广州市高一上学期期末数学试卷(I)卷(考试)

数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）{}1,2,3,4,5,6U ={}1,2,3A ={}3,4,5B =()UA B ⋂=ðA. B. C.D.{}4,5,6{}4,6{}6{}4,5【答案】D 【解析】【分析】直接根据补集和交集的概念可得答案.【详解】由已知，又，{}4,5,6=U A ð{}3,4,5B =.(){}U 4,5B A ∴= ð故选：D.2. 命题“，”的否定是（ ）ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-A. ，B. ，2ππ,2x ⎛⎫∀∉- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x -≤C. ，D. ，ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x <-【答案】C 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题“，”的否定是“，”. ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤故选：C.3. 已知函数的最小正周期为2π，则下列说法错误的是（ ） ()()2sin 0f x x ωω=>A.1ω=B. 函数是奇函数()f x C. 当时，函数在上是减函数，在上是增函数 []0,2x π∈()f x []0,π[],2ππD. 当时，在上是增函数，在，上是减函数[],x ππ∈-()f x ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】CD 【解析】【分析】由周期公式判断A ；根据定义判断B ；根据正弦函数的单调性判断CD. 【详解】因为函数的最小正周期为2π，所以，故A 正确；()()2sin 0f x x ωω=>2π2π,1ωω==，定义域为，，即函数是奇函数，故B()2sin f x x =R ()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-()f x 正确；当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递增，在[]0,2x π∈()2sin f x x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误； 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递减，在[],x ππ∈-()2sin f x x =,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误； ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：CD4. 已知a ，b 是实数，且，则“”是“”的（ ） 0a b +≠0a b +>a b +≥A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】因为满足，但不满足，故充分性不满足； 2,1a b ==-0a b +>a b +≥因为等价于，所以，a b +≥20≥0,0a b ≥≥因为，所以不同时为0， 0a b +≠,a b 所以能得到，故必要性满足，0a b +>所以“”是“”的必要不充分条件 0a b +>a b +≥故选：B 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） 12a=2log b =5log 3c =,,a b c A. B. c<a<b a c b <<C. D.c b a <<a b c <<【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性来比较大小即可. 【详解】函数在上单调递增，log (1)a y x a =>()0,∞+，221log log 2b a =>==，55log 31log 2a c ==>=，2453311log log 3log 3log 4log 5b c ===>==.a cb ∴<<故选：B.6. 已知是第二象限的角，，则的值是（ ） α23sin sin cos 2ααα-=cos αA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先将条件等式变形为分子分母为关于的二次齐次式，然后同除即可得关于sin ,cos αα2cos α的方程，求出，进而可得，则可求.tan αtan ααcos α【详解】是第二象限的角，αQtan 0,cos 0αα∴<≠， 2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα--∴-===++解得，tan 1α=-， 3π2π,Z 4k k α∴=+∈. cos α∴=故选：A.7. 下列函数中，最小值为2的是（ ） A. ()1f x x x=+B. ()()2212sin π,Z 2sin f x x x k k x=+≠∈C.()e e xxf x -=+D. ()()111f x x x x =+>-【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可. 【详解】对于A ：当时，，A 错误； =1x -()12f -=-对于B ：， ()2212sin 22sin f x x x =+≥=当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B 错误； 2212sin 2sin x x=2sin 2x =()2f x ∴>对于C ：，当且仅当，即时等号成立，C 正确； ()2e e x x f x -+=≥=e e =x x -0x =对于D ：当时，，当且仅当1x >()11111311f x x x x x =+=-++≥+=--111x x -=-，即时等号成立，D 错误； 2x =故选：C.8. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，()f x R ()1f x +()10-,1x ，且，都有成立，，则不等式的解集()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-()11f =()0f x x ->为（ ）A. B.()(),11,-∞-⋃+∞()1,1-C. D.()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由()1f x +()10-,()f x R 可得，故可得在上单调递增，然后分()()2112120x f x x f x x x ->-()()1212120f x f x x x x x ->-()()f xg x x=()0,+∞，和三种情况进行求范围即可0x =0x >0x <【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是()1f x +()f x ()1f x +()10-,，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， ()f x ()0,0()f x R ()()111f f -=-=-对任意的，，且，都有成立，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-所以， ()()()()()12211212121212f x f x x f x x f x x x x x x x x x --=>--令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， ()()f xg x x=()g x ()0,+∞由是上的奇函数可得是上的偶函数 ()f x R ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以在上单调递减，()g x (),0∞-当时，不等式得到，矛盾； 0x =()0f x x ->000->当时，转化成即，所以； 0x >()0f x x ->()()111f x f x >=()()1g x g >1x >当时，转化成，，所以， 0x <()0f x x ->()()111f x f x -<=-()()1g x g <-10x -<<综上所述，不等式的解集为 ()0f x x ->()()1,01,-⋃+∞故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） ()0,∞+A. B. cos y x =2y x =-C .D. y x =21y x =【答案】BD 【解析】【分析】直接根据函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ：是偶函数，但在上不是单调函数，A 不符； cos y x =()0,∞+对于B ：是偶函数，且在上单调递减，B 符合； 2y x =-()0,∞+对于C ：是偶函数，且在上单调递增，C 不符； y x =()0,∞+对于D ：是偶函数，且在上单调递减，D 符合. 221y x x-==()0,∞+故选：BD.10. 设实数a ，b 满足，则下列不等式中正确的是（ ）01b a <<<A.B.11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D.ln ln a b >b b a b <【答案】BC 【解析】【分析】选项A ：做差判断；选项BCD ：构造函数，利用函数单调性判断.【详解】对于A ：，，，()()111b a ab a b a b ab --⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭01b a <<< 0,10,0b a ab ab ∴-<->>，即，A 错误； 110a b a b ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭11a b a b +<+对于B ：函数在上的单调递减，又，，B 正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R b a <1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ：函数在上的单调递增，又，，C 正确； ln y x =()0,∞+b a <ln ln a b \>对于D ：函数在上的单调递增，又，，D 错误； ,0b y x b =>()0,∞+b a <b b a b ∴>故选：BC.11. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ） A. 如果θ是第一或第四象限角，那么 cos 0θ>B. 如果，那么θ是第一或第四象限角 cos 0θ>C. 终边在x 轴上的角的集合为{}2,Z k k ααπ=∈D. 已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，利用三角函数的定义即可判断；对于B ，举反例即可；对于C ，直接写出对应角的集合；对于D ，利用扇形的面积和弧长公式即可【详解】对于A ，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确； cos 0θ>对于B ，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误； 0θ=cos 10θ=>对于C ，终边在x 轴上的角的集合为，故错误； {},Z k k ααπ=∈对于D ，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，βr 则，解得，故正确 224112r r r ββ+=⎧⎪⎨=⎪⎩21r β=⎧⎨=⎩故选：AD12. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩A.1a =B.1a =-C. 函数是偶函数 ()1y f x =+D. 关于x 的不等式的解集为 ()12f x >()0,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a 的值，判断A ，B ；根据图象的平移结合偶函数的性质可判断C ；分段解不等式可得不等式的解集，判断D. ()12f x >【详解】由函数图像可知为函数的对称轴，即函数满足， 1x =()f x ()2()f x f x -=则当时，则，故，则， 1x >21x -<2,222x a a x x a a x ---∴--=-=1a =同理当时，则，故，则， 1x <21x ->2,222a x x a a x x a -+--+=∴=-1a =综合可知，A 正确；B 错误.1a =将的图象向左平移1个单位，即得函数的图象，()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩()1,R y f x x =+∈则的图象关于y 轴对称，故为偶函数，C 正确；()1y f x =+()1y f x =+当时，，令，解得，故； 1x ≥1()2x f x -=1212x->2x <12x ≤<当时，，令，解得，故，1x <1()2x f x -=1122x ->0x >01x <<综合可得，即不等式的解集为，D 正确，02x <<()12f x >()0,2故选：ACD【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定义去判断解答，即可求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数_____________． ()()2log 2f x x =-+【答案】 [)3,2-【解析】【分析】直接根据对数的真数大于零及被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】由已知得，解得， 22090x x ->⎧⎨-≥⎩32x -≤<即函数. ()()2log 2f x x =-+[)3,2-故答案为：. [)3,2-14. 已知，，则_____________． 12sin cos 25αα=-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos αα-=【答案】## 751.4【解析】【分析】先通过角的范围确定的符号，然后通过计算可得答案. sin cos αα-()2sin cos αα-【详解】， π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，即，sin 0,cos 0αα∴><sin cos 0αα->又， ()21249sin cos 12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⨯-=⎪⎝⎭. 7sin cos 5αα∴-=故答案为：. 7515. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是()y f x =R 0x ≥()f x =0x <()f x _____________．【答案】()f x =【解析】【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案.【详解】函数在上为奇函数，且当时，()y f x =R 0x ≥()f x =当时，，0x <0x ->，()()f x f x ∴=--=故答案为：.()f x =16. 对于函数和，设，，若存在使得，则()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}0x g x β∈=,,αβ1αβ-≤称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与()f x ()g x ()()ln 23f x x x =-+-互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为_____________．()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +【答案】1,3⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知()f x 3α=31β-≤24β≤≤方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得()()22log 1x a -+⋅2log 3x +[]2,4，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.2231log log a x x+=+a 【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知， ()()ln 23f x x x =-+-()2,+∞()30f =3α=结合“零点相邻函数”的定义可得，则，31β-≤24β≤≤据此可知函数在区间上存在零点，()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +[]2,4即方程在区间上存在实数根，()()22log 1x a -+⋅2log 30x +=[]2,4整理可得：， ()22222log 331log log log x a x xx++==+令，则， 2log ,12t x x =≤≤31a t t +=+根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又()3h t t t=+⎡⎣2⎤⎦()14,h h ==(2)h =则314a t t ⎡⎤+=+∈⎣⎦据此可知实数的取值范围是. a 1,3⎡⎤-⎣⎦故答案为：1,3⎡⎤-⎣⎦【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算： （1）；()110520.01321π---++（2）．3log 22log 8lg 2lg 53++-【答案】（1）5（2）2【解析】 【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；()110520.01321102125π---+=---=【小问2详解】 ．()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=18. 已知集合，． {}20log 3A xx =≤≤∣{}08B x x =<<（1）求：A B ⋃（2）若集合，且，求实数a 的取值范围{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆【答案】（1）{}08x x <≤（2）11a -≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A 中元素范围，然后直接求即可；A B ⋃（2.【小问1详解】 ，又，{}{}20log 318A x x x x =≤≤=≤≤ ∣∣{}08B x x =<<；{}08A B x x ∴⋃=<≤【小问2详解】，，，{}18A x x =≤≤ ∣{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆， 198a a ≤⎧∴⎨+≥⎩解得.11a -≤≤19. 如图，在平面直角坐标系中，角和角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点αβαA ，将射线OA 绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B ，且射线OB 是角的终π2β边．（1）求的值； ()()sin cos 23πco πs πsin 2αββα⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）若点A ，求的值． ()tan πβ-【答案】（1）1（2） 12【解析】【分析】（1）利用的关系及诱导公式计算即可；,αβ（2）先通过三角函数的定义得，然后利用的关系及诱导公式计算即可.sin ,cos αα,αβ【小问1详解】由已知， π2π,Z 2k k αβ=++∈； ()()()sin cos sin sin sin sin cos sin 213πcos cos cos sin cos πsi π2ππ2n cos c 22os π2πk k αββαβββαββαβββββ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∴⎛⎫++==⎭-=-=--+ ⎪⎝⎛-⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎪⎫+ ⎝⎭【小问2详解】若点A ，则sin αα===. ()2sin t π2πcos 12πsin cos 2πan πt 2an k k βαβααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝-=-=-⎭20. 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19为了描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，()Q t a t b =⋅+②，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+③， ()tQ t a b =⋅④．()log b Q t a t =⋅（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m 的最()Q t []0,m 大值．【答案】（1）选择，理由见解析，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+()220110Q t t t =-+（2）20【解析】【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待()Q t 定系数法即可求解；（2）通过二次函数的性质即可求出实数m 的最大值【小问1详解】由表中数据可知，先单调递减后单调递增，()Q t 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， ()Q t a t b =⋅+()tQ t a b =⋅()log b Q t a t =⋅因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+由表格数据可得，解得，2221977101010111111a b c a b c a b c ⎧=⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩120110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，经检验其他几组数据也满足表达式 ()220110Q t t t =-+【小问2详解】由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ()()21010Q t t =-+10t =，所以()()()()22001010110,20201010110,Q Q =-+==-+=()()21010101010Q =-+=，1020m ≤≤所以实数m 的最大值为2021. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<时，列表并填入了部分数据，如下表： x π6- π3x ωϕ+0 π2 π 3π2 2π()f x 1 －1（1）求函数的解析式；()f x （2）当时，求函数的最大值及相应的x 值； ,4π11π12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x （3）求关于x 的不等式的解集．()2f x >【答案】（1） ()2sin 21f x x ⎛=++ ⎝（2）最大值3，或 11π12x =-π12x =（3） πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据表中数据列方程组求解即可；（2）通过的范围求出的范围，然后利用正弦函数的性质求最值； x π23x +（3）利用正弦函数的图像和性质来解不等式即可.【小问1详解】由表可得，解得，π06ππ3sin 013πsin 12A B A B ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎪+=-⎪⎩2π321A B ωϕ=⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩； ()π2sin 213f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭【小问2详解】当时，， 11π124πx -≤≤5ππ2π2336x -≤+≤ π1sin 213x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当或，即或时，函数取最大值3； ∴π3π232x +=-ππ232x +=11π12x =-π12x =()f x 【小问3详解】关于x 的不等式，即， ()2f x >π2sin 2123x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， π1sin 232x ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭， ππ5π2π22π,Z 636k x k k ∴+≤+≤+∈， ππππ,Z 124k x k k ∴-+≤≤+∈关于x 的不等式的解集为. ∴()2f x >πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦22. 已知函数（a 为常数，）．()22x x f x a -=⋅-R a ∈（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；()f x （2）当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m ()f x [)2,0x ∈-()()220f x mf x --≥的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2） 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出和时的具体值，即可判断奇偶；()()=f x f x -()()f x f x -=-a （2）由（1）可得，题意可转化成对恒成立，设()22x x f x -=--22x x m -≥+[2,0)x ∈-12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，，利用单调性的定义判断在上为减函数，即可求解 ()1t t t ϕ=+()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【小问1详解】函数的定义域为，，()22x x f x a -=⋅-R ()22x x f x a --=⋅-当时，即，解得，()()=f x f x -2222x x x x a a --⋅-=⋅-()(1)220x x a -+-=1a =-所以时，函数是偶函数，1a =-()f x 当时，即，解得，()()f x f x -=-()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-()(1)220x x a --+=1a =所以时，函数是奇函数，1a =()f x 综上所述，当时，函数是奇函数；1a =()f x 当时，函数是偶函数；1a =-()f x 当时，函数是非奇非偶函数1a ≠±()f x 【小问2详解】为偶函数，根据（1）可知()f x 1,()22.x x a f x -=-=--对于任意的，都有成立，故即[2,0)x ∈-(2)()20f x mf x --≥()22222220x x x x m --------≥， ()()22222x x x x m --+≤+因为，所以对恒成立，220x x -+>22x x m -≥+[2,0)x ∈-设，， 12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭()1t t t ϕ=+任取，且，即， 121,,14t t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭12t t <12114t t ≤<<则 ， ()()()12121212121111t t t t t t t t t t ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121t t t t t t t t t t t t ---=-+=因为，所以，可得，即 12114t t ≤<<12120,1t t t t -<<()()120t t ϕϕ->()()12t t ϕϕ>所以在上为减函数，，故 ()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭max 117()44t ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭174m ≥所以实数m 的取值范围是 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立；()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立；()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。

