2020-2021学年广州市高一上学期期中考试数学试卷

专题10压轴题题型汇总压轴题型一、保值函数型“保值函数”，又称为“k 倍值函数”，“和谐函数”，“美好区间”等等。

1、现阶段主要是一元二次函数为主的。

核心思路是转化为“根的分布”。

2、函数单调性是解决问题的入口之一。

3、方程和函数思想。

特别是通过两个端点值构造对应的方程，再提炼出对应的方程的根的关系。

如第1题1.（江苏省连云港市市区三星普通高中2020-2021学年高一上学期期中联考）对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.2.（北京市昌平区2020-2021学年高一上学期期中质量抽测）已知函数2()f x x k =-.若存在实数,m n ，使得函数()f x 在区间上的值域为，则实数k 的取值范围为（）A ．(1,0]-B ．(1,)-+∞C ．2,0]D ．(2,)-+∞3.（广东省广州市第一中学2020-2021学年高一上学期11月考试）已知函数221()x f x x-=.（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）若不等式23()1x f x kx x +-≥在1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，函数()()1(0)g x tf x t =+>的值域为[23,23]m n --，求实数t 的取值范围.4.(江苏省盐城市实验高级中学2020-2021学年高一上学期期中）一般地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”，（1）若[]1,b 为2()22f x x x =-+的跟随区间，则b =______；（2）若函数()f x m =m的取值范围是______.压轴题型二、方程根的个数1.一元二次型“根的分布”是期中考试的一个难点和热点。

2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|x＞1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A.（1，3]B.[1，3]C.[-1，1）D.[-1，+∞）2.（单选题，5分）函数f（x）= √1−x +log2（3x-1）的定义域为（）A. (13，1]B. (0，13)C. (−∞，13)D.（0，1]3.（单选题，5分）已知命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.（单选题，5分）设x，y为正数，则（x+y）（1x + 4y）的最小值为（）A.6B.9C.12D.155.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A.f（x）=3sin（x+ π3）B.f（x）=3sin（2x+ π3）C.f（x）=3sin（2x- π3）D.f（x）=3sin（2x+ π6）6.（单选题，5分）三个数a=log30.3，b=log32，c=12的大小顺序是（）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.b＜c＜a7.（单选题，5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A.（-2，2）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）8.（单选题，5分）对于a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b={a2−ab，a≤bb2−ab，a＞b，设f（x）=（2x-1）⊗（x-1），且关于x的方程f（x）=t（t∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A. (5−√34，1)B. (1，5+√34)C. (12，1)D.（1，2）9.（多选题，5分）下面选项中正确的有（）A.集合{1，2，3}的子集个数为7个B.“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”D.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立10.（多选题，5分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若a2+b2=1，则a+b≤√2C.若a＞b，c＞d，则a-d＞b-cD.若a＞0，则a+1a≥211.（多选题，5分）已知函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，则（）A.函数f（x+ π12）为奇函数B.函数f（x）在[ π12，π3]上单调递增C.若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象12.（多选题，5分）函数f（x）= xx2+a的图象可能是（）A.B.C.D.13.（填空题，5分）cos225°=___ ．14.（填空题，5分）设函数f（x）= {4x−1，x≤0log2x，x＞0，则f（f（12））=___ ．15.（填空题，5分）已知sin（α−π12）= 13，则cos（α+17π12）=___ ．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≥f（x1）成立，则实数a的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）（1）计算：8 23 +lg5+lg2-log216-e0；（2）已知tanα= 34，求2sin(π−α)+3cos(−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)的值．18.（问答题，12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+π)(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个6条件中的两个：① 函数f（x）的最大值为2；② 函数f（x）的图像可由y=√2sin(x−π)的图像平移得到；4．③ 函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）≥1的解集．)−1．20.（问答题，12分）已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2（1）求函数f（x）的最小正周期；)上的值域；（2）求f（x）在(0，π2得到函数g（x）的图象，若h（x）=g（x）-lnx，探究h（x）（3）将f（x）的图象向右平移π8)上是否存在零点．在(1，π221.（问答题，12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．f(x)=22+x2（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=12，求f（2）的值；（2）当a=12时，若方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，求实数p的取值范围；（3）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的值范围．2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|x＞1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A.（1，3]B.[1，3]C.[-1，1）D.[-1，+∞）【正确答案】：A【解析】：可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞1}，B={x|-1≤x≤3}，∴A∩B=（1，3]．故选：A．【点评】：本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）函数f（x）= √1−x +log2（3x-1）的定义域为（）A. (13，1]B. (0，13)C. (−∞，13)D.（0，1]【正确答案】：A【解析】：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】：解：由题意可知{1−x≥03x−1＞0，解得13＜x≤1，∴函数f（x）的定义域为（13，1]，【点评】：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．3.（单选题，5分）已知命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：B【解析】：直接利用不等式的解法和充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】：解：命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，整理得：-1＜x＜1，则p是q成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：必要条件和充分条件，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.（单选题，5分）设x，y为正数，则（x+y）（1x + 4y）的最小值为（）A.6B.9C.12D.15【正确答案】：B【解析】：函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值【解答】：解：x，y为正数，（x+y）（1x +4y）= 1+4+yx+4xy≥1+4+2 √yx×4xy=9当且仅当yx =4xy时取得“=”∴最小值为9【点评】：利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”5.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A.f（x）=3sin（x+ π3）B.f（x）=3sin（2x+ π3）C.f（x）=3sin（2x- π3）D.f（x）=3sin（2x+ π6）【正确答案】：B【解析】：根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．【解答】：解：由图象知A=3，函数的周期T= 5π6 -（- π6）=π，即2πω=π，即ω=2，则f（x）=3sin（2x+φ），由五点对应法得2×（- π6）+φ=0，即φ= π3，则f（x）=3sin（2x+ π3），故选：B．【点评】：本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．6.（单选题，5分）三个数a=log30.3，b=log32，c=12的大小顺序是（）B.c＜a＜bC.a＜c＜bD.b＜c＜a【正确答案】：C【解析】：结合指数与对数函数的单调性确定各数范围，即可比较大小．【解答】：解：因为a=log30.3＜0，b=log32∈（12，1），c= 12，所以b＞c＞a．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数与对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．7.（单选题，5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A.（-2，2）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）【正确答案】：B【解析】：由题意可知f（x）在[0，+∞）上是减函数，再根据对称性和f（2）=0得出f（x）在各个区间的函数值符号，从而得出答案．【解答】：解：∵ f(x2)−f(x1)x2−x1＜0在∈[0，+∞）上恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，又f（2）=0，∴当x＞2时，f（x）＜0，当0≤x＜2时，f（x）＞0，又f（x）是偶函数，∴当x＜-2时，f（x）＜0，当-2＜x＜0时，f（x）＞0，∴xf（x）＜0的解为（-2，0）∪（2，+∞）．故选：B．【点评】：本题考查了函数单调性与奇偶性的性质，属于中档题．8.（单选题，5分）对于a ，b∈R ，定义运算“⊗”： a ⊗b ={a 2−ab ，a ≤b b 2−ab ，a ＞b，设f （x ）=（2x-1）⊗（x-1），且关于x 的方程f （x ）=t （t∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ） A. (5−√34，1) B. (1，5+√34) C. (12，1) D.（1，2） 【正确答案】：A【解析】：根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m 的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之和，并判断出函数的单调性，求出函数的值域，得到结果．【解答】：解：∵2x -1≤x -1时，有x≤0， ∴根据题意得f （x ）= {(2x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ≤0(x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ＞0，即f （x ）= {2x 2−x ，x ≤0−x 2+x ，x ＞0 ，画出函数的图象，如下图所示：从图象上观察当关于x 的方程为f （x ）=t （t∈R ）恰有三个互不相等的实数根时，t 的取值范围是（0， 14 ），当-x2+x=t时，有x1+x2=1，当2x2-x=t时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到x3= 1−√1+8t4，∴x1+x2+x3=1+ 1−√1+8t4 = 5−√1+8t4，t∈（0，14），令y= 5−√1+8t4，t∈（0，14），则函数是减函数，又由t=0时，y=1，t= 14时，y= 5−√34，故x1+x2+x3的取值范围是(5−√34，1)，故选：A．【点评】：本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，难度中档．9.（多选题，5分）下面选项中正确的有（）A.集合{1，2，3}的子集个数为7个B.“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”D.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立【正确答案】：CD【解析】：选项A，元素个数为n个的集合的子集个数为2n；选项B，若xy＞0，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，再根据充分必要条件的概念可得解；选项C，根据存在命题的否定形式，即可得解；选项D，由两角和的正弦公式推出cosβ=1，cosα=1，显然存在α，β满足．【解答】：解：选项A，元素个数为3个的集合有23=8个子集，即A错误；选项B，若xy＞0，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，所以应是“必要不充分条件”，即B错误；选项C，命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”，即C正确；选项D，因为sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，若sin（α+β）=sinα+sinβ成立，则cosβ=1，cosα=1，所以β=2k1π（k1∈Z），α=2k2π（k2∈Z），即D正确．故选：CD．【点评】：本题考查命题的真假判断，主要包含子集个数，充分必要条件，命题的否定，两角和的正弦公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.（多选题，5分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若a2+b2=1，则a+b≤√2C.若a＞b，c＞d，则a-d＞b-cD.若a＞0，则a+1a≥2【正确答案】：BD【解析】：直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：当a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bd，故A错误；对于B：由于若a2+b2=1，则（a+b）2≤2a2+2b2=2，所以a+b≤√2，故B正确；对于C：若a＞b，c＞d，则a-d＞b-c，故C错误；对于D：由于a＞0，所以a+1a≥2，当且仅当a=1时，等号成立．故选：BD．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）已知函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，则（）A.函数f（x+ π12）为奇函数B.函数f（x）在[ π12，π3]上单调递增C.若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象【正确答案】：AC【解析】：使用代入法先求出φ的值，得函数解析式；再根据三角函数的性质逐一判断．【解答】：解：∵函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，∴3× π4+φ= π2+kπ，k∈Z；∵- π2＜φ＜π2，∴φ=- π4；∴f（x）=sin（3x- π4）；对于A，函数f（x+ π12）=sin[3（x+ π12）- π4]=sin（3x），根据正弦函数的奇偶性，所以f（-x）=-f（x）因此函数f（x）是奇函数，故A正确．