2019-2020学年广东省广州市高一上学期期末数学试题及答案解析版

一、单选题1．设集合，，（ ） {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =A B = A ． B ． C ． D ．{}2{}2,3{}3,4{}2,3,4【答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【详解】因为集合，， {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =所以. {}2,3,4A B = 故选：D2．下列函数为增函数的是（ ） A ．B ．()f x x =()2xf x =C ．D ．()2f x x =()0.5log f x x =【答案】B【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A ；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD 作答.【详解】对于A ，函数，函数在上单调递减，在定义域R 上不单,0(),0x x f x x x x -≤⎧==⎨>⎩()f x (,0]-∞调，A 不是；对于B ，函数在R 上单调递增，B 是；()2x f x =对于C ，函数在上单调递减，在定义域R 上不单调，C 不是； 2()f x x =(,0]-∞对于D ，函数在上单调递减，D 不是. 0.5()log f x x =(0,)+∞故选：B3．设a ，，则“”是的（ ） R b ∈0a b <<11a b>A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】因为， 11b a a b ab--=所以当时，，0a b <<0,0ab b a >->所以即， 110b a a b ab --=>11a b >当时，取，得不到， 11a b>1,1a b ==-0a b <<所以是充分不必要条件， 0a b <<11a b>故选:A.4．已知，，，则（ ） 3log 0.3a =0.33b =0.50.3c =A ． B ． a b c <<a c b <<C ． D ．c a b <<b c a <<【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答. 【详解】，，， 33log 0.3log 10a =<=0.30331b =>=0.5000.30.31c <=<=所以. a c b <<故选：B5．已知是第四象限角，且，则（ ）θ()3sin π5θ+=πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．7177-17-【答案】A【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答. tan θ【详解】由得：，即，而是第四象限角，()3sin π5θ+=3sin5θ-=3sin 5θ=-θ则有，， 4cos 5θ===sin 3tan cos 4θθθ==-所以. π3tan tan1π144tan(π3471tan tan 1()144θθθ+-++===---⨯故选：A 6．已知，则的最小值为（ ）0x <21x x--A ．B ．4C ．D ．11【答案】D【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.【详解】因为，则，， 0x <11x ->22(1)11111x x x x -=+--≥-=--当且仅当，即 211x x=--1x =所以的最小值为. 21x x--1-故选：D7．已知，，则的值为（ ） 1cos cos 2αβ+=1sin sin 3-=αβ()cos αβ+A ． B ．C ．D ．1372-13725972-5972【答案】C【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】， ()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ-=-+=两式相加得， ()()62221113cos cos sin sin 2cos 493αβαβαβ-=+=+=++. ()59cos 72αβ∴+=-故选：C.8．已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x 范围为（ ）A ．B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a 的取值范围，进而求出()y f x =范围作答.1234x x x x 【详解】函数，当时，单调递增，，2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩1x ≤-()ln()f x x =--()0f x ≤当时，单调递减，，10x -<<()ln()f x x =-()0f x <当时，在上递减，在上递增，，0x ≥2()f x x x =-1[0,]21[,)2+∞1()4f x ≥-作出函数的部分图象，如图，()y f x =方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<y a =()y f x =图象有4个公共点， 观察图象知，，，104a -<<123411012x x x x <-<<<<<<显然有，且，由得，12|ln()||ln()|x x --=--341x x +=12|ln()||ln()|x x --=--12ln()ln()0x x -+-=即，则有，因此，12ln()0x x =121=x x 21234333111(1)()(0,)244x x x x x x x =-=--+∈所以的取值范围为.1234x x x x 1(0,4故选：B【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.二、多选题9．下列函数为奇函数的是（ ） A ． B ．()21f x x =()3f x x =C ．D ． ()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭()1f x x x=+【答案】BCD【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答. 【详解】对于A ，函数的定义域为，，是偶函()21f x x =(,0)(0,)-∞+∞ 21()()()f x f x x -==-()f x 数，A 不是；对于B ，函数的定义域为R ，是奇函数，B 是；()3f x x =()f x 对于C ，函数中，，解得，即的定义域为， 1()ln(1x f x x+=-101xx +>-11x -<<()f x (1,1)-，是奇函数，C 是；11()ln(ln()()11x xf x f x x x-+-==-=-+-()f x 对于D ，函数的定义域为，，是奇函数，1()f x x x =+(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x x f x x-=-+=--()f x D 是. 故选：BCD10．下列命题为真命题的是（ ） A ．任意两个等边三角形都相似 B ．所有的素数都是奇数 C ．， D ．，R x ∀∈0x x +≥R x ∃∈210x x -+=【答案】AC【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A ，因为所有的等边三角形的每个内角都为，因此任意两个等边三角形都相似，60 A 正确；对于B ，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B 错误； 对于C ，因为，，即，C 正确；R x ∀∈||x x ≥-||0x x +≥对于D ，因为，，D 错误.R x ∀∈221331(0244x x x -+=-+≥>故选：AC11．记函数，，其中．若，则（ ） ()()sin 2f x x ϕ=+x ∈R π2ϕ≤π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．为奇函数D ．为奇函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由对称性得到为对称轴，故，代入解析式得到或，求出函数解π2x =π12f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭π2ϕ=-π2析式或，分两种情况计算出，及判断和()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的奇偶性，推断出四个选项的正误.π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】A 选项，因为，所以为的对称轴， π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ5662πx =+=()f x 故，A 错误；ππsin 2122f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 选项，，解得：，πππ,Z 2k k ϕ+=+∈ππ,Z 2k k ϕ=-+∈因为，所以，解得：， π2ϕ≤ππππ222k -≤-+≤01k ≤≤因为，所以或1，Z k ∈0k =当时，，当时，，0k =π2ϕ=-1k =π2ϕ=故或，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，B 正确； ()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭i 1ππ32s n 2f x x ⎛⎫- ⎪⎭⎝⎫+= ⎪⎝⎭⎛此时不满足，不是奇函数，1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭s 12π2πin 23f x x ⎪⎛⎫+= ⎪⎛⎫+ ⎝⎝⎭⎭不满足，不是奇函数，C 错误； 1212ππf x fx ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，为奇函数，()f x ()sin 4sin 4x x -=-当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，即，()f x ()sin 4sin 4x x --=()()f x f x -=-为奇函数，D 正确. ()f x 故选：BD12．已知正实数x ，y ，z 满足，则（ ） 3515x y z ==A ． B ． x y z +=xz yz xy +=C ．D ．3515x y z>>24xy z >【答案】BCD【分析】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答. 13515x y z t ==>=,,x y z 【详解】是正实数，令，则，,,x y z 13515x y z t ==>=3515log ,log ,log x t y t z t ===， 111log 3,log 5,log 15t t t x y z ===对于A ，，A 错误； ln ln ln ln15ln15ln 5ln 3()(2(24ln 3ln 5ln15ln 3ln 5ln 3ln 5t t t x y z z z +=+=+=++>+>对于B ，因为，则，B 正确；111log 3log 5log 15t t t x y z+=+==xz yz xy +=对于C ，因为，则，即，35153515<<3515log 3log 5log 15t t t <<3log 35log 515log 15t t t <<因此，即有，C 正确； 3515x y z <<3515x y z>>对于D ，， 2221515151515log 3log 5log 3log 511log 3log 5()(log 15)log 15log 15244t t t t z z z xy x y +=⋅=⋅=⋅<==因此，D 正确. 24xy z >故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.三、填空题13．若函数只有一个零点，则实数a 的值为_____________．()22f x x x a =-+【答案】1【分析】利用判别式等于零求解.【详解】因为函数只有一个零点，()22f x x x a =-+所以解得. 440a ∆=-=1a =故答案为:1. 14．计算_____________． 01331log log 120.60.24-+-+=【答案】5【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案. 【详解】. 0133311log log 120.60.2log 1215544-⎛⎫+-+=⨯-+= ⎪⎝⎭故答案为：.5四、双空题15．已知函数，分别由下表给出， ()f x ()g x x0 1 2()f x 1 2 1x 0 1 2 ()g x 2 1 0则_____________；满足的x 的值是_____________． ()1f g ⎡⎤⎣⎦=()()()f g x g f x ⎦>⎡⎤⎣【答案】 2 1【分析】根据列表法给定的函数，x 分别取0，1，2依次计算、即可作答. [()]f g x [()]g f x 【详解】依题意，；()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦，，，，[(0)](2)1f g f ==[(0)](1)1g f g ==()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦[(1)](2)0g f g ==，，因此当且仅当时，成立，[(2)](0)1f g f ==[(2)](1)1g f g ==1x =()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦所以满足的x 的值是1. [()][()]f g x g f x >故答案为：2；1五、填空题16．已知，（且），若对任意的，都存在()221f x x x =--()log a g x x =0a >1a ≠[]11,2x ∈-，使得成立，则实数a 的取值范围是_____________． []22,4x ∈()()12f x g x <【答案】(1,2)【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答. ()f x []1,2-【详解】当时，，则， []1,2x ∈-2()(1)2f x x =--max ()(1)2f x f =-=因为对任意的，都存在，使得成立， []11,2x ∈-[]22,4x ∈()()12f x g x <因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值， ()f x []1,2-()g x []2,4而当时，，，不符合题意，01a <<[]2,4x ∈log 0a x <于是，函数在上单调递增，则，即，解得，1a >()log a g x x =[]2,4log 42a >214a <<12a <<所以实数a 的取值范围是. (1,2)故答案为：(1,2)【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， ()[],,y f x x a b =∈()[],,y g x x c d =∈（1）若，，总有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，故.[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min min f x g x <六、解答题17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点． ()3,4P -(1)求的值；tan α(2)求的值．2sin(π)cos(2π)ππcos()sin()22αααα+++-++【答案】(1)；43-(2). 11-【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答. （2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答. 【详解】（1）角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点， α()3,4P -所以.4tan 3α=-（2）由（1）知，，4tan 3α=-所以. 42()12sin(π)cos(2π)2sin cos 2tan 1311ππ4sin cos tan 1cos()sin()1223αααααααααα-⨯-++++-+-+====-++-++-+18．已知函数，且，．()x b f x x a -=-()124f =()235f =(1)求函数的解析式；()f x (2)根据定义证明函数在上单调递增．()f x ()2,-+∞【答案】(1) ()12x f x x -=+(2)证明见解析【分析】（1）直接根据条件列方程组求解即可；（2）任取，计算判断的符号即可证明单调性.122x x >>-()()12f x f x -【详解】（1）由已知，解得，()()2122432335b f a b f a -⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩21a b =-⎧⎨=⎩； ()12x f x x -∴=+（2）任取， 122x x >>-则，()()()()()()()()()()()12211212121122121212112222223x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+--+---=-==++++++-，122x x >>-Q ，121220,20,0x x x x ∴+>+>->，即， ()()120f x f x ∴->()()12f x f x>函数在上单调递增.∴()f x ()2,-+∞19．已知函数．ππ())sin()sin cos 44f x x x x x =+-+(1)求函数的最小正周期； ()f x (2)在中，若，求的最大值． ABC A π()1212A f -=sin sinBC +【答案】(1)； π【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.()f x （2）由（1）中函数式求出A ，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答. 【详解】（1）依题意，πππ1ππ1()sin()sin[()]sin 2)cos()sin 24242442fx x x x x x x =+-++=+++， π11π2)sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x =++==+所以函数的周期为. ()f x 2ππ2T ==（2）由（1）知，， ππππ()sin[2()]sin()121221236A A f A -=-+=+=在中，，有，于是，解得，则， ABC A 0πA <<ππ7π666A <+<ππ62A +=π3A =2π3BC +=， 2π13πsin sin sin sin()sin sin sin )3226B C B B B B B B B B +=+-=+=+显然，，因此当，即时，， 2π03B <<ππ5π666B <+<ππ62B +=π3B =max (sin sin )BC +=所以sin sin B C +20．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ 中，半径，()100m OP =圆心角，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记，矩形ABCD 的π4POQ ∠=POC α∠=面积为． ()2m S(1)将面积S 表示为角的函数；α(2)当角取何值时，S 最大？并求出这个最大值．α【答案】(1)； ππ5000,044S αα=+-<<(2)，. π8α=2max 5000(m )S =- 【分析】（1）根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答. α（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，在中，，则， Rt OBC △π2OBC ∠=sin 100sin AD BC OC POC α==∠=，在中，，则， cos 100cos OB OC POC α=∠=Rt OAD △ππ,24OAD POQ ∠=∠=OA AD =因此， 100(cos sin )AB OB OA αα=-=-100sin 100(cos sin )S AB BC ααα=⋅=⋅-， 2π10000(sin cos sin )5000(sin 2cos 21)50004αααααα=-=+-=+-所以面积S 表示为角的函数是. αππ)5000,044S αα=+-<<（2）由（1）知，当时，，则当，即时，π04α<<ππ3π2444α<+<ππ242α+=π8α=， max π[sin(2)]14α+=所以当时，. π8α=2max 5000(m )S =21．已知函数的最大值为． ()cos 22sin 2f x x a x a =++12-(1)求a 的值：(2)当时，求函数的最小值以及取得最小值时x 的集合．x ∈R ()f x 【答案】(1)1a =-(2)最小值为-5，的取值构成的集合为 x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x 的集合．【详解】（1）()2cos 22sin 212sin 2sin 2f x x a x a x a x a =++=-++，22sin 2sin 21x a x a =-+++令，则，对称轴， []sin 1,1t x =∈-2()2221f t t at a =-+++02a t =当即时， 012a t =≤-2a ≤-在单调递减，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以不满足题意； max ()(1)22211f t f a a =-=--++=-当即时， 112a-<<22a -<<在单调递增，单调递减， 2()2221f t t at a =-+++1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦所以， 22max 1()()21222a a f t f a a ==-+++=-即解得或（舍）；2430a a ++=1a =-3a =-当即时， 012a t =≥2a ≥在单调递增，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以， max 1()(1)22212f t f a a ==-+++=-解得不满足题意， 18a =综上.1a =-（2）由(1)可得在单调递增，单调递减， 2()221f t t t =---11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦所以当时函数有最小值为，1t =(1)2215f =---=-此时，则的取值构成的集合为. sin 1t x ==x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭22．已知函数，其中e 为自然对数的底数，记．()()e R x f x x =∈()()()g x f x f x =+-(1)解不等式；()()26f x f x +≤(2)若存在，使得成立，求实数k 的取值范围．(0x ∈()()20021g x k g x =⋅-【答案】(1)；(,ln 2]-∞(2) 37(,49【分析】（1）根据给定条件，解指数不等式作答.（2）求出的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.0e x 【详解】（1）函数，则不等式化为：，即，()()e R x f x x =∈()()26f x f x +≤2e e 6x x +≤2e e 60x x +-≤，而，因此，解得，(e 3)(e 2)0x x +-≤e 0x >0e 2x <≤ln 2x ≤所以原不等式的解集是(,ln 2]-∞（2）依题意，，当时，，()e e x x g x -=+0x∈0e x ∈，则， 0000002202202))e e )e e 1e e)1(2(1((x x x x x x g x k g x k ---+=++=+⋅-⇔=-0021)(1e e x x k -=-+令，，， 0e x t =∈001e e ()x x h t t t-+==+(1212,,t t t t ∀∈<，因为，则， 1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--121t t <<121210,10t t t t-<->因此，即，则有函数在上单调递增，12()()0h t h t -<12()()h t h t <()h t (于是当时，，， t ∈12t t <+≤002e e x x -<+00294(e e )2x x -<+≤，从而， 0022119e e )4(x x -≤<+3749k <≤所以实数k 的取值范围是． 37(,49【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.。

