续型随机变量的分布（三种）：A.均匀分布：X～①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E（X）＝,④⽅差：D（X）＝.Ｂ.指数分布：X～①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E（X）＝,④⽅差：D（X）＝.Ｃ.正态分布（A）正态分布：X～①密度函数：，－∞＋∞②分布函数：③数学期望：＝,④⽅差：＝，⑤标准化代换：若X～，，则～.（B）标准正态分布：X～①密度函数：，－∞＋∞②分布函数：，－∞＋∞③数学期望：E（X）＝0,④⽅差：D（X）＝1.2.注意：“样本”指“简单随机样本”，具有性质：“独⽴”、“同分布”.9.设x1，x2，x3，x4为来⾃总体X的样本，且，记，，，，则的⽆偏估计是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知，，故选择A.【提⽰】点估计的评价标准：（1）相合性（⼀致性）：设为未知参数，是的⼀个估计量，是样本容量，若对于任意，有，则称为的相合（⼀致性）估计.（2）⽆偏性：设是的⼀个估计，若对任意，有则称为的⽆偏估计量；否则称为有偏估计.（3）有效性设，是未知参数的两个⽆偏估计量，若对任意有样本⽅差，则称为⽐有效的估计量.若的⼀切⽆偏估计量中，的⽅差最⼩，则称为的有效估计量.10.设总体～，参数未知，已知.来⾃总体的⼀个样本的容量为，其样本均值为，样本⽅差为，，则的置信度为的置信区间是（）A.，B.，C.，D.【答案】A【解析】查表得答案.【提⽰】关于“课本p162，表7-1：正态总体参数的区间估计表”记忆的建议：①表格共5⾏，前3⾏是“单正态总体”，后2⾏是“双正态总体”；②对均值的估计，分“⽅差已知”和“⽅差未知”两种情况，对⽅差的估计“均值未知”；③统计量顺序：, t, x2, t, F.⼆、填空题（本⼤题共15⼩题，每⼩题2分，共30分）11.设A，B是随机事件，P （A）=0.4，P （B）=0.2，P （A∪B）=0.5，则P （AB）= _____.【答案】0.1【解析】由加法公式P （A∪B）= P （A）+ P （B）－P （AB），则P （AB）= P （A）+ P （B）－P （A∪B）=0.1故填写0.1.12.从0，1，2，3，4五个数字中不放回地取3次数，每次任取⼀个，则第三次取到0的概率为________.【答案】【解析】设第三次取到0的概率为，则故填写.【提⽰】古典概型：（1）特点：①样本空间是有限的；②基本事件发⽣是等可能的；（2）计算公式.13.设随机事件A与B相互独⽴，且，则________.【答案】0.8【解析】因为随机事件A与B相互独⽴，所以P （AB）=P （A）P （B）再由条件概率公式有=所以，故填写0.8.【提⽰】⼆随机事件的关系（1）包含关系：如果事件A发⽣必然导致事件B发⽣，则事件B包含事件A，记做；对任何事件C，都有，且；（2）相等关系：若且，则事件A与B相等，记做A=B，且P （A）=P （B）；（3）互不相容关系：若事件A与B不能同时发⽣，称事件A与B互不相容或互斥，可表⽰为＝，且P （AB）=0；（4）对⽴事件：称事件“A不发⽣”为事件A的对⽴事件或逆事件，记做；满⾜且.显然：①；②，.（5）⼆事件的相互独⽴性：若, 则称事件A, B相互独⽴；性质1：四对事件A与B，与B，A与，与其⼀相互独⽴，则其余三对也相互独⽴；性质2：若A, B相互独⽴，且P （A）＞0, 则.14.设随机变量服从参数为1的泊松分布，则________.【答案】【解析】参数为泊松分布的分布律为，0，1，2，3，…因为，所以，0，1，2，3，…，所以=，故填写.15.设随机变量X的概率密度为，⽤Y表⽰对X的3次独⽴重复观察中事件出现的次数，则________.【答案】【解析】因为，则～，所以，故填写.【提⽰】注意审题，准确判定概率分布的类型.16.设⼆维随机变量（X，Y）服从圆域D： x2+ y2≤1上的均匀分布，为其概率密度，则=_________.【答案】【解析】因为⼆维随机变量（X，Y）服从圆域D：上的均匀分布，则，所以故填写.【提⽰】课本介绍了两种重要的⼆维连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：设D为平⾯上的有界区域，其⾯积为S且S>0，如果⼆维随机变量（X，Y）的概率密度为，则称（X，Y）服从区域D上的均匀分布，记为（X，Y）～.（2）正态分布：若⼆维随机变量（X，Y）的概率密度为。