广东省广州中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}318A x x =->,{}10B x x =≤,则A B = （）A ．()10+∞，B ．()3,10C ．(]3,10D ．[)10+∞，2．下列函数既是偶函数,又在区间()0,3上是减函数的是（）A ．ln y x=B ．y =C ．cos y x =D ．e e x xy-=+3．若a ，b 是实数，则a b >是lg lg a b >的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数sin cos 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（）A BC ．1D ．25．设160.7a =,130.9b =,2log 0.8c =,则a,b,c 的大小关系是（）A ．b a c>>B ．a b c>>C ．c a b >>D ．a c b>>6．函数cos y x x =⋅,[]5,5x ∈-的大致图象为（）A ．aB ．C ．D ．7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x 1234()f x 532-5-那么函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是（）A ．()–,1∞B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,48．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出L V 用水补满，搅拌均匀，第二次倒出4L 5V 后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的最小值为（）A ．5B ．10C ．15D ．20二、多选题9．设,,a b c ∈R ，且0b a <<，则下列结论一定正确的是（）A ．11b a>B ．22ac bc >C ．22a b >D ．ab a b>+10．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则（）A ．sin 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭B ．51cos 63πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭C ．1sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．角α可能是第二象限角11．以下结论正确的是（）A ．函数2(1)x y x+=的最小值是4B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b aa b+≥C ．若x ∈R ，则22132x x +++的最小值为3D ．函数12(0)y x x x=++<的最大值为012．已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩，则下列判断正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．对任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，则有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．对任意x ∈R ，则有()()2f x f x +-=D ．若函数|()|y f x mx =-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞三、填空题13．计算:22318lg 902lg 34-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭________.14．已知扇形的圆心角为3π，弧长为45π，则扇形的面积为___________.15．已知πtan α26⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7tan 2απ12⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．16．已知函数21()21x x f x -=+，若对于任意的[,2]x t t ∈+，不等式()()0f x t f x -+≤恒成立，则实数t 的取值范围是___________．四、解答题17．已知集合R {1A xx =≤-∣ð或3}x ≥，集合{23}B x k x k =<<+∣.(1)当1k =-时，求A B ⋂；(2)若A B ⋂是空集，求实数k 的取值范围.18．已知α为第一象限角,且sin 2cos αα=.（1）求sin 2α的值;（2）求的sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭值.19．已知函数()e ,()xf xg x =e 为自然对数的底数，e 2.71828=⋅⋅⋅．(1)判断()g x 单调性，并用定义证明；(2)求方程()()f x g x =实数解的个数．20．已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，（1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）求使()0f x成立的x 的取值集合.21．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：0.540sin()13,02()39014,2x x x f x ex π-⎧+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln15 2.71,ln 30 3.40,ln 90 4.50≈≈≈）22．已知函数()()()ln e 1,()ln e 1x xf xg x =+=-．(1)试判断函数1()2f x x -的奇偶性，并证明；(2)若对任意的[ln 2,ln 4]x ∈，都有不等式()()ln 0g x f x x k --+≥恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案：1．C【解析】化简集合A ，再求交集.【详解】{}318{|3}A x x x x =->=> {|310}A B x x ∴⋂=<≤故选：C【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题.2．C【解析】根据奇偶性的判断排除B 选项，根据单调性排除A ，D.【详解】令()ln ||,(,0)(0,)f x x x =∈-∞⋃+∞，()ln ||ln ||()f x x x f x -=-==，则ln y x =为偶函数当0x >时，ln ln y x x ==，在(0,)+∞上单调递增，故A 错误；令()g x x R =∈，则()()g x g x -===-，则函数y =为奇函数，故B 错误；令()cos ,h x x x R =∈，()cos()cos ()h x x x h x -=-==，则函数cos y x =为偶函数cos y x =在区间(0,)π上单调递减，则cos y x =在区间()0,3上是减函数，故C 正确；令(),x x t x e e x R -=+∈，()()x x t x e e t x --=+=，则函数e e x x y -=+是偶函数令()()()()12111221221212 0,1x x x x x x x x x x e e e x x t x t x e e e e e --++-≤<-=+---=因为120x x ≤<，所以22110,10x x x x e e e +<->-，即()()120t x t x -<所以函数e e x x y -=+在(0,)+∞上单调递增，故D 错误；故选：C【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性以及单调性定义判断函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．B【分析】由对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.【详解】由lg lg a b >可得a b >；但是0a b >>时，不能得到lg lg a b >.则a b >是lg lg a b >的必要不充分条件故选：B 4．D【解析】利用诱导公式得出cos sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合正弦函数的性质，得出最大值.【详解】cos cos sin 6233x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2sin 3y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭即当62,x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值2故选：D【点睛】本题主要考查了诱导公式以及正弦型函数的最值，属于基础题.5．A【解析】利用6y x =的单调性比较,a b ，c 与0比较即可得出答案.【详解】6620.7,0.90.81a b ===，则66a b <因为函数6y x =在()0,+¥上单调递增，则660a b a b<⇒<<22log 0.8log 10c =<=所以b a c >>故选：A【点睛】本题主要考查了利用幂函数以及对数函数单调性比较大小，属于基础题.6．B【解析】判断函数奇偶性，取特殊值判断即可.【详解】令()cos f x x x =⋅，()cos()cos ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，则函数cos y x x =⋅为奇函数，则排除D ；3522ππ<<(5)5cos50f ∴=⨯>，则排除AC故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题.7．B【解析】利用零点存在性定理判断即可.【详解】()()()()112523,224341g f g f =-=-==-=-=- ()()120g g ∴<则函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是()1,2故选：B【点睛】本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.8．B【分析】依据题意列出不等式即可解得V 的最小值.【详解】由4540(40)4060%40VV V ---≤⨯，解得1040V ≤≤则V 的最小值为10.故选：B 9．AD【分析】根据不等式的性质判断AD ，列举例子判断BC.【详解】A.0b a <<Q ，同除ab 可得11b a>，A 正确；B.当2c =0时，22ac bc =，B 错误；C.若1,2a b =-=-，此时有22a b <，C 错误；D.0,0ab a b >+<，故ab a b >+，D 正确.故选：AD.10．BC【分析】根据给定条件结合诱导公式、同角公式逐项分析、计算并判断作答.【详解】因1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则6πα+是第一象限或者第四象限角，当6πα+是第四象限角时，sin 63πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，A 不正确；51cos cos[()]cos()6663πππαπαα⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭，B 正确；1sin sin[()]cos()32663ππππααα⎛⎫-=-+=+= ⎪⎝⎭，C 正确；因6πα+是第一象限或者第四象限角，则()66ππαα=+-不可能是第二象限角.故选：BC11．BD【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A.对于函数2(1)x y x+=，当0x <时，0y <，所以A 选项错误.B.由于0ab >，所以0,0b aa b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅当22,b a a b a b ==时等号成立，所以B 选项正确.C.2222113211322x x x x ++=+++≥+=++，但22122x x +=+无解，所以等号不成立，所以C 选项错误.D.由于0x <，所以()1122220y x x x x ⎡⎤=++=--+≤-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1,1x x x-==--时等号成立，所以D 选项正确.故选：BD 12．BCD【分析】举出反例可得函数不是奇函数，A 错误；研究二次函数的单调性得到B 正确；分情况讨论并计算可判断C 正确；构造函数|()|(),f x g x y m x==，将函数的零点转化为两个函数图象的交点问题可判断D 正确．【详解】A 选项，(1)4,(1)2f f =-=-，即(1)(1)f f -≠-，则()f x 不是奇函数，即A 不正确；B 选项，0x <时，()22()2112f x x x x =-++=--+，对称轴为1x =，开口向下，故()f x 在(,0)-∞上递增，0x ≥时()22()211f x x x x =++=+，对称轴为=1x -，开口向上，故()f x 在(0,)+∞上递增，且2202010201-+⨯+=+⨯+，于是得()f x 在R 上单调递增，则()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，B 正确；C 选项，0x >时，()220,()()21()2()12x f x f x x x x x ⎡⎤-<+-=+++--+-+=⎣⎦，0x <时，()220,()()21()2()12x f x f x x x x x ⎡⎤->+-=-+++-+-+=⎣⎦，0x =时，()()2(0)2f x f x f +-==综上得：对任意x ∈R ，则有()()2f x f x +-=成立，C 正确；D 选项，因为(0)1f =，则0不是|()|y f x mx =-的零点，0x ≠时，|()||()|0f x f x mx m x-=⇔=，令|()|(),f x g x y m x==，依题意函数()y g x =的图象与直线y m =有两个公共点，0x <时，令2()210f x x x =-++≥，解得：1x ⎡∈+⎣，结合0x <可得：)1x ⎡∈-⎣，令2()210f x x x =-++<，解得：((),11x ∈-∞+∞ ，结合0x <可得：(,1x ∈-∞-，0x ≥时，()22()2110f x x x x =++=+≥恒成立，综上：()0f x ≥时，1()0x f x ≥<时，1x <于是得()12,012,1012,1x x x g x x x x x x x ⎧++>⎪⎪⎪=-++≤<⎨⎪⎪--<⎪⎩，由对勾函数知，()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，又()g x在[1上递减，在(,1-∞上递增，如图：直线1y m =与()y g x =的图象有两个公共点，14m >，直线2y m =与()y g x =的图象有两个公共点，20m <，从而得函数()y g x =的图象与直线y m =有两个公共点时0m <或4m >，所以实数m 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ ，D 正确．故选：BCD ．13．21【解析】由指数的运算性质与对数的运算性质化简即可得出答案.【详解】()222233318lg 902lg 342lg 9lg10lg 9214-⎛⎫++-=++-= ⎪⎭+⎝故答案为：21【点睛】本题主要考查了指数的运算性质与对数的运算性质，属于基础题.14．2425π【分析】利用圆心角和弧长求出半径，根据扇形面积公式求解即可.【详解】依题意，扇形的半径412553l r ππα===，所以扇形的面积1141224225525S lr ππ==⨯⨯=，故答案为：2425π.15．17-【分析】由题意利用二倍角的正切公式求得πtan 2α3⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的正切公式求得7ππtan 2απtan 2α1234⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【详解】 已知πtan α26⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2π2tan απ46tan 2απ331tan α6⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭∴+==- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，则ππtan 2αtan7ππ134tan 2απtan 2αππ123471tan 2αtan 34⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，故答案为17-．【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．16．(,4]-∞-【分析】先判断()f x 在R 上是奇函数和增函数，故题意可转化成2,[,2]x t x t t ≤∈+，求()max 2x 即可求解【详解】()f x 的定义域为R ，且2112()()2112x x x xf x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，212()12121x x x f x -==-++，对任意12,x x <()()()()()12122112122222222110212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=< ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为单调递增函数，由()()0f x t f x -+≤，得()()f x t f x -≤-，即()()f x t f x -≤-，所以,[,2]x t x x t t -≤-∈+，即2,[,2]x t x t t ≤∈+恒成立，因为当[,2]x t t ∈+时，()()max 222x t =+，所以2(2),t t +≤，解得4t ≤-，故答案为：(,4]-∞-．17．(1){12}xx -<<∣(2){4k k ≤-∣或3}2k ≥【分析】（1）先根据补集的定义求出集合A ，再将集合,A B 取交集；（2）需要分类讨论集合B 是否为空集.【详解】（1）集合{13}A xx =-<<∣，当1k =-时，集合{22}B xx =-<<∣，所以{12}A B xx =-<< ∣.（2）当A B ⋂是空集时，分两种情况：情况一：集合B =∅时，23k k ≥+，所以3k ≥；情况二：集合B ≠∅时，3k <，要使A B ⋂是空集，则需要满足31k +≤-或23k ≥，解得4k ≤-或32k ≥，所以这种情况下，实数k 的取值范围为{4kk ≤-∣或33}2k ≤<.综上，实数k 的取值范围为{4k k ≤-∣或3}2k ≥.18．（1）45；（2【解析】（1）利用平方关系以及二倍角的正弦公式求解即可；（2）利用两角和的正弦公式求解即可.【详解】（1）2222sin cos 1(2cos )cos 1αααα+=⇒+=cos αα∴=4sin 22sin cos 2555ααα∴=⋅=⨯=（2）3sin sin cos 42225510πααα⎛⎛⎫+=+=⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式，属于基础题.19．(1)()g x 为(1,)-+∞上的单调递减函数；证明见解析(2)唯一的实数解【分析】（1）根据函数单调性的定义判断并证明即可；（2）令()()()e x h x f x g x =-=-，易知()h x 在(1,)-+∞单调递增，又因为102h ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，1(0)02h =>，所以()h x 在(1,)-+∞存在唯一零点01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，从而得出结论．【详解】（1）()g x =(1,)-+∞对任意的121x x -<<()()12g x g x -+-+==所以()()12,()g x g x g x >为(1,)-+∞上的单调递减函数.（2）由()()f x g x =可得()()0f x g x -=，令()()()e x h x f x g x =-=-易知()h x 在(1,)-+∞单调递增又因为102h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1(0)02h =>所以()h x 在(1,)-+∞存在唯一零点01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以()()f x g x =有唯一的实数解01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.20．（1）1a =-；（2）42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）2|22,3x k x k k πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】（1）利用两角和与差的公式化简成为sin()y A x ωϕ=+的形式，根据三角函数的性质可得a 的值．（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；（3）根据三角函数的性质求解()0f x成立的x 的取值集合．【详解】（1）由题意：函数()sin()sin(cos 66f x x x x a ππ=++-++，化简得：()sin cos cos sin sin cos cos sin cos 6666f x x x x x x aππππ=++-++cos x x a=++2sin()6x a π=++，sin()6x π+ 的最大值为1，()211f x a ∴=⨯+=，解得：1a =-．（2） 由（1）可知()2sin(16f x x π=+-．根据三角函数的性质可得：[262x k πππ+∈+，32]()2k k Z ππ+∈．即322262k x k πππππ+++ ，()k ∈Z 解得：42233k x k ππππ++ ，()k ∈Z ，()f x ∴的单调递减区间为42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3） 由题意：()0f x ，即2sin(106x π+- ，可得：1sin(62x π+ ．522666k x k πππππ∴+++ ，()k ∈Z ．解得：2223k x k πππ+ ．()k ∈Z()0f x ∴ 成立的x 的取值范围是2|22,3x k x k k πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【点睛】本题考查了三角函数的化简和计算能力，三角函数的性质的运用．属于基础题．21．（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.【详解】（1）由图可知，当函数()f x 取得最大值时，02x <<，此时()40sin 133f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当32x ππ=，即32x =时，函数()f x 取得最大值为max 53y =.故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时2x >.由0.5901420x e -+<，得：0.5115x e-<，两边取自然对数得：0.51ln ln 15x e-<即0.5ln15x -<-，∴2ln15 5.42x >≈，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.22．(1)偶函数；证明见解析(2)20,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断并证明；（2）利用参变量分离法可得()e e 1e 1x x x k +≥-在[ln 2,ln 4]x ∈上恒成立，利用换元法(令e 1x t =-)及函数的单调性求出()e e 1e 1x x x +-的最大值，即可求解k 的取值范围．【详解】（1）()1h()ln e 12x x x =+-的定义域为R ()()()e e 111e 1()()ln e 1ln e 1ln ln 02e e 211x x x xx x x h x h x x x x --+⎛⎫+--=+--+-=-=-= ⎪++⎝⎭所以()1()ln e 12x h x x =+-为偶函数.（2）对任意的[ln 2,ln 4]x ∈，都有不等式()()ln 0g x f x x k --+≥恒成立，∴e 1ln ln 0e 1x x x k --+≥+恒成立，即e 1ln ln 0e 1x x x lne k --+≥+在[ln 2,ln 4]x ∈上恒成立，即()e e 1e 1x x x k +≥-在[ln 2,ln 4]x ∈上恒成立，令e 1,[1,3]x t t =-∈∴()e e 1(1)(2)23e 1x x x t t t t t +++==++-令2()3,[1,3]g t t t t=++∈121212121212121222222()()3(3)()()()t t g t g t t t t t t t t t t t t t --=++-++=-+-=-当12,t t ⎡∈⎣且12t t <时，1212120,20,0t t t t t t -<-<>，则12()()0g t g t ->当12,t t ⎤⎦∈且12t t <时，1212120,20,0t t t t t t -<->>，则12()()0g t g t -<可得()g t在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增又20(1)6,(3)3g g ==，所以()g t 在[1,3]上的最大值为203∴203k ≥，即实数k 的取值范围是20,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭．。

2022-2023学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A ．{2，3}B ．{1，5}C ．{1，4}D ．{2，3，5}1．（5分）设集合U ={x |0<x <5，x ∈N }，M ={x |x 2-5x +6=0}，则∁U M =（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知i 为虚数单位，则z =1−i 2i在复平面内对应的点位于（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）不等式“log 3x >1”是“(12)x<1”成立的（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-14．（5分）已知随机变量ξ～N （μ，σ2），若函数f （x ）=P （x ≤ξ≤x +2）为偶函数，则μ=（ ）A ．在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100）内的学生有10人B ．这100名学生成绩的众数为85C ．估计全校学生成绩的平均分数为78D ．这100名学生成绩的中位数为805．（5分）某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（ ）6．（5分）如图（1），沿对角线BD 将矩形折叠，连接AC ，所得三棱锥A -BCD 正视图和俯视图如图（2），则三棱锥A -BCD 的侧视图为（ ）A．B．C．D．A．[π4，5π12]B．[π4，π3]C．[π12，π4]D．[π12，5π12]7．（5分）将函数y=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到y=f（x）的图象．若函数f（x）在区间[π6，π2]上单调递增，则φ的取值范围是（）A．n2B．n（n-1）C．（n-1）2D．n（n+1）8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求-边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n；第二步：将数列的各项乘以n,得新数列（记为a1，a2，a3，…，a n）．则a1a2+a2a3+a3a4+…+a n-1a n等于（）A．4B．7C．233D．39．（5分）如图，F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）√√√A．（-∞，-1）∪（1，+∞）B．（-∞，-1）∪（0，1）C．（-1，0）∪（1，+∞）D．（-1，0）∪（0，1）10．（5分）已知函数f（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，若对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2<0成立，且f（1）=2，则不等式f（x）>2x的解集为（）A．15B．25C．35D．4511．（5分）高三（1）班数学老师和同学们进行一个游戏，游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的5名同学并按顺序排好，每位同学手里均有5张除颜色外无其他区别的卡片，第k（k=1，2，3，4，5）位同学手中有k张红色卡片，5-k张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则老师获胜，否则学生获胜．则老师获胜的概率为（）B．1C．e+1D．e12．（5分）若曲线f（x）=e x-x在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=kx+b,则k+b的最大值为（）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应的位置）三.解答题：（本题共5小题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题必考题，每个学生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.A ．e-113．（5分）已知平面向量a=（2，-1），b=（-k ,2），若a ∥b ，则|3a +2b |=．→→→→→→14．（5分）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线l 与C 交于A 、B 两点，则以线段AB 为直径的圆被y 轴所截得的弦长为．15．（5分）已知数列{a n }的首项a 1=1，其前n 项和为S n ，若S n +1=2S n +1，则a 5=．16．（5分）已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形．在等腰四面体A -BCD 中，AB =AC =3，BC =4，则该四面体的内切球表面积为．17．（12分）在△ABC 中，a ,b ,c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知3bsin (π2+A )=asinB ．（1）求角A 的大小；（2）若b ,a ,c 成等比数列，判断△ABC 的形状．√18．（12分）某公司拟对某种材料进行应用改造，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据：x 12345678y1126144.53530.5282524对历史数据对比分析，考虑用函数模型①y =a +b x，②y =ce dx 分别对两个变量的关系进行拟合，令模型①中u =1x上，模型②中w =l ny ,对数据作了初步处理，已计算得到如下数据：uyu28i =1y 2i8i =1u 2i8i =1u i y i0.61×6185.5e -20.34450.11522385.5 1.53183.461.40.135（1）设u 和y 的样本相关系数为r 1，x 和w 的样本相关系数为r 2，已经计算得出r 2=-0.94，请从样本相关系数（精确到0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好？（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的非线性回归方程，并用其估计当每件产品的非原料成本为21元时，产量约为多少千件？参考公式：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ）其回归直线̂v =̂a +̂βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：̂β=ni =1u i v i −n u v n i =1u i 2−n u2，̂a =̂v −̂βu ，相关系数r =ni =1u i v i −n u •v(ni =1u i 2−n u 2)•(n i =1v i 2−n v 2)．√√（二）选考题：共10分，请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.19．（12分）已知四棱锥A -BCEF 中，BF ∥CE ，CE ⊥平面ABC ，点M 为AE 三等分点（靠近A 点），AB =BC =CE =3，BF =1，AC =33．（1）求证：FM ∥平面ABC ；（2）求二面角M -FB -A 的余弦值．√20．（12分）若f (x )=12(x −2)2−bx +2alnx ．（1）当a >0，b =a 时，讨论函数f （x ）的单调性；（2）若b =0，且f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）>1．21．（12分）已知点A (2，3)，点B (−2，−3)，点M 与y 轴的距离记为d ,且点M 满足：MA •MB =d 24−1，记点M 的轨迹为曲线W ．（1）求曲线W 的方程；（2）设点P 为x 轴上除原点O 外的一点，过点P 作直线l 1，l 2，l 1交曲线W 于点C ，D ，l 2交曲线W 于点E ，F ，G ，H 分别为CD ，EF 的中点，过点P 作x 轴的垂线交GH 于点N ，设CD ，EF ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，k 3的，求证：k 3（k 1+k 2）为定值．√√→→22．（10分）如图，在极坐标系中，已知点M （4，0），曲线C 1是以极点O 为圆心，以OM 为半径的半圆，曲线C 2是过极点且与曲线C 1相切于点(4，π2)的圆．（1）求曲线C 1、C 2的极坐标方程；（2）直线θ=α（0<α<π，ρ∈R ）与曲线C 1、C 2分别相交于点A ，B （异于极点），求△ABM 面积的最大值．23．已知函数f （x ）=|x +a |-|x +a 2|．（1）若a =2，求不等式f （x ）<x 的解集；（2）若∃x ∈R ，∃a ∈[0，2]使得f （2x ）>m 能成立，求实数m 的取值范围．。

广东省广州市六区2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}15A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．下列函数为增函数的是（）A ．()f x x=B ．()2xf x =C ．()2f x x=D ．()0.5log f x x=3．设a ，R b ∈，则“0a b <<”是11a b>的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知3log 0.3a =，0.33b =，0.50.3c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．b c a <<5．已知θ是第四象限角，且()3sin π5θ+=，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．17B ．7-C ．17-D ．76．已知0x <，则21x x--的最小值为（）A ．B ．4C ．1D ．17．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3-=αβ，则()cos αβ+的值为（）A ．1372-B ．1372C ．5972-D ．59728．已知函数2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩，若方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．下列函数为奇函数的是（）A ．()21f x x =B ．()3f x x=C ．()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭D ．()1f x x x=+10．下列命题为真命题的是（）A ．任意两个等边三角形都相似B ．所有的素数都是奇数C ．R x ∀∈，0x x +≥D ．R x ∃∈，210x x -+=11．记函数()()sin 2f x x ϕ=+，x ∈R ，其中π2ϕ≤．若π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数12．已知正实数x ，y ，z 满足3515x y z ==，则（）A ．x y z +=B ．xz yz xy +=C ．3515x y z>>D ．24xy z >三、填空题13．若函数()22f x x x a =-+只有一个零点，则实数a 的值为_____________．14．计算01331log log 120.60.24-+-+=_____________．四、双空题15．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出，x 012()f x 121x 012()g x 210则()1f g ⎡⎤⎣⎦=_____________；满足()()()f g x g f x ⎦>⎡⎤⎣的x 的值是_____________．五、填空题16．已知()221f x x x =--，()log a g x x =（0a >且1a ≠），若对任意的[]11,2x ∈-，都存在[]22,4x ∈，使得()()12f x g x <成立，则实数a 的取值范围是_____________．六、解答题17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()3,4P -．(1)求tan α的值；(2)求2sin(π)cos(2π)ππcos()sin()22αααα+++-++的值．18．已知函数()x b f x x a -=-，且()124f =，()235f =．(1)求函数()f x 的解析式；(2)根据定义证明函数()fx 在()2,-+∞上单调递增．19．已知函数ππ()sin()sin()sin cos 44f x x x x x =+-+．(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)在ABC 中，若π(1212A f -=，求sin sinBC +的最大值．20．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ 中，半径()100m OP =，圆心角π4POQ ∠=，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记POC α∠=，矩形ABCD 的面积为()2m S ．(1)将面积S 表示为角α的函数；(2)当角α取何值时，S 最大？并求出这个最大值．21．已知函数()cos 22sin 2f x x a x a =++的最大值为12-．(1)求a 的值：(2)当x ∈R 时，求函数()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．22．已知函数()()e R xf x x =∈，其中e 为自然对数的底数，记()()()g x f x f x =+-．(1)解不等式()()26f x f x +≤；(2)若存在(0x ∈，使得()()20021g x k g x =⋅-成立，求实数k 的取值范围．参考答案：1．D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.【详解】因为集合{}15A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = .故选：D 2．B【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A ；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD 作答.【详解】对于A ，函数,0(),0x x f x x x x -≤⎧==⎨>⎩，函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，在定义域R 上不单调，A 不是；对于B ，函数()2x f x =在R 上单调递增，B 是；对于C ，函数2()f x x =在(,0]-∞上单调递减，在定义域R 上不单调，C 不是；对于D ，函数0.5()log f x x =在(0,)+∞上单调递减，D 不是.故选：B 3．A【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为11b aa b ab--=，所以当0a b <<时，0,0ab b a >->，所以110b aa b ab--=>即11a b >，当11a b>时，取1,1a b ==-，得不到0a b <<，所以0a b <<是11a b>充分不必要条件，故选:A.4．B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答.【详解】33log 0.3log 10a =<=，0.30331b =>=，0.5000.30.31c <=<=，所以a c b <<.故选：B 5．A【分析】利用诱导公式结合同角公式求出tan θ，再利用和角的正切计算作答.【详解】由()3sin π5θ+=得：3sin 5θ-=，即3sin 5θ=-，而θ是第四象限角，则有4cos 5θ=，sin 3tan cos 4θθθ==-，所以π3tan tan1π144tan()π3471tan tan 1()144θθθ+-++==---⨯.故选：A 6．D【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.【详解】因为0x <，则11x ->，22(1)112111x x x x -=+--≥=--，当且仅当211x x=--，即1x =-所以21x x--的最小值为1.故选：D 7．C【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ-=-+=，两式相加得()()62221113cos cos sin sin 2cos 493αβαβαβ-=+=+=++，()59cos 72αβ∴+=-.故选：C.8．B【分析】分析给定的函数性质，画出函数()y f x =的部分图象，确定a 的取值范围，进而求出1234x x x x 范围作答.【详解】函数2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩，当1x ≤-时，()ln()f x x =--单调递增，()0f x ≤，当10x -<<时，()ln()f x x =-单调递减，()0f x <，当0x ≥时，2()f x x x =-在1[0,]2上递减，在1[,)2+∞上递增，1()4f x ≥-，作出函数()y f x =的部分图象，如图，方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨令1234x x x x <<<，即直线y a =与函数()y f x =的图象有4个公共点，观察图象知，104a -<<，123411012x x x x <-<<<<<<，显然有12|ln()||ln()|x x --=--，且341x x +=，由12|ln()||ln()|x x --=--得12ln()ln()0x x -+-=，即12ln()0x x =，则有121=x x ，因此21234333111(1)()(0,)244x x x x x x x =-=--+∈，所以1234x x x x 的取值范围为1(0,)4.故选：B【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.9．BCD【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答.【详解】对于A ，函数()21f x x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，21()()()f x f x x -==-，()f x 是偶函数，A 不是；对于B ，函数()3f x x =的定义域为R ，()f x 是奇函数，B 是；对于C ，函数1()ln()1x f x x +=-中，101xx+>-，解得11x -<<，即()f x 的定义域为(1,1)-，11()ln()ln()()11x xf x f x x x-+-==-=-+-，()f x 是奇函数，C 是；对于D ，函数1()f x x x =+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，1()()f x x f x x-=-+=--，()f x 是奇函数，D 是.故选：BCD 10．AC【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A ，因为所有的等边三角形的每个内角都为60 ，因此任意两个等边三角形都相似，A 正确；对于B ，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B 错误；对于C ，因为R x ∀∈，||x x ≥-，即||0x x +≥，C 正确；对于D ，因为R x ∀∈，221331()0244x x x -+=-+≥>，D 错误.故选：AC 11．BD【分析】由对称性得到π2x =为对称轴，故π12f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭，代入解析式得到π2ϕ=-或π2，求出函数解析式()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，分两种情况计算出3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，及判断π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的奇偶性，推断出四个选项的正误.【详解】A 选项，因为π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2ππ5662πx =+=为()f x 的对称轴，故ππsin 2122f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 选项，πππ,Z 2k k ϕ+=+∈，解得：ππ,Z 2k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ≤，所以ππππ222k -≤-+≤，解得：01k ≤≤，因为Z k ∈，所以0k =或1，当0k =时，π2ϕ=-，当1k =时，π2ϕ=，故()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；C 选项，当()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，i 1ππ32s n 2f x x ⎛⎫- ⎪⎭⎝⎫+= ⎪⎝⎭⎛，此时不满足1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是奇函数，当()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，s 12π2πin 23f x x ⎪⎛⎫+= ⎪⎛⎫+ ⎝⎝⎭⎭，不满足1212ππf x fx ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是奇函数，C 错误；D 选项，当()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()f x 的定义域为R ，且()sin 4sin 4x x -=-，为奇函数，当()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()f x 的定义域为R ，且()sin 4sin 4x x --=，即()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，D 正确.故选：BD 12．BCD【分析】令13515x y z t ==>=，利用指数式与对数式互化表示出,,x y z ，再逐项计算、判断作答.【详解】,,x y z 是正实数，令13515x y z t ==>=，则3515log ,log ,log x t y t z t ===，111log 3,log 5,log 15t t t x y z===，对于A，ln ln ln ln15ln15ln 5ln 3()(2)(224ln 3ln 5ln15ln 3ln 5ln 3ln 5t t t x y z z z +=+=+=++>+，A 错误；对于B ，因为111log 3log 5log 15t t t x y z+=+==，则xz yz xy +=，B 正确；对于C ，因为35153515<<，则3515log 3log 5log 15t t t <<，即3log 35log 515log 15t t t <<，因此3515x y z <<，即有3515x y z >>，C 正确；对于D ，2221515151515log 3log 5log 3log 511log 3log 5()(log 15)log 15log 15244t t t t z z z xy x y +=⋅==⋅<==，因此24xy z >，D 正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.13．1【分析】利用判别式等于零求解.【详解】因为函数()22f x x x a =-+只有一个零点，所以440a ∆=-=解得1a =.故答案为:1.14．5【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案.【详解】0133311log log 120.60.2log 1215544-⎛⎫+-+=⨯-+= ⎪⎝⎭.故答案为：5.15．21【分析】根据列表法给定的函数，x 分别取0，1，2依次计算[()]f g x 、[()]g f x 即可作答.【详解】依题意，()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦；[(0)](2)1f g f ==，[(0)](1)1g f g ==，()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦，[(1)](2)0g f g ==，[(2)](0)1f g f ==，[(2)](1)1g f g ==，因此当且仅当1x =时，()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦成立，所以满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是1.故答案为：2；116．(1,2)【分析】求出函数()f x 在[]1,2-上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答.【详解】当[]1,2x ∈-时，2()(1)2f x x =--，则max ()(1)2f x f =-=，因为对任意的[]11,2x ∈-，都存在[]22,4x ∈，使得()()12f x g x <成立，因此函数()f x 在[]1,2-上的最大值小于函数()g x 在[]2,4上的最大值，而当01a <<时，[]2,4x ∈，log 0a x <，不符合题意，于是1a >，函数()log a g x x =在[]2,4上单调递增，则log 42a >，即214a <<，解得12a <<，所以实数a 的取值范围是(1,2).故答案为：(1,2)【点睛】结论点睛：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min min f x g x <.17．(1)43-；(2)11-.【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答.（2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答.【详解】（1）角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()3,4P -，所以4tan 3α=-.（2）由（1）知，4tan 3α=-，所以42()12sin(π)cos(2π)2sin cos 2tan 1311ππ4sin cos tan 1cos()sin()1223αααααααααα-⨯-++++-+-+====-++-++-+.18．(1)()12x f x x -=+(2)证明见解析【分析】（1）直接根据条件列方程组求解即可；（2）任取122x x >>-，计算判断()()12f x f x -的符号即可证明单调性.【详解】（1）由已知()()2122432335b f a b f a -⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩，()12x f x x -∴=+；（2）任取122x x >>-，则()()()()()()()()()()()12211212121122121212112222223x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+--+---=-==++++++-，122x x >>-Q ，121220,20,0x x x x ∴+>+>->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，∴函数()f x 在()2,-+∞上单调递增.19．(1)π；【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数()f x ，再利用正弦函数性质求出周期作答.（2）由（1）中函数式求出A ，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答.【详解】（1）依题意，πππ1ππ1())sin[()]sin 2)cos()sin 24242442f x x x x x x x=+-++=+++π11πsin(2)sin 2sin 2cos 2sin(2)222223x x x x x =++=+=+，所以函数()f x 的周期为2ππ2T ==.（2）由（1）知，ππππ(sin[2()sin(121221236A A f A -=-+=+=，在ABC 中，0πA <<，有ππ7π666A <+<，于是ππ62A +=，解得π3A =，则2π3B C +=，2π13πsin sin sin sin()sin sin sin )3226B C B B B B B B B B +=+-=++=+=+，显然2π03B <<，ππ5π666B <+<，因此当ππ62B +=，即π3B =时，max (sin sin )B C +=所以sin sin B C +20．(1)ππ5000,044S αα=+-<<；(2)π8α=，2max 5000(m )S =.【分析】（1）根据给定的图形，用α的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答.（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，在Rt OBC △中，π2OBC ∠=，则sin 100sin AD BC OC POC α==∠=，cos 100cos OB OC POC α=∠=，在Rt OAD △中，ππ,24OAD POQ ∠=∠=，则OA AD =，因此100(cos sin )AB OB OA αα=-=-，100sin 100(cos sin )S AB BC ααα=⋅=⋅-2π10000(sin cos sin )5000(sin 2cos 21))50004αααααα=-=+-=+-，所以面积S 表示为角α的函数是ππ)5000,044S αα=+-<<.（2）由（1）知，当π04α<<时，ππ3π2444α<+<，则当ππ242α+=，即π8α=时，max π[sin(214α+=，所以当π8α=时，2max 5000(m )S =.21．(1)1a =-(2)最小值为-5，x 的取值构成的集合为π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x 的集合．【详解】（1）()2cos 22sin 212sin 2sin 2f x x a x a x a x a=++=-++22sin 2sin 21x a x a =-+++，令[]sin 1,1t x =∈-，则2()2221f t t at a =-+++，对称轴02a t =，当012at =≤-即2a ≤-时，2()2221f t t at a =-+++在[]1,1t ∈-单调递减，所以max ()(1)22211f t f a a =-=--++=-不满足题意；当112a-<<即22a -<<时，2()2221f t t at a =-+++在1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭单调递增，,12a ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，所以22max1()()21222a a f t f a a ==-+++=-，即2430a a ++=解得1a =-或3a =-（舍）；当012at =≥即2a ≥时，2()2221f t t at a =-+++在[]1,1t ∈-单调递增，所以max 1()(1)22212f t f a a ==-+++=-，解得18a =不满足题意，综上1a =-.（2）由(1)可得2()221f t t t =---在11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭单调递增，1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦单调递减，所以当1t =时函数有最小值为(1)2215f =---=-，此时sin 1t x ==，则x 的取值构成的集合为π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.22．(1)(,ln 2]-∞；(2)37(,]49【分析】（1）根据给定条件，解指数不等式作答.（2）求出0e x 的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.【详解】（1）函数()()e R x f x x =∈，则不等式()()26f x f x +≤化为：2e e 6x x +≤，即2e e 60x x +-≤，(e 3)(e 2)0x x +-≤，而e 0x >，因此0e 2x <≤，解得ln 2x ≤，所以原不等式的解集是(,ln 2]-∞（2）依题意，()e e x x g x -=+，当0x ∈时，0e x ∈，0000002202202))e e )e e 1e e )1(2(1((x x x x x x g x k g x k ---+=++=+⋅-⇔=-，则0021)(1e e x x k -=-+，令0e x t =∈，001e e ()x xh t t t-+==+，(1212,,t t t t ∀∈<，1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--，因为121t t <<，则121210,10t t t t -<->，因此12()()0h t h t -<，即12()()h t h t <，则有函数()h t在(上单调递增，于是当t ∈时，122t t <+≤，即002e e 2x x -<+≤，00294(e e )2x x -<+≤，0022119e e )4(x x -≤<+，从而3749k <≤，所以实数k 的取值范围是37(,]49．【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.。