对于B，由于x∈[ π12，π3]，3x- π4∈[0，3π4]，函数f（x）=sin（3x- π4）在[ π12，π3]上不单调，故B错误；对于C，因为f（x）max=1，f（x）min=-1又因为|f（x1）-f（x2）|=2，f（x）=sin（3x- π4）的周期为T= 2π3，所以则|x1-x2|的最小值为π3，C正确；对于D，函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数f（x- π4）=sin[3（x- π4）- π4]=-sin3x，故D错误．故选：AC．【点评】：本题考查了三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴，属于基础题．12.（多选题，5分）函数f（x）= xx2+a的图象可能是（）A.B.C.D.【正确答案】：ABC【解析】：分类讨论，根据函数的单调性即可判断．【解答】：解：当a=0时，f（x）= 1x，则选项C符合；当a＞0，f（0）=0，故排除D；当x＞0时，f（x）= 1x+ax ≤2√ax= √a时取等号，则函数f（x）在（-∞，√a）上为减函数，在（√a，+∞）为增函数，故选项B符合；当a＜0时，函数的定义域为{x|x≠± √−a }，当x＞0，f（x）= 1x+ax ，由于y=x+ ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为增函数，则f（x）= 1x+ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为减函数，故A符合，故选：ABC．【点评】：本题考查了函数图象的识别和应用，关键掌握函数的单调性，属于基础题．13.（填空题，5分）cos225°=___ ．【正确答案】：[1]- √22【解析】：利用诱导公式把cos225°化为-cos45°，从而求得结果．【解答】：解：cos225°=cos（180°+45°）=-cos45°=- √22，故答案为：−√22．【点评】：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．14.（填空题，5分）设函数f（x）= {4x−1，x≤0log2x，x＞0，则f（f（12））=___ ．【正确答案】：[1]- 34【解析】：根据题意，由函数的解析式求出f（12）的值，进而计算可得答案．【解答】：解：根据题意，f（x）= {4x−1，x≤0 log2x，x＞0，则f（12）=log212=-1，则f（f（12））=f（-1）=4-1-1= 14-1=- 34；故答案为：- 34．【点评】：本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．15.（填空题，5分）已知sin（α−π12）= 13，则cos（α+17π12）=___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：直接由已知利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】：解：由sin（α−π12）= 13，得cos（α+17π12）=cos（α+3π2−π12）=sin（α−π12）= 13，故答案为：13．【点评】：本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≥f（x1）成立，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3]∪[3，+∞）【解析】：依题意得g（x2）max≥f（x1）max，x∈[0，2]，可求出f（x）=-x2+2x+1的最大值，分a＞0和a＜0两种情况，由函数的单调性可求解g（x）的最大值，列式求解即可．【解答】：解：因为f（x）=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，x∈[0，2]，所以f（x）的最大值为f（1）=2，①又函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，当a＞0时，g（x）在[-1，1]上单调递增，所以g（x）max=g（1）=a-1；②当a ＜0时，g （x ）在[-1，1]上单调递减， 所以g （x ）max =g （-1）=-a-1； ③因为对于∀x 1∈[0，2]，∃x 2∈[-1，1]，使得g （x 2）≥f （x 1）成立， 则g （x 2）max ≥f （x 1）max ，所以，当a ＞0时，a-1≥2，解得a≥3； 当a ＜0时，-a-1≥2，解得a≤-3；综上所述，实数a 的取值范围为（-∞，-3]∪[3，+∞）． 故答案为：（-∞，-3]∪[3，+∞）．【点评】：本题考查了函数恒成立问题，考查函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．17.（问答题，10分）（1）计算：8 23+lg5+lg2-log 216-e 0； （2）已知tanα= 34，求 2sin (π−α)+3cos (−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据指数和对数的性质或运算法则，即可得解；（2）先利用诱导公式化简所求式子，再根据“同除余弦可化切”的思想，即可得解．【解答】：解：（1）原式= (23)23 +lg （5×2）- log 224 -1=22+lg10-4-1=0；（2） 2sin (π−α)+3cos (−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)= 2sinα+3cosα3sinα+cosα = 2tanα+33tanα+1 = 2×34+33×34+1 = 1813 ．【点评】：本题考查指数和对数的化简与求值，诱导公式的应用，同角三角函数商数关系的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18.（问答题，12分）已知函数 f (x )=x +1x ． （1）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（2）判断f （x ）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）先求函数的定义域，然后利用奇偶性进行判断；（2）利用函数单调性的定义判断．【解答】：解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：因为函数f(x)=x+1x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f（-x）=-x- 1x =-（x+ 1x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+（1x1 - 1x2）=（x1-x2）+ x2−x1x1x2= (x1−x2)(x1x2−1)x1x2，因为1＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1x2-1＞0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：① 函数f（x）的最大值为2；② 函数f（x）的图像可由y=√2sin(x−π4)的图像平移得到；③ 函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）≥1的解集．【正确答案】：【解析】：（1）分别根据三个条件求出A和ω的值，得到矛盾，从而可判断出所选条件；然后根据所选条件即可求出函数的解析式；（2）结合正弦函数的图象即可求解三角不等式．【解答】：解：函数 f（x）满足的条件为① ③ ，理由如下：若满足条件① ，则 A=2；若满足条件② ，则 A=2，ω=1，所以① ② 相互矛盾；若满足条件③ ，则T=π，所以ω=2，所以② ③ 也相互矛盾，所以函数 f（x）满足的两个条件只能为① ③ ，此时f(x)=2sin(2x+π6)．（2）由f(x)=2sin(2x+π6)≥1，得sin(2x+π6)≥12，所以π6+2kπ≤2x+π6≤5π6+2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，所以不等式 f（x）≥1 的解集为{x|kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z}．【点评】：本题考查三角函数的解析式，考查学生的运算能力，属于中档题．20.（问答题，12分）已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2)−1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在(0，π2)上的值域；（3）将f（x）的图象向右平移π8得到函数g（x）的图象，若h（x）=g（x）-lnx，探究h（x）在(1，π2)上是否存在零点．【正确答案】：【解析】：（1）利用辅助角公式进行化简，利用周期公式进行计算即可．（2）求出角的范围，根据值域进行求解即可．（3）求出g（x）和h（x）的解析式，根据函数定理判断条件进行判断即可．【解答】：解：（1）f（x）=cos2x+sin2x= √2 sin（2x+ π4），则最小正周期T= 2π2=π．（2）当x∈ (0，π2)时，2x∈（0，π），2x+ π4∈（π4，5π4），即2x+ π4 = 5π4时，f（x）取得最小值，最小值为f（x）= √2 sin 5π4= √2×(−√22) =-1，当2x+ π4 = π2时，f（x）取得最大值，最大值为f（x）= √2 sin π2= √2，即函数的值域为（-1，√2 ]．（3）将f（x）的图象向右平移π8得到函数g（x）的图象，则g（x）= √2 sin[2（x- π8）+ π4]= √2 sin2x，则h（x）=g（x）-lnx= √2 sin2x-lnx，h（1）= √2 sin2＞0，h（π2）= √2sinπ-ln π2=-ln π2＜0，则h（1）h（π2）＜0，由根的存在性定理知h（x）在(1，π2)上存在零点．【点评】：本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．21.（问答题，12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数f(x)=22+x2．（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）（i）根据已知条件，将x=0，x=1，分别代入函数f（x），即可求解．（ii）结合已知条件，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，即可求解．（2）根据已知条件，分别求出两种情况残留的污渍量，再结合作差法，即可求解．【解答】：解：（1）（i）f（0）=1，表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变，f（1）= 23，表示用一个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的13．（ii）函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（0，1]，在（0，+∞）上单调递减．（2）设清洗前衣服上的污渍为1，用a单位量的水清洗后，残留的污渍为W1，则W1=1×f(a)=22+a2，用a2单位的水清洗1次，残留的污渍为1×f(a2)=88+a2，W2=f2(a2)=64(8+a2)2，∵W1-W2= 22+a2−64(8+a2)2= 2a2(a2−16)(2+a2)(8+a2)2，∴W1-W2的符号由a2-16 决定，当a＞4时，W1＞W2，则把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的污渍较少，当a=4时，W1=W2，则两种清洗方法效果相同，当a＜4时，W1＜W2，则用a单位的水清洗一次，残留的污渍较少．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=12，求f（2）的值；（2）当a=12时，若方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，求实数p的取值范围；（3）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入化简f（2）= log12（2-1）+ log12（2- 32），从而求得；（2）代入a= 12化简得f（x）= log12（x-1）（x- 32），将方程转化为（x-1）（x- 32）=p-x在（3，4）上有解，即x2- 32 x+ 32=p在（3，4）上有解，构造函数g（x）=x2- 32x+ 32，从而利用函数的单调性求得；（3）先确定函数的定义域，再化简f（x）=log a（x2-5ax+6a2），结合题意知函数y=x2-5ax+6a2在[a+3，a+4]上是增函数，再利用复合函数的单调性分类讨论函数的最值，并将恒成立问题转化为最值问题即可．【解答】：解：（1）当a= 12时，f（x）= log12（x-1）+ log12（x- 32），故f（2）= log12（2-1）+ log12（2- 32）= log12 1+ log1212=1；（2）当a= 12时，f（x）= log12（x-1）+ log12（x- 32）= log12（x-1）（x- 32），∵方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，∴ log12（x-1）（x- 32）= log12（p-x）在（3，4）上有解，即（x-1）（x- 32）=p-x在（3，4）上有解，即x2- 32 x+ 32=p在（3，4）上有解，令g（x）=x2- 32 x+ 32，则g（x）在（3，4）上单调递增，故g（3）＜g（x）＜g（4），即6＜g（x）＜232，即6＜p＜232，故实数p的取值范围为（6，232）；（3）函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）的定义域为（3a，+∞），f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）=log a（x-2a）（x-3a）=log a（x2-5ax+6a2），∵f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，∴a+3＞3a，即a＜32，故函数y=x2-5ax+6a2在[a+3，a+4]上是增函数，① 当0＜a＜1时，由复合函数的单调性可得，f（x）在[a+3，a+4]上是减函数，故f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立可化为f（a+3）≤1，即log a（2a2-9a+9）≤1，即2a2-9a+9≥a，解得，a≥ 5+√72或a≤ 5−√72，故0＜a＜1；② 当1＜a＜32时，由复合函数的单调性可得，f（x）在[a+3，a+4]上是增函数，故f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立可化为f（a+4）≤1，即log a（2a2-12a+16）≤1，即2a2-12a+16≤a，解得，13−√414≤a≤ 13+√414，∵ 13−√414＞32，故无解；综上所述，实数a的值范围为（0，1）．【点评】：本题考查了复合函数的单调性的判断与应用，利用了分类讨论的思想及转化思想，同时考查了恒成立问题及存在性问题，属于中档题．。

2024—2025学年广东省广州市天天向上联盟（培英中学、113中学、秀全中学、西关外国语中学）高一上学期期中考试数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，(★★★) 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是A．B．C．D．(★★) 4. 给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（）A．B．C．D．(★★★) 5. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知，且，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题(★) 9. 若且，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（）A．已知，则B．已知或，则或C．如果，那么D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则(★★★★★) 11. 已知函数，则下列说法正确的是（）A．B．关于的方程有个不同的解C．在上单调递减D．当时，恒成立.三、填空题(★) 12. 函数的定义域为 ____________ ．(★★★) 13. 已知幂函数单调递减，则实数 _________ .(★★★) 14. 已知，若对一切实数，均有，则 ___ .四、解答题(★★★) 15. 集合，．（1）求，；（2）若集合，，求的取值范围．(★★) 16. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求出当时，的解析式；(2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；(3)结合函数图象，求当时，函数的值域．(★★★) 17. 已知函数为奇函数，其中为常数．(1)求的解析式和定义域；(2)若不等式成立，求实数的取值范围．(★★★) 18. 党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．(1)求a的值；(2)若交通流量，求道路密度x的取值范围；(3)求车辆密度q的最大值．(★★★) 19. 若存在常数k，b使得函数与在给定区间上的任意实数都有，则称是与的隔离直线函数．已知函数．(1)证明：函数在区间上单调递增．(2)当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．。

