广州市高一数学上学期期末试卷含答案

一、单选题1．设集合，，（ ） {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =A B = A ． B ． C ． D ．{}2{}2,3{}3,4{}2,3,4【答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【详解】因为集合，， {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =所以. {}2,3,4A B = 故选：D2．下列函数为增函数的是（ ） A ．B ．()f x x =()2xf x =C ．D ．()2f x x =()0.5log f x x =【答案】B【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A ；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD 作答.【详解】对于A ，函数，函数在上单调递减，在定义域R 上不单,0(),0x x f x x x x -≤⎧==⎨>⎩()f x (,0]-∞调，A 不是；对于B ，函数在R 上单调递增，B 是；()2x f x =对于C ，函数在上单调递减，在定义域R 上不单调，C 不是； 2()f x x =(,0]-∞对于D ，函数在上单调递减，D 不是. 0.5()log f x x =(0,)+∞故选：B3．设a ，，则“”是的（ ） R b ∈0a b <<11a b>A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】因为， 11b a a b ab--=所以当时，，0a b <<0,0ab b a >->所以即， 110b a a b ab --=>11a b >当时，取，得不到， 11a b>1,1a b ==-0a b <<所以是充分不必要条件， 0a b <<11a b>故选:A.4．已知，，，则（ ） 3log 0.3a =0.33b =0.50.3c =A ． B ． a b c <<a c b <<C ． D ．c a b <<b c a <<【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答. 【详解】，，， 33log 0.3log 10a =<=0.30331b =>=0.5000.30.31c <=<=所以. a c b <<故选：B5．已知是第四象限角，且，则（ ）θ()3sin π5θ+=πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．7177-17-【答案】A【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答. tan θ【详解】由得：，即，而是第四象限角，()3sin π5θ+=3sin5θ-=3sin 5θ=-θ则有，， 4cos 5θ===sin 3tan cos 4θθθ==-所以. π3tan tan1π144tan(π3471tan tan 1()144θθθ+-++===---⨯故选：A 6．已知，则的最小值为（ ）0x <21x x--A ．B ．4C ．D ．11【答案】D【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.【详解】因为，则，， 0x <11x ->22(1)11111x x x x -=+--≥-=--当且仅当，即 211x x=--1x =所以的最小值为. 21x x--1-故选：D7．已知，，则的值为（ ） 1cos cos 2αβ+=1sin sin 3-=αβ()cos αβ+A ． B ．C ．D ．1372-13725972-5972【答案】C【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】， ()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ-=-+=两式相加得， ()()62221113cos cos sin sin 2cos 493αβαβαβ-=+=+=++. ()59cos 72αβ∴+=-故选：C.8．已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x 范围为（ ）A ．B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a 的取值范围，进而求出()y f x =范围作答.1234x x x x 【详解】函数，当时，单调递增，，2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩1x ≤-()ln()f x x =--()0f x ≤当时，单调递减，，10x -<<()ln()f x x =-()0f x <当时，在上递减，在上递增，，0x ≥2()f x x x =-1[0,]21[,)2+∞1()4f x ≥-作出函数的部分图象，如图，()y f x =方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<y a =()y f x =图象有4个公共点， 观察图象知，，，104a -<<123411012x x x x <-<<<<<<显然有，且，由得，12|ln()||ln()|x x --=--341x x +=12|ln()||ln()|x x --=--12ln()ln()0x x -+-=即，则有，因此，12ln()0x x =121=x x 21234333111(1)()(0,)244x x x x x x x =-=--+∈所以的取值范围为.1234x x x x 1(0,4故选：B【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.二、多选题9．下列函数为奇函数的是（ ） A ． B ．()21f x x =()3f x x =C ．D ． ()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭()1f x x x=+【答案】BCD【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答. 【详解】对于A ，函数的定义域为，，是偶函()21f x x =(,0)(0,)-∞+∞ 21()()()f x f x x -==-()f x 数，A 不是；对于B ，函数的定义域为R ，是奇函数，B 是；()3f x x =()f x 对于C ，函数中，，解得，即的定义域为， 1()ln(1x f x x+=-101xx +>-11x -<<()f x (1,1)-，是奇函数，C 是；11()ln(ln()()11x xf x f x x x-+-==-=-+-()f x 对于D ，函数的定义域为，，是奇函数，1()f x x x =+(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x x f x x-=-+=--()f x D 是. 故选：BCD10．下列命题为真命题的是（ ） A ．任意两个等边三角形都相似 B ．所有的素数都是奇数 C ．， D ．，R x ∀∈0x x +≥R x ∃∈210x x -+=【答案】AC【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A ，因为所有的等边三角形的每个内角都为，因此任意两个等边三角形都相似，60 A 正确；对于B ，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B 错误； 对于C ，因为，，即，C 正确；R x ∀∈||x x ≥-||0x x +≥对于D ，因为，，D 错误.R x ∀∈221331(0244x x x -+=-+≥>故选：AC11．记函数，，其中．若，则（ ） ()()sin 2f x x ϕ=+x ∈R π2ϕ≤π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．为奇函数D ．为奇函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由对称性得到为对称轴，故，代入解析式得到或，求出函数解π2x =π12f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭π2ϕ=-π2析式或，分两种情况计算出，及判断和()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的奇偶性，推断出四个选项的正误.π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】A 选项，因为，所以为的对称轴， π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ5662πx =+=()f x 故，A 错误；ππsin 2122f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 选项，，解得：，πππ,Z 2k k ϕ+=+∈ππ,Z 2k k ϕ=-+∈因为，所以，解得：， π2ϕ≤ππππ222k -≤-+≤01k ≤≤因为，所以或1，Z k ∈0k =当时，，当时，，0k =π2ϕ=-1k =π2ϕ=故或，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，B 正确； ()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭i 1ππ32s n 2f x x ⎛⎫- ⎪⎭⎝⎫+= ⎪⎝⎭⎛此时不满足，不是奇函数，1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭s 12π2πin 23f x x ⎪⎛⎫+= ⎪⎛⎫+ ⎝⎝⎭⎭不满足，不是奇函数，C 错误； 1212ππf x fx ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，为奇函数，()f x ()sin 4sin 4x x -=-当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，即，()f x ()sin 4sin 4x x --=()()f x f x -=-为奇函数，D 正确. ()f x 故选：BD12．已知正实数x ，y ，z 满足，则（ ） 3515x y z ==A ． B ． x y z +=xz yz xy +=C ．D ．