2022-2023学年广东省广州市第八十九中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．命题:p “()2,240x x a x ∃∈+-+≤R ”，则p ⌝为（ ） A ．()2,240x x a x ∀∈+-+>R B ．()2,240x x a x ∀∈+-+≤R C ．()2,240x x a x ∃∈+-+≥RD ．()2,240x x a x ∃∈+-+>R【答案】A【分析】根据存在量词命题的否定的结构形式可得正确的选项.【详解】()2,240x x a x ∃∈+-+≤R 的否定为：()2,240x x a x ∀∈+-+>R ，故选：A.2．函数()4ln 1f x x x=-+的零点所在区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可. 【详解】由题设，()f x 是定义域在(0,)+∞上连续不断的递增函数, 又(2)ln221ln210f =-+=-<，()413ln31ln3033f =-+=->，由零点存在定理可知,零点所在区间为(2,3). 故选:C .3．已知集合{}{N2},4A x x B x x =∈>-=≤∣∣，则A B =（ ） A ．{}1,0,1,2,3,4- B ．{24}xx -<<∣ C ．{}0,1,2,3,4 D ．{24}xx -<≤∣ 【答案】C【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{N2},4A x x B x x =∈>-=≤∣∣， 所以A B ={}{N24}0,1,2,3,4x x ∈-<≤=∣， 故选：C.4．已知tan 2α=，则2sin cos cos sin αααα-=-（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】A【分析】进行弦化切，代入求解. 【详解】因为tan 2α=，所以cos 0α≠.所以sin cos 22sin cos 2tan 1221cos cos 3cos sin cos sin 1tan 12cos cos αααααααααααααα---⨯-====-----. 故选：A5．二次不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，则ab 的值为（ ）A ．5-B ．5C ．6-D ．6【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解与方程根的关系求解即可. 【详解】不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，<0a ∴，∴原不等式等价于210ax bx ---<，由韦达定理知113ba -+=-，1113a-⨯=，3a ∴=-，2b =-，6ab ∴=．故选：D ． 6．2cos26sin4sin86︒-︒=︒（ ）A．B ．1 CD ．2【答案】C【分析】利用两角差的余弦和诱导公式可求三角函数式的值.【详解】()124sin 4sin 422cos 304sin42cos26sin4sin86cos 4cos 4⎫︒+︒-︒⎪︒-︒-︒︒-︒⎝⎭==︒︒︒故选：C.7．已知函数f (x )=()211414(1)x x ax ax a x ⎧-⎪⎨⎪+++>-⎩，，是R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．23a ≤-B ．38a ≤-C ．2a ≤-D ．1a ≤-【答案】C【分析】利用分段函数的单调性列不等式组求出a 的范围. 【详解】因为1y x=在(],1-∞-上单调递减，且最小值为-1. 所以要使函数f (x )=()211414(1)x x ax ax a x ⎧-⎪⎨⎪+++>-⎩，，是R 上的递减函数， 只需04141a a a a <⎧⎨-++≤-⎩，解得：2a ≤-.故选：C8．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．a b c <<【答案】B【分析】通过121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立可得到()f x 在(1,)+∞上递增，通过()1f x +是偶函数可得到()f x 的图象关于直线1x =对称，即可求出答案【详解】解：∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立， ∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， ∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数， ∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴b a c <<，故选：B ．二、多选题9．下列各组函数表示相同函数的是（ ） A ．1,1y x y x =+=+B ．2(0),2(0)y x x y x x =>=-<C ．()110,1y y x x x+=-≠= D ．()()221,1f x x g t t =-=-【答案】CD【分析】从定义域和解析式两个方面判断，一一验证.【详解】对于A ：1,1y x y x =+=+.两个函数的定义域相同，但是解析式不同，不是同一个函数.故A 错误；对于B ：2(0),2(0)y x x y x x =>=-<.两个函数的定义域不同，解析式不同，不是同一个函数.故B 错误；对于C ：()110,1y y x x x+=-≠=.两个函数的定义域相同，解析式相同，是同一个函数.故C 正确； 对于D ：()()221,1f x x g t t =-=-.两个函数的定义域相同，解析式相同，是同一个函数.故D 正确.故选：CD10．下列关于函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（ ）A ．在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．图象关于直线65x π=-轴对称 【答案】AD【分析】结合三角函数的性质，利用整体代换思想依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，,322x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，此时函数sin y x =为增函数，所以函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故A 选项正确； 对于B 选项，由函数周期公式2221T ωππ===π，故B 选项错误； 对于C 选项，当6x π=时，32x ππ+=，由于2x π=是sin y x =的对称轴，故,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的中心对称，故错误；对于D 选项，当65x π=-时，32x ππ+=-，由于2x π=-是sin y x =的对称轴，故直线65x π=-是函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，故D 选项正确.故选：AD11．下列命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“21,1x x ∀<<”的否定是“21,1x x ∃<≥”C ．设,x y ∈R ，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要而不充分条件 【答案】ABD【分析】对于ACD ，根据两个条件之间的推出关系可判断它们的正误，对于B ，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误. 【详解】对于A ，11a<即为a<0或1a >， 因为1a >可得推出a<0或1a >，a<0或1a >推不出1a >， 故“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故A 正确. 对于B ，命题“21,1x x ∀<<”的否定是“21,1x x ∃<≥”，故B 正确. 对于C ，当2x ≥且2y ≥时，有2284x y +≥≥，取x y ==224x y +≥，但2x ≥且2y ≥不成立， 故“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分而不必要条件，故C 错误. 对于D ，取10a =≠，0b =，此时0ab =，故0ab ≠不成立， 当0ab ≠时，必有0a ≠，故“0a ≠”是“0ab ≠”的必要而不充分条件，故D 正确. 故选：ABD.12．已知函数()sin cos (0,0)f x x a x a ωωω=+>>，3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．tan 6πω⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．3a =C ．1ω≥D ．()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】AC【分析】化简函数解析式，由条件可得()f x 在6x π=处取得最大值，根据正弦函数的性质可得1tan 6a πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，与条件3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 6πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，由同角关系求a ，由此判断A ，B ，再结合正弦函数的性质判断C ，D.【详解】()sin cos )f x x a x x ωωωϕ=++，sin ϕ=cos ϕ()f x 在6x π=处取得最大值，所以262k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，即226k ππωϕπ=+-，k ∈Z ，所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以1tan 6a πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23a =，又0a >，所以a =1sin 62πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，tan 6πω⎛⎫= ⎪⎝⎭A 正确，B 错误；所以266k πωππ=+，k ∈Z ，解得121k ω=+，k ∈Z ，又0ω>，所以1ω≥，故C 正确；当13ω=时，因为06x π<<，所以13136πφxφφ，所以()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误，故选：AC.三、填空题13．若集合{}1,2,3,A m =与{}22,3,B m =满足A B A ⋃=，则实数m =__________.【答案】0或1-【分析】结合集合中元素的互异性求解即可. 【详解】∵A B A ⋃=，∴22,1m m m ⎧≠⎨=⎩或221,m m m ⎧≠⎨=⎩解得1m =-，或0m = 故答案为：0或1-14．函数()12f x x =-的定义域为__________. 【答案】[)()1,22,⋃+∞【分析】直接列不等式，求出定义域.【详解】要使函数()12f x x =-有意义， 只需22020x x ⎧-≥⎨-≠⎩解得：1x ≥且2x ≠.所以函数()f x 的定义域为[)()1,22,⋃+∞. 故答案为：[)()1,22,⋃+∞15．若函数()22f x x x a =-+的定义域和值域均为[]1,(1)b b >，则a b -的值为__________.【答案】0【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于1x =成轴对称，即可得到()()11f b bf ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而得到方程组，解得即可.【详解】解：因为()()22211f x x x a x a =-+=-+-，对称轴为1x =，开口向上， 所以函数在[]1,(1)b b >上单调递增， 又因为定义域和值域均为()[1,1]b b >，所以()()11f b b f⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22111b b a ba b ⎧-+=⎪-=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩（舍去）或22a b =⎧⎨=⎩，所以0a b -=. 故答案为：016．已知()()()32233ln f x x a a x a =---⋅-的值域为[)0,∞+，则实数=a __________.【答案】1【分析】根据值域为[)0,∞+可得1x a >+，322330x a a ---≥且1a x a <<+， 322330x a a ---≤，因此1x a =+为322330x a a ---=的实数解，从而可求1a =.【详解】因为()f x 的值域为[)0,∞+，故()()32233ln 0x a a x a ---⋅-≥恒成立且等号可取.若1x a >+，则322330x a a ---≥，若1a x a <<+，则322330x a a ---≤， 故1x a =+为322330x a a ---=的实数解，故()3212330a a a +---=，整理得到：3220a a +-=，故()322210a a a -+-=即()()21220a a a -++=，解得1a =.当1a =时，()()()38ln 1f x x x =-⋅-，当2x ≥时，()()380,ln 10,0x x f x -≥-≥∴≥，对于任意给定的正数M ，当()13max 8,1x ⎧⎪>+⎨⎪⎪⎩⎭，有()381x x -->，故()f x M >，而当12x <<时，()()380,ln 10,0x x f x -<-<∴>，综上，1a =时，()f x 的值域为[)0,∞+. 故答案为：1.四、解答题17．集合{14},{13510}A x x B x x =≤<=<-<∣∣. (1)求A B ⋃； (2)求()A B ⋂R . 【答案】(1){}|15x x ≤< (2)[)4,5【分析】（1）根据并集的定义可求A B ⋃. （2）根据补集和交集的定义可求()A B ⋂R .【详解】（1）{25}B xx =<<∣，故{}|15A B x x =≤<. （2）()[)R,14,A =-∞+∞，故()[)4,5A B =R .18．已知()()()πcos πcos 2sin πf θθθθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+.(1)若()24f θ=，求cos2θ的值； (2)若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且263θππ<<，求sin θ的值. 【答案】(1)34-；(2)1266+.【分析】（1）利用诱导公式化简()cos f θθ=，再利用倍角公式可求三角函数式的值； （2）利用两角和的正弦可求sin θ的值. 【详解】（1）()cos sin cos sin f θθθθθ-==-，因为()24f θ=，故2cos 4θ=，所以213cos22cos 12184θθ=-=⨯-=-.（2）因为π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1cos 3π6θ⎛⎫ ⎪⎭=-⎝，而263θππ<<，所以062πθπ<-<，故sin 3π226θ⎛⎫-⎪= ⎝⎭， 所以6s πin c s s in πππππsin os co sin 66666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎭=⎝⎣⎦2231112632326+=⨯+⨯=. 19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为m x ，宽为m y .(1)若菜园面积为2162m ，则,x y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为60m ，求12x y+的最小值.【答案】(1)长x 为18m,宽y 为9m ； (2)320.【分析】（1）利用基本不等式即可求得； （2）利用“1”的妙用即可求得.【详解】（1）由已知可得162xy =,而篱笆总长为2x y +.又236x y +≥=,当且仅当2x y =,即18,9x y ==时等号成立 所以菜园的长x 为18m,宽y 为9m 时,可使所用篱笆总长最小. （2）由已知260x y +=.因为()12122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2142x x y y=+++5≥+5229=+⨯=（当且仅当x y =时等号成立）.所以12936020x y +≥=（当且仅当20x y ==时等号成立）所以12x y +的最小值为320.20．已知函数())2πcos sin R 3f x x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期及对称中心；(2)求()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值.【答案】(1)()f x 的最小正周期为π，对称中心为ππ,0,Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)()max 14f x =，此时对应的x 的值为π4；()min 12f x =-，此时对应的x 为π12-.【分析】（1）利用三角变换公式可得()1πsin(2)23f x x =-，利用公式和正弦函数的性质可求最小正周期和对称中心；（2）利用整体法可求函数的最值及对应的自变量的值.【详解】（1）()11cos 2cos sin 22x f x x x x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭11cos 2cos sin 22x x x +=11πsin 22sin(2)423x x x ==-，故()f x 的最小正周期为2ππ2=， 令ππ,Z x k k -=∈23，故ππ,Z 62k x k =+∈， 故对称中心为：ππ,0,Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. （2）当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，5πππ2636x -≤-≤，故π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以11π1sin 22234x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 故()max 14f x =，此时对应的x 的值为π4； ()min 12f x =-，此时对应的x 的满足ππ232x -=-即π12x =-； 21．已知函数21()x f x ax b+=+是奇函数，且()12f =. (1)求a ，b 的值；(2)证明函数()f x 在(),1-∞-上是增函数.