2024-2025学年广东省广州市天天向上联盟高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x∈N|−2≤x≤5}，B={2,4,6}，则A∪B=( )A. {0,1,2,3,4,5,6}B. {1,2,3,4,5,6}C. {2,4}D. {x|−2≤x≤6}2.命题“∀x>1，x2−x>0”的否定是( )A. ∃x0≤1，x20−x0≤0B. ∀x>1，x2−x≤0C. ∃x0>1，x20−x0≤0D. ∀x≤1，x2−x≤03.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是A. y=xB. y=−x2+1C. y=x3D. y=|x|+14.给定数集A=R，B=(0,+∞)，x，y满足方程x2−y=0，下列对应关系f为函数的是( )A. f：A→B，y=f(x)B. f：B→A，y=f(x)C. f：A→B，x=f(y)D. f：B→A，x=f(y)5.“不等式mx2+x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A. m>12B. 0<m<1 C. m>14D. m>16.已知a>0,b>0，且1a +2b=1，则2a−1+1b−2的最小值为( )A. 2B. 22C. 322D. 1+3247.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：对∀x1,x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0成立，且f(3)=6，则不等式f(x)x>2的解集为( )A. (3,+∞)B. (0,3)C. (0,2)D. (2,+∞)8.已知函数f(x)=x2−2x+1，若∃x∈[2,+∞)对∀a∈[−1,1]均有f(x)<m−2am+2成立，则实数m的取值范围为( )A. (−3,1)B. (−13,1)C. (−1,13)D. (−1,3)二、多选题：本题共3小题，共18分。

2020-2021学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 2．sin（﹣1380°）的值为（）A．B．C．D．3．方程e x+8x﹣8＝0的根所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．函数f（x）＝x sin x，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．6．已知角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．7．已知函数在（3，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[﹣3，0）C．[﹣2，0）D．（﹣3，0）8．基本再生数R0与世代间隔T是病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天二、多选题（共4小题）.9．下列各式中，值为的有（）A．sin7°cos23°+sin83°cos67°B．C．D．10．有如下命题，其中真命题的标号为（）A．若幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（3）＞B．函数f（x）＝a x﹣1+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，2）C．函数有两个零点D．若函数f（x）＝x2﹣2x+4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1，2]11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）的最小正周期是πB．函数f（x）的图象关于点成中心对称C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的图象向右平移个单位长度后关于原点成中心对称12．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（）A．B．f（x）＝e xC．f（x）＝lg（x2+2）D．f（x）＝cosπx三、填空题：本小题共4个小题，每小题5分，共20分.13．如果cosθ＜0，且tanθ＜0，则|sinθ﹣cosθ|+cosθ的化简为．14．命题p：∀x≥0，x2﹣ax+3＞0，则￢p为．15．已知tan（α+）＝2，则＝．16．已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足g（x）+h（x）＝e x+sin x﹣x，则函数g（x）的解析式为；若函数f（x）＝3|x﹣2020|﹣λg（x﹣2020）﹣2λ2有唯一零点，则实数λ的值为．四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设集合A＝{x|≤≤4}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m+1}．（1）若m＝3，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝B，求m的取值范围；18．（10分）已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，π），f（）＝，求sin（α+）的值．19．（12分）因病毒疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n（n∈N+）年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f（n）万元．（1）写出f（n）关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由．20．（12分）若函数f（x）满足f（log a x）＝•（x﹣）（其中a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．21．（12分）已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y轴对称且经过坐标原点．（1）求f（x）的解析式；（2）若对任意，[f（x）]2﹣af（x）+a+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．22．（14分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝2﹣f（x），则称“局部中心函数”．（1）已知二次函数f（x）＝ax2+2x﹣4a+1（a∈R），试判断f（x）是否为“局部中心函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝4x﹣m•2x+1+m2﹣3是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}解：∵全集U＝{x∈N*|x≤4}＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，∴∁U B＝{1，3}，则A∪（∁U B）＝{1，2，3}．故选：C．2．sin（﹣1380°）的值为（）A．B．C．D．解：sin（﹣1380°）＝sin（﹣1440°+60°）＝sin（﹣4×360°+60°）＝sin60°＝．故选：D．3．方程e x+8x﹣8＝0的根所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【分析】令函数f（x）＝e x+8x﹣8，则方程e x+8x﹣8＝0的根即为函数f（x）的零点．再根据函数零点的判定定理可得函数f（x）零点所在区间．解：令函数f（x）＝e x+8x﹣8，则方程e x+8x﹣8＝0的根即为函数f（x）的零点，再由f（0）＝1﹣8＝7＜0，且f（1）＝e＞0，可得函数f（x）在（0，1）上有零点．故选：C．4．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log45＞log44＝1，∴a＞1，∵＝，∴b＝，∵，∴，即，∴b＜c＜a，故选：A．5．函数f（x）＝x sin x，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），所以f（x）为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除B，C，当x＝时，f（）＝sin＝＞0，故排除D，故选：A．6．已知角α的终边经过点，则＝（）A．B．C．D．【分析】推导出x＝，y＝，r＝＝3，再由＝tanα﹣sinα，求出结果．解：∵角α的终边经过点，∴x＝，y＝，r＝＝3，∴＝tanα﹣sinα＝＝﹣＝﹣．故选：D．7．已知函数在（3，+∞）上单调递减，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[﹣3，0）C．[﹣2，0）D．（﹣3，0）【分析】由外层函数y＝log0.5t为减函数，把问题转化为内层函数t＝在（3，+∞）上单调递增且恒大于0，进一步得到关于a的不等式组求解．解：∵外层函数y＝log0.5t为减函数，∴要使在（3，+∞）上单调递减，则需要t＝在（3，+∞）上单调递增且恒大于0，即，解得﹣2≤a＜0．∴a的取值范围为[﹣2，0）．故选：C．8．基本再生数R0与世代间隔T是病毒的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【分析】根据所给模型求得r＝0.38，令t＝0，求得I，根据条件可得方程e0.38t＝2，然后解出t即可．解：把R0＝3.28，T＝6代入R0＝1+rT，可得r＝0.38，∴I（t）＝e0.38t，当t＝0时，I（0）＝1，则e0.38t＝2，两边取对数得0.38t＝ln2，解得t＝≈1.8．故选：B．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷试题数：22，总分：01.（单选题，5分）设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x2-4x＞0}，则A∩B=（）A.{-1}B.{-1，0}C.{-1，0，4}D.{-1，4}2.（单选题，5分）已知角α的终边经过点（x，-3），且cosα=−45，则x=（）A.±4B.4C.-4D. ±943.（单选题，5分）已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（）A.∀x∈R，x2+2＜6B.∀x∈R，x2+2≥6C.∃x0∈R，x02+2＜6D.∃x0∈R，x02+2≥64.（单选题，5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A. f(x)=2sin(2x−π4)B. f(x)=2sin(2x+3π4)C. f(x)=2sin(12x+π4)D. f(x)=2sin(12x+3π4)5.（单选题，5分）设函数f（x）=x+log2x-m，若函数f（x）在(14，8)上存在零点，则m的取值范围是（）A. (−74，5)B. (−74，11)C. (94，5)D. (94，11)6.（单选题，5分）x2＞y2的一个充分不必要条件是（）A.x＞yB.|x|＞|y|C.x＞|y|D. 1x ＞1y7.（单选题，5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K(A＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）A. 103sB. 203sC.10sD. 403s8.（单选题，5分）某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n的最小整数值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A.6B.7C.8D.99.（多选题，5分）下列命题中错误的是（）A.当x＜0，y＞0，且x+y=2时，1x +1y的最小值是4B.当x＜0时，x+1x的最大值是-2C.当0＜x＜1时，√x+√x的最小值是2D.当x∈(0，π2]时，sinx+1sinx的最小值是210.（多选题，5分）关于函数y=3cos(2x+π3)+1，下列结论正确的是（）A.该函数的其中一个的周期为-πB.该函数的图象关于直线x=π3对称C.将该函数的图象向左平移π6个单位长度得到y=3cos2x+1的图象D.该函数在区间[−π6，π6]上单调递减11.（多选题，5分）下列几种说法中，正确的是（）A.面积相等的三角形全等B.“x（y-3）=0”是“x2+（y-3）2=0”的充分不必要条件C.若a为实数，则“a＜1”是“ 1a＞1”的必要不充分条件D.命题“若a＞b＞0，则1a ＜1b”的否定是假命题12.（多选题，5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（-x）-f（x）=0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）=f（2-x），已知当x∈[0，2]时，f（x）=22-x，则有（）A.函数f（x）是周期函数，且周期为2B.函数f（x）的最大值是4，最小值是1C.当x∈[2，4]时，f（x）=22-xD.函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减13.（填空题，5分）已知f（x）=log5（8-3x）的定义域为___ ．14.（填空题，5分）求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°=___ ．15.（填空题，5分）已知函数f（x）=2x2+ax-1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a 的取值范围是___ ．16.（填空题，5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)=−√x，若对于任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是___ ．17.（问答题，0分）（1）求不等式（x-1）2＜-x2+4x-3的解集；（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．18.（问答题，0分）（1）已知tanα2=12，求6cos(α−π2)+sin(α+π2)2cos(α−π)−3sin(α+π)的值；（2）已知α∈(π4，3π4)，β∈(π4，5π4)，且cos(π4−α)=35，sin(π4+β)=−1213，求cos（α+β）．19.（问答题，0分）已知函数f（x）=e x+ae-x（a∈R）．（1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；（2）当a=-2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明．20.（问答题，0分）已知函数f(x)=2cosx(sinx+√3cosx)．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）当x∈(−π4，π6)时，求f（x）的值域；（3）当x∈[-π，π]时，解不等式f（x）≥0．21.（问答题，0分）5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，p(x)=12x2+40x（万元）；当月产量不小于70台时，p(x)=101x+6400x−2060（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润．22.（问答题，0分）已知函数f（x）=log2（x2+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）-1]=3；−2b(x+x−1)−1+b2(b∈R)，若g（x）在1≤x≤2上的（2）设函数g（x）=2f（x）+ 12f(x)−1最小值为2，求b的值．2020-2021学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：01.（单选题，5分）设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x2-4x＞0}，则A∩B=（）A.{-1}B.{-1，0}C.{-1，0，4}D.{-1，4}【正确答案】：A【解析】：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={-1，0，1，2，3}，B={x|x＜0或x＞4}，∴A∩B={-1}．故选：A．【点评】：本题考查了列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）已知角α的终边经过点（x，-3），且cosα=−45，则x=（）A.±4B.4C.-4D. ±94【正确答案】：C【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义，求得x的值．【解答】：解：∵角α的终边经过点（x，-3），且cosα=−45 =√x2+9，则x=-4，故选：C．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.（单选题，5分）已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（）A.∀x∈R，x2+2＜6B.∀x∈R，x2+2≥6C.∃x0∈R，x02+2＜6D.∃x0∈R，x02+2≥6【正确答案】：C【解析】：根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】：解：命题是全称命题，则否定是：∃x0∈R，x02+2＜6，故选：C．