3515x y z>>24xy z >【答案】BCD【分析】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答. 13515x y z t ==>=,,x y z 【详解】是正实数，令，则，,,x y z 13515x y z t ==>=3515log ,log ,log x t y t z t ===， 111log 3,log 5,log 15t t t x y z ===对于A ，，A 错误； ln ln ln ln15ln15ln 5ln 3()(2(24ln 3ln 5ln15ln 3ln 5ln 3ln 5t t t x y z z z +=+=+=++>+>对于B ，因为，则，B 正确；111log 3log 5log 15t t t x y z+=+==xz yz xy +=对于C ，因为，则，即，35153515<<3515log 3log 5log 15t t t <<3log 35log 515log 15t t t <<因此，即有，C 正确； 3515x y z <<3515x y z>>对于D ，， 2221515151515log 3log 5log 3log 511log 3log 5()(log 15)log 15log 15244t t t t z z z xy x y +=⋅=⋅=⋅<==因此，D 正确. 24xy z >故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.三、填空题13．若函数只有一个零点，则实数a 的值为_____________．()22f x x x a =-+【答案】1【分析】利用判别式等于零求解.【详解】因为函数只有一个零点，()22f x x x a =-+所以解得. 440a ∆=-=1a =故答案为:1. 14．计算_____________． 01331log log 120.60.24-+-+=【答案】5【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案. 【详解】. 0133311log log 120.60.2log 1215544-⎛⎫+-+=⨯-+= ⎪⎝⎭故答案为：.5四、双空题15．已知函数，分别由下表给出， ()f x ()g x x0 1 2()f x 1 2 1x 0 1 2 ()g x 2 1 0则_____________；满足的x 的值是_____________． ()1f g ⎡⎤⎣⎦=()()()f g x g f x ⎦>⎡⎤⎣【答案】 2 1【分析】根据列表法给定的函数，x 分别取0，1，2依次计算、即可作答. [()]f g x [()]g f x 【详解】依题意，；()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦，，，，[(0)](2)1f g f ==[(0)](1)1g f g ==()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦[(1)](2)0g f g ==，，因此当且仅当时，成立，[(2)](0)1f g f ==[(2)](1)1g f g ==1x =()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦所以满足的x 的值是1. [()][()]f g x g f x >故答案为：2；1五、填空题16．已知，（且），若对任意的，都存在()221f x x x =--()log a g x x =0a >1a ≠[]11,2x ∈-，使得成立，则实数a 的取值范围是_____________． []22,4x ∈()()12f x g x <【答案】(1,2)【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答. ()f x []1,2-【详解】当时，，则， []1,2x ∈-2()(1)2f x x =--max ()(1)2f x f =-=因为对任意的，都存在，使得成立， []11,2x ∈-[]22,4x ∈()()12f x g x <因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值， ()f x []1,2-()g x []2,4而当时，，，不符合题意，01a <<[]2,4x ∈log 0a x <于是，函数在上单调递增，则，即，解得，1a >()log a g x x =[]2,4log 42a >214a <<12a <<所以实数a 的取值范围是. (1,2)故答案为：(1,2)【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， ()[],,y f x x a b =∈()[],,y g x x c d =∈（1）若，，总有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，故.[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min min f x g x <六、解答题17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点． ()3,4P -(1)求的值；tan α(2)求的值．2sin(π)cos(2π)ππcos()sin()22αααα+++-++【答案】(1)；43-(2). 11-【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答. （2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答. 【详解】（1）角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点， α()3,4P -所以.4tan 3α=-（2）由（1）知，，4tan 3α=-所以. 42()12sin(π)cos(2π)2sin cos 2tan 1311ππ4sin cos tan 1cos()sin()1223αααααααααα-⨯-++++-+-+====-++-++-+18．已知函数，且，．()x b f x x a -=-()124f =()235f =(1)求函数的解析式；()f x (2)根据定义证明函数在上单调递增．()f x ()2,-+∞【答案】(1) ()12x f x x -=+(2)证明见解析【分析】（1）直接根据条件列方程组求解即可；（2）任取，计算判断的符号即可证明单调性.122x x >>-()()12f x f x -【详解】（1）由已知，解得，()()2122432335b f a b f a -⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩21a b =-⎧⎨=⎩； ()12x f x x -∴=+（2）任取， 122x x >>-则，()()()()()()()()()()()12211212121122121212112222223x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+--+---=-==++++++-，122x x >>-Q ，121220,20,0x x x x ∴+>+>->，即， ()()120f x f x ∴->()()12f x f x>函数在上单调递增.∴()f x ()2,-+∞19．已知函数．ππ())sin()sin cos 44f x x x x x =+-+(1)求函数的最小正周期； ()f x (2)在中，若，求的最大值． ABC A π()1212A f -=sin sinBC +【答案】(1)； π【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.()f x （2）由（1）中函数式求出A ，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答. 【详解】（1）依题意，πππ1ππ1()sin()sin[()]sin 2)cos()sin 24242442fx x x x x x x =+-++=+++， π11π2)sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x =++==+所以函数的周期为. ()f x 2ππ2T ==（2）由（1）知，， ππππ()sin[2()]sin()121221236A A f A -=-+=+=在中，，有，于是，解得，则， ABC A 0πA <<ππ7π666A <+<ππ62A +=π3A =2π3BC +=， 2π13πsin sin sin sin()sin sin sin )3226B C B B B B B B B B +=+-=+=+显然，，因此当，即时，， 2π03B <<ππ5π666B <+<ππ62B +=π3B =max (sin sin )BC +=所以sin sin B C +20．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ 中，半径，()100m OP =圆心角，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记，矩形ABCD 的π4POQ ∠=POC α∠=面积为． ()2m S(1)将面积S 表示为角的函数；α(2)当角取何值时，S 最大？并求出这个最大值．α【答案】(1)； ππ5000,044S αα=+-<<(2)，. π8α=2max 5000(m )S =- 【分析】（1）根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答. α（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，在中，，则， Rt OBC △π2OBC ∠=sin 100sin AD BC OC POC α==∠=，在中，，则， cos 100cos OB OC POC α=∠=Rt OAD △ππ,24OAD POQ ∠=∠=OA AD =因此， 100(cos sin )AB OB OA αα=-=-100sin 100(cos sin )S AB BC ααα=⋅=⋅-， 2π10000(sin cos sin )5000(sin 2cos 21)50004αααααα=-=+-=+-所以面积S 表示为角的函数是. αππ)5000,044S αα=+-<<（2）由（1）知，当时，，则当，即时，π04α<<ππ3π2444α<+<ππ242α+=π8α=， max π[sin(2)]14α+=所以当时，. π8α=2max 5000(m )S =21．已知函数的最大值为． ()cos 22sin 2f x x a x a =++12-(1)求a 的值：(2)当时，求函数的最小值以及取得最小值时x 的集合．x ∈R ()f x 【答案】(1)1a =-(2)最小值为-5，的取值构成的集合为 x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x 的集合．