人教B版高中数学必修一教案3.1.1指数及其指数幂

数学人教B 必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算1．理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关计算． 2．通过具体实例了解实数指数幂的意义．3．通过本节的学习，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以利用计算器或计算机实际操作，感受“逼近”的过程．1．整数指数幂(1)正整指数幂的定义：______＝n a a a a ⋅⋅⋅⋅个(n ∈N ＋)． (2)正整指数幂的运算法则： ①a m ·a n ＝______； ②(a m )n ＝______；③a m ÷a n ＝____________(m ＞n ，a ≠0)； ④(ab )n ＝________； ⑤⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n bn (b ≠0)．在上述法则③中，限定m ＞n ，如果取消这种限制，则正整指数幂就推广到了整数指数幂．但要规定a 0＝1(a ≠0)．a －n ＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．这样一来，上面的五条运算法则就可以归纳为三条：①a m ·a n ＝______； ②(ab )n ＝______； ③(a m )n ＝______.同时，将指数的范围扩大到了整数．【做一做1】已知a ＞0，m ，n 为整数，则下列各式中正确的有( ) A ．a m÷a n＝m naB ．a n ·a m ＝a m ·nC ．(a n )m ＝a m ＋nD ．1÷a n ＝a 0－n 2．根式(1)根式的定义：式子______叫做根式，这里n 叫做________，a 叫做________．(2)n 次方根的定义：如果存在实数x ，使得______(a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则____叫做____的n 次方根．(3)n 次方根的性质：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个______，负数的奇次方根是一个______，零的奇次方根是____．设a ∈R ，n 是大于1的奇数，则a 的n 次方根是________．②在实数范围内，正数的偶次方根是________________的数，零的偶次方根是______，负数的偶次方根________．设a ≥0，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是________．其中________叫做a 的n 次算术根．(4)根式的性质：①(na )n ＝____(n ＞1，且n ∈N ＋)；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧，当n 为奇数时， ，当n 为偶数时.正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．【做一做2】计算3(－8)3＋4(3－2)4－(2－3)2＝________. 3．分数指数幂(1)如不特别说明，我们约定底数a ＞0.于是，正分数指数幂可定义为1na =________(a ＞0)；m na =________(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)．负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，同样可定义为m na-=________(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn为既约分数)．(2)有理指数幂的运算法则：①a αa β＝a α＋β(a ＞0，α，β∈Q )； ②(a α)β＝a αβ(a ＞0，α，β∈Q )；③(ab )α＝a αb α(a ＞0，b ＞0，α∈Q )．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义，有理指数幂的三条运算法则实际上可推广到实数指数幂．【做一做3－1】把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．32()a - B ．32()a -- C ．32a - D ．32a【做一做3－2】计算：23×31.5×612. 4．无理指数幂教材中通过实例利用______的思想理解无理指数幂的意义． 一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数． 另外，我们要熟记经常要用的公式：(1)a －b ＝(a －b )(a ＋b )(a ＞0，b ＞0)； (2)a ±2ab ＋b ＝(a ±b )2(a ＞0，b ＞0)． 【做一做4】判断正误： (1)23是一个有理数．( )(2)23不是一个确定的数，而是一个近似值．( ) (3)23没有意义．( ) (4)23是一个实数．( )一、辨析(n a )n 和na n剖析：(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性来决定： ①当n 为大于1的奇数时，a ∈R .例如，(327)3＝27，(5－32)5＝－32，(70)7＝0； ②当n 为大于1的偶数时，a ≥0.例如，(427)4＝27，(3)2＝3，(60)6＝0；若a ＜0，式子(na )n 无意义，例如，(－2)2，(4－54)4均无意义．由此只要(n a )n 有意义，其值恒等于a ，即(na )n ＝a .na n 是实数a n 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R .但是这个式子的值受n 的奇偶性限制：①当n 为大于1的奇数时，其值为a ，即n a n ＝a ，例如，3(－2)3＝－2，56.15＝6.1； ②当n 为大于1的偶数时，其值为|a |，即n a n ＝|a |.例如，434＝3，(－3)2＝|－3|＝3.由此n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝2k －1，k ∈N ＋，且k >1，|a |，n ＝2k ，k ∈N ＋.二、根式与分数指数幂互化的条件探究剖析：(1)引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即na ＝1na ，这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然1na 是m na 当m ＝1时的特例．(2)分数指数幂的意义来源于根式，而要使na m 对任意的n ∈N ＋且n ＞1都有意义，必须限定a ＞0，否则，当a ＝0时，若m ＝0或mn 为分母是偶数的负分数，mn a 没有意义；当a ＜0时，若m 为奇数，n 为偶数，m na 没有意义．(3)我们可以从一实例看看为什么会加上这个限制条件，如：－3＝3－27＝1236(27)(27)-=-6(－27)2＝6729＝3.为什么会出现－3＝3这种情况？看看错在了哪里？因为这里的－3＜0，在1236(27)(27)-=-中发生了错误，分数的分子、分母扩大相同的倍数分数值不变，有这个性质，必须限制条件“a ＞0”或“a ＞0，b ＞0”．在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，且尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的．对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示．如果有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．