【答案】(1)1a =，0b =(2)证明见解析【分析】（1）由奇函数的性质可知()()f x f x -=-，可求出b 的值，再利用()12f =可求出a 的值. （2）利用定义法证明函数()f x 的单调性即可.【详解】（1）∵函数21()x f x ax b+=+是奇函数，∴()()f x f x -=-， ∴2211x x ax b ax b++=--++， ∴ax b ax b -+=--，∴0b =，又∵()12f =，∴22a b=+， ∴1a =.（2）由（1）得211()x f x x x x +==+， 任取1x ，()2,1x ∈-∞-，且12x x <，∴()()()()()121221121212121212111x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x --⎛⎫--=+-+=-+= ⎪⎝⎭，∵121x x <<-，∴120x x -<，121x x >，1210x x ->，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴函数()f x 在(),1-∞-上是增函数.22．已知函数41(0x y m m -=+>且1)m ≠经过定点A ，函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠的图像经过点A .(1)求函数()42x y f a =-的定义域与值域； (2)若函数()()()224k g x f x f x =⋅-在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求k 的取值范围. 【答案】(1)定义域为(),3-∞，值域为(),3-∞.(2)[1,)+∞.【分析】（1）先由函数41(0x y m m -=+>且1)m ≠经过定点A ，求出()4,2A ，即可求出2a =，直接求出函数()42x y f a =-的定义域与值域； （2）设2log t x =,把题意转化为函数()2224h t kt t =+-在[]22-,上有两个零点，分类讨论：①0k =,②0k >③0k <列不等式组，求出k 的取值范围.【详解】（1）由函数41(0x y m m -=+>且1)m ≠经过定点A ，令40x -=，解得：4x =，所以当4x =时，4412y m -=+=.故()4,2A因为函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠的图像经过点()4,2A ，所以log 42a =，解得：2a =.所以()()242log 82x x y f a =-=-. 要使函数()2log 82x y =-有意义，只需820x ->，解得：3x <.所以()2log 82x y =-的定义域为(),3-∞. 因为0828x <-<，所以()2log 823x y =-<，所以()2log 82x y =-的值域为(),3-∞. （2）由（1）可知, ()()222222log (2)log 42log 2log 4k g x x x k x x =⋅-=+-.设2log t x =,则[]2,2t ∈-,因为t 为关于x 的单调递增函数,所以()g x 在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点,等价于函数()2224h t kt t =+-在[]22-,上有两个零点 当0k =时,由()240h t t =-=,得2t =.()h t 有一个零点,则0k =不合题意.当0k >时, ()()Δ4320,122,22880,280,k k h k h k =+>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-=-≥⎪=≤⎪⎩解得：1k ≥. 当0k <时, ()()Δ4320,122,22880,280,k k h k h k =+>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-=-≤⎪=≤⎪⎩不等式组无解. 综上所述, k 的取值范围是[1,)+∞.。

2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|x＞1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A.（1，3]B.[1，3]C.[-1，1）D.[-1，+∞）2.（单选题，5分）函数f（x）= √1−x +log2（3x-1）的定义域为（）A. (13，1]B. (0，13)C. (−∞，13)D.（0，1]3.（单选题，5分）已知命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.（单选题，5分）设x，y为正数，则（x+y）（1x + 4y）的最小值为（）A.6B.9C.12D.155.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A.f（x）=3sin（x+ π3）B.f（x）=3sin（2x+ π3）C.f（x）=3sin（2x- π3）D.f（x）=3sin（2x+ π6）6.（单选题，5分）三个数a=log30.3，b=log32，c=12的大小顺序是（）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.b＜c＜a7.（单选题，5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A.（-2，2）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）8.（单选题，5分）对于a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b={a2−ab，a≤bb2−ab，a＞b，设f（x）=（2x-1）⊗（x-1），且关于x的方程f（x）=t（t∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A. (5−√34，1)B. (1，5+√34)C. (12，1)D.（1，2）9.（多选题，5分）下面选项中正确的有（）A.集合{1，2，3}的子集个数为7个B.“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”D.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立10.（多选题，5分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若a2+b2=1，则a+b≤√2C.若a＞b，c＞d，则a-d＞b-cD.若a＞0，则a+1a≥211.（多选题，5分）已知函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，则（）A.函数f（x+ π12）为奇函数B.函数f（x）在[ π12，π3]上单调递增C.若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象12.（多选题，5分）函数f（x）= xx2+a的图象可能是（）A.B.C.D.13.（填空题，5分）cos225°=___ ．14.（填空题，5分）设函数f（x）= {4x−1，x≤0log2x，x＞0，则f（f（12））=___ ．15.（填空题，5分）已知sin（α−π12）= 13，则cos（α+17π12）=___ ．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≥f（x1）成立，则实数a的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）（1）计算：8 23 +lg5+lg2-log216-e0；（2）已知tanα= 34，求2sin(π−α)+3cos(−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)的值．18.（问答题，12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+π)(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个6条件中的两个：① 函数f（x）的最大值为2；② 函数f（x）的图像可由y=√2sin(x−π)的图像平移得到；4．③ 函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）≥1的解集．)−1．20.（问答题，12分）已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2（1）求函数f（x）的最小正周期；)上的值域；（2）求f（x）在(0，π2得到函数g（x）的图象，若h（x）=g（x）-lnx，探究h（x）（3）将f（x）的图象向右平移π8)上是否存在零点．在(1，π221.（问答题，12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．f(x)=22+x2（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=12，求f（2）的值；（2）当a=12时，若方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，求实数p的取值范围；（3）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的值范围．2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|x＞1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A.（1，3]B.[1，3]C.[-1，1）D.[-1，+∞）【正确答案】：A【解析】：可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞1}，B={x|-1≤x≤3}，∴A∩B=（1，3]．故选：A．【点评】：本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）函数f（x）= √1−x +log2（3x-1）的定义域为（）A. (13，1]B. (0，13)C. (−∞，13)D.（0，1]【正确答案】：A【解析】：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】：解：由题意可知{1−x≥03x−1＞0，解得13＜x≤1，∴函数f（x）的定义域为（13，1]，【点评】：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．3.（单选题，5分）已知命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：B【解析】：直接利用不等式的解法和充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】：解：命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，整理得：-1＜x＜1，则p是q成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：必要条件和充分条件，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.（单选题，5分）设x，y为正数，则（x+y）（1x + 4y）的最小值为（）A.6B.9C.12D.15【正确答案】：B【解析】：函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值【解答】：解：x，y为正数，（x+y）（1x +4y）= 1+4+yx+4xy≥1+4+2 √yx×4xy=9当且仅当yx =4xy时取得“=”∴最小值为9【点评】：利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”5.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A.f（x）=3sin（x+ π3）B.f（x）=3sin（2x+ π3）C.f（x）=3sin（2x- π3）D.f（x）=3sin（2x+ π6）【正确答案】：B【解析】：根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．【解答】：解：由图象知A=3，函数的周期T= 5π6 -（- π6）=π，即2πω=π，即ω=2，则f（x）=3sin（2x+φ），由五点对应法得2×（- π6）+φ=0，即φ= π3，则f（x）=3sin（2x+ π3），故选：B．【点评】：本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．6.（单选题，5分）三个数a=log30.3，b=log32，c=12的大小顺序是（）B.c＜a＜bC.a＜c＜bD.b＜c＜a【正确答案】：C【解析】：结合指数与对数函数的单调性确定各数范围，即可比较大小．【解答】：解：因为a=log30.3＜0，b=log32∈（12，1），c= 12，所以b＞c＞a．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数与对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．7.（单选题，5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A.（-2，2）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）【正确答案】：B【解析】：由题意可知f（x）在[0，+∞）上是减函数，再根据对称性和f（2）=0得出f（x）在各个区间的函数值符号，从而得出答案．【解答】：解：∵ f(x2)−f(x1)x2−x1＜0在∈[0，+∞）上恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，又f（2）=0，∴当x＞2时，f（x）＜0，当0≤x＜2时，f（x）＞0，又f（x）是偶函数，∴当x＜-2时，f（x）＜0，当-2＜x＜0时，f（x）＞0，∴xf（x）＜0的解为（-2，0）∪（2，+∞）．故选：B．【点评】：本题考查了函数单调性与奇偶性的性质，属于中档题．8.（单选题，5分）对于a ，b∈R ，定义运算“⊗”： a ⊗b ={a 2−ab ，a ≤b b 2−ab ，a ＞b，设f （x ）=（2x-1）⊗（x-1），且关于x 的方程f （x ）=t （t∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ） A. (5−√34，1) B. (1，5+√34) C. (12，1) D.（1，2） 【正确答案】：A【解析】：根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m 的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之和，并判断出函数的单调性，求出函数的值域，得到结果．【解答】：解：∵2x -1≤x -1时，有x≤0， ∴根据题意得f （x ）= {(2x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ≤0(x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ＞0，即f （x ）= {2x 2−x ，x ≤0−x 2+x ，x ＞0 ，画出函数的图象，如下图所示：从图象上观察当关于x 的方程为f （x ）=t （t∈R ）恰有三个互不相等的实数根时，t 的取值范围是（0， 14 ），当-x2+x=t时，有x1+x2=1，当2x2-x=t时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到x3= 1−√1+8t4，∴x1+x2+x3=1+ 1−√1+8t4 = 5−√1+8t4，t∈（0，14），令y= 5−√1+8t4，t∈（0，14），则函数是减函数，又由t=0时，y=1，t= 14时，y= 5−√34，故x1+x2+x3的取值范围是(5−√34，1)，故选：A．【点评】：本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，难度中档．9.（多选题，5分）下面选项中正确的有（）A.集合{1，2，3}的子集个数为7个B.“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”D.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立【正确答案】：CD【解析】：选项A，元素个数为n个的集合的子集个数为2n；选项B，若xy＞0，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，再根据充分必要条件的概念可得解；选项C，根据存在命题的否定形式，即可得解；选项D，由两角和的正弦公式推出cosβ=1，cosα=1，显然存在α，β满足．【解答】：解：选项A，元素个数为3个的集合有23=8个子集，即A错误；选项B，若xy＞0，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，所以应是“必要不充分条件”，即B错误；选项C，命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”，即C正确；选项D，因为sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，若sin（α+β）=sinα+sinβ成立，则cosβ=1，cosα=1，所以β=2k1π（k1∈Z），α=2k2π（k2∈Z），即D正确．故选：CD．【点评】：本题考查命题的真假判断，主要包含子集个数，充分必要条件，命题的否定，两角和的正弦公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.（多选题，5分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若a2+b2=1，则a+b≤√2C.若a＞b，c＞d，则a-d＞b-cD.若a＞0，则a+1a≥2【正确答案】：BD【解析】：直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：当a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bd，故A错误；对于B：由于若a2+b2=1，则（a+b）2≤2a2+2b2=2，所以a+b≤√2，故B正确；对于C：若a＞b，c＞d，则a-d＞b-c，故C错误；对于D：由于a＞0，所以a+1a≥2，当且仅当a=1时，等号成立．故选：BD．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）已知函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，则（）A.函数f（x+ π12）为奇函数B.函数f（x）在[ π12，π3]上单调递增C.若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象【正确答案】：AC【解析】：使用代入法先求出φ的值，得函数解析式；再根据三角函数的性质逐一判断．【解答】：解：∵函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，∴3× π4+φ= π2+kπ，k∈Z；∵- π2＜φ＜π2，∴φ=- π4；∴f（x）=sin（3x- π4）；对于A，函数f（x+ π12）=sin[3（x+ π12）- π4]=sin（3x），根据正弦函数的奇偶性，所以f（-x）=-f（x）因此函数f（x）是奇函数，故A正确．对于B，由于x∈[ π12，π3]，3x- π4∈[0，3π4]，函数f（x）=sin（3x- π4）在[ π12，π3]上不单调，故B错误；对于C，因为f（x）max=1，f（x）min=-1又因为|f（x1）-f（x2）|=2，f（x）=sin（3x- π4）的周期为T= 2π3，所以则|x1-x2|的最小值为π3，C正确；对于D，函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数f（x- π4）=sin[3（x- π4）- π4]=-sin3x，故D错误．故选：AC．【点评】：本题考查了三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴，属于基础题．12.（多选题，5分）函数f（x）= xx2+a的图象可能是（）A.B.C.D.【正确答案】：ABC【解析】：分类讨论，根据函数的单调性即可判断．【解答】：解：当a=0时，f（x）= 1x，则选项C符合；当a＞0，f（0）=0，故排除D；当x＞0时，f（x）= 1x+ax ≤2√ax= √a时取等号，则函数f（x）在（-∞，√a）上为减函数，在（√a，+∞）为增函数，故选项B符合；当a＜0时，函数的定义域为{x|x≠± √−a }，当x＞0，f（x）= 1x+ax ，由于y=x+ ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为增函数，则f（x）= 1x+ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为减函数，故A符合，故选：ABC．【点评】：本题考查了函数图象的识别和应用，关键掌握函数的单调性，属于基础题．13.（填空题，5分）cos225°=___ ．【正确答案】：[1]- √22【解析】：利用诱导公式把cos225°化为-cos45°，从而求得结果．【解答】：解：cos225°=cos（180°+45°）=-cos45°=- √22，故答案为：−√22．【点评】：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．14.（填空题，5分）设函数f（x）= {4x−1，x≤0log2x，x＞0，则f（f（12））=___ ．【正确答案】：[1]- 34【解析】：根据题意，由函数的解析式求出f（12）的值，进而计算可得答案．