概率论与数理统计第3章随机变量的数字特征2-5节精品文档

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1
D(X ) 21002

1
7002 21002
1 (1)2 3

8. 9
即P(5200X9400)8. 9
2019/10/16
n
n
D( CiXi) Ci2D(Xi).
i1
i1
(4) 对于任意实数C∈R，有 （书P93. 8题）
E ( X-C )2≥D( X )
当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).
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19
求证
E ( X-C )2≥D( X )
证： E(XC)2 E {X [E]X [E X C )]2}
证: D(C)E{C [E(X)2 ]}E{C [ C]2} 0.
(2 )若 D (X )存则 在 D (C) , X C 2D (X )C ,为； 常
证: D(CX) E{C [ X E(C)X2]}
E{C [ X C(E X)2]} E{C2[XE(X)2 ]}
C2E{X [E(X)2]}C2D(X).
复习: 数学期望
它反映随机变量取值的平均水平，是随机变量的 一个重要的数字特征.

EX xk pk, k1
X离散型

E X xf(x )d x,
X 连 续 型


EYE[g(X)]

g(xk)pk,
k1
X离散型
g(x)f(x)dx, X连续型
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0
E(X 2)
函数有下列结论：
(1 ) (1 ) ();
(2Γ()n1 )n!;
tx

1
2
t2etdt

概率论与数理统计

概率论与数理统计第一章 随机事件及其概率 一．随机事件1. 随机事件的相关概论2. 事件之间的相互关系 二．随机事件的概率 1. 概率的公理定义 2. 概率的性质3. 概率的古典概率，几何概率，条件概率的相关定义及会求相关的题目 三．概率的计算公式加法公式，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式 四．事件的独立性1. P （AB ）＝P （A ）P （B ）可扩充到n 个事件相互独立2. n 重伯努利概型的公式（二项概率公式） 相关题型：1. 设随机事件,A B 满足()()P AB P AB ，且()P A p ，则()P B __________.2.已知1()()()4P A P B P C ，()0,P AB 1()()16P AC P BC ，则事件,,A B C 全不发生的概率为____________.3. 一批产品共有10件正品和2件次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放回，则第二次抽出的是次品的概率 ______________.4. 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8,0.7与0.9，已知如果三个部件都是优质品，则组装后仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不合格，则仪器的不合格率为0.6；如果三个部件都不是优质品，则组装仪器的不合格率为0.9.则仪器的不合格率为______________；如果已发现一台仪器不合格，则它有____________个部件不是优质品的概率最大.5. 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为____________. 6．在区间(0,1)中随机取两个数，则两数之差的绝对值小于12的概率_____________. 7．在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于_____________.8．设3次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为___________.9．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机地抽取一件，发现是次品，求该产品属于A 生产的概率。