题型一 简单的指数幂运算 【例1】计算：(1)2312527-⎛⎫⎪⎝⎭； (2)230.008-； (3)34812401-⎛⎫⎪⎝⎭； (4)(2a ＋1)0； (5)⎣⎡⎦⎤56－⎝⎛⎭⎫35－1－1.分析：在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3))，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便．在幂的运算中，对于形如m 0的式子，要注意对底数m 是否为零进行讨论，因为只有在m ≠0时，m 0才有意义；而对于形如⎝⎛⎭⎫b a －n的式子，我们一般是先变形为⎝⎛⎭⎫a b n ，然后再进行运算．反思：在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则．熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键．题型二 利用根式的性质化简根式 【例2】化简下列各式： (1)3a 3； (2)2 010(x －4)2 010； (3)a 6； (4)2 011(x －7)2 011.分析：根据n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数来化简．反思：通过对本题的解答，大家一定要注意区分好n a n 与(na )n 的形式，并且要建立分类讨论的思想意识．题型三 根式与分数指数幂的互化【例3】(1)把2112 011-化为根式为__________；(2)把1(x ≠0)化为分数指数幂的形式为__________；(3)b ＞0)化为分数指数幂的形式为__________．反思：通过本例题，我们能得到如下结论：(1)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．(2)当所求根式含有多重根号时，由里向外用分数指数幂形式写出，然后再用性质进行化简．题型四 整体代入法求值 【例4】已知11223a a-+=，求a ＋a －1，a 2＋a －2的值．分析：本题主要考查分数指数幂及其应用．观察到11221a a -=，对已知等式两边平方即可求解．反思：本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”．解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，常以整体代入来求值．【例5】已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x ＜y ，求11221122x y x y-+的值．分析：此题不宜采用直接求值的方法，要考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．反思：整体代入法在条件求值中非常重要，也是高中数学中一种重要的解题方法．在此题的解题过程中，不宜求出x ，y 后再代入，而应考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．1下列等式中一定成立的有( ) ①36a 3＝2a ；②3－2＝6(－2)2；③－342＝4(－3)4×2.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( ) A ．2x －5 B ．－2x －1 C ．－1 D ．5－2x 3求下列各式的值：(1)(325－125)÷45；(2)a 3a ·5a 3(a ＞0)．答案： 基础知识·梳理1．(1)a n (2)①a m ＋n ②a mn ③a m －n ④a n b n ①a m ＋n ②a n b n ③a mn【做一做1】D 只有选项D 是按照幂的运算法则进行的．选项A 应为a m －n ，选项B 应为a m ＋n ，选项C 应为a mn .2．(1)n a 根指数 被开方数 (2)x n ＝a x a (3)①正数 负数 零 n a ②两个绝对值相等符号相反 零 没有意义 ±n a na (4)①a ②a |a |【做一做2】－8 原式＝－8＋|3－2|－(2－3)＝－8＋2－3－2＋3＝－8.3．(1)n a n a m 1m na【做一做3－1】D【做一做3－2】解：23×31.5×612＝1113262323(32)2⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭＝1111113323623236-+++⨯=⨯=. 4．逼近【做一做4】(1)× (2)× (3)× (4)√ 典型例题·领悟【例1】解：(1)2233331255273--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝5－23－2＝3252＝925. (2)2223223310.008(0.2)0.25255----⎛⎫===== ⎪⎝⎭.(3) 33444481324017--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝3－37－3＝7333＝34327. (4)(2a ＋1)0＝⎩⎨⎧1， a ≠－12，无意义， a ＝－12.(5)⎣⎡⎦⎤56－⎝⎛⎭⎫35－1－1＝⎝⎛⎭⎫56－53－1 ＝⎝⎛⎭⎫－56－1＝－65. 【例2】解：(1)3a 3＝a . (2)2 010(x －4)2 010＝|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥4，4－x ，x <4.(3)a 6＝(a 3)2＝|a 3|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，a ≥0，－a 3，a <0.(4)2 011(x －7)2 011＝x －7.【例3】(1)1112 0112(2)35x-(3)19b利用m na=a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)和1m nmna a-=(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)转化即可．(1)原式＝12 011211＝1112 0112；(2)==＝3591353511()x x x-==.(3)原式＝2221211()3334394[()]b bb ---⨯⨯-==.【例4】解：∵11223a a-+=，∴211229a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴a ＋2＋a －1＝9.∴a ＋a －1＝7.∴(a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋2＋a －2＝49.∴a 2＋a －2＝47.【例5】解：211221122111111 222222x yx yx y x y x y⎛⎫-⎪-⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝12 ()2()x y xyx y+--.①∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. ∵x＜y，∴x－y＝－6 3.③将式②③代入式①，得11122211229x yx y-==+随堂练习·巩固1．A 36a3＝36·a≠2a；3－2＜0，而6(－2)2＞0；－342＜0，而4(－3)4×2＞0.2．C由2－x有意义，得x≤2，∴原式＝(x－2)2－(x－3)2＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝－1.3．解：(1)原式＝23 23132 3241455 (55)55--÷=＝213155 3424124 5555 ---=-.(2)原式＝1319 3325103152aa aa a--==⋅.。