【详解】（1）()2cos 22sin 212sin 2sin 2f x x a x a x a x a =++=-++，22sin 2sin 21x a x a =-+++令，则，对称轴， []sin 1,1t x =∈-2()2221f t t at a =-+++02a t =当即时， 012a t =≤-2a ≤-在单调递减，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以不满足题意； max ()(1)22211f t f a a =-=--++=-当即时， 112a-<<22a -<<在单调递增，单调递减， 2()2221f t t at a =-+++1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦所以， 22max 1()()21222a a f t f a a ==-+++=-即解得或（舍）；2430a a ++=1a =-3a =-当即时， 012a t =≥2a ≥在单调递增，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以， max 1()(1)22212f t f a a ==-+++=-解得不满足题意， 18a =综上.1a =-（2）由(1)可得在单调递增，单调递减， 2()221f t t t =---11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦所以当时函数有最小值为，1t =(1)2215f =---=-此时，则的取值构成的集合为. sin 1t x ==x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭22．已知函数，其中e 为自然对数的底数，记．()()e R x f x x =∈()()()g x f x f x =+-(1)解不等式；()()26f x f x +≤(2)若存在，使得成立，求实数k 的取值范围．(0x ∈()()20021g x k g x =⋅-【答案】(1)；(,ln 2]-∞(2) 37(,49【分析】（1）根据给定条件，解指数不等式作答.（2）求出的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.0e x 【详解】（1）函数，则不等式化为：，即，()()e R x f x x =∈()()26f x f x +≤2e e 6x x +≤2e e 60x x +-≤，而，因此，解得，(e 3)(e 2)0x x +-≤e 0x >0e 2x <≤ln 2x ≤所以原不等式的解集是(,ln 2]-∞（2）依题意，，当时，，()e e x x g x -=+0x∈0e x ∈，则， 0000002202202))e e )e e 1e e)1(2(1((x x x x x x g x k g x k ---+=++=+⋅-⇔=-0021)(1e e x x k -=-+令，，， 0e x t =∈001e e ()x x h t t t-+==+(1212,,t t t t ∀∈<，因为，则， 1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--121t t <<121210,10t t t t-<->因此，即，则有函数在上单调递增，12()()0h t h t -<12()()h t h t <()h t (于是当时，，， t ∈12t t <+≤002e e x x -<+00294(e e )2x x -<+≤，从而， 0022119e e )4(x x -≤<+3749k <≤所以实数k 的取值范围是． 37(,49【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.。

数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）{}1,2,3,4,5,6U ={}1,2,3A ={}3,4,5B =()UA B ⋂=ðA. B. C.D.{}4,5,6{}4,6{}6{}4,5【答案】D 【解析】【分析】直接根据补集和交集的概念可得答案.【详解】由已知，又，{}4,5,6=U A ð{}3,4,5B =.(){}U 4,5B A ∴= ð故选：D.2. 命题“，”的否定是（ ）ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-A. ，B. ，2ππ,2x ⎛⎫∀∉- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x -≤C. ，D. ，ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x <-【答案】C 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题“，”的否定是“，”. ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤故选：C.3. 已知函数的最小正周期为2π，则下列说法错误的是（ ） ()()2sin 0f x x ωω=>A.1ω=B. 函数是奇函数()f x C. 当时，函数在上是减函数，在上是增函数 []0,2x π∈()f x []0,π[],2ππD. 当时，在上是增函数，在，上是减函数[],x ππ∈-()f x ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】CD 【解析】【分析】由周期公式判断A ；根据定义判断B ；根据正弦函数的单调性判断CD. 【详解】因为函数的最小正周期为2π，所以，故A 正确；()()2sin 0f x x ωω=>2π2π,1ωω==，定义域为，，即函数是奇函数，故B()2sin f x x =R ()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-()f x 正确；当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递增，在[]0,2x π∈()2sin f x x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误； 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递减，在[],x ππ∈-()2sin f x x =,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误； ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：CD4. 已知a ，b 是实数，且，则“”是“”的（ ） 0a b +≠0a b +>a b +≥A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】因为满足，但不满足，故充分性不满足； 2,1a b ==-0a b +>a b +≥因为等价于，所以，a b +≥20≥0,0a b ≥≥因为，所以不同时为0， 0a b +≠,a b 所以能得到，故必要性满足，0a b +>所以“”是“”的必要不充分条件 0a b +>a b +≥故选：B 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） 12a=2log b =5log 3c =,,a b c A. B. c<a<b a c b <<C. D.c b a <<a b c <<【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性来比较大小即可. 【详解】函数在上单调递增，log (1)a y x a =>()0,∞+，221log log 2b a =>==，55log 31log 2a c ==>=，2453311log log 3log 3log 4log 5b c ===>==.a cb ∴<<故选：B.6. 已知是第二象限的角，，则的值是（ ） α23sin sin cos 2ααα-=cos αA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先将条件等式变形为分子分母为关于的二次齐次式，然后同除即可得关于sin ,cos αα2cos α的方程，求出，进而可得，则可求.tan αtan ααcos α【详解】是第二象限的角，αQtan 0,cos 0αα∴<≠， 2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα--∴-===++解得，tan 1α=-， 3π2π,Z 4k k α∴=+∈. cos α∴=故选：A.7. 下列函数中，最小值为2的是（ ） A. ()1f x x x=+B. ()()2212sin π,Z 2sin f x x x k k x=+≠∈C.()e e xxf x -=+D. ()()111f x x x x =+>-【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可. 【详解】对于A ：当时，，A 错误； =1x -()12f -=-对于B ：， ()2212sin 22sin f x x x =+≥=当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B 错误； 2212sin 2sin x x=2sin 2x =()2f x ∴>对于C ：，当且仅当，即时等号成立，C 正确； ()2e e x x f x -+=≥=e e =x x -0x =对于D ：当时，，当且仅当1x >()11111311f x x x x x =+=-++≥+=--111x x -=-，即时等号成立，D 错误； 2x =故选：C.8. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，()f x R ()1f x +()10-,1x ，且，都有成立，，则不等式的解集()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-()11f =()0f x x ->为（ ）A. B.()(),11,-∞-⋃+∞()1,1-C. D.