概率论与数理统计ppt课件


注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13


事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定

例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖

概率论与数理统计第三章知识点总结

概率论与数理统计第三章知识点总结概率论与数理统计第三章主要涉及随机变量及其概率分布。

这部分知识可是相当重要且有趣的哟！首先，咱们来聊聊随机变量的概念。

随机变量简单来说，就是把随机试验的结果用数值来表示。

比如说抛硬币，正面记为 1 ，反面记为0 ，这就是一个简单的随机变量。

随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量的取值是可以一一列举出来的，像掷骰子得到的点数。

咱举个例子，假设一个袋子里有红、蓝、绿三种颜色的球，分别有 2 个、 3 个、 5 个，随机摸一个球，颜色就是一个离散型随机变量。

而连续型随机变量的取值则是充满了某个区间，比如说人的身高、体重。

就拿人的身高来说，它可以在一个范围内取到任意一个值，不是像离散型那样只能是几个特定的值。

接下来，就是概率分布啦！离散型随机变量的概率分布常用概率质量函数来描述。

比如说，抛硬币5 次，正面出现的次数X 就是一个离散型随机变量，它的概率质量函数就能清楚地告诉我们出现0 次、 1 次、 2 次…… 5 次正面的概率分别是多少。

连续型随机变量的概率分布则用概率密度函数来表示。

比如说正态分布，它在生活中可常见啦！像学生的考试成绩、产品的质量指标等很多都近似服从正态分布。

然后是数学期望和方差。

数学期望反映了随机变量取值的平均水平。

比如说，一个游戏中，赢一次得 5 元，输一次扣 2 元，赢的概率是0.6 ，输的概率是0.4 ，那玩一次的数学期望就是5×0.6 - 2×0.4 = 2.2 元，这能帮助我们判断这个游戏值不值得玩。

方差呢，则衡量了随机变量取值的离散程度。

方差越大，说明数据越分散；方差越小，数据就越集中。

比如说，有两个班级的考试成绩，方差小的班级成绩相对更稳定。

再说说常见的离散型分布，像二项分布。

比如说投篮，每次投篮命中的概率是0.7 ，投10 次命中的次数就服从二项分布。

还有泊松分布，比如某商店在一定时间内顾客到达的人数就可能服从泊松分布。

概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)

概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版) 题目：概率论与数理统计知识点总结摘要本文总结了概率论和数理统计方面的基础知识，涉及概率分布、参数估计、假设检验、卡方检验、多元分析等。

对这些知识点的理解和了解可以帮助人们更好地分析和利用数据，促进数据分析的发展。

关键词：概率论，数理统计，概率分布，参数估计，假设检验，卡方检验，多元分析正文1.概率论概率论是数理统计中一门重要科学，它是一门数学研究现实世界事件发生的规律性、可预测性及不确定性的学科。

在概率论中，我们引入了诸如概率、期望和方差等概念，用来描述和推断某种随机现象的发生。

2.概率分布概率分布是在给定的实际情况下随机变量取值的概率分布。

典型的概率分布包括正态分布、泊松分布和二项分布。

此外，也有一些联合分布，例如协方差、共轭先验、贝叶斯估计等。

3.参数估计参数估计是根据样本数据估计总体参数的统计方法。

它涉及到将总体参数估计为样本参数的过程，通常使用最大似然估计、贝叶斯估计和假定测试等方法。

4.假设检验假设检验是基于统计学原理，用来评估某一假设是否真实存在的方法。

其中包括t检验、F检验、Z检验等，它们之间的区别在于所使用的抽样分布不同。

5.卡方检验卡方检验是一种统计检验，用于直接检验某个抽样值是否遵循某种理论分布。

卡方检验可以根据观察到的抽样数据和理论分布之间的差异来衡量分布概率值的有效性。

6.多元分析多元分析是一种分析不同变量之间交互影响的统计方法。

它包括多元回归分析、多元判别分析、因子分析等，能够帮助我们了解多个变量之间的关系。

结论本文总结了概率论和数理统计方面的基础知识，包括概率分布、参数估计、假设检验、卡方检验和多元分析等。

了解这些知识点可以帮助人们更好地分析和利用数据，促进数据分析的发展。

概率论和数理统计方面的知识点在实际应用中有着重要作用。

概率论可以帮助研究人员对随机现象进行建模、分析和推断，其中包括使用概率分布建立统计模型和估计参数，并使用假设检验和卡方检验来检验假设，以及用多元分析来推断不同变量之间的关系。