2023-2024学年广东省广州市九区联考高一上学期期末教学质量监测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知集合只有一个元素，则实数a的值为()A.1或0B.0C.1D.1或23.方程的根所在的区间是()A. B. C. D.4.设，，，则()A. B. C. D.5.函数的图象大致为()A. B.C. D.6.函数在一个周期内的图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度7.函数若，，则a的值为()A.4B.4或C.2或D.28.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，有一种茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：放置时间01234茶水温度为了描述茶水温度y与放置时间x min的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为参考数据：，()A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题为真命题的是()A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则10.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如令函数，则()A.B.的最大值为0，最小值为C.D.与的图象没有交点11.已知函数，则()A.若，则B.不等式的解集是C.函数，的最小值为D.若，且，则12.已知函数，则()A.当时，的最小值为0B.若存在最小值，则a的取值范围为C.若是减函数，则a的取值范围为D.若存在零点，则a的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ） {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}A ={4,5,6}B =()U A B = ðA ． B ． C ． D ．{1}{1,5}{3}{1,3}【答案】D【分析】根据集合的补集与交集运算即可.【详解】解：已知全集，集合，， {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}A ={4,5,6}B =所以，则. {}1,2,3U B =ð(){}1,3U A B = ð故选：D.2．“”是“”的（ ） 0x =20x x +=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件定义判断.【详解】充分性：当时，，充分性成立；0x =20x x +=必要性：解得或，必要性不成立；故为充分不必要条件 20x x +=0x ==1x -故选：A3．已知实数a ，b ，c 满足，则下列不等式一定成立的是（ ） 0a b c >>>A ． B ．C ．D ． 22a c b c >c c b a >b a c c<11a b b a+>+【答案】D【分析】利用作差法逐项判断可得答案.【详解】因为a ，b ，c 满足，所以，，，0a b c >>>0a b ->0ab >0a b +>对于A ，，所以，故A 错误；()()220a c b c c a b a b -=+-<22a c b c <对于B ，，所以，故B 错误；()0--=<c a b c c b a abc c b a <对于C ，，所以，故C 错误； 0b a b ac c c --=>b a c c>对于D ，，所以，故D 正确；()11110⎛⎫⎛⎫+-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a ab 11a b b a +>+故选：D.4．已知，则下列结论正确的是（ ）3sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ． B ．4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ． D ． 4tan 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭24sin 35πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】C【分析】由诱导公式、同一三角函数的平方关系和商数关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，，所以A 不正确；4cos 35πθ⎛⎫-==± ⎪⎝⎭对于B ，，3cos =cos =cos =sin 6232335ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以B 不正确；对于C ，由B 知，，所以，3cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4sin 65πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭则，所以C 正确；4tan 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭对于D ，. 23sin sin sin sin 33335ππππθπθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以D 不正确. 故选：C. 5．函数，的值域是（ ） ()222x xf x -=[]1,2x ∈-A ． B ．C ．D ．(]8-∞，1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(]0,8【答案】B【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域.()[]222,1,g t x x x ∈-=-()g t ()f x 【详解】令，()[]222,1,g t x x x ∈-=-则， ()()min max (1)1,(1)3,g t g g t g ==-=-=所以()[1,3]g t ∈-又在上单调递增，2x y =R 所以()1322f x -≤≤即()182f x ≤≤故选：B.6．设函数，若关于x 的方程有4个不等实根，则a 的取值范围是()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =（ ） A ． B ．C ．D ．(0,2][0,2)(0,2)[0,2]【答案】A【分析】根据图象的对称变换画出函数的图象，数形结合即可求解. ()f x 【详解】函数的图象如图所示，()fx关于x 的方程有4个不等实根，即可转化为函数与直线有4个不同的交()f x a =()y f x =y a =点，所以. 02a <≤故选：A.7．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为x y ､1110x y +-=0xy >490x y t +-≥t （ ） A ．9 B ．25C ．16D ．12【答案】B【分析】根据题目所给条件可知，实数均满足是正数，再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实x y ､数的最大值.t 【详解】由得，1110x y +-=111x y +=又因为，所以实数均是正数，0xy >x y ､若不等式恒成立，即；490x y t +-≥min (49)t x y≤+， 114949132954x y y x x y y x ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭（）当且仅当时，等号成立；55,23x y ==所以，，即实数的最大值为25. min (49)25t x y ≤+=t 故选：B.8．函数是定义在R 上的偶函数，且当时，的解()f x 0x ≥()f x =()()1f x x -≥集为（ ） A ． B ．C ．D ．(],1-∞-1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,0-11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先根据函数的解析式可得，再结合偶函数的性质与单调性求解即()()2,R f x x x =∈可.【详解】因为是定义在R 上的偶函数，故当时，()f x 0x <()()f x f x =-=又当时，； 0x ≥()()2f x x ===当时，， 0x <()()2f x x ===故.()()2,R f x x x =∈故即，()()1f x x -≥()()12f x f x -≥结合偶函数性质与的单调性可得，()f x =12x x -≥即，，解得.()()2212x x -≥()()3110x x -+≤11,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．已知函数的图象关于点对称，则（ ）()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π,06⎛⎫⎪⎝⎭A ．π6ϕ=B ．直线是曲线的一条对称轴 5π12x =()y f x =C ．()()πf x f x +=D ．在区间上单调递增()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC【分析】根据求得，结合三角函数的对称性、周期性、单调性求得正确答案.π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ【详解】依题意，ππsin 063f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于，所以，A 选项错误.ππ4π0π,333ϕϕ<<<+<π2ππ,33ϕϕ+==则，()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以直线是曲线的一条对称轴，B 选项正确.5π5π2π3πsin sin 112632f ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π12x =()y f x =的最小正周期，所以，C 选项正确. ()f x 2ππ2T ==()()πf x f x +=由得，所以不是的递增区间，D 选项错误.π02x <<2π2π5π2333x <+<π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 故选：BC10．下列说法正确的是（ ） A ．任取，都有 x ∈R 43x x >B ．函数的最大值为113xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数（且）的图象经过定点()1xf x a =+0a >1a ≠()0,2D ．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称3xy =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭x 【答案】BC【分析】A 选项：利用特殊值的思路，令，即可得到A 不成立；B 选项：根据函数0x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性求最大值即可；C 选项：将代入到的解析式中验证即可；D 选项：求出函数()0,2()f x 图象关于轴对称后的解析式即可判断D 选项.3x y =x 【详解】A 选项：当时，，故A 错；0x =00431==B 选项：函数在上单调递增，上单调递减，所以1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩(),0∞-()0,∞+，故B 正确； 0max113y ⎛⎫== ⎪⎝⎭C 选项：令，则，所以的图象恒过，故C 正确； 0x =()02f =()f x ()0,2D 选项：函数图象关于轴对称后的解析式为，故D 错.3xy =x 133xxy ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭故选：BC.11．下列说法正确的是（ ）．A ．命题“，”的否定为“，” x ∀∈R 210x x ++>x ∃∈R 210x x ++>B ．“或”是“”的必要不充分条件 2x ≠3y ≠5x y +≠C ．已知，，则,,a b c ∈R 22ac bc <a b <D ．当时，的最小值是π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin sin x x +【答案】BC【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、不等式的性质、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，命题“，”的否定为“，”， A 选项错误. x ∀∈R 210x x ++>x ∃∈R 210x x ++≤B 选项，若“或”，如，，则，即“”不成立； 2x ≠3y ≠1x =4y =5x y +=5x y +≠若“”，则“或”，5x y +≠2x ≠3y ≠所以“或”是“”的必要不充分条件，B 选项正确、 2x ≠3y ≠5x y +≠C 选项，由于，，则，所以，C 选项正确. ,,a b c ∈R 22ac bc <20c >a b <D 选项，，，()π0,,sin 0,12x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭2sin sin x x +≥=但D 选项错误. 2sin ,sin sin x x x==故选：BC12．设，关于函数，给出下列四个叙述，其()31xf x =-()()()()()22R g x f x m f x m m ⎡⎤=-++∈⎣⎦中正确的有（ ）A ．任意，函数都恰有3个不同的零点 0m >()g xB ．存在，使得函数没有零点 R m ∈()g xC ．任意，函数都恰有1个零点 0m <()g xD ．存在，使得函数有4个不同的零点 R m ∈()g x 【答案】AC【分析】画出函数的图像，利用函数的零点()31xf x =-转化为函数图像的交点逐项分析.【详解】如图的图像：()31xf x =-令()()0f x t t =≥所以化为：()()()()()2[]2R g x f x m f x m m =-++∈，()()22h t t m t m =-++令，()0h t =由()222440m m m ∆+-=+>=所以有两个不同的实数根，()220t m t m -++=设为：，12,t t 所以，12122,t t m t t m +=+=由 ()()()12121211110t t t t t t --=-++=-<所以121t t <<选项A ：任意， 则如图所示：0m >有两个交点，即此时原函数有两个零点， 1()y t f x ==有一个交点，即此时原函数有一个零点， 2()y t f x ==所以共3个不同的零点，故A 选项正确； ()g x 当时，，此时， 0m =120t t =122t t +=10t =22t =故此时函数有2个零点当时，由选项A 知有3个不同的零点； 0m >当时，，0m <120t t m =<有，此时函数有1个零点， 120,1t t <>所以函数至少有1个零点，故B 不正确； 由选项B ，可知C 正确；若存在，使得函数有4个不同的零点， R m ∈()g x 如图：则即：1201,01t t <<<<有两个交点，即原函数有两个零点， 1()t f x =有两个交点，即原函数有两个零点， 2()t f x =共4个零点；此时，121202,0t t t t <+<>当时，矛盾； 0m =12122,0t t t t +==当时，矛盾； 0m >122t t +>当时，矛盾， 0m <120t t <故D 选项错误. 故选：AC.三、填空题 13．____________. 5π19πcostan 225sin 36+︒+=【答案】1【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值，直接得到答案.【详解】依题意，根据诱导公式，原式. π7π11cos tan 45sin113622⎛⎫⎛⎫=-++=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：114．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为()nf x x =()2,8()()210f x f x +-<x __________. 【答案】}{1x x <-【分析】先求出函数的解析式，再利用其单调性解不等式即可.【详解】因为幂函数的图像过点，所以，，易知函数在上()n f x x =(2,8)3n =3()f x x =3()f x x =R 是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得()()210f x f x +-<()()21f x f x <-21x x <-，故取值范围为.1x <-}{1x x <-故答案为： }{1x x <-15．下列命题中：①与互为反函数，其图象关于对称; 2x y =2log y x =y x =②函数的单调递减区间是；1y x=(,0)(0,)-∞+∞ ③当，且时，函数必过定点；0a >1a ≠()23x f x a -=-()2,2-④已知，且，则实数.()231a bk k ==≠121a b +=8k =上述命题中的所有正确命题的序号是______. 【答案】①③【分析】根据反函数、单调性、指数型函数图象所过定点、对数运算等知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于①，因为与互为反函数，其图象关于对称；x y a =log a y x =y x =所以当时，与互为反函数，其图象关于对称，故命题①正确； 2a =2x y =2log y x =y x =对于②，由反比例函数可知，函数的单调递减区间是，故②错误；；1y x=(,0),(0,)-∞+∞对于③，因为，所以令，即，则，()23x f x a -=-20x -=2x =()22232f a -=-=-故过定点，故命题③正确；()f x ()2,2-对于④，因为，所以，()231a bk k ==≠23log ,log a k b k ==所以， 231111log 2,log 3log log k k a k b k====故由得，即，即，121a b+=log 22log 31k k +=()2log 231k ⨯=log 181k =所以，故命题④错误. 18k =故答案为：①③16．若对于任意，任意，使得不等式成立，则实数[]1,1m ∈-R y ∈()23613x m x y y +--<-+-x的取值范围是__________．【答案】()4,2-【分析】应用恒成立问题与最值的关系转化两个恒成立,再解不等式即可.【详解】因为对于任意,任意，使得不等式成立,[]1,1m ∈-R y ∈()23613x m x y y +--<-+-设,则()13t y y y =-+-()()2min 36x m x t y +--<又因为,所以.()()()13132t y y y y y =-+-≥---=()min 2t y =所以即()2362x m x +--<()2380x m x +--<设,()()223838g m x m x mx x x =+--=-++-对于任意,,应用一次函数性质可知[]1,1m ∈-()2380g m mx x x =-++-< ()()2213801380g x x x g x x x ⎧=-++-<⎪⎨-=++-<⎪⎩即得,解得 22280480x x x x ⎧+-<⎨+-<⎩2242x x ⎧--<<⎪⎨-<<⎪⎩则实数的取值范围是. x ()4,2-故答案为: .()4,2-四、解答题17．若集合，． {}24A x x =-<<{}0B x x m =-<(1)若，求．3m =A B ⋂(2)若，求实数m 的取值范围． A B A = 【答案】(1) {}23x x -<<(2){}4m m ≥【分析】根据交集和子集的定义，即可求解.【详解】（1）解：当时，，3m ={}3B x x =<因为，所以；{}24A x x =-<<{}23A B x x ⋂=-<<（2）解：由得,A B A = A B ⊆所以m 的取值范围是.{}4m m ≥18．已知. cos()sin()()3sin cos tan()22f πααπαππααπα---=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)化简；()f α(2)若角为第二象限角，且，求的值. α1sin 3α=()f α【答案】(1) 1tan α-(2)()f α=【分析】（1）由诱导公式化简；（2）由平方关系求得，再由商数关系得，从而得结论．cos αtan α【详解】（1）. cos()sin()()3sin cos tan()22f πααπαππααπα---=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1cos sin (tan )tan αααααα-==---（2）∵，，角为第二象限角， 1sin 3α=22sin cos 1αα+=α∴，∴cos α=tanα=∴()f α=19．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．()*n n ∈N ()2102n n -(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额） =总盈利额年度【答案】(1)3(2)方案二更合理，理由见解析【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出()f n n ()f n 结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.【详解】（1）设为前年的总盈利额，单位：万元；()f n n 由题意可得，()()()()2298102160101001601028f n n n n n n n n =---=-+-=---由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；()0f n >28n <<*n ∈N 3（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，()()221010016010590f n n n n =-+-=--+当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；5n =()f n 909020110+=方案二：由（1）可得，平均盈利额为， ()210100160161010010020f n n n n n n n -+-⎛⎫==-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 16n n =4n =4n =()80f n =此时处理掉设备，总利润为万元；8030110+=综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.11020．已知函数的最小正周期． ()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(1)求函数单调递增区间和对称中心；()f x (2)求函数在上的值域． ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦【答案】(1)答案见解析(2)[]1,2-【分析】（1）先由最小正周期求得，再结合的性质即可求得所求；ωsin y x =（2）利用整体法及的单调性即可求得在上的值域． sin y x =()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）因为的最小正周期， ()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π所以，得，故， 2ππω=2ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则由得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈由得， π2π,Z 6x k k +=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以单调递增区间为，对称中心为. ()f x ()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()ππ,0Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2）因为，所以， π02x ≤≤ππ7π2666x +≤≤所以，故，即， 1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()12f x -≤≤所以在上的值域为. ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦[]1,2-21．已知是定义在上的奇函数，且当时，.()f x R 0x >()13x f x =-(1)求函数的解析式；()f x (2)当时，方程有解，求实数的取值范围. []2,8x ∈()()222log 4log 0f x f a x +-=a 【答案】(1)； 13,0()13,0x x x f x x -⎧-≥=⎨-+<⎩(2).[]4,5【分析】（1）当时，则，再利用为奇函数，和0x <()0,13x x f x -->-=-()f x ()()f x f x =--，即可求出答案.(0)0f =（2）利用函数是奇函数把方程化为，再利用()()222log 4log 0f x f a x +-=()()222log log 4f x f a x =-是上的单调减函数得，在上有解. 再令，则()f x R 222log log 40x a x -+=[]2,8x ∈2log t x =在有解.分离参数有解问题，即可求出答案.240t at -+=[]1,3t ∈【详解】（1）当时，则，0x <()0,13x x f x -->∴-=-是奇函数，.()f x ()()13x f x f x -∴=--=-+又当时，0x =(0)0f =. 13,0()13,0x x x f x x -⎧-≥∴=⎨-+<⎩（2）由， ()()222log 4log 0f x f a x +-=可得. ()()222log 4log f x f a x =--是奇函数，()f x .()()222log log 4f x f a x ∴=-又是上的单调减函数，()f x R 所以在有解. 222log log 40x a x -+=[]2,8x ∈令，则在有解.[]2log ,2,8t x x =∈[]21,3,40t t at ∈∴-+=[]1,3t ∈即在有解， 4a t t=+[]1,3t ∈设易知函数在（1,2）递减，（2,3）递增，故值域为 ∴()4,g t t t=+[]4,5.实数的取值范围为∴a []4,522．已知函数与，其中是偶函数． ()()()4log 41x f x kx k =++∈R ()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭()f x (1)求实数的值及的值域；k ()f x (2)求函数的定义域；()g x (3)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．()f x ()g x a 【答案】(1)，函数的值域为 12k =-()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)答案见解析(3){}()31,-⋃+∞【分析】（1）利用偶函数的定义可求得实数的值，利用对数函数的单调性结合基本不等式可求得k 函数的值域；()f x （2）由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性可解得4203x a a ⋅->a 函数的定义域；()g x（3）令，由可知关于的方程有且只有一个正根，对实数20x t =>()()f x g x =t ()241103a t a ---=的取值进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式（组），综a a 合可得出实数的取值范围.a 【详解】（1）解：由函数是偶函数可知，()f x ()()f x f x -=所以，，()()44log 41log 41x x kx kx -++=+-所以，， ()()()444444141142log log log log 441441441x x x xx x x x x x kx x ---+++=====-+++则，故，所以， 21k =-12k =-()()()4441log 41log 41log 22x x x f x x =+-=+-， ()(444411log log 22log 22x x x x -+==+≥=当且仅当时，等号成立，故函数的值域为. 0x =()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：对于函数，则有. ()g x 4203x a a ⋅->当时，，不合乎题意； 0a =4203x a a ⋅-=当时，，得； 0a >423x >24log 3x >当时，，得. a<0423x <24log 3x <综上所述，当时，函数的定义域为； 0a >()g x 24log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，函数的定义域为. a<0()g x 24,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（3）解：函数与的图象有且只有一个公共点，()f x ()g x 即方程有且只有一个实根， ()4414log 41log 223x x x a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭即方程有且只有一个实根， 142223x x x a a +=⋅-令，则方程有且只有一个正根. 20x t =>()241103a t at ---=①当时，，不合题意; 1a =34t =-②当时，由得或， 1a ≠()216Δ4109a a =+-=34a =3-若，则不合题意；若，则满足要求. 34a =2t =-3a =-12t =若，可得或. ()2164109a a ∆=+->3a <-34a >则此时方程应有一个正根与一个负根， ()241103a t a ---=所以，，解得，因为或，故. 101a -<-1a >3a <-34a >1a >综上，实数的取值范围是a {}()31,-⋃+∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。

