广东省广州市越秀区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

2016-2017学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．（5分）已知集合M={x∈|x（x﹣3）≤0}，N={x|lnx＜1}，则M∩N=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{0，1，2} D．{1，2，3}2．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2）C．（2，3）D．（e，+∞）3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β4．（5分）已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f（a）D．f（b）＜f（a）＜f（c）5．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．（5分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210B），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．477．（5分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=loga||的图象大致为（）A． B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（x0，y），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C． D．10．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°12．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．（5分）计算的结果是．14．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x= ．15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．（5分）已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．18．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．19．（12分）已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．20．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k1x，（f（x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（x）与投资金额x的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a表示）2016-2017学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．（5分）已知集合M={x∈|x（x﹣3）≤0}，N={x|lnx＜1}，则M∩N=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{0，1，2} D．{1，2，3}【解答】解：集合M={x∈|x（x﹣3）≤0}={x∈|0≤x≤3}={0，1，2，3}，N={x|lnx＜1}={x|0＜x＜e}，则M∩N={1，2}．故选：A．2．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2）C．（2，3）D．（e，+∞）【解答】解：∵函数，∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，故有f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3），故选：C．3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α，故A不正确；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，因为m∥β根据线面平行的性质在β内至少存在一条直线与m平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；若αlγ=m，βlγ=n，m∥n，则α∥β或α与β相交，故C不正确；若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故D不正确．故选B．4．（5分）已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f（a）D．f（b）＜f（a）＜f（c）【解答】解：由复合函数的单调性可得函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，又，，，因此b＞c＞a，∴f（b）＞f（c）＞f（a）．故选：B．5．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD在右侧的射影是正方形的对角线，1C在右侧的射影也是对角线是虚线．B1如图B．故选B．6．（5分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210B），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．47【解答】解：因为开机时占据内存2B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，所以3分钟后占据内存22B，两个3分钟后占据内存23B，三个3分钟后占据内存24B，故n个3分钟后，所占内存是原的2n+1倍，则应有2n+1=64×210=216，∴n=15，15×3=45，故选：A．7．（5分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log||的图a象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log|x|的图象：黑颜色的图象．a而函数y=loga ||=﹣loga|x|，其图象如红颜色的图象．故选B．8．（5分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（x0，y），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于③，方程（x≠2）与方程y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同一直线，故错；对于④，直线l过点P（x0，y），倾斜角为90°，则其方程为x=x，正确；故选：B．9．（5分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C． D．【解答】解：由题意，水的体积==，∴容器中水的深度h==，故选：C．10．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与顶点连接起即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A ．11．（5分）如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误的命题是（ ）A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°【解答】解：因为三棱锥A ﹣A 1BD 是正三棱锥，所以顶点A 在底面的射影H 是底面中心，所以选项A 正确；易证面A 1BD ∥面CB 1D 1，而AH 垂直平面A 1BD ，所以AH 垂直平面CB 1D 1，所以选项B 正确； 连接正方体的体对角线AC 1，则它在各面上的射影分别垂直于BD 、A 1B 、A 1D 等，所以AC 1⊥平面A 1BD ，则直线A 1C 与AH 重合，所以选项C 正确； 故选D ．12．（5分）已知函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数．当x ≥0时，f （x ）=若关于x 的方程[f （x ）]2+af （x ）+b=0，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【解答】解：依题意f （x ）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增， 在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减， 当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选答案C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．（5分）计算的结果是 2 ．【解答】解：运算=1﹣++lg2+lg5=1﹣0.4+0.4+1=2．故答案为2．14．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x= ．【解答】解：∵4a=2，∴22a=2，即2a=1解得a=∵lgx=a，∴lgx=∴x=，故答案为：15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2x﹣y=0或x+y﹣3=0 ．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=016．（5分）已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．【解答】解：∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，∴EF∥AB，DC∥AB，则EF∥DC，又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD，又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，∴EF∥GH，设三棱锥P﹣ABQ体积为V，则V=，，P﹣DCQ=．∴=．∴多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【解答】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），∴OC所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为．∴CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．18．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，又在正方形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．…（6分）解：（Ⅱ）连接BD，设B到平面CDE的距离为h，∵AB∥CD，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又AE⊥平面CDE，∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体ABCDE的体积V=VB﹣CDE +VB﹣ADE=．…（12分）19．（12分）已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．【解答】解：（1）∵x∈R，∴f（0）=0，∴a=﹣1…．（3分）（2）∵，∵0≤x≤1，∴2≤3x+1≤4…．（5分）∴…．（7分）∴…．（8分）（3）在R上单调递减，…．（9分）f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）x2﹣mx≤2x﹣2m…．（10分）x2﹣（m+2）x+2m≤0（x﹣2）（x﹣m）≤0…．（11分）①当m＞2时，不等式的解集是{x|2≤x≤m}②当m=2时，不等式的解集是{x|x=2}③当m＜2时，不等式的解集是{x|m≤x≤2}…．（14分）20．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k1x，（f（x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（x）与投资金额x的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【解答】解：（1）设投资为x万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得k1=，k2=，∴f（x）=x，x≥0．g（x）=，x≥0；（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10﹣x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=，x≥0．设=t，则x=t2，0≤t≤∴y=﹣，当t=，也即x=时，y取最大值．答：对股票等风险型产品B投资万元，对债券等稳键型产品A投资万元时，可获最大收益万元．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连接CN，因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1，…（2分）因为AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC1B1．…（3分）因为MC=1，CN==，所以MN=…（4分）（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB1…（5分）在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM ∥BC ，DM=BC ． 在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N ∥BC ，B 1N=BC ．所以DM ∥B 1N ，DM=B 1N ．所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN ∥DB 1． …（7分） 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1…（8分）所以MN ∥平面ABB 1A 1． …（9分）（Ⅲ）解：线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ ． …（11分） 证明如下：连接BC 1，在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1．又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1．…（12分） 所以A 1B ⊥QN ． …（13分） 同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ ．故线段CC 1上存在点Q ，使得A 1B ⊥平面MNQ ． …（14分）22．（12分）已知函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）．（1）若a ＜0，b ＞0，c=0，且f （x ）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a ，b 的值；（2）若c=1，0＜a ＜1，且||≤2对任意x ∈[1，2]恒成立，求b 的取值范围．（用a 表示）【解答】（1）抛物线的对称轴为，①当时，即b ＞﹣4a 时， 当时，，f （x ）min =f （2）=4a+2b+c=﹣2，∴，∴a=﹣2，b=3．②当时，即b≥﹣4a时，f（x）在[0，2]上为增函数，f（x）=f（0）=0与f（x）min=﹣2矛盾，无解，min综合得：a=﹣2，b=3．（2）对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时，g（x）在[1，2]单调递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，此时，，只要，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．。

广东省广州市越秀区2018-2019学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则下列关系中正确的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：集合，，．故选：A．根据集合A中元素满足的性质，，我们可以判断出元素a与集合A的关系．本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．2.若，，则角是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】D【解析】解：由题意，根据三角函数的定义，，，．在第四象限，故选：D．利用三角函数的定义，可确定，，进而可知在第四象限．本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题．3.已知幂函数的图象经过点，则的值为A. 3B.C.D.【答案】A【解析】解：幂函数的图象经过点，，解得，，．故选：A．推导出，由此能求出．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知，则对于任意的a，，下列关系中成立的是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，a，；．故选：B．根据对数的运算即可得出，从而选B．考查对数的定义，对数的运算性质．5.设，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，；．故选：C．容易看出．，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数的单调性，减函数的定义，指数函数的值域．6.函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数是连续增函数，，，，故选：C．判断函数的单调性，由零点判定定理判断．本题考查了函数零点的判断，属于基础题．7.函数的最小正周期是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数，故它的最小正周期是，故选：B．由题意利用二倍角公式，余弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查二倍角公式，余弦函数的周期性，属于基础题．8.已知向量，，且，则的值是A. 3B.C.D.【答案】C【解析】解：由，，且，得，即．．故选：C．由已知求得，然后展开两角差的正切求解．本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题．9.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】解：为了得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，故选：C．由题意利用诱导公式、函数的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式、函数的图象变换规律，属于基础题．10.已知是偶函数，且在上是减函数，若，则x的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，若是偶函数，且在上是减函数，则，解可得：，即x的取值范围为；故选：D．根据题意，结合函数的奇偶性与单调性可得，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．11.若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为4，的“孪生函数”共有A. 4个B. 5个C. 8个D. 9个【答案】D【解析】解：由题意知，则，，则或，，则或，所以孪生函数的定义域分别为，，3，，3，，3，，3，，5，，5，，3，，共有9个，故选：D．由分别等于0，4，16得x的取值，再选择确定定义域．本题考查函数的三要素，属于简单题．12.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为A. 1500元B. 1550元C. 1750元D. 1800元【答案】A【解析】解：设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元由题可知：解得，，故此人购物实际所付金额为1500元．故选：A．设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，可得到获得的折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，结合，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）13.已知向量，，．若，求实数k的值；若向量满足，且，求向量．【答案】解：，，，，，，，解可得，，，，，，或．【解析】由，结合向量的数量积的坐标表示即可求解；由，结合向量共线定理可表示，然后结合，及向量数量积性质的坐标表示即可求．本题主要考查了向量平行及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．14.设全集，集合，．当时，求集合；若，求实数a的取值范围．【答案】解：，若，则．则或，则或．若，则，满足，当时，，若，则，得，当时，，若，则，得，即实数a的取值范围是．【解析】当时，求出集合A，B的等价条件，解补集和交集的定义进行求解即可．讨论a的范围，根据，建立不等式关系进行求解即可本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，根据条件转化为不等式是解决本题的关键．15.如图，现要在一块半径为，圆心角为的扇形纸板POQ上剪出一个平行四边形OABC，使点B在弧PQ上，点A在半径OP上，点C在半径OQ上．求S关于的函数关系式；求S的最大值及相应的值．【答案】解：过点B作于M，则，，设平行四边形OABC的面积为S，则，即，，因为，所以，所以所以当，即时，S的值最大为．即S的最大值是，相应的值是．【解析】过点B作于M，则，，，即可表示平行四边形的面积，根据三角形的性质即可求求出面积的最值．本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16.阅读下面材料：解答下列问题：证明：；若函数在上有零点，求实数m的取值范围．【答案】解：证明：，即．，令，，，，，又，，，，令得，在上单调递增可用导数证明，，，．【解析】仿照的公式推导；利用，的公式化简，再换元，令，得，令得，转化为求函数值域可得．本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．。

2018学年越秀区第一学期学业水平调研测试高一年级数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试用时120分钟．2．所有试题答案必须写在答题卷指定区域的相应位置上，否则不给分．3．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将试卷与答题卷一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．2．已知，，则角是（）A．第一象限B．第二象限C．第三详细D．第四象限3．已知幂函数的图象经过点，则的值为（）A．B．C．D．4．已知，则对于任意的，下列关系中成立的是（）A．B．C．D．5．设．．，．．，．．，则（）A．B．C．D．6．函数的零点所在的一个区间是（）A．B．C．D．7．函数的最小正周期是（）A．B．C．D．8．已知向量，，且，则的值是（）A．B．C．D．9．为了得到函数的图象，只需将函数的图像上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．已知是偶函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（）A．个B．个C．个D．个12．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过元，则超过元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为元，则此人购物实际所付金额为（）A．元B．元C．元D．元二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知扇形的圆心角为弧度，半径为，则该扇形的面积是__________．14．已知，则的值是__________．15．“无字证明”就是将数学命题或公式用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据右图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：__________．16．如图，在直角梯形中，，，，．若，，则与的夹角的余弦值是__________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和验算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量，，．（1）若，求实数的值；（2）若向量满足，且，求向量．18．（本小题满分12分）设全集，集合，．（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数（，且）．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）若，求的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数在上的图象上一个最高点为，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求的解析式；（2）求的单调递减区间；（3）求在上的最小值．21．（本小题满分12分）如图，现要在一块半径为，圆心角为的扇形纸板上剪出一个平行四边形，使点在弧上，点在半径上，点在半径上．（1）求关于的函数关系式；（2）求的最大值及相应的值．22．（本小题满分12分）阅读下面材料：解答下列问题：（1）证明：；（2）若函数在上有零点，求实数的取值范围．。