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66.0~75.0 (g/L)之间的比例为68.23%。估计110
名正常 成年女 子中血 清总蛋 白介于 66.0~75.0
(g/L)之间的人数约为 110 68.23% 75 人。
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4.正态分布的应用
4.1 制定医学参考值范围
参考值范围（reference range)是指所谓“正 常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围。 制定参考值范围时，首先要确定一批样本含量足 够大的“正常人”。所谓“正常人”不是指“健 康人”，而是指排除了影响所研究指标的疾病和 有关因素的同质人群。其次需根据指标的实际用 途确定单侧或双侧界值，根据研究目的和使用要 求选定适当的百分界值，常用95%。
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图4 正态分布位置变换示意图
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0.9 0.8 0.7 0.6
f(X)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
X
图5 正态分布形态变换示意图
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5. 正态分布曲线下的面积分布有一定规律：正态曲 线与横轴所夹的面积为1。 位于 ( μ 1.64σ,μ 1.64σ ) 内的面积为0.90；
式中， 为总体均数， 为总体标准差， 为圆周 率，e为自然对数的底，仅x为变量。 当x确定后， f(x)为X相应的纵坐标高度，则X服 从参数为μ和σ2的正态分布(normal distribution)，记 作X~N( , 2)。
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一般地，若连续型随机变量，设其概率密度函 数为 f ( x)，则X取值落在区间（ ，x） 内的累积 在 x上的积分，记 f ( x) 到
对应于从 -∞ 到 x 概率密度曲线下的阴影的面
积（常称为左侧尾部面积），见图3。
图3 正态分布的概率密度函数
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于是，利用概率密度函数 F ( x) 可以计算正态
分布变量取值在任意区间（a,b）的概率为
P(a≤X<b)=
F (b) F (a)
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连续型变量 离散型变量
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【教学目的】
了解
正态分布的密度函数 二项分布的应用 Poisson分布的应用
掌握
正态分布曲线的特征 及应用
二项分布的概念与特 征 Poisson分布的概念与 特征
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3
一、正态分布
1. 概念
频率密度图的绘制
例：随机调查某医院 1402例待分娩孕妇，测得她们的体重。 体重在各组段的频数分布见表 1第 2 列，并求得体重落在
14
2.正态分布的特征
1. 2. 对称性：正态分布为单峰、对称分布，以均数为中心， 左右对称。 正态分布的图形由均数和标准差两个参数决定。 位置参 数，即集中趋势的位置；变异度参数 ，表示正态变量 取值的离中程度。 概率密度函数f(x)在x取均值时达到最大，峰值为
1 2
3.
4. 随机变量X的取值从-∞到+∞，相应的概率密度函数对应 的曲线位于x轴上方，并与X轴永不相交；
变量或标准正态离差。
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正态分布
1 ( X ) 2 / 2 2 f (X ) e , X 2
u
标准正态分布
X