一、单选题1．关于命题“，”，下列判断正确的是（ ） x ∃∈N 220x x +=A ．该命题是全称量词命题，且是真命题 B ．该命题是存在量词命题，且是真命题 C ．该命题是全称量词命题，且是假命题 D ．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断.0x =【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题. 0x =220x x +=故选:B.2．设集合，，则（ ） {}2,1,0,1,2A =--(){}230B x x x =+≤A B = A ． B ．C ．D ．{}1,0-{}1,2{}2,1,0--{}0,1,2【答案】A【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.B A B ⋂【详解】因为，，则.(){}323002B x x x x x ⎧⎫=+≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭{}2,1,0,1,2A =--{}1,0A B ⋂=-故选：A.3．已知幂函数的图象过点，则（ ） ()f x (2,16)()f x =A ． B ．C ．D ．4x 3x 6x 5x 【答案】A【分析】设，代入点，即可得，即可得答案. ()f x x α=(2,16)4α=【详解】解：设，则， ()f x x α=41(2)262f α===得， 4α=所以． 4()f x x =故选：A.4．已知，则（ ） 0.1,cos 2,2a ln b c π-===A ． B ．C ．D ．a b c >>a c b >>b a c >>b c a >>【答案】B【分析】根据对数函数，指数函数，余弦函数的性质，求出的范围，即可比较出大小. ,,a b c 【详解】因为，所以． 0.1ln π120cos2->>>>a c b >>故选：B5．若定义在上的函数满足则“为无理数”是“2023”的R ()f x ()2023,,0,,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数x ()()f f x =（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合已知条件分析判断即可. 【详解】当为无理数时，为有理数，则. x ()0f x =()()2023f f x =当为有理数时，为有理数，则. x ()2023f x =()()2023f f x =所以当时，，()()2023f f x =x ∈R 故“为无理数”是“”的充分不必要条件. x ()()2023f f x =故选：A 6．函数的部分图像大致为（ ）()22111x f x x +=-+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项. 【详解】函数的定义域为，，因此()22111x f x x +=-+R ()()()2221211111x x f x f x x x -+-+-=-=-=+-+是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C ，D 不满足； ()f x R y 又，所以选项B 不满足，选项A 符合题意. ()1102f =>故选：A7．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）（参考数据：） lg 20.3,lg 30.48≈≈A ．第5代种子 B ．第6代种子 C ．第7代种子 D ．第8代种子【答案】C【分析】设第代种子的数量为，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.x 115x -【详解】设第代种子的数量为，由题意得，得．因为x 115x -171510x -≥715log 101x ≥+，故种子数量首次超过1000万粒的是第7715lg1077log 101111 6.9lg15lg 3lg 5lg 31lg 2+=+=+=+≈++-7代种子． 故选：C. 8．函数的零点所在区间为（ ） ()21log 12x f x x =-+A ． B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】C【分析】根据函数的单调性和零点存在定理，即可求得函数的零点所在的区间. ()f x 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 12xy =()0,∞+2log y x =-()0,∞+所以在上单调递减.()f x ()0,∞+， ()2131log 11022f =-+=>当时，， ()0,1x ∈()()10f x f >>， ()22112log 21024f =-+=>， ()223193log 31log 328f =-+=-因为，所以，3222293log 2log log 382<==<()293log 308f =-<，()241154log 410216f =-+=-<所以，所以的零点所在区间为. ()()230f f <()21log 12xf x x =-+()2,3故选：C ．二、多选题9．下列命题正确的是（ ） A ．若，，则 B ．若，则 0a b >>0m >a b m m>1a b <<33a b >C ．若且，则 D ．若正数a ，b 满足，则0x >1x ≠1ln 2ln x x +≥2a b +=112a b+≥【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项. 【详解】由不等式的性质可知，A 正确，B 错误； 当时，，C 错误； ()0,1x ∈1ln 0ln x x+<正数a ，b 满足，则， 2a b +=()1111222221121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立，D 正确. 1a b ==故选：AD.10．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） αPA ．B ．C ．D ．tan α=sin()α-=cos(π)α-=πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】AB【分析】先利用三角函数定义求得，进而求得的值判断选项A ；求得sin αα==tan α的值判断选项B ；求得的值判断选项C ；求得的值判断选项D.sin()α-cos(π)α-2πcos α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】角的终边与单位圆的交点为 αP则A 判断正确； sin tan ααα===所以B 判断正确； ()sin sin αα-=-=C 判断错误； ()cos πcos αα-=-=D 判断错误.πcos sin 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭故选：AB11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）()221f x ax bx =--A ．若是偶函数，则()f x 0b =B ．若的解集是，则 ()0f x <()1,1-1b a =C ．若，则恒成立1a =()0f x >D ．，，在上单调递增 0a ∀≤0b <()f x (),0∞-【答案】ABD【分析】利用函数奇偶性的定义求出的值，可判断A 选项；利用二次不等式的解集与系数的关系b 可判断B 选项；当时，计算可判断C 选项；利用一次函数与二次函数的单调性可判断D 选1a =∆项.【详解】对于A 选项，函数的定义域为，若函数为偶函数，则， ()f x R ()f x ()()f x f x -=即，即对任意的恒成立，则，A 对； 222121ax bx ax bx +-=--40bx =x ∈R 0b =对于B 选项，若不等式的解集为，()0f x <()1,1-则且、为方程的两根，则，解得，故，B 对；0a >1-1()0f x =111211aba ⎧-⨯=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩10a b =⎧⎨=⎩1b a =对于C 选项，若，则，，1a =()221f x x bx =--2Δ440b =+>故不恒成立，C 错；()0f x >对于D 选项，当时，因为，则在上单调递增， 0a =0b <()f x (),0∞-当时，函数的对称轴为直线且， a<0()f x b x a =0ba>由二次函数的单调性可知，函数在上单调递增， ()f x (),0∞-因此，，，在上单调递增，D 对. 0a ∀≤0b <()f x (),0∞-故选：ABD.12．函数满足，，，则（ ）()f x ()()22f x f x x -+=()()118f x f x x +--=x ∈R A ．B ． ()24f =()()3118f f +=C ．为奇函数D ．()2y f x x =-()()20f x f x ++≥【答案】BCD【分析】利用赋值法可判断AB 选项；令，利用函数奇偶性的定义可判断C 选()()2g x f x x =-项；根据已知条件推导出，再结合以及等式的可加性可()()288f x f x x +--=+()()22f x f x x +-=判断D 选项.【详解】在等式中，令，可得，()()22f x f x x +-=0x =()00f =在等式中，令，可得，A 错；()()118f x f x x +--=1x =()()2088f f =+=在等式中，令，可得，①()()22f x f x x +-=1x =()()112f f +-=在等式中，令，可得，② ()()118f x f x x +--=2x =()()3116f f --=①②可得，B 对；+()()3118f f +=令，其中，则，()()2g x f x x =-x ∈R ()()()()220g x g x f x f x x +-=+--=即，故函数为奇函数，C 对；()()g x g x -=-()2y f x x =-因为，则，()()118f x f x x +--=()()()()()21128188f x f x f x f x x x +--+=+--=+=+⎡⎤⎣⎦又因为，()()22f x f x x +-=上述两个等式相加可得，D 对. ()()()222288220f x f x x x x ++=++=+≥故选：BCD.三、填空题13．______.325661log 5log 2log 2log 182-⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭【答案】9【分析】利用指数、对数的运算性质以及换底公式计算可得所求代数式的值.【详解】原式. ()36ln 5ln 22log 2188129ln 2ln 5=-⨯+⨯=-+=故答案为：.914．写出一个同时具有下列性质①②的函数：______．()f x ①对、，；②在其定义域内单调递增． 1x ∀20x >()()()1212f x x f x f x =+()f x 【答案】（答案不唯一，均满足） ()2log f x x =()()log 1a f x x a =>【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性可得出结果. 【详解】取，、，则()2log f x x =1x ∀()20,x ∈+∞，满足①，()()()()12212212212log log log f x x x x x x f x f x ==+=+在定义域内单调递增满足②，()2log f x x =()0,∞+故答案为：（答案不唯一，均满足）．()2log f x x =()()log 1a f x x a =>15．《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台.诗里的叠扇，就是折扇.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆1S 心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与时，扇面为“美观扇面”.若扇面为θ2S 1S 2S“美观扇面”，扇形的半径10，则此时的扇形面积为__________.R =【答案】(503π【分析】根据扇形的面积公式结合题意列方程求出，从而可求出. θ1S 【详解】因为与所在扇形的圆心角分别为，1S 2S ,2θπθ-所以. ()2122121222R S S R θθπθπθ⋅⋅==--⋅由，得，2θπθ=-(3θπ=所以.((2111310050322S Rθππ=⋅⋅=⨯⨯=故答案为：(503π16．若存在实数、，使得函数在区间上单调递增，且a []1,9b ∈()()9100f x x x x=+->[],a b ()f x 在区间上的取值范围为，则的取值范围为______. [],a b [],ma mb m 【答案】416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】当时，可得出，分析函数在区间上的单调性，可得19x ≤≤()910f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()f x []1,9出，根据单调性可得，则关于的方程在上至少有两个不等[][],1,3a b ⊆()()f a maf b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩x ()f x mx =[]1,3的实根，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，m m 解之即可.【详解】当时，， 19x ≤≤()()2199109100x x x x x x x x---++-==≤所以，当时， ，19x ≤≤()991010f x x x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x []1,3[]3,9因为存在实数、，使得函数在区间上单调递增， a []1,9b ∈()()9100f x x x x=+->[],a b 则，即，[][],1,3a b ⊆13a b ≤<≤因为在区间上的取值范围为，则，()f x [],a b [],ma mb ()()f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以，方程在上至少有两个不等的实根，()f x mx =[]1,3由可得，()f x mx =()211090m x x +-+=令，则函数在上有两个不等的零点，()()21109g x m x x =+-+()g x []1,3①当时，即当时，在上单调递减， 10m +≤1m ≤-()g x []1,3此时，函数在上至多只有一个零点，不合乎题意；()g x []1,3②当时，即当时，因为函数在上有两个零点，10m +>1m >-()g x []1,3所以，，解得.()()()Δ100361051311039120m m g m g m ⎧=-+>⎪⎪<<⎪+⎨⎪=≥⎪=-≥⎪⎩41639m ≤<综上所述，实数的取值范围是.m 416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：.416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.四、解答题17．已知非空集合．{}{}232,280A x a x a B x x x =-<<=-->(1)若，求．0a =()R A B ð(2)若“”是“”的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围． x A ∈x B ∈【答案】(1) (){}R 34A B x x ⋃=-<≤ð(2) (1,7)-【分析】（1）先分别化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解；,A B （2）根据题意可知不是的子集，也不是的子集，由此列出相应的不等式组，解得答案. A B B A 【详解】（1）因为，所以，0a ={}{}3230A x a x a x x =-<<=-<<因为或，{}{}{2280(4)(2)02B x x x x x x x x =-->=-+>=<-}4x >所以， {}R 24B x x =-≤≤ð故．(){}R 34A B x x ⋃=-<≤ð（2）因为“”是“”的既不充分也不必要条件， x A ∈x B ∈所以，同时不是的子集，也不是的子集， A ≠∅A B B A 因为，，所以，则， A ≠∅{}32A x a x a =-<<32a a -<3a >-又或，所以必不是的子集，{2B x x =<-}4x >B A 因为不是的子集，所以，解得，A B 2234a a >-⎧⎨-<⎩17a -<<又，故， 3a >-17a -<<所以a 的取值范围为． (1,7)-18．已知角满足.αcos 7sin 0αα+=(1)若，求的值； π02α-<<sin ,cos αα(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.βαx sin 3cos 2sin cos ββββ-+【答案】(1)， sin α=cos α(2). 209-【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解； （2）求出，由弦化切将变形为求解.1tan 7β=sin 3cos 2sin cos ββββ-+tan 32tan 1ββ-+【详解】（1）因为，所以. π02α-<<sin 0,cos 0αα<>由，得， cos 7sin 0αα+=cos 7sin αα=-又因为，所以，22sin cos 1αα+=250sin 1α=sin α=cos α=（2）因为角的终边与角的终边关于轴对称， βαx 所以，2π,Z k k βα=-+∈由，得，cos 7sin 0αα+=1tan 7α=-则， 1tan tan 7βα=-=所以. 13sin 3cos tan 320712sin cos 2tan 19217ββββββ---===-++⨯+19．已知函数，.()2f x ax bx =+()0,1a ∈(1)若，且，求的最小值； ()11f =0b >11a b+(2)若，求关于的不等式的解集. ()11f =-x ()10f x +>【答案】(1)4(2)11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或【分析】（1）由已知可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得1a b +=11a b+a b +的最小值； 11a b+（2）由已知可得，可得出，由题意可得，利用二次不等1b a =--()()()1110f x ax x +=-->11a>式的解法解原不等式即可.【详解】（1）解：因为，，，()0,1a ∈0b >()11f a b =+=所以，，当且仅当时，等号成立，()1111224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭12a b ==因此，的最小值为. 11a b+4（2）解：，可得，则，()11f a b =+=-1b a =--()()()()2111110f x ax a x ax x +=-++=-->，则，解不等式可得或.()0,1a ∈ 11a>()()110ax x -->1x <1x a >因此，不等式的解集为.()10f x +>11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或20．已知函数.()()22ln 12nf x x x =+-+(1)证明：当时，在上至少有两个零点；1n =()f x ()0,∞+(2)当时，关于的方程在上没有实数解，求的取值范围. 2n =x ()f x m =[]1,2m 【答案】(1)证明见解析； (2). ()(),362ln 2,-∞⋃++∞【分析】（1）通过零点存在性定理即可判断零点个数；（2）易判断函数的单调性，求出的值域，结合题设条件，即可求得的取值范围.()f x ()f x m 【详解】（1）当时，，1n =()22ln 2f x x x =-+因为，，，2110e e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110f =>()2e 4e 0f =-<所以，，()110e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()1e 0f f <因此，，，，即在上至少有两个零点.11,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()21,e x ∈()10f x =()20f x =()f x ()0,∞+（2）当时，，易知在上单调递增.2n =()22ln 2f x x x =++()f x []1,2又，，即的值域为, ()13f =()262ln 2f =+()f x []3,62ln 2+且关于的方程在上没有实数解， x ()f x m =[]1,2所以的取值范围为.m ()(),362ln 2,-∞⋃++∞21．对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x ，满足，则称为“类指数()f x ()2xf x =()f x 函数”．(1)已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由； ()123xg x =-()g x (2)若为“类指数函数”，求a 的取值范围．()21x ah x a =--【答案】(1)不是 “类指数函数” ()g x (2) ()3-+【分析】（1）是否为“类指数函数”，可以转化为方程是否存在两个不同的实数()g x ()()0f x g x -=根；（2）是否为“类指数函数”， 转化为方程是否存在两个不同的实数根，进一步()h x ()()0f x h x -=化简、换元转化为一元二次方程求解. 【详解】（1）若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x 满足方程()123xg x =-，. ()()0f x g x -=()()1223x xf xg x -=-+由于函数与在R 上均单调递增，所以在R 上均单调递增，至多有一个零2x y =13xy =-()()f x g x -点，所以不是 “类指数函数”. ()g x （2）若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程()21xah x a =--()()0f x h x -=有两个不同的实数根，2021x x aa -=--整理得，()()22120x x a a -+-=设，则方程有两个不等的正根，20x t =>()210t a t a -+-=，由，解得或()21212Δ140100a a t t a t t a ⎧=++>⎪+=+>⎨⎪=->⎩()2Δ140a a =++>3a <--3a >-+由，解得；由，解得. 1210t t a +=+>1a >-120t t a =->a<0所以.30a -+<故a 的取值范围． ()3-+22．已知是定义在上的奇函数，其中、，且. ()24x af x x b-=+R a b ∈R ()21f =(1)求、的值；a b(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；()f x [)2,+∞(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求()222g x mx x m =-+-[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =的取值范围.m 【答案】(1)，0a =4b =(2)在上为减函数，证明见解析 ()f x [)2,+∞(3) []0,1【分析】（1）利用奇函数的性质可得出，再结合可求得、的值，然后验证出()00f =()21f =a b 函数为奇函数即可；()f x （2）判断出函数在上为减函数，然后任取、且，作差()f x [)2,+∞1x [)22,x ∈+∞12x x >，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； ()()12f x f x -()()12f x f x -（3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时()f x []2,4A ()g x []0,1B A B ⊆求实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分、、和四种情况m ()f x 0m =01m <≤12m <≤m>2讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案． ()g x 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，可得， ()24x a f x x b-=+R ()00af b =-=0a =则，则，解得，所以，，下面验证函数为奇()24x f x x b =+()28212f b ==+4b =()244x f x x =+()f x 函数.对任意的，，故函数的定义域为， x ∈R 244x +≥()244xf x x =+R 则，故函数为奇函数，合乎题意， ()()()224444xxf x f x x x --==-=-+-+()244x f x x =+因此，，.0a =4b =（2）解：函数在上单调递减，证明如下：()f x [)2,+∞任取、且，即，则，，1x [)22,x ∈+∞12x x >122x x >≥210x x -<124x x >则， ()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444440444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==<++++++所以，，故函数在上单调递减.()()12f x f x <()f x [)2,+∞（3）解：若对任意的，总存在，使得成立， []12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， ()f x []2,4()g x []0,1因为函数在上单调递减，()f x []2,4则当时，，， []2,4x ∈()()max 21f x f ==()()min 445f x f ==所以，记在区间内的值域为.()f x []2,44,15A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦①当时，在上单调递减，0m =()22g x x =-+[]0,1则，，得在区间内的值域为. ()()max 02g x g ==()()min 10g x g ==()g x []0,1[]0,1B =因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =②当时，，在上单调递减，且， 01m <≤11m≥()g x []0,1[)21,2m -∈则，，得在区间内的值域为， ()()max 02g x g m ==-()()min 10g x g ==()g x []0,1[]0,2B m =-因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =③当时，，在上单调递减，在上单调递增， 12m <≤1112m ≤<()g x 10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()()max02g x g m ==-()min 112g x g m m m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭()g x []0,1，所以，该不等式组无解；12,2B m m m ⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦142521m m m ⎧-+-≤⎪⎨⎪-≥⎩④当时，，在上单调递减，在上单调递增，2m >1102m <<()g x 10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()()max 10g x g ==()min 112g x g m m m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭()g x []0,1，不符合题意.12,0B m m ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦综上，实数的取值范围为.m []0,1【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，.()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，则；[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min max f x g x <（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x ()g x。

