ch8_7_1二重积分的概念和性质

选择题
f ( x, y ) d lim f ( , )
D 0 i 1 i i
n
i
中 是( D )
(A) 最大小区间长
(C) 小区域直径
(B) 小区域最大面积 (D) 最大小区域直径
2、二重积分的存在定理
若 f ( x , y ) 在有界闭区域 D上连续， 则 f ( x , y ) 在 D 上的二重积分存在。
D
n
D
0
i 1
i
i
i
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 积 元 分 素 和
对二重积分定义的说明： (1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的； 在小区域 i 内的点 i , i 的取法是任意的。 (2) 二重积分 f ( x , y ) d 中面积元素 d 象征着
2 2 故 I , 5 4
0.4 I 0.5.
性质6 设函数 f ( x, y )在闭区域 D 上连续， 为 D 的面积， 则在 D 上至少存在一点 , 使得
f ( x, y)d f ( , )
D
（二重积分中值定理）
证 设 f ( x , y ) 在 D 上的最大值和最小值分别为 m, M , 则
D1 D2
当 f ( x, y ) 0 时, 则 f ( x , y )d __________ f ( x , y )d .
D1 D2
4、 sin( x 2 y 2 )d __________ ,其中 是圆域
D
x 2 y 2 4 2 的面积 , 16 .
练习题答案
一、1、连续； 2、以 z f ( x, y ) 为曲顶,以 D 为底的曲顶柱体体积 的代数和； 3、>,<； 4、 . 二、 ln( x y )d [ln( x y )]2 d .
D
三、 36
( x
2
4 y 9)d 100 .
例1
x 2 y 2 2 xy 16 D 其中 D : 0 x 1,0 y 2.
估计 I
d
的值，
1 , 区域面积 2 , 解 f ( x, y) 2 ( x y ) 16
1 ( x y 0) 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 M 4 1 1 ( x 1, y 2) f ( x , y ) 的最小值 m 2 2 5 3 4
2
其中 D : x 2 y 1 1,
2 2
D
D
y
则(
C )。
(B)
(A) I1 I 2 (C) I1 I 2
I1 I 2
O
D
x
x y 1
(D) 无法比较
性质5
设 M , m 分别是 f ( x , y ) 在闭区域D上的
最大值和最小值， 为D的面积，则
3、二重积分的几何意义
1) 当 f ( x , y ) 0 时，二重积分
f ( x, y)d
D
表示以
z f ( x , y ) 为顶，以 D 为底的曲顶柱体体积。
2) 当被积函数 f ( x , y ) 0 时，柱体在 xoy 面下方，
此时，二重积分表示曲顶柱体体积的负值。
3) 当 f ( x , y ) 在 D 的若干部分区域上是正的，而在 其它部分区域上是负的， 可以把 xoy 面上方的柱体 体积取为正，xoy 面下方的柱体体积取为负， 则
D
___________________________________. 3、 若 f ( x, y ) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且 D D1 D2 ,当 f ( x, y ) 0 时, 则 f ( x , y )d __________ f ( x , y )d ;
积分和中的 i , 因此 d 0.
D
y
(3)
在直角坐标系下用平行于 坐标轴的直线网来划分区域 D,
y j
D
o x
i xk y j , 则面积元素为 d dxdy
xk
故在直角坐标系下二重积分可写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
f ( x, y )d
D1
?
f ( x, ห้องสมุดไป่ตู้ )d .
D2
（不一定）
sin( x 2 y 2 ) dxdy 的值（ 例 2 2 x y 1 x 2 y 2 4
(A) 为正
(C) 等于0
为负 B ）。
(B) 为负 (D) 不能确定
I 2 ( x y )3 d 的大小， 比较 I1 ( x y ) d 与
i 1 i i i
n
二、二重积分的概念
1、二重积分定义
定义 设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数， 1) 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1 , 2 ,, n . 其中 i 表示第 i 个小闭区域， 也表示它的面积， 在每个 i 上任取一点 i , i ; 2) 作乘积 f i , i i , i 1, 2,, n
播放
步骤如下：
1) 先分割曲顶柱体 的底，并取典型小 区域， 2) 用若干个小平顶 柱体体积之和近似表 示曲顶柱体的体积，
z
z f ( x, y)
o x
D

y
( i ,i )
i
V f ( i ,i ) i
i1
n
3) 曲顶柱体的体积 V lim
0
f ( , ) .
求和
3)
f , ;
i 1 i i i
n
4) 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于 零时，这和式的极限存在； 则称此极限为函数 f ( x , y )在闭区域 D上的 二重积分， 记为
f ( x, y) d , 即 f ( x, y ) d lim f ,
二重积分的概念与性质
一、问题的提出
回想：定积分中会求平行截面面积为已知的立体
体积，旋转体体积。
一般立体的体积如何求
？
１．曲顶柱体的体积
设有一立体，它的底是 xOy 平面上的有界闭区域 D, 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 的
柱面，它的顶是曲面 z f ( x , y ), 且在 D 上连续。
二、 比较下列积分的大小: ln( x y )d 与 [ln( x y )]2 d ,其中 D 是矩形
D
闭区域: 3 x 5,0 y 1 .
三、估计积分 I
( x 2 4 y 2 9)d 的值,其中 D 是圆
D 2
形区域: x 2 y 4 .
f ( x, y) g( x, y ) d
f ( x , y )d g( x , y )d .
D D
性质2
对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d .
2
D D1 D2
性质3 若 为 D 的面积，则 1 d d .
D D
性质4
D
若在 D 上， f ( x , y ) g( x , y ), 则有
D
f ( x , y )d g( x , y )d .
特别地
f ( x, y )d f ( x, y ) d .

y
D
四、小结
二重积分的定义 （和式的极限）
（曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义
二重积分的性质
练习题
填空题: 1、 当函数 f ( x, y ) 在闭区域 D 上______________时, 则其在 D 上的二重积分必定存在 . 2、 二 重 积 分 f ( x , y )d 的 几 何 意 义 是
这里 f ( x , y ) 0 ,
z f ( x, y)
z
此立体称为曲顶柱体。
O
x
y
D
分析：
柱体体积 = 底面积×高 特点：平顶.
z
曲顶柱体体积 =
？
曲顶柱体特点：曲顶.
O
x
y
D
回忆：曲边梯形面积如何求？
思想是以直代曲、以不变代变。
如何创造条件使平与曲这对矛盾转化？
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
m f ( x , y )d M ,
D
显然 0. 所以 m
由介值定理可知： 在 D 上至少存在一点 , 使得
D
f ( x , y )d M ,
1
f ,
两端乘以 , 就得所要证的不等式。
f ( x, y )d
D
m f ( x , y )d M
D
（二重积分估值不等式）
不作计算，估计 I 是： 解
2 2
e
D
x2 y2
d 的值，其中 D
x y 2 1 (0 b a ). 2 a b
m e
1
x2 y2
M
a2
ab I e ab
a2
e
1
二重积分中值定理几何意义
f ( x, y)d f ( , )
D
若 f ( x , y ) 为在闭区域 D 上的非负连续函数， 则 以 D 为底， z f ( x , y ) 为曲顶的曲顶柱体的体积 等于 以D为底，以 f ( , ) 为高的 平顶柱体的体积。