• MATHEMATICS n数学第三章基本初等函数（I）3. 1指数与指数函数3. 1.1实数指数幕及其运算【课标要求】1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幕的意义.【核心扫描】1-根式与分数指数幕的互化.（重点）2.根式的性质.（易混点）3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI》课前探究学习挑战自我［点点落实自学导引1."次方根的概念（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。

的〃次方根.（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指数,a叫做被开方数.2.根式的性质（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）\a\3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：in _Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、m. e N * ,且几 > 1)；(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,dM（）;_2l_ ["〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.名师点睛1.根式紡的符号：根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。

3.1 指数与指数函数的教学设计§3.1.1实数指数幂及其运算（第一课时—— 第二课时）一、学习目标1. 理解n 次方根、根式、分数指数幂概念，了解实数指数幂的意义，会对根式、分数指数幂进行互化；2. 掌握分数指数幂的运算性质，熟练运用性质进行化简，求值；3. 通过复习回顾初中所学整数幂运算，用类比的思想来完成实数指数幂的学习；4. 借助计算器或计算机进一步体会“用有理数逼近无理数”的数学思想.二、重点难点1. 重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质；解决方法：利用正整数幂的概念及性质进行类比分析，由简到繁，逐步深入.2. 难点：根式的概念及分数指数幂的概念；解决方法：由具体到一般，注意过程分析.三、教学内容安排本小节内容包括整数指数幂、分数指数幂、根式的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算.1. 整数指数幂的概念及运算性质在初中我们首先研究了正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即个n a a a a ⋅=''正整数指数幂的运算法则有五条：①n m n m a a a +=⋅②n m n m aa a -=÷ （n m a >≠,0） ③mn n m a a =)( ④n n nb a ab ⋅=)( ⑤n nn ba b a =)( )0(≠b 为保证这些法则可以从定义直接推出，我们限定m ，n 都是正整数，且在法则②中限定n m >，为了取消n m >的限制，我们定义了零指数幂和负整数指数幂：1=a )0(≠a nn a a 1=- （0,≠∈+a N n ） 这样一来，原来的5条运算律就可以归纳为3条①③④同时，将指数的概念扩大到了整数. 在这里，应该指出：由于零指数或负整数指数幂要求底数不等于0，因而，对于整数指数幂而言，当然就要求“底数不等于0”2. 根式教材中安排根式这部分内容，是为讲分数指数幂做准备，所以本节教材只讲根式的概念及其性质，先复习平方根、立方根的定义，然后给出n 次方根的定义，同时教材根据n 次方根的意义得出了n 次方根的性质（1）n 次方根的定义如果a x n =，则称x 为a 的n 次方根，n 次方根的定义是平方根、立方根定义的推广，对比平方根、立方根概念，可知：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0，设R a ∈，n 是大于1的奇数，则a 的n 次方根为n a ，如－27的3次方根为3273-=-； ②在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数的偶次方根没有意义，设0≥a ，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根记作n a ±，如16的4次方根为2164±=±，416为16的4次方根中的正根.（2）开方与乘方求a 的n 次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方运算相混，如求3的四次方，结果是8134=，而求3的四次方根，结果为43± ，对于根式符号n a ，要注意以下几点；①N n ∈，且1>n ②零的任何次方根都是零 ③n 为奇数或0≥a 时，a a n n =)(④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当0≥a 时有意义，当0<a 时无意义，)0(≥a a n 表示a 在实数范围内的一个非负n 次方根，另一个是a a a n n n =±-)(;.⑤式子nn a 对任意R a ∈都有意义，当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n 如22)2(22-≠=-要加以注意 （3）根式的概念是教学的难点.