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题p：∀x∈M，p（x）的否定￢p，∃x0∈M，￢p（x0）是解决本题的关键，是基础题．4.（单选题，5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A. f(x)=2sin(2x−π4)B. f(x)=2sin(2x+3π4)C. f(x)=2sin(12x+π4)D. f(x)=2sin(12x+3π4)【正确答案】：D【解析】：通过函数的图象，求出A，T的值，利用周期公式求出ω的值，再根据五点法作图求出φ的值即可．【解答】：解：由函数f（x）的图象知A=2，T=2×（3π2 + π2）=4π，∴ω= 2πT = 12，由五点法作图可得12 × π2+φ=π，且|φ|＜π，∴φ= 3π4，∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（12 x+ 3π4）．故选：D．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5.（单选题，5分）设函数f（x）=x+log2x-m，若函数f（x）在(14，8)上存在零点，则m的取值范围是（）A. (−74，5)B. (−74，11)C. (94，5)D. (94，11)【正确答案】：B【解析】：先根据函数零点存在定理列出不等式，即可求出m的范围．【解答】：解：函数f（x）=x+log2x-m在区间（0，+∞）上为增函数，由函数f（x）在(14，8)上存在零点，∴f（14）= 14-2-m＜0，f（8）=8+3-m＞0，解得- 74＜m＜11，故函数f（x）在(14，8)上存在零点时，m∈ (−74，11)．故选：B．【点评】：本题考查考查零点存在定理，同时考查了学生分析问题的能力，属于基础题．6.（单选题，5分）x2＞y2的一个充分不必要条件是（）A.x＞yB.|x|＞|y|C.x＞|y|D. 1x ＞1y【正确答案】：C【解析】：直接利用充分条件与必要条件的定义对各个选项进行逐一的判断，必要时可以举特殊例子说明．【解答】：解：x2＞y2等价于|x|＞|y|，若x=1，y=-2，则x＞y，但|x|＜|y|，故选择A错误；|x|＞|y|是x2＞y2的充要条件，故选项B错误；当x＞|y|时，则有x2＞y2，但x2＞y2不能得到x＞|y|，比如x=-2，y=1，故选项C正确；当x=1，y=2时，1x ＞1y，但是x2＜y2，故选项D错误．故选：C．【点评】：本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了不等式性质的理解与应用，属于基础题．7.（单选题，5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K(A＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）A. 103sB. 203sC.10sD. 403s【正确答案】：D【解析】：由已知可得A、ω、φ、K的值，得到函数解析式，取d=6求得t的值即可．【解答】：解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，∴T= 601.5=40，则ω= 2π40=π20，振幅A为筒车的半径，即A=4，K= 4+2+2−42=2，由题意，t=0时，d=0，∴0=4sinφ+2，即sinφ=- 12，∵ −π2＜φ＜π2，∴φ= −π6．则d=4sin(π20t−π6) +2，由d=6，得6=4sin（π20t−π6）+2，∴sin（π20t−π6）=1，∴ π20t−π6=π2+2kπ，k∈Z，得t= 403+40k，k∈Z．∴当k=0时，t取最小值为403（s）．故选：D．【点评】：本题考查三角函数模型的选择及应用，考查y=Asin（ωx+φ）+k型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题．8.（单选题，5分）某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n的最小整数值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A.6B.7C.8D.9【正确答案】：B【解析】：先计算出100mL血液中酒精含量，再计算n小时后血液中酒精含量，列出不等式，两边取对数可求出n．【解答】：解：∵0.8×100=80，∴喝酒后驾驶员100mL血液中酒精含量为80mg，则n小时后的血液中酒精含量为80×（1-20%）n=80×0.8n，由80×0.8n＜20，解得n＞2lg21−3lg2≈6，因为他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，所以n≥7，故选：B．【点评】：本题主要考查函数的实际应用和不等式的解法，同时考查了学生的运算求解的能力，属于基础题．9.（多选题，5分）下列命题中错误的是（）A.当x＜0，y＞0，且x+y=2时，1x +1y的最小值是4B.当x＜0时，x+1x的最大值是-2C.当0＜x＜1时，√x+√x的最小值是2D.当x∈(0，π2]时，sinx+1sinx的最小值是2【正确答案】：AC【解析】：A求函数值域判断，B求函数最值判断，C由函数单调性判断，D用函数单调性求最值判断．【解答】：解：对于A，当x＜0，y＞0，且x+y=2时，y=2-x＞2，1x +1y= 12−y+1y= 2y(2−y)= −2y(y−2)∈（-∞，0），所以A错；对于B，当x＜0时，x+1x =-（−x+1−x）≥- 2√(−x)•1(−x)=-2，x=-1时“=“成立，所以B对；对于C，当0＜x＜1时，0＜√x＜1，而函数f（t）=t+ 1t 在（0，1）上单调递减，√x√x无最小值，所以C错；对于D，当x∈(0，π2]时，0＜sinx≤1，而函数f（t）=t+ 1t在（0，1]上单调递减，sinx+1 sinx ≥1，x= π2时“=“成立，所以D对；故选：AC．【点评】：本题以命题的真假判断为载体，考查了求函数单调性和最值问题，属中档题．10.（多选题，5分）关于函数y=3cos(2x+π3)+1，下列结论正确的是（）A.该函数的其中一个的周期为-πB.该函数的图象关于直线x=π3对称C.将该函数的图象向左平移π6个单位长度得到y=3cos2x+1的图象D.该函数在区间[−π6，π6]上单调递减【正确答案】：ABD【解析】：A根据周期函数定义判断，B根据函数对称条件判断，C求平移后函数表达式判断，D求出递减区间判断．【解答】：解：令f（x）= y=3cos(2x+π3)+1；对于A，因为f（x+（-π））= 3cos(2(x+(−π))+π3)+1 = 3cos(−2π+2x+π3)+1 =3cos(2x+π3)+1 =fx），所以A对；对于B，因为f（2•π3−x）= 3cos(2(2•π3−x)+π3)+1 = 3cos(2π−(2x+π3))+1 =3cos(2x+π3)+1 =fx），所以B对；对于C，f（x）的图象向左平移π6个单位长度得到函数f（x+π6）= 3cos(2(x+π6)+π3)+1= 3cos(2x+2π3)+1，函数f（x+π6）与函数y=3cos2x+1不同，所以C错；对于D，2kπ≤2x+π3≤2kπ+π⇒ kπ−π6≤x≤kπ+π3⇒f（x）的单调递减区间为[kπ- π6，kπ+ π3]，k∈Z，[−π6，π6]⊂ [−π6，π3]，所以D对；故选：ABD．【点评】：本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的基本概念，属中档题．11.（多选题，5分）下列几种说法中，正确的是（）A.面积相等的三角形全等B.“x（y-3）=0”是“x2+（y-3）2=0”的充分不必要条件C.若a为实数，则“a＜1”是“ 1a＞1”的必要不充分条件D.命题“若a＞b＞0，则1a ＜1b”的否定是假命题【正确答案】：CD【解析】：A举反例判断，B根据充分条件与必要条件概念判断，C根据充分条件与必要条件概念判断，D求出否命题判断．【解答】：解：对于A，因为同底等高三角形未必全等，所以A错；对于B，当x=0，y=4时，x（y-3）=0，但，x2+（y-3）2=1≠0，所以B错；对于C，当a＜1，未必有1a＞1，如a=-1，所以不充分；反之，1a ＞1⇒a＞0⇒a＜1，则“a＜1”是“ 1a＞1”的必要条件，所以C对；对于D，先求出命题“若a＞b＞0，则1a ＜1b”的否命题，￢（a＞b＞0）⇔￢（（a＞b）∧（b＞0））⇔￢（a＞b）∨￢（b＞0）⇔（a≤b）∨（b≤0），￢（1a ＜1b）⇔ 1a≥1b，所以命题“若a＞b＞0，则1a＜1b”的否命题是：“若a≤b或b≤0，则1a ≥1b”，分情况说明：① 若b=0，1a≥1b无意义，所以不成立，② 若b＜0，取a= 12 b＞b，则1a≥1b不成立，③ 若a≤b，取b＞0，a＜0，则1a≥1b不成立，由① ② ③ 知，否命题为假，所以D对；故选：CD．【点评】：本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式性质，考查了充分条件和必要条件基本概念，属基础题．12.（多选题，5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（-x）-f（x）=0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）=f（2-x），已知当x∈[0，2]时，f（x）=22-x，则有（）A.函数f（x）是周期函数，且周期为2B.函数f（x）的最大值是4，最小值是1C.当x∈[2，4]时，f（x）=22-xD.函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减【正确答案】：BD【解析】：根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】：解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（-x）-f（x）=0，即f（-x）=f（x），则f （x）为偶函数，又由f（x+2）=f（2-x），则f（-x）=f（4+x），则有f（x+4）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，A错误，对于B，当x∈[0，2]时，f（x）=22-x= 42x，在区间[0，2]上为减函数，则其最大值为f（0）=4，最小值为f（2）=1，又由f（x）为偶函数，则区间[-2，0]上，其最大值为f（0）=4，最小值为f（-2）=f（2）=1，又由f（x）是周期为4的周期函数，函数f（x）的最大值是4，最小值是1；B正确，对于C，当x∈[2，4]，则4-x∈[0，2]，f（x）是周期为4的偶函数，则f（x）=f（-x）=f（4-x）=22-（4-x）=2x-2，C错误，对于D，f（x）是偶函数且在区间[0，2]上为减函数，则f（x）在[-2，0]上为增函数，f（x）是周期为4的周期函数，则函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减，D正确，故选：BD．【点评】：本题考查奇偶性、周期性的综合应用，涉及函数的最值，属于中档题．13.（填空题，5分）已知f（x）=log5（8-3x）的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（-∞，83）【解析】：根据对数函数的性质，求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得8-3x＞0，解得x＜83，故函数的定义域是（-∞，83），故答案为：（-∞，83）．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是基础题．14.（填空题，5分）求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可计算求解．【解答】：解：sin25°cos115°+cos155°sin65°=sin25°cos（90°+25°）+cos（180°-25°）cos25°=-sin25°sin25°-cos25°cos25°=-sin225°-cos225°=-1．故答案为：-1．【点评】：本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.（填空题，5分）已知函数f（x）=2x2+ax-1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，- 72]【解析】：问题转化为∀x∈（1，2），a≤ 1−2x 2x 恒成立，只需a≤（1−2x2x）min，x∈（1，2），令g（x）= 1−2x 2x，x∈（1，2），求导分析单调性推出g（x）的最小值，进而得出答案．【解答】：解：若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则∀x∈（1，2），a≤ 1−2x 2x恒成立，只需a≤（1−2x 2x）min，x∈（1，2），令g （x ）=1−2x 2x ，x∈（1，2）， 所以g （x ）= 1x -2x 在（1，2）上单调递减， 所以g （x ）＞g （2）= 1−2×222 =- 72， 所以a≤- 72 ，所以实数a 的取值范围为（-∞，- 72 ]． 故答案为：（-∞，- 72 ]．【点评】：本题考查恒成立问题，解题中注意参变分离法的应用，属于中档题．16.（填空题，5分）设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且x≥0时， f (x )=−√x ，若对于任意的x∈[t ，t+1]，不等式f （x+t ）≤2f （x ）恒成立，则实数t 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，- 32]【解析】：由函数的奇偶性求得f （x ）的解析式，判断单调性，可得f （x ）=- x|x| √|x| ，2f （x ）=f （4x ），原不等式可化为x+t≥4x 在[t ，t+1]恒成立，由参数分离和不等式恒成立思想，可得所求范围．【解答】：解：当x≥0时，f （x ）=- √x ， ∵函数f （x ）是奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）=-f （-x ）= √−x ， ∴f （x ）= {√−x ，x ＜0−√x ，x ≥0 ，∴f （x ）在R 上是单调递减函数， 且f （x ）可化为f （x ）=- x|x| √|x| ， 且满足2f （x ）=f （4x ），∵不等式f （x+t ）≤2f （x ）=f （4x ）在x∈[t ，t+1]恒成立， ∴x+t≥4x 在[t ，t+1]恒成立， 即t≥3x 在[t ，t+1]恒成立， ∴t≥3t+3， 解得t≤- 32，即t 的取值范围是（-∞，- 32 ]．故答案为：（-∞，- 32]．【点评】：本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，以及函数恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．17.（问答题，0分）（1）求不等式（x-1）2＜-x2+4x-3的解集；（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为x2-3x+2＜0，求解集即可；（2）利用作差法判断大小即可．【解答】：解：（1）不等式（x-1）2＜-x2+4x-3可化为x2-3x+2＜0，即（x-1）（x-2）＜0，解得1＜x＜2，所以该不等式的解集为（1，2）；（2）x≥1时，x-1≥0，所以（2x3+1）-（2x+x4）=（2x3-2x）-（x4-1）=2x（x2-1）-（x2-1）（x2+1）=（x2-1）（2x-x2-1）=-（x+1）（x-1）3≤0，所以2x3+1≤2x+x4．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了作差法比较大小问题，是基础题．18.（问答题，0分）（1）已知tanα2=12，求6cos(α−π2)+sin(α+π2)2cos(α−π)−3sin(α+π)的值；（2）已知α∈(π4，3π4)，β∈(π4，5π4)，且cos(π4−α)=35，sin(π4+β)=−1213，求cos（α+β）．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行转化求解即可．（2）利用两角和差的余弦公式，利用拆角技巧进行转化求解即可．【解答】：解：（1）∵ tanα2=12，∴tanα= 2tanα21−tan2α2= 2×121−14=134= 43，6cos(α−π2)+sin(α+π2)2cos(α−π)−3sin(α+π) = 6sinα+cosα−2cosα+3sinα= 6tanα+1−2+3tanα= 6×43+1−2+3×43= 8+1−2+4= 92．（2）∵ α∈(π4，3π4)，β∈(π4，5π4)，∴ π4+β∈（π2，3π2），则cos（π4+β）=- √1−(−1213)2=- 513，-α∈（- 3π4，- π4），则π4 -α∈（- π2，0），则sin（π4 -α）=- 45，则cos（α+β）=cos[（π4+β）-（π4-α）]=cos（π4+β）cos（π4-α）+sin（π4+β）sin（π4-α）= −513 × 35+（- 1213）× (−45) = 3365．【点评】：本题主要考查三角函数式的化简和求解，利用三角函数的诱导公式，两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．19.（问答题，0分）已知函数f（x）=e x+ae-x（a∈R）．（1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；（2）当a=-2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明．