2019-2020学年广东省联考联盟高一上学期质量检测数学(A 重点)试题一、单选题1．若集合{}|0A x x =>，{}|03B x x =<≤，则A B =U （ ） A ．{}|0x x > B ．{}|03x x <≤ C ．{}|3x x ≥ D ．{}|3x x >【答案】A【解析】根据集合的并集运算，即可求解. 【详解】因为||0}A x x =>，{|03}B x x =<≤，{}0A B x x ⋃=.故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集运算，属基础题.2．函数y = ）A ．()–2,12()1,-UB ．(1)-⋃C ．22⎡-⎢⎣⎦D ．[1)-U【答案】C【解析】根据被开方数是非负数，列不等式求解即可. 【详解】要使得函数有意义，则2120x -≥解得x ⎡∈⎢⎣⎦.故选：C. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，属基础题.3．下列说法正确的是（ ） A ．某厂一批产品的次品率为110，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品 B ．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5C ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈D ．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨 【答案】B【解析】试题分析：根据事件的频率的概念和事件概率的含义判断正误即可． 详解：A.产品的次品率是通过大量的产品通过实验得到的数据，题目中的产品个数很少，故不正确；B.掷硬币正面或反面朝上的概率是通过大量实验得到的准确的值，和实验次数无关，故正确；C.解释同A 选项，也不正确；D ．事件的概率是大量实验后得到的结果，是准确的值，和实验次数无关，但是D 选项的说法体现的不是概率的概念，故不正确．点睛：这个题目考查的是事件的概率的概念和事件频率的概念，这两个值都是通过大量的实验得到的数据，频率和实验次数有关系，概率和实验的次数无关． 4．三个数21log 4，0.12，0.22的大小关系是（ ） A ．0.10.221log 224<< B ．0.20.121log 224<< C ．0.10.22122log 4<< D ．0.10.2212log 24<< 【答案】A【解析】将三个数与0或1进行比较，从而区分大小. 【详解】 由题意得221log log 104<=， 0.10.2122<<，∴0.10.221log 224<<. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式、对数式的比较大小，属基础题.5．某校有高一学生450人，高二学生540人，高三学生630人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（ ） A ．45 B ．60 C ．50 D ．54【答案】D【解析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n 的值． 【详解】 解：根据题意可得450450540630++=15n，求得 n =54，故选：D ． 【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．6．函数()x 2f x 2a 1(a 0+=->且a 1)≠图象恒过的定点是( )A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1--D ．()1,1-【答案】B【解析】根据指数函数的图象恒过定点()0,1，即求得()f x 的图象所过的定点，得到答案． 【详解】由题意，函数()x 2f x 2a1(a 0+=->且a 1)≠，令x 20+=，解得x 2=-，()0y f 22a 1211∴=-=⨯-=-=， ()f x ∴的图象过定点()2,1-．故选：B ． 【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，其中解答中熟记指数函数过定点问题的求解方法是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．已知如表所示数据的回归直线方程为ˆ5yx a =-，且由此得到当7x =时的预报值是27，则实数m 的值为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B【解析】由预测值，可以求得参数a ，进而由回归直线过样本中心点，求得参数m . 【详解】 由题可知：_2345645x ++++==，3710234355m m y +++++==则43545m a +=⨯-①， 又2757a =⨯-②，联立①②解得8a =，17m =． 故选：B. 【点睛】本题考查回归直线经过样本中心点的知识点，属基础题. 8．若函数()221ax x f x =-+在区间11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][],20,4-∞-⋃ B ．[]2,4- C ．(](],20,4-∞-U D ．[]2,0-【答案】B【解析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，根据二次函数的性质列式求解即可. 【详解】因为当0a =时，函数()21f x x =-+在区间11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，当0a ≠时，函数的对称轴为1x a =，由题可知112a ≤-或114a ≥， 所以20a -≤<或04a <≤.综上可知，a 的取值范围是[]2,4-. 故答案为B. 【点睛】这个题目考查了二次函数的性质的应用，考查了二次函数的单调性，二次函数的单调性和函数的开口方向，对称轴有关.9．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()f x x x =-，则当0x <时，()f x 的解析式是（ ） A ．