教课时，可举几个具体实例，然后再给出n 次方根的一般定义.方根的性质，可以结合立方根与平方根的性质来讲述，即n 次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此，教课时可以以平方根与立方根为基础来说明.3. 分数指数幂（1）分数指数幂规定：①正数的正分数指数幂的意义是：n m n ma a =（nm N n m a 且,,,0+∈>为既约分数） ②正数的负分数指数幂的意义是：n m n mn ma a a 11==- （+∈>N n m a ,,0，且nm 为既约分数） ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）关于分数指数幂要注意以下几点：①. nm a 的意义，分数指数幂是根式的一种新的写法，根式与分数指数幂表示相同意义的量，只是形式上不同而已.②. 0的指数幂，0的正分数指数幂是0，0的负分数幂没有意义，负数的负分数指数幂是否有意义，应视n m ,的具体数值而言.③. 指数概念在引入了分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.4. 分数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样： s r s r a a a +=⋅； rs s r a a =)(； r r r b a ab =)(；式中0,0>>b a ，Q s r ∈,，对于这三条性质须记准、记熟，会用、用活.5. 讲述实数指数幂的意义及其运算性质时，让学生进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，并结合例1、例2让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程.6. 参考例题与练习（1）用根式的形式表示下列各式（0>a ）51a 43a 53-a 32-a（2）用分数指数幂表示下列各式 ①32x ②43)(b a + )0(>+b a ③32)(n m - ④4)(n m - （n m >） ⑤56q p （0,>q p ） ⑥m m 3（3）计算 ①5.02120)01.0()412(2)532(-⨯+-- ②432981⨯； ③632125.13⨯⨯ ④)()2(2222---÷+-a a a a（4）化简： ①)65)(41(561312112132-----y x y x yx ②212112m m m m +++-- ③33323323134)21(248a ab a ab b ba a ⨯-÷++-（式中0,0>>b a ）（扩展） （5）已知32121=+-a a ，求下列各式的值①1-+a a ②22-+a a ③21212323----a a aa （扩展）（6）已知22=n a+1，求n n n n a a a a --++33的值（其中+∈N n ），（扩展） （7）若212121x a a =+-（0>a ）求x x x xx x 424222----+-的值.四、教学资源建议教材、教参，与教材相关的课件；信息技术手段等.五、教学方法与学习指导策略建议根据学生情况及本节知识特点，建议采用启发式教学与讲授式教学相结合的教学方法.。

2.1.2 指数函数及其性质（1）三维目标一、知识与技能1.掌握指数函数的概念、图象和性质..能借助计算机或计算器画指数函数的图象. 3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质. 二、过程与方法1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程，数形结合的方法等.2.通过探讨指数函数的底数a ＞0，且a ≠1的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的人.三、情感态度与价值观1.通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，逐步培养学生的应用意识.2.在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段. 教学重点指数函数的概念和性质. 教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教具准备多媒体、学案. 教学过程（一）新课导学探究一：指数函数的概念问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即 12），第2次由2个分裂成4个（即 ），第3次由4个分裂成8个（即 ），如此下去，如果第x 次分裂得到 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的关系式是问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的关系式是【讨论】：（1）这两个关系式是否构成函数？我们发现：在两个关系式中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应，因此关系式2x y= 和 1()2xy = 都是函数关系式。

（2）这是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？我们发现： 函数2x y= 和 1()2xy =在在形式上是是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上。