广东省实验中学2019-2020学年(上)高一级模块一､四考试数学【高一上学期期末考试】 一､选择题:(每小题5分,共60分) 1.已知集合A ={x |x 2﹣x ≤0},{|22}x B x =≤,则A ∩B =( )A. 1{|1}2x x -≤≤ B. 1{|0}2x x ≤≤C. 1{|0}2x x -≤≤ D.1{|1}2x x ≤≤ 【★答案★】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，集合B ，再利用交集的定义求解.【详解】因为集合A ={x |x 2﹣x ≤0}{}|01x x =≤≤ ，1{|22}{|}2=≤=≤x B x x x ，所以A ∩B =1{|0}2x x ≤≤.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0 B. 3a <3b C. a 3−b 3>0 D. │a │>│b │【★答案★】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3.已知tan 3θ=，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 32-B.32C. 0D.23【★答案★】B 【解析】【详解】因为tan θ=3，∴()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭=3cos 333.cos sin 1tan 132θθθθ---===--- 故选B ．4.如图，若OA a =，OB b =，OC c =，B 是线段AC 靠近点C 的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A. 2136c b a =- B. 4133c b a =+ C. 4133c b a =- D. 2136c b a =+ 【★答案★】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可求出★答案★.【详解】13c OC OB BC OB AB ==+=+()141333OB OB OA OB OA =+-=-4133b a =-.故选C .【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象关于直线π3x =对称,它的最小正周期为π,则函数()f x 图象的一个对称中心是 （ ） A. ,012π⎛⎫-⎪⎝⎭B. π,13⎛⎫⎪⎝⎭C. 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭【★答案★】D 【解析】 【分析】 由周期求出2ω=，再由图象关于直线3x π=对称，求得6πϕ=-，得到函数()26f x Asin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,6x k k π-=π∈Z 求得212k x ππ=+，从而得到图象的一个对称中心.【详解】由2ππω=，解得2ω=，可得()()2f x Asin x ϕ=+， 再由函数图象关于直线3x π=对称，故233f Asin A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=±⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故可取6πϕ=-， 故函数()26f x Asin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令2,6x k k π-=π∈Z ， 可得,212k x k Z ππ=+∈，故函数对称中心,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 令0k =可得函数()f x 图象的对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.6.已知平面内一点P 及△ABC ,若PA PB PC BC ++=,则P 与△ABC 的位置关系是( ) A. P 在△ABC 外部 B. P 在线段AB 上 C. P 在线段AC 上 D. P 在线段BC 上【★答案★】B 【解析】 【分析】根据PA PB PC BC ++=，通过加减运算整理为2PA PB =-，再利用共线向量定理判断. 【详解】因为PA PB PC BC ++=， 所以PA PB PC PC PB ++=-， 所以2PA PB =-， 所以P 在线段AB 上. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的加减运算和共线向量定理，属于基础题. 7.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A. y =x 2B. 1y lnx= C. y =2|x |D. y =cosx【★答案★】B 【解析】 【分析】A. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2yx 的图象判断单调性.B. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据ln y x = 的图象判断单调性.C. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2xy = 的图象判断单调性.D. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据cos y x =的图象判断单调性. 【详解】因为()22x x -=，所以2y x 是偶函数，又因为2y x 在（0，+∞)上单调递增，故A 错误. 因为11=-lnln x x ，所以1y ln x =是偶函数，又因为10,ln >==-x y ln x x，在(0，+∞)上单调递减，故B 正确.因为22x x -=，所以 2xy =是偶函数，又因为 0,22>==xx x y 在(0，+∞)上单调递增，故C 错误.因为()cos cos x x -=，所以cos y x =是偶函数，又因为cos y x =在 (0，+∞)上不单调，故D 错误. 故选;D【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性和基本函数的图象和性质，属于基础题.8.若510cos(),cos 2,510αβα-==并且,αβαβαβ+均为锐角，且〈，则的值为（ ） A.6πB.4π C.34π D.56π 【★答案★】C 【解析】∵α、β均为锐角且α＜β， ∴ 2π-＜α-β＜0， ∵cos （α-β）=55 ， ∴sin （α-β）=255-∵cos 2α=1010，α为锐角∴sin 2α=31010， ∴cos （α+β）=cos [2α-（α-β）]=cos 2αcos （α-β）+sin 2αsin （α-β） =22-， ∵α+β∈（0，π），∴α+β= 34π． 本题选择C 选项.9.下列给出的关系式中正确的是( ) A. ()()a b c a b c +⋅=+B. 若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cC. a ∥b ⇒a 在b 上的投影为|a | D. (a b a b +)•(a b a b -)=0【★答案★】D 【解析】 【分析】A. 根据数量积的运算律判断.B. 取0b =判断.C. 根据a ∥b 时，夹角为0或180判断.D. 由数量积的运算判断.【详解】A. 由数量积的运算律得()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ，故A 错误. B. 当0b =时，不成立.故B 错误.C. 当a ∥b 时，夹角为0或180，所以a 在b 上的投影为±a 故C 错误.D. 由数量积的运算得(a b a b +)•(a b a b -)=220⎛⎫⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b a b ，故D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算律，投影及基本运算，属于基础题.10.幂函数y ax =，当a 取不同的正数时，在区间[]01，上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点()()A 10B 01，，，，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y y abx x 、==的图像三等分，即有BM MN NA ==，那么1a b-=（ ）A. 0B. 1C.12D. 2【★答案★】A 【解析】 【分析】先根据题意结合图形分别确定M N 、的坐标，然后分别代入y y a bx x 、==中求得b a 、的值，最后再求出1a b-的值，即可得出★答案★． 【详解】因为BM MN NA ==，点()()A 10B 01，，，，所以1221M N 3333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，分别代入y y abx x 、==中，213312log b log 33a ==， 所以2313111log 023log 3a b -=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数的性质以及指数与对数的转化，考查了数形结合思想，考查了对数的计算法则，考查了计算能力与推理能力，是基础题． 11.将函数()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线g (x )=x ﹣1的所有交点从左到右依次记为A 1,A 2,A 3,A n …,若P 点坐标为(0,1),则12n PA PA PA +++=( )A. 52B. 32C. 2D. 0【★答案★】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和g (x )=x ﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3， A 4，A 5，根据()31,0A 为()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭的一个对称点，得到15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称，再用中点坐标公式得到1234535+=+++PA PA PA PA PA PA 求解.【详解】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和g (x )=x ﹣1的图象，如图所示：所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3， A 4，A 5， 因为()31,0A 是()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭的一个对称点， 所以15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称， 所以1532432,2==++PA PA PA PA PA PA ， 所以1234535+=+++PA PA PA PA PA PA ， 因为()331,1,2=-=PA PA ，所以1252+++=n PA PA PA .故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象和平面向量的运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数()1,0,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是( ) 下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论: ①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1; ②函数f (x )偶函数; ③函数f (x )的值域是{0,1};④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立; ⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形.A. 2B. 3C. 4D. 5【★答案★】D 【解析】 【分析】①分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况从内到外，利用()1,0,R x Qf x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩求值判断.②分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况，利用奇偶性定义判断.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =判断.④分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况，利用周期函数的定义判断.⑤取12333,0,33x x x =-==，()33,0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断. 【详解】①当x Q ∈时，()1f x =，则()()()11ff x f ==；当Rx C Q ∈时，()0f x =，则()()()01f f x f ==，所以对于任意的x ∈R ，都有f (f (x ))=1;故正确.②当x Q ∈时，x Q -∈，()()1f x f x -==；当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，()()0f x f x -==，所以函数f (x )偶函数;故正确.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =，所以函数f (x )的值域是{0，1};故正确. ④当x Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈T x Q ，则f (x +T )=1=f (x )；当 R x C Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈R T x C Q ，则f (x +T )=0=f (x )，所以对任意的x ∈R 恒成立;故正确.⑤取12333,0,33x x x =-==，()33,0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭构成以233为边长的等边三角形，故正确. 故选：D【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.二､填空题:(每小题5分,共20分)13.已知向量a =(﹣2,3),b =(x ,1),若a ⊥b ,则实数x 的值是_____. 【★答案★】32【解析】【分析】已知向量a =(﹣2，3)，b =(x ，1)，根据a ⊥b ，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】已知向量a =(﹣2，3)，b =(x ，1)， 因为a ⊥b ， 所以230x -⨯+=解得32x =故★答案★为：32【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14.计算102554(1)2100.25log log π-++++=_____.【★答案★】72【解析】 【分析】根据指数、对数的运算法则和性质求解. 【详解】102554(1)2100.25π-++++log log ，551211000.1254=+++log log ，511252=++log 171222=++=. 故★答案★为：72【点睛】本题主要考查了对数，指数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.已知12,1(){32,1x x f x x x -≥=-< ，若不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则整数λ的最小值为______________． 【★答案★】1 【解析】因为函数()f x 为单调递增函数，且11()22f =-，所以不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于211cos sin 42θλθ+-≥对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设sin ,[0,1]t t θ=∈ ，则2104t t λ--≤ ，当0t =时，R λ∈ ；当(0,1]t ∈ 时max 133(),444t t λλλ≥-=∴≥的最小值为1. 16.如图所示,矩形ABCD 的边AB =2,AD =1,以点C 为圆心,CB 为半径的圆与CD 交于点E ,若点P 是圆弧EB (含端点B ､E )上的一点,则PA PB ⋅的取值范围是_____.【★答案★】222,0⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】以点C 为原点，以直线EC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， A (﹣2，﹣1)，B (0，﹣1)，设P (cos θ，sin θ)，()2,1PA cos sin θθ=----，(),1PB cos sin θθ=---，再利用数量积的坐标运算得222θθ⋅=++PA PB cos sin 2224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin ，然后利用三角函数的性质求解. 【详解】如图所示：以点C 为原点，以直线EC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则:A (﹣2，﹣1)，B (0，﹣1)，设P (cos θ，sin θ)，(32ππθ≤≤)， ∴()2,1PA cos sin θθ=----，(),1PB cos sin θθ=---，∴2222224PA PB cos sin sin πθθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭，∵32ππθ≤≤， ∴57444πππθ≤+≤， ∴2142sin πθ⎛⎫-≤+≤- ⎪⎝⎭， ∴2220PA PB -≤⋅≤，∴PA PB ⋅的取值范围是222,0⎡⎤-⎣⎦. 故★答案★为：222,0⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三､解答题:(共70分)17.已知非零向量,a b 满足1a =,且()()34a b a b +⋅-=. (1)求b ;(2)当14a b ⋅=-时,求2a b +和向量a 与2a b +的夹角θ的值. 【★答案★】(1)12b =;(2)1，3πθ=.【解析】 【分析】(1) 根据()()34a b a b +⋅-=，得到2234a b -=，再将1a =代入求解.(2)利用求向量模的公式2222||44||+=+⋅+a b a a b b 求解2a b +;利用向量的夹角公式()22θ⋅+=+a a b cos a a b，求θ的值.【详解】(1)∵1a =，且()()34a b a b +⋅-=， ∴2234a b -=，则231||4b -=， ∴12b =; (2)222112||44||144144a b a a b b ⎛⎫+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，∴21a b +=;∴()2112221411122a a b a a b cos a a bθ⎛⎫+⨯- ⎪⋅++⋅⎝⎭====⨯+， ∵0≤θ≤π， ∴3πθ=.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积综合运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知函数()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的取值集合. 【★答案★】(1)最小正周期T =π, 单调递减区间为[8k ππ+,58k ππ+],(k ∈Z ).(2)最大值为2, x 的取值集合为:{x |x 8k ππ=+,k ∈Z }.【解析】 【分析】(1)将()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用两角和与差的正弦公式转化为：()2f x =sin (2x 4π+)，再利用正弦函数的性质求解.(2)利用正弦函数的性质，当 2242x k πππ+=+，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值求解.【详解】(1)∵函数()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=22(sinxcos4π+cosxsin 4π)cosx ﹣1 =2sinxcosx +2cos 2x ﹣1 =sin 2x +cos 2x2=sin (2x 4π+)，∴函数f (x )的最小正周期T 22π==π， 由2π+2k 32242x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ， 解得函数f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+]，(k ∈Z ). (2)∵f (x )224sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数f (x )的最大值为2， 取得最大值时x 的取值集合满足:2242x k πππ+=+，k ∈Z .解得x 8k ππ=+，k ∈Z .∴函数f (x )取得最大值时x 的取值集合为:{x |x 8k ππ=+，k ∈Z }.【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.【★答案★】(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【解析】 【分析】(1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解.(2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴.(3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴.【详解】(1)()()2113322ωωωωωω=+-=+-f x sin x sin x cos x sin x sin xcos x ， 31222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ; (3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=.【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 20.