【解答】：解：根据题意，f（x）= {4x−1，x≤0 log2x，x＞0，则f（12）=log212=-1，则f（f（12））=f（-1）=4-1-1= 14-1=- 34；故答案为：- 34．【点评】：本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．15.（填空题，5分）已知sin（α−π12）= 13，则cos（α+17π12）=___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：直接由已知利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】：解：由sin（α−π12）= 13，得cos（α+17π12）=cos（α+3π2−π12）=sin（α−π12）= 13，故答案为：13．【点评】：本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≥f（x1）成立，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3]∪[3，+∞）【解析】：依题意得g（x2）max≥f（x1）max，x∈[0，2]，可求出f（x）=-x2+2x+1的最大值，分a＞0和a＜0两种情况，由函数的单调性可求解g（x）的最大值，列式求解即可．【解答】：解：因为f（x）=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，x∈[0，2]，所以f（x）的最大值为f（1）=2，①又函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，当a＞0时，g（x）在[-1，1]上单调递增，所以g（x）max=g（1）=a-1；②当a ＜0时，g （x ）在[-1，1]上单调递减， 所以g （x ）max =g （-1）=-a-1； ③因为对于∀x 1∈[0，2]，∃x 2∈[-1，1]，使得g （x 2）≥f （x 1）成立， 则g （x 2）max ≥f （x 1）max ，所以，当a ＞0时，a-1≥2，解得a≥3； 当a ＜0时，-a-1≥2，解得a≤-3；综上所述，实数a 的取值范围为（-∞，-3]∪[3，+∞）． 故答案为：（-∞，-3]∪[3，+∞）．【点评】：本题考查了函数恒成立问题，考查函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．17.（问答题，10分）（1）计算：8 23+lg5+lg2-log 216-e 0； （2）已知tanα= 34，求 2sin (π−α)+3cos (−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据指数和对数的性质或运算法则，即可得解；（2）先利用诱导公式化简所求式子，再根据“同除余弦可化切”的思想，即可得解．【解答】：解：（1）原式= (23)23 +lg （5×2）- log 224 -1=22+lg10-4-1=0；（2） 2sin (π−α)+3cos (−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)= 2sinα+3cosα3sinα+cosα = 2tanα+33tanα+1 = 2×34+33×34+1 = 1813 ．【点评】：本题考查指数和对数的化简与求值，诱导公式的应用，同角三角函数商数关系的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18.（问答题，12分）已知函数 f (x )=x +1x ． （1）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（2）判断f （x ）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）先求函数的定义域，然后利用奇偶性进行判断；（2）利用函数单调性的定义判断．【解答】：解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：因为函数f(x)=x+1x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f（-x）=-x- 1x =-（x+ 1x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+（1x1 - 1x2）=（x1-x2）+ x2−x1x1x2= (x1−x2)(x1x2−1)x1x2，因为1＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1x2-1＞0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：① 函数f（x）的最大值为2；② 函数f（x）的图像可由y=√2sin(x−π4)的图像平移得到；③ 函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）≥1的解集．【正确答案】：【解析】：（1）分别根据三个条件求出A和ω的值，得到矛盾，从而可判断出所选条件；然后根据所选条件即可求出函数的解析式；（2）结合正弦函数的图象即可求解三角不等式．【解答】：解：函数 f（x）满足的条件为① ③ ，理由如下：若满足条件① ，则 A=2；若满足条件② ，则 A=2，ω=1，所以① ② 相互矛盾；若满足条件③ ，则T=π，所以ω=2，所以② ③ 也相互矛盾，所以函数 f（x）满足的两个条件只能为① ③ ，此时f(x)=2sin(2x+π6)．（2）由f(x)=2sin(2x+π6)≥1，得sin(2x+π6)≥12，所以π6+2kπ≤2x+π6≤5π6+2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，所以不等式 f（x）≥1 的解集为{x|kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z}．【点评】：本题考查三角函数的解析式，考查学生的运算能力，属于中档题．20.（问答题，12分）已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2)−1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在(0，π2)上的值域；（3）将f（x）的图象向右平移π8得到函数g（x）的图象，若h（x）=g（x）-lnx，探究h（x）在(1，π2)上是否存在零点．【正确答案】：【解析】：（1）利用辅助角公式进行化简，利用周期公式进行计算即可．（2）求出角的范围，根据值域进行求解即可．（3）求出g（x）和h（x）的解析式，根据函数定理判断条件进行判断即可．【解答】：解：（1）f（x）=cos2x+sin2x= √2 sin（2x+ π4），则最小正周期T= 2π2=π．（2）当x∈ (0，π2)时，2x∈（0，π），2x+ π4∈（π4，5π4），即2x+ π4 = 5π4时，f（x）取得最小值，最小值为f（x）= √2 sin 5π4= √2×(−√22) =-1，当2x+ π4 = π2时，f（x）取得最大值，最大值为f（x）= √2 sin π2= √2，即函数的值域为（-1，√2 ]．（3）将f（x）的图象向右平移π8得到函数g（x）的图象，则g（x）= √2 sin[2（x- π8）+ π4]= √2 sin2x，则h（x）=g（x）-lnx= √2 sin2x-lnx，h（1）= √2 sin2＞0，h（π2）= √2sinπ-ln π2=-ln π2＜0，则h（1）h（π2）＜0，由根的存在性定理知h（x）在(1，π2)上存在零点．【点评】：本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．21.（问答题，12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数f(x)=22+x2．（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）（i）根据已知条件，将x=0，x=1，分别代入函数f（x），即可求解．（ii）结合已知条件，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，即可求解．（2）根据已知条件，分别求出两种情况残留的污渍量，再结合作差法，即可求解．【解答】：解：（1）（i）f（0）=1，表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变，f（1）= 23，表示用一个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的13．（ii）函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（0，1]，在（0，+∞）上单调递减．（2）设清洗前衣服上的污渍为1，用a单位量的水清洗后，残留的污渍为W1，则W1=1×f(a)=22+a2，用a2单位的水清洗1次，残留的污渍为1×f(a2)=88+a2，W2=f2(a2)=64(8+a2)2，∵W1-W2= 22+a2−64(8+a2)2= 2a2(a2−16)(2+a2)(8+a2)2，∴W1-W2的符号由a2-16 决定，当a＞4时，W1＞W2，则把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的污渍较少，当a=4时，W1=W2，则两种清洗方法效果相同，当a＜4时，W1＜W2，则用a单位的水清洗一次，残留的污渍较少．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=12，求f（2）的值；（2）当a=12时，若方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，求实数p的取值范围；（3）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入化简f（2）= log12（2-1）+ log12（2- 32），从而求得；（2）代入a= 12化简得f（x）= log12（x-1）（x- 32），将方程转化为（x-1）（x- 32）=p-x在（3，4）上有解，即x2- 32 x+ 32=p在（3，4）上有解，构造函数g（x）=x2- 32x+ 32，从而利用函数的单调性求得；（3）先确定函数的定义域，再化简f（x）=log a（x2-5ax+6a2），结合题意知函数y=x2-5ax+6a2在[a+3，a+4]上是增函数，再利用复合函数的单调性分类讨论函数的最值，并将恒成立问题转化为最值问题即可．【解答】：解：（1）当a= 12时，f（x）= log12（x-1）+ log12（x- 32），故f（2）= log12（2-1）+ log12（2- 32）= log12 1+ log1212=1；（2）当a= 12时，f（x）= log12（x-1）+ log12（x- 32）= log12（x-1）（x- 32），∵方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，∴ log12（x-1）（x- 32）= log12（p-x）在（3，4）上有解，即（x-1）（x- 32）=p-x在（3，4）上有解，即x2- 32 x+ 32=p在（3，4）上有解，令g（x）=x2- 32 x+ 32，则g（x）在（3，4）上单调递增，故g（3）＜g（x）＜g（4），即6＜g（x）＜232，即6＜p＜232，故实数p的取值范围为（6，232）；（3）函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）的定义域为（3a，+∞），f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）=log a（x-2a）（x-3a）=log a（x2-5ax+6a2），∵f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，∴a+3＞3a，即a＜32，故函数y=x2-5ax+6a2在[a+3，a+4]上是增函数，① 当0＜a＜1时，由复合函数的单调性可得，f（x）在[a+3，a+4]上是减函数，故f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立可化为f（a+3）≤1，即log a（2a2-9a+9）≤1，即2a2-9a+9≥a，解得，a≥ 5+√72或a≤ 5−√72，故0＜a＜1；② 当1＜a＜32时，由复合函数的单调性可得，f（x）在[a+3，a+4]上是增函数，故f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立可化为f（a+4）≤1，即log a（2a2-12a+16）≤1，即2a2-12a+16≤a，解得，13−√414≤a≤ 13+√414，∵ 13−√414＞32，故无解；综上所述，实数a的值范围为（0，1）．【点评】：本题考查了复合函数的单调性的判断与应用，利用了分类讨论的思想及转化思想，同时考查了恒成立问题及存在性问题，属于中档题．。

2022-2023学年广东省广州市第二中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=，则集合A B ⋃中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】求得A B ⋃，由此判断出A B ⋃中元素的个数. 【详解】依题意{}1,0,1,2A B ⋃=-，有4个元素. 故选：D【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题. 2．与角330-终边相同的最小正角是（ ） A ．30- B ．330 C ．30 D ．60【答案】C【解析】利用终边相同的角的关系，求得与角330-终边相同的最小正角. 【详解】与角330-终边相同的最小正角为33036030-+=. 故选：C【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.3．若)11f x =+，则()3f 的值为（ ）A ．4B ．5C ．9D ．10【答案】B【解析】13=计算出x 的值，由此求得()3f 的值.【详解】13=由解得4x =，所以()3415f =+=. 故选：B【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.4．已知幂函数()()23mf x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）AB ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.5．若()()(0)f x tan x ωω=>的周期为1，则1()3f 的值为（ ）A．B．CD【答案】D【解析】根据()f x 的周期求得ω，由此求得13f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】依题意()()π1,π,tan πT f x x ωω====，所以1πtan 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本小题主要考查正切函数的周期性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.6．已知实数x ，y ，z 满足04x =，5log 3y =，πsin 22z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．z x y <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．x z y <<【答案】C【分析】根据指数、对数、三角函数的知识确定正确答案. 【详解】041x ==，55log 3log 51y =<=，πsin 2cos 22z ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，而π2π2<<，所以0z <，所以z y x <<. 故选：C7．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为（ ）2cm A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为π4π4=，所以扇形面积为1π42π2⋅⋅=.故选：C【点睛】本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对于1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，若实数m 满足()()()12120mf m m f m +-->，则m 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,-+∞【答案】C【分析】构造函数()()F x xf x =，根据()F x 的单调性和奇偶性化简不等式()()()12120mf m m f m +-->，进而求得m 的取值范围.【详解】依题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x -=， 构造函数()()F x xf x =，则()()()()F x xf x xf x F x -=--=-=-， 所以()F x 是奇函数，图象关于原点对称. 由于1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，即()()12120F x F x x x -<-，所以()F x 在[)0,∞+上递减， 所以()F x 在R 上递减.由()()()12120mf m m f m +-->，即()()120F m F m +->，()()12F m F m >--， 即()()21F m F m >-， 所以21,1m m m <->， 所以m 的取值范围是()1,+∞. 故选：C二、多选题9．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()()22,f t t g x x ==B ．()()cos ,sin 2f x x g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭C ．()()()20,(0)x x f x g x x x ⎧≥==⎨-<⎩D ．()()4lo ,log f x g x g x ==【答案】ABD【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.【详解】()()22,f t t g x x ==对应关系和定义域显然相同，故A 正确；B 选项中，因为()sin cos 2g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以B 正确；C 选项中，()2f x =的定义域为[0,)+∞，()g x 的定义域为R ，故C 不正确；D 选项中，显然()(),f x g x 的定义域都为(0,)+∞，又()24221lo log log 2f x g x x x ===，()12221log log l 2og x x g x ==，故D 正确. 故选：ABD10．下列说法正确的是（ ）A ．“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件B ．“0xy >”是“0x y +>”的必要不充分条件C ．“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题D ．命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠” 【答案】AD【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B 选项；利用特殊值法可判断C 选项；利用存在量词命题的否定可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若22ac bc >，则20c >，由不等式的性质可得a b >，即“22ac bc >”⇒“a b >”，若a b >，取0c ，则22ac bc =，即“22ac bc >”⇐/“a b >”， 故“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件，A 对；对于B 选项，若0xy >，不妨取=1x -，1y =-，则0x y +<，即“0xy >”⇒“0x y +>”，若0x y +>，取=1x -，2y =，则0xy <，即“0xy >”⇐/“0x y +>”， 所以，“0xy >”是“0x y +>”的既不充分也不必要条件，B 错；对于C 选项，取x =22x =为有理数，C 错；对于D 选项，命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠”，D 对. 故选：AD.11．已知函数()2π2sin 12f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>，的最小正周期为π，若m ，[]2π,2πn ∈-，且()()4f m f n ⋅=，则下列结论正确的是（ ）A ．ω的值为1B ．()()2f m f n ==-C ．5π,16⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．m n -的最大值为3π 【答案】ACD【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，再结合()f x 的最值、对称中心对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】()2ππ2sin 1cos 2126f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 的最小正周期为π， 所以2ππ,12T ωω===，A 选项正确. 