2()f x x x =- B ．2()f x x x =-- C ．2()f x x x =+ D ．2()f x x x =-+【答案】C【解析】利用函数奇偶性，结合题意，即可求得解析式. 【详解】设0x <，则0x ->， 因为0x ≥时，2()f x x x =- 所以22()()()f x x x x x -=---=+， 又因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以2()(),()f x f x f x x x -==+， 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，属基础题.10．已知函数()lg ||f x x a =+在区间(1,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(–,1]∞- B ．[–1,)+∞C ．(–],1∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】根据函数()lg ||f x x a =+的图像特征，数形结合进行判断. 【详解】当1a =时，函数()lg |1|f x x =+的图象如图所示：当1a >时，图象向左平移，满足题意，∴1a ≥． 故选：D. 【点睛】本题考查对数型函数单调性的判断，属基础题，涉及数形结合. 11．如果已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关【答案】A【解析】设,0(),()log ,0x xa xa x f x a g x x a x -⎧≥===⎨≤⎩分别作出它们的图象如图所示： 由图可知有两个交点，故选A.12．已知函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，定义域都是R ，且3()()3+=-x f x g x x ，则()()12f g -+-=（ ）A ．389-B ．389C ．159-D ．159【答案】B【解析】根据题意，结合函数的奇偶性，求出函数()(),f x g x ，代值计算即可.【详解】因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 故()()()()33xf xg x f x g x x --+-=-+=+，又3()()3+=-x f x g x x ，解方程可得：()()333332,22x x x x x g x f x --+--==故()()12f g -+-=123323938229---+++=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，属重要题型.二、填空题 13．化简：5155log 15log 21log 7++=__________．【答案】1【解析】515555555157log 15log 21log 7log 15log 21log 7log log 5121⨯++=-+===. 答案为：1.14．函数()()20.2log 231f x x x =--+的单调递增区间是_____.【答案】()–,1∞-【解析】将函数视为复合函数，根据“同增异减”的判断原则，进行求解；注意定义域的取舍. 【详解】记()223u x x x =--，当()y f x =单调递增时，()y u x =单调递减， 由()2230u x x x =-->得3x >或–1x <，又当1x <-时，()y u x =单调递减. 故–1x <．故答案为：()–,1∞-. 【点睛】本题考查复合函数单调区间的求解，遵循“同增异减”的原则.15．已知函数()f x 满足()2–11log f x x =-，且()3f m =，则m =______. 【答案】34-【解析】由题可知函数()f x 的解析式，再根据函数值求解自变量即可. 【详解】由2(1)1log f x x -=-得2()1log (1)f x x =-+， 因为()3f m =，所以2()1log (1)3f m m =-+=， 即2log (1)2m +=-，则21124m -+==，则34m =-．故答案为：34-. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，以及根据函数值计算自变量的值，属基础题.16．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高一年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最大值是_____． 【答案】10【解析】根据平均数和方程列式，然后利用二次函数的判别式小于零，求得样本数据的最大值. 【详解】设五个班级的数据分别为a b c d e <<<<，根据平均数和方差得75a b c d e ++++=，()()()()()222227777745a b c d e -+-+-+-+-=，显然各个括号为整数.设7,7,7,7,7a b c d e -----分别为(),,,,,,,,p q r s t p q r s t Z ∈，则2222220p q r s t p q r s t ++++=⎧⎨++++=⎩，设()()()()()()22222f x x p x q x r x s x t =-+-+-+-+-()()2222242x p q r s x p q r s =-+++++++224220x tx t =++-，由已知()0f x >，则判别式∆<0，即()22444200t t -⨯-<，解得4t <，即3t ≤，所以710e t =+≤，即样本数据中的最大值是10.【点睛】本小题主要考查样本平均数和方差的计算公式，考查样本中数据最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．设全集U =R ，集合{}2|560A x x x =--=，{|ln(),B x y x a a ==-是常数}．（1）若1a =，求A B I ；（2）若()U A C B ⋂=∅，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}6A B ⋂=；（2）(,1)-∞-.