已知幂函数221()(1)m f x m m x--=--在(0,)+∞上单调递增，又函数()22xxmg x =+. （1）求实数m 的值，并说明函数()g x 的单调性；（2）若不等式(13)(1)0g t g t -++≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【★答案★】（1）见解析；（2）1t ≤ 【解析】 【分析】（1）由f （x ）是幂函数，得到m 2﹣m ﹣1＝1，再由f （x ）在（0，+∞）上单调递增，得到﹣2m ﹣1＞0，从而求出m ＝﹣1，进而g （x ）122xx=-，由此能求出函数g （x ）在R 上单调递增； （2）由g （﹣x ）＝2﹣x 12x --=-（122xx-）＝﹣g （x ），得到g （x ）是奇函数，从而不等式g （1﹣3t ）+g （1+t ）≥0可变为g （1﹣3t ）≥﹣g （1+t ）＝g （﹣1﹣t ），由此能求出实数t 的取值范围．【详解】（1）因为()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-或2m =， 又因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以210m -->，即12m <-， 即1m =-，则()122xx g x =-， 因为2xy =与12xy =-均在R 上单调递增， 所以函数()g x 在R 上单调递增. （2）因为()()112222xx x x g x g x --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以()g x 是奇函数，所以不等式()()1310g t g t -++≥可变为()()()1311g t g t g t -≥-+=--， 由（1）知()g x 在R 上单调递增，所以131t t -≥--， 解得1t ≤.【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.如图一块长方形区域ABCD ,AD =2(km ),AB =1(km ).在边AD 的中点O 处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF 始终为4π,设∠AOE =α,探照灯O 照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S .(1)当0≤α2π<时,写出S 关于α的函数表达式; (2)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE 自OA 转到OC ,再回到OA ,称“一个来回”,忽略OE 在OA 及OC 反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB 边上有一点G ,且∠AOG 6π=,求点G在“一个来回”中,被照到的时间.【★答案★】(1),S 11102244111()32424tan tan tan tan ππαααππαπαα⎧⎛⎫⎛⎫---≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪ ⎪+<<⎪⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩(2)2分钟 【解析】 【分析】(1) 根据AD =2，AB =1，0≤α2π<，确定点E ，F 的位置，分0≤α4π≤，4π<α2π<，两种情况，利用三角形面积公式求解.(2)先得到“一个来回”中，OE 共转了23342ππ⨯=，其中点G 被照到时，共转了263ππ⨯=，再利用角度关系求解. 【详解】如图所示：(1)过O 作OH ⊥BC ，H 为垂足. ①当0≤α4π≤时，E 边AB 上，F 在线段BH 上(如图①)，此时，AE =tan α，FH =tan (4π-α)， ∴S =S 正方形OABH ﹣S △OAE ﹣S △OHF =112-tan α12-tan (4π-α).②当4π<α2π<时，E 在线段BH 上，F 在线段CH 上(如图②)，此时，EH 1tan α=，FH 134tan πα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得EF 1134tan tan παα=+⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴S =S △OEF 12=(1134tan tan παα+⎛⎫- ⎪⎝⎭).综上所述，S 11102244111()32424tan tan tan tan ππαααππαπαα⎧⎛⎫⎛⎫---≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪ ⎪+<<⎪⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ (2)在“一个来回”中，OE 共转了23342ππ⨯=， 其中点G 被照到时，共转了263ππ⨯=∴在“一个来回”中，点G 被照到的时间为9332ππ⨯=2(分钟).【点睛】本题主要考查了三角函数再平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.22.对数函数g （x ）=1og a x （a ＞0，a ≠1）和指数函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1）互为反函数．已知函数f （x ）=3x ，其反函数为y=g （x ）．（Ⅰ）若函数g （kx 2+2x+1）的定义域为R ，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若0＜x 1＜x 2且|g （x 1）|=|g （x 2）|，求4x 1+x 2的最小值；（Ⅲ）定义在I 上的函数F （x ），如果满足：对任意x ∈I ，总存在常数M ＞0，都有-M ≤F （x ）≤M 成立，则称函数F （x ）是I 上的有界函数，其中M 为函数F （x ）的上界．若函数h （x ）=()()1mf x 1mf x -+，当m ≠0时，探求函数h （x ）在x ∈[0，1]上是否存在上界M ，若存在，求出M 的取值范围，若不存在，请说明理由．【★答案★】（Ⅰ）k ＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）因为g （x ）=1og a x 与f （x ）=3x ，互为反函数，所以a=3，得g （kx 2+2x+1）= log 3（kx 2+2x+1）的定义域为R ，所以kx 2+2x+1＞0恒成立，可求解k 的范围；（Ⅱ）由|g （x 1）|=|g （x 2）|，得|log 3x 1|=|log 3x 2|，分析化简得x 1x 2=1，4x 1+x 2=4x 1+11x ，利用双勾函数求其最值；（Ⅲ）由h （x ）=xx1m 31m 3-⋅+⋅=－1+x 21m 3+⋅，分m ＞0和m ＜0分别求出h （x ）的取值范围，然后讨论其上下界.【详解】（Ⅰ）由题意得g （x ）=log 3x ，因为g （kx 2+2x+1）=log 3（kx 2+2x+1）的定义域为R ， 所以kx 2+2x+1＞0恒成立， 当k=0时不满足条件， 当k≠0时，若不等式恒成立， 则{k 044k 0>=-<，即{k 0k 1>>，解得k ＞1；（Ⅱ）由|g （x 1）|=|g （x 2）|，得|log 3x 1|=|log 3x 2|， 因为0＜x 1＜x 2，所以0＜x 1＜1＜x 2，且－log 3x 1=log 3x 2， 所以log 3x 1+log 3x 2=log 3x 1x 2=0， 所以x 1x 2=1， 所以则4x 1+x 2=4x 1+11x ，0＜x 1＜1， 因为函数y=4x+1x 在（0，12）上单调递减，在（12，1）上单调递增， 所以当x 1=12时，4x 1+x 2取得最小值为4． （Ⅲ）h （x ）=xx1m 31m 3-⋅+⋅=－1+x 21m 3+⋅，（m≠0）， （i ）当m ＞0，1+m3x ＞1，则h （x ）在[0，1]上单调递减， 所以13m 13m -+≤h（x ）≤1m1m-+，①若|1m 1m -+|≥|13m 13m -+|，即m∈（0，33]时，存在上界M ，M∈[|1m 1m -+|，+∞）， ②若|1m 1m -+|＜|13m 13m -+|，即m∈（33，+∞）时，存在上界M ，M∈[|13m 13m -+|，+∞）， （ii ）当m ＜0时， ①若－13＜m ＜0时，h （x ）在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[1m 1m -+，13m 13m -+]，存在上界M ，M∈[13m 13m-+，+∞），②若m=－13时，h （x ）=－1+x 21133-⋅在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[2，+∞），故不存在上界．③若－1＜m ＜－13时，h （x ）在[0，log 3（－1m ））上单调递增，h （x ）在（log 3（－1m），1]上单调递增，h （x ）∈（－∞，1m 1m -+]∪[13m 13m-+，+∞）故不存在上界， ④若m=－1，h （x ）=－1+x 213-在（0，1]上单调递增，h （x ）∈（－∞，－2]，故不存在上界 ⑤若m ＜－1，h （x ）在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[1m 1m -+，13m 13m -+]，而13m 13m-+＜0，存在上界M ，M∈[|1m 1m-+|，+∞）； 综上所述，当m ＜－1时，存在上界M ，M∈[|1m 1m-+|，+∞）， 当－1≤m≤－13时，不存在上界， 当－13＜m ＜0时，存在上界M ，M∈[13m 13m -+，+∞）， 当m∈（0，33]时，存在上界M ，M∈[|1m 1m -+|，+∞）， 当m∈（33，+∞）时，存在上界M ，M∈[|13m 13m -+|，+∞）． 【点睛】本题考查了反函数的概念，对数函数的定义域，恒成立问题与分类讨论，综合性较强，属于难题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2019-2020学年广东省广州市越秀区高一上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）
A．3B．4C．5D．6
2．如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（a2）＝（）
A．a B．﹣a C．±a D．|a|
4．（）﹣2+log22等于（）
A ．B．3C．4D．5
5．（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A．0＜a＜1B ．C ．D ．
7．函数的最小正周期为（）
A ．B．πC．2πD．4π
8．已知α∈（π，π），cosα＝﹣，则tan （﹣α）等于（）
A．7B ．C ．﹣D．﹣7
9．如图所示，函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g（x），则g（0）＝（）
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2019-2020学年广东省高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3,4,5}A =，{1,3,6,9}B =，则A B =I （ ） A ．{1,3} B ．{1,3,6}C ．∅D ．{3,6}【答案】A【解析】根据集合的交集运算,即可得解. 【详解】集合{0,1,2,3,4,5}A =,{1,3,6,9}B = 由集合的交集运算可得{1,3}A B ⋂= 故选:A 【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.2．函数()()lg 2f x x +的定义域是（ ） A ．(]2,5- B ．()2,5-C ．(]2,5D ．()2,5【答案】A【解析】使解析式有意义，因此必须有5x 0-≥且20x +>． 【详解】由()()lg 2f x x =+，得5020x x -≥⎧⎨+>⎩，即52x x ≤⎧⎨>-⎩，所以(]2,5x ∈-.故选：A. 【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围． 3．512π=（ ） A ．70︒ B ．75︒C ．80︒D ．85︒【答案】B【解析】根据弧度与角度的转化,代入即可求解. 【详解】根据弧度与角度的关系180π︒=可得55180751212π︒︒=⨯=. 故选:B 【点睛】本题考查了弧度与角度的转化,属于基础题. 4．若函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数，则m =（ ）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．1【答案】C【解析】根据幂函数定义可知2221m m --=,解方程即可求得m 的值. 【详解】因为函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数,所以2221m m --=,解得1m =-或3m =. 故选:C 【点睛】本题考查了幂函数的定义,属于基础题.5．设终边在y 轴的负半轴上的角的集合为M 则（ ） A ．3|,2M k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭B ．3|,22k M k Z ππαα⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭C ．|,2M k k Z πααπ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭D ．|2,2M k k Z πααπ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】根据角的表示方法及终边在y 轴的负半轴上,即可得解. 【详解】根据角的表示方法可知,终边在y 轴的负半轴上的角可以表示为22k παπ=-+,k ∈Z ,故选:D 【点睛】本题考查了角的表示方法,终边在y 轴的负半轴上角的表示形式,属于基础题. 6．圆心角为60°，弧长为2的扇形的面积为（ ） A ．130B ．30πC ．3πD ．6π【答案】D【解析】根据弧长公式，求得半径，结合扇形的面积公式即可求得. 【详解】由弧长公式l r θ=，得半径6r π=.故扇形的面积公式162S lr π==. 故选：D. 【点睛】本题考查弧长公式与扇形的面积公式，属基础题. 7．cos350sin 70sin170sin 20-=o o o o （ ） A ．3-B ．3C ．12D ．12-【答案】B【解析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=-o o o o ，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】3cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos30-=-==o o o o o o o o o ． 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 8．函数()()32ln f x x x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A 、B ，再根据函数值的正负情况，即可判断. 【详解】由题意，3()(2)ln ()f x x x x f x -=-+-=-，即()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，所以排除A ，B ；当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x >，排除D 故选：C. 【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型. 9．若α为第二象限角，下列结论错误的是（ ） A ．sin cos αα> B ．sin tan αα> C ．cos tan 0αα+< D ．sin cos 0αα+>【答案】D【解析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项. 【详解】因为α为第二象限角,所以sin 0α>,cos 0α<,tan 0α< A,B,C 对,D 不一定正确. 故选:D 【点睛】本题考查了三角函数在第二象限的符号,属于基础题.10．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8 B ．9C ．10D ．14【答案】C【解析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kte -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值.【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.11．设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x x +=-,ln 4x e x =+的实根,则( ) A ．123x x x <+ B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<【答案】C【解析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 【详解】由题,对于3log 3x x +=,由3log y x =与3y x =-的图像,如图所示,可得123x <<；对于()3log 2x x +=-,由()3log 2y x =+与y x =-的图像,如图所示,可得210x-<<；对于ln 4x e x =+,由4x y e =-与ln y x =的图像,如图所示,可得()30,1x ∈或()31,2x ∈ 故231x x x << 【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想12．已知函数2()ln(1)f x x x =+，若(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)()0f x f mx ++-…恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据分子有理化,可判断()f x 为奇函数.由解析式判断出单调性,即可将不等式化简,求得m 的最大值. 【详解】依题意知函数()f x 的定义域为R ,()()()2222211()ln 1lnln 11x xx xf x x x x x x x++⎫⎫-=-+==--+⎪⎪⎭⎭+-即()()f x f x -=-,所以()f x 为奇函数.由解析式可知()f x 为减函数.所以不等式()0ff mx +-≤可化为()ff mx ≤,mx ≥,即在(0,)+∞上m ≤.1=>, 所以1,m m £的最大值是1. 故选:B 【点睛】本题考查了对数函数的运算性质,对数函数奇偶性及单调性的判断.根据奇偶性及单调性解不等式求参数,属于中档题.二、填空题13．已知tan 4α=-，则tan2α=_________. 【答案】815【解析】根据正切二倍角公式,代入即可求解. 【详解】由正切的二倍角公式,代入即可求解.22tan tan21tan ααα=-.()()22481514⨯-==-- 故答案为: 815【点睛】本题考查了正切函数而倍加公式的简单应用,属于基础题. 14．已知函数26,0,()log (),0,x x f x x x +⎧=⎨-<⎩…，若()5f a =，则a =______.【答案】32-【解析】根据分段函数,代入自变量即可求解. 【详解】函数26,0,()log (),0,x x f x x x +⎧=⎨-<⎩…所以当0a ≥时,()66f a a =+≥,即()5f a =无解; 当0a <,2()log ()5f a a =-=,即32a -=,解得32a =- 综上可知,32a =- 故答案为:32- 【点睛】本题考查了分段函数的简单应用,根据函数值求自变量,属于基础题. 152032(3)log 6427π+-+-=__________.【答案】1【解析】根据指数幂运算及对数的性质,化简即可求解. 【详解】根据指数幂运算及对数的性质,化简可得2032(3)log 6427π-+-()2633231log 23=-++-31691=++-=.故答案为:1 【点睛】本题考查了指数幂运算及对数的性质应用,属于基础题.16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________.【答案】10【解析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数()()lg g x f x x =-的零点个数等价于函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解. 【详解】解：由于定义在R 上的偶函数()y f x =满足()4()f x f x =-, 所以()y f x =的图象关于直线2x =对称,画出[0,)x ∈+∞时，()y f x =部分的图象如图,在同一坐标系中画出lg y x =的图象, 由图可知：当(0,)x ∈+∞时,有5个交点, 又lg y x =和()y f x =都是偶函数,所以在(,0)x ∈-∞上也是有5个交点,所以()()lg g x f x x =-的零点个数是10， 故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题17．已知集合{|2A x x a =≤-或3}x a >+，050x B xx ⎧⎫-<⎧⎪⎪=⎨⎨⎬->⎩⎪⎪⎩⎭. （1）当1a =时，求A B U ；（2）若A B B =I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|1x x ≤-或0}x >；（2）(,3][7,)-∞-+∞U【解析】（1）将1a =代入可得集合A.解不等式组求得集合B.即可根据并集运算求得A B U .（2）根据A B B =I ,可知集合B 为集合A 的子集,即B A ⊆.根据集合关系即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）因为0,50,x x -<⎧⎨->⎩.所以05x <<,即{|05}B x x =<<, 当1a =时,{|1A x x =≤-或4}x >, 所以{|1A B x x =≤-U 或0}x >. （2）因为A B B =I ,所以B A ⊆,由（1）知{|05}B x x =<<, 则30a +≤或25a -≥, 即3a ≤-或7a ≥,所以实数a 的取值范围为(,3][7,)-∞-+∞U . 【点睛】本题考查了集合的简单运算,根据集合的包含关系求参数的取值范围,属于基础题. 18．已知角θ的终边经过点()2,3P -,求下列各式的值. (1)2sin 3cos sin θθθ-;(2)()2223cos sin sin 222πθπθθπ⎛⎫⎛⎫-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1)23-(2)413- 【解析】（1）由三角函数定义可得3tan 2θ=-,对于原式分子分母同除cos θ,进而求解即可；（2）由三角函数定义可得sin θ==利用诱导公式化简,进而代入求解即可 【详解】解:(1)由角θ的终边经过点()2,3P -,可知3tan 2θ=-, 则322sin 2tan 2233cos sin 3tan 332θθθθθ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===---⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)因为sin 13θ==-, 所以()2223cos sin sin 222πθπθθπ⎛⎫⎛⎫-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222sin cos sin 2θθθ=++- 2sin 12θ=+-9411313=-=-【点睛】本题考查利用诱导公式化简,考查分式齐次式化简求值,考查已知终边上一点求三角函数值19．已知函数()2cos()02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图象过点. （1）求函数()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值、最小值及对应的x 的值； （2）把()y f x =的图象向右平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间.【答案】（1）()2cos 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；12()4x k k Z =-∈时，max ()2f x =；32()4x k k Z =+∈时，min ()2f x =-；（2）372,2()44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）将点代入解析式,结合02πϕ<<即可求得ϕ的值.进而求得函数()f x 的解析式;根据余弦函数的图像与性质,即可求得最大值、最小值及对应的x 的值.