2023-2024学年广东省广州高一上册期末数学试题一、单选题1．“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【详解】当α是第四象限角时，3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈，即2α是第二或第四象限角.当324απ=为第二象限角，但32πα=不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A2．已知集合{}12A x x =->，集合{}10B x mx =+<，若A B A ⋃=，则m 的取值范围是（）A ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．1,0(0,1]3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】将集合A 化简，根据条件可得B A ⊆，然后分0m =，0m <，0m >讨论，化简集合B ，列出不等式求解，即可得到结果.【详解】因为1212x x ->⇒->或12x -<-，解得3x >或1x <-即{}31A x x x =><-或，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆当0m =时，B =∅，满足要求.当0m >时，则110mx x m+<⇒<-，由B A ⊆，可得111m m-≤-⇒≤，即01m <≤当0m <时，则110mx x m+<⇒>-，由B A ⊆，可得1133m m -≥⇒≥-，即13m -≤<综上所述，1,13m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:B.3．周期为π的函数cos()y x ωϕ=+0ω>0ϕπ<<的部分图像如图所示，则ϕ=（）A ．3π-B ．23πC ．6πD ．56π【正确答案】C【分析】根据函数周期求得2ω=，结合图像知()cos()063f ππϕ=+=，从而求得ϕ.【详解】函数周期为π，则2ω=，()cos()063f ππϕ=+=，则6k πϕπ=+，Z k ∈，又0ϕπ<<，则6πϕ=故选：C4．设函数()2log f x x x m =+-，若函数()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，则m 的取值范围是（）A ．7,54⎫⎛- ⎪⎝⎭B ．7,114⎫⎛- ⎪⎝⎭C ．9,54⎫⎛ ⎪⎝⎭D ．9,114⎫⎛ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】由()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上单调递增，结合零点存在性定理，函数()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，需1()04(8)0f f ⎧<⎪⎨⎪>⎩，求解即可.【详解】函数()2log f x x x m =+-在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上递增，则函数()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，需22111(log 0444(8)8log 80f m f m ⎧=+-<⎪⎨⎪=+->⎩，解得7114m -<<.故选：B.5．设函数2()1f x mx mx =--，若对于[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．1,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】将恒成立问题转化为函数在区间上的最值问题，故只需研究()f x 在[1,3]x ∈的单调性并求出其最小值，再解不等式即可.【详解】当0m =时，()1f x =-，由1m ->-，得1m >，不符合题意；当0m ≠时，函数()f x 的对称轴为12x =，当0m >时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递增，此时函数min ()(1)1f x f ==-，要使[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，只需1m ->-，解得1m >，所以1m >；当0m <时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递减，此时函数min ()(3)61f x f m ==-，要使[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，只需61m m ->-，解得17m >，不符合题意；综上：实数m 的取值范围是(1,)+∞.故选：B6．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为0T ，则经过一定时间t （单位：分钟）后的温度T 满足()01e a ha tT T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，h 为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.50≈，lg 50.70≈，lg11 1.04≈.）（）A ．4分钟B ．5分钟C ．6分钟D ．7分钟【正确答案】C【分析】根据已知条件求出参数h 的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果.【详解】根据题意可知25C a T =︒，080C T =︒，()01e a ha t T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即1t =，75C T =︒，所以()1175258025e h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得11e e 15010log log 5511h ==，则1e110log 11h =，所以要使得该茶降至55C ︒，即55C T =︒，则有()155258025e th⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得11e e306log log 5511t h ==，故1e1e 1e66log lg 116lg 6lg11lg 2lg 3lg1111log 101011lg10lg111lg11log lg 1111t h -+-=⨯====--0.30.5 1.04611.04+-==-，所以大约需要等待6分钟.故选：C.7．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()112,2f x f x f x ++-=+为偶函数，若()02f =，则1151()k f k ==∑（）A ．116B ．115C ．114D ．113【正确答案】C【分析】由()()112f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为4，再结合()2f x +为偶函数，可得()f x 也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.【详解】由()()112f x f x ++-=，得()()22f x f x ++=，即()()22f x f x +=-，所以()()()()42222f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，又()2f x +为偶函数，则()()22f x f x -+=+，所以()()()4f x f x f x =-=-，所以函数()f x 也为偶函数，又()()112f x f x ++-=，所以()()1+3=2f f ，()()242f f +=，所以()()()()12344f f f f +++=，又()()112f f +-=，即()212f =，所以()11f =，又()()022f f +=，()02f =，()20f ∴=，所以()()()()()()()()115112342812342820114k f k f f f f f f f =⎡⎤=+++⨯+++=⨯++=⎣⎦∑故选.C8．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（）A ．125B ．85C ．165D ．185【正确答案】A由一条对称轴和一个对称中心可以得到131264TkT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ，由() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可以得到191312122T ππ-≤，算出ω的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：131264TkT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ∴51244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭∴2(14)5k ω=+或2(34),5k k Zω=+∈∵()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴191312122T ππ-≤∴12222ππωω≤⋅⇒≤①当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴25ω=符合取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2ω=符合当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去②当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω=此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，舍去当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k ≥时，2ω>也舍去综上：25ω=或2，212255S =+=.故选：A.本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.二、多选题9．若01a <<，则（）A ．()()log 1log 1a a a a -<+B ．()log 10a a +<C ．()()113211a a -<-D ．11a a -<【正确答案】BD【分析】利用指数函数的图象及性质，对数函数的图象性质分析即可.【详解】当01a <<时，则0111a a <-<<+，又函数()log 01a y x a =<<在()0,∞+上是减函数，所以()log 10a a ->，()log 10a a +<，A 错误，B 正确；()1xy a =-是减函数，所以()()113211a a >--，C 错误，x y a =也是减函数，所以101a a a -<=，D 正确.故选：BD.本题考查指数式、对数式比大小问题，考查指数函数、对数函数的图象及性质的运用，难度一般.10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则（）A ．点P 再次进入水中时用时30秒B ．当水轮转动50秒时，点P 处于最低点C ．当水轮转动150秒时，点P 距离水面2米D ．点P 第二次到达距水面(1米时用时25秒【正确答案】BCD【分析】以O 为原点，以与水平面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则点P 距离水面的高度2sin 1306H ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，逐一分析各选项即可求解.【详解】解：由题意，角速度26030ππω==弧度/秒，又由水轮的半径为2米，且圆心O 距离水面1米，可知半径0OP 与水面所成角为6π，点P再次进入水中用时为264030πππ+⨯=秒，故A 错误；当水轮转动50秒时，半径0OP 转动了550303ππ⨯=弧度，而53362πππ-=，点P 正好处于最低点，故B 正确；以O 为原点，以与水平面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点P 距离水面的高度()sin (0,0)H A t B A ωϕω=++>>，由max min 31H A B H A B =+=⎧⎨=-+=-⎩，所以21A B =⎧⎨=⎩，又角速度26030ππω==弧度/秒，0=t 时，06xOP π∠=，所以30πω=，6πϕ=-，所以点P 距离水面的高度2sin 1306H t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当水轮转动150秒时，将150t =代入，得2H =，点P 距离水面2米，故C 正确；将1H =代入2sin 1306H ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭中，得23063t k ππππ-=+，或223063t k ππππ-=+，即6015t k =+，或6025t k =+()k N ∈．所以点P第二次到达距水面(1+米时用时25秒，故D 正确．故选：BCD ．11．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中, a b R ∈，且的0ab ≠，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R∈恒成立，则（）A ．56f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数D ．4f x π⎛⎫+ ⎝⎭是奇函数【正确答案】BC【分析】由()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可知4x π=为()sin cos f x a x b x =+的一条对称轴，结合辅助角公式，可得a b =，进而可得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再分别判断选项即可.【详解】由题意得，()()sin cos sin f x a x b x x ϕ=++，因()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，故4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b +=a b =，故()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于选项A ，9sin 520f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5sin612f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，虽然95sin sin 2012ππ>，但时a 正负不知，故5f π⎛⎫ ⎪⎝⎭与6f π⎛⎫⎪⎝⎭无法比较大小，故A 错；对于选项B ，因55sin cos sin 22444f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ，因sin 4f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，故C 正确；对于选项D ，sin cos 42f x x x ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，故D 错.故选：BC.本题主要考查了辅助角公式的应用以及三角函数的图像性质.对于图像性质问题，一般情况下需先把解析式化成()()sin ωφf x A x B =++的形式，再结合sin y x =的图像性质即可解决.12．设函数()f x 是定义在R 上的函数，满足()()0f x f x --=，且对任意的x R ∈，恒有()()22f x f x +=-，已知当[]0,2x ∈时，()22x f x -=，则有（）A ．函数()f x 是周期函数，且周期为2B ．函数()f x 的最大值是4，最小值是1C ．当[]2,4x ∈时，()22xf x -=D ．函数()f x 在[]2,4上单调递增，在[]4,6上单调递减【正确答案】BD【分析】推导出函数()f x 的周期，可判断A 选项的正误；求出函数()f x 在区间[]0,2上的最大值和最小值，结合函数的周期性和奇偶性可判断B 选项的正误；利用函数的奇偶性和周期性求出函数()f x 在[]2,4上的解析式，可判断C 选项的正误；利用C 中的解析式结合周期性可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由已知可得()()()222f f f x x x -=+-=，则()()4f x f x +=，故函数()f x 是周期函数，且周期为4，A 选项错误；对于B 选项，当[]0,2x ∈时，()[]221,4xf x -=∈，由于函数()f x 为偶函数，则当[]2,0x ∈-时，()[]1,4f x ∈，所以，当[]2,2x ∈-时，()[]1,4f x ∈，由于函数()f x 是周期为4的周期函数，故函数()f x 的最大值是4，最小值是1，B 选项正确；对于C 选项，当[]2,0x ∈-时，()()22xf x f x +=-=，当[]2,4x ∈时，[]42,0x -∈-，则()()()242422x x f x f x +--=-==，C 选项错误；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 在[]2,0-上单调单调递增，在[]0,2上单调递减，由于函数()f x 是周期为4的周期函数，故函数()f x 在[]2,4上单调递增，在[]4,6上单调递减，D 选项正确.故选：BD.三、填空题13．已知幂函数()2232(1)mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.【正确答案】()2f x x=【分析】根据幂函数的定义和性质求解.【详解】解：()f x 是幂函数，211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m =，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递减，不满足条件；若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件；即()2f x x =.故()2f x x=14．如图所示，弧田是由圆弧 AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧 AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【正确答案】6π-【分析】根据题意得34AOB πα∠==，进而根据扇形面积公式计算即可得答案.【详解】解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，设AOB α∠=，因为弧田的弧 AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，所以34πα=，所以阴影部分的面积为113444sin 622παπ⨯⨯-⨯⨯⨯=-所以弧田的面积是6π-故6π-15．已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______.【正确答案】94【分析】由()()47232x y x y x y +=+++，结合基本不等式求解即可.【详解】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，所以()()22211413242233x y x y x yx y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y y yx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x yx y++++≥=+，当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94，故答案为.9416．已知函数()f x 满足()21,0lg ,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()()22420f x mf x m -++=⎡⎤⎣⎦有五个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为___________.【正确答案】[]1,3【分析】令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，原问题等价于22420t mt m -++=有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，作出函数()f x 的图象如下图所示，由题意，方程22[()]4()20f x mf x m -++=有五个不相等的实数根，即22420t mt m -++=有一个根()11,t ∈+∞，一个根(]20,1t ∈或有一个根10t =，一个根(]20,1t ∈令22()42h t t mt m =-++，当有一个根()11,t ∈+∞，一个根(]20,1t ∈则()()2222Δ4420(1)1420m m h m m ⎧=--+>⎪⎨=-++≤⎪⎩解得：13m ≤≤，当有一个根10t =，一个根(]20,1t ∈则()()()22222Δ4420114204102220m m h m m m m ⎧=--+>⎪⎪=-++≥⎪⎨-<-≤⎪⎪+=⎪⎩解得：m ∈∅，综上，实数m 的取值范围为[]1,3故[]1,3方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解四、解答题17．已知函数())2cos cos 1f x xx x =+-．（Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间；（Ⅱ）若()0,απ∈，223f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】（Ⅰ）0,6π⎡⎤⎢⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；（Ⅱ）6.【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求得函数()y f x =在R 上的单调递增区间，与[]0,π取交集可得出结果；（Ⅱ）由223f α⎛⎫= ⎪⎝⎭可得出1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的基本关系可求得cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用两角和的正弦公式可求得sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【详解】（Ⅰ）())22cos sin cos 1sin cos 2cos 1f x xx x x x x =+-=+-2cos 22sin 26π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭x x x ．令222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，得36k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ．令0k =，得36x ππ-≤≤；令1k =，得2736x ππ≤≤.因此，函数()y f x =在区间[]0,π上的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；（Ⅱ）由223f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．()0,απ∈ ，7,666πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又π11sin 632α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，,62ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭．因此，sin sin sin cos cos sin3666666πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1221332⎛=-⨯= ⎝⎭．本题考查正弦型函数的单调区间的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.18．已知函数()log ()(01)a g x x a a a =->≠，.（1）当2a =时，解不等式()2g x ≤；（2）若不等式()log (5)2a g x a x +-≤在x ∈13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）{}26x x <≤；（2）.【分析】（1）根据对数函数的定义域及单调性求解即可；（2）由题意原问题转化为222log (65)log a a x ax a a -+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立，分1a >与01a <<两种情况分类讨论，求出最值解不等式即可.【详解】(1)2a =时，函数2()log (2)g x x =-定义域为(2,)+∞()2g x ≤∴22log (2)log 4x -≤∴224x x >⎧⎨-≤⎩解得26x <≤∴不等式()2g x ≤的解集为{}26x x <≤(2)设()()log (5)a f x g x a x =+-，(,5)x a a ∈由题意知13231501a a a a a a ⎧->⎪⎪+<⎨⎪>≠⎪⎩且，解得112a a >≠且()log ()log (5)a a f x x a a x =-+-221(65)a og x ax a =-+-，(,5)x a a ∈ ()()log (5)2a f x g x a x =+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立∴222log (65)log a a x ax a a -+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立令22()65h x x ax a =-+-，x ∈13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∴()h x 的图象是开口向下，对称轴方程为3x a =的抛物线.①1a >时，222log (65)log a a x ax a a -+-≤在1312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于22max ()(3)4h x h a a a==≤解得0a =，这与1a >矛盾.②当112a <<时，222log (65)log a a x ax a a -+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于22min ()(31)41h x h a a a=+=-≥解得3a ≥或3a ≤-又 112a <<1a <综上所述，实数a的取值范围是[3关键点点睛：由题意转化为222log (65)log a a x ax a a -+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立，分类讨论去掉对数符号，转化为二次函数在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上的最大值或最小值，是解题的关键所在，属于中档题.19．已知函数()()()sin 0,0πf x x b ωϕωϕ=++><<的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象先向右平移π3个单位长度，然后将图象上的每个点横坐标变为原来的2倍，再向上平移2个单位长度后，得到函数()g x 的图象，()g x 图象关于y 轴对称且经过坐标原点.(1)求()f x 和()g x 的解析式；(2)若对任意π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()210f x af x a -++≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()πsin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()1cos g x x =-；(2)1a ≤-.【分析】（1）由题可得周期进而得2ω=，然后利用图象变换规律可得()2πsin 23x g b x ϕ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，然后根据三角函数的性质结合条件即得；（2）设()1,02t f x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，()210h t t at a =-++≤恒成立，可得()10200h h ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩，即得.【详解】（1）由题可得函数的最小正周期为π，又()()()sin 0,0πf x x b ωϕωϕ=++><<，所以2ππT ω==，即2ω=，()()sin 2f x x b ϕ=++，由题可得()2πsin 23x g b x ϕ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，又()g x 图象关于y 轴对称且经过坐标原点，所以2πππ,Z 32k k ϕ-=+∈，即7ππ,Z 6k k ϕ=+∈，0πϕ<<，当1k =-时满足条件，即6πϕ=，又2πsin 203b ϕ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，故1b =-，故()πsin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()1cos g x x =-；（2）由π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1,02f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设()1,02t f x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，即210t at a -++≤恒成立，设()21h t t at a =-++，则()21h t t at a =-++的最大值小于等于零即可，故满足()10200h h ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩，即11104210a a a ⎧+++≤⎪⎨⎪+≤⎩，解得1a ≤-，即实数a 的取值范围为1a ≤-.20．已知在定义域内单调的函数满足()12ln 213xf f x x ⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭恒成立.(1)设()1ln 21xf x x k +-=+，求实数k 的值；(2)解不等式()()272ln e 21xx f x x +>-+-+；(3)设()()ln g x f x x =-，若()()2g x mg x ≥对于任意的[]1,2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围，并指出取等时x 的值.【正确答案】(1)1k =(2)7(,0)3-(3)2m ≤-，当且仅当2log 1)x =时等号成立，【分析】（1）由题意列方程求解，（2）由函数的单调性转化后求解，（3）参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解，【详解】（1）由题意得()1ln 21x f x x k =-++，12ln 213()k f k k k +=-+=，由于1ln 21ky k k =-++在(0,)k ∈+∞上单调递增，观察得12ln 213k k k -+=+的解为1k =，（2）由于()f x 在定义域内单调，所以()1ln 21x f x x +-+为常数，由（1）得()1ln 121x f x x =-++，()f x 在(0,)+∞上单调递增，()12ln()1ln e 1(212)xx x f x x x ---+=---=++，故原不等式可化为()72()f x f x +>-，由270027x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩得703x -<<，故原不等式的解集为7(,0)3-（3）121022)1(1xx x g x -=+=+>+()()2g x mg x ≥可化为241412112144242x x x x x x x x xxm ++-+≤⋅==++++对[]1,2x ∈恒成立，设21[3,1]x t =-+∈--，则22211242(1)1233x x x t t t t t t t t-+===+-+-+-+-，[3,1]t ∈--，由基本不等式得2t t+≤-，当且仅当t =故当t =min 1()323t t=+-，故2m ≤-，当且仅当2log 1)x =时等号成立，。

XXXX广东省广州市天河区高一(上)期末数学试卷）普通用卷广东省广州市天河区高一XXXX期末数学(一)试卷题号，一，二，三，总分，多项选择题(共12题，共60.0分)1。

直线？？+？？？3=0的倾斜角是()A.公元前45年60年120年135年2.已知集合？？={{1，2，3，4，5，6}，？？={？？|？？=？？什么？？∈?？那么……？∨什么？？=()A.{1，2} b. {1，2，3} c. {1，3，5 5} D. {1，2 1，2，3，4，5，6} 3 .功能？？(？？)=lg？？+？？？3的零点所在的区间是()A.(0，1)B. (1，2)C. (2，3)D. (3，4) 4。

该图是几何形体的三视图，其中前视图为腰围2等。

腰三角形，顶视图是一个半径为1的半圆，那么几何体的体积是() 3A。

4？？3B.2？？3C。

？？63D。

？？315.知道吗？？=0.80.7，？？=log20.7，？？=1.30.8，a、b、c的尺寸关系为()A.？？0)。

㈠寻求？？(？？的定义域；(ii)求出k的值；(三)如果该功能？？(？？)然后呢？？(？？)图像有且只有一个交点，求a的取值范围4第4页，共12页答案和分析[回答] 1。

D 2。

A 8。

C 9。

B13.C10.A 4。

C 11。

B 5。

B 12。

D6.A7.D13.{？？|？？>？1和？？2} 14。

215.？？=4？？或者？？=0 16。

2≤?？0: 2？？？3>0，你能理解吗？？> log23，因此，函数的定义域是(log23，+∞)；第6页，共12页4444所以呢。

？=2，？？=1，？？=0。

㈡㈠？？(？？)=2？？+？？同时，中国政府将继续加强与美国的合作。

？？3>0，你能理解吗？？> log23，因此，函数的定义域是(log23，+∞)；第6页，共12页4444。

2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上册期末数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,5,8U =，集合M 满足{}1,8U M =ð，，则（）A ．1M ∈B ．2M∉C ．3M∈D ．5M∉【正确答案】C【分析】根据补集的定义求出{}235M =，，，即可得到结果.【详解】因为{}1,8U M =ð，所以{}235M =，，，则3M ∈，所以C 正确.故选：C.2．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式26190x x --<的解集是（）A ．∅B ．RC ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式26190x x --<可化为29610x x -+>，即2(31)0x ->，解得13x ≠，故原不等式的解集为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为0e ktW M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉90%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h ，参考数据：lg 20.3010≈）（）A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【正确答案】B【分析】由题意可得e 0.5k -=，进而得()0.10.5t=，利用指数与对数的关系可得0.5log 0.1t =，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知()00150%e kM M --=，所以e 0.5k -=，设过滤90%的污染物需要的时间为t ，则()00190%e ktM M --=，所以()()0.1e e 0.5ttkt k --===，所以0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈.故选：B.5．已知函数log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④的大致图象如图所示，则（）A ．a c b a +<+B ．a d b c +<+C ．b c a d +<+D ．b d a c+<+【正确答案】A【分析】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，进而由不等式性质可以判断A 正确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，则由不等式性质可得a c b a +<+，所以A 正确.由不等式可加性可得a c b d +<+，故D 错误，不能推出B 、C ，故B 、C 错误.故选：A.6．方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设()e 41xf x x =-+，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭，()00e 40120f =-⨯+=>，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭，()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，所以()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x =，所以方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.7．下列函数中，最小正周期为π2，且在π(,0)4-上单调递减的是（）A ．)πsin(42y x =+B ．)πcos(42y x =-C ．tan(π2)y x =+D ．|sin(π2)|y x =+【正确答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】c πsin(4)os 42y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故A 错误；s πcos(4)in 42y x x =-=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间(,π48)π--上是单调递减，在区间()π8,0-上是单调递增，故B 错误；tan(π2)tan 2y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故C 错误；|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=，因为sin 2y x =的最小正周期为π，则此函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，|sin 2|sin 2y x x ==-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递减，故D 正确.故选：D.8．设3log 2a =，5log 3b =，8log 5c =，则A ．b a c <<B ．a b c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果.【详解】由对数性质，可得：(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5851log 3log 5log 8∴<=，即b c <；而3332log 2log log 3a ==，5552log 3log log 3b ==>=，综上所述，a bc <<.故选：B.本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题2:R,10p x x x ∀∈-+>，则（）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∀∈-+=”C ．命题p 是假命题D ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”【正确答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭，则命题p 是真命题；命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”，故A 、D 正确．故选：AD ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则（）A ．()12f x x =B ．()f x 的值域是[0,)+∞C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(0,)+∞上是减函数【正确答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可.【详解】设()f x x α=，∵()y f x =的图象过点(，∴1233α==，∴12α=，∴12()f x x =，从而可得，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域是[0,)+∞，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，在[0,)+∞上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误.故选：AB.11．已知5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且ππ32x <<，则（）A ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．12cos 132π3x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭D ．5cos 135π6x ⎛⎫-=⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π，tan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭．由sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断A ；由πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断B ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断C ；由πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断D.【详解】由ππ32x <<得ππ063x -<-<，则12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-.12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故C 正确；5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.12．已知01a b <<<，则（）A ．b aa b <B ．log log a b b a >C ．log log 2a b b a +>D ．sin(sin )sin a b<【正确答案】ACD【分析】由x y a =的单调性可得b a a a <，由a y x =的单调性可得a a a b <，从而可判断A ；由log ,log a b y x y x ==的单调性可得log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，从而可判断B ；由基本不等式可判断C ；利用结论：当π(0,)2x ∈时，sin x x <，可判断D.【详解】0< 1,x a y a <∴=在(0,)+∞上单调递减，又,b a a b a a <∴<，0,a a y x >∴= 在(0,)+∞上单调递增，由a b <得a a a b <，b a a b ∴<，故A 正确；由01a b <<<可知log ,log a b y x y x ==在(0,)+∞上均单调递减，log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，log 1log a b b a ∴<<，故B 错误；由01a b <<<，可知lg lg log 0,log 0lg lg a b b a b a a b =>=>，因此lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=，当且仅当a b =取等号，但已知01a b <<<，故等号不成立，从而得log log 2a b b a +>，故C 正确；当π(0,)2x ∈时，sin x x <．π012a b <<<< ，π0sin 2a ab ∴<<<<，又sin y x =在π(0,)2单调递增，所以sin(sin )sin sin a a b <<，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．若函数()f x =的定义域为A ，函数()()lg 2g x x =-的定义域为B ，则A ∩B =______.【正确答案】()1,2-【分析】先求得集合A B 、，再利用交集定义即可求得A B ⋂.【详解】()f x =的定义域为()1,-+∞；函数()()lg 2g x x =-的定义域为(),2-∞，则A B = ()1,2-.故()1,2-14．已知tan 2a =，则()2sin cos αα-=__________.【正确答案】15##0.2【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可．【详解】()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++．故答案为.15四、双空题15．函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，则21m n+的最小值为______.【正确答案】(1,2)；8【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得21m n+的最小值.【详解】当1x =时，1112a -+=，则函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点(1,2)P ，点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，可得2100)m n m n +=>>(，，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当122m n ==时等号成立）故(1,2)；8五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是___________.【正确答案】π8-【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】莱洛三角形的周长为π2，可得弧长6πA BCB AC===，则等边三角形的边长π16π23AB BC AC====，分别以点A、B、C为圆心，圆弧,,AB BC AC所对的扇形面积均为1π1π26224⨯⨯=，等边ABC的面积1122416S=⨯⨯=，所以莱洛三角形的面积是ππ3224168⨯-⨯.故答案为六、解答题17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求sin cosαα+的值；(2)求sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++的值.【正确答案】(1)15-；(2)14【分析】（1）先利用三角函数定义求得sin cos αα、的值，进而求得sin cos αα+的值；（2）先求得tan α的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则43sin ,cos 55αα=-=，则431sin cos 555αα+=-+=-；（2）由（1）得43sin ,cos 55αα=-=，则4tan 3α=-，则sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数()a f x x x=+.(1)若()15f =，判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若()43f =，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并加以证明.【正确答案】(1)()f x 是奇函数，理由见解析(2)()f x 在(0,)+∞上的单调递增，证明见解析【分析】（1）由(1)5f =求出a ，从而得()f x ，由函数奇偶性的定义求解即可；（2）由()43f =求出a ，从而得()f x ，由函数单调性的定义进行判断证明即可.【详解】（1）()f x 是奇函数，理由如下：∵()af x x x=+，且()15f =，∴15a +=，解得4a =∴4()f x x x=+，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 又44()()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在(0,)+∞上的单调递增，理由如下：∵()af x x x=+，且()43f =，∴434a +=，解得4a =-，∴4()f x x x=-设120x x <<，则2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵120x x <<，∴21x x -0>，12410x x +>故21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >所以()f x 在(0,)+∞上的单调递增.19．已知函数1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【正确答案】(1)5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为14-.【分析】（1）根据周期可以求出2ω=，进而求出()f x 的单调递减区间；（2）根据π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，进而求出()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值与最小值.【详解】（1）由题意可得2πT==πω，则2ω=，则1π()sin(2)23f x x =-，所以()f x 的单调递减区间需要满足：ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈，解得5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为.5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知1π()sin(2)23f x x =-，因为π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin(2),32x ⎡-∈-⎢⎣⎦，则1(),4f x ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-.20．已知函数||1()()2x f x a b =+的图象过点()0,2，且无限接近直线1y =但又不与该直线相交．(1)求函数()y f x =的解析式：(2)解关于x 的不等式3(ln )2f x <．【正确答案】(1)()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点()0,2得,a b 的关系，根据图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交求出b ，从而得解；（2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点()0,2，得()02f a b =+=，∵函数||1()()2x f x a b =+无限接近直线1y =，但又不与该直线相交，∴1b =，从而1a =，∴()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由3(ln )2f x <得|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则ln 1x >，所以ln 1x <-或ln 1x >，解得10ex <<或e x >．所以不等式3(ln )2f x <的解集为()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的25%．现有三个奖励模型：80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据： 1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈，当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立）【正确答案】奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求，理由见解析【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅，根据函数的性质一一验证即可．【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅．对于0.2y x =，易知满足①，但当25x >时，>5y ，不符合公司的要求；对于 1.02x y =，易知满足①，但当82x ≥时， 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=，不符合公司的要求；对于8log 1y x =+，函数在[10,1000]上单调递增，而且函数的最大值8log 1000 3.3225≈<，因而满足①②，因为当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立，所以当[10,1000]x ∈时，8log 125%x x +<⋅，满足③，故符合公司的要求．综上，奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求．22．对于定义在I 上的函数()f x ,若存在实数0x I ∈,使得()00f x x =,则称0x 是函数()f x 的一个不动点,已知2()2(0)f x ax x a =-+≠有两个不动点12,x x ,且122x x <<(1)求实数a 的取值范围；(2)设[]()log ()a F x f x x =-，证明：()F x 在定义域内至少有两个不动点.【正确答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到210ax x -+=的两个实数根为12,x x ，设2()1p x ax x =-+，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，根据1x =是方程()g x x =的实数根，得出()2()220n n h n a an n a =--+=>，结合函数()h x 单调性，即可求解．【详解】（1）因为函数()f x 有两个不动点12,x x ，所以方程()f x x =，即2220ax x -+=的两个实数根为12,x x ，记2()22p x ax x =-+，则()p x 的零点为1x 和2x ，因为122x x <<，所以(2)0a p ⋅<，即(42)0a a -<，解得102a <<，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）因为()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，即2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设2()22p x ax x =-+，因为10,4(12)02a a <<∆=->，所以()0=p x 有两个不相等的实数根．设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，不妨设m n <．因为函数2()22p x ax x =-+图象的对称轴为直线1x a =，且1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121m n a a <<<<．记()2()22x h x a ax x =--+，因为(1)0h =，且(1)0p a =>，所以1x =是方程()F x x =的实数根，所以1是()F x 的一个不动点，()2()220n n h n a an n a =--+=>，因为102a <<，所以24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭，且()h x 的图象在2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象是不间断曲线，所以0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，又因为()p x 在2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()0()0p x p n >=，所以0x 是()F x 的一个不动点，综上，()F x 在(,)a +∞上至少有两个不动点．。