; 0, 1
( u)
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1 u2 / 2 e , u 2
参考值范围。
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解：由于该地健康成年男子第一秒肺通气量近似服 从正态分布，可用正态分布法计算。因第一秒肺 通气量仅过低属异常，故只需求出下限。
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3 1402
0.0121
0.0021 1.0000
0.9979
1.0000
0.0030
0.0005
5
合计
0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 4856647280体重（kg）
体重频率密度
图1 体重频率密度图
若将各直条顶端的中点顺次连接起来 , 得 到一条折线。当样本量 n越来越大时，组段越 分越细，此时直方渐进直条，这条折线就越来 越接近于一条光滑的曲线（见图1、2），我们 把这条呈中间高，两边低，左右基本对称的 “钟型”曲线称为正态分布曲线，近似于数学 上的正态分布（高斯分布; Gauss）。
正态分布法 百分位数法 单侧 下限 上限 双侧 下限 P5~P95 P2.5~P97.5 P0.5~P99.5 P10 P5 P1 单侧 上限 P90 P95 P99
双侧
90 95 99
X 1.64S X 1.96S
X－1.28S
X 1.28S X 1.64S
X－1.64S
X 2.58S
试估计该地健康女性血红蛋白的95%参考值 范围。
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因血红蛋白过高、过低均为异常，所以按双 侧估计95%医学参考值范围：
上限为：
x 1.96 s 117.4 1.96 10.2 137.39( g / l )
下限为：
x 1.96 s 117.4 1.96 10.2 97.41( g / l )
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解：本例由于是大样本，可用样本均数和样本 标准差作为总体、的估计值，即将该地正常 成年女子的血清总蛋白数近似看作服从 N(72.8,3.82)的正态分布。作如下标准化变换：
66.0 72.8 Z1 1.79 3.8
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Z2
75.0 72.8 0.58 3.8
X－2.33S
X 2.33S
双侧ua 单侧ua 如双侧u0.10 单侧u0.05 1.64
2 ,
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计算某地正常女子血清总蛋白的95%参考值范围。
X 72.8 g / L, S 3.8 g / L
由于该地正常成年女子血清总蛋白近似服从正态分 布，可用正态分步法计算，因血清总蛋白过多过 少均属异常，故计算95%参考值范围的上下限为：
第二章
概率分布
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引
言
由于存在个体差异，即使从同一总体中抽取的 两份样本之间也会有所不同，因此需要对总体 特征做出描述。 随机变量的分布常见的有三种类型：
正态分布（normal distribution）
二项分布（binominal distribution） Poisson 分布（ Poisson distribution）
各组段的频率（表 1 的第 3 列）。 现以体重测量值为横
轴，以频率与组距的比值为纵轴作出直方图。由于 该直方图的纵轴表示在每个组段内单位长所占有的 频率，相当于频率密度，因此我们将此图称为频率 密度图（见图1）。
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表1 某医院1402例分娩孕妇体重频数分布
体重组段 频数 486 频率 频率密度 累积频率 (频数/总频数) (频率/组距) 0.0043 0.0043 0.0011
位于 ( μ 1.96σ,μ 1.96σ ) 内的面积为0.95；
位于 ( 2.58 , 2.58 ) 内的面积为0.99。
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图6 正态分布曲线下面积分布规律示意图
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3. 标准正态分布
为 了 实 际 应 用 的 方 便 ， 设 U=(x-)/ 或 Z=(x-)/ ，即将原点移到 的位置，横轴尺 度以 为单位，使=0，=1，则将原正态分 布变换为标准正态分布N(0,1)。U为标准正态
下限为： X 1.96S 72.8 1.96 3.8 65.35( g / L) 上限为： X 1.96S 72.8 1.96 3.8 80.25( g / L)
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例：某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通气
量得均数 X =4.2(L), 标准差S =0.7(L)，试据此 估计该地健康成年男子第一秒肺通气量的 95%
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例 : 已知某地正常成年女子的血清总蛋白数服从正 态分布，调查了该地 110 名正常成年女子，得样 本血清总蛋白均数为72.8(g/L)，标准差为3.8(g/L)， 试估计该地正常成年女子血清总蛋白介于 66.0~75.0(g/L) 之间的比例，以及 110 名正常成年 女子中血清总蛋白介于66.0~75.0(g/L)之间的人数。
概率为概率密度曲线下位于 的图形面积， （ ，x） 等于其概率密度函数 作 。 F ( x)
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1 F ( x) P( X x) 2π

x

e

( t )2 2 2
dt
称 F ( x )为正态分布 N ( , 2 ) 的概率密度函 数。其值表示变量落在区间 （ ，x）的概率，
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制定观察指标参考值范围的一般步骤：
依据观察指标的特点、背景和已知的影响因素， 确定抽样的入选标准和排除标准；
根据指标特点决定单侧或双侧；
确定范围：一般为95%；
按资料特点选取不同方法计算正常值范围的上下 限。
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双侧临界值：标准正 态分布双侧尾部面积 之和等于α时所对应 的正侧变量值称为双 侧临界值，记作 Za/2 或 Ua/2。
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0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 4856647280体重（kg）