()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由()1f x +()10-,()f x R 可得，故可得在上单调递增，然后分()()2112120x f x x f x x x ->-()()1212120f x f x x x x x ->-()()f xg x x=()0,+∞，和三种情况进行求范围即可0x =0x >0x <【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是()1f x +()f x ()1f x +()10-,，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， ()f x ()0,0()f x R ()()111f f -=-=-对任意的，，且，都有成立，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-所以， ()()()()()12211212121212f x f x x f x x f x x x x x x x x x --=>--令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， ()()f xg x x=()g x ()0,+∞由是上的奇函数可得是上的偶函数 ()f x R ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以在上单调递减，()g x (),0∞-当时，不等式得到，矛盾； 0x =()0f x x ->000->当时，转化成即，所以； 0x >()0f x x ->()()111f x f x >=()()1g x g >1x >当时，转化成，，所以， 0x <()0f x x ->()()111f x f x -<=-()()1g x g <-10x -<<综上所述，不等式的解集为 ()0f x x ->()()1,01,-⋃+∞故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） ()0,∞+A. B. cos y x =2y x =-C .D. y x =21y x =【答案】BD 【解析】【分析】直接根据函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ：是偶函数，但在上不是单调函数，A 不符； cos y x =()0,∞+对于B ：是偶函数，且在上单调递减，B 符合； 2y x =-()0,∞+对于C ：是偶函数，且在上单调递增，C 不符； y x =()0,∞+对于D ：是偶函数，且在上单调递减，D 符合. 221y x x-==()0,∞+故选：BD.10. 设实数a ，b 满足，则下列不等式中正确的是（ ）01b a <<<A.B.11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D.ln ln a b >b b a b <【答案】BC 【解析】【分析】选项A ：做差判断；选项BCD ：构造函数，利用函数单调性判断.【详解】对于A ：，，，()()111b a ab a b a b ab --⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭01b a <<< 0,10,0b a ab ab ∴-<->>，即，A 错误； 110a b a b ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭11a b a b +<+对于B ：函数在上的单调递减，又，，B 正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R b a <1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ：函数在上的单调递增，又，，C 正确； ln y x =()0,∞+b a <ln ln a b \>对于D ：函数在上的单调递增，又，，D 错误； ,0b y x b =>()0,∞+b a <b b a b ∴>故选：BC.11. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ） A. 如果θ是第一或第四象限角，那么 cos 0θ>B. 如果，那么θ是第一或第四象限角 cos 0θ>C. 终边在x 轴上的角的集合为{}2,Z k k ααπ=∈D. 已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，利用三角函数的定义即可判断；对于B ，举反例即可；对于C ，直接写出对应角的集合；对于D ，利用扇形的面积和弧长公式即可【详解】对于A ，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确； cos 0θ>对于B ，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误； 0θ=cos 10θ=>对于C ，终边在x 轴上的角的集合为，故错误； {},Z k k ααπ=∈对于D ，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，βr 则，解得，故正确 224112r r r ββ+=⎧⎪⎨=⎪⎩21r β=⎧⎨=⎩故选：AD12. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩A.1a =B.1a =-C. 函数是偶函数 ()1y f x =+D. 关于x 的不等式的解集为 ()12f x >()0,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a 的值，判断A ，B ；根据图象的平移结合偶函数的性质可判断C ；分段解不等式可得不等式的解集，判断D. ()12f x >【详解】由函数图像可知为函数的对称轴，即函数满足， 1x =()f x ()2()f x f x -=则当时，则，故，则， 1x >21x -<2,222x a a x x a a x ---∴--=-=1a =同理当时，则，故，则， 1x <21x ->2,222a x x a a x x a -+--+=∴=-1a =综合可知，A 正确；B 错误.1a =将的图象向左平移1个单位，即得函数的图象，()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩()1,R y f x x =+∈则的图象关于y 轴对称，故为偶函数，C 正确；()1y f x =+()1y f x =+当时，，令，解得，故； 1x ≥1()2x f x -=1212x->2x <12x ≤<当时，，令，解得，故，1x <1()2x f x -=1122x ->0x >01x <<综合可得，即不等式的解集为，D 正确，02x <<()12f x >()0,2故选：ACD【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定义去判断解答，即可求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数_____________． ()()2log 2f x x =-+【答案】 [)3,2-【解析】【分析】直接根据对数的真数大于零及被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】由已知得，解得， 22090x x ->⎧⎨-≥⎩32x -≤<即函数. ()()2log 2f x x =-+[)3,2-故答案为：. [)3,2-14. 已知，，则_____________． 12sin cos 25αα=-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos αα-=【答案】## 751.4【解析】【分析】先通过角的范围确定的符号，然后通过计算可得答案. sin cos αα-()2sin cos αα-【详解】， π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，即，sin 0,cos 0αα∴><sin cos 0αα->又， ()21249sin cos 12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⨯-=⎪⎝⎭. 7sin cos 5αα∴-=故答案为：. 7515. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是()y f x =R 0x ≥()f x =0x <()f x _____________．【答案】()f x =【解析】【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案.【详解】函数在上为奇函数，且当时，()y f x =R 0x ≥()f x =当时，，0x <0x ->，()()f x f x ∴=--=故答案为：.()f x =16. 对于函数和，设，，若存在使得，则()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}0x g x β∈=,,αβ1αβ-≤称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与()f x ()g x ()()ln 23f x x x =-+-互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为_____________．()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +【答案】1,3⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知()f x 3α=31β-≤24β≤≤方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得()()22log 1x a -+⋅2log 3x +[]2,4，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.2231log log a x x+=+a 【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知， ()()ln 23f x x x =-+-()2,+∞()30f =3α=结合“零点相邻函数”的定义可得，则，31β-≤24β≤≤据此可知函数在区间上存在零点，()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +[]2,4即方程在区间上存在实数根，()()22log 1x a -+⋅2log 30x +=[]2,4整理可得：， ()22222log 331log log log x a x xx++==+令，则， 2log ,12t x x =≤≤31a t t +=+根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又()3h t t t=+⎡⎣2⎤⎦()14,h h ==(2)h =则314a t t ⎡⎤+=+∈⎣⎦据此可知实数的取值范围是. a 1,3⎡⎤-⎣⎦故答案为：1,3⎡⎤-⎣⎦【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算： （1）；()110520.01321π---++（2）．