所以()π1cos 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于ππ1cos 21,1cos 2166x x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤-≤--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π01cos 226x ⎛⎫≤--≤ ⎪⎝⎭，当[],2π,2πm n ∈-时，要使()()4f m f n ⋅=，则()()2f m f n ==，B 选项错误. 5ππ3πcos 2cos 0662⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，5π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以5π,16⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，C 选项正确. 当()2f x =时，πcos 216x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π3π5π22π,π,Z 626x k x k k -=+=+∈，由5π2ππ2π6k -≤+≤，解得17766k -≤≤， 所以2,1,0,1k =--， 所以m n -的最大值为5π5ππ2π3π66⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD12．已知函数()[]πcos 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是（ ）A ．函数12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数B ．()f x 的值域为{}1,0,1-C ．()f x 为周期函数，且最小正周期4T =D ．()f x 与7log 1y x =-的图像恰有一个公共点 【答案】BCD【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确.【详解】对于A ，由于()110cos 0122f f ⎛⎫-+=== ⎪⎝⎭，()11π1cos 0222f f ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭所以1122f ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭1122f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数，故A 错；对于B ，由于[]x 为整数，[]()πππZ sin 222x k k k ⎛⎫=⋅∈∴⋅ ⎪⎝⎭的值有0,1,1-三种情况，所以()f x 的值域为{}0,1,1-故B 正确；对于C ，由于[][]44x x +=+，所以()[][][]()πππ4cos 4cos 2πcos 222f x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，由B 得(){}0,1,1f x ∈-，令7log 10x -=，得2x =或0x =，而()()2cos π1,0cos01f f ==-==不是公共点的横坐标. 令7log 10x -=，得8x =或6x =-，而()()()8cos4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1是两个函数图像的一个公共点. 令7log 11x -=-，得87x =或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知a<0，则关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集是______.【答案】5{|}2x x a -<<-【分析】将不等式的左边进行因式分解，然后比较a -和52-的大小，再利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】因为关于x 的不等式()225250x a x a +++<可化为：(25)()0x x a ++<，又因为a<0，所以52a ->-，所以不等式(25)()0x x a ++<的解集为5{|}2x x a -<<-，则关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集是5{|}2x x a -<<-，故答案为：5{|}2x x a -<<-.14．1cos80︒______. 【答案】4【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案.【详解】1cos80︒==12sin802cos80cos10⎛⎫︒︒ ⎪⎝⎭︒=︒ ()2sin 8060cos80cos10︒-︒=︒︒ 2sin 20cos80cos10=︒︒︒22sin10cos104sin10cos10⨯⨯︒︒=︒︒=.故答案为：415．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位后得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是______. 【答案】π12##112π 【分析】求得平移后的函数解析式，然后根据对称性求得m 的取值范围，进而求得m 的最小值. 【详解】函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位后，得到()ππsin 2sin 2233y x m x m ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其图像关于y 轴对称，所以ππππ2π,,Z 32212k m k m k +=+=+∈， 由于0m >，所以m 的最小值为π12. 故答案为：π1216．已知函数()21xf x -=-，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩，当01m <<时，关于x 的方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为______.【答案】4【分析】令()t f x =，得到()g t m =，由()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩的图象得到根t 的分布， 再由()21x f x -=-的图象，得到()t f x =的根的个数即可. 【详解】解：令()t f x =，则()g f x m =⎡⎤⎣⎦，化为()g t m =，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩的图象如图所示：因为01m <<，所以()g t m =有三个不同的根123,,t t t ，其中()()()1230,1,1,2,2,3t t t ∈∈∈，函数()21xf x -=-的图象如图所示：由图象知：()1t f x =有2个不同的根，()2t f x =有1个根，()3t f x =有1个根， 所以当01m <<时，关于x 的方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为4， 故答案为：4四、解答题17．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2120B x x x =+-≥．(1)当2a =时，求()R A B ⋃； (2)若RA B ⊆，求a 的取值范围．【答案】(1)(){}44R A B x x ⋃=-<< (2)3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）解一元二次不等式求得集合B ，由补集和并集的定义可运算求得结果； （2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤-或}3x ≥，{}43RB x x =-<<，(){}44R A B x x ⋃=-<<.（2）RA B ⊆，当0a ≤时，A =∅，符合题意， 当0a >时，由23a ≤，得302a <≤， 故a 的取值范围为3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦．18．已知sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+，π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， (1)求tan α和sin2α的值;(2)若πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求αβ+的大小．【答案】(1)tan 3α=，3sin 25α=；(2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tan 3α=，以及22tan sin2tan 1ααα=+求值；（2）条件等式由诱导公式可得sin 2cos tan 2βββ=⇒=，即可由和差公式求得()tan αβ+，结合αβ+范围即可.【详解】（1）()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２，2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++；（2）πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--，∵()0,παβ+∈，∴3π4αβ+=.19．已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】(1)()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)最大值为12，最小值为1-【分析】（1）由三角恒等变换化简函数为()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由整体法求单调递减区间即可；（2）由整体法求得函数值域，即可得最值.【详解】（1）()1cos 211π2cos 22cos 22223x f x x x x x +⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭， 令π22π,π2π3xk k kZ ，解得πππ,π63xk k kZ ，故()f x 的单调递减区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故()π1cos 21,32f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，最小值为1-.20．已知函数()()2R 2x x af x a =+∈为定义在[]1,1-上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)设()()sin 2g x f x =，当π,12x θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（π12θ>）时，函数()g x ，求θ的取值范围.【答案】(1)1a =- (2)π5π1212θ<≤【分析】（1）由()00f =求得a 的值.（2）求得()g x 的表达式，利用换元法，结合三角函数、函数的单调性、最值等知识求得θ的取值范围.【详解】（1）由于函数()22x xa f x =+是定义在[]1,1-上的奇函数， 所以()()010,1,22x x f a a f x -=+==-=-，经检验符合题意.（2）()()sin2sin2sin 222x x g x f x -==-， ππ,22126x x θθ≤≤≤≤， 令sin 2t x =，()22t t h t -=-，则()()22t t h t h t --=-=-，所以()h t 是奇函数，且()h t 在R 上单调递增， 当π1sin 62t ==时，112212222h -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 要使()g x，则1sin 22t x =≥， 所以π5π266x ≤≤，所以π5ππ5π2,661212θθ<≤<≤. 21．生产A 产品需要投入年固定成本5万元，每年生产x 万件()N x *∈，需要另外投入流动成本()g x 万元，且()214,072501135,7x x x g x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完. (1)写出利润()p x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）(2)年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)()2165,0725030,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当年产量为30-.【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得()p x .（2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.【详解】（1）依题意，()()2165,0721055030,7x x x p x x g x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=--=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）由（1）得()()21613,0725030,7x x p x x x x ⎧--+<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 当07x <<，所以()p x 的最大值为()613p =；当7x ≥时，50303030x x ⎛⎫-+≤-- ⎪⎝⎭当且仅当50,x x x==.由于3013-，所以当年产量为30-.22．已知函数()()2211f x x a x a =-+-+，R a ∈.(1)若()f x 在区间[]1,1-上不单调，求a 的取值范围；(2)已知关于x 的方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()2,0-(2)91,5⎫⎪⎭【分析】（1）结合二次函数的对称轴及其性质即可求解；（2）令()()22h x f x x x =++，方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，等价于函数()h x 在1,2上存在两个零点，结合二次函数的实根分布讨论即可求解.【详解】（1）函数()()2211f x x a x a =-+-+的对称轴为1x a =+，由()f x 在区间[]1,1-上不单调，所以111a -<+<，解得20a -<<，所以a 的取值范围为()2,0-.（2）令()()22h x f x x x =++，方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，等价于函数()h x 在1,2上存在两个零点，因为()()()22221,102221,02a x a x h x f x x x x ax a x ⎧-+-+-<<=++=⎨--+≤<⎩， 且()h x 在0x =处图像不间断，当2a =-时，()23,10243,02x h x x x x -<<⎧=⎨++≤<⎩无零点； 当2a ≠-时，由于()()221h x a x a =-+-+在()1,0-上单调，所以()h x 在()1,0-内最多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是()26,1022,02x x h x x x x --<<⎧=⎨-≤<⎩， 零点为0或1，所以1a =满足题意，若0不是函数()h x 的零点，则函数()h x 在1,2上存在两个零点有以下两种情形：（i ）若110x -<<，202x <<，则()()()()100020h h h h ⎧-⋅<⎪⎨⋅<⎪⎩， 即()()()()1501950a a a a ⎧-+<⎪⎨--<⎪⎩，解得915a <<. （ii ）若1202x x <<<，则()()()()()()()2Δ4810022010295010150a a a h a h a h h a a ⎧=-->⎪⎪<<⎪⎨=->⎪⎪=->⎪-=-+>⎩11a <<. 综上所述，a的取值范围为91,5⎫⎪⎭.。

2023-2024学年广东省广州市九区联考高一上学期期末教学质量监测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知集合只有一个元素，则实数a的值为()A.1或0B.0C.1D.1或23.方程的根所在的区间是()A. B. C. D.4.设，，，则()A. B. C. D.5.函数的图象大致为()A. B.C. D.6.函数在一个周期内的图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度7.函数若，，则a的值为()A.4B.4或C.2或D.28.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，有一种茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：放置时间01234茶水温度为了描述茶水温度y与放置时间x min的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为参考数据：，()A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题为真命题的是()A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则10.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如令函数，则()A.B.的最大值为0，最小值为C.D.与的图象没有交点11.已知函数，则()A.若，则B.不等式的解集是C.函数，的最小值为D.若，且，则12.已知函数，则()A.当时，的最小值为0B.若存在最小值，则a的取值范围为C.若是减函数，则a的取值范围为D.若存在零点，则a的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年高三第一学期期末（文科）数学试卷一、选择题1．若z（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B等于（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，3}3．已知向量满足，且与的夹角为60°，则＝（）A．B．C．D．4．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42 B．21 C．7 D．35．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%6．已知P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．7．函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．8．为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案．为了测算纪念图案的面积，如图，作一个面积约为12cm2的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm29．已知函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．B．x＝πC．x＝2πD．10．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是（）A．①②③B．①③C．①④D．③④11．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣112．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），函数g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），若方程f（x）＝g（x）有2019个解，记为x i（i＝1，2，…，2019），则＝（）A．2019 B．4038 C．2020 D．4040二、填空题13．已知函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，则a的值为．14．已知，则＝．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b cos A+a cos B＝2c cos B，，则△ABC外接圆的面积为．16．如图，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子（F）恰好在正八面体的顶点上，而硫原子（S）恰好是正八面体的中心．若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为．三、解答题（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2+a3＝12，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．18．某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图1），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图2），得到如下资料：（1）请画出发芽数y与温差x的散点图；（2）若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；（3）①求出发芽数y与温差x之间的回归方程（系数精确到0.01）；②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数．参考数据：＝2051，≈4.2，≈6.5．参考公式：相关系数：r＝（当|r|＞0.75时，具有较强的相关关系）．回归方程中斜率和截距计算公式：＝，＝．19．如图1，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD＝AE＝CD＝2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD（E，F重合，记为点P）．