上学期高一数学期末模拟试题 10一．选择题 ： ( 本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .)1、设会合 U 01，，2，3，4，5 ，会合 M 0，3，5 ， N 1，4，5 ，则 M(C U N ) 等于（）A．0,1,3,4,5 B ． 0,2,3,5 C ．0,3D ．52、函数 f (x)2 x+ log 2 x 的定义域为（）x 1A ． (0, 2]B ． (0, 2)C ． (0,1) (1,2)D ． (0,1) (1,2]3、用二分法研究函数 f (x)x 3 3 x 1 的零点时，第一次经计算f (0)0，f (0.5) 0 ，可得其中一个零点 x 0，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为（）A ．（ 0.5 ， 1）， f (0.75)B ．（ 0，0.5 ）， f (0.125)C ．（ 0，0.5 ）， f (0.25)D ．（0，1）， f (0.25)rr (1, r ( 1, 2)r 4、已知向量 a(1,1),b1),c ，则 c（ ）A.1 r 3rB.1r3rC. 3r1rD.3r1r2 ab2 aba bab2222225、 sin570 °的值是（）A ．1B ．－1C．3D ． － 322226、若角 α 的终边落在直线x - y =0 上，则sin1 cos 2）1 sin 2cos的值等于（A2B2C2或 2D7、一质点遇到平面上的三个力F 1 , F 2 , F 3 （单位：牛顿）的作用而处于均衡状态．已知F 1 , F 2 成 120o角，且 F 1 , F 2 的大小分别为 1 和 2，则有（）A ． F 1, F 3 成 90o 角B ． F 1 , F 3 成 150o 角C ． F 2 , F 3 成 90o 角D ． F 2 , F 3 成 60o 角 8、设函数f ( x)21 x , x 1，则知足f ( x)2的 x 的取值范围是 （）1 log2 x, x1A ．[-1 ， 2]B ． [0 ，+ ）C ．[1 ， + ）D ．[0 ， 2]- 1 -9、函数f (x) Asin( x ) b 图象如右图，则 f ( x) 的分析式与S f (0) f (1) f ( 2 ) f ( 2012 ) 的值分别为（）A．f ( x) 1sin x 1 ， S 2013 B ． f (x)1sin x 1 ， S 20131 2 2 2 2 2C．f ( x) 1sin 2 x 1 ， S 2012 D ． f ( x)1sin x 1 ， S 20121 2 2 2 210 、在股票买卖过程中，常常用到两种曲线，一种是即市价钱曲线y＝f ( x)，一种是均匀价格曲线 y＝ g( x)(如 f (2)＝3表示开始交易后第 2 小时的即市价钱为 3 元；g(2) ＝4 表示开始交易后两个小时内全部成交股票的均匀价钱为 4 元 ). 下边所给出的四个图象中，实线表示y＝ f ( x)，虚线表示 y＝ g( x)，此中可能正确的选项是（）y y y yx x x xA. B. C. D.二．填空题： ( 本大题共7 小题，每题 4 分，共 28 分 .)11、设f ( x )是定义在R上的奇函数，当x 0 时， f ( x )2x2 x ，则 f ( 1 ) = ．12、函数y tan x 在( 0,2) 内的零点是.13、函数y x x 3的值域是.uuur uuur14、△ ABC中，AB 3, BC 4,CA 5 ,则CB CA＝.1 115、若a log2sin , b log , , c 23 则 a,b,c 的大小关系是．37 116、下边有五个命题：①终边在 y 轴上的角的会合是{ β| β= 2k, k Z }.22②设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm，则这个扇形的圆心角的弧度数是 2.③函数 y sin 4 x cos4 x 的最小正周期是2.- 2 -④为了获得 y 3 sin 2 x的图象，只要把函数 y 3 sin( 2x )的图象向右平移.3 6⑤函数y tan( x)在，上是增函数 .2全部正确命题的序号是.（把你以为正确命题的序号都填上）17、定义在 R 上的奇函数f (x)知足：关于随意x R ,有 f ( x ) f ( 2 x ). 若 tan 1 ,2 则 f ( 10 sin cos ) 的值为.三．解答题（本大题共 5 小题，满分52 分．解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18、（本小题满分10 分）如图 : A、B是单位圆O上的点，C是圆与 x 轴正半轴的交点，三角形AOB 为正三角形，且 AB∥ x 轴．y （1）求COB的三个三角函数值；BA （2）求BC及OA BC．CO x- 3 - 注：答案高出边框部分无效19、（本小题满分 10 分） （ 1）求值：（ 2）化简：11tan()cos(2 )sin( 383log 3 log 6 5 (log 5 2 log 5 3 ) 10lg 3)cos()sin(2 .27)20、（本小题满分 10 分）已知函数f ( x ) 1 2 sin( 2 x) （此中 0 1）， 若直线 x是函数 f ( x ) 图63象的一条对称轴．（ 1）求及最小正周期；（ 2）求函数 f ( x) , x ,的单一减区间．21、（本小题满分 r3 r 10 分）已知向量 a(sin x, ), b (cos x, 1).2r r2 sin x cos x 的值；（ 1）当 a // b 时，求 2 cos 2 x- 4 -f ( x ) 2 sin x ( a b ) ( a b )在 ,0 上的最小值，及获得最小值时 x 2的值．- 5 -22、（本小题满分12 分）2 (1) x, x 0已知函数 f ( x) 3 .1 x2 x 1, x 02（ 1）写出该函数的单一区间；（ 2）若函数g ( x) f ( x) m 恰有3个不一样零点，务实数 m 的取值范围；(3) 若f (x) n2 2bn 1对全部 x [ 1,1], b [ 1,1] 恒建立，务实数n 的取值范围 .答案一、选择题- 6 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C D C D B C A B A D二、填空11、 3 ；12、；13、0, ； 14 、 16 ；15、a b c ；16 、②④； 17 、0 .三、解答（本大共 5 小，分 52 分。

2023-2024学年广东省高一上册期末数学试题一、单选题1．已知角2022,Z 180k k α-⋅∈= ，则符合条件的最大负角为（）A ．–42B ．–220C ．–202D ．–158【正确答案】A【分析】直接代入k 的值即可求解.【详解】依题意，2022,Z 180k k α-⋅∈= ，取11k =时，有最大负角01118420222α-=⋅=- .故选：A.2．若函数243x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则3πsin 2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．CD 【正确答案】C【分析】求出点A 的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得3πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】当240x +=，即2x =-时，4y =，所以()2,4A -，所以cos 5θ=-，由诱导公式可得3πsin cos 2θθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：C.3．已知12cos(),cos()33αβαβ+=-=，则cos cos αβ的值为（）A ．0B ．12-C ．12D ．0或±12【正确答案】C【分析】利用两角和差的余弦公式结合条件即得.【详解】因为()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=两式相加可得2cos cos 1αβ=，即1cos cos 2αβ=.故选：C.4．设集合{}2|42A y y x x a ==-+，{}2|sin 2sin B y y x x ==-+，若A B A ⋃=，则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．[)7,+∞【正确答案】A【分析】分别求出集合A 、B 的范围，利用A B A ⋃=的性质即可求解.【详解】依题意，对于A 集合：()224222424y x x a x a a =-+=-+-≥-，所以{}|24A y y a =≥-；对于B 集合：()22sin 2sin sin 11y x x x =-+=--+，因为1sin 1x -≤≤，所以31y -≤≤，所以{}|31B y y =-≤≤；因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以243a -≤-，解得12a ≤，故选：A.5．已知函数()2log f x x =，()2sin g x a x =-，若[]11,2x ∃∈，[]20,2πx ∃∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．()(),23,-∞-⋃+∞B ．(][),23,-∞-+∞C ．()2,3-D ．[]2,3-【正确答案】D【分析】求出函数()f x 在[]1,2上的值域为[]0,1，求出函数()g x 在[]0,2π上的值域为[]2,2a a -+，分析可知，[][]0,12,2a a -+≠∅ ，结合补集思想可求得实数a 的取值范围.【详解】当[]11,2x ∈时，()[]121log 0,1f x x =∈，当[]20,2πx ∈时，()[]222sin 2,2g x a x a a =-∈-+，因为[]11,2x ∃∈，[]20,2πx ∃∈，使得()()12f x g x =，所以，[][]0,12,2a a -+≠∅ ，考查[][]0,12,2a a -+=∅ 的情形，则20a +<或21a ->，解得2a <-或3a >，故当[][]0,12,2a a -+≠∅ 时，23a -≤≤.故选：D.6．已知5πsi 2n 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2125-B ．1725-C ．D 【正确答案】B【分析】利用诱导公式和倍角公式即可求解.【详解】依题意，πππcos 2cos 2πcos 2333ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π21712135252sin α=⎛⎫⎛⎫--=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.7．函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>对任意实数x ，都有()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．πB ．π3C ．π4D ．π6【正确答案】C【分析】由已知()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值或最小值，π8x =是函数图象的对称轴，利用正弦函数的对称轴可得结论．【详解】解：由()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭知π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值或最小值，所以，π8x =是()f x 的一条对称轴的方程，所以，满足ππ2π82k ϕ⨯+=+，Z k ∈，所以()ππZ 4k k ϕ=+∈，因为0ϕ>，所以最小值为π4.故选：C.8．已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()()sin πF x f x x =-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)3.5,4B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)5,5.5【正确答案】A【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f =，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤<故选：A二、多选题9．下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．sin y x =B ．sin y x=C ．πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan cos y x x=-【正确答案】AB【分析】逐项研究函数的奇偶性与单调性即可.【详解】对于A ，∵sin sin x x -=，且函数sin y x =的定义域为R ，∴函数sin y x =为偶函数，又0x >时，sin sin x x =，且函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故A 符合题意；对于B ，∵()sin sin x x -=，且函数sin y x =定义域为R ，∴函数sin y x =为偶函数，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin sin y x x ==-，且函数sin y x =-在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，∴函数sin y x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故B 符合题意；对于C ，∵πcos sin 2y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴函数πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 不符合题意；对于D ，记()tan cos y f x x x ==-，则()()()tan cos tan cos f x x x x x -=---=--，∴()()f x f x -≠，∴函数tan cos y x x =-不是偶函数，故D 不符合题意.故选：AB.10．已知0log 2022log 2022a b <<，则下列说法正确的是（）A ．1b a >>B ．22a b --<C ．222b a a b+>D ．若0m >，则b b ma a m+<+【正确答案】BCD【分析】根据题干条件得到1a b >>判断A ；由2y x -=在()0,∞+上单调性判断B ；由基本不等式得到222b a a b+>判断C ；作差法比较出b b m a a m +<+ D.【详解】解：因为0log 2022log 2022a b <<，所以1,1a b >>，不妨令0log 2022log 2022a b m <<=，则2022,2022m m a b >=，故1a b >>，故A 错误，因为2y x -=在()0,∞+上单调递减，故22a b --<，B 正确；因为22b a a b +>2>，故C 正确；若0m >，因为()()()()()0b a m a b m b a m b b m a a m a a m a a m +-+-+-==<+++，故b b ma a m+<+，D 正确.故选：BCD11．若函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，且()()()2sin cos f x g x x x +=+，则（）A ．()cos 2f x x =B ．()sin 2g x x =C ．()()()()f g x g f x <D ．()()()()f g x g f x >【正确答案】BD【分析】根据函数的奇偶性列出方程组即可分别求出()f x ，()g x 即可求解.【详解】依题意，因为函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，所以()()=f x f x -，()()g x g x -=-，因为()()()2sin cos 1sin 2f x g x x x x +=+=+，所以()()1sin 2f x g x x -+-=-，所以()()1sin 2f x g x x -=-，由()()()()1sin 21sin 2f x g x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，解得()1f x =，()sin 2g x x =，所以A 选项错误，B 选项正确；因为()()()sin 21f g x f x ==，()()()1sin 21g f x g ==<，所以()()()()f g x g f x >，所以C 选项错误，D 选项正确；故选：BD.12．下列说法正确的是（）A ．()lg ,f x x =且()(),f m f n =则10m n ⋅=B ．πcos 34πlog 3,sin ,23a b c -===的大小关系为b a c>>C ．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为13π8D ．函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是(,2)(1,)-∞-+∞ 【正确答案】BD【分析】根据函数()lg ,f x x =的图象性质可求解A ，根据对数函数的性质结合三角函数的定义可比较B ，结合钟表图形可判断C ，利用函数的单调性和奇偶性解不等式可判断D.【详解】由()(),f m f n =可得lg lg m n =，不妨设m n <，则有lg lg m n -=，所以1⋅=m n ，A 错误；π1cos 32πsin 223b c --=====所以b c >，因为3223<=，所以44log log 32=<，所以c a <，因为02<<，所以2>，所以2444log log log32b ==>=，所以b a >，所以b a c >>，B 正确；八点二十分，如图，1812π25π32π,2π331218AOB AOC ∠=⨯=∠=⨯=,所以25π2π13π18318BOC ∠=-=，C 错误；2()ln(1)22x x f x x -=-++中，令210x ->解得1x <-或1x >，所以定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，2()ln(1)22()x x f x x f x --=-++=，所以函数为偶函数，当1x >时，设22x t =>，此时122x xy t t-=+=+单调递增，再结合复合函数单调性可知2ln(1)y x =-单调递增，所以2()ln(1)22x x f x x -=-++在(1,)+∞单调递增，则在(),1-∞-单调递减，所以由(1)(2)f x f x +<可得112x x <+<即22321020x x x x ⎧-->⎨+>⎩，解得<2x -或1x >，故D 正确，故选:BD.三、填空题13．πtan8=______．1-##1-【分析】利用同角三角函数的商数关系及二倍角的正弦余弦公式，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】ππππsin2sin sin1cos1π8884tan1ππππ8cos2cos s4in sin8882⋅-===-⋅.故答案为114．e 2.71828= 为自然对数的底数，则2ln sin30e︒=____________．【正确答案】14##0.25【分析】根据对数运算求解即可.【详解】解.2111ln2ln ln2ln sin302241e e e e4⎛⎫⎪︒⎝⎭====故1415．已知,αβ∈R，且满足22sin1αβ-=，则4sinαβ+的值域为______.【正确答案】1⎡-+⎣【分析】根据已知条件22sin1αβ-=，运用三角函数的有界性，可得α，再结合三角函数的单调性，即可求解值域．【详解】解：22sin1αβ-=，则22si1nαβ=-∴21112α--，可得α，2114sin422αβαα+=+-，α，设211()422fααα=+-，α()fα的对称轴为4α=-，()fα∴在区间⎡⎣上单调递增，∴()(1min f f α==-，()1max f f α==+4sin αβ∴+的值域为1⎡-+⎣．故1⎡-+⎣．16．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧 AB 的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.【正确答案】(18π【分析】由弧长公式可求得等边ABC 的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个ABC 的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.【详解】解：由题意可知π3ABC ACB BAC ∠=∠=∠=，设AB r =，则弧 AB 的长度为π2π3r =，所以6r =，设弧 AB 所对的扇形的面积为S ，1πsin23ABC S AB AC =⋅⋅⋅=则该鲁洛克斯三角形的面积为(21π3236218π23ABC S S -=⨯⨯⨯-⨯= .故答案为.(18π四、解答题17．已知ABC 为斜三角形．(1)证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；(2)若1sin cos 2A A +=，求tan A 的值．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）直接利用诱导公式与正切函数的和差公式即可求解.（2）式子1sin cos 2A A +=两边同时平方，求出3sin cos 8A A =-，再求出sin cosA A -=.【详解】（1）依题意，证明：180ABC +=- ，所以()tan tan A B C +=-．因为90C ≠ ，所以tan tan 1A B ≠，所以()tan tan tan 1tan tan A B A B A B ++=-．由tan tan tan 1tan tan A B C A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．（2）因为1sin cos 2A A +=，所以221sin cos 2sin cos 4A A A A ++=，则3sin cos 8A A =-，又0πA <<，所以sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 2A A -=则sin ,cos tan A A A =⇒=18．已知函数()e cos 0x f x =-，e 为自然对数的底数e 2.71828= ．(1)写出()f x 的单调区间；(2)若()()()1212f x f x x x =≠时，证明：120x x +<．【正确答案】(1)单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞(2)证明见解析【分析】根据()e 1,01e ,0x x x f x x ⎧-≥=⎨-<⎩，结合指数函数单调性求解即可；（2）不妨设12x x <，进而根据12e 1e 1x x t -=-=，结合指对互化得()()12ln 1,ln 1x t x t =-=+，01t <<，再结合t 的范围即可得答案.【详解】（1）解：因为函数()e 1,0e cos 0e 11e ,0x x xx x f x x ⎧-≥=-=-=⎨-<⎩所以，根据指数函数的单调性得，当0x ≥时，()f x 单调递增；当0x <时，()f x 单调递减；所以，()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞（2）解：由（1）知，当0x <时，()()0,1f x ∈，当0x ≥时，()[)0,f x ∈+∞()()12f x f x = ，不妨设12x x <，∴120x x <<∴12e 1e 1x x t -=-=，01t <<，∴121e e 1x x t -=-=，即12e 1,e 1x x t t =-=+，∴两边取以e 为底的对数得()()12ln 1,ln 1x t x t =-=+，()212ln 1x x t ∴+=-01t << ，()2ln 10t-<，∴120x x +<19．已知函数()2ππ2cos cos 33f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ．(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若12π,,,3x x m ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠，求m 的最小值．【正确答案】(1)π(2)4π3【分析】（1）根据倍角公式、和差公式化简，代入周期公式即可求解.（2）利用整体换元思想，代入正弦函数最大值的相关性质即可求解.【详解】（1）依题意，由已知2π()cos 21)3f x x x =++2π2πcos 212coscos 2sin33x x x =++1π2cos 21sin(2)126x x x -+=-+，所以最小正周期是2ππ2T ==；（2）π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，12π,,,3x x m ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠，等价于()f x 在区间π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的有两最大值为2，则ππ22π62m -≥+，4π3m ≥，所以m 的最小值是4π3．20．已知函数()212x xf x a =++(1)若(1cos10tan10sin 50a ︒=︒︒，证明()f x 为奇函数；(2)若()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求a 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据三角恒等变换得12a =-，()11212x f x =-+，再判断函数奇偶性即可；（2）由题知()min 0f x ≥，再令2x t =，进而得111y a t -=+++，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，再根据单调性求最值即可得答案.【详解】（1）解：(()a 1sin10cos10t n10tan 60sin 50sin n 5ta 100a ︒︒︒︒︒︒-⋅=-= sin10sin 60sin10cos10cos 60sin 50︒︒︒︒︒︒⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭sin10cos 60sin 60cos10cos10cos 60cos10sin 50︒︒︒︒︒︒︒︒-=⋅sin(6010)cos1012cos 60cos10sin 50cos 60︒︒︒︒︒︒︒-=-⋅=-=-．所以，12a =-，即()21211111122122212x x x x xf x +-=-==-+++，定义域为R ，所以，()()2111122122x x x f x f x ---=-=-=-++，所以，()f x 为奇函数.（2）解：∵()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，∴()min 0f x ≥．令2x t =，因为[]1,1x ∈-，所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，1111t y a a t t -=+=++++，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为111y a t -=+++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 1111312y a a -=++=++，即()min 13f x a =+，所以103a +≥，解得13a ≥-，所以a 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．21．已知函数ππ()sin sin(π)4242x x f x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线π4x =对称．(1)若R θ∃∈，使得()2cos g x θ<成立，求x 的集合；(2)若存在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使等式2[()]()20g x mg x -+=成立，求实数m 的最大值和最小值【正确答案】(1)π|2π(Z)3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭(2)最小值为.3【分析】（1）根据对称性求得()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，进而将问题转化为πsin 16x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭求解即可；（2）令()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，进而将问题转换为方程2m y y =+，[]1,2y ∈有解,再结合基本不等式求解即可.【详解】（1）π()sin 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin x x =+π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数()y g x =的图象上取点(,)x y ，其关于直线π4x =对称点的坐标为π,2x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()5πππ2sin 2sin π2sin 666y g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为R θ∃∈，使得()2cos g x θ<成立，所以，()2g x <，即πsin 16x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故πsin 16x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以，ππ2π,Z 62x k k +≠+∈，解得π2π(Z)3x k k ≠+∈所以，x 的集合为π|2π(Z)3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭（2）解：因为()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，ππ2π,,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦[]1,2y ∈，所以，等式2[()]()20g x mg x -+=，可化为2m y y =+，[]1,2y ∈，所以，存在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使等式2[()]()20g x mg x -+=成立时，方程2m y y=+，[]1,2y ∈有解,所以，由基本不等式的性质知，当y m 的最小值为1y =或2时，m 的最大值为3；所以，实数m 的最大值为3，最小值为.22．已知函数()ln f x x =，以下证明可能用到下列结论：(0,1)x ∈时，①sin tan <<x x x ；②ln 1x x <-．(1)(0,1)x ∈，求证：1ln1x x <-；(2)证明：()111sin sin sin ln 2,N 23n n n n+++<≥∈ ．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用(0,1)x ∈时，ln 1x x <-，通过多次代换即可证明；（2）首先（1）得1sin ln 1x x x <<-，令12x =，13x =L 1x n=得到一系列不等式，相加即可.【详解】（1）由已知(0,1)x ∈时，ln 1x x <-，用1x +代换x 得()ln 1x x +<，再以x -代换x 得()ln 1x x -<-，即()ln 1x x -->，即1ln 1x x>-，得证1ln .1x x <-（2）由（1）可知(0,1)x ∈时，1sin ln 1x x x<<-则1sin ln ,1(0,1)x x x <-∈，令12x =得11sin ln ln 21212<=-，令13x =得113sin ln ln 13213<=-，令x n =得11sin ln ln 111n n n n<=--，相加得111111sin sin sin ln ln ln 1112311123n n +++<+++--- 33ln 2ln ln ln 2ln 2121n n n n n =+++=⨯⨯⨯=-- ，（2,N n n ≥∈）。