【正确答案】：【解析】：（1）根据f（x）为奇函数，可得f（0）=0，再求出a的取值范围；（2）当a=-2时，f（x）=e x-2e-x，此时f（x）在R上单调递增，然后利用定义法直接证明其单调性即可．【解答】：解：（1）显然f（x）的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（0）=1+a=0，∴a=-1，经检验a=-1时，f（x）为奇函数，∴a=-1时，函数f（x）为奇函数．（2）当a=-2时，f（x）=e x-2e-x，此时f（x）在R上单调递增，证明如下：证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）= e x1−2e x1−e x2+2e x2= (e x1−e x2)(e x1e x2+2)e x1e x2∵x1，x2∈R且x1＜x2，∴ e x1−e x2＜0，e x1e x2＞0，∴ (e x1−e x2)(e x1e x2+2)e x1e x2＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x）在R上单调递增．【点评】：本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值和利用定义法证明函数的单调性，考查了方程思想，属中档题．20.（问答题，0分）已知函数f(x)=2cosx(sinx+√3cosx)．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）当x∈(−π4，π6)时，求f（x）的值域；（3）当x∈[-π，π]时，解不等式f（x）≥0．【正确答案】：【解析】：（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性和单调性进行求解即可．（2）求出角的取值范围，结合三角函数的值域性质进行求解即可．（3）根据三角函数不等式进行求解即可．【解答】：解：（1）f（x）=2sinxcosx+2 √3 cos2x=sin2x+2 √3 × 1+cos2x2=sin2x+ √3cos2x+ √3 =2sin（2x+ π3）+ √3，由2kπ- π2≤2x+ π3≤2kπ+ π2，k∈Z，得2kπ- 5π6≤2x≤2kπ+ π6，k∈Z，即kπ- 5π12≤x≤kπ+ π12，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ- 5π12，kπ+ π12]，k∈Z．由2x+ π3=kπ，得2x=kπ- π3，得x= kπ2- π6，即函数的对称中心为（kπ2 - π6，√3），k∈Z．（2）当x∈(−π4，π6)时，2x∈（- π2，π3），2x+ π3∈（- π6，2π3），则sin（2x+ π3）∈（sin（- π6），sin π2]，即sin（2x+ π3）∈（- 12，1]，2sin（2x+ π3）∈（-1，2]，则2sin（2x+ π3）+ √3∈（√3 -1，2+ √3 ]，即函数f（x）的值域为（√3 -1，2+ √3 ]．（3）由f（x）≥0得2sin（2x+ π3）+ √3≥0，得sin（2x+ π3）≥- √32，得2kπ- π3≤2x+ π3≤2kπ+ 4π3，k∈Z，得kπ- π3≤x≤kπ+ π2，k∈Z，∵x∈[-π，π]，∴当k=0时，- π3≤x≤ π2，当k=1时，2π3≤x≤π，当k=-1时，-π≤x≤- π2，即不等式的解集为[-π，- π2]∪[- π3，π2]∪[ 2π3，π]．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．21.（问答题，0分）5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，p(x)=12x2+40x（万元）；当月产量不小于70台时，p(x)=101x+6400x−2060（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接由已知分类写出分段函数解析式；（Ⅱ）当0＜x＜70时，利用配方法求最值，当x≥70时，利用基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论．【解答】：解：（Ⅰ）当0＜x ＜70时，y=100x-（ 12x 2+40x −400=−12x 2+60x −400 ）， 当x≥70时，y=100x-（101x+6400x -2060）-400=1660-（x+ 6400x）． ∴ y ={−12x 2+60x −400，0＜x ＜70且x ∈N 1660−(x +6400x)，x ≥70且x ∈N；（Ⅱ）当0＜x ＜70时，y=- 12x 2+60x −400 = −12(x −60)2+1400 ， 当x=60时，y 取最大值1400万元； 当x≥70时，y=1660-（x+ 6400x） ≤1660−2√x •6400x=1500 ，当且仅当 x =6400x，即x=80时y 取最大值1500．综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元．【点评】：本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法及基本不等式求最值，是中档题．22.（问答题，0分）已知函数f （x ）=log 2（x 2+1）． （1）解关于x 的方程[f （x ）+1][f （x ）-1]=3； （2）设函数g （x ）=2f （x ）+ 12f (x )−1−2b (x +x −1)−1+b 2(b ∈R ) ，若g （x ）在1≤x≤2上的最小值为2，求b 的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用平方差公式，方程等价于f （x ）=2，再解对数方程和指数方程即可； （2）令t=x+ 1x，（1≤x≤2），则g （x ）=h （t ）=t 2-2bt+b 2-2=（t-b ）2-2，t∈[2， 52]，转化为关于t 的二次函数，再根据函数的定义域，讨论对称轴和定义域的关系，求函数的最小值，求得b 的值．【解答】：解：（1）∵f （x ）=log 2（x 2+1）≥0． ∴由方程[f （x ）+1][f （x ）-1]=3可得f （x ）=2， ∴log 2（x 2+1）=2，∴ x =±√3 ，∴方程[f（x）+1][f（x）-1]=3的解集为{ √3，- √3 }；（2）∵2f（x）=x2+1，∴函数g（x）=2f（x）+ 12f(x)−1−2b(x+x−1)−1+b2(b∈R)= x2+1x2−2b(x+1x)+b2 =（x+ 1x）2-2b（x+ 1x）+b2-2，令t=x+ 1x ，（1≤x≤2），则t ∈[2，52]，g（x）=h（t）=t2-2bt+b2-2=（t-b）2-2，t∈[2，52]，① 当b ≥52时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（52）=2，整理可得4b2-20b+9=0，解答b= 92或12（舍）② 当b≤2时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（2）=2，整理可得4b2-4b=0，解答b=0或4（舍）③ 当2 ＜ b＜52时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（b）=-2≠2，综上，b的值为0或92．【点评】：本题考查指对数函数，与二次函数相结合的综合应用，重点考查函数与方程，属于中档题．。

2020-2021学年广东省实验中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设复数z满足z•（1+i）=2（i为虚数单位），则|z|=（）A.1B. √2C.2D.32.（单选题，5分）已知向量a⃗=(3，4)，b⃗⃗=(1−λ，2+λ)，且a⃗⊥b⃗⃗，则λ=（）A.-11B.-2C. 117D. −273.（单选题，5分）如图，平行四边形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=5，O'C'=2，∠A'O'C'=30°，则原图形的面积是（）A.4B. 4√2C. 10√2D.64.（单选题，5分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱所在直线与直线BA1为异面直线的条数是（）A.4B.5C.6D.75.（单选题，5分）下列四个命题中正确的是（）A.底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B.两两相交的三条直线必在同一平面内C.在空间中，四边相等的四边形是菱形D.不存在所有棱长都相等的正六棱锥6.（单选题，5分）已知P，Q是不同的点，l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列数学符号表示的不是基本事实（公理）的选项为（）A.P∈l，Q∈l，P∈α，Q∈α⇒l⊂αB.P∈α，P∈β⇒存在唯一直线l，α∩β=l，且P∈lC.l || m，m || n⇒l || nD.m || n⇒确定一个平面γ且m⊂γ，n⊂γ7.（单选题，5分）已知三棱锥A-BCD中，CD=√2，BC=AC=BD=AD=1，则此几何体外接球的体积为（）A.2πB. √2π3C. √2π6D.π⃗⃗⃗⃗⃗⃗•8.（单选题，5分）在△OAB中，OA=OB=2，AB=2√3，动点P位于直线OA上，当PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值时，∠PBA的正弦值为（）PBA. 3√77B. 2√77C. √2114D. √2139.（多选题，5分）设z为复数，则下列命题中正确的是（）A. |z|2=z•zB.z2=|z|2C.若|z|=1，则|z+i|的最小值为0D.若|z-1|=1，则0≤|z|≤210.（多选题，5分）如图，直角梯形ABCD中AB=2，CD=4，AD=2．则下列说法正确的是（）A.以AD 所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 16√2πB.以CD 所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 32π3C.以AB 所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为 20π+4√2πD.以BC 所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 28√2π311.（多选题，5分）如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．对于该几何体，则（ ）A.AF || CDB.2V 三棱锥F-ABC =V 四棱锥A-BCDEC.新几何体有7个面D.新几何体的六个顶点在同一个球面上12.（多选题，5分）在棱长为 3+√3 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，球O 1同时与以B 为公共顶点的三个面相切，球O 2同时与以D 1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E ，若球O 1，O 2的半径分别为r 1，r 2，则（ ）A.O 2，O 1，B ，D 1四点不共线B.r 1+r 2=3C.这两个球的体积之和的最小值是9πD.这两个球的表面积之和的最大值是18π13.（填空题，5分）设A={正方体}，B={直平行六面体}，C={正四棱柱}，D={长方体}，那么上述四个集合间正确的包含关系是___14.（填空题，5分）向量 a ⃗=(2，1) 在向量 b⃗⃗=(3，4) 方向上的投影向量的坐标为 ___ ． 15.（填空题，5分）如图，在△ABC 中， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λμ =___ ，λ2-2μ的最小值是___ ．16.（填空题，5分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1为棱长为2，动点P ，Q分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP=x ，CQ=y ，其中x ，y∈[0，2]，下列命题正确的是___ ．（写出所有正确命题的编号）① 当x=0时，S 为矩形，其面积最大为4；② 当x=y=1时，S的面积为92；③ 当x=1，y∈（1，2）时，设S与棱C1D1的交点为R，则RD1=4−4y；④ 当y=2时，以B1为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值83．17.（问答题，10分）已知向量a⃗与b⃗⃗的夹角θ=2π3，且|a⃗ |=3，| b⃗⃗ |=2．（1）求a⃗•b⃗⃗，| a⃗ + b⃗⃗ |；（2）求向量a⃗与a⃗ + b⃗⃗的夹角的余弦值．18.（问答题，12分）（1）在△ABC中，a=1，b=2，cosC= 14，求cosA．（2）在△ABC中，已知a= 5√2，c=10，A=30°，求角B；19.（问答题，12分）已知棱长为1的正方体AC1，H、I、J、K、E、F分别相应棱的中点如图所示．（1）求证：H、I、J、K、E、F六点共面；（2）求证：BE、DF、CC1三线共点；（3）求几何体B1BE-D1DF的体积．20.（问答题，12分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且CQQD1 = BPPD= 23．（1）求证：PQ || 平面A1D1DA；（2）若R是CD上的点，当CRCD的值为多少时，能使平面PQR || 平面B1C1CB？请给出证明．21.（问答题，12分）若函数f（x）= √3 sinx+2cos2x，△ABC的角A，B，C的对边分别为a，2b，c，且f（A）=3．取最大值时，判断△ABC的形状；（1）当b+ca（2）在△ABC中，D为BC边的中点，且AD= √13，AC=2，求BC的长．22.（问答题，12分）已知向量m⃗⃗⃗=(cos2x+2√3sinx，1)，n⃗⃗=(2，−a)．（1）当a=0时，令f(x)=m⃗⃗⃗•n⃗⃗，求f（x）的最值；)上有6个不等的实根，求a的取值范围；（2）若关于x方程m⃗⃗⃗•n⃗⃗=0在x∈(0，5π2，求a的值．（3）当m⃗⃗⃗•n⃗⃗≥0对x∈[x1，x2]恒成立时，x2-x1的最大值为5π32020-2021学年广东省实验中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设复数z满足z•（1+i）=2（i为虚数单位），则|z|=（）A.1B. √2C.2D.3【正确答案】：B【解析】：先对复数进行化简，然后结合复数的模长公式可求．【解答】：解：由题意得z= 21+i = 2(1−i)(1+i)(1−i)=1-i，则|z|= √2．故选：B．【点评】：本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义，属于基础题．2.（单选题，5分）已知向量a⃗=(3，4)，b⃗⃗=(1−λ，2+λ)，且a⃗⊥b⃗⃗，则λ=（）A.-11B.-2C. 117D. −27【正确答案】：A【解析】：利用向量垂直的性质列方程，能求出λ．【解答】：解：∵向量a⃗=(3，4)，b⃗⃗=(1−λ，2+λ)，且a⃗⊥b⃗⃗，∴ a⃗•b⃗⃗ =3（1-λ）+4（2+λ）=0，解得λ=-11．故选：A．【点评】：本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．3.（单选题，5分）如图，平行四边形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=5，O'C'=2，∠A'O'C'=30°，则原图形的面积是（）A.4B. 4√2C. 10√2D.6【正确答案】：C【解析】：求出直观图的面积，再根据原平面图形的面积与直观图的面积比为2 √2：1，计算即可．【解答】：解：平行四边形O'A'B'C'中，O'A'=5，O'C'=2，∠A'O'C'=30°，=5，所以平行四边形O′A′B′C′的面积为S′=O′A′•O′C′•sin30°=5×2× 12所以原平面图形的面积是S=2 √2S′=2 √2 ×5=10 √2．故选：C．【点评】：本题考查了平面图形的直观图与原图形的面积比为1：2 √2的应用问题，是基础题．4.（单选题，5分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱所在直线与直线BA1为异面直线的条数是（）A.4B.5C.6D.7【正确答案】：C【解析】：直接利用异面直线的定义对正方体的棱逐一判断，得到与直线BA1异面的直线，即可得到答案．【解答】：解：根据异面直线的定义可得，与直线BA1为异面直线的棱有：AD，B1C1，CD，C1D1，CC1，DD1，共6条．故选：C．【点评】：本题考查了异面直线的判断，涉及了正方体几何性质的应用，解题的关键是掌握异面直线的定义，属于基础题．5.（单选题，5分）下列四个命题中正确的是（）A.底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B.两两相交的三条直线必在同一平面内C.在空间中，四边相等的四边形是菱形D.不存在所有棱长都相等的正六棱锥【正确答案】：D【解析】：直接利用几何图形的定义和性质判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥与锥体的定义矛盾，故A错误；对于B：两两相交的三条直线且不相交于同一点的直线必在同一平面内，故B错误；对于C：在空间中，四边相等的四边形沿一条对角线折叠，构成四面体，故C错误；对于D：不存在所有棱长都相等的正六棱锥，由于六个等边三角形正好360°，构成一个周角，故正确；故选：D．【点评】：本题考查的知识要点：几何图形的定义和性质，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6.