（2）根据三角函数的平移变换可求得()g x 的解析式,结合余弦函数的图像与性质即可求得其单调递减区间. 【详解】（1）代入点,得2cos(0)ϕ+=cos 2ϕ=. 因为02πϕ<<,所以4πϕ=,则()2cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当24x k πππ+=,即12()4x k k Z =-∈时,max ()2f x =； 当24x k ππππ+=+,即32()4x k k Z =+∈时,min ()2f x =-.（2）由（1）知()2cos 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以3()2cos (1)2cos 44g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 当322()4k x k k Z πππππ-+∈剟时,()g x 单调递减,所以3722()44k x k k Z ++∈剟, 所以()g x 的单调递减区间为372,2()44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了余弦函数的图像与性质的简单应用,整体代入法求最值及单调区间,属于基础题.20．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0. 【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<，所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩， 解得302a ≤≤，故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系． 21．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+06,||2πωϕ⎛⎫<<<⎪⎝⎭，()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，且481225f B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，5cos 13C =，求cos A . 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）3365或1665【解析】（1）根据对称轴和对称中心,可表示出周期.由06ω<<即可求得ω的值.再由对称轴即可求得ϕ的值,进而求得()f x 的解析式; （2）根据481225f B π⎛⎫+=⎪⎝⎭,代入解析式,结合同角三角函数关系式,即可求得sin ,cos B B 的值.再根据5cos 13C =求得sin C ,结合诱导公式及余弦的和角公式即可求得cos A . 【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T , ∵()f x 的图象的一条对称轴是3x π=,一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭, ∴7(21)1234Tk ππ-=⨯-,*k N ∈, ∴21T k π=-,*k N ∈,∴221k ππω=-,*k N ∈, ∴42k ω=-,*k N ∈ ∵06ω<<,∴2ω= ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=,∴232k ϕππ+=+π,k Z ∈, ∴6k πϕπ=-+,k Z ∈.∵||2ϕπ<, ∴6πϕ=- ∴6πϕ=-∴()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）由（1）知482sin 21225f B B π⎛⎫+== ⎪⎝⎭, 所以24sin 225B =,即12sin cos 25B B =.① 因为,,A BC 是ABC ∆的三个内角,0B π<<,所以sin 0B >,cos 0B >. 又因为22sin cos 1B B +=,②联立①②,得4sin ,53cos 5B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin ,54cos .5B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当4sin 5B =,3cos 5B =时, 3541233cos cos()cos cos sin sin 51351365A B C B C B B =-+=-+=-⨯+⨯=；当3sin 5B =,cos 45B =时,4531216cos cos()cos cos sin sin 51351365A B C B C B B =-+=-+=-⨯+⨯=.【点睛】本题考查了根据三角函数的性质求三角函数解析式.由同角三角函数关系式及余弦的和角公式求三角函数值,属于基础题.22．已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数.（1）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）设0a >，函数2()cos2cos 3g x x a x a =+-+，如果总存在1],[x a a ∈-，对任意2x R ∈，()()12f x g x …都成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）[ln 2,)+∞【解析】（1）根据定义任取,12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <,利用作差()()12f x f x -,变形后即可判断符号,即可证明函数的单调性.（2）根据定义可判断()f x 和()g x 的奇偶性.由不等式在区间上的恒成立,可知存在1[,](0)x a a a ∈->,对任意2x R ∈都有()()12f x g x ….根据解析式及单调性,分别求得()f x 的最大值和()g x 的最大值,即可得不等式()25()33a a f a e e -=+≥.再利用换元法,构造对勾函数形式,即可解不等式求得a 的取值范围. 【详解】（1）证明：任取,12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <,则()()12f x f x -()()()11221212121222222222113333x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e ----⎡⎤⎛⎫++⎡⎤=-=-+-=-+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()()()21121212121212122212(11333x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e ee e e ++++⎡⎤-⎫=-+=--=--⎢⎥⎪⎭⎣⎦因为12,(0,)x x ∈+∞,12x x <,所以121x x e e <<,120x x e e -<,121x x e +>,所以()()12f x f x <,即当120x x <<时,总有()()12f x f x <,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）由2e 2e ()()3x xf x f x -+-==,得()f x 是R 上的偶函数,同理,()g x 也是R 上的偶函数.总存在1[,](0)x a a a ∈->,对任意2x R ∈都有()()12f x g x …,即函数()y f x =在[,]a a -上的最大值不小于()y g x =,x ∈R 的最大值.由（1）知()f x 在(0,)+∞上单调递增,所以当[,]x a a ∈-时,()f x 的最大值为()f a ,22211()2cos cos 2cos 3483a a g x x a x a x a ⎛⎫=+--=+--- ⎪⎝⎭.因为1cos 1x -≤≤,0a >,所以当cos 1x =时,()g x 的最大值为53. 所以()25()33a af a e e -=+≥. 令1(0)at e a =>>,则152t t +…,令1()(1)h t t t t=+>,易知()h t 在(1,)+∞上单调递增,又5(2)2h =,所以2t ≥,即2a e ≥, 所以ln 2a ≥,即实数a 的取值范围是[ln 2,)+∞. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性,由存在性与恒成立问题,解不等式求参数的取值范围,综合性强,对思维能力要求较高,属于难题.。

2020-2021学年广东省广州市越秀区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.设M 和N 是两个集合，定义集合M −N ={x|x ∈M ，且x ∉N}，如果M ={x|log 2x <1}，N ={x||x −2|<1}，那么M −N =( )A. {x|0<x <1}B. {x|0<x ≤1}C. {x|1≤x <2}D. {x|2≤x <3}2.下列4个命题：①命题“若x 2−x =0，则x =1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2−x ≠0”； ②若“¬p 或q ”是假命题，则“p 且¬q ”是真命题；③若p ：x(x −2)≤0，q ：log 2x ≤1，则p 是q 的必要不充分条件； ④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x <x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2； 其中正确命题的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.是( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角4.sin4π3cos5π6=( )A. −14B. 34C. −√34D. √345.函数y =e x +e −xe x −e−x 的图象大致为( )A.B.C.D.6.已知函数f(x)={x +2,x <0√x,x ≥0，若函数g(x)=f(x)−m(x +1)有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (12,1) B. (13,1) C. (0,12) D. (0,13)7.函数()A. 在上递增，B. 在上递减C. 在上递增，D. 在上递减8.今有一组实验数据如表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.047.51218.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是()A. u=log2tB. u=2t−2C. u=t2−12D. u=2t−2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(16,4)，则下列命题正确的有()A. 函数是偶函数B. 函数是增函数C. 当x>1时，f(x)>1D. 当0<x1<x2时，f(x1)+f(x2)2<f(x1+x22)10. 如图所示为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)图象的一部分，对任意的x1，x2∈[a,b]，且x1≠x2，若f(x1)=f(x2)，有f(x1+x2)=1，则φ的值可能为()A. π12B. π6C. π4D. 5π611. 下列说法正确的有()A. 在△ABC中，a：b：c=sinA：sinB：sinCB. 在△ABC 中，若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形C. △ABC 中，sinA >sinB 是A >B 的充要条件D. 在△ABC 中，若sinA =12，则A =π612. 在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽20√3厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是( )A. 若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为2√3π元B. 用此斗笠盛水，则需要1000π立方厘米的水才能将斗笠装满C. 斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°D. 过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100√3平方厘米三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数y =log a (2x −3)+8的图象恒过定点P ，P 在幂函数f(x)的图象上，则f(3)=______． 14. cos70°cos40°+sin70°sin40°=______． 15. 若函数f(x)={x,x <1x 2−2x −5,x ≥1，则不等式f(x)≥−2的解集为______⋅16. 某电信公司推出手机两种收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差______ 元． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=x 2+x +ln 1x−a 在x =0处取得极值．(1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f(x)=52x −b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围． (3)证明：对任意的正整数n ，不等式2+34+49+⋯+n+1n 2>ln(n +1)都成立．18. 已知f(x)=[sin(π2−x)tan(π+x)−cos(π−x)]2−14sin(3π2+x)+cos(π−x)+cos(2π−x)．(1)求f(−10π3)；(2)若关于x的方程f2(x)+(1+12a)sinx+2a=0在x∈[π6,3π4]上有两实根，求实数a的范围；(3)求函数y=4af2(x)+2cosx(a∈R)的最大值．19. 已知函数f(x)=sin2x−cos2x+sin2x.(Ⅰ)求f(π4)的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期；(III)当x∈[0,π2]时，求f(x)的取值范围．20. 已知函数f(x)=ax2+1bx+c(a,b,c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3．(1)求a，b，c的值．(2)判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．(3)解关于t的不等式：f(−t2−1)+f(|t|+3)>0．21. 为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧P^Q上，CD//AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为50√3m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200m．(1)试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？(2)当△OAB的周长最大时，设∠DOC=2θ，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为θ的函数，并求出S的最大值．22. 已知函数f(x)=lg[(m2−3m+2)x2+2(m−1)x+5]，(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：↵解：集合M={x|log2x<1}={x|0<x<2}，集合N={x||x−2|<1}={x|1<x<3}，因为两个集合M与N之差记作“M−N”，定义为：M−N={x|x∈M，且x∉N}，那么M−N= {x|0<x≤1}．故选：B．由题意通过对数的基本运算求出集合M，解绝对值不等式求出集合N，利用新定义直接求出M−N即可．本题是中档题，正确利用新定义，求出集合的解集是解题的关键，考查计算能力．2.答案：D解析：解：①命题“若x2−x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−x≠0”，故正确；②若“¬p或q”是假命题，则p真，q假，则“p且¬q”是真命题，故正确；③若p：x(x−2)≤0⇔x∈[0,2]，q：log2x≤1⇔(0,2]，则p是q的必要不充分条件，故正确；④若命题p：存在x∈R，使得2x<x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，故正确；故选：D．写出原命题的逆否命题，可判断①；根据复合命题真假判断的真值表，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定命题，可判断④本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，四种命题，充要条件，命题的否定，难度中档．3.答案：C解析：试题分析：因为第一象限角的范围为;第二象限角的范围为;第三象限角的范围为;第四象限角的范围为；是第三象限角，故选C．考点：象限角的概念．4.答案：B解析：解：sin4π3cos5π6=sin(π+π3)cos(π−π6)=−sinπ3·(−cosπ6)=−√32×(−√32)=34．故选B．利用诱导公式和特殊角的三角函数值解题．本题主要考察了同角三角函数关系式和特殊角的三角函数值，属于基本知识的考查．5.答案：A解析：试题分析：欲判断图象大致图象，可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑，还可从函数的单调性(在函数当x>0时函数为减函数)方面进行考虑即可．解析：函数有意义，需使e x−e−x≠0，其定义域为{x|x≠0}，排除C，D，又因为y=e x+e−xe x−e−x =e2x+1e2x−1=1+2e2x−1，所以当x>0时函数为减函数，故选A答案：A．6.答案：C解析：解：函数g(x))=f(x)−m(x+1)有三个零点，等价于f(x)的图像和y=m(x+1)的图像有3个交点，两个函数的图像如图示：∵y=m(x+1)的图像恒过(−1,0)，故图像有3个交点即左边1个，右边2个，设直线y =m(x +1)与f(x)相切于点(x 0,y 0)，f′(x)=12√x ， 则{m(x 0+1)=√x 0m =12√x 0，解得：{x 0=1m =12， 故0<m <12时，两个函数图像有3个交点， 故实数m 的取值范围是(0,12)， 故选：C ．函数g(x)有3个零点，等价于f(x)的图像和y =m(x +1)的图像有3个交点，画出函数的图像，结合图像求出m 的范围即可．本题考查了函数图像的交点问题，考查数形结合思想，转化思想，是中档题．7.答案：A解析：试题分析：，当或时，此时函数在和上单调递增;或时，，此时函数在和上单调递减.综上可知A 正确．考点：正切函数的单调性．8.答案：C解析：本题考查最佳体现数据关系的函数模型的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排除法的合理运用．把(t,u)的值分别代入A ，B ，C ，D 中，能够找到最佳体现这些数据关系的函数模型． 解：把(t,u)的值分别代入u =log 2t 中，不成立，故A 不能最佳体现这些数据关系； 把(t,u)的值分别代入u =2t −2中，不成立，故B 不能最佳体现这些数据关系； 把(t,u)的值分别代入u =t 2−12中，基本成立，故C 能最佳体现这些数据关系；把(t,u)的值分别代入u =2t −2中，不成立，故D 不能最佳体现这些数据关系．故选C．9.答案：BCD解析：求出幂函数f(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数思想．解：幂函数f(x)=xα的图象经过点(16,4)，所以16α=4，解得α=12，所以f(x)=x12=√x；所以f(x)是非奇非偶的函数，是定义域[0,+∞)上的增函数；当x>1时，f(x)>f(1)=1；画出f(x)在[0,+∞)上的图象，如图所示：由图象知，当0<x1<x2时，f(x1)+f(x2)2<f(x1+x22)；所以正确的选项是BCD．故选：BCD．10.答案：BD解析：解：由题意，从图看出A=2，x1，x2∈[a,b]，f(x1)=f(x2)，可知x1，x2关于函数的对称轴是对称的．即x=x1+x22是其中一条对称轴，且f(x1+x22)=2，∴函数f(x1+x22)=2，可得：2sin[ω(x1+x22)+φ]=2，可得：ω(x1+x22)+φ=π2+2kπ，k∈Z，…①．∵f(x1+x2)=1，∴函数f(x1+x2)=2Asin[ω(x1+x2)+φ]=1，可得：ω(x 1+x 2)+φ=π6+2kπ，或5π6+2kπ，k ∈Z ，…②． 令k =0，由①②解得：φ=π6，或5π6， ∵0<φ<π， ∴φ=π6.或5π6．故选：BD ．由题意，从图看出x 1，x 2∈[a,b]，f(x 1)=f(x 2)，可知x 1，x 2关于函数的对称轴是对称的．即x =x 1+x 22时其中一条对称轴，且f(x 1+x 22)=2，f(x 1+x 2)=1，即可求解φ的值．本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．11.答案：AC解析：本题考查的知识要点：正弦定理，三角函数的关系式的变换，三角函数的值，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．直接利用正弦定理，三角函数的关系式的变换，三角函数的值，充分条件和必要条件的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．解：对于A ：在△ABC 中，利用正弦定理得： a ：b ：c =sinA ：sinB ：sinC ，故A 正确； 对于B ：在△ABC 中，若sin2A =sin2B ，所以2A =2B 或2A =π−2B ，整理得A =B 或A +B =π2，即A =B 或C =π2， 则△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ：△ABC 中，当sinA >sinB ⇒2RsinA >2RsinB ⇒a >b ⇒A >B ； 当A >B ⇒a >b ⇒2RsinA >2RsinB ⇒sinA >sinB ， 故sinA >sinB 是A >B 的充要条件，故C 正确； 对于D ：在△ABC 中，若sinA =12，则A =π6或5π6，故D 错误．故选：AC ．12.答案：ABCD解析：解：如图所示：，由题意可知，PA=20，AB=20√3，对于选项A：由圆锥的侧面积公式可知，斗笠面的面积为π×20×10√3=200√3π，所以若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为2√3π元，故选项A正确，对于选项B：由圆锥的体积公式可知，V=13π(10√3)2×PO=100π×√202−(10√3)2=1000π，所以用此斗笠盛水，则需要1000π立方厘米的水才能将斗笠装满，故选项B正确，对于选项C：因为PA=20，AO=10√3，所以sin∠APO=AOAP =√32，所以∠APO=60°，所以∠APB=120°，故选项C正确，对于选项D：由图可知过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形中，轴截面面积最大，最大面积为12×20×20×sin120°=100√3(平方厘米)，故选项D正确．故选：ABCD．利用圆锥的侧面积公式和体积公式可知A，B正确，由圆锥的轴截面图形可知C，D正确．本题主要考查了圆锥的侧面积公式、体积公式，以及圆锥的轴截面，是基础题．13.答案：27解析：解：对于函数y=log a(2x−3)+8，令2x−3=1，解得x=2，此时y=8，因此函数y=log a(2x−3)+8的图象恒过定点P(2,8)．设幂函数f(x)=xα，∵P在幂函数f(x)的图象上，∴8=2α，解得α=3．∴f(x)=x3．∴f(3)=33=27．故答案为27．利用y=log a1=0可得定点P，代入幂函数f(x)=xα即可．本题考查了对数函数的性质和幂函数的定义，属于基础题．14.答案：√32解析：解：cos70°cos40°+sin70°sin40°=cos(70°−40°)=cos30°=√32，故答案为：√32．直接根据两角差的余弦公式计算即可． 本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题．15.答案：{x|−2≤x <1或x ≥3}解析：解：由已知，f(x)≥−2得到{x <1x ≥−2①和{x ≥1x 2−2x −5≥−2②， 解不等式组①得−2≤x <1， 解不等式组②得x ≥3，所以不等式f(x)≥−2的解集为{x|−2≤x <1或x ≥3}； 故答案为：{x|−2≤x <1或x ≥3}．由题意，根据自变量的范围分别建立两个不等式组解之．