2023-2024学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{1}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，则A∪B的子集个数是（）A．1B．2C．3D．42．已知a，b∈R，则“a＞b”是“2a＞2b”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）＝x+lnx﹣5的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．函数f(x)=x 22x+2−x的部分图象大致是（）A．B．C．D．5．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P （cos100°，sin200°），则（）A．sinα＞0B．cosα＞0C．0＜tanα＜1D．tanα＞16．已知α∈（0，π），3cos2α﹣10cosα＝1，则sinα＝（）A．2√23B．√53C．23D．137．在当今这个5G时代，6G的研究方兴未艾．有消息称，未来6G通讯的速率有望达到1Tbps，香农公式C=Wlog2(1+SN)是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S和信道内部的高斯噪声功率N的的大小．其中SN叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比SN从3提升到99，则最大信息传递率C大约会提升到原来的（）（参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）A．2.3倍B．3.3倍C．4.6倍D．6.6倍8．若24+log3a=44+2log9b，则（）A．0＜a＜b2B．0＜b2＜a C．0＜a＜2b D．0＜2b＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若集合M＝{x|x≥0}，N＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＜0}，则（）A．M⊆N B．M∪N＝M C．（∁R M）∩N＝∅D．M∪（∁R N）＝R10．已知定义域为I的函数f（x），∃x0∈I，使f（x0）＜0，则下列函数中符合条件的是（）A．f（x）＝x3+1B．f（x）＝e x+e﹣xC．f（x）＝lgx2D．f（x）＝2cos x+311．如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+b(A＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)，下列结论正确的是（）A．A＝3B．ω=π20C．sinφ=−1115D．b＝﹣0.812．已知函数f（x）＝sin x﹣|cos x|，x∈R，则（）A．f（﹣x）＝﹣f（x）B．f（x）的最小正周期为2πC．f（x）的图象关于直线x=π2对称D．f（x）的最大值为√2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是．14．已知2a＝3，log45＝b，则8a﹣2b＝．15．函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则函数y＝[x+2]﹣x的值域是．16．如图，要在一块半径为6，圆心角为45°的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A 在弧PQ 上，点B 在半径OQ 上，边CD 与边GC 在半径OP 上，且点F 为线段OB 的中点．设∠AOP ＝α，两块矩形铁皮的面积之和为S ，则S 的最大值为 ，此时tan α＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f(x)=5−x −6x(x ＞0)．（1）求函数f （x ）的最大值； （2）求不等式xf （x ）＜0的解集．18．（12分）已知函数f(x)=sin2x +√3cos2x ，x ∈R ． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若f(α2−π6)=85，α∈(π2，π)，求f(α−π6)的值．19．（12分）已知函数f(x)=(a 2−1)x1+x 2(a ＞0，a ≠1)．（1）判断函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明． 20．（12分）已知函数f （x ）＝sin 4x +2sin x cos x ﹣cos 4x ，x ∈R ． （1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）把函数y ＝f （x ）的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，求函数y ＝g （x ）在区间[π6，π4]上的最小值．21．（12分）某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数y ＝f （x ）来拟合该文化馆对外开放后第x （x ≥1）年与当年参观人数y （单位：万人）之间的关系． （1）若选函数f(x)=mx+n(m ≠0)，试确定m ，n 的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②； （2）若选函数f （x ）＝a •b x +c （b ＞0，b ≠1），要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定b 的取值范围．，f(x) 22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，∀a，b∈R，f（a+b）+f（a﹣b）＝3f（a）f（b），且f(1)=13在区间[0，3]上单调递减．（1）求证：f（x）+f（0）≥0；（2）求f（1）+f（2）+⋯+f（2023）的值；（3）当x∈R时，求不等式3f（2x）+4≤9f（x）的解集．2023-2024学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{1}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，则A∪B的子集个数是（）A．1B．2C．3D．4解：令x2﹣3x+2＝0，解得x＝1或x＝2，故A∪B＝{1，2}，则A∪B的子集个数是22＝4个．故选：D．2．已知a，b∈R，则“a＞b”是“2a＞2b”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：由函数y＝2x在R上为增函数，故当a＞b时，2a＞2b．当2a＞2b时，可得a＞b．故“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件．故选：B．3．函数f（x）＝x+lnx﹣5的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：由题意，x＞0，函数f（x）＝x+lnx﹣5在定义域上单调递增，f（1）＝1+ln1﹣5＝﹣4＜0，f（2）＝2+ln2﹣5＜2+lne﹣5＝﹣2＜0，f（3）＝3+ln3﹣5＜3+lne2﹣5＝0，f（4）＝4+ln4﹣5＞4+lne﹣5＝0，∴零点所在的一个区间是（3，4）．故选：D．4．函数f(x)=x 22x+2−x的部分图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=x22x+2−x的定义域为R，且f（﹣x）=(−x)22−x+2x=x22−x+2x=f（x），故f（x）为偶函数，排除选项BD；因为f(x)=x22x+2−x≥0恒成立，且根据指数函数的增长速度可知，当x→+∞时，f（x）→0，排除选项C．故选：A．5．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P （cos100°，sin200°），则（）A．sinα＞0B．cosα＞0C．0＜tanα＜1D．tanα＞1解：因为cos100°＝cos（180°﹣80°）＝﹣cos80°＜0，sin200°＝sin（180°+20°）＝﹣sin20°＜0，故点P在第三象限，故sinα＜0，cosα＜0，AB错误；tanα=sin200°cos100°=−sin20°−cos80°=sin20°sin10°=2sin10°cos10°sin10°=2cos10°，因为y＝cos x在（0，π）上单调递减，所以cos10°＞cos60°=1 2，故cos10°∈(12，1)，2cos10°∈（1，2），所以tanα＞1，C错误，D正确．故选：D．6．已知α∈（0，π），3cos2α﹣10cosα＝1，则sinα＝（）A．2√23B．√53C．23D．13解：因为3cos2α﹣10cosα＝3（2cos2α﹣1）﹣10cosα＝6cos2α﹣10cosα﹣3＝1，即6cos2α﹣10cosα﹣4＝0，即（3cosα+1）（cosα﹣2）＝0，故cosα=−13或cosα＝2，由﹣1≤cosα≤1，故cosα＝2需舍去，即cosα=−1 3，又α∈（0，π），故sinα＞0，则sinα=√1−cos2α=√1−19=2√23．故选：A．7．在当今这个5G时代，6G的研究方兴未艾．有消息称，未来6G通讯的速率有望达到1Tbps，香农公式C=Wlog2(1+SN)是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S和信道内部的高斯噪声功率N的的大小．其中SN叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比SN从3提升到99，则最大信息传递率C大约会提升到原来的（）（参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）A．2.3倍B．3.3倍C．4.6倍D．6.6倍解：C1＝W log2（1+3）＝2W，C2＝W log2（1+99）＝2W log210，则C2C1=2Wlog2102W=log210=1lg2≈10.3010≈3.3．故选：B．8．若24+log3a=44+2log9b，则（）A．0＜a＜b2B．0＜b2＜a C．0＜a＜2b D．0＜2b＜a 解：因为24+log3a=44+2log9b，所以(44+2log9b)−(24+log3a)=44+log3b−24−log3a=0，即log3ab=240，即ab=3240，a＝3240b＞2b＞0，所以a＞2b＞0．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若集合M＝{x|x≥0}，N＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＜0}，则（）A．M⊆N B．M∪N＝M C．（∁R M）∩N＝∅D．M∪（∁R N）＝R解：解一元二次不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0，得1＜x＜2，所以N＝（1，2）；∁R N＝（﹣∞，1]∪[2，+∞），由于M＝{x|x≥0}，结合补集的定义∁R M＝（﹣∞，0），N⊆M，选项A不正确；同时可得M∪N＝M，选项B正确；由于∁R M＝（﹣∞，0），且N＝（1，2），可得（∁R M）∩N＝∅，选项C正确；由于M＝{x|x≥0}，且∁R N＝（﹣∞，1]∪[2，+∞），可得M∪（∁R N）＝R，选项D正确．故选：BCD．10．已知定义域为I的函数f（x），∃x0∈I，使f（x0）＜0，则下列函数中符合条件的是（）A．f（x）＝x3+1B．f（x）＝e x+e﹣xC．f（x）＝lgx2D．f（x）＝2cos x+3解：对于A：f（﹣2）＜0，故A正确；对于B：f(x)≥2√e x⋅e−x=2，当e x＝e﹣x，即x＝0时等号成立，故B错误；对于C：f(12)＜0，故C正确；对于D：由题意得f（x）min＝2×（﹣1）+3＝1，故D错误．故选：AC．11．如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m．设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t （单位：s ）之间的关系为d =Asin(ωt +φ)+b(A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)，下列结论正确的是（ ）A ．A ＝3B ．ω=π20C ．sinφ=−1115D ．b ＝﹣0.8解：因为筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，所以T =601.5=40，所以ω=2π40=π20，选项B 正确； 振幅A 为筒车的半径，即A ＝3，所以选项A 正确；由题意，t ＝0时，d ＝0，即0＝3sin φ+b ，b ＝2.2，即sin φ=−1115，选项C 正确、选项D 错误． 故选：ABC ．12．已知函数f （x ）＝sin x ﹣|cos x |，x ∈R ，则（ ） A ．f （﹣x ）＝﹣f （x ）B ．f （x ）的最小正周期为2πC ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．f （x ）的最大值为√2解：函数f （x ）＝sin x ﹣|cos x |={sinx −cosx ，2kπ−π2≤x ≤2kπ+π2，k ∈Zsinx +cosx ，2kπ+π2＜x ＜2kπ+3π2，k ∈Z， 对于A ，f （﹣x ）＝sin （﹣x ）﹣|cos （﹣x ）|＝﹣sin x ﹣|cos x |≠﹣f （x ），故A 不正确；对于B ，f （x +2π）＝sin （x +2π）﹣|cos （x +2π）|＝sin x ﹣|cos x |＝f （x ），结合图象，f （x ）的最小正周期为2π，故B 正确；对于C ，f （π﹣x ）＝sin （π﹣x ）﹣|cos （π﹣x ）|＝sin x ﹣|cos x |＝f （x ），f （x ）的图象关于直线x =π2对称，故C 正确；对于D ，函数f （x ）在区间[2k π−π2，2k π−π4]，k ∈Z 和（2k π+π2，2k π+5π4]，k ∈Z 上单调递减，在区间（2k π−π4，2k π+π2]，k ∈Z 和（2k π+5π4，2k π+3π2），k ∈Z 上单调递增，f （2k π−π2）＝f （2k π+3π2）＝﹣1，k ∈Z ，f （2k π+π2）＝1，k ∈Z ，f（x）的最大值为1，选项D不正确．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是∃x0∈R，使得3X0≤0．解：根据全称命题的否定是特称命题，得；命题：“∀x∈R，3x＞0”的“”的否定是：“∃x0∈R，使得3X0≤0”．故答案为：∃x0∈R，使得3X0≤0．14．已知2a＝3，log45＝b，则8a﹣2b＝27125．解：由题意，2a＝3，log45＝b，∴4b＝5，8a−2b=8a÷82b=23a÷43b=33÷53=27 125．故答案为：27 125．15．函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则函数y＝[x+2]﹣x的值域是（1，2]．解：由函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当x∈[n，n+1）时，可得[x]＝n，则[x+2]＝n+2，可得y＝[x+2]﹣x＝n+2﹣x，因为x∈[n，n+1），可得n+2﹣x∈（1，2]，所以函数y＝[x+2]﹣x的值域是（1，2]．故答案为：（1，2]．16．如图，要在一块半径为6，圆心角为45°的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设∠AOP＝α，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为9，此时tanα＝12．解：根据题意，Rt △AOD 中，AD ＝OA sin α＝6sin α，OD ＝OA cos α＝6cos α， Rt △BOC 中，OC ＝BC ＝AD ＝6sin α，故CD ＝OD ﹣OC ＝6cos α﹣6sin α，所以矩形ABCD 的面积S 1＝AD •CD ＝6sin α（6cos α﹣6sin α）＝36sin αcos α﹣36sin 2α， 由F 为OB 中点，可得矩形CEFG 中，EF ＝EC =12BC =3sin α，所以矩形CEFG 的面积S 2＝EF •EC ＝9sin 2α， 可得S ＝S 1+S 2＝36sin αcos α﹣27sin 2α＝9[2sin2α−3(1−cos2α)2]=92(4sin2α+3cos2α)−272， 因为4sin2α+3cos2α＝5sin （2α+φ），其中φ=arctan 34，α∈(0，π4)．当2α+φ=π2时，4sin2α+3cos2α有最大值5，此时S 有最大值92×5−272=9，由tan2α=1tanφ=43，得2tanα1−tan 2α=43，解得tan α＝﹣2（不符合题意，舍去）或tan α=12． 综上所述，S 的最大值为9，此时tan α=12．故答案为：9，12．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f(x)=5−x −6x(x ＞0)．（1）求函数f （x ）的最大值； （2）求不等式xf （x ）＜0的解集． 解：（1）f(x)=5−x −6x =5−(x +6x )≤5−2√x ⋅6x=5−2√6， 当且仅当x =6x，即x =√6时，等号成立，故函数f （x ）的最大值为5−2√6；（2）xf(x)=x(5−x −6x)=−x 2+5x −6=−(x −2)(x −3)＜0，x ＞0，即（x ﹣2）（x ﹣3）＞0，解得x ＜2或x ＞3，又x ＞0，故0＜x ＜2或x ＞3， 即不等式xf （x ）＜0的解集为{x |0＜x ＜2或x ＞3}．18．（12分）已知函数f(x)=sin2x +√3cos2x ，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若f(α2−π6)=85，α∈(π2，π)，求f(α−π6)的值． 解：（1）f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)， 则T =2π2=π，即函数f （x ）的最小正周期为π； （2）f(α2−π6)=2sin(α−π3+π3)=2sinα=85， 故sinα=45，又α∈(π2，π)，故cosα=−√1−(45)2=−35， f(α−π6)=2sin(2α−π3+π3)=2sin2α=4sinαcosα =4×45×(−35)=−4825． 19．（12分）已知函数f(x)=(a 2−1)x 1+x 2(a ＞0，a ≠1)． （1）判断函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明．解：（1）根据题意，f(x)=(a 2−1)x 1+x 2为奇函数， 理由如下：f(x)=(a 2−1)x 1+x 2的定义域为R ， 又f(−x)=−(a 2−1)x 1+(−x)2=−(a 2−1)x 1+x 2=−f(x)， 故f(x)=(a 2−1)x 1+x 2为奇函数； （2）根据题意，当a ＞1时，f(x)=(a 2−1)x 1+x 2单调递减， 当0＜a ＜1时，f(x)=(a 2−1)x 1+x 2单调递增， 证明：设∀x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(a 2−1)x 11+x 12−(a 2−1)x 21+x 22=(a 2−1)(x 1+x 1x 22)−(a 2−1)(x 2+x 2x 12)(1+x 12)(1+x 22)=(a 2−1)(1−x 1x 2)(x 1−x 2)(1+x 12)(1+x 22)， 因为x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1＜x 2，所以1﹣x 1x 2＜0，x 1﹣x 2＜0，当a ＞1时，(a 2−1)(1−x 1x 2)(x 1−x 2)(1+x 12)(1+x 22)＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 故f(x)=(a 2−1)x 1+x 2单调递减，当0＜a ＜1时，(a 2−1)(1−x 1x 2)(x 1−x 2)(1+x 12)(1+x 22)＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 故f(x)=(a 2−1)x 1+x 2单调递增， 20．（12分）已知函数f （x ）＝sin 4x +2sin x cos x ﹣cos 4x ，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）把函数y ＝f （x ）的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，求函数y ＝g （x ）在区间[π6，π4]上的最小值． 解：（1）f （x ）＝sin 4x +2sin x cos x ﹣cos 4x ＝（sin 2x +cos 2x ）（sin 2x ﹣cos 2x ）+2sin x cos x＝sin 2x ﹣cos 2x +2sin x cos x ＝sin2x ﹣cos2x=√2sin(2x −π4)， 令π2+2kπ≤2x −π4≤3π2+2kπ(k ∈Z)， 则3π8+kπ≤x ≤7π8+kπ(k ∈Z)，故函数f （x ）的单调递减区间为[3π8+kπ，7π8+kπ](k ∈Z)； （2）将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π4个单位长度， 则g(x)=√2sin(2x +2×π4−π4)=√2sin(2x +π4)， 当x ∈[π6，π4]时，2x +π4∈[7π12，3π4]， 则当2x +π4=3π4时，即x =π4时， y ＝g （x ）有最小值，且最小值为g(π4)=√2sin 3π4=1． 即y ＝g （x ）在区间[π6，π4]上的最小值为1． 21．（12分）某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数y ＝f （x ）来拟合该文化馆对外开放后第x （x ≥1）年与当年参观人数y （单位：万人）之间的关系．（1）若选函数f(x)=m x+n(m ≠0)，试确定m ，n 的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②； （2）若选函数f （x ）＝a •b x +c （b ＞0，b ≠1），要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定b 的取值范围．解：（1）由于函数f(x)=mx+n(m≠0)，第1年参观人数为12万人，即f(1)=m1+n=m+n=12，第2年参观人数为14万人，即f(2)=m2+n=14，联立可得：m＝﹣4，n＝16，所以f(x)=−4x+16，设1≤x1＜x2，f(x1)−f(x2)=(−4x1+16)−(−4x2+16)=4(x1−x2)x1x2，且1≤x1＜x2，得x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f(x)=−4x+16在区间[1，+∞）上单调递增，符合预测①，同时x∈[1，+∞），f(x)=−4x+16＜16，符合预测②；（2）由于函数f（x）＝a•b x+c（b＞0，b≠1），第1年参观人数为12万人，即f（1）＝a•b+c＝12，第2年参观人数为14万人，即f（2）＝a•b2+c＝14，联立可得：a=2b(b−1)，c=12−2b−1，由指数函数的性质可知：当0＜b＜1时，函数y＝b x在R上单调递减，当b＞1时，函数y＝b x在R上单调递增，若符合预测①，则{0＜b＜1a＜0或{b＞1a＞0，当0＜b＜1时，a=2b(b−1)＜0，符合预测①，此时x∈[1，+∞），b x∈（0，b]，a•b x∈[ab，0），f（x）∈[ab+c，c），再符合预测②，只需c≤16即可，由c=12−2b−1≤16，且0＜b＜1，得：0＜b≤12；当b＞1时，a=2b(b−1)＞0，符合预测①，此时函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，同时a=2b(b−1)，c=12−2b−1，f(x)=2b(b−1)⋅b x+12−2b−1，解方程2b(b−1)⋅b x+12−2b−1=16，可得x=log b(2b2−b)，其中b＞1，2b2﹣b＝b（2b﹣1）＞2b﹣1＝b+（b﹣1）＞b，log b(2b2−b)＞1，即当x＞log b(2b2−b)时，f（x）＞16，不符合预测②，综上所述，b的取值范围是：0＜b≤1 2．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，∀a，b∈R，f（a+b）+f（a﹣b）＝3f（a）f（b），且f(1)=13，f(x)在区间[0，3]上单调递减．（1）求证：f（x）+f（0）≥0；（2）求f（1）+f（2）+⋯+f（2023）的值；（3）当x∈R时，求不等式3f（2x）+4≤9f（x）的解集．解：（1）证明：令a=b=x2，则有f(x)+f(0)=3f(x2)⋅f(x2)=3f2(x2)，由f2(x2)≥0，故f（x）+f（0）≥0；（2）令b＝1，则有f（a+1）+f（a﹣1）＝3f（a）f（1）＝f（a），则f（a）+f（a﹣2）＝f（a﹣1），即f（a）＝f（a﹣1）﹣f（a﹣2），故f（a+1）+f（a﹣1）＝f（a﹣1）﹣f（a﹣2），即f（a+1）＝﹣f（a﹣2），则f（a﹣3+1）＝﹣f（a﹣3﹣2），即f（a﹣2）＝﹣f（a﹣5），故f（a+1）＝f（a﹣5），即有f（x）＝f（x﹣6），故函数f（x）为周期为6的周期函数，令a＝1、b＝0，则有f（1）+f（1）＝3f（1）f（0），即f(0)=2 3，令a＝1、b＝1，则有f（2）+f（0）＝3f（1）f（1），即f(2)=−1 3，由f（a+1）＝﹣f（a﹣2），故f(3)=−f(0)=−2 3，f(4)=−f(1)=−13，f(5)=−f(2)=13，f(6)=f(0)=23，故f（1）+f（2）+⋯+f（2023）＝337[f（1）+f（2）+⋯+f（6）]+f（1）=337(13−13−23−13+13+23)+13=13；（3）令a＝b＝x，则有f（2x）+f（0）＝3f2（x），即f(2x)=3f2(x)−f(0)=3f2(x)−2 3，则3f（2x）＝9f2（x）﹣2，即3f（2x）+4≤9f（x）可化为9f2（x）﹣2+4≤9f（x），即解9f2（x）﹣9f（x）+2≤0，即[3f（x）﹣2][3f（x）﹣1]≤0，即13≤f(x)≤23，由f(1)=13、f(0)=23，且f（x）在区间[0，3]上单调递减，故x∈[0，1]是该不等式的解，又f（a﹣2）＝﹣f（a﹣5），即f（x）＝﹣f（x﹣3），故f（x）在区间[3，6]上单调递增，又f(5)=13、f(6)=23，故x∈[5，6]是该不等式的解，又函数f（x）为周期为6的周期函数，故该不等式的解集为[6k，6k+1]∪[6k+5，6k+6]（k∈Z）＝[6k﹣1，6k+1]（k∈Z）．。