（1）求证：BM⊥DP；（2）求点M到平面BDP距离h．20．已知函数f（x）＝e x﹣2ax（a∈R）．（1）若f（x）的极值为0，求实数a的值；（2）若f（x）≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，求实数a的取值范围．21．已知抛物线C：y2＝4x，在x轴正半轴上任意选定一点M（m，0）（m＞0），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．（1）设m＝1，证明：抛物线C：y2＝4x在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；（2）通过解答（1），猜想求过抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点G（x0，y0）（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+5＝0．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）记函数f（x）的最大值为s，若＝s（a，b，c＞0），证明：≥3．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．若z（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝．故选：B．2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B等于（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．3．已知向量满足，且与的夹角为60°，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据条件进行数量积的运算即可求出的值，进而得出的值．解：∵，∴，∴．故选：A．4．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42 B．21 C．7 D．3【分析】利用等差数列通项公式求出a1+3d＝3，再由S7＝＝7（a1+3d），能求出结果．解：∵数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，∴a1+5d+a1+2d﹣a1﹣4d＝a1+3d＝3，∴S7＝＝7（a1+3d）＝21．故选：B．5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解．解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图，知：在A中，互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故B错误；在C中，互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%，故D正确．故选：B．6．已知P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得＝，由双曲线的离心率公式，计算可得所求值．解：P（1，）在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线y＝x上，可得＝，则双曲线的离心率为e＝＝＝＝，故选：D．7．函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得到答案．解：，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3（e x﹣1）＞＞e x+1，f（x）→0，故排除B．故选：D．8．为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案．为了测算纪念图案的面积，如图，作一个面积约为12cm2的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2【分析】设纪念图案的面积为S，由题意可得：≈，解得S．解：设纪念图案的面积为S，由题意可得：≈，解得S≈5cm2．故选：C．9．已知函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．B．x＝πC．x＝2πD．【分析】根据三角函数的图象平移得出函数g（x）的解析式，再求函数g（x）的对称轴方程即可．解：函数，把函数f（x）的图象上每个点向右平移个单位，得y＝f（x﹣）＝sin[（x﹣）﹣]＝sin（x﹣）＝﹣cos x的图象，则函数y＝g（x）＝﹣cos x；所以函数g（x）的对称轴方程为x＝kπ，k∈Z；即x＝2kπ，k∈Z；令k＝1，得x＝2π，所以x＝2π是g（x）的一条对称轴方程．故选：C．10．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是（）A．①②③B．①③C．①④D．③④【分析】根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．解：对于①，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都在α内存在直线与直线AB异面，所以①正确；对于②，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，所以②错误；对于③，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都存在过直线AB的平面与α垂直，所以③正确；对于④，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①③．故选：B．11．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1 C．D．﹣1【分析】可解得点A、B坐标，由AF⊥BF，得•＝0，把b2＝a2﹣c2代入该式整理后两边同除以a4，得e的方程，解出即可，注意e的取值范围解：由，消y可得得（3a2+b2）x2＝a2b2，解得x＝±，分别代入y＝±，∴A（，），B（﹣，﹣），∴＝（+c，），＝（c﹣，﹣），∴•＝c2﹣﹣＝0，∴c2＝，（*）把b2＝a2﹣c2代入（*）式并整理得4a2c2﹣c4＝4a2（a2﹣c2），两边同除以a4并整理得e4﹣8e2+4＝0，解得e2＝4﹣2∴e＝﹣1，故选：D．12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝﹣f（2﹣x），函数g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），若方程f（x）＝g（x）有2019个解，记为x i（i＝1，2，…，2019），则＝（）A．2019 B．4038 C．2020 D．4040【分析】分析可知，函数f（x）与g（x）均关于（1，0）对称，根据对称性即可得解．解：∵f（x）＝﹣f（2﹣x），∴f（x）关于（1，0）对称，∵g（x）＝a（e x﹣1﹣e1﹣x），∴g（2﹣x）＝a（e1﹣x﹣e x﹣1）＝﹣a（e x﹣1﹣e1﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）关于（1，0）对称，∵方程f（x）＝g（x）有2019个解，即y＝f（x）与y＝g（x）有2019个交点，∴必有一个交点的横坐标为1，且其余2018个交点关于关于（1，0）对称，共1009对，而且每对横坐标之和为2，∴．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13．已知函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，则a的值为2018 ．【分析】推导出f（a）＝﹣f（﹣1）＝﹣e0＝﹣1．当a＜0时，f（a）＝e a+1＝﹣1，当a ≥0时，f（a）＝a﹣2019＝﹣1，由此能求出a的值．解：∵函数f（x）＝，满足f（﹣1）+f（a）＝0，∴f（a）＝﹣f（﹣1）＝﹣e0＝﹣1．当a＜0时，f（a）＝e a+1＝﹣1，无解，当a≥0时，f（a）＝a﹣2019＝﹣1，解得a＝2018．故答案为：2018．14．已知，则＝．【分析】利用换元法结合三角函数的诱导公式进行化简即可．解：设θ＝α+，则sinθ＝，α＝θ﹣，则＝cos（θ﹣﹣）＝cos（θ﹣）＝cos（﹣θ）＝sinθ＝，故答案为：15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b cos A+a cos B＝2c cos B，，则△ABC外接圆的面积为4π．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝2sin C cos B，由sin C≠0，可得cos B＝，结合范围B∈（0，π），可得B＝，设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求R的值，进而即可得解△ABC外接圆的面积．解：∵b cos A+a cos B＝2c cos B，∴由正弦定理可得sin B cos A+sin A cos B＝2sin C cos B，∴sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos B，∵sin C≠0，∴可得cos B＝，∵B∈（0，π），∴可得B＝，∵，∴设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R＝＝＝4，可得R＝2，∴△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π．故答案为：4π．16．如图，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子（F）恰好在正八面体的顶点上，而硫原子（S）恰好是正八面体的中心．若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为π．【分析】连结EF，SF，则S在线段EF上，当球半径R＝SF＝EF时，这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值，由此能求出结果．解：连结EF，SF，则S在线段EF上，当球半径R＝SF＝EF时，这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值，六氟化硫（SF6）的分子是一个正八面体结构，这个正八面体结构是两个正四棱锥组合而成，设正四棱锥的底面正方形的边长为x，则2x2＝4R2，解得x＝，∴这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为：＝π．故答案为：π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1＝1，a2+a3＝12，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用已知条件和定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）因为{a n}是正数等比数列，且a1＝1，a2+a3＝12，所以，即q2+q﹣12＝0，分解得（q+4）（q﹣3）＝0，又因为a n＞0，所以q＝3，所以数列{a n}的通项公式为；（2）因为{b n﹣a n}是首项为1，公差为2的等差数列，所以b n﹣a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，所以，所以T n＝b1+b2+…+b n＝（30+1）+（31+3）+…+（3n﹣1+2n﹣1），＝（30+31+…+3n﹣1）+（1+3+…+2n﹣1），＝，＝．18．某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图1），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图2），得到如下资料：（1）请画出发芽数y与温差x的散点图；（2）若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；（3）①求出发芽数y与温差x之间的回归方程（系数精确到0.01）；②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数．参考数据：＝2051，≈4.2，≈6.5．参考公式：相关系数：r＝（当|r|＞0.75时，具有较强的相关关系）．回归方程中斜率和截距计算公式：＝，＝．【分析】（1）直接根据资料画出发芽数y与温差x的散点图即可；（2）先求出相关系数r，判断r是否大于0.75，再说明建立模型的合理性；（3）直接根据条件求出线性回归方程，再将x＝8代入回归方程中计算出发芽数．解：（1）散点图如图所示（2）≈＝，∵y与x的相关系数近似为0.952＞0.75，说明y与x的线性相关程度较强，从而建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型是合理的．（3）①由最小二乘估计公式，得≈＝，，∴，②当x＝8时，（颗），∴估计该实验室12月7日当天种子的发芽数为20颗，19．如图1，AD，BC是等腰梯形CDEF的两条高，AD＝AE＝CD＝2，点M是线段AE的中点，将该等腰梯形沿着两条高AD，BC折叠成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD（E，F重合，记为点P）．（1）求证：BM⊥DP；（2）求点M到平面BDP距离h．【分析】（1）由已知可得AD⊥AP，AD⊥AB，得到AD⊥平面ABP，则AD⊥BM；再证明BM ⊥AP；由线面垂直的判定可得BM⊥平面ADP，从而得到BM⊥DP；（2）取BP中点N，连结DN，由题意AD⊥平面ABP，由V M﹣BDP＝V D﹣BMP，即可求得点M到平面BDP的距离h．【解答】（1）证明：∵AD⊥EF，∴AD⊥AP，AD⊥AB，又AP∩AB＝A，AP，AB⊂平面ABP，∴AD⊥平面ABP．∵BM⊂平面ABP，∴AD⊥BM；由已知得，AB＝AP＝BP＝2，∴△ABP是等边三角形，又∵点M是AP的中点，∴BM⊥AP；∵AD⊥BM，AP⊥BM，AD∩AP＝A，AD，AP⊂平面ADP，∴BM⊥平面ADP，∵DP⊂平面ADP，∴BM⊥DP；（2）解：取BP中点N，连结DN，∵AD⊥平面ABP，AB＝AP＝AD＝2，∴，∴DN⊥BP，在Rt△DPN中，，∴，∵AD⊥平面ABP，∴，∵V M﹣BDP＝V D﹣BMP，∴，又，∴，即点M到平面BDP的距离为．20．已知函数f（x）＝e x﹣2ax（a∈R）．（1）若f（x）的极值为0，求实数a的值；（2）若f（x）≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性，极值的关系可求，（2）分离系数可得，对于x∈（2，4）恒成立，构造函数，原问题转化为2a≤H（x）min，x∈（2，4），结合导数与函数的性质可求．解：（1）由题得f'（x）＝e x﹣2a，①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，没有极值．②当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减当x∈（ln2a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（ln2a，+∞）上单调递增，∴f（x）在x＝ln2a时取到极小值，∵f（x）的极值为0，∴f（ln2a）＝0，∴e ln2a﹣2aln2a＝0即 2a（1﹣ln2a）＝0，∴，（2）由题得e x﹣2ax≥2xlnx﹣2x对于x∈（2，4）恒成立，∴对于x∈（2，4）恒成立，令，原问题转化为2a≤H（x）min，x∈（2，4），又，令G（x）＝e x x﹣e x﹣2x，则G'（x）＝e x x﹣2＞0在x∈（2，4）上恒成立，∴G（x）在（2，4）上单调递增，∴G（x）＞G（2）＝2e2﹣e2﹣4＝e2﹣4＞0，∴H'（x）＞0∴，在（2，4）上单调递增，∴，∴，21．已知抛物线C：y2＝4x，在x轴正半轴上任意选定一点M（m，0）（m＞0），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．（1）设m＝1，证明：抛物线C：y2＝4x在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；（2）通过解答（1），猜想求过抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点G（x0，y0）（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明．【分析】（1）m＝1时可求得x＝1与抛物线的交点P，Q的坐标，设在P处的切线方程，与抛物线联立用判别式为零求出斜率，进而求出在P处的切线方程，同理求出在Q处的切线方程，两式联立求出交点即N的坐标，证出N与点M关于原点O对称；（2）故G做GM⊥x轴交于M，求得M关于原点的对称点M'，则GM'为抛物线的切线，将直线GM'与抛物线联立可得判别式为零，证得直线GM'与抛物线相切．解：（1）解法一：证明：当m＝1时，点M（1，0），P（1，2），Q（1，﹣2），设在点P处的切线的斜率为k（k≠0），联立得，由，得k＝1，故在点P处的切线方程为y＝x+1，同理，求得在点Q的切线方程为y＝﹣x﹣1，由得交点N（﹣1，0），所以交点N与点M关于原点O对称；解法二：m＝1时，点M（1，0），P（1，2），Q（1，﹣2，由y2＝4x得，故或，所以在点P处的切线方程为y﹣2＝x﹣1即y＝x+1，在点Q处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1）即y＝﹣x﹣1，由得交点N（﹣1，0），所以交点N与M关于原点O对称；（2）解法一：过点G（x0，y0），（x0≠0）作与x轴垂直的直线交x轴于点M（x0，0），作点M关于原点对称的点M'（﹣x0，0），猜想切线方程为直线GM'：，即y0y＝p（x+x0），其中，联立得，∵，所以y0y＝p（x+x0）与抛物线y2＝2px相切．解法二：过点G（x0，y0），（x0≠0）作与x轴垂直的直线交x轴于点M（x0，0），作点M关于原点对称的点M'（﹣x0，0），猜想切线方程为直线GM'：，即y0y＝p（x+x0），其中，由y2＝2px得，∴或，所以在点G（x0，y0）处的切线斜率为或故点G（x0，y0）处的切线方程为或，由得或所以在点G（x0，y0）处切线方程为，整理得，即y0y＝p（x+x0）．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+5＝0．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和方程组的解法的应用求出结果．解：（1）圆C的方程可化为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝8，圆心为C（2，3），半径为，∴圆C的参数方程为（α为参数）直线l的极坐标方程可化为ρsinθ+ρcosθ＝﹣3，∵，∴直线l的直角坐标方程为x+y+3＝0．（2）：曲线C是以C（2，3）为圆心，半径为的圆，圆心C（2，3）到直线l：x+y+3＝0的距离，所以，此时直线PQ经过圆心C（2，3），且与直线l：x+y+3＝0垂直，k PQ•k l＝﹣1，所以k PQ＝1，PQ所在直线方程为y﹣3＝x﹣2，即y＝x+1．联立直线和圆的方程，解得或当|PQ|取得最小值时，点P的坐标为（0，1）所以，此时点P的坐标为（0，1）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）记函数f（x）的最大值为s，若＝s（a，b，c＞0），证明：≥3．【分析】（1）先将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤1分别解不等式即可；（2）先由（1）得到f（x）的最大值s，然后利用基本不等式即可证明≥3成立．解：（1），①当x≤﹣1时，﹣3≤1恒成立，所以x≤﹣1；②当﹣1＜x＜2时，2x﹣1≤1，即x≤1，所以﹣1＜x≤1；③当x≥2时，3≤1显然不成立，所以不合题意；综上，不等式的解集为（﹣∞，1]．（2）证明：由（1）知f（x）max＝3＝s，于是，所以≥＝6，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，所以．。