本题考查了分段函数与不等式组得解法相结合得问题；关键是明确自变量范围对应得解析式，正确建立不等式组．16.答案：10解析：解：如题图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为线段BD 的长度，根据相似三角形的性质可得：BD20=50100， ∴BD =10． 故答案为：10元．欲求两种方式电话费相差的数字，结合函数的图象可得，只须求出当x =150时，图中BD 的长度即可，利用平面几何中的相似三角形的性质即可．本题考查了函数模型的选择与应用，以及函数与方程的思想，属于基础题．17.答案：解：(1)f(x)=x 2+x +ln 1x−a =x 2+x −ln(x −a)∴f′(x)=2x +1−1x−a 当x =0时，f(x)取得极值， ∴f′(0)=0，故1−1x−a =0， 解得a =−1，经检验a =−1符合题意， 则实数a 的值为−1；(2)由a =−1知f(x)=x 2+x −ln(x +1) 由f(x)=52x −b ，得ln(x +1)−x 2+32x −b =0 令φ(x)=ln(x +1)−x 2+32x −b ，则f(x)=52x −b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根．φ′(x)=1x+1−2x +32=−(4x+5)(x−1)2(x+1)，当x ∈[0,1]时，φ′(x)>0，于是φ(x)在[0,1)上单调递增； 当x ∈(1,2]时，φ′(x)<0，于是φ(x)在(1,2]上单调递减， 依题意有φ(0)=−b ≤0， φ(1)=ln(1+1)−1+32−b >0， φ(2)=ln(1+2)−4+3−b ≤0 解得，ln3−1≤b <ln2+12，故实数b 的取值范围为：[ln3−1,ln2+12)；(3)：f(x)=x 2+x −ln(x +1)的定义域为{x|x >−1}，由(1)知f′(x)=2x +1−1x+1=x(2x+3)x+1，令f′(x)=0得，x =0或x =−32(舍去)， ∴当−1<x <0时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x >0时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴f(0)为f(x)在(−1,+∞)上的最小值．∴f(x)≥f(0)，故ln(x +1)−x 2−x ≤0(当且仅当x =0时，等号成立) 对任意正整数n ，取x =1n >0得，ln(1n +1)<1n +1n 2， ∴ln(n+1n)<n+1n 2，故2+34+49+⋯+n+1n2>ln2+ln32+ln43+⋯+ln n+1n=ln(n+1)．解析：(1)函数f(x)=x 2+x+ln1x−a=x2+x−ln(x−a)，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f′(0)=0，求得a值；(2)关于x的方程f(x)=52x−b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，将问题转化为φ(x)=0，在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，对φ(x)对进行求导，从而求出b的范围；(3)f(x)=x2+x−ln(x+1)的定义域为{x|x>−1}，利用导数研究其单调性，可以推出ln(x+1)−x2−x≤0，令x=1n ，可以得到ln(n+1n)<n+1n2，利用此不等式进行放缩证明．本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，第三问难度比较大，利用了前两问的结论进行证明，此题是一道中档题．18.答案：解：(1)f(x)=(cosxtanx+cosx)2−1−4cosx−cosx+cosx =2sinxcosx−4cosx=−12sinx，则f(−10π3)=12sin10π3=12sin(3π+π3)=−12sinπ3=−√34；(2)把f2(x)+(1+12a)sinx+2a=0，整理得：14sin2x+(1+12a)sinx+2a=0，即sin2x+(4+2a)sinx+8a=0，分解因式得：(sinx+4)(sinx+2a)=0，∴sinx=−2a或sinx=−4(舍去)，当x∈[π6,3π4]时，sinx∈[√22,1]，∴√22≤−2a<1，解得：−12<a<−√24；(3)y=−acos2x+2cosx+a，1°当a=0时，y=2cosx，y max=2；令cosx=t，则y=−at2+2t+a，t∈[−1,1]；2°当a>0时，−a<0，对称轴为t=1a；①若1a>1，即0<a<1时，y max=−a+2+a=2；②若0<1a ≤1，即a≥1时，y max=−a×1a2+2×1a+a=a+1a；3°当a<0时，−a>0，对称轴t=1a<0，y max=−a+2+a=2，综上所述，当a<1时，y max=2，当a≥1时，y max=a+1a．解析：(1)f(x)解析式利用诱导公式化简，约分得到最简结果，把x=−1860°代入计算即可求出值；(2)由确定出的f(x)解析式，代入已知等式，整理求出sinx的值，根据sinx的范围确定出a的范围即可；(3)把确定出的f(x)解析式代入函数解析式中整理，分a=0，a>0与a<0三种情况求出y的最大值即可．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及三角函数的最值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．19.答案：解：(Ⅰ)f(π4)=sinπ2−cos2π4+sin2π4=1−12+12=1.(4分)(Ⅱ)f(x)=sin2x−cos2x+sin2x=sin2x−(cos2x−sin2x)=sin2x−cos2x(5分) =√2sin(2x−π4).(7分)T=2πω=2π2=π.(8分)(III)因为x∈[0,π2]，所以2x−π4∈[−π4,3π4].(9分)则sin(2x−π4)∈[−√22,1].(11分)则√2sin(2x−π4)∈[−1,√2]．即f(x)的取值范围是[−1,√2].(12分)解析：(Ⅰ)直接代入π4，即可求f(π4)的值；(Ⅱ)利用二倍角公式与两角差的正弦函数化简函数的表达式，直接利用周期公式，求函数f(x)的最小正周期；(III)当x∈[0,π2]时，求出2x−π4的范围，然后求出sin(2x−π4)∈[−√22,1]，即可求f(x)的取值范围．本题是中档题，考查三角函数的化简，周期的求法两角差的正弦函数的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力，常考题型．20.答案：解：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(−x)+f(x)=ax2+1−bx+c +ax2+1bx+c=0，得−bx+c=−bx−c，解得c=0，又f(1)=a+1b=2，化为2b=a+1．∵f(2)=4a+12b <3，∴4a+1a+1<3，化为a−2a+1<0，⇔(a+1)(a−2)<0，解得−1<a<2，∵a∈Z，∴a=0或1．当a=0时，解得b=12，与b∈Z矛盾，舍去．当a=1时，b=1，综上：a=b=1，c=0．(2)f(x)=x2+1x，函数f(x)在[1,+∞)上为增函数．任取x1，x2∈[1,+∞)，且x1<x2．则f(x1)−f(x2)=x12+1x1−x22+1x2=(x1−x2)(x1x2−1)x1x2，∵x1，x2∈[1,+∞)，且x1<x2．∴x1−x2<0，x1x2>1，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴函数f(x)在[1,+∞)上为增函数．(3)∵f(−t2−1)+f(|t|+3)>0，∴f(|t|+3)>−f(−t2−1)=f(t2+1)．∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，∴t2+1<|t|+3，化为(|t|−2)(|t|+1)<0，解得0≤|t|<2，解得−2<t<2．解析：本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由f(x)为奇函数，可得f(−x)+f(x)=0，解得c=0，又f(1)=a+1b=2，化为2b=a+1.f(2)=4a+12b<3，即可得出．(2)f(x)=x2+1x，函数f(x)在[1,+∞)上为增函数．利用证明单调函数的方法即可证明．(3)利用函数的奇偶性与单调性即可解出．21.答案：解：(1)设OA=m，OB=n，m，n∈(0,200]，在△OAB中，AB2=OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cos2π3，即(50√3)2=m2+n2+mn，所以，(50√3)2=(m+n)2−mn≥(m+n)2−(m+n)24=34(m+n)2，所以m+n≤100，当且仅当m=n=50时，m+n取得最大值，此时△OAB周长取得最大值．答：当OA、OB都为50m时，△OAB的周长最大．(2)当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，则E、F分别为AB，CD的中点，所以∠DOE=θ，由CD≤200，得θ∈(0,π6]．在△ODF中，DF=200sinθ，OF=200cosθ．又在△AOE中，OE=OAcosπ3=25，故EF=200cosθ−25．所以，S=12(50√3+400sinθ)(200cosθ−25)=625(√3+8sinθ)(8cosθ−1)=625(8√3cosθ−8sinθ+64sinθcosθ−√3)，θ∈(0,π6]．令f(θ)=8√3cosθ−8sinθ+64sinθcosθ−√3，θ∈(0,π6],f′(θ)=−8√3sinθ−8cosθ+64cos2θ=−16sin(θ+π6)+64cos2θ,θ∈(0,π6]，又y=−16sin(θ+π6)及y=cos2θ在θ∈(0,π6]上均为单调递减函数，故f′(θ)在θ∈(0,π6]上为单调递减函数．因f′(π6)=−16(√32−4×12)>0，故f′(θ)>0在θ∈(0,π6]上恒成立，于是，f(θ)在θ∈(0,π6]上为单调递增函数．所以当θ=π6时，f(θ)有最大值，此时S有最大值为625(8+15√3)．答：当θ=π6时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为625(8+15√3)m2..解析：(1)设OA=m，OB=n，m，n∈(0,200]，在△OAB中，利用余弦定理，结合基本不等式，即可得出结论；(2)利用梯形的面积公式，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S 的最大值．本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查利用导数知识解决最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.答案：解：函数f(x)=lg[(m 2−3m +2)x 2+2(m −1)x +5]，(1)∵f(x)的定义域为R ，∴g(x)=(m 2−3m +2)x 2+2(m −1)x +5的图象恒在x 轴上方， (m 2−3m +2)x 2+2(m −1)x +5>0恒成立， 当m =1时，5>0恒成立， 当m =2时2x +5>0不恒成立，当{m 2−3m +2>0△<0时，不等式恒成立． 即m >94或m <1，所以实数m 的取值范围为：m >94或m ≤1， (2)∵f(x)的值域为R ，∴g(x)=(m 2−3m +2)x 2+2(m −1)x +5图象不能在x 轴下方， 当m =2时g(x)=2x +5，符合题意，当{m 2−3m +2>0△≥0时，即2<m ≤94 实数m 的取值范围：2≤m ≤94解析：(1)(m 2−3m +2)x 2+2(m −1)x +5>0恒成立，运用二次函数求解． (2)g(x)=(m 2−3m +2)x 2+2(m −1)x +5图象不能在x 轴上方． 本题考察了对数函数的图象和性质，借助二次函数性质求解．。

广东省广州市越秀区2019-2020学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A =，{}2,3,6,7B =，则()UB A =（ ） A ．{}1,2,3,6,7 B ．{}6,7C ．{}1,2,3,4,6,7D ．{}1,2,3,4,5,6,72．cos75︒=（ ） ABCD3．三个数3log 0.3a =，0.33b =，0.30.3c =的大小顺序是（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<4．已知3cos 5α=，则3sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．355．函数()21sin cos 2f x x x x =+-可以化简为（ ） A ．()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EC =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -+ C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 7．函数()11142xxf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]2,2-上的最小值为（ ）A ．14B ．34C ．1316D ．138．已知函数()cos2sin 2f x x x =-，将()y f x =的图象向左平移a （0a >）个单位长度可以得到一个奇函数的图象，将()y f x =的图象向右平移b （0b >）个单位长度可以得到一个偶函数的图象，则a b -的最小值等于（ ）A ．0B ．8π C ．4π D ．2π 9．已知平面向量OA 、OB 的夹角是60︒，且1OA =，2OB =.点C 满足2BC AC =，则OB OC ⋅=（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-10．若函数y g x 的图象与ln y x =的图象关于直线2x =对称，则()g x =（ ）A ．()ln 2x +B ．()ln 2x -C ．()ln 4x -D ．()ln 4x +11．已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x a =+，若()g x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,0B ．[)1,0-C ．0,1D ．(]0,112．定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f =，且对任意的正数a 、b （ab ），有()()0f a f b a b -<-，则不等式()202f x x -<-的解集是（ ）A ．()()1,12,-+∞B ．()(),13,-∞-+∞C ．()(),13,-∞+∞ D ．()(),12,-∞-+∞13．已知平面向量()2,2a =-，()1,b m =-，若a b ⊥，则b =______.14．261381log 3624-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭______.15．已知集合193x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2log 0B x x =<，则A B =______.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤，则实数m 的取值范围是______.17．已知α为第二象限角，且sin 2cos 0αα+=.（1）求cos α，tan2α的值；（2. 18．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，02πϕ<<）的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）若将()y f x =的图象向左平移12π个单位长度，得到y g x 的图象，求函数y g x 的单调递增区间.19．已知平面非零向量a ，b 的夹角是23π. （1）若1a =，27a b +=，求b ；（2）若()2,0a =，(),3b t =，求t 的值，并求与a b -共线的单位向量e 的坐标. 20．如图，在扇形OAB 中，23AOB π∠=，半径2OA =.在弧AB 上取一点C ，向半径OA 、OB 分别作垂线，与线段OA 、OB 分别相交于D 、E ，得到一个四边形CDOE .（1）设COD x ∠=，将四边形CDOE 的面积S 表示成x 的函数； （2）求四边形CDOE 的面积S 的最大值.21．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代.设生物体内的碳14的含量为P ，死亡年数为t . （1）试将P 表示为t 的函数；（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的8%，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：lg 20.3≈）22．已知函数())lnf x x =.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若对任意的[]13,x ∈-，不等式()()240f x ax f -+≤均成立，求实数a 的取值范围.。

2020学年越秀区第一学期学业水平调研测试高一年级数学试卷全卷满分150分考试试卷120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设U = {1,2,34,5}, A = {1,2}, B = {1,4,5},则 AU（C“B）=（）A.{1}B. {2}C. {1,2,3}D. {124,5}2.命题"e （0,+cx））, hx = l-x ”的否定是（）A.Vx g （0,+s）, liix = l-xB. Vx e （0,+s）, In x H 1 -xC. 3.v g (0,+s) , Inx = 1 -£>. 3xe (O,+8), In xH 1 -x x3•在平而直角坐标系中，角&的顶点与原点重合，角&的始边与兀轴非负半轴重合，角&的终边经过点P（—34）,则cos 8=（c-~l54. sin—的值等于（）35•为了得到函数y = cos（3x-l）的图像，只需把y = cos3x的图像上的所有点（）A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移-个单位D.向右平移-个单位3 36.函数/（A）= hix + 2x-3的零点所在的一个区间是（）A・（°G）（pl）C・（h?）D・（；,2）2 2 2 27•设a = log3 0.6 , b = log（）3 0.6 ♦贝ij （）A. ab<Za + b<G B・ a+b<0<ab C. ab<G<.a+b D. a + b<ab<G8.当生物死后，它体内的碳14含量会按确怎的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730 年衰减为原来的一半。

2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残留量约为初始虽的55.2%,以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（）（参考数据:logo 5 0.552 « 0.8573 f log05 0.448 «1.1584 ）二、选择题：本题共4小题，每小题5分.共20分•在每小题给出的四个选项中.有多项 符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9•设。

2020学年越秀区高一上学期期末教学质量检查高一数学（B ）考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.参考公式：锥体的体积公式ShV31=（其中S为底面面积，h为高），球的表面积公式24RSπ=，球的体积公式334RVπ=（其中R为球的半径）.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选项，仅有一个选项正确．）1．下列函数中，是偶函数的是（）A．2)(xxf=B．xxf=)(C．xxf1)(=D．3)(xxxf+=2．下列各式正确的是（）A．3334< B. 6log4log5.05.0< C. 33)21()21(>- D. 4.1lg6.1lg<3．直线01234=+-yx在y轴上的截距是（）A．4 B．－4 C．3 D．－34．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台5．函数xexf x+=)(的零点所在一个区间是（）A．（-2,-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）6．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．xxgxxf==)(,)(2B．332)(,2log)(xxgxf x==C．xxgxxf==)(,)()(2D．xxxgxxf2)(,)(==7．与直线3450x y++=关于x轴对称的直线的方程为（）A．3450x y-+=B．0543=-+yx C．0534=-+yx D．0534=++yx8．已知α是平面，ba,是直线，且a//b，a⊥平面α，则b与平面α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．//b平面αD．b与平面α相交但不垂直9．已知()xf x a=，()log(01)ag x x a a=≠>且，若0)2()1(<⋅gf，那么()f x与()g x在同一坐标系内的图像可能是（）（第4题图）10．已知偶函数)(x f y =在区间(,0]-∞上是增函数，下列不等式一定成立的是（ ）A ．(3)(2)f f >-B ．()(3)f f π->C ．2(1)(23)f f a a >++ D ．22(2)(1)f a f a +>+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．） 11．直线01=+-y x 的倾斜角是 ．12．已知⎩⎨⎧>-≤+=0,20 ,1)(2x x x x x f ，则=))1((f f ．1314．15．16．程：G,是如图，正方形ABCD的边长为1，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，H DF,的中点．FCGH平面CDE；（1）求证：//⊥平面；（2）求证：BC CDEG-的体积．（3）求三棱锥ABC（第17题图）18．（本小题满分12分）如图：A、B两城相距100km，某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站D给A、B两城供气．已知D地距A城x km，为保证城市安全，天燃气站距两城市的距离均不得少于10km．已知建设费用y (万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天燃气站D距A城的距离为40km设费用为1300万元．（供气距离指天燃气站距到城市的距离）（1）把建设费用y(万元)表示成供气距离x (km)的函数，并求定义域；（2）天燃气供气站建在距A城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？DA（第18题图）已知函数1)(+-=x cx x f ，其中c 为常数，且函数)(x f 图像过原点． （1）求c 的值；（2）证明函数)(x f 在[0,2]上是单调递增函数； （3）已知函数31)()(-=xe f x g ，求函数)(x g 的零点．20．12()2x x+，2010—2011学年度第一学期期末教学质量检查高一数学B 答案一、选择题ACACB BABCC16.（本小题满分14分）解：由⎩⎨⎧=--=-+0103y x y x 得⎩⎨⎧==12y x ,所以)1,2(M . …………………2分(1)依题意，可设所求直线为：)0(02≠=++c c y x . …………………4分 因为点M 在直线上，所以0122=++⨯c ,解得：5-=c . ………………7分 所以所求直线方程为：052=-+y x . …………………9分 (2)依题意，设所求直线为：02=+-c y x . …………………10分 因为点M 在直线上，所以0122=+⨯-c ,解得：0=c …………12分 所以所求直线方程为：02=-y x . …………………14分（3）解：依题意: 点G 到平面ABCD 的距离h 等于点F 到平面ABCD 的一半, ………11分即: 21=h . …………………12分 ∴12121112131=⋅⋅⋅⋅=-ABCC V . ………………14分 (求底面积对的有1分) 18.（本小题满分12分）解：（1）设比例系数为k ,则])100([22x x k y -+=)9010(≤≤x . ……………3分(不写定义域扣1分)又1300,40==y x , 所以)6040(130022+=k ,即41=k , ……………5分 所以)5000100(21])100([41222+-=-+=x x x x y )9010(≤≤x . ………7分 （2）由于2500)50(21)5000100(2122+-=+-=x x x y , ………………10分所以当x ＝50时，y 有最小值为1250万元. …………………11分所以当供气站建在距A 城50km, 电费用最小值1250万元. ……12分 19.（本小题满分14分） 解：(1) Θ函数)(x f 图像过原点,∴ 0)0(=f ,即0=c . …………………3分(3)令031131)()(=-+=-=xx xe e ef xg , …………………12分 21=∴x e , …………………13分 即2ln -=x . …………………14分 20.（本小题满分14分）解:(1)因为()f x 为偶函数,所以0=c .22212121212()()()()2222f x f x x x x x x xf ++++-=- …………………4分=2121()04x x ->, …………………5分 1212()()()22f x f x x xf ++∴>，即()f x 为H 函数. …………………6分(3)例:2()log g x x =. ……………8分 2x -理由:当121,2x x ==时,1222()()11(log 1log 2)222g x g x +=+=, …………………10分122221231()log log log 22222x x g ++==>=, …………………12分显然不满足1212()()()22g x g x x xg ++>, 所以该函数2()log g x x =不为H 函数. …………………14分。