3log 22log 8lg 2lg 53++-【答案】（1）5（2）2【解析】 【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；()110520.01321102125π---+=---=【小问2详解】 ．()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=18. 已知集合，． {}20log 3A xx =≤≤∣{}08B x x =<<（1）求：A B ⋃（2）若集合，且，求实数a 的取值范围{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆【答案】（1）{}08x x <≤（2）11a -≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A 中元素范围，然后直接求即可；A B ⋃（2.【小问1详解】 ，又，{}{}20log 318A x x x x =≤≤=≤≤ ∣∣{}08B x x =<<；{}08A B x x ∴⋃=<≤【小问2详解】，，，{}18A x x =≤≤ ∣{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆， 198a a ≤⎧∴⎨+≥⎩解得.11a -≤≤19. 如图，在平面直角坐标系中，角和角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点αβαA ，将射线OA 绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B ，且射线OB 是角的终π2β边．（1）求的值； ()()sin cos 23πco πs πsin 2αββα⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）若点A ，求的值． ()tan πβ-【答案】（1）1（2） 12【解析】【分析】（1）利用的关系及诱导公式计算即可；,αβ（2）先通过三角函数的定义得，然后利用的关系及诱导公式计算即可.sin ,cos αα,αβ【小问1详解】由已知， π2π,Z 2k k αβ=++∈； ()()()sin cos sin sin sin sin cos sin 213πcos cos cos sin cos πsi π2ππ2n cos c 22os π2πk k αββαβββαββαβββββ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∴⎛⎫++==⎭-=-=--+ ⎪⎝⎛-⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎪⎫+ ⎝⎭【小问2详解】若点A ，则sin αα===. ()2sin t π2πcos 12πsin cos 2πan πt 2an k k βαβααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝-=-=-⎭20. 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19为了描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，()Q t a t b =⋅+②，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+③， ()tQ t a b =⋅④．()log b Q t a t =⋅（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m 的最()Q t []0,m 大值．【答案】（1）选择，理由见解析，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+()220110Q t t t =-+（2）20【解析】【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待()Q t 定系数法即可求解；（2）通过二次函数的性质即可求出实数m 的最大值【小问1详解】由表中数据可知，先单调递减后单调递增，()Q t 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， ()Q t a t b =⋅+()tQ t a b =⋅()log b Q t a t =⋅因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+由表格数据可得，解得，2221977101010111111a b c a b c a b c ⎧=⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩120110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，经检验其他几组数据也满足表达式 ()220110Q t t t =-+【小问2详解】由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ()()21010Q t t =-+10t =，所以()()()()22001010110,20201010110,Q Q =-+==-+=()()21010101010Q =-+=，1020m ≤≤所以实数m 的最大值为2021. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<时，列表并填入了部分数据，如下表： x π6- π3x ωϕ+0 π2 π 3π2 2π()f x 1 －1（1）求函数的解析式；()f x （2）当时，求函数的最大值及相应的x 值； ,4π11π12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x （3）求关于x 的不等式的解集．()2f x >【答案】（1） ()2sin 21f x x ⎛=++ ⎝（2）最大值3，或 11π12x =-π12x =（3） πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据表中数据列方程组求解即可；（2）通过的范围求出的范围，然后利用正弦函数的性质求最值； x π23x +（3）利用正弦函数的图像和性质来解不等式即可.【小问1详解】由表可得，解得，π06ππ3sin 013πsin 12A B A B ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎪+=-⎪⎩2π321A B ωϕ=⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩； ()π2sin 213f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭【小问2详解】当时，， 11π124πx -≤≤5ππ2π2336x -≤+≤ π1sin 213x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当或，即或时，函数取最大值3； ∴π3π232x +=-ππ232x +=11π12x =-π12x =()f x 【小问3详解】关于x 的不等式，即， ()2f x >π2sin 2123x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， π1sin 232x ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭， ππ5π2π22π,Z 636k x k k ∴+≤+≤+∈， ππππ,Z 124k x k k ∴-+≤≤+∈关于x 的不等式的解集为. ∴()2f x >πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦22. 已知函数（a 为常数，）．()22x x f x a -=⋅-R a ∈（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；()f x （2）当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m ()f x [)2,0x ∈-()()220f x mf x --≥的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2） 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出和时的具体值，即可判断奇偶；()()=f x f x -()()f x f x -=-a （2）由（1）可得，题意可转化成对恒成立，设()22x x f x -=--22x x m -≥+[2,0)x ∈-12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，，利用单调性的定义判断在上为减函数，即可求解 ()1t t t ϕ=+()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【小问1详解】函数的定义域为，，()22x x f x a -=⋅-R ()22x x f x a --=⋅-当时，即，解得，()()=f x f x -2222x x x x a a --⋅-=⋅-()(1)220x x a -+-=1a =-所以时，函数是偶函数，1a =-()f x 当时，即，解得，()()f x f x -=-()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-()(1)220x x a --+=1a =所以时，函数是奇函数，1a =()f x 综上所述，当时，函数是奇函数；1a =()f x 当时，函数是偶函数；1a =-()f x 当时，函数是非奇非偶函数1a ≠±()f x 【小问2详解】为偶函数，根据（1）可知()f x 1,()22.x x a f x -=-=--对于任意的，都有成立，故即[2,0)x ∈-(2)()20f x mf x --≥()22222220x x x x m --------≥， ()()22222x x x x m --+≤+因为，所以对恒成立，220x x -+>22x x m -≥+[2,0)x ∈-设，， 12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭()1t t t ϕ=+任取，且，即， 121,,14t t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭12t t <12114t t ≤<<则 ， ()()()12121212121111t t t t t t t t t t ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121t t t t t t t t t t t t ---=-+=因为，所以，可得，即 12114t t ≤<<12120,1t t t t -<<()()120t t ϕϕ->()()12t t ϕϕ>所以在上为减函数，，故 ()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭max 117()44t ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭174m ≥所以实数m 的取值范围是 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立；()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立；()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。