（单选题，5分）已知P，Q是不同的点，l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列数学符号表示的不是基本事实（公理）的选项为（）A.P∈l，Q∈l，P∈α，Q∈α⇒l⊂αB.P∈α，P∈β⇒存在唯一直线l，α∩β=l，且P∈lC.l || m，m || n⇒l || nD.m || n⇒确定一个平面γ且m⊂γ，n⊂γ【正确答案】：D【解析】：公理是不能被证明但确实是正确的结论，是客观规律，依据公理的定义，依次求解．【解答】：解：由公理一可知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故A选项为公理，由公理三可知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故B选项是公理，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故C选项是公理，不同的两直线平行，确定一个平面，且两直线在平面内，为判定定理，非公理，故D选项错误．故选：D．【点评】：本题考查了对公理的判断，需要学生熟练掌握公理的定义，属于基础题．7.（单选题，5分）已知三棱锥A-BCD中，CD=√2，BC=AC=BD=AD=1，则此几何体外接球的体积为（）A.2πB. √2π3C. √2π6D.π【正确答案】：B【解析】：由已知结合勾股定理证明AC⊥AD，BC⊥BD，取CD中点O，则O为该几何体外接球的球心，求出半径，代入球的体积公式求解．【解答】：解：如图，由CD=√2，BC=AC=BD=AD=1，可得AC2+AD2=CD2，BC2+BD2=CD2，则AC⊥AD，BC⊥BD，取CD中点O，则OA=OC=OD=OB，∴O为该几何体外接球的球心，则半径为12CD=√22．∴此几何体外接球的体积为43π × (√22)3= √2π3．故选：B ．【点评】：本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．8.（单选题，5分）在△OAB 中，OA=OB=2， AB =2√3 ，动点P 位于直线OA 上，当 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，∠PBA 的正弦值为（ ）A.3√77 B. 2√77C. √2114D. √213 【正确答案】：C【解析】：建立平面直角坐标系，写出坐标表示出 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用二次函数求出有最小值时P 的坐标，再利用向量的夹角公式即可求出．【解答】：解：建立如图平面直角坐标系，则A （- √3 ，0），B （ √3 ，0），O （0，1），设P （x ，y ）， 直线AO 的方程为y= √33 x+1，∵ PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √3 -x ，-y ）•（ √3 -x ，-y ）=x 2+y 2-3 =x 2+ (√33x +1)2 -3= 43 x 2+ 2√33 x-2= 43 (x +√34)2 - 94 ， ∴当x=- √34 时， PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值，此时P （- √34 ， 34）， ∴ BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 5√34 ， 34）， BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2 √3 ，0）， ∴cos∠PBA= BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 1522√3•√8416 = 5√714 ， ∵∠PBA∈（0，π），∴sin∠PBA= √1−2528 = √2114 ．故选：C．【点评】：本题考查向量的数量积、夹角公式等知识，考查运算求解能力，属于中档题．9.（多选题，5分）设z为复数，则下列命题中正确的是（）A. |z|2=z•zB.z2=|z|2C.若|z|=1，则|z+i|的最小值为0D.若|z-1|=1，则0≤|z|≤2【正确答案】：ACD【解析】：直接利用复数的运算，复数的模，共轭，圆的方程，圆与圆的位置关系的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：由于z为复数，设z=a+bi（a，b∈R），对于A：|z|2=a2+b2= z•z，故A正确；对于B：z2=（a+bi）2=a2+2abi-b2，|z|2=a2+b2，故B错误；对于C：由于a2+b2=1，所以|z+i|=√a2+(b+1)2∈[0，2]，故C正确；对于D：若|z-1|=1，即（a-1）2+b2=1，所以0=1−1≤√(a−0)2+(b−0)2≤1+1=2，故D正确；故选：ACD．【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，共轭，圆的方程，圆与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）如图，直角梯形ABCD中AB=2，CD=4，AD=2．则下列说法正确的是（）A.以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为16√2πB.以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为32π3C.以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为20π+4√2πD.以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为28√2π3【正确答案】：CD【解析】：旋直接利用切割法的应用分别利用体积和表面积公式的应用的应用求出圆锥和圆台的体积和表面积．【解答】：解：直角梯形ABCD中AB=2，CD=4，AD=2．则对于A：S侧=π(2+4)×2√2=12√2π，故A错误；对于B：V= V圆柱−V圆锥=π•22•4−13×π•22•2 = 40π3，故B正确；对于C：以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为相当于一个圆柱挖去一个圆锥，如图所示：构成的表面积为4π+2•π•2•4+π•2√2•2 == 20π+4√2π，故C正确；对于D：以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，相当于一个圆锥的体积和一个圆台的体积的和切去一个小圆锥的体积，如图所示：即：13•π•(2√2)2•2√2+13•[π•(√2)2+√π(√2)2•π•(2√2)2+π•(2√2)2]×√2−13•π•(√2)2•√2=28√2π3．故D正确；故选：CD．【点评】：本题考查的知识要点：旋转体的体积公式，切割法，圆锥和圆台的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．11.（多选题，5分）如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．对于该几何体，则（）A.AF || CDB.2V三棱锥F-ABC=V四棱锥A-BCDEC.新几何体有7个面D.新几何体的六个顶点在同一个球面上【正确答案】：AB【解析】：根据空间直线和平面位置关系分别进行判断即可．【解答】：解：取BC的中点G，DE的中点H，连接FG，AH，GH，则FG⊥BC，BC⊥GH，AH⊥DE，则BC⊥平面FGH，DE⊥平面AGH，∵BC || DE，∴平面FGH与平面AGH重合，即AHGF为平面四边形，∵AF=CD=GH，∴四边形AHGF为平行四边形，∴AF || CD，故A正确，由于BE || CD，∴BE || 平面ADCF，∵V四棱锥A-BCDE=2V四棱锥A-BCD=2V四棱锥B-ACD，V四棱锥B-ACD=V四棱锥B-ACF=V三棱锥F-ABC，∴2V三棱锥F-ABC=V四棱锥A-BCDE，故B正确，由于平面ACF与平面ACD重合，平面ABF与平面ABE重合，∴该几何体有5个面，故C错误，由于该几何体为斜三棱柱，故不存在外接球，故D错误，故选：AB．【点评】：本题主要考查与空间立体几何有个的命题的真假判断，涉及空间直线位置关系，空间体积的判断，涉及知识点较多，综合性较强，属于中档题．12.（多选题，5分）在棱长为3+√3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，球O1同时与以B为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球O1，O2的半径分别为r1，r2，则（）A.O2，O1，B，D1四点不共线B.r1+r2=3C.这两个球的体积之和的最小值是9πD.这两个球的表面积之和的最大值是18π【正确答案】：BC【解析】：由球与正方体的对称性判断A；画出过正方体对角面的截面图，由对角线长度相等求得r1+r2判断B；写出两球的体积与表面积之和，利用基本不等式求最值判断C与D．【解答】：解：由对称性作过正方体对角面的截面图如下，可得O2，O1，B，D1四点共线，故A错误；由题意可得O1B=√3r1，O2D1=√3r2，则（√3+1）r1+（√3+1）r2=BD1= √3 ×（3+ √3），从而r1+r2=3，故B正确；这两个球的体积之和为：43π（r13+r23）= 43π（r1+r2）（r12−r1r2+r22），∵r1+r2=3，∴（r1+r2）（r12−r1r2+r22）=3（9-3r1r2）≥3[9-3× (r1+r22)2]= 274，即43π（r13+r23）≥9π，当且仅当r1=r2= 32时等号成立，故C正确；这两个球的表面积之和S=4π（r12+r22）≥4π• (r1+r2)22=18π，当且仅当r1=r2= 32时等号成立，故D错误故选：BC．【点评】：本题主要考查了正方体的结构及其特征，球的表面积及体积公式，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．13.（填空题，5分）设A={正方体}，B={直平行六面体}，C={正四棱柱}，D={长方体}，那么上述四个集合间正确的包含关系是___【正确答案】：[1]A⊆C⊆D⊆B．【解析】：根据正方体、直平行六面体、正四棱柱、长方体的定义以及结构特征进行分析判断即可．【解答】：解：在这4种图象中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，最小的是正方体，其次是正四棱柱，故A⊆C⊆D⊆B．故答案为：A⊆C⊆D⊆B．【点评】：本题考查了四棱柱的结构特征的理解和应用，同时考查了集合之间关系的判断及应用，属于基础题．14.（填空题，5分）向量a⃗=(2，1)在向量b⃗⃗=(3，4)方向上的投影向量的坐标为 ___ ．【正确答案】：[1]（65，85）【解析】：求出向量a⃗，b⃗⃗的数量积和向量b的模，再由向量a⃗在向量b⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗|，设向量a⃗在向量b⃗⃗方向上的投影向量m⃗⃗⃗ =（x，y），x＞0，y＞0，由m⃗⃗⃗与b⃗⃗共线，可得y=4x3，又x2+y2=22，解得x，y的值，即可得解．【解答】：解：因为a⃗=(2，1)，b⃗⃗=(3，4)，则 a⃗⃗⃗⃗• b⃗⃗ =2×3+1×4=10，| b⃗⃗ |= √32+42 =5，则向量a⃗在向量b⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗| = 105=2，设向量a⃗在向量b⃗⃗方向上的投影向量m⃗⃗⃗ =（x，y），x＞0，y＞0，由于m⃗⃗⃗与b⃗⃗共线，可得 x3=y4，即y= 4x3，又x2+y2=22，解得x= 65，y= 85，所以向量a⃗=(2，1)在向量b⃗⃗=(3，4)方向上的投影向量的坐标为（65，85）．故答案为：（ 65 ， 85 ）．【点评】：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式，考查向量的投影定义，考查运算能力，属于中档题．15.（填空题，5分）如图，在△ABC 中， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λμ =___ ，λ2-2μ的最小值是___ ．【正确答案】：[1]2; [2] −14【解析】：由已知结合向量的线性表示及共线定理可以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后结合平面向量基本定理可求 λμ，结合二次函数的性质可求λ2-2μ的最小值．【解答】：解：因为 BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 （ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ），所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为E 在线段AD 上移动（不含端点）， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x3AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2x3AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，（0＜x ＜1）， 所以λ= 2x3 ，μ= x3 ， λμ =2， λ2-2μ=4x 29−2x 3， 根据二次函数的性质知，当x= 34时取得最小值- 14． 故答案为：2，- 14 ．【点评】：本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，还考查了二次函数性质的应用，属于中档题．16.（填空题，5分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1为棱长为2，动点P ，Q 分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP=x ，CQ=y ，其中x ，y∈[0，2]，下列命题正确的是___ ．（写出所有正确命题的编号） ① 当x=0时，S 为矩形，其面积最大为4； ② 当x=y=1时，S 的面积为 92 ；③ 当x=1，y∈（1，2）时，设S与棱C1D1的交点为R，则RD1=4−4y；④ 当y=2时，以B1为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值83．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：由题意可知当x，y变化时，S为不同的图形，故可根据题意逐一判断即可．【解答】：解：当x=0时，点P与点B重合，∴AB⊥PQ，此时S为矩形，当点Q与点C1重合时，S的面积最大，S= 2×2√2 = 4√2．故① 错误；当x=1，y=1时，PQ为△BCC1的中位线，PQ || BC1，∵BC1 || AD1，∴AD1 || PQ，∴S为等腰梯形APQD1，过P作PE⊥AD1于E，PQ= √2，AD1=2 √2，∴ AE=√22，AP= √5，∴ PE=3√22，∴S梯形APQD1=12×3√2×3√22= 92，故② 正确；由图可设S与DD1交于点F，可得D1F || CC1，△C1QR∽△D1FR，C1RD1R =C1QFD1∵CQ=y，则C1Q=2-y，∴ RD1=4−4y，故③ 正确；当y=2时，以B1为定点，S为底面的棱锥为B1-APC1H，V B1−APC1H =2V P−B1C1H=2×13×12×2 × 2×2=83，故④ 正确；故答案为：② ③ ④ ．【点评】：本题考查了立体几何的截面面积的相关知识点，以及棱锥体积公式．17.（问答题，10分）已知向量a⃗与b⃗⃗的夹角θ=2π3，且| a⃗ |=3，| b⃗⃗ |=2．（1）求a⃗•b⃗⃗，| a⃗ + b⃗⃗ |；（2）求向量a⃗与a⃗ + b⃗⃗的夹角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合向量数量积的定义及性质即可直接求解； （2）结合向量夹角公式即可直接求解．【解答】：解：（1） a ⃗•b ⃗⃗ =| a ⃗ || b ⃗⃗ |cos 2π3 =3× 2×(−12) =-3， | a ⃗+b ⃗⃗ |= √(a ⃗+b ⃗⃗)2= √a ⃗2+b ⃗⃗2+2a ⃗•b ⃗⃗ = √9+4−6 = √7 ， （2）设向量 a ⃗ 与 a ⃗ + b ⃗⃗ 的夹角θ， 则cosθ= a ⃗⃗•(a ⃗⃗+b ⃗⃗)|a ⃗⃗||a ⃗⃗+b⃗⃗| = 3×√7 = 2√77 ．【点评】：本题主要考查了向量数量的性质的综合应用，属于基础试题． 18.（问答题，12分）（1）在△ABC 中，a=1，b=2，cosC= 14，求cosA ． （2）在△ABC 中，已知a= 5√2 ，c=10，A=30°，求角B ；【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合余弦定理可求c ，然后结合余弦定理可求； （2）由正弦定理可求sinC ，进而求出C ，结合三角形内角和求出B ．【解答】：解：（1）由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC=1+4-2× 1×2×14 =4， 解得c=2， 再由余弦定理得cosA= b 2+c 2−a 22bc = 4+4−12×2×2 = 78 ；（2）由正弦定理得 asinA =csinC ， 所以sinC= 10×125√2= √22 ， 因为C 为三角形内角， 所以C=45°或C=135°， 当C=45°时，B=105°，C=135°时，B=15°．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．19.（问答题，12分）已知棱长为1的正方体AC1，H、I、J、K、E、F分别相应棱的中点如图所示．