2019-2020 学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，选择一个切合题目要求的选项涂在答题卡相应的地点. ）1．（5分）已知会合 M={x∈ Z|x （ x﹣ 3）≤ 0} ， N={x|lnx ＜1} ，则 M∩N=（）A．{1 ，2} B．{2 ，3} C．{0 ，1，2} D．{1 ，2，3}2．（5分）函数 f （ x） =lnx ﹣的零点所在的大概区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）3．（5 分）若 m，n 是两条不一样的直线，α，β，γ是三个不一样的平面，下些说法正确的选项是（）A．若 m? β，α⊥β，则 m⊥αB．若 m⊥β， m∥α，则α⊥βC．若α∩γ =m，β∩γ =n， m∥n，则α∥β D．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β4．（5分）已知函数，设，则有（）A． f （ a）＜ f （ b）＜ f （c ）B．f （a）＜ f （c）＜ f （b）C．f （b）＜ f （ c）＜ f （a）D．f （b）＜ f （a）＜ f （c）5．（5 分）将正方体（如图 1 所示）截去两个三棱锥，获取图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．（5 分）一种特意侵犯内存的计算机病毒，开机时占有内存2KB，而后每 3 分钟自己复制一10次，复制后所占内存是本来的 2 倍，若该病毒占有 64MB内存（1MB=2KB），则开机后经过（）分钟．A． 45 B．44C． 46D． 477．（5 分）若当 x∈R 时，函数 f （ x） =a|x|一直知足 0＜|f （x）| ≤1，则函数 y=log a|| 的图象大概为（）A．B．C．D．8．（5 分）在平面直角坐标系中，以下四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同向来线；90°，则其方程为x=x°；④直线 l 过点 P（ x0，y0），倾斜角为此中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．49．（5 分）以下图，圆柱形容器的底面直径等于球的直径 2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，而后将球拿出，此时容器中水的深度是（）A． 2R B．C． D ．10．（5 分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：2m）．（）A．B．C．D．11．（5 分）如图，正方体 AC1的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△ A1 BD的垂心B． AH垂直平面CB1D1C． AH的延伸线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°12．（5 分）已知函数 y=f （x）是定义域为 R 的偶函数．当 x≥0 时，f （x）=若对于 x 的方程 [f （x）] 2+af （x）+b=0，a，b∈R 有且仅有 6 个不一样实数根，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 . 答案填在答卷上 . ）13．（5分）计算的结果是．14．（5分）已知 4a=2，lgx=a ，则 x=．15．（5分）过点（ 1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．（5 分）已知：在三棱锥 P﹣ABQ 中， D，C，E，F 分别是 AQ， BQ，AP， BP 的中点， PD与EQ 交于点 G，PC与 FQ交于点 H，连结 GH，则多面体 ADGE﹣ BCHF的体积与三棱锥 P﹣ABQ体积之比是．三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应地点 . ）17．（10 分）如图，在平行四边形OABC中，点 C（ 1，3）．（1）求 OC所在直线的斜率；（2）过点 C作 CD⊥AB于点 D，求 CD所在直线的方程．18．（12 分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形 CDE所在平面订交于CD，AE⊥平面 CDE，且 AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证： AB⊥平面 ADE；（Ⅱ）求凸多面体 ABCDE的体积．19．（12 分）已知函数为奇函数，（1）求 a 的值；（2）当 0≤ x≤1 时，对于 x 的方程 f （x）+1=t 有解，务实数 t 的取值范围；220．（12 分）某家庭进行理财投资，依据长久利润率市场检查和展望，投资债券等稳键型产品A 的利润 f （x）与投资本额 x 的关系是 f （x）=k1x，（f （x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B 的利润 g（x）与投资本额 x 的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（利润与投资本额单位：万元）．（1）依据图 1、图 2 分别求出 f （x）、g（x）的分析式；（2）该家庭现有 10 万元资本，并所有投资债券等稳键型产品 A 及股票等风险型产品 B 两种产品，问：如何分派这10 万元投资，才能使投资获取最大利润，其最大利润为多少万元？21．（12 分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， AC⊥ BC，AC=BC=CC1=2，M，N 分别为 AC， B1C1的中点．（Ⅰ）求线段 MN的长；（Ⅱ）求证： MN∥平面 ABB1A1；（Ⅲ）线段 CC1上能否存在点 Q，使 A1B⊥平面 MNQ？说明原因．22．（12 分）已知函数 f （ x） =ax2+bx+c（ a， b，c∈R）．（1）若 a＜ 0， b＞ 0， c=0，且 f （x）在 [0 ，2] 上的最大值为，最小值为﹣2，试求a， b的值；（2）若 c=1，0＜ a＜ 1，且 || ≤2 对随意 x∈ [1 ，2] 恒建立，求 b 的取值范围．（用 a 来表示）2019-2020 学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷参照答案与试题分析一、选择题：（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，选择一个切合题目要求的选项涂在答题卡相应的地点. ）1．（5 分）已知会合M={x∈ Z|x （ x﹣ 3）≤ 0} ， N={x|lnx＜1} ，则M∩N=（）A．{1 ，2} B．{2 ，3} C．{0 ，1，2}D．{1 ，2，3}【解答】解：会合 M={x∈Z|x （ x﹣ 3）≤ 0}={x ∈Z|0 ≤ x≤ 3}={0 ，1，2，3} ，N={x|lnx ＜1}={x|0 ＜x＜e} ，则 M∩N={1，2} ．应选： A．2．（5 分）函数 f （ x） =lnx ﹣的零点所在的大概区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）【解答】解：∵函数，∴f （2）=ln2 ﹣ 1＜ 0， f （ 3） =ln3 ﹣＞0，故有 f （ 2） f （3）＜ 0，依据函数零点的判断定理可得函数的零点所在的大概区间为（2，3），应选： C．3．（5 分）若 m，n 是两条不一样的直线，α，β，γ是三个不一样的平面，下些说法正确的选）项是（A．若 m? β，α⊥β，则m⊥αB．若 m⊥β， m∥α，则α⊥βC．若α∩γ =m，β∩γ =n， m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β【解答】解：若 m? β，α⊥β，则m与α平行、订交或 m? α，故 A 不正确；若 m⊥α， m∥β，则α⊥β，由于m∥β依据线面平行的性质在β 内起码存在一条直线与m平行，依据线面垂直的判断：假如两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故 B 正确；若αl γ=m，β l γ=n， m∥n，则α∥β或α与β订交，故 C不正确；若α⊥γ，α⊥β，则γ 与β 订交或平行，故D不正确．应选 B．4．（5 分）已知函数，设，则有（）A． f （ a）＜ f （ b）＜ f （c ）B．f （a）＜ f （c）＜ f （b）C．f （b）＜ f （ c）＜ f （a）D．f （b）＜ f （a）＜ f （c）【解答】解：由复合函数的单一性可得函数又，，f （x）在（﹣1， +∞）上单一递加，，所以 b＞ c＞ a，∴ f （ b）＞ f （c）＞ f （a）．应选： B．5．（5 分）将正方体（如图 1 所示）截去两个三棱锥，获取图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体前面在右边的射影为线段，上边的射影也是线段，后边与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右边的射影是正方形的对角线，B1 C在右边的射影也是对角线是虚线．如图 B．应选 B．6．（5 分）一种特意侵犯内存的计算机病毒，开机时占有内存2KB，而后每 3 分钟自己复制一10）次，复制后所占内存是本来的 2 倍，若该病毒占有 64MB内存（1MB=2KB），则开机后经过（分钟．A． 45 B．44 C． 46D． 47【解答】解：由于开机时占有内存 2KB，而后每 3 分钟自己复制一次，复制后所占内存是本来的 2倍，所以 3 分钟后占有内存 22KB，两个 3 分钟后占有内存 23KB，三个 3 分钟后占有内存 24KB，故 n 个 3 分钟后，所占内存是本来的 2n+1倍，n+11016则应有 2=64× 2 =2 ，∴ n=15， 15×3=45，7．（5 分）若当 x∈R 时，函数 f （ x） =a|x|一直知足 0＜|f （x）| ≤1，则函数 y=log a|| 的图象大概为（）A．B．C．D．【解答】解：∵当 x∈R时，函数 f （x）=a|x|一直知足 0＜ |f （x）| ≤1．所以，必有 0＜a＜1．先画出函数 y=log a|x| 的图象：黑颜色的图象．而函数 y=log a| |= ﹣log a|x| ，其图象如红颜色的图象．应选 B．8．（5 分）在平面直角坐标系中，以下四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程 y+1=k（x﹣2）可表示同向来线；④直线 l 过点 P（ x0，y0），倾斜角为 90°，则其方程为 x=x°；此中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于③，方程（ x≠ 2）与方程 y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同向来线，故错；对于④，直线 l 过点 P（ x0，y0），倾斜角为 90°，则其方程为 x=x0，正确；应选： B．9．（5 分）以下图，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，而后将球拿出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C．D．【解答】解：由题意，水的体积==，∴容器中水的深度h==，应选： C．10．（5 分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：2m）．（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图能够看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为 2，故它们的面积皆为=2，由极点在底面的投影向另双侧面的底边作高，由等面积法能够算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与极点连结起来即得此双侧面的斜高，由勾股定理能够算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此双侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2+ + =，应选 A．11．（5 分）如图，正方体 AC1的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△ A1 BD的垂心B． AH垂直平面CB1D1C． AH的延伸线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【解答】解：由于三棱锥 A﹣A1BD是正三棱锥，所以极点 A 在底面的射影 H是底面中心，所以选项 A 正确；易证面 A1BD∥面 CB1D1，而 AH垂直平面 A1BD，所以 AH垂直平面 CB1D1，所以选项 B 正确；连结正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D 等，所以 AC1⊥平面A1 BD，则直线 A1C与 AH重合，所以选项C 正确；应选 D．12．（5 分）已知函数 y=f （x）是定义域为 R 的偶函数．当 x≥0 时，f （x）=若对于 x 的方程 [f （x）] 2+af （x）+b=0，a，b∈R 有且仅有 6 个不一样实数根，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意 f （ x）在（﹣∞，﹣ 2）和（ 0，2）上递加，在（﹣ 2， 0）和（ 2，+∞）上递减，当 x=±2 时，函数获得极大值；当 x=0 时，获得极小值 0．要使对于 x 的方程 [f （ x）] 2+af （x）+b=0，a，b∈R有且只有 6 个不一样实数根，设 t=f （ x），则则有两种状况切合题意：（1），且，此时﹣ a=t 1+t 2，则；（2）t 1∈（ 0，1] ，，此时同理可得，综上可得 a 的范围是．应选答案 C．二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 . 答案填在答卷上 . ）13．（5 分）计算的结果是2．【解答】解：运算 =1﹣+ +lg2+lg5=1 ﹣0.4+0.4+1=2 ．故答案为 2．14．（5 分）已知 4a=2，lgx=a ，则 x=．【解答】解：∵ 4a =2，∴22a=2，即 2a=1解得 a=∵l gx=a ，∴lgx=∴x=，故答案为：．15．（5 分）过点（ 1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 2x﹣ y=0 或 x+y﹣3=0【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0 时，设该直线的方程为 x+y=a，把（ 1，2）代入所设的方程得： a=3，则所求直线的方程为 x+y=3 即 x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为 0 时，设该直线的方程为 y=kx，把（ 1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x 即 2x﹣ y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0 或 x+y﹣3=0．故答案为： 2x﹣ y=0 或 x+y﹣3=016．（5 分）已知：在三棱锥 P﹣ABQ 中， D，C，E，F 分别是 AQ， BQ，AP， BP 的中点， PD与EQ交于点 G，PC与 FQ交于点 H，连结 GH，则多面体 ADGE﹣ BCHF的体积与三棱锥 P﹣ABQ体积之比是．【解答】解：∵ D， C， E， F 分别是 AQ， BQ，AP，BP的中点，∴EF∥ AB，DC∥ AB，则 EF∥ DC，又 EF?平面 PCD，DC? 平面 PCD，∴ EF∥平面 PCD，又 EF? 平面 EFQ，平面 EFQ∩平面 PCD=GH，∴ EF∥ GH，设三棱锥 P﹣ABQ体积为 V，则 V P﹣DCQ=，，=．∴=．∴多面体 ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ ABQ体积之比是．故答案为：．三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应地点 . ）17．（10 分）如图，在平行四边形OABC中，点 C（ 1，3）．（1）求 OC所在直线的斜率；（2）过点 C作 CD⊥AB于点 D，求 CD所在直线的方程．【解答】解：（1）∵点 O（0，0），点 C（1，3），∴OC所在直线的斜率为．（2）在平行四形OABC中， AB∥OC，∵CD⊥ AB，∴CD⊥ OC．∴ CD所在直的斜率．∴CD所在直方程，即x+3y10=0．18．（12 分）如，正方形ABCD所在平面与三角形 CDE所在平面订交于CD，AE⊥平面 CDE，且 AE=1，AB=2．（Ⅰ）求： AB⊥平面 ADE；（Ⅱ）求凸多面体 ABCDE的体．【解答】明：（Ⅰ）∵ AE⊥平面 CDE，CD? 平面 CDE，∴AE⊥ CD，又在正方形 ABCD中， CD⊥ AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面 ADE，又在正方形 ABCD中， AB∥ CD，∴AB⊥平面 ADE．⋯（ 6 分）解：（Ⅱ）接 BD， B 到平面 CDE的距离 h，∵AB∥ CD，CD? 平面 CDE，∴AB∥平面 CDE，又 AE⊥平面 CDE，∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体 ABCDE的体 V=V B﹣CDE+V B﹣ADE=．⋯（12分）19．（12 分）已知函数奇函数，（1）求 a 的；（2）当 0≤ x≤1 ，对于 x 的方程 f （x）+1=t 有解，求数 t 的取范；2【解答】解：（1）∵ x∈R，∴ f （ 0） =0，∴ a= 1⋯．（3 分）（2）∵，∵ 0≤x≤1，∴ 2≤3x+1≤4⋯．（5分）∴⋯．（ 7 分）∴⋯．（8分）（3）在R上减，⋯．（9分）f （ x2mx）≥ f （ 2x 2m）x2mx≤2x 2m⋯．（10 分）x2（ m+2） x+2m≤0（x 2）（x m）≤ 0⋯．（11 分）①当 m＞ 2 ，不等式的解集是 {x|2 ≤x≤m}②当 m=2，不等式的解集是 {x|x=2}③当 m＜ 2 ，不等式的解集是 {x|m ≤x≤2} ⋯．（14 分）20．（12 分）某家庭行理投，依据期利润率市和，投券等型品A 的利润 f （x）与投金 x 的关系是 f （x）=k1x，（f （x）的部分象如1）；投股票等型品 B 的利润 g（x）与投金 x 的关系是，（g（x）的部分象如2）；（利润与投金位：万元）．（1）依据 1、 2 分求出 f （x）、g（x）的分析式；（2）家庭有 10 万元金，并所有投券等型品 A 及股票等型品 B 两种品，：怎分派10 万元投，才能使投得最大利润，其最大利润多少万元？【解答】解：（1）投 x 万元，由意，知 f （1.8 ） =0.45 ，g（4）=2.5 ；解得 k1=，k2=，∴f （x）= x， x≥ 0． g（x）=，x≥0；（2）股票等型品 B 投 x 万元，券等型品 A 投（ 10 x）万元，家庭行理投取的利润y 万元， y=，x≥0．=t ， x=t 2，0≤t ≤∴y=，当 t=，也即x=，y取最大．答：股票等型品 B 投万元，券等型品 A 投万元，可最大收益万元．21．（12 分）如，直三棱柱ABC A1B1C1中， AC⊥ BC，AC=BC=CC1=2，M，N 分 AC， B1C1的中点．（Ⅰ）求段 MN的；（Ⅱ）求： MN∥平面 ABB1A1；（Ⅲ）段 CC1上能否存在点 Q，使 A1B⊥平面 MNQ？明原因．【解答】解：（Ⅰ）接 CN，因 ABC A1B1 C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC，所以 AC⊥CC1，⋯（ 2 分）因⋯（3 分）AC⊥BC，所以 AC⊥平面 BCC1B1．因 MC=1，CN= = ，所以 MN=⋯（4分）（Ⅱ）明：取AB中点 D，接 DM，DB1⋯（5分）在△ ABC中，因 M AC中点，所以 DM∥BC， DM= BC．在矩形 B1BCC1中，因 N B1C1中点，所以 B1N∥BC，B1N= BC．所以 DM∥B1N，DM=B1N．所以四形 MDB1N 平行四形，所以MN∥DB1．⋯（7分）因 MN?平面 ABB1A1，DB1? 平面 ABB1A1⋯（ 8 分）所以 MN∥平面 ABB1A1．⋯（9分）（Ⅲ）解：段CC1上存在点 Q，且 Q CC1中点，有 A1B⊥平面 MNQ．⋯（ 11 分）明以下：接BC1，在正方形 BB1C1 C中易 QN⊥ BC1．又 A1C1⊥平面 BB1C1C，所以 A1C1⊥QN，进而 NQ⊥平面 A1BC1．⋯（ 12 分）所以 A1B⊥ QN．⋯（13分）同理可得 A1B⊥MQ，所以 A1 B⊥平面 MNQ．故段 CC1上存在点 Q，使得 A1B⊥平面 MNQ．⋯（ 14 分）22．（12 分）已知函数 f （ x） =ax2+bx+c（ a， b，c∈R）．（1）若 a＜ 0， b＞ 0， c=0，且 f （x）在 [0 ，2] 上的最大，最小2，求a，b的；（2）若 c=1，0＜ a＜ 1，且 || ≤2 随意 x∈ [1 ，2] 恒建立，求 b 的取范．（用 a 来表示）【解答】（ 1）抛物的称，①当，即 b＞ 4a ，当，，f（x）min=f（2）=4a+2b+c=2，∴，∴a= 2， b=3．②当，即b≥ 4a ， f （x）在 [0 ，2] 上增函数， f （x）min=f（0）=0 与 f （x）min=﹣2 矛盾，无解，综合得： a=﹣2，b=3．（2）对随意x∈ [1，2]恒建立，即对随意x∈[1，2]恒建立，即对随意 x∈[1 ，2] 恒建立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时， g（x）在 [1 ，2] 单一递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时， g（x）在单一递减，在单一递加，此时，，只需，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．。