2023-2024学年广东省广州市九区联考高一上学期期末教学质量监测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知集合只有一个元素，则实数a的值为()A.1或0B.0C.1D.1或23.方程的根所在的区间是()A. B. C. D.4.设，，，则()A. B. C. D.5.函数的图象大致为()A. B.C. D.6.函数在一个周期内的图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度7.函数若，，则a的值为()A.4B.4或C.2或D.28.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，有一种茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：放置时间01234茶水温度为了描述茶水温度y与放置时间x min的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为参考数据：，()A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题为真命题的是()A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则10.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如令函数，则()A.B.的最大值为0，最小值为C.D.与的图象没有交点11.已知函数，则()A.若，则B.不等式的解集是C.函数，的最小值为D.若，且，则12.已知函数，则()A.当时，的最小值为0B.若存在最小值，则a的取值范围为C.若是减函数，则a的取值范围为D.若存在零点，则a的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题1．关于命题“，”，下列判断正确的是（ ） x ∃∈N 220x x +=A ．该命题是全称量词命题，且是真命题 B ．该命题是存在量词命题，且是真命题 C ．该命题是全称量词命题，且是假命题 D ．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断.0x =【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题. 0x =220x x +=故选:B.2．设集合，，则（ ） {}2,1,0,1,2A =--(){}230B x x x =+≤A B = A ． B ．C ．D ．{}1,0-{}1,2{}2,1,0--{}0,1,2【答案】A【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.B A B ⋂【详解】因为，，则.(){}323002B x x x x x ⎧⎫=+≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭{}2,1,0,1,2A =--{}1,0A B ⋂=-故选：A.3．已知幂函数的图象过点，则（ ） ()f x (2,16)()f x =A ． B ．C ．D ．4x 3x 6x 5x 【答案】A【分析】设，代入点，即可得，即可得答案. ()f x x α=(2,16)4α=【详解】解：设，则， ()f x x α=41(2)262f α===得， 4α=所以． 4()f x x =故选：A.4．已知，则（ ） 0.1,cos 2,2a ln b c π-===A ． B ．C ．D ．a b c >>a c b >>b a c >>b c a >>【答案】B【分析】根据对数函数，指数函数，余弦函数的性质，求出的范围，即可比较出大小. ,,a b c 【详解】因为，所以． 0.1ln π120cos2->>>>a c b >>故选：B5．若定义在上的函数满足则“为无理数”是“2023”的R ()f x ()2023,,0,,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数x ()()f f x =（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合已知条件分析判断即可. 【详解】当为无理数时，为有理数，则. x ()0f x =()()2023f f x =当为有理数时，为有理数，则. x ()2023f x =()()2023f f x =所以当时，，()()2023f f x =x ∈R 故“为无理数”是“”的充分不必要条件. x ()()2023f f x =故选：A 6．函数的部分图像大致为（ ）()22111x f x x +=-+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项. 【详解】函数的定义域为，，因此()22111x f x x +=-+R ()()()2221211111x x f x f x x x -+-+-=-=-=+-+是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C ，D 不满足； ()f x R y 又，所以选项B 不满足，选项A 符合题意. ()1102f =>故选：A7．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）（参考数据：） lg 20.3,lg 30.48≈≈A ．第5代种子 B ．第6代种子 C ．第7代种子 D ．第8代种子【答案】C【分析】设第代种子的数量为，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.x 115x -【详解】设第代种子的数量为，由题意得，得．因为x 115x -171510x -≥715log 101x ≥+，故种子数量首次超过1000万粒的是第7715lg1077log 101111 6.9lg15lg 3lg 5lg 31lg 2+=+=+=+≈++-7代种子． 故选：C. 8．函数的零点所在区间为（ ） ()21log 12x f x x =-+A ． B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】C【分析】根据函数的单调性和零点存在定理，即可求得函数的零点所在的区间. ()f x 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 12xy =()0,∞+2log y x =-()0,∞+所以在上单调递减.()f x ()0,∞+， ()2131log 11022f =-+=>当时，， ()0,1x ∈()()10f x f >>， ()22112log 21024f =-+=>， ()223193log 31log 328f =-+=-因为，所以，3222293log 2log log 382<==<()293log 308f =-<，()241154log 410216f =-+=-<所以，所以的零点所在区间为. ()()230f f <()21log 12xf x x =-+()2,3故选：C ．二、多选题9．下列命题正确的是（ ） A ．若，，则 B ．若，则 0a b >>0m >a b m m>1a b <<33a b >C ．若且，则 D ．若正数a ，b 满足，则0x >1x ≠1ln 2ln x x +≥2a b +=112a b+≥【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项. 【详解】由不等式的性质可知，A 正确，B 错误； 当时，，C 错误； ()0,1x ∈1ln 0ln x x+<正数a ，b 满足，则， 2a b +=()1111222221121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立，D 正确. 1a b ==故选：AD.10．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） αPA ．B ．C ．D ．tan α=sin()α-=cos(π)α-=πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】AB【分析】先利用三角函数定义求得，进而求得的值判断选项A ；求得sin αα==tan α的值判断选项B ；求得的值判断选项C ；求得的值判断选项D.sin()α-cos(π)α-2πcos α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】角的终边与单位圆的交点为 αP则A 判断正确； sin tan ααα===所以B 判断正确； ()sin sin αα-=-=C 判断错误； ()cos πcos αα-=-=D 判断错误.πcos sin 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭故选：AB11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）()221f x ax bx =--A ．若是偶函数，则()f x 0b =B ．若的解集是，则 ()0f x <()1,1-1b a =C ．若，则恒成立1a =()0f x >D ．，，在上单调递增 0a ∀≤0b <()f x (),0∞-【答案】ABD【分析】利用函数奇偶性的定义求出的值，可判断A 选项；利用二次不等式的解集与系数的关系b 可判断B 选项；当时，计算可判断C 选项；利用一次函数与二次函数的单调性可判断D 选1a =∆项.