广东省广州市铁一中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}25M x x =-<<，{}17N x x =<≤，则M N ⋃=（）A ．{}27x x -<<B ．{}15x x <<C ．{}27x x -<≤D ．{}15x x ≤<2．>”成立是“0a b >>”成立的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．若扇形的弧长为8cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为（）A ．28πcm B ．28cm C ．216cm D ．216πcm 4．已知以原点为顶点，x 轴的非负半轴为始边的角α的终边经过点(3,4)P -，则3cos π2α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（）A ．35B ．45C ．35-D ．45-5．已知实数a ，b 满足221a b ab +=+，则a b +的最大值为（）A ．1B ．2C ．4D6．在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座．已知A 为锐角ABC 的内角，满足sin 2cos tan 1A A A -+=，则A ∈（）A ．π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知函数()sin 2cos cos 2sin f x x x ϕϕ=+(x ∈R )，其中ϕ为实数，且()2π9f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意实数R 恒成立，记2π3p f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5π6q f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7π6r f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则p 、q 、r 的大小关系是()A ．r <p <qB ．q <r <pC ．p <q <rD ．q <p <r8．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()f x 为奇函数，()1f x +为偶函数，当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()2log 2023f =（）A ．9991024-B ．252048-C ．10242023-D ．512999-9．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为50mg/L ，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L ，则PP 棉滤芯层数最少为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．9B ．8C ．7D ．610．已知函数()|2|x f x m =-的图象与函数()g x 的图象关于y 轴对称，若函数()f x 与函数()g x 在区间[]1,2上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是（）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[2,3]C ．1,[4,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ D ．[4,)+∞二、多选题11．下列化简正确的是（）A ．B ．21log 3223-=CD ．x12．已知函数22,1()1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨+-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是RB ．()f x 的值域是(,5)-∞C ．若()3f x =，则x D ．((1))2f f -=13．函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则（）A ．π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 的图象关于点(2022,0)对称D ．(2)f x 在[3,4]上单调递增14．设函数()R)f x =∈，则（）A ．存在实数a ，使()f x 的定义域为RB ．若函数()f x 在区间[)0,∞+上递增，则[]1,0a ∈-C ．函数()f x 一定有最小值D ．对任意的负实数a ，()f x 的值域为[)0,∞+15．函数()sin cos ,(0)f x a x b x ab =+≠的图象关于π6x =对称，且()085f x a =，则（）A ．04sin 35πx ⎛⎫+=⎪⎝⎭B ．0π24cos 2325x ⎛⎫-=⎪⎝⎭C ．0π4cos 65x ⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．0π7sin 2625x ⎛⎫+=⎪⎝⎭16．已知函数()cos 22f x x x =，则（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的图象关于直线()πZ 2k x k =∈对称C ．()f x 在19π11π,126⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D ．()()1g x f x =-在[]505π,505π-上的零点个数是4041三、解答题17．已知函数()1lg 2xf x x-=-(1)求函数()f x 解析式；(2)判断函数()f x 的奇偶性并加以证明；(3)解关于x 的不等式()lg3f x ≥．18．已知函数23()sin 20)2f x x x ωωω=+>，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求函数()f x 的解析式及对称中心；（2）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向上平移12个单位长度得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程2[()](2)()20g x m g x m +++=在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎣⎦上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围．19．如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC 区域，其半径为2千米，圆心角为60 ，点P 在弧BC 上.现欲在风景区中规划三条商业街道,,PQ PR RQ ，要求街道PQ 与AB 垂直(垂足Q 在AB 上)，街道PR 与AB 平行，交AC 于点R .（1）如果P 为弧BC 的中点，求三条商业街道围成的△PQR 的面积；（2）试求街道RQ 长度的最小值.20．设函数()x x f x ka a -=-(0a >且,1,a k R ≠∈),()f x 是定义在R 上的奇函数.(1)求k 的值;(2)已知3(1)2f =,函数[]22()4(),1,2x xg x a a f x x -=+-∈,求()g x 的值域;(3)若1,()()xa h x a f x >=-,对任意[],1x λλ∈+,不等式[]2()()h x h x λ+≤恒成立,求实数λ的取值范围.参考答案：1．C【分析】根据并集运算求解即可.【详解】因为{}25M x x =-<<，{}17N x x =<≤，所以(2,7]M N ⋃=-，故选：C 2．C【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件与不等式的关系进行判断即可.>得0a b >≥，则0a b >≥是0a b >>的必要不充分条件，故选：C.3．C【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出答案.【详解】设扇形的弧长为l ，圆心角为α，扇形的弧长为8cm ，圆心角为2弧度，即8,2l α==，l r α= ，可得4r =,∴该扇形的面积()2118416cm 22S l r =⋅=⨯⨯=,故选：C .4．B【分析】根据三角函数的定义确定sin α的值，再结合诱导公式求解即可.【详解】解：角α的终边经过点(3,4)P -，则4sin 5α==-，所以34cos πsin 25αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.故选：B.5．B【分析】利用基本不等式0,0a b >>时，2()4a b ab +≤，构造基本不等式，求出a b +的最大值【详解】因为221a b ab +=+，所以223()()3114a b a b ab ++=+≤+，可得2()4a b +≤，即2a b +，所以a b +的最大值为2，当且仅当1a b ==时，等号成立故选:B ．6．C【解析】设设()sin 2cos tan 1f A A A A =-+-，则()f A 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，再利用零点存在定理即可判断函数()f A 的零点所在的区间，也即是方程sin 2cos tan 1A A A -+=的根所在的区间.【详解】因为A 为锐角ABC 的内角，满足sin 2cos tan 1A A A -+=，设()sin 2cos tan 1f A A A A =-+-，则()f A 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，()0sin 02cos0tan 0130f =-+-=-<，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭取4x π=，得sin 2cos tan 104444f ππππ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，4sin 2cos tan 1033332f ππππ⎛⎫=-+-=> ⎪⎝⎭，因为043f f ππ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin 2cos tan 1f A A A A =-+-的零点位于区间ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，即满足sin 2cos tan 1A A A -+=的角A ∈ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是令()sin 2cos tan 1f A A A A =-+-，根据零点存在定理判断函数的零点所在的区间.7．C【分析】利用和角的正弦化简函数()f x ，再求出ϕ的表达式，然后利用正弦函数单调性比较大小作答.【详解】()()sin 2cos cos 2sin sin 2f x x x x ϕϕϕ=+=+，因为()2π9f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意实数R 恒成立，则当2π9x =时，()f x 取得最大值，因此2ππ22π,Z 92k k ϕ⨯+=+∈，即π2π,Z 18k k ϕ=+∈，ππ()sin(22π)sin(2),Z 1818f x x k x k =++=+∈，25π7π7πsin sin sin()181818p ==-=-，31π5πsinsin()1818q ==-，43π7πsin sin 1818r ==，显然π7π5π7ππ21818182-<-<-<<，正弦函数sin y x =在ππ[,]22-上单调递增，即有7π5π7πsin()sin()sin()181818-<-<，所以p q r <<.故选：C 8．A【分析】由()f x 为奇函数，()1f x +为偶函数可知()f x 为以4位周期的周期函数，且关于(2,0)Z k k ∈点对称，关于12,Z x k k =+∈轴对称，利用周期性与对称性可化简()222023log 2023log 1024f f ⎛⎫=- ⎝⎭代入()21xf x =-即可得出答案.【详解】因为()1f x +为偶函数，所以()(1)1f x f x -+=+，所以()(2)f x f x -=+，又()f x 为奇函数，即()()f x f x -=-所以()()()()()242f x f x f x f x f x -=+⇒+=-+=，所以()f x 的周期为4，()()22222202340964096log 2023log 202312log log 2log 409620232023f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22023log 1024220232023999log 211102410241024f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.【点睛】本题综合考查了函数的周期性与对称性，属于难题.解本类题型一般可借助正弦曲线与余弦曲线帮助我们理解其对称性与周期性.9．B【分析】根据题意得到不等式250 2.53n⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，解出答案.【详解】设经过n 层PP 棉滤过滤后的大颗粒杂质含量为n a ，则125015033n nn a ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令250 2.53n⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，解得：21320n⎛⎫ ⎪⎝⎭≤，两边取常用对数得：21lglg 320n ≤，即()lg3lg 21lg 2n -≥+，因为lg 20.30≈，lg 30.48≈，所以()0.480.30 1.30n -≥，解得：659n ≥，因为N n *∈，所以n 的最小值为8.故选：B 10．A【分析】由题意可得()()|2|x g x f x m -=-=-，利用特殊值，分别令2m =，或1m =，根据函数的单调性即可判断．【详解】解：函数()|2|x f x m =-的图象与函数()g x 的图象关于y 轴对称，()()|2|x g x f x m -∴=-=-，若2m =时，()|22|x f x =-，当1x >时，()22x f x =-，函数()f x 单调递增，()|22|x g x -=-，当220x --<时，即1x >-时，()22x g x -=-+，函数()g x 单调递增，故当2m =时，满足函数()f x 与函数()g x 在区间[1，2]上同时单调递增，故排除C ，D ，其图象为若1m =时，()|21|x f x =-，当210x ->时，即0x >时，()21x f x =-，函数()f x 单调递增，()|21|x g x -=-，当210x --<时，即0x >时，()21x g x -=--，函数()g x 单调递增，故当1m =时，满足函数()f x 与函数()g x 在区间[1，2]上同时单调递增，故排除B ，其图象为故选：A ．11．BC【分析】将根式转化为分数指数幂，结合对数运算性质得到正确答案.【详解】1431233===，A 错误；2231log 3log 2222332-=÷=÷=，B 正确；)111112323299⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 正确；x 可得到0x <，从而x x-==D 错误.故选：BC 12．BCD【分析】根据分段函数的解析式，结合一次函数、二次函数的单调性，运用代入法逐一判断即可.【详解】A ：函数的定义域为(,2)-∞，所以本选项不正确；B ：当1x ≤-时，()(1)1f x f ≤-=，当12x -<<时，min ()(0)1f x f ==，(1)2,(2)5f f -==，所以有1()5f x <<，综上所述：()f x 的值域是(,5)-∞，所以本选项正确；C ：当1x ≤-时，()3231f x x x =⇒+=⇒=，不符合1x ≤-；当12x -<<时，2()313f x x x =⇒+=⇒=x =不符合12x -<<，综上所述：当()3f x =时，x ，所以本选项正确；D ：((1))(1)2f f f -==，所以本选项正确，故选：BCD13．ABD【分析】A 选项，由图象得到1A =，13124T =-=，求出8T =，π4ω=，再代入()1,1，结合0πϕ<<求出π4ϕ=，求出函数解析式，计算出(2)f -=-AB 正确；将2022x =代入解析式，利用诱导公式求出()π2022sin 42f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，C 错误；整体法求出ππ7π9π,2444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象，得到其单调递增，D 正确.【详解】从图象可知：1A =，13124T =-=，解得：8T =，即2ππ84ω==，则()πsin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()1,1代入解析式，得πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，所以ππ5π444ϕ<+<，所以ππ42ϕ+=，解得：π4ϕ=，故π2ωϕ+=，A 正确；故()ππsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππsin 24(2)2f ⎛⎫=-+= ⎪⎝--⎭，B 正确；当2022x =时，()ππππ2022sin 2022sin 506πsin 44442f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图象不关于点(2022,0)对称，C 错误；()ππ2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]3,4x ∈时，ππ7π9π,2444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由于sin y z =在7π9π,44z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故(2)f x 在[3,4]上单调递增，D 正确.故选：ABD 14．ABC【分析】根据复合函数的单调性与二次函数的单调性与最值情况分别判断各选项.【详解】A 选项：函数()R)f x a =∈，当()()2101410a a a +>⎧⎨-+⋅-≤⎩时，即12a =-时，其定义域为R ，故A 选项正确；B 选项：当10a +<，即1a <-时，函数()21y a x x a =++-在1,22a ⎛⎫-∞- ⎪+⎝⎭上单调递增，在1,22a ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减，不成立；当10a +=，即1a =-时，()f x =，在()1,-+∞上单调递增，满足在区间[)0,∞+上递增，成立；当10a +>，即1a >-时，函数()21y a x x a =++-在1,22a ⎛⎫-∞- +⎝⎭上单调递减，在1,22a ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭上单调递增，故1022a -≤+，且()00f =≥，即10a -<≤；综上所述，若函数()f x 在区间[)0,∞+上递增，[]1,0a ∈-，故B 选项正确；C 选项：由()()221414410a a a a -+-=++≥恒成立，()f x ==，当12a =-时，()f x ==，=1x -时取最小值为0；当1a <-且12a ≠-时，()f x 在=1x -或1a x a =+时取最小值为0；当1a =-时，()f x =，=1x -时取最小值为0；当1a >-时，()f x 在=1x -或1ax a =+时取最小值为0；故C 选项正确；D 选项：当12a =-时，()f x ==[)0,∞+，当1a <-且12a ≠-时，()f x 在122x a =-+时取最大值为122f a ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，其值域为⎡⎢⎢⎣，故D 选项错误；故选：ABC.15．ACD【分析】将()sin cos ,(0)f x a x b x ab =+≠化简，结合其图象关于π6x =对称，可得|(|π6f =，化简得b =，故结合()085f x a =，根据辅助角公式化简可得04sin 35πx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，判断A;利用诱导公式即可判断C;利用二倍角余弦公式可求得0πcos 23257x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，判断B;结合诱导公式判断D.【详解】由题意知函数()sin cos ),(sin f x a x b x x ϕϕϕ=+=+==，函数()sin cos ,(0)f x a x b x ab =+≠的图象关于π6x =对称，则|()|π6f =1||2a化简即得2)0,b b -=∴=，又()085f x a =，即00000()sin cos sin cos f x a x b x a x a x =+=0π82sin()35a x a =+=，即04sin 35πx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 正确；又000[(ππππ4cos (cos sin 23365x x x ⎛⎫-=-++== ⎪⎝⎭，C 正确；2200ππ4cos 22cos 12()1576325x x ⎛⎫⎛⎫-=-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；000ππππ7sin 2sin[(2)]cos(262325)3x x x ⎛⎫+=--=-= ⎪⎝⎭，D 正确，故选：A CD 16．BCD【分析】赋值满足最小正周期的数即可判断A ；利用对称轴的定义对B 选项判断；根据区间把函数变形为()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项；先分析()f x 的周期和奇偶性，再分析()g x 在一个周期的零点个数，进而可以判断D.【详解】对于A ，ππcos 33π6f ⎛⎫=+⎪⎝⎭13222=+=，4π4π13cos 13ππ62322f +⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，πππ662f f ⎛⎫⎛⎫∴≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 最小正周期不是π2，故A 错；对于B ，()ππcos 22Z 2π22k k f k x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎭⎝⎝，()()cos 2π2πx k x k =++()cos 2πx k x =+，()cos 2Z πππ22in 22f k k k k x x x ⎛ --⎫⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝-⎭⎭()()cos π2π2k x k x =--()cos 2πx k x =-()cos 2π+2πx k k x=-()cos 2πx k x=+ππ22k k f x f x ⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π2k x ∴=，Z k ∈是()f x 的对称轴，B 正确；对于C ，19π11π,126x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，19π11π2,63x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，sin20x ∴<x x =，()πcos 22cos 23f x x x x ⎛⎫∴=-=+ ⎝⎭π7π2,4π32x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，πcos 203x ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭，()π2cos 23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，令π23t x =+，7π,4π2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2cos y t =在7π,4π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，故C 对；对于D ，由()()()cos 22f x x x -=-+-=()cos 22x x f x =，()f x \是偶函数，又()()()cos 2πi πn π2f x x x =++++()()cos 22π22πx x =+++()cos 22x x f x =+=，()f x \周期为π，即()g x 也是偶函数，周期也是π.