（1）求证：H、I、J、K、E、F六点共面；（2）求证：BE、DF、CC1三线共点；（3）求几何体B1BE-D1DF的体积．【正确答案】：【解析】：（1）连接C1D，AB1，推导出FJ || KH，设两线确定的平面为α，则点F，J，K，H∈α，在平面ADD1A1内延长JI交直线A1A于P点，推导出AP=DJ=12AA1，在平面ABB1A1内延长KH交直线A1A与Q点，推导出AQ=12AA1，由此能证明H、I、J、K、E、F 共面．（2）设BE∩DF=O，则O∈平面DC1，O∈平面BC1，由此能证明BE、DF、CC1三线共点；（3）由S△C1EF =18，S△CBD=12，求出V棱台C1EF−CBD=13(S△C1EF+S△CBD+√S△C1EF⋅S△CBD)⋅|CC1|=724，由此能求出几何体B1BE-D1DF的体积．【解答】：（1）证明：连接C1D，AB1，由已知FJ || C1D，KH || AB1，又C1D || AB1，∴FJ || KH，设两线确定的平面为α，即点F，J，K，H∈α，在平面ADD1A1内延长JI交直线A1A于P点，由△API与△DJI全等，可得AP=DJ=12AA1，在平面ABB1A1内延长KH交直线A1A与Q点，同理可得AQ=12AA1，∴P，Q重合，∴P∈α，∴I∈α同理可证E∈α，综上H、I、J、K、E、F共面．（2）证明：设BE∩DF=O，则O∈平面DC1，O∈平面BC1，∵平面DC1∩平面BC1=CC1，∴O∈CC1，∴BE、DF、CC1三线共点；（3）解：∵ S△C1EF =18，S△CBD=12，∴ V棱台C1EF−CBD =13(S△C1EF+S△CBD+√S△C1EF⋅S△CBD)⋅|CC1|=13×(18+12+14)=724，∴ V几何体B1BE−D1DF =12−724=524．【点评】：本题考查六点共面、三线共点的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．20.（问答题，12分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且CQQD1 = BPPD= 23．（1）求证：PQ || 平面A1D1DA；（2）若R是CD上的点，当CRCD的值为多少时，能使平面PQR ||平面B1C1CB？请给出证明．【正确答案】：【解析】：（1）连接CP，并延长与DA的延长线交于M点，由三角形的相似和线面平行的判定定理，即可得证；（2）当CRCD =25时，能使平面PQR || 平面B l C l BC．由平行线的判定和性质，以及线面平行和面面平行的判定定理，即可得到结论．【解答】：（1）证明：连接CP，并延长与DA的延长线交于M点，因为四边形ABCD为正方形，所以BC || AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM =BPPD=23，又因为CQQD1=BPPD=23，所以CQQD1=CPPM=23，所以PQ || MD1．又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ || 平面A1D1DA．（2）当CRCD =25时，能使平面PQR || 平面B l C l CB．证明：因为CRCD =25，即有CRRD=23，故CQQD1=CRRD=23，所以QR || DD1．又∵DD1 || CC1，∴QR || CC1，又CC1⊂平面B l C l CB，QR⊄平面B l C l CB，所以QR || 平面B l C l CB，由CRRD =23=BPPD，得PR || BC，BC⊂平面B l C l CB，PR⊄平面B l C l CB，所以PR || 平面B l C l CB，又PR∩RQ=R，所以平面PQR || 平面B l C l CB．【点评】：本题考查线面平行和面面平行的判定定理，以及平行线的性质和三角形相似的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）若函数f（x）= √3 sinx+2cos2x2，△A BC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=3．（1）当b+ca取最大值时，判断△ABC的形状；（2）在△ABC中，D为BC边的中点，且AD= √13，AC=2，求BC的长．【正确答案】：【解析】：利用三角恒等变换化简f（x），由f（A）=3，可求得A的大小，（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得b+ca取最大值时B的大小，即可求解△ABC的形状；（2）取AB边的中点E，连接DE，在△ADE中，利用余弦定理可求解AE，从而可得AB，在△ABC中，利用余弦定理即可求解BC．【解答】：解：因为f（x）= √3 sinx+2cos2x2 = √3 sinx+cosx+1=2sin（x+ π6）+1，所以f（A）=2sin（A+ π6）+1=3，即sin（A+ π6）=1，因为0＜A＜π，所以π6＜A+ π6＜7π6，所以A+ π6= π2，A= π3．（1）由正弦定理可得b+ca = sinB+sinCsinA= sinB+sin(2π3−B)√32=2sin（B+ π6），因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+ π6＜5π6，所以当B= π3时，b+ca取得最大值，此时C= π3，所以A=B=C，所以△ABC是等边三角形．（2）解：取AB边的中点E，连接DE，则DE || AC，且DE= 12 AC=1，∠AED= 2π3，在△ADE中，由余弦定理得AD2=AE2+DE2-2AE•DE•cos 2π3=13，解得AE=3，AB=6，在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA=36+4-2×6×2× 12=28，所以BC=2 √7．【点评】：本题主要考查三角恒等变换，正、余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知向量m⃗⃗⃗=(cos2x+2√3sinx，1)，n⃗⃗=(2，−a)．（1）当a=0时，令f(x)=m⃗⃗⃗•n⃗⃗，求f（x）的最值；（2）若关于x方程m⃗⃗⃗•n⃗⃗=0在x∈(0，5π2)上有6个不等的实根，求a的取值范围；（3）当m⃗⃗⃗•n⃗⃗≥0对x∈[x1，x2]恒成立时，x2-x1的最大值为5π3，求a的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数，转化求解幂函数的最值即可．（2）由 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=0 ， −4sin 2x +4√3sinx +2−a =0 令t=sinx ， ℎ(t )=−4t 2+4√3t +2−a 结合函数的零点，转化求解a 的范围即可．（3）通过 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗≥0 ，推出 √3−√5−a ≤2sinx ≤√3+√5−a ，然后分类讨论推出a 的范围，转化求解即可．【解答】：解：（1）∵a=0， f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=2cos2x +4√3sinx =2(1−2sin 2x )+4√3sinx =−4(sinx −√32)2 +5， 又|sinx|≤1，∴当sinx=-1时， f (x )min =−2−4√3 ；当 sinx =√32 时，f （x ）max =5． （2）由 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=0 ， −4sin 2x +4√3sinx +2−a =0令t=sinx ， ℎ(t )=−4t 2+4√3t +2−a由题意，结合函数t=sinx 在 x ∈(0，5π2) 上的图像可知： ℎ(t )=−4t 2+4√3t +2−a 在t∈（0，1）上有两个零点，∴Δ＞0，16×3+16（2-a ）＞0，并且h （1）=-4+4 √3 +2-a ＜0，h （0）=2-a ＜0，解得 4√3−2＜a ＜5 ，（3）∵ m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗≥0 ，即： 4sin 2x −2+a −4√3sinx ≤0 ，即 (2sinx −√3)2≤5−a ，则5-a≥0，得a≤5，得 √3−√5−a ≤2sinx ≤√3+√5−a ，∵对x∈[x 1，x 2]恒成立时，x 2-x 1的最大值为 5π3 ，∴当 √3+√5−a ＞2 时，不妨 2sin (π2−12×5π3)=−√3=√3−√5−a ，得 2√3=√5−a ，得a=-7，当 √3−√5−a ＜−2 时，不妨 2sin (3π2−12×5π3)=√3=√3+√5−2 ，得 √5−a =0 ，得a=5，此时√3−√5−a＜−2不成立，舍去，综上a=-7．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，两角和与差的三角函数，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．。

2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 23．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．35．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M6．已知a =312，b =log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B ．C．D．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（）A．f（0）＝0B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x11．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝a t．关于下列说法正确的是（）A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 12．若集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}中只有一个元素，则a的取值可以是（）A．92B．98C．0D．1三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（3﹣2x）的定义域为．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为元/桶时能获得最大利润．15．不等式0.1x﹣ln（x﹣1）＞0.01的解集为．16．对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？21．（12分）定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R）．（1）求f（0），f（1）；（2）若对于任意x∈[12，3]都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝2x−12x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围；2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2解：命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式是特称命题； ∴￢p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2”． 故选：D ．3．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：p ：|m +1|＜1等价于﹣2＜m ＜0，∵幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减， ∴m 2﹣m ﹣1＝1，且m ＜0， 解得m ＝﹣1，∴p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．3解：∵幂函数f （x ）＝x 2m ﹣1的图象经过点（2，8），∴22m ﹣1＝8，∴m ＝2， 故选：C ．5．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M解：①当n ＝2m ，m ∈Z 时，x ＝4m +1，m ∈Z ， ②当n ＝2m +1，m ∈Z 时，x ＝4m +3，m ∈Z ， 综合①②得：集合N ＝{x |x ＝4m +1或x ＝4m +3，m ∈Z }， 又集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }， 即M ⫋N ， 故选：A ． 6．已知a =312，b=log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a解；∵a =312∈（1，2），b=log 2√3＞log 2√2=12，∵log 2√3＜log 22=1， ∴12＜b ＜1，c ＝log 92＜log 93=12， 则a ＞b ＞c ， 故选：A ． 7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B．C．D．解：函数y=4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）=4xx2+1，则f（﹣x）=−4xx2+1=−f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①a2+3﹣2a＝（a﹣1）2+2＞0恒成立，所以a2+3＞2a，故①正确；②a2+b2﹣2a+2b+2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以a2+b2≥2（a﹣b﹣1），故②正确；③x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，故③不正确．故恒成立的个数是2．故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅解：在A 项中，依题意可得a ＝0，且3b +3＝0，解得b ＝﹣1，此时不等式为﹣x +3＞0，解得x ＜3，故A 项错误；在B 项中，取a ＝1，b ＝2，可得x 2+2x +3＝（x +1）2+2＞0，解集为R ，故B 项正确； 在C 项中，依题意可得a ＜0，且{−1+3=−ba −1×3=3a ，解得{a =−1b =2，符合题意，故C 项正确．在D 选中，当x ＝0时，ax 2+bx +3＝3＞0，可得其解集不为∅，故D 选错误； 故选：BC ．10．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，下列命题中正确的有（ ） A ．f （0）＝0B ．若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1C ．若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D ．若x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），当x ＝0时，有f （0）＝﹣f （0），变形可得f （0）＝0，A 正确，对于B ，若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，即x ≥0时，f （x ）≥﹣1，则有﹣x ≤0，f （﹣x ）＝﹣f （x ）≤1，即f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1，B 正确，对于C ，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，C 错误，对于D ，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（x 2+2x ）＝﹣x 2﹣2x ，D 正确， 故选：ABD ．11．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系为y ＝a t ．关于下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过80m 2D ．若浮萍蔓延到2m 2，4m 2，8m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 2＝t 1+t 3 解：图象可知，函数过点（1，3）， ∴a ＝3，∴函数解析式为y ＝3t ， ∴浮萍每月的增长率为：3t+1−3t3t=2×3t 3t=2，故选项A 正确，∵函数y ＝3t 是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，故选项B 错误， 当t ＝4时，y ＝34＝81＞80，故选项C 错误，对于D 选项，∵3t 1=2，3t 2=4，3t 3=8，∴t 1＝log 32，t 2＝log 34，t 3＝log 38， 又∵2log 34＝log 316＝log 32+log 38，∴2t 2＝t 1+t 3，故选项D 正确， 故选：AD ．12．若集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．92B ．98C ．0D ．1解：∵A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，∴若a ＝0，方程等价为﹣3x +2＝0，解得x =23，满足条件． 若a ≠0，则方程满足△＝0，即9﹣8a ＝0，解得a =98．故选：BC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数f （3﹣2x ）的定义域为 [12，52] ． 