【区级联考】广东省广州市越秀区【最新】高一（上）期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}A x x 2018=，a 2019=，则下列关系中正确的是( ) A ．a A ∈ B ．a A ∉ C ．a A ⊆ D ．a A = 2．若cos θ0>，sin θ0<，则角θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知幂函数()n f x x =的图象经过点(，则()f 9的值为( )A ．3B ．3±C ．12D ． 4．设0.7a log 1.7=，0.7b log 1.8=， 1.8c 0.7=，则( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<5．函数()x f x 23x 7=+-的零点所在的一个区间是( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭6．函数()()sin cos sin cos y x x x x =+-的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π7．已知向量()()cos ,,2,1a sin b θθ==-，且a b ⊥，则tan 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值是（ ） A ．13 B ．3- C ．3 D ．13- 8．为了得到函数1πy 2sin x 36⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1y 2sin x 3=的图象上所有点( ) A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移7π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度 9．已知()f x 是偶函数，且在[)0,∞+上是减函数，若()()f lnx f 1>，则x 的取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()0,eC ．()()e,00,e -⋃D ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭10．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为2y x 2x 1=-+，值域为{0,4，16}的“孪生函数”共有( )A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个11．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为( )A ．1500元B ．1550元C ．1750元D ．1800元二、解答题12．已知向量()a 1,2=，()b 3,4=-，()c 5,k =． ()1若()()a b a c 10+⋅-=-，求实数k 的值； ()2若向量m 满足m //a ，且m =m ．13．设全集U =R ，集合2A={x|x -4x-12<0}，B={x|(x-a)(x-2a)<0}．（1）当a=1时，求集合U A B ⋂；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．14．如图，现要在一块半径为r(r 0)>，圆心角为60的扇形纸板POQ 上剪出一个平行四边形OABC ，使点B 在弧PQ 上，点A 在半径OP 上，点C 在半径OQ 上．设αBOA ∠=()1求S 关于α的函数关系式；()2求S 的最大值及相应的α值．15．阅读下面材料：()()()()22233sin3θsin 2θθsin2θcos θcos2θsin θ2sin θcos θ12sin θsin θ2sin θ1sin θsin θ2sin θ3sin θ4sin θ=+=+=+-=-+-=-解答下列问题：()1证明：3cos3θ4cos θ3cos θ=-；()2若函数()πcos 3x π4f x msin x 5π4cos x 4⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭在πx 0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有零点，求实数m 的取值范围．参考答案1．A【解析】【分析】根据集合A 中元素满足的性质2018,2019x a >=，我们可以判断出元素a 与集合A 的关系．【详解】因为集合{}|2018,2019A x x a =>=，所以a A ∈．故选A ．【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．2．D【分析】利用三角函数的定义，可确定0,0y x <>，进而可知θ在第四象限．【详解】 根据三角函数的定义有()sin ,cos 0y x r r r θθ==>，所以0,0x y ><， 所以θ在第四象限，故选D ．【点睛】当θ的终边在不同象限的时候，其三个三角函数值的符号也发生变化，记忆的口诀是“全正切余”即：第一象限全为正，第二象限正弦正，第三象限切为正，第四象限余弦正． 3．A【分析】推导出()12f x x=，由此能求出()9f ． 【详解】代入点(，则有3n =，故12n =，所以()93f =，故选A ． 【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，属于基础题．4．C【解析】【分析】根据对数函数的单调性及中间数0可得三个数的大小关系．【详解】因为0.70.70.7log 1.8log 1.7log 10<<=且 1.80.70>，故b a c <<，选C ．【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.5．C【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】()f x 为R 上的增函数，又()35120, 2.8 2.50.3022f f ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭，故零点所在对的区间为 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，选C ． 【点睛】不可解方程的零点所在区间应该通过零点存在定理来寻找，一般地要先考虑函数的单调性，再选择合适的区间(),a b ，使得()()0f a f b <，其中,a b 要依据解析式的形式来选取（()(),f a f b 要容易计算）.6．B【分析】利用二倍角公式化简可得cos2x y =-，再利用公式求最小正周期．【详解】22sin cos cos 2y x x x =-=-，故最小正周期为22T ππ==，选B ． 【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，是基础题．7．A【分析】由已知求得tan θ，然后展开两角差的正切求解．【详解】解：由(cos ,sin ),(2,1)a b θθ==-，且a b ⊥，得2cos sin 0θθ-=，即tan 2θ=．tan tan 2114tan 412131tan tan 4πθπθπθ--⎛⎫∴-=== ⎪+⨯⎝⎭+⋅，故选A ． 【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题．8．C【分析】 把函数12sin 36y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭化成172sin 32y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可得平移的方向及其大小． 【详解】 函数12sin 36y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭可化简为1172sin 2sin 3636y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也就是172sin 32y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故只需把12sin 3y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭向左平移72π个单位即可得到12sin 36y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像，故选C ． 【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，找寻两个不同函数的图像的变换时，首先它们的函数名要相同，其次两者之间的周期变换看ω，左右平移看φω．注意周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的影响，比如sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，它可以由sin y x =先向左平移3π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移6π. 9．D【分析】利用偶函数的性质()()f x fx =把原不等式转化为()()ln 1f x f >，再根据[)0,+∞上是减函数得到ln 1x <可得1x e e<<． 【详解】 因为()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是减函数，原不等式转化为()()ln 1f x f >，故ln 1x <即1ln 1x -<<， 解得1x e e<<，故选D ． 【点睛】对于偶函数()f x ，其在对称两侧的单调性是相反的，并且()()()f x f x f x ==-，对于奇函数()g x ，其在对称两侧的单调性是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．10．D【解析】【分析】根据值域可得定义域中应该含有的元素，分类列出可得不同函数的种数．【详解】令0y =，则1x =；令4y =，则1x =-或3x =；令16y =，则3x =-或5x =；设定义域为A ，A 中的自变量x 对于的函数值为0，则x 可取1，共有1种情况；同理A 中的自变量x 对于的函数值为4，则x 可取1-，也可取3，也可以取1,3-，共有3种情况，A 中的自变量x 对于的函数值为16，则x 可取3-，也可取5，也可以取3,5-，共有3种情况，故不同的定义域的个数为9种，它们分别为：{}1,1,3--．{}1,1,5-，{}1,3,3-，{}1,3,5；{}1,1,3,3--．{}1,1,3,5-，{}1,3,3,5-，{}1,3,3,5-；{}1,1,3,3,5--，故不同函数的种数为9．【点睛】函数有三要素即函数的定义域、对应法则和值域，如果知道前两者，则值域是唯一确定的，如果知道值域和对应法则，则定义域不确定，需结合对应法则考虑原像的不同情况． 11．A【分析】设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，可得到获得的折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合5025y =>，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．【详解】设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，由题设可知：()()0,08000.05800,80013000.1130025,1300x y x x x x ⎧<≤⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，因为5025y =>，所以1300x >，所以()0.113002550x ⨯-+=，解得1550x =， 故此人购物实际所付金额为1550501500-=（元），故选A ．【点睛】本题为数学应用题，应依据题意构建数学模型（其数学模型为分段函数）后解一元一次不等式可得实际问题的解，注意利用不同范围上的函数值的范围构建需要的不等式．12．（1）5k =；（2）()m 3,6=或()3,6--.【分析】（1）利用坐标运算可得()()246210k -⨯-+⨯-=-，解这个方程可得5k =；（2）因向量共线故可设m a λ=，利用已知的模长可得λ的值从而得到所求的向量．【详解】（1）由题设有()2,6a b +=-，()4,2a c k -=--，因为()a b +()10a c -=-，故()()246210k -⨯-+⨯-=-，所以5k =．（2）因为m a ，故(),2m a λλλ==，所以22445λλ+=，解得3λ=±，所以()3,6m =或()3,6m =--．【点睛】如果()()1122,0,,a x y b x y =≠=，那么：（1）若//a b ，则存在实数λ使得b a λ= 且1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=；13．（1）(][)2,12,6-；（2）[]1,3-. 【分析】（1）求出集合,A B 后可得到(][)2,12,6U A C B =-；（2）就0,0a a =≠分类讨论，再根据B A ⊆建立不等式组，解这个不等式组可得要求的范围．【详解】（1）当1a =时，()1,2B =，所以(][),12,U C B =-∞+∞， 而()2,6A =-，故(][)2,12,6U A C B =- ．（2）当0a =时，B φ=，符合；当0a ≠时，因为B A ⊆，所以26226a a -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，解得13a -≤≤且0a ≠． 综上，13a -≤≤．【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．注意解B 中的不等式时可根据包括关系直接得到两个不等根满足的不等式组．14．（1）22S r sin 2αr 366π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，03απ<<；（2）最大值是2r 6，相应α的值是6π. 【分析】（1）过B 作BM OP ⊥，垂足为M ，则可用α的三角函数来表示平行四边形OABC 的面积S .（2）利用α的范围求出S 的最大值即可.【详解】（1）过B 作BM OP ⊥，垂足为M则sin ,cos BM r OM r αα==，cos sin 3OA OM AM r r αα=-=-， 设平行四边形OABC 的面积为S ，则cos sin sin S OA BM r r ααα⎛⎫=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭22cos sin 3r ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21sin 22266r αα⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭22sin 2366r πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中03πα<<，因52666πππα<+<，所以1sin 2126πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当6πα=时，2max S r = .【点睛】非直角三角形中边、角的关系，可通过作高线把非直角三角形转化为直角三角形来考虑．另外对于形如()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值等.15．（1）详见解析；（2）(⎤⎦.【分析】（1）依据sin3θ的公式推导过程推导即可.（2）利用诱导公式和cos3θ的公式把函数()f x 化为()24cos cos 244f x x m x ππ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用换元法和参变分离法得到方程24m t t =+在,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上有解，利用函数()24g t t t=+可得m 实数的取值范围． 【详解】（1）证明：()cos3cos 2cos2cos sin 2sin θθθθθθθ=+=-()()222cos 1cos 21cos cos θθθθ=---34cos 3cos θθ=-（2）()3cos 34sin 54cos 4x f x m x x πππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ 24cos cos 244x m x ππ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令cos 4t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，所以2240t mt --+=在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦有解， 参变分离可得24m t t =+在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上有解， 令()24g t t t =+，设1212t t <<<，则12112t t <<， 故()()()121212240g t g t t t t t ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以()24g t t t =+在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上是增函数， 所以()g t的值域为(⎤⎦即(m ⎤∈⎦．【点睛】（一）三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．（二）方程的有解问题可通过参变分离把问题转化为不含参数的函数的值域问题．。

2019-2020 学年广东省XX 中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12 小题，每题 5 分，满分 60 分．在每题给出的四个选项中，只有.一项为哪一项切合题目要求的1．（5 分）函数 f （ x） =log （2x﹣1）的定义域是（）A．（， +∞）B．（，1）∪（ 1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（ 1， +∞）2．（5 分）直线x+2ay﹣1=0 与（ a﹣1）x﹣ay+1=0 平行，则 a 的值为（）A．B．或0C．0D．﹣2 或0）3．（5 分）设 f（x）是定义在 R 上单一递减的奇函数，若 x1+x2＞ 0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（A． f （ x1）+f （x2） +f （x3）＞ 0 B．f （x1）+f （x2）+f （ x3）＜ 0 C． f （ x1）+f（x2） +f （x3） =0 D．f （x1）+f （x2）＞ f （x3）4．（5 分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a25．（5 分）设α、β、γ为三个不一样的平面， m、n 是两条不一样的直线，在命题“α∩β=m，n? γ，且 ________，则 m∥n”中的横线处填入以下三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ， n? β；② m∥γ， n∥β；③ n∥β， m? γ．能够填入的条件有（）A．①或③ B．①或② C．②或③ D．①或②或③6．（5 分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，此中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A． 17 B．C．D． 187．（5分）如图，在棱长为 a 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， P 为A1 D1的中点， Q 为A1B1上随意一点，E、F 为CD上两点，且EF的长为定值，则下边四个值中不是定值的是（）A．点P 到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥 P﹣QEF的体积D．△ QEF的面积8．（5 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC中，∠ APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ ABC内，∠ OPC=45°，∠OPA=60°，则∠ OPB的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5 分）已知函数+2，则对于 x 的不等式 f （ 3x+1）+f （x）＞ 4 的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣， +∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣， +∞）10．（5 分）当 0＜x≤时， 4x＜log a x，则 a 的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）11．（5 分）已知函数 f （x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在对于y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）12．（5 分）若 x知足 2x+2 =5，x知足 2x+2log（x﹣1）=5， x+x =（）1x2212A．B．3C．D．4二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分13．（5 分）已知函数 f （x）=1212）=，并（a＞0），若 x +x =1，则 f （x）+f （ x求出=．14．（5 分）以下图几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5 分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8 的图象上，当x1∈ [2 ，5] 时，则的取值范围．16．（ 5 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面则二面角 A﹣PB﹣ C的正切值为．ABCD是矩形， AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12 分）过点（ 3，2）的直线 l 与 x 轴的正半轴， y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，当△AOB的面积最小时，求直线 l 的方程及△ AOB面积．18．（12 分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图以下图， E 是侧棱 PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点 E为 PC的中点， AC∩ BD=O，求证： EO∥平面 PAD；（Ⅲ）能否无论点 E 在何地点，都有BD⊥ AE？证明你的结论．19．（10 分）设直线 l 的方程为（ a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若 l 不经过第二象限，务实数 a 的取值范围．20．（12 分）如图，在棱长为1 的正方体中， P 是侧棱 CC1上的一点， CP=m（1）试确立 m，使直线 AP与平面 BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段 A1C1上能否存在一个定点 Q，使得对随意的 m，D1 Q在平面 APD1上的射影垂直于 AP，并证明你的结论．21．（12 分）已知平行四边形 ABCD（如图 1），AB=4，AD=2，∠ DAB=60°， E 为 AB的中点，把三角形 ADE沿 DE折起至 A1 DE地点，使得 A1C=4，F 是线段 A1 C的中点（如图 2）．（1）求证： BF∥面 A1DE；（2）求证：面 A1DE⊥面 DEBC；（3）求二面角 A1﹣ DC﹣E 的正切值．22．（12 分）已知函数 g（x） =ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间 [2 ，3] 上有最大值 4，最小值 1，设 f （x）=．（1）求 a， b 的值；（2）不等式 f （2x）﹣ k?2 x≥0 在 x∈[ ﹣1，1] 上恒成立，务实数k 的取值范围；（3）方程 f （|2 x﹣ 1| ）+k（﹣3）有三个不一样的实数解，务实数k 的取值范围．参照答案与试题分析一、选择题：本大题12 小题，每题 5 分，满分 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1．（5 分）函数 f （ x） =log （2x﹣1）的定义域是（）A．（， +∞） B．（，1）∪（ 1，+∞） C．（，+∞） D．（，1）∪（ 1， +∞）【解答】解：由，解得x＞且x≠1．∴函数 f （x）=log （2x﹣1）的定义域是（，1）∪（ 1，+∞）．应选： B．2．（5 分）直线 x+2ay﹣1=0 与（ a﹣1）x﹣ay+1=0 平行，则 a 的值为（）A．B．或0 C．0D．﹣2 或 0【解答】解：当 a=0 时，两直线重合；当 a≠0 时，由，解得 a= ，综合可得， a=，应选： A．3．（5 分）设 f（x）是定义在122331＞0，则（）R 上单一递减的奇函数，若 x +x＞ 0，x +x＞0，x +xA． f （ x1）+f （x2） +f （x3）＞ 0 B．f （x1）+f （x2）+f （ x3）＜ 0123123C． f （ x）+f （x ） +f （x） =0 D．f （x ）+f（x）＞ f （x ）【解答】解：∵ x1 +x2＞ 0， x2+x3＞ 0， x3+x1＞ 0，122331∴x＞﹣ x，x＞﹣ x ， x＞﹣ x，又 f （x）是定义在 R 上单一递减的奇函数，∴f （x1）＜f （﹣ x2）=﹣ f （ x2），f （x2）＜ f （﹣ x3）=﹣f （x3），f （x3）＜f （﹣ x1）=﹣ f （ x1），∴f（x1）+f （x2）＜ 0，f （ x2） +f （x3）＜ 0，f （x3）+f （ x1）＜ 0，∴三式相加整理得 f （x1） +f （x2） +f （x3）＜ 0应选 B4．