底数是常数，指数是自变量。

结论：函数2x y= 和 1()2x y =都是函数y =a x 的具体形式.函数y =a x是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决好多生活中的实际问题，这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数. （引入新课，书写课题）（二）概念讲解指数函数的概念：一般地，函数y =a x （a ＞0，a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 思考：1、指数函数解析式的结构特征： ①xa 前面的系数为：1 ②a 的取值范围：a ＞0，a ≠1③指数只含x2：为什么规定10≠>a a 且呢？否则会出现什么情况呢？①当0=a ，ⅰ若0>x ，则00=xⅱ若0≤x ，则x0无意义，如：21-=x ，则010102121===-y 无意义。

高中数学 3.1.1指数及其指数幂运算学案 新人教B 版必修1本节课重点是分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质。

学习难点是根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化主要让学生理解1、n 次方根及n 次根式的概念；掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值。

2、分数指数幂的概念；掌握指数幂的运算性质；掌握根式与分数指数幂的互化；新课中通过对整数指数幂的运算性质进行类比，归纳分数指数幂的运算性质.培养学生观察、类比的能力，渗透“转化”的数学思想，培养学生的应用意识。

主要是通过自主预习由学过的二次方根和三次方根类比推得n 次方根的定义及性质，性质一般会在预习中混淆，所以在新课教授中再予以强调。

新课教授中通过学生合作探究进一步强化n 次方根的定义与性质及指数幂的推广，师生共同探究指数幂性质应用时的限制条件。

通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯。

附本课设计的主要内容：预习案、学案、自我测评3、1、1指数及指数幂运算预习案（第一课时）昌邑一中 丁春梅学习目标 知识与技能：1. 理解n 次方根及n 次根式的概念；掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值。

2. 理解分数指数幂的概念；掌握指数幂的运算性质；掌握根式与分数指数幂的互化； 过程与方法：通过对整数指数幂的运算性质进行类比，归纳分数指数幂的运算性质. 情感态度价值观：培养学生观察、类比的能力，渗透“转化”的数学思想，培养学生的应用意识。

通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； 学习重点分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质 学习难点根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化 学习过程 一、自主学习： 知识链接：1、整数指数幂概念： n aa a a =⋅⋅⋅个 )(*∈N n ； ()00a a =≠；n a -= ()0,a n N *≠∈.2、指数幂由正整数指数幂扩充到整数指数幂的依据为： 。

3.1.1实数指数幂及其运算（课课前预习案）一．教学目标：1 理解分数指数幂的概念及有理指数幂的意义；2 掌握有理指数幂的运算性质。

二．学习重点难点:1 重点：分数指数幂的概念及分数指数幂的运算性质；2 难点：根式的概念及分数指数的概念。

三．课前自学: 知识梳理 学点一 整数指数 正整数指数幂的运算法则（1）m na a = ， （2）()m na = ，（3）m n a a= ， （4）()mab = 。

学点二 分数指数幂1．n 次方根的概念 . 2．n 次算术根的概念 . 3．根式的概念 . 4．正分数指数幂的定义1na = ； m na = . 5．负分数指数幂运算法则m na-= .6．有理指数幂运算法则a a αβ= ；()a αβ= ；()ab α=学点三 无理指数幂1． 一般地，当a>0，α为任意实数时，实数指数幂都是有意义的。