【解析】试题分析：（1）分别求出集合A B ，，从而求出A B ⋂即可； （2）求出U C B ，结合()U A C B ⋂=∅，从而求出a 的取值范围. 试题解析：（1）1a =时，{}1B x x =，又{}1,6A =-，所以{}6A B ⋂=．（2）因为{|}U C B x x a =≤，{}1,6A =-，所以()U A C B ⋂=∅，所以a 的取值范围是(),1-∞-．18．已知幂函数()f x 的图象经过点1(2,)4-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在(0,)+∞上是减函数． 【答案】（1）221()f x xx-==（2）证明见详解. 【解析】（1）设出幂函数的解析式，根据函数过点1(2,)4-，解方程即可求得； （2）根据函数单调性的定义，按照作差、定号的步骤进行证明. 【详解】（1）设幂函数()af x x =，则有1(2)4a =-，即()()2–22a-=-，∴–2a =，∴221()f x x x-==. （2）证明：在(0,)+∞上任取12,x x ，且12x x <.则()()()()()()2221212112222212121211x x x x x x f x f x x x x x x x -+--=-==， 因为12x x <，故210x x ->，即()()120f x f x -> ∴12()()f x f x >，∴函数()f x 在(0,)+∞上是减函数.即证. 【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及用单调性的定义证明函数的单调性，属重要题型. 19．已知一个口袋有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外全部相同，现将口袋中的球随机逐个取出，并依次放入编号为1，2，3，4的抽屉内. （1）求编号为2的抽屉内放黑球的概率；（2）口袋中的球放入抽屉后，随机取出两个抽屉中的球，求取出的两个球是一黑一白的概率. 【答案】(1) 14P =.(2) 12P =. 【解析】(1)4个球放入编号为1，2，3，4的抽屉里，有4种方法，满足题意的有1中，根据古典概型公式得到结果；（2）根据抽屉的编号，对于一种确定的放法，取法有6种情况，满足一白一黑的有3种情况，进而得到结果. 【详解】（1）将口袋中的3个白球，1个黑球，依次放入编号为1，2，3，4的抽屉内，共有4种不同的放法，分别是（白，白，白，黑），（白，白，黑，白），（白，黑，白，白），（黑，白，白，白），其中编号为2的抽屉内放黑球的情况有1种，所以编号为2的抽屉内放黑球的概率为14P =. （2）假设口袋内的球逐个依次取出放入抽屉内后是（白，白，白，黑），随机取出两个球，根据抽屉的编号，可能是()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4共6种，其中一黑一白的是()1,4，()2,4，()3,4共3种，所以取出的两个球是一黑一白的概率为12P =. 【点睛】本题考查了古典概型公式的应用，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.20．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月用水量的中位数.【答案】(1) ；(2)36000；（3）.【解析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.（Ⅲ）设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．21．已知函数()x xf x e e -=-. （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 函数()f x 是奇函数.(2) (],2-∞-.【解析】（1）根据函数的奇偶性的定义进行判断即可；（2）根据第一问得到()()()12121f m f m f m -≤-+=--，再由函数的单调性得到不等式求解即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()()()x x x x f x ee e ef x ---=-=--=-， 即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--. 因为x y e =是R 上的增函数，1xy e =-是R 上的增函数， 则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--，解得2m ≤-.故实数m 的取值范围是(],2-∞-【点睛】本题考查了函数的奇偶性的判断以及函数单调性的应用，比较基础.22．已知函数2log ,1,4()[]f x x a x =+∈．（1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若函数()2y f x =⎡⎤⎣⎦的最小值为4，求实数a 的值． 【答案】（1）{|12}x x ≤<（2）–4或2．【解析】（1）根据对数函数的单调性，求解对数不等式即可，注意定义域的限制；（2）采用换元法，将目标函数转化为二次函数的最值问题，进行处理.【详解】（1）当1a =时，不等式为2log 1x <，即22log log 2x <，解得2x <.又[]1,4x ∈所以不等式的解集为{|12}x x ≤<．（2）因为函数2[()]y f x =即()2222log 2log ,[1,4]y x a x a x =++∈， 设2log x t =，[0,2]t ∈，则222y t at a =++，[0,2]t ∈．当0a -≤，即0α≥时，2min 4y a ==， ∴2a =或–2a =（舍去）；当02a <-≤，即–20a ≤<时，min 04y =≠，∴a 无解；当2a ->，即–2a <时，22min 44(2)4y a a a =++=+=， ∴–4a =或0a =（舍去）．综上可知，实数a 的值是–4或2．【点睛】本题考查利用对数函数的单调性求解对数不等式，以及利用换元法求解对数型函数的值域，涉及二次函数动轴定区间的问题，属综合中档题.。