（5 分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2 a2D．2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变成本来的 2 倍，长度为 2a，∴原平面图形的面积为=应选： C．5．（5 分）设α、β、γ为三个不一样的平面， m、n 是两条不一样的直线，在命题“α∩β=m，n? γ，且 ________，则 m∥n”中的横线处填入以下三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ， n? β；② m∥γ， n∥β；③ n∥β， m? γ．能够填入的条件有（）A．①或③ B．①或② C．②或③ D．①或②或③【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当 n∥β， m? γ时， n 和 m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．应选 A．6．（5 分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，此中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A． 17 B．C．D． 18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高 h==2，故棱台的体积为：= ，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为 2，高为 2，故棱锥的体积为：× 2×2= ，故组合体的体积V=﹣=，应选： B7．（5 分）如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中， P 为 A1 D1的中点， Q 为 A1B1上随意一点， E、F 为 CD上两点，且 EF的长为定值，则下边四个值中不是定值的是（）A．点P 到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥 P﹣QEF的体积D．△ QEF的面积【解答】解：A．∵平面 QEF即为对角面 A1B1 CD，点角面 A1B1 CD的距离 =为定值；P 为A1D1的中点，∴点P 到平面QEF即到对D．∵点 Q到直线 CD的距离是定值a，|EF| 为定值，∴△ QEF的面积 =为定值；C．由 A．D可知：三棱锥 P﹣QEF的体积为定值；B．直线 PQ与平面 PEF所成的角与点 Q的地点相关系，所以不是定值，或用清除法即可得出．综上可得：只有 B 中的值不是定值．应选： B．8．（5 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC中，∠ APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ ABC内，∠ OPC=45°，∠OPA=60°，则∠ OPB的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知以下图：过O做平面 PBA的垂线，交平面 PBC于 Q，连结 PQ则∠ OPQ=90°﹣ 45°=45°．∵c os∠OPA=cos∠QPA×cos ∠OPQ，∴cos∠QPA= ，∴∠ QPA=45°，∴∠ QPB=45°∴c os∠OPB=cos∠OPQ×cos ∠ QPB= ．应选 C．9．（5 分）已知函数+2，则对于 x 的不等式 f （ 3x+1）+f （x）＞ 4 的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣， +∞）C．（﹣，+∞） D．（﹣， +∞）【解答】解：设 g（x）=2016x +log 2016（+x）﹣ 2016﹣x，g（﹣ x）=2016﹣x+log 2016（+x）﹣ 2016x+=﹣g（x）；g′（ x）=2016x ln2016++2016﹣x ln2016 ＞0；∴g（x）在 R上单一递加；∴由 f （ 3x+1）+f （x）＞ 4 得， g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞ g（﹣ x）；∴3x+1＞﹣ x；解得 x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．应选： D．10．（5 分）当 0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵ 0＜ x≤时，1＜4x≤ 2要使 4x＜log a x，由对数函数的性质可得 0＜ a＜ 1，数形联合可知只要 2＜log a x，∴即对 0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1应选 B11．（5 分）已知函数 f （x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在对于y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜ 0，使 f （x）﹣ g（﹣ x） =0，即 e x﹣﹣ln （﹣ x+a）=0 在（﹣∞， 0）上有解，令 m（x）=e x﹣﹣ ln （﹣ x+a），则 m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且 x→﹣∞时， m（x）＜ 0，若 a≤0 时， x→a时， m（x）＞ 0，故 e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若 a＞0 时，则 e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即 lna ＜，故 0＜a＜．综上所述， a∈（﹣∞，应选： C）．12．（5 分）若A． B．3x1知足C．2x+2x=5，x2知足D． 42x+2log 2（x﹣1）=5， x1 +x2=（）【解答】解：由题意①2x2+2log 2（x2﹣1）=5②所以，x1 =log 2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令 2x1=7﹣ 2t ，代入上式得 7﹣2t=2log 2（2t ﹣2）=2+2log 2（t ﹣1）∴5﹣2t=2log 2（t ﹣1）与②式比较得 t=x 2于是 2x1=7﹣2x2即 x1+x2=应选 C二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分13．（5 分）已知函数 f （x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=1，并求出=．【解答】解：∵函数 f （ x） =（a＞0），x1+x2=1，∴f（x1）+f （x2）=f （ x1）+f （ 1﹣ x1）=+=+==1，∴=1007+f （）=1007+=．故答案为： 1，．14．（5 分）以下图几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图以以下图所示：E 和F 分别是 AB和 CD中点，作 EM⊥ AD，连结 PM，且 PD=PC，由三视图得， PE⊥底面 ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2在直角三角形△ PEF中， PF==2，在直角三角形△ DEF中， DE==，同理在直角梯形ADEF中，AD=依据△ AED的面积相等得，×AD×ME=×AE×EF，解得ME=，∵PE⊥底面 ABCD，EM⊥AD，∴ PM⊥ AD，PE⊥ME，在直角三角形△ PME中， PM==，∴该四棱锥的表面积S= ×（ 4+2）× 2+×4×2+× 2× 2+2×××，=16+2．故答案为：16+2．15．（5 分）点 M（x1，y1）在函数 y=﹣2x+8 的图象上，当 x1∈ [2 ，5] 时，则【解答】解：当 x1∈[2 ，5] 时，可得 A（2，4），B（5，﹣ 2）．的取值范围．设 P（﹣ 1，﹣ 1），则k PA==，k PB==，∴的取值范围是．16．（ 5 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形， AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角 A﹣PB﹣ C的正切值为．【解答】解：以 D为原点， DA为 x 轴， DC为 y 轴，过 D作平面 ABCD的垂直线为 z 轴，成立空间直角坐标系，在△ PDC中，因为 PD=CD=2，PC=2，可得∠ PCD=30°，∴P 到平面 ABCD的距离为 PCsin30°=．∴A（1，0，0），P（0，﹣ 1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，﹣）， =（1，3，﹣）， =（ 0， 3，﹣），设平面PAB的法向量 =（x，y，z），则，取 z=1，得=（），设平面 PBC的法向量=（a，b，c），则，取 c=，得=（2，1，），设二面角 A﹣PB﹣ C的平面角为θ，则 cosθ===，sinθ==，tan θ==．∴二面角 A﹣PB﹣ C的正切值为．故答案为：．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）过点（ 3，2）的直线 l 与 x 轴的正半轴， y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，当△AOB的面积最小时，求直线 l 的方程及△ AOB面积．【解答】解：设 A（a，0）， B（ 0， b），则直线 l 的方程为：+=1．把点 P（ 3， 2）代入可得：+=1．（a，b＞0）．∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a=6，b=4时取等号．∴S△AOB= ab≥ 12，l 的方程为：+ =1，即 4x+6y﹣24=018．（12 分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图以下图， E 是侧棱 PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点 E为 PC的中点， AC∩ BD=O，求证： EO∥平面 PAD；（Ⅲ）能否无论点 E 在何地点，都有BD⊥ AE？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ ABCD的底面是边长为1 的正方形，棱 PC⊥底面 ABCD，且 PC=2．⋯（ 1 分）∴V P﹣ABCD= S?ABCD?PC= ．⋯（ 3 分）（Ⅱ）明：∵ E、 O分 PC、 BD中点∴EO∥ PA，⋯（ 4 分）又 EO?平面 PAD，PA? 平面 PAD．⋯（ 6 分）∴EO∥平面 PAD．⋯（ 7 分）（Ⅲ）不点 E 在何地点，都有 BD⊥AE，⋯（ 8 分）明以下：∵ ABCD是正方形，∴BD⊥ AC，⋯（ 9 分）∵PC⊥底面 ABCD且 BD? 平面 ABCD，∴BD⊥ PC，⋯（ 10 分）又∵ AC∩PC=C，∴BD⊥平面 PAC，⋯（ 11 分）∵不点 E 在何地点，都有 AE? 平面 PAC，∴不点 E在何地点，都有 BD⊥AE．⋯（ 12 分）19．（10 分）直 l 的方程（ a+1）x+y+2 a=0（a∈R）．（1）若 l 在两坐上的截距相等，求 l 的方程；（2）若 l 不第二象限，求数 a 的取范．【解答】解：（1）令 x=0，得 y=a 2．令 y=0，得∵l 在两坐上的截距相等，∴ ，解之，得（ a≠ 1）．a=2 或 a=0．∴所求的直 l 方程 3x+y=0 或 x+y+2=0．（2）直 l 的方程可化y= （ a+1） x+a 2．∵ l 不第二象限，∴，∴ a≤ 1．∴ a 的取范（∞，1] ．20．（12 分）如，在棱 1 的正方体中， P 是棱 CC1上的一点，（1）确立 m，使直 AP与平面 BDD1B1所成角的正切；CP=m（2）在段 A1C1上能否存在一个定点 Q，使得随意的 m，D1 Q在平面 APD1上的射影垂直于 AP，并明你的．【解答】解：（1）连 AC，设 AC与 BD订交于点 O， AP与平面 BDD1B1订交于点G，连结 OG，因为 PC∥平面 BDD1B1，平面 BDD1B1∩平面 APC=OG，故 OG∥PC，所以， OG= PC= ．又 AO⊥BD， AO⊥BB1，所以 AO⊥平面 BDD1B1，故∠ AGO是 AP与平面 BDD1B1所成的角．在 Rt △AOG中， tan ∠AGO=，即m=．所以，当 m= 时，直线 AP与平面 BDD1B1所成的角的正切值为4．（2）能够推断，点 Q应该是 A I C I的中点，当是中点时因为 D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，所以D 1O1⊥平面 ACC1A1，又 AP? 平面 ACC1A1，故 D1O1⊥ AP．那么依据三垂线定理知， D1O1在平面 APD1的射影与 AP垂直．21．（12 分）已知平行四边形 ABCD（如图 1），AB=4，AD=2，∠ DAB=60°， E 为 AB的中点，把三角形 ADE沿 DE折起至 A1 DE地点，使得 A1C=4，F 是线段 A1 C的中点（如图2）．（1）求证： BF∥面 A1DE；（2）求证：面 A1DE⊥面 DEBC；（3）求二面角 A1﹣ DC﹣E 的正切值．【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点 G，连 FG，GE；F 为 A1C 中点；∴GF∥ DC，且；∴四边形 BFGE是平行四边形；∴BF∥ EG，EG? 平面 A1DE， BF?平面 A1DE；∴BF∥平面 A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点 H，连结 A1H，CH；AB=4， AD=2，∠ DAB=60°， E 为 AB的中点；∴△ DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E 也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△ DHC中， DH=1，DC=4，∠ HDC=60°；依据余弦定理，可得：2，，A C=4；HC=1+16﹣4=13，在△ A HC中，11∴，即A1 H⊥ HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面 DEBC；又 A1H? 面 A1DE；∴面A1DE⊥面 DEBC；（3）如上图，过 H作 HO⊥DC于 O，连结 A1O；A1 H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC， A1H∩HO=H；∴DC⊥面 A1HO；∴DC⊥ A1 O， DC⊥HO；∴∠ A1OH是二面角 A1﹣ DC﹣ E 的平面角；在 Rt △A1HO中，，；故 tan；所以二面角 A1﹣ DC﹣E 的正切值为 2．22．（12 分）已知函数 g（x） =ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间 [2 ，3] 上有最大值 4，最小值 1，设 f （x）=．（1）求 a， b 的值；（2）不等式 f （2x）﹣ k?2 x≥0 在 x∈[ ﹣1，1] 上恒成立，务实数k 的取值范围；（3）方程 f （|2 x﹣ 1| ）+k（﹣3）有三个不一样的实数解，务实k 的取值范围．数【解答】附带题：（此题共 10 分）解：（1）g（x） =a（x﹣1）2+1+b﹣ a，当 a＞0 时， g（ x）在 [2 ， 3] 上为增函数，故，可得，?．当 a＜0 时， g（ x）在 [2 ， 3] 上为减函数．故可得可得，∵b＜1∴a=1，b=0即 g（x）=x2 2x+1．f （x ）=x+2．⋯（ 3 分）（2）方程 f （2x） k?2x≥0 化 2x+2≥k?2x，k≤ 1+令 =t ，k≤t 2 2t+1 ，∵x∈[ 1，1] ，∴ t，φ（t）=t22t+1 ，∴φ（ t ）min=0，∴k≤0．⋯（ 6 分）（3）由 f （ |2 x 1| ）+k（3） =0得|2 x 1|+（ 2+3k） =0，|2 x1| 2（ 2+3k） |2 x1|+ （1+2k）=0， |2 x1| ≠0，令|2 x 1|=t ，方程化 t 2（ 2+3k）t+ （1+2k） =0（t ≠0），∵方程 |2 x 1|+（2+3k）=0有三个不一样的数解，∴由 t=|2 x1| 的象（如右）知，t 2（ 2+3k）t+ （ 1+2k） =0 有两个根 t 1、t 2，且 0＜t 1＜1＜t 2或 0＜t 1＜1，t 2=1，φ（ t ）=t 2（ 2+3k）t+ （ 1+2k），或∴k＞0．⋯（ 10 分）。

2018-2019学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则下列关系中正确的是A．B．C．D．【答案】A【解析】根据集合中元素满足的性质，我们可以判断出元素与集合的关系．【详解】因为集合，所以．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．2．若，，则角是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【解析】利用三角函数的定义，可确定，进而可知在第四象限．【详解】根据三角函数的定义有，所以，所以在第四象限，故选：D．【点睛】当的终边在不同象限的时候，其三个三角函数值的符号也发生变化，记忆的口诀是“全正切余”即：第一象限全为正，第二象限正弦正，第三象限切为正，第四象限余弦正．3．已知幂函数的图象经过点，则的值为A．3 B．C．D．【答案】A【解析】推导出，由此能求出．【详解】代入点，则有，故，所以，故选A．【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，属于基础题．4．已知，则对于任意的a，，下列关系中成立的是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据对数的运算性质可以得到正确的选项．【详解】因为函数为对数函数，故B正确【点睛】对数的运算性质可以分类如下几类：（1）；；（2）；；（3）．5．设，，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】根据对数函数的单调性及中间数可得三个数的大小关系．【详解】因为且，故，选C．【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.6．函数的零点所在的一个区间是A．B．C．D．【答案】C【解析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】为上的增函数，又，故零点所在对的区间为，选C．【点睛】不可解方程的零点所在区间应该通过零点存在定理来寻找，一般地要先考虑函数的单调性，再选择合适的区间，使得，其中要依据解析式的形式来选取（要容易计算）.7．函数的最小正周期是A．B．C．D．【答案】B【解析】利用二倍角公式化简可得，再利用公式求最小正周期．【详解】，故最小正周期为，选B．【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，是基础题．8．已知向量，，且，则的值是A．3 B．C．D．【答案】C【解析】先利用得到，再利用两角差的正切得到所求的值．【详解】因为，故即即，所以，故选C．【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.9．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】把函数化成即可得平移的方向及其大小．【详解】函数可化简为，也就是，故只需把向左平移个单位即可得到的图像，故选C．【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，找寻两个不同函数的图像的变换时，首先它们的函数名要相同，其次两者之间的周期变换看，左右平移看．注意周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的影响，比如，它可以由先向左平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移.10．已知是偶函数，且在上是减函数，若，则x的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】利用偶函数的性质把原不等式转化为，再根据上是减函数得到可得．【详解】因为为偶函数且在上是减函数，故即，解得，故选D．【点睛】对于偶函数，其在对称两侧的单调性是相反的，并且，对于奇函数，其在对称两侧的单调性是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则．11．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为4，的“孪生函数”共有A．4个B．5个C．8个D．9个【答案】D【解析】根据值域可得定义域中应该含有的元素，分类列出可得不同函数的种数．【详解】令，则；令，则或；令，则或；设定义域为，中的自变量对于的函数值为，则可取，共有1种情况；同理中的自变量对于的函数值为，则可取，也可取，也可以取，共有3种情况，中的自变量对于的函数值为，则可取，也可取，也可以取，共有3种情况，故不同的定义域的个数为种，它们分别为：．，，；．，，；，故不同函数的种数为9．【点睛】函数有三要素即函数的定义域、对应法则和值域，如果知道前两者，则值域是唯一确定的，如果知道值域和对应法则，则定义域不确定，需结合对应法则考虑原像的不同情况．12．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为A．1500元B．1550元C．1750元D．1800元【答案】A【解析】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，可得到获得的折扣金额元与购物总金额元之间的解析式，结合，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．【详解】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，由题设可知：，因为，所以，所以，解得，故此人购物实际所付金额为（元），故选A．【点睛】本题为数学应用题，应依据题意构建数学模型（其数学模型为分段函数）后解一元一次不等式可得实际问题的解，注意利用不同范围上的函数值的范围构建需要的不等式．二、解答题13．已知向量，，．若，求实数k的值；若向量满足，且，求向量．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）利用坐标运算可得，解这个方程可得；（2）因向量共线故可设，利用已知的模长可得的值从而得到所求的向量．【详解】（1）由题设有，，因为，故，所以．（2）因为，故，所以，解得，所以或．【点睛】如果，那么：（1）若，则存在实数使得且；（2）若，则；14．设全集，集合，．当时，求集合；若，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出集合后可得到；（2）就分类讨论，再根据建立不等式组，解这个不等式组可得要求的范围．【详解】（1）当时，，所以，而，故．（2）当时，，符合；当时，因为，所以，解得且．综上，．【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．注意解中的不等式时可根据包括关系直接得到两个不等根满足的不等式组．15．如图，现要在一块半径为，圆心角为的扇形纸板POQ上剪出一个平行四边形OABC，使点B在弧PQ上，点A在半径OP上，点C在半径OQ上．求S关于的函数关系式；求S的最大值及相应的值．【答案】（1），；（2）最大值是，相应的值是.【解析】（1）过作，垂足为，则可用的三角函数来表示平行四边形的面积.（2）利用的范围求出的最大值即可.【详解】（1）过作，垂足为则，，设平行四边形的面积为，则，其中，因，所以，当时，.【点睛】非直角三角形中边、角的关系，可通过作高线把非直角三角形转化为直角三角形来考虑．另外对于形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值等.16．阅读下面材料：解答下列问题：证明：；若函数在上有零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）依据的公式推导过程推导即可.（2）利用诱导公式和的公式把函数化为，再利用换元法和参变分离法得到方程在上有解，利用函数可得实数的取值范围．【详解】（1）证明：（2），令，则，所以在有解，参变分离可得在上有解，令，设，则，故，所以在上是增函数，所以的值域为即．【点睛】（1）三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．（2）方程的有解问题可通过参变分离把问题转化为不含参数的函数的值域问题．。