2． 无理指数幂的运算性质同有理指数幂运算法则。

3.1.1实数指数幂及其运算（课堂教学案） 【题型一】 整数指数幂的运算例1 求值：① 08= ，②()08-= ，③当()0a b a b ≠-时，= ,④310-= ，⑤612-⎛⎫- ⎪⎝⎭= ， ⑥()32x -= ,⑦232x r -⎛⎫ ⎪⎝⎭= ，⑧0.0001= ， ⑨22a b c = ,【题型二】根式的运算例2求值：①33)8(-=_________； ②2)10(-= _____ _______； ③44)3(π-= ____________；④)()(2b a b a >-= ___________ . 【题型三】分数指数幂的运算例3用分数指数幂的形式表示下列各式：33______,_____a a === (式中a ＞0)【变式】求值：3255(1)88⨯= ，23(2)8= ，= ，32134(4)a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭= ，11112222(5)a b a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ， 21122(6)a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= . 【题型四】指数幂的综合运算 例4 化简下列各式：（1）213211113625;1546x y x y x y ---⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) 111222.m m m m --+++变式：计算下列各式：2230);yx a y>【当堂检测】 1．填空（1= ， （2= ， （3）()32(3)x x --= ， （4）221()(5)5x x -= ，（5）2327= ， （6）321(6)4= .（8=___ ________ 2．化简：)()(41412121y x y x -÷-实数指数幂及其运算（课后拓展案）１．下列运算中，正确的是（ ）（A ）5552a a a ⋅= （B ）56a a a +=（C ）5525a a a ⋅= （D ）5315()a a -=-２．下列根式与分数指数幂的互化中．正确的是（ ） （A ）12()(0)x x =-> （B13(0)y y =< （C ）340)xx -=> （D ）130)x x -=≠ 3．式子a化简正确的是（ ）()A 111144a b ()B 111142a b ()C 114a()D 114b4． 42的值是（ ）A. 24aB. 10a C. 113a D. 2a 5．化简 （1）131121373222[()()()]ab ab b ---⋅⋅⋅= ．（2） 21131133344()()x y z x y z ---⋅⋅⋅⋅⋅= ．（3)20a >= ．6．若103,104xy==，则10x y-= ． 7．求值： 341681⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12100-， 314-⎛⎫⎪⎝⎭8．求值：()10.523312570.0272279⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9、（1）已知331122222223,3x x x xx x ---+++=++求的值（选做题）(2)求a 3x ＋a －3x a x ＋a－x 的值，其中a x＝5.教后反思（学后反思）。

3。

1。

1 实数指数幂及其运算错误!教学分析在初中,学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义,从而把整数指数推广到分数指数,进而推广到有理数指数幂,再推广到无理指数幂,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化"的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2）掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3）运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点:(1）分数指数幂及根式概念的理解．（2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题．推进新课错误!提出问题错误!讨论结果:（1）整数指数幂的运算性质:a n＝a·a·a·…·a，a0＝1（a≠0)；00无意义;a－n＝错误!(a≠0）；a m·a n＝a m＋n；（a m）n＝a mn;(a n）m＝a mn；（ab）n＝a n b n.其中n、m∈N＋.(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根．实质上①错误!＝a错误!，②错误!＝a错误!,③错误!＝a错误!，④错误!＝a错误!结果的a的指数是2，4,3,5分别写成了错误!，错误!,错误!，错误!,形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）．(3)利用（2）的规律,错误!＝5错误!，错误!＝7错误!,错误!＝a错误!,错误!＝x错误!。

人教版高中必修1(B版)3.1.1实数指数幂及其运算教学设计一、教学目标•掌握实数指数幂的概念•熟练掌握实数指数幂的运算方法•能够解决实际问题中的运算问题二、教学重难点教学重点•实数指数幂的概念•实数指数幂的运算方法教学难点•运用实数指数幂解决实际问题三、教学内容1.实数指数幂的概念2.实数指数幂的运算方法四、教学步骤第一步：引入实数指数幂通过引入一道具体问题，引导学生了解实数指数幂的概念。

例如：一张面积为1平方米的圆形纸片折成相等的两半，再将其中一个部分继续折成相等的两半，不断折下去，直到最后纸片的面积只剩下了1/1024平方米，问这张纸片折了几次？学生根据已知条件推理出实数指数幂的概念。

第二步：讲解实数指数幂的概念通过引入具体案例，对实数指数幂的概念进行详细讲解。

例如：若正整数a>1，x为实数，则a的x次方就是x个a相乘得到的积，记作a^x。

第三步：讲解实数指数幂的运算方法引入具体运算方式，对实数指数幂的运算方法进行讲解。

例如：a^x*a y=a(x+y)a x/a y=a^(x-y)(a x)y=a^(xy)第四步：举例操作通过实例展示具体的运算过程，引导学生应用实数指数幂的运算方法。

例如：计算2^3*2^(-1)2^3*2(-1)=2(3-1)=2^2=4第五步：练习巩固让学生进行相关的练习和巩固，加深对实数指数幂的理解。

例如：计算下面的值：(1)5^(-2)*10^(3)(2)(1/3)^2*(2/3)^(-3)五、教学方法案例法通过实例引导学生了解实数指数幂的概念。

讲解法让学生了解实数指数幂的运算方法。

实践操作让学生通过练习和操作巩固所学内容。

六、教学时长本次教学所需时间约为2个课时。

七、教学评价针对学生的学习情况，进行适时的小结和评价。

例如：通过课堂互动和练习，学生对实数指数幂的概念和运算方法进行了深入的了解和掌握，课堂效果良好。