解：∵函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]， ∴由﹣2≤3﹣2x ≤2，解得12≤x ≤52．∴函数f （3﹣2x ）的定义域为[12，52]．故答案为：[12，52]．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为 11.5 元/桶时能获得最大利润． 解：由表可知，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶． 设每桶水的价格为（6+x ）元，公司日利润为y 元，则y ＝（6+x ﹣5）（480﹣40x ）﹣200＝﹣40x 2+440x +280＝﹣40(x −112)2+1490， 所以当x ＝5.5时，y 取得最大值，所以每桶水定价为11.5元时，公司日利润最大． 故答案为：11.5．15．不等式0.1x ﹣ln （x ﹣1）＞0.01的解集为 （1，2） ． 解：设函数f （x ）＝0.1x ﹣ln （x ﹣1）， ∵y ＝0.1x 和y ＝﹣ln （x ﹣1）均为减函数， ∴函数f （x ）为减函数，∵f （2）＝0.01，且函数的定义域为（1，+∞）， ∴原不等式等价于f （x ）＞f （2）， ∴1＜x ＜2，∴不等式的解集为（1，2）． 故答案为：（1，2）．16．对于函数f （x ），若在定义域存在实数x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则称f （x ）为“局部奇函数”．若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有解； 即4﹣x ﹣m •2﹣x ﹣3＝﹣（4x ﹣m •2x ﹣3）有解；变形可得4x +4﹣x ﹣m （2x +2﹣x ）﹣6＝0，即（2x +2﹣x ）2﹣m （2x +2﹣x ）﹣8＝0有解即可；设2x +2﹣x ＝t （t ≥2），则方程等价为t 2﹣mt ﹣8＝0在t ≥2时有解；设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣8＝0，必有g （2）＝4﹣2m ﹣8＝﹣2m ﹣4≤0， 解可得：m ≥﹣2，即m 的取值范围为[﹣2，+∞）； 故答案为：[﹣2，+∞）．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a−2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927． 解：（1）∵a ≤2， ∴√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12， ＝2﹣a +a +3+2＝7；（2）3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927， =12+log 610⋅lg6+32， =12+1+32=3．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：（1）∵集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}∴A ∪B ＝{x |1≤x ＜8}，（∁U A ）＝{x |x ＜1或x ≥5}，（∁U A ）∩B ＝{x |5≤x ＜8}（2）∵“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}∴C ⫋A ，∴{a +3＜5a ≥1，解得1≤a ＜2，故a的取值范围是[1，2）．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．解：（1）当a＝4时，f（x）=x−2x+4x=x+4x−2，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+4x−2≥2√x×4x−2＝2，当且仅当x=4x即x＝2时等号成立，所以f（x）的最小值为2．（2）根据题意可得x2﹣2x+a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，等价于a＞﹣x2+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，因为g（x）＝﹣x2+2x在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1，所以a＞1．（3）f（x）＝x+ax−2，设0＜x1＜x2＜√a，f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+ax1−a x2=（x1﹣x2）（1−ax1x2）=(x1−x2)(x1x2−a)x1x2，∵0＜x1＜x2＜√a，∴x1x2＜a，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，√a）单调递减，同理可证f（x）在（√a，+∞）单调递增，当0＜a≤4时，0＜√a≤2，函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（2）=a 2，当a＞4时，√a＞2，函数f（x）在[2，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（√a）＝2√a−2．所以f（x）min={a2(0＜a＜4)2√a−2(a＞4)．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%． 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种． ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x ．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？ 解：（Ⅰ）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为yx=x 2+3200x+40，x ∈[70，100]，而x2+3200x +40≥2√x 2⋅3200x+40=2×40+40＝120，当且仅当x2=3200x，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低．因为80＜100，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态．（Ⅱ）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，y 1=100x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+60x −900=−12(x −60)2+900， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为850元． 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，y 2=130x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+90x −3200=−12(x −90)2+850， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝90吨时，企业获得最大利润，为850元．结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，当日加工处理量为90吨时，获得最大利润， 由于最大利润相同，所以选择两种方案均可．21．（12分）定义在R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）（x ，y ∈R ）． （1）求f （0），f （1）；（2）若对于任意x ∈[12，3]都有f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）因为R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）．令x ＝y ＝0可得f （0）＝2f （0）， 所以f （0）＝0，令x ＝1，y ＝1，可得f （2）＝2f （1），令x ＝2，y ＝1可得f （3）＝f （1）+f （2）＝3f （1）＝6， 所以f （1）＝2；（2）∵f （x ）是奇函数，且f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0在x ∈[12，3]上恒成立， ∴f （kx 2）＜f （1﹣2x ）在x ∈[12，3]上恒成立，且f （0）＝0＜f （1）＝2； ∴f （x ）在R 上是增函数，∴kx 2＜1﹣2x 在x ∈[12，3]上恒成立， ∴k ＜(1x )2−2(1x )在x ∈[12，3]上恒成立， 令g(x)=(1x )2−2(1x )=(1x −1)2−1． 由于12≤x ≤3，∴13≤1x≤2．∴g （x ）min ＝g （1）＝﹣1，∴k ＜﹣1，即实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2x −12x ，g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b （b ∈R ）． （1）若f （x ）＞0，求实数x 的取值范围；（2）若存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得f （x 1）＝g （x 2），求实数b 的取值范围；解：（1）f（x）＞0⇔2x−12x＞0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．∴实数x的取值范围为（0，+∞）．（2）设函数f（x），g（x）在区间[1，+∞）的值域分别为A，B．∵f（x）＝2x−12x在[1，+∞）上单调递增，∴A＝[32，+∞）．∵g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4（b∈R）．∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，依题意可得A∩B≠∅，∴b+4≥32，即b≥−32．∴实数b的取值范围为[−32，+∞）．。

广东省广州市第六中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =IA ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)22．设命题2:,0p x R x ∀∈>，则p ⌝为（ ） A ．2,0x R x ∃∈> B ．2,0x R x ∀∈≤C ．2,0x R x ∃∈≤D ．2,0x R x ∀∈=3．若不等式13x <<的必要不充分条件是22m x m -<<+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．()1,2-D ．()1,34．已知()34f x ax bx =+-其中a ，b 为常数，若()22f -=，则()2f 的值等于（ ）A ．-2B ．-4C ．-6D ．-105．函数2()xf x x a=+的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ．6．某同学解关于x 的不等式2730x ax a -+<（0a >）时，得到x 的取值区间为()2,3-，若这个区间的端点有一个是错误的，那么正确的x 的取值范围应是（ ） A ．()2,1--B ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,3D ．()2,37．已知函数()31f x x x =+-，且()()20f a f b ++<，则（ ）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<8．设函数()()()[)11,,212,2,2x x f x f x x ∞∞⎧--∈-⎪=⎨-∈+⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、多选题9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与()211x g x x -=- C ．()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()f x ()g x =10．下列命题中正确的是（ ）A ．()10y x xx=+<的最大值是2-B ．2y =的最小值是2C ．()4230y x x x=-->的最大值是2-D ．()411y x x x =+>-最小值是5 11．下列命题正确的是（ ）A ．若对于1x ∀，2x R ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则函数()y f x = 在R 上是增函数B ．若对于1x ∀，2x R ∈，12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->--，则函数()y f x x =+在R 上是增函数C ．若对于x ∀∈R ，都有()()1f x f x +>成立，则函数()y f x =在R 上是增函数D ．函数()y f x =，()y g x =在R 上都是增函数，则函数()()y f x g x =⋅在R 上也是增函数三、单选题12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=．若()y g x =的图象关于直线2x =对称，()24g =，下列说法正确的是（ ）A ．()()22g x g x +=-B ．()y g x =图像关于点()3,6对称C ．()23f =D ．()()()122628f f f ++=-L四、填空题13．若2()(1)3f x a x ax =-++是偶函数，则(3)f = .14．函数y 的单调递增区间为 . 15．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则8x yxy+的最小值为 ． 16．已知()32164a f x x x =-，()1112f =-，则=a ，12320222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．五、解答题17．已知集合{}2|3100A x x x =--≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，U =R ．(1)若3m =时，求A B ⋃；(2)若U A C B U =∪，求m 的取值范围．18．已知集合{}2|2210P x x x a =--+≤，集合{}|13A x x =≤≤．(1)存在0R x ∈，使202210x x a -+-=，()*N a ∈成立，求实数a 的值及集合P ； (2)命题:p x A ∀∈，有0x a +≥，命题:q x R ∃∈，使得22221x x a a --+≤成立．若命题p 为假命题，q ⌝为真命题，求实数a 的取值范围；(3)若任意的x A ∈，都有210x ax ++≥，求实数a 的取值范围． 19．已知函数()21x f x ax b+=+是定义域上的奇函数，且()12f -=-．(1)判断并证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性； (2)令函数()()()22120h x x tf x t x =+-<，若对121,,22x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12154h x h x -≤，求实数t 的取值范围．20．定义在R 上的函数()f x 满足：对于x ∀，y ∈R ，()()()f x y f x f y +=+成立；当0x <时，()0f x >恒成立.(1)求()0f 的值；(2)判断并证明()f x 的单调性； (3)当0a >时，解关于x 的不等式()()()()221122f ax f x f a x f a ->--+-. 21．如图，某山地车训练中心有一直角梯形森林区域ABCD ，其四条边均为道路，其中AD BC ∥，90ADC ︒∠=，10AB =千米，16BC =千米，6CD =千米．现有甲、乙两名特训队员进行野外对抗训练，要求同时从A 地出发匀速前往D 地，其中甲的行驶路线是AD ，速度为12千米/小时，乙的行驶路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两名特训队员到达D 地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； （2）已知甲、乙两名特训队员携带的无线通讯设备有效联系的最大距离是10千米．若乙先于甲到达D 地，且乙从A 地到D 地的整个过程中始终能用通讯设备对甲保持有效联系，求乙的速度v 的取值范围．22．已知集合{R 0M x x =∈≠且}1x ≠，()()*N n f x x ∈是定义在M 上的一系列函数，满足()()()*111,N i i x f x x f x f i x +-⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭.(1)求()()34,f x f x 的解析式.(2)若()g x 为定义在M 上的函数，且()()411x g x g f x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.①求()g x 的解析式;②若关于x 的方程()()()222121318420x m x x g x x x x x ⎡⎤---++++++=⎣⎦有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.。