【详解】对于A 选项，函数的定义域为，若函数为偶函数，则， ()f x R ()f x ()()f x f x -=即，即对任意的恒成立，则，A 对； 222121ax bx ax bx +-=--40bx =x ∈R 0b =对于B 选项，若不等式的解集为，()0f x <()1,1-则且、为方程的两根，则，解得，故，B 对；0a >1-1()0f x =111211aba ⎧-⨯=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩10a b =⎧⎨=⎩1b a =对于C 选项，若，则，，1a =()221f x x bx =--2Δ440b =+>故不恒成立，C 错；()0f x >对于D 选项，当时，因为，则在上单调递增， 0a =0b <()f x (),0∞-当时，函数的对称轴为直线且， a<0()f x b x a =0ba>由二次函数的单调性可知，函数在上单调递增， ()f x (),0∞-因此，，，在上单调递增，D 对. 0a ∀≤0b <()f x (),0∞-故选：ABD.12．函数满足，，，则（ ）()f x ()()22f x f x x -+=()()118f x f x x +--=x ∈R A ．B ． ()24f =()()3118f f +=C ．为奇函数D ．()2y f x x =-()()20f x f x ++≥【答案】BCD【分析】利用赋值法可判断AB 选项；令，利用函数奇偶性的定义可判断C 选()()2g x f x x =-项；根据已知条件推导出，再结合以及等式的可加性可()()288f x f x x +--=+()()22f x f x x +-=判断D 选项.【详解】在等式中，令，可得，()()22f x f x x +-=0x =()00f =在等式中，令，可得，A 错；()()118f x f x x +--=1x =()()2088f f =+=在等式中，令，可得，①()()22f x f x x +-=1x =()()112f f +-=在等式中，令，可得，② ()()118f x f x x +--=2x =()()3116f f --=①②可得，B 对；+()()3118f f +=令，其中，则，()()2g x f x x =-x ∈R ()()()()220g x g x f x f x x +-=+--=即，故函数为奇函数，C 对；()()g x g x -=-()2y f x x =-因为，则，()()118f x f x x +--=()()()()()21128188f x f x f x f x x x +--+=+--=+=+⎡⎤⎣⎦又因为，()()22f x f x x +-=上述两个等式相加可得，D 对. ()()()222288220f x f x x x x ++=++=+≥故选：BCD.三、填空题13．______.325661log 5log 2log 2log 182-⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭【答案】9【分析】利用指数、对数的运算性质以及换底公式计算可得所求代数式的值.【详解】原式. ()36ln 5ln 22log 2188129ln 2ln 5=-⨯+⨯=-+=故答案为：.914．写出一个同时具有下列性质①②的函数：______．()f x ①对、，；②在其定义域内单调递增． 1x ∀20x >()()()1212f x x f x f x =+()f x 【答案】（答案不唯一，均满足） ()2log f x x =()()log 1a f x x a =>【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性可得出结果. 【详解】取，、，则()2log f x x =1x ∀()20,x ∈+∞，满足①，()()()()12212212212log log log f x x x x x x f x f x ==+=+在定义域内单调递增满足②，()2log f x x =()0,∞+故答案为：（答案不唯一，均满足）．()2log f x x =()()log 1a f x x a =>15．《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台.诗里的叠扇，就是折扇.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆1S 心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与时，扇面为“美观扇面”.若扇面为θ2S 1S 2S“美观扇面”，扇形的半径10，则此时的扇形面积为__________.R =【答案】(503π【分析】根据扇形的面积公式结合题意列方程求出，从而可求出. θ1S 【详解】因为与所在扇形的圆心角分别为，1S 2S ,2θπθ-所以. ()2122121222R S S R θθπθπθ⋅⋅==--⋅由，得，2θπθ=-(3θπ=所以.((2111310050322S Rθππ=⋅⋅=⨯⨯=故答案为：(503π16．若存在实数、，使得函数在区间上单调递增，且a []1,9b ∈()()9100f x x x x=+->[],a b ()f x 在区间上的取值范围为，则的取值范围为______. [],a b [],ma mb m 【答案】416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】当时，可得出，分析函数在区间上的单调性，可得19x ≤≤()910f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()f x []1,9出，根据单调性可得，则关于的方程在上至少有两个不等[][],1,3a b ⊆()()f a maf b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩x ()f x mx =[]1,3的实根，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，m m 解之即可.【详解】当时，， 19x ≤≤()()2199109100x x x x x x x x---++-==≤所以，当时， ，19x ≤≤()991010f x x x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x []1,3[]3,9因为存在实数、，使得函数在区间上单调递增， a []1,9b ∈()()9100f x x x x=+->[],a b 则，即，[][],1,3a b ⊆13a b ≤<≤因为在区间上的取值范围为，则，()f x [],a b [],ma mb ()()f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以，方程在上至少有两个不等的实根，()f x mx =[]1,3由可得，()f x mx =()211090m x x +-+=令，则函数在上有两个不等的零点，()()21109g x m x x =+-+()g x []1,3①当时，即当时，在上单调递减， 10m +≤1m ≤-()g x []1,3此时，函数在上至多只有一个零点，不合乎题意；()g x []1,3②当时，即当时，因为函数在上有两个零点，10m +>1m >-()g x []1,3所以，，解得.()()()Δ100361051311039120m m g m g m ⎧=-+>⎪⎪<<⎪+⎨⎪=≥⎪=-≥⎪⎩41639m ≤<综上所述，实数的取值范围是.m 416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：.416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.四、解答题17．已知非空集合．{}{}232,280A x a x a B x x x =-<<=-->(1)若，求．0a =()R A B ð(2)若“”是“”的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围． x A ∈x B ∈【答案】(1) (){}R 34A B x x ⋃=-<≤ð(2) (1,7)-【分析】（1）先分别化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解；,A B （2）根据题意可知不是的子集，也不是的子集，由此列出相应的不等式组，解得答案. A B B A 【详解】（1）因为，所以，0a ={}{}3230A x a x a x x =-<<=-<<因为或，{}{}{2280(4)(2)02B x x x x x x x x =-->=-+>=<-}4x >所以， {}R 24B x x =-≤≤ð故．(){}R 34A B x x ⋃=-<≤ð（2）因为“”是“”的既不充分也不必要条件， x A ∈x B ∈所以，同时不是的子集，也不是的子集， A ≠∅A B B A 因为，，所以，则， A ≠∅{}32A x a x a =-<<32a a -<3a >-又或，所以必不是的子集，{2B x x =<-}4x >B A 因为不是的子集，所以，解得，A B 2234a a >-⎧⎨-<⎩17a -<<又，故， 3a >-17a -<<所以a 的取值范围为． (1,7)-18．已知角满足.αcos 7sin 0αα+=(1)若，求的值； π02α-<<sin ,cos αα(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.βαx sin 3cos 2sin cos ββββ-+【答案】(1)， sin α=cos α(2). 209-【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解； （2）求出，由弦化切将变形为求解.1tan 7β=sin 3cos 2sin cos ββββ-+tan 32tan 1ββ-+【详解】（1）因为，所以. π02α-<<sin 0,cos 0αα<>由，得， cos 7sin 0αα+=cos 7sin αα=-又因为，所以，22sin cos 1αα+=250sin 1α=sin α=cos α=（2）因为角的终边与角的终边关于轴对称， βαx 所以，2π,Z k k βα=-+∈由，得，cos 7sin 0αα+=1tan 7α=-则， 1tan tan 7βα=-=所以. 13sin 3cos tan 320712sin cos 2tan 19217ββββββ---===-++⨯+19．已知函数，.()2f x ax bx =+()0,1a ∈(1)若，且，求的最小值； ()11f =0b >11a b+(2)若，求关于的不等式的解集. ()11f =-x ()10f x +>【答案】(1)4(2)11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或【分析】（1）由已知可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得1a b +=11a b+a b +的最小值； 11a b+（2）由已知可得，可得出，由题意可得，利用二次不等1b a =--()()()1110f x ax x +=-->11a>式的解法解原不等式即可.