广东省广州市一中高一上学期期末考试（数学）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.选对的得3分，错选或不答得0分.）1．已知公差不为0的等差数列的第4，7，16项恰好是某等比数列的第4，6，8项，那么该等比数列的公比是（）ABCD2．一条弦的长等于半径，则这条弦所对劣弧的圆周角的弧度数为（）A．1 B．12C．6πD．3π3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若5359aa=，则95SS=（）A．1 B．–1 C．2 D．1 24．与610°的角终边相同的角可表示为（）A．k·360°+ 230°，k∈Z B．k·360°+ 250°，k∈ZC．k·360°+ 70°，k∈Z D．k·360°+ 270°，k∈Z5．已知集合M = {0，1，2}，N = {x| x = 2a，a∈M}，则集合M∩N =（）A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，2}6．|x + 1|＜1是x2 + 3x – 4≤0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．函数f (x) = ax–1 + logax (a＞0，a≠1)，在[1，2]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为（）A．4 B．14C．2 D．128．设2a = 3，2b = 6，2c = 12，则数列a，b，c（）A．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列9．设71tan0,sin cos,131tanααπααα-<<+=+则（）A．177B．717C．177-D．717-10．已知2212tan2,sin cos45ααα=-+则的值为（）A．1725B．257C．725D．2517二、填空题（每题4分，共 11．1420sin()cos()33ππ-+-=.12．若α= .13．1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+=.14．若点(1, 2)既在y 图象上，又在其反函数图象上，则a + b =.15．数列{an}的前n 项和Sn 满足log2 (Sn + 1) = n + 1，则an = .三、解答题（50分）16．（8分）设集合A = {x| |x – 1|＞2}，21{|1}2x B x x -=<+，①求A ∩B ，②求R A B ⋃ð.17．（8分）已知α、β均为锐角，且45cos ,cos(),sin 513ααββ=+=-求的值.18．（8分）某城市底人口约为50万，人均住房面积为10平方米，计划到底人均住房面积达到15平方米.如果该市把每年人口平均增长率控制在1%，要实现上述计划，该市每年平均要新增住房面积多少平方米？（参考数据：1.013 = 1.03，1.014 = 1.04，1.015 = 1.05）19．（8分）已知数列61,21,*,2,*n nn n k k N a n k k N -=-∈⎧⎪=⎨=∈⎪⎩，求S a1 + a2 +…+a8分）已知{an}是各项为不同的正数的等差数列，lga1，lga2，lga4成等差数列，又21,1,2,3,nn b n a ==. （1）证明{bn}为等比数列；（2）如果数列{bn}前3项的和等于724，求数列{an}的首项a1和公差d.21．（10分）已知函数f (x) = |x – a|，21()122ag x x x =++(a 为正常数)，且函数f (x)、g (x)的图象和y 轴交于同一点. （1）求a 的值；（2）求函数f (x) + g (x)的单调递增区间；（3）若n 为正整数，证明10 f(n)·()1()1 2g n<.附加题：设数列{an}的前n项的和14122,333nn nS a+=-⨯+n = 1，2，3，….（1）求首项a1与通项an；（2）设2,1,2,3,,nnnT nS==证明1232nT T T+++<.参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题4分，共 11．12．2cot α-13．1nn +14．415．3,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩ 三、解答题（共50分）16．解：{|31}A x x x =><-或……（2分） A ∩B ={|21}x x -<<-……（6分） {|23}B x x =-<<……（4分）R A ð∪B ={|23}x x -<≤……（8分）17．解：∵α为锐角，4cos 5α=，∴3sin 5α==…………（2分） ∵α、β为锐角，∴5(0,),cos()13αβπαβ+∈+=-而， ∴12sin()13αβ+=（4分） 又∵()βαβα=+-……（5分） ∴sin sin()cos cos()sin βαβααβα=+-+…（6分） 1245363()13513565=⨯--⨯=.…（8分） 18．解：设每年平均新增住房x 平方米，则住房面积为500000×10 + 5x = 5000000 + 5x (m2)………………………………（2分） 人口数为500000×(1 + 1%)5 = 5.25×105 ………………（4分） 依题意知 5×106 + 5x = 5.25×105×15…………………………（6分）解之得x = 575000（平方米）…………（7分） 答：（略）………（8分） 19．解：S (a1 + a3+…+a19) + (a2 + a4 +…+a= (5 + 17+…+113) + (2 + 22+…+210) …（2分）=1051132(12)10212+-⨯+-…………（6分） = 590 + 211 – 2 = 2636. ………（8分） ：（1）∵lga1，lga2，lga4成等差数列，∴2lga2 = lga1 + lga4，即a22 = a1·a4. …（1分）设等差数列{an}的公差为d (d ≠0)，则(a1 + d)2 = a1·(a1 + 3d)，∴d = a1. ……（3分）∴122111(21)2,2n n n n n n a a d d b a d =+-===⋅……………………（4分）∵1111121122n n n n b d b d ++⋅==⋅. ∴{bn}为等比数列. ………………………（6分）（2）解：∵1231117(1)22424b b b d ++=++=，∴d = 3，∴a1 = d = 3. ……………（8分）21．解：（1）由题意f (0) = g (0) = 1，即|a| = 1，又∵a ＞0，∴a = 1. …………（2分）（2）f (x) + g (x) = |x – 1| +22213,11122111222,122x x x x x x x x ⎧+≥⎪⎪++=⎨⎪-+<⎪⎩ ………………（3分）当x ≥1时，f (x) + g (x)在[1，+∞)上单调递增.当x ＜1时，f (x) + g (x)在1[,1)2上单调递增. ………………………………（5分） 综上，结合f (x) + g (x)的图象可知，f (x) + g (x)的单调递增区间是1[,)2+∞……（6分）（3）设2111()()1221110()10()22n n f n g n n n C ++-=⋅=⋅，解11n n C C +<得1110()12n +⋅<. ………（8分）当n ≥3，11n n C C +<，于是C1≤C2≤C3，而C3＞C4＞C5………………………（9分）∴()()(3)(3)2711110010()10()10()1222128f n g n f g ⋅≤⋅=⋅=<. …………………………（10分） 附加题：解：（1）由14122,1,2,3,,333n n n S a n +=-⨯+= ① 得1114124333a S a ==-⨯+. 所以a1 = 2. 再由①有114122,2,3,,333n n n S a n --=-⨯+= ② 将①和②相减得11141()(22)33n n n n n n n a S S a a +--=-=--⨯-，n = 2，3，….整理得an+2n = 4 (an –1+2n –1)，n=2，3，…. 因而数列{an + 2n}是首项为a1 + 2 = 4，公比为4的等比数列，即an + 2n = 4×4n –1 = 4n ，n = 1，2，3，…. 因而an = 4n – 2n ，n = 1，2，3，….（2）将an = 4n – 2n 代入①得1114121(42)2(21)(22)3333n n n n n n S +++=⨯--⨯+=⨯--=12(21)(21)3n n +⨯--.11232311()22(21)(21)2121n n n n n n n n T S ++==⨯=⨯--⨯---.所以12122313111111[]2212121212121n n n T T T ++++=-+-++-------=113113()222121n +⨯-<--.。

2022-2023学年广东省广州市第二中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=，则集合A B ⋃中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】求得A B ⋃，由此判断出A B ⋃中元素的个数. 【详解】依题意{}1,0,1,2A B ⋃=-，有4个元素. 故选：D【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题. 2．与角330-终边相同的最小正角是（ ） A ．30- B ．330 C ．30 D ．60【答案】C【解析】利用终边相同的角的关系，求得与角330-终边相同的最小正角. 【详解】与角330-终边相同的最小正角为33036030-+=. 故选：C【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.3．若)11f x =+，则()3f 的值为（ ）A ．4B ．5C ．9D ．10【答案】B13=计算出x 的值，由此求得()3f 的值.13=由解得4x =，所以()3415f =+=. 故选：B【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.4．已知幂函数()()23mf x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）AB ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.5．若()()(0)f x tan x ωω=>的周期为1，则1()3f 的值为（ ）A．B．CD【答案】D【解析】根据()f x 的周期求得ω，由此求得13f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】依题意()()π1,π,tan πT f x x ωω====，所以1πtan 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本小题主要考查正切函数的周期性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.6．已知实数x ，y ，z 满足04x =，5log 3y =，πsin 22z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．z x y <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．x z y <<【答案】C【分析】根据指数、对数、三角函数的知识确定正确答案. 【详解】041x ==，55log 3log 51y =<=，πsin 2cos 22z ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，而π2π2<<，所以0z <，所以z y x <<. 故选：C7．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为（ ）2cm A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为π4π4=，所以扇形面积为1π42π2⋅⋅=.故选：C【点睛】本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对于1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，若实数m 满足()()()12120mf m m f m +-->，则m 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,-+∞【答案】C【分析】构造函数()()F x xf x =，根据()F x 的单调性和奇偶性化简不等式()()()12120mf m m f m +-->，进而求得m 的取值范围.【详解】依题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x -=， 构造函数()()F x xf x =，则()()()()F x xf x xf x F x -=--=-=-， 所以()F x 是奇函数，图象关于原点对称. 由于1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，即()()12120F x F x x x -<-，所以()F x 在[)0,∞+上递减， 所以()F x 在R 上递减.由()()()12120mf m m f m +-->，即()()120F m F m +->，()()12F m F m >--， 即()()21F m F m >-， 所以21,1m m m <->， 所以m 的取值范围是()1,+∞. 故选：C二、多选题9．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()()22,f t t g x x ==B ．()()cos ,sin 2f x x g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭C ．()()()20,(0)x x f x g x x x ⎧≥==⎨-<⎩D ．()()4lo ,log f x g x g x ==【答案】ABD【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.【详解】()()22,f t t g x x ==对应关系和定义域显然相同，故A 正确；B 选项中，因为()sin cos 2g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以B 正确；C 选项中，()2f x =的定义域为[0,)+∞，()g x 的定义域为R ，故C 不正确；D 选项中，显然()(),f x g x 的定义域都为(0,)+∞，又()24221lo log log 2f x g x x x ===，()12221log log l 2og x x g x ==，故D 正确. 故选：ABD10．下列说法正确的是（ ）A ．“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件B ．“0xy >”是“0x y +>”的必要不充分条件C ．“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题D ．命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠” 【答案】AD【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B 选项；利用特殊值法可判断C 选项；利用存在量词命题的否定可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若22ac bc >，则20c >，由不等式的性质可得a b >，即“22ac bc >”⇒“a b >”，若a b >，取0c ，则22ac bc =，即“22ac bc >”⇐/“a b >”， 故“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件，A 对；对于B 选项，若0xy >，不妨取=1x -，1y =-，则0x y +<，即“0xy >”⇒“0x y +>”，若0x y +>，取=1x -，2y =，则0xy <，即“0xy >”⇐/“0x y +>”， 所以，“0xy >”是“0x y +>”的既不充分也不必要条件，B 错；对于C 选项，取x =22x =为有理数，C 错；对于D 选项，命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠”，D 对. 故选：AD.11．已知函数()2π2sin 12f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>，的最小正周期为π，若m ，[]2π,2πn ∈-，且()()4f m f n ⋅=，则下列结论正确的是（ ）A ．ω的值为1B ．()()2f m f n ==-C ．5π,16⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．m n -的最大值为3π 【答案】ACD【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，再结合()f x 的最值、对称中心对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】()2ππ2sin 1cos 2126f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 的最小正周期为π， 所以2ππ,12T ωω===，A 选项正确. 所以()π1cos 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于ππ1cos 21,1cos 2166x x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤-≤--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π01cos 226x ⎛⎫≤--≤ ⎪⎝⎭，当[],2π,2πm n ∈-时，要使()()4f m f n ⋅=，则()()2f m f n ==，B 选项错误. 5ππ3πcos 2cos 0662⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，5π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以5π,16⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，C 选项正确. 当()2f x =时，πcos 216x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π3π5π22π,π,Z 626x k x k k -=+=+∈，由5π2ππ2π6k -≤+≤，解得17766k -≤≤， 所以2,1,0,1k =--， 所以m n -的最大值为5π5ππ2π3π66⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD12．已知函数()[]πcos 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是（ ）A ．函数12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数B ．()f x 的值域为{}1,0,1-C ．()f x 为周期函数，且最小正周期4T =D ．()f x 与7log 1y x =-的图像恰有一个公共点 【答案】BCD【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确.【详解】对于A ，由于()110cos 0122f f ⎛⎫-+=== ⎪⎝⎭，()11π1cos 0222f f ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭所以1122f ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭1122f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数，故A 错；对于B ，由于[]x 为整数，[]()πππZ sin 222x k k k ⎛⎫=⋅∈∴⋅ ⎪⎝⎭的值有0,1,1-三种情况，所以()f x 的值域为{}0,1,1-故B 正确；对于C ，由于[][]44x x +=+，所以()[][][]()πππ4cos 4cos 2πcos 222f x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，由B 得(){}0,1,1f x ∈-，令7log 10x -=，得2x =或0x =，而()()2cos π1,0cos01f f ==-==不是公共点的横坐标. 令7log 10x -=，得8x =或6x =-，而()()()8cos4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1是两个函数图像的一个公共点. 令7log 11x -=-，得87x =或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知a<0，则关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集是______.【答案】5{|}2x x a -<<-【分析】将不等式的左边进行因式分解，然后比较a -和52-的大小，再利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】因为关于x 的不等式()225250x a x a +++<可化为：(25)()0x x a ++<，又因为a<0，所以52a ->-，所以不等式(25)()0x x a ++<的解集为5{|}2x x a -<<-，则关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集是5{|}2x x a -<<-，故答案为：5{|}2x x a -<<-.14．1cos80︒______. 【答案】4【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案.【详解】1cos80︒==12sin802cos80cos10⎛⎫︒︒ ⎪⎝⎭︒=︒ ()2sin 8060cos80cos10︒-︒=︒︒ 2sin 20cos80cos10=︒︒︒22sin10cos104sin10cos10⨯⨯︒︒=︒︒=.故答案为：415．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位后得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是______. 【答案】π12##112π 【分析】求得平移后的函数解析式，然后根据对称性求得m 的取值范围，进而求得m 的最小值. 【详解】函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位后，得到()ππsin 2sin 2233y x m x m ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其图像关于y 轴对称，所以ππππ2π,,Z 32212k m k m k +=+=+∈， 由于0m >，所以m 的最小值为π12. 故答案为：π1216．已知函数()21xf x -=-，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩，当01m <<时，关于x 的方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为______.【答案】4【分析】令()t f x =，得到()g t m =，由()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩的图象得到根t 的分布， 再由()21x f x -=-的图象，得到()t f x =的根的个数即可. 【详解】解：令()t f x =，则()g f x m =⎡⎤⎣⎦，化为()g t m =，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩的图象如图所示：因为01m <<，所以()g t m =有三个不同的根123,,t t t ，其中()()()1230,1,1,2,2,3t t t ∈∈∈，函数()21xf x -=-的图象如图所示：由图象知：()1t f x =有2个不同的根，()2t f x =有1个根，()3t f x =有1个根， 所以当01m <<时，关于x 的方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为4， 故答案为：4四、解答题17．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2120B x x x =+-≥．(1)当2a =时，求()R A B ⋃； (2)若RA B ⊆，求a 的取值范围．【答案】(1)(){}44R A B x x ⋃=-<< (2)3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）解一元二次不等式求得集合B ，由补集和并集的定义可运算求得结果； （2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤-或}3x ≥，{}43RB x x =-<<，(){}44R A B x x ⋃=-<<.（2）RA B ⊆，当0a ≤时，A =∅，符合题意， 当0a >时，由23a ≤，得302a <≤， 故a 的取值范围为3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦．18．已知sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+，π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， (1)求tan α和sin2α的值;(2)若πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求αβ+的大小．【答案】(1)tan 3α=，3sin 25α=；(2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tan 3α=，以及22tan sin2tan 1ααα=+求值；（2）条件等式由诱导公式可得sin 2cos tan 2βββ=⇒=，即可由和差公式求得()tan αβ+，结合αβ+范围即可.【详解】（1）()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２，2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++；（2）πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--，∵()0,παβ+∈，∴3π4αβ+=.19．已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】(1)()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)最大值为12，最小值为1-【分析】（1）由三角恒等变换化简函数为()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由整体法求单调递减区间即可；（2）由整体法求得函数值域，即可得最值.【详解】（1）()1cos 211π2cos 22cos 22223x f x x x x x +⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭， 令π22π,π2π3xk k kZ ，解得πππ,π63xk k kZ ，故()f x 的单调递减区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故()π1cos 21,32f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，最小值为1-.20．已知函数()()2R 2x x af x a =+∈为定义在[]1,1-上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)设()()sin 2g x f x =，当π,12x θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（π12θ>）时，函数()g x ，求θ的取值范围.【答案】(1)1a =- (2)π5π1212θ<≤【分析】（1）由()00f =求得a 的值.（2）求得()g x 的表达式，利用换元法，结合三角函数、函数的单调性、最值等知识求得θ的取值范围.【详解】（1）由于函数()22x xa f x =+是定义在[]1,1-上的奇函数， 所以()()010,1,22x x f a a f x -=+==-=-，经检验符合题意.（2）()()sin2sin2sin 222x x g x f x -==-， ππ,22126x x θθ≤≤≤≤， 令sin 2t x =，()22t t h t -=-，则()()22t t h t h t --=-=-，所以()h t 是奇函数，且()h t 在R 上单调递增， 当π1sin 62t ==时，112212222h -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 要使()g x，则1sin 22t x =≥， 所以π5π266x ≤≤，所以π5ππ5π2,661212θθ<≤<≤. 21．生产A 产品需要投入年固定成本5万元，每年生产x 万件()N x *∈，需要另外投入流动成本()g x 万元，且()214,072501135,7x x x g x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完. (1)写出利润()p x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）(2)年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)()2165,0725030,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当年产量为30-.【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得()p x .（2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.【详解】（1）依题意，()()2165,0721055030,7x x x p x x g x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=--=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）由（1）得()()21613,0725030,7x x p x x x x ⎧--+<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 当07x <<，所以()p x 的最大值为()613p =；当7x ≥时，50303030x x ⎛⎫-+≤-- ⎪⎝⎭当且仅当50,x x x==.由于3013-，所以当年产量为30-.22．已知函数()()2211f x x a x a =-+-+，R a ∈.(1)若()f x 在区间[]1,1-上不单调，求a 的取值范围；(2)已知关于x 的方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()2,0-(2)91,5⎫⎪⎭【分析】（1）结合二次函数的对称轴及其性质即可求解；（2）令()()22h x f x x x =++，方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，等价于函数()h x 在1,2上存在两个零点，结合二次函数的实根分布讨论即可求解.【详解】（1）函数()()2211f x x a x a =-+-+的对称轴为1x a =+，由()f x 在区间[]1,1-上不单调，所以111a -<+<，解得20a -<<，所以a 的取值范围为()2,0-.（2）令()()22h x f x x x =++，方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，等价于函数()h x 在1,2上存在两个零点，因为()()()22221,102221,02a x a x h x f x x x x ax a x ⎧-+-+-<<=++=⎨--+≤<⎩， 且()h x 在0x =处图像不间断，当2a =-时，()23,10243,02x h x x x x -<<⎧=⎨++≤<⎩无零点； 当2a ≠-时，由于()()221h x a x a =-+-+在()1,0-上单调，所以()h x 在()1,0-内最多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是()26,1022,02x x h x x x x --<<⎧=⎨-≤<⎩， 零点为0或1，所以1a =满足题意，若0不是函数()h x 的零点，则函数()h x 在1,2上存在两个零点有以下两种情形：（i ）若110x -<<，202x <<，则()()()()100020h h h h ⎧-⋅<⎪⎨⋅<⎪⎩， 即()()()()1501950a a a a ⎧-+<⎪⎨--<⎪⎩，解得915a <<. （ii ）若1202x x <<<，则()()()()()()()2Δ4810022010295010150a a a h a h a h h a a ⎧=-->⎪⎪<<⎪⎨=->⎪⎪=->⎪-=-+>⎩11a <<. 综上所述，a的取值范围为91,5⎫⎪⎭.。

广东省2021年高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2018高一上·阜城月考) 设集合，，则（）A .B .C .D .【考点】2. （2分） (2019高一上·河南月考) 函数的定义域为（）A .B .C .D .【考点】3. （2分） (2020高一上·南充期末) 已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，则（）A .B .C .D .【考点】4. （2分）将函数f（x）=Asin（ωx）（A≠0，ω＞0）的图象向左平移个单位得到的图象关于y轴对称，则ω的值可以为（）A . 2B . 3C . 4D . 5【考点】5. （2分） (2020高三上·红桥期中) 已知，，则等于（）A .B .C .D .【考点】6. （2分）设是奇函数，则使的的x取值范围是（0【考点】7. （2分） (2018高一下·龙岩期末) 设当时，函数取得最大值，则（）A .B .C .D .【考点】8. （2分） (2019高一上·平罗期中) 设函数则（）.A .B . 1C .D .【考点】9. （2分）(2017·上海模拟) 函数y= （0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A .B .C .D .【考点】10. （2分） (2019高一上·延安期中) 狄利克雷函数是数学中非常有名且很重要的一个函数.它的定义如下：，则关于狄利克雷函数的说法错误的一项是（）A . 定义域为RB . 值域为C . 是偶函数D . 对定义域内任意都有【考点】11. （2分） (2016高一下·南安期中) 函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（）A . 关于直线x= 对称B . 关于直线x= 对称C . 关于点（，0）对称D . 关于点（，0）对称【考点】12. （2分）(2019·滨海新模拟) 已知函数，且，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .【考点】13. （2分） (2017高一上·武汉期中) 函数，则下列结论错误的是（）A . f（x）是偶函数B . 方程f（f（x））=x的解为x=1C . f（x）是周期函数D . 方程f（f（x））=f（x）的解为x=1【考点】14. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知函数 , , 在上的最大值为 ,当时, 恒成立,则的取值范围是（）A .B .C .D .【考点】15. （2分） (2020高一上·苏州期中) 定义，例如：，，若，，则的最大值为（）A . 1B . 8C . 9D . 10【考点】二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）若无意义，则α在[0，π]内的值是________ ．【考点】17. （1分） (2019高三上·淮安期中) 函数满足，且在区间上，，则的值为________.【考点】18. （1分） (2019高二上·丽水月考) 函数为偶函数，且在上单调递增，则 ________；不等式的解集为________.【考点】19. （1分）已知函数f（x）= ，若存在K使得函数的f（x）值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是________．【考点】20. （1分）(2020·杨浦期末) 己知函数的反函数 ,则 ________【考点】三、解答题 (共8题；共85分)21. （10分） (2020高一下·滦县期中) 在中,内角A､B､C的所对的边是a､b､c,若（1）求A；（2）若 ,求的面积.【考点】22. （10分） (2019高一上·阜阳月考) 已知函数．（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象；（2）根据函数的图象回答下列问题：①求函数的单调区间；②求函数的值域；③求关于的方程在区间上解的个数．（回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）【考点】23. （10分） (2015高二上·龙江期末) 已知f（x）=ax3+3x2﹣x+1，a∈R．（1）当a=﹣3时，求证：f（x）=在R上是减函数；（2）如果对∀x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．【考点】24. （10分） (2020高一上·杭州期末) 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）设函数，且，实数、的值.【考点】25. （10分） (2016高一上·揭阳期中) 解答题。