【详解】（1）解：因为，，，()0,1a ∈0b >()11f a b =+=所以，，当且仅当时，等号成立，()1111224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭12a b ==因此，的最小值为. 11a b+4（2）解：，可得，则，()11f a b =+=-1b a =--()()()()2111110f x ax a x ax x +=-++=-->，则，解不等式可得或.()0,1a ∈ 11a>()()110ax x -->1x <1x a >因此，不等式的解集为.()10f x +>11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或20．已知函数.()()22ln 12nf x x x =+-+(1)证明：当时，在上至少有两个零点；1n =()f x ()0,∞+(2)当时，关于的方程在上没有实数解，求的取值范围. 2n =x ()f x m =[]1,2m 【答案】(1)证明见解析； (2). ()(),362ln 2,-∞⋃++∞【分析】（1）通过零点存在性定理即可判断零点个数；（2）易判断函数的单调性，求出的值域，结合题设条件，即可求得的取值范围.()f x ()f x m 【详解】（1）当时，，1n =()22ln 2f x x x =-+因为，，，2110e e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110f =>()2e 4e 0f =-<所以，，()110e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()1e 0f f <因此，，，，即在上至少有两个零点.11,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()21,e x ∈()10f x =()20f x =()f x ()0,∞+（2）当时，，易知在上单调递增.2n =()22ln 2f x x x =++()f x []1,2又，，即的值域为, ()13f =()262ln 2f =+()f x []3,62ln 2+且关于的方程在上没有实数解， x ()f x m =[]1,2所以的取值范围为.m ()(),362ln 2,-∞⋃++∞21．对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x ，满足，则称为“类指数()f x ()2xf x =()f x 函数”．(1)已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由； ()123xg x =-()g x (2)若为“类指数函数”，求a 的取值范围．()21x ah x a =--【答案】(1)不是 “类指数函数” ()g x (2) ()3-+【分析】（1）是否为“类指数函数”，可以转化为方程是否存在两个不同的实数()g x ()()0f x g x -=根；（2）是否为“类指数函数”， 转化为方程是否存在两个不同的实数根，进一步()h x ()()0f x h x -=化简、换元转化为一元二次方程求解. 【详解】（1）若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x 满足方程()123xg x =-，. ()()0f x g x -=()()1223x xf xg x -=-+由于函数与在R 上均单调递增，所以在R 上均单调递增，至多有一个零2x y =13xy =-()()f x g x -点，所以不是 “类指数函数”. ()g x （2）若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程()21xah x a =--()()0f x h x -=有两个不同的实数根，2021x x aa -=--整理得，()()22120x x a a -+-=设，则方程有两个不等的正根，20x t =>()210t a t a -+-=，由，解得或()21212Δ140100a a t t a t t a ⎧=++>⎪+=+>⎨⎪=->⎩()2Δ140a a =++>3a <--3a >-+由，解得；由，解得. 1210t t a +=+>1a >-120t t a =->a<0所以.30a -+<故a 的取值范围． ()3-+22．已知是定义在上的奇函数，其中、，且. ()24x af x x b-=+R a b ∈R ()21f =(1)求、的值；a b(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；()f x [)2,+∞(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求()222g x mx x m =-+-[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =的取值范围.m 【答案】(1)，0a =4b =(2)在上为减函数，证明见解析 ()f x [)2,+∞(3) []0,1【分析】（1）利用奇函数的性质可得出，再结合可求得、的值，然后验证出()00f =()21f =a b 函数为奇函数即可；()f x （2）判断出函数在上为减函数，然后任取、且，作差()f x [)2,+∞1x [)22,x ∈+∞12x x >，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； ()()12f x f x -()()12f x f x -（3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时()f x []2,4A ()g x []0,1B A B ⊆求实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分、、和四种情况m ()f x 0m =01m <≤12m <≤m>2讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案． ()g x 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，可得， ()24x a f x x b-=+R ()00af b =-=0a =则，则，解得，所以，，下面验证函数为奇()24x f x x b =+()28212f b ==+4b =()244x f x x =+()f x 函数.对任意的，，故函数的定义域为， x ∈R 244x +≥()244xf x x =+R 则，故函数为奇函数，合乎题意， ()()()224444xxf x f x x x --==-=-+-+()244x f x x =+因此，，.0a =4b =（2）解：函数在上单调递减，证明如下：()f x [)2,+∞任取、且，即，则，，1x [)22,x ∈+∞12x x >122x x >≥210x x -<124x x >则， ()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444440444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==<++++++所以，，故函数在上单调递减.()()12f x f x <()f x [)2,+∞（3）解：若对任意的，总存在，使得成立， []12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， ()f x []2,4()g x []0,1因为函数在上单调递减，()f x []2,4则当时，，， []2,4x ∈()()max 21f x f ==()()min 445f x f ==所以，记在区间内的值域为.()f x []2,44,15A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦①当时，在上单调递减，0m =()22g x x =-+[]0,1则，，得在区间内的值域为. ()()max 02g x g ==()()min 10g x g ==()g x []0,1[]0,1B =因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =②当时，，在上单调递减，且， 01m <≤11m≥()g x []0,1[)21,2m -∈则，，得在区间内的值域为， ()()max 02g x g m ==-()()min 10g x g ==()g x []0,1[]0,2B m =-因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =③当时，，在上单调递减，在上单调递增， 12m <≤1112m ≤<()g x 10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()()max02g x g m ==-()min 112g x g m m m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭()g x []0,1，所以，该不等式组无解；12,2B m m m ⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦142521m m m ⎧-+-≤⎪⎨⎪-≥⎩④当时，，在上单调递减，在上单调递增，2m >1102m <<()g x 10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()()max 10g x g ==()min 112g x g m m m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭()g x []0,1，不符合题意.12,0B m m ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦综上，实数的取值范围为.m []0,1【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，.()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，则；[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min max f x g x <（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x ()g x。