先分析()g x 在[]0,π上零点的个数，当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[)20,πx ∈，sin20x ≥，()cos 221g x x x ∴=-π2cos 2103x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得π3x =或π2x =或0x =；当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[)2π,2πx ∈，sin20x ≤，()cos 2sin 21g x x x ∴=-π2cos 2103x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得π2x =或2π3x =；当πx =时，也符合题意；综上，()g x 在[]0,π有415+=个零点，∴()g x 在[)0,505π上的零点个数有45052020⨯=，∴()g x 在[)505π,505π-上的零点个数有220204040⨯=.∴()g x 在[]505π,505π-上的零点个数有404014041+=.∴D 选项正确.故选：BCD 17．(1)()1lg1x f x x+=-，()1,1x ∈-(2)奇函数，证明见解析(3)112x ≤<【分析】（1）通过换元法直接求出，注意定义域；（2）通过解析式得出()f x -的式子，变形化简即可得出()()f x f x -=-，即可得出答案；（3）将1lglg 31x x +≥-通过对数单调性得出131x x+≥-，即可由分式不等式的解法得出答案.【详解】（1）()1lg2xf x x-=-的定义域为()0,2x ∈，令1t x =-，则1x t =+，且()1,1t ∈-，则()1lg1+=-t f t t，()1,1t ∈-，即()1lg1x f x x+=-，()1,1x ∈-；（2）()()1111lg lg lg 111--+++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭x x x f x f x x x x ，则函数()f x 为奇函数；（3）()1lg1x f x x +=-，()1,1x ∈-，()lg3f x ≥即1lglg 31x x+≥-，则131x x+≥-，化简为2101x x -≥-，即()()21101x x x ⎧--≥⎨≠⎩，解得112x ≤<.18．（1）1()262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对称中心1,2122k ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，()k ∈Z ．（2）32m <≤-【分析】（1）先将31cos 21()sin 2222x f x x ωω+=-+，转化为()1262πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭f x x ，再利用图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，求得周期，进而可求得解析式与对称中心.（2）根据图象变换得到()2g x x ，再将2[()](2)()20g x m g x m +++=，转化为[()2][()]0++=g x g x m ，解得()2g x =-（舍），()g x m =-．再将问题转化()y g x y m=⎧⎨=-⎩有两个不同交点的问题求解.【详解】（1）31cos 21()sin 2222x f x x ωω+=-+31sin 2222x x ωω=--1262x πω⎛⎫=--⎪⎝⎭ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．T π∴=，1ω∴=．1()262f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭．由26x k ππ-=，k ∈Z 得212k x ππ=+，k ∈Z ．∴对称中心1,2122k ππ⎛⎫+-⎝⎭，()k ∈Z ．（2）()2g x x由2[()](2)()20g x m g x m +++=，[()2][()]0g x g x m ∴++=，()2g x =-（舍），()g x m =-．问题转化()y g x y m =⎧⎨=-⎩有两个不同交点．2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，42,33x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，∴当,64x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()g x 递增，此时3()2g x ⎡∈⎢⎣；当2,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 递减，此时3()2gx ⎡∈-⎢⎣ ．由图象知：32m ≤-<32m <≤-．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．（1）3；（2）最小值为3千米.【分析】（1）结合已知角及线段长，利用锐角三角函数定义及扇形面积公式可求；（2）由已知结合锐角三角函数定义及勾股定理可表示RQ ，然后结合同角平方关系，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数性质可求．【详解】连接AP ，过R 作RD AB ⊥，垂足为D .（1）当P 为弧BC 的中点时，30PAQ ∠= ，在△APQ 中，2AP =，PQ AQ ⊥，故1,PQ AQ ==在△ARD 中，1RD PQ ==，60RAD ∠= ，所以tan 60RD AD == AD =所以RP DQ ==在直角三角形PRQ 中，△PQR 的面积12S PQ RQ =⋅⋅=（2）设(03PAQ πθθ∠=<<，则2sin ,2cos ,PQ AQ θθ==2sin RD PQ θ==，又tan 60RD AD == ，则AD θ=，所以2cos 3RP DQ θθ==-，在直角三角形PRQ 中，22222(2cos )(2sin )RQ PR PQ θθθ=+=+14214(cos 22))333θθθϕ=-+=-+，其中tan 2πϕϕ<<因为π0θ3<<，所以223πϕθϕϕ<+<+，又02πϕ<<，所以当22πθϕ+=时，2RQ min RQ .综上，街道RQ .20．(1)1;(2)172,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(3)3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【分析】（1）由奇函数定义性质求得k ，并检验函数为奇函数；（2）由3(1)2f =求得2a =，换元22x x t -=-，求得t 的取值范围，()g x 转化为t 的二次函数后可求得最值，得值域．（3）计算出,0,1,()(),0,x xx a x a h x a f x a x -⎧≥>=-=⎨<⎩为偶函数,确定其单调性，计算2[()](2)h x h x =，这样不等式()(2)h x h x λ+≤可利用奇偶性与单调性化简为2x x λ≤+对任意[],1x λλ∈+恒成立,平方后利用二次不等式恒成立的知识可得．【详解】(1)()x x f x ka a -=- 是定义域为R 上的奇函数,(0)0f ∴=,得1k =.此时,(),()()x x x x f x a a f x a a f x --=--=-=-即()f x 是R 上的奇函数.(2)313(1),22f a a =∴-= ,即22320a a --=,2a ∴=或12a =-(舍去),222()224(22)4(22)2x x x x x x g x ---∴=+----+令22(12)x x t x -=-≤≤,易知()t m x =在[]1,2上为增函数,315,24t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,22()()42(2)2g x t t t t ∴=ψ=-+=--当154t =时,()g x 有最大值1716;当2t =时,()g x 有最小值2-,()g x ∴的值域是172,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(3)由,0,1,()(),0,x xxa x a h x a f x a x -⎧≥>=-=⎨<⎩()h x ∴为偶函数,且()h x 在(),0∞-单调递增,在()0,∞+单调递减.又[]222,0,(),0,x xa x h x a x -⎧≥=⎨<⎩22,0,(2),0,x x a x h x a x -⎧≥=⎨<⎩[]2()()(2)h x h x h x λ∴+≤=对任意[],1x λλ∈+恒成立,即2x x λ≤+对任意[],1x λλ∈+恒成立,平方得:22320λλ--≤x x 对[],1x λλ∀∈+恒成立.22223203(1)2(1)0λλλλλλλλ⎧-⋅-≤∴⎨+-⋅+-≤⎩，解得:34λ≤-综上可得:λ的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，指数函数的性质，用换元法求函数的值域，考查不等式恒成立问题．解题中紧紧抓住所用方法：用换元法化简函数、方程，用奇偶性化自变量为函数的同一单调区间，用单调性化简不等式．。

2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上册期末数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,5,8U =，集合M 满足{}1,8U M =ð，，则（）A ．1M ∈B ．2M∉C ．3M∈D ．5M∉【正确答案】C【分析】根据补集的定义求出{}235M =，，，即可得到结果.【详解】因为{}1,8U M =ð，所以{}235M =，，，则3M ∈，所以C 正确.故选：C.2．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式26190x x --<的解集是（）A ．∅B ．RC ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式26190x x --<可化为29610x x -+>，即2(31)0x ->，解得13x ≠，故原不等式的解集为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为0e ktW M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉90%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h ，参考数据：lg 20.3010≈）（）A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【正确答案】B【分析】由题意可得e 0.5k -=，进而得()0.10.5t=，利用指数与对数的关系可得0.5log 0.1t =，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知()00150%e kM M --=，所以e 0.5k -=，设过滤90%的污染物需要的时间为t ，则()00190%e ktM M --=，所以()()0.1e e 0.5ttkt k --===，所以0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈.故选：B.5．已知函数log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④的大致图象如图所示，则（）A ．a c b a +<+B ．a d b c +<+C ．b c a d +<+D ．b d a c+<+【正确答案】A【分析】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，进而由不等式性质可以判断A 正确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，则由不等式性质可得a c b a +<+，所以A 正确.由不等式可加性可得a c b d +<+，故D 错误，不能推出B 、C ，故B 、C 错误.故选：A.6．方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设()e 41xf x x =-+，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭，()00e 40120f =-⨯+=>，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭，()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，所以()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x =，所以方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.7．下列函数中，最小正周期为π2，且在π(,0)4-上单调递减的是（）A ．)πsin(42y x =+B ．)πcos(42y x =-C ．tan(π2)y x =+D ．|sin(π2)|y x =+【正确答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】c πsin(4)os 42y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故A 错误；s πcos(4)in 42y x x =-=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间(,π48)π--上是单调递减，在区间()π8,0-上是单调递增，故B 错误；tan(π2)tan 2y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故C 错误；|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=，因为sin 2y x =的最小正周期为π，则此函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，|sin 2|sin 2y x x ==-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递减，故D 正确.故选：D.8．设3log 2a =，5log 3b =，8log 5c =，则A ．b a c <<B ．a b c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果.【详解】由对数性质，可得：(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5851log 3log 5log 8∴<=，即b c <；而3332log 2log log 3a ==，5552log 3log log 3b ==>=，综上所述，a bc <<.故选：B.本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题2:R,10p x x x ∀∈-+>，则（）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∀∈-+=”C ．命题p 是假命题D ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”【正确答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭，则命题p 是真命题；命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”，故A 、D 正确．故选：AD ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则（）A ．()12f x x =B ．()f x 的值域是[0,)+∞C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(0,)+∞上是减函数【正确答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可.【详解】设()f x x α=，∵()y f x =的图象过点(，∴1233α==，∴12α=，∴12()f x x =，从而可得，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域是[0,)+∞，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，在[0,)+∞上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误.故选：AB.11．已知5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且ππ32x <<，则（）A ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．12cos 132π3x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭D ．5cos 135π6x ⎛⎫-=⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π，tan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭．由sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断A ；由πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断B ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断C ；由πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断D.【详解】由ππ32x <<得ππ063x -<-<，则12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-.12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故C 正确；5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.12．已知01a b <<<，则（）A ．b aa b <B ．log log a b b a >C ．log log 2a b b a +>D ．sin(sin )sin a b<【正确答案】ACD【分析】由x y a =的单调性可得b a a a <，由a y x =的单调性可得a a a b <，从而可判断A ；由log ,log a b y x y x ==的单调性可得log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，从而可判断B ；由基本不等式可判断C ；利用结论：当π(0,)2x ∈时，sin x x <，可判断D.【详解】0< 1,x a y a <∴=在(0,)+∞上单调递减，又,b a a b a a <∴<，0,a a y x >∴= 在(0,)+∞上单调递增，由a b <得a a a b <，b a a b ∴<，故A 正确；由01a b <<<可知log ,log a b y x y x ==在(0,)+∞上均单调递减，log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，log 1log a b b a ∴<<，故B 错误；由01a b <<<，可知lg lg log 0,log 0lg lg a b b a b a a b =>=>，因此lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=，当且仅当a b =取等号，但已知01a b <<<，故等号不成立，从而得log log 2a b b a +>，故C 正确；当π(0,)2x ∈时，sin x x <．π012a b <<<< ，π0sin 2a ab ∴<<<<，又sin y x =在π(0,)2单调递增，所以sin(sin )sin sin a a b <<，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．若函数()f x =的定义域为A ，函数()()lg 2g x x =-的定义域为B ，则A ∩B =______.【正确答案】()1,2-【分析】先求得集合A B 、，再利用交集定义即可求得A B ⋂.【详解】()f x =的定义域为()1,-+∞；函数()()lg 2g x x =-的定义域为(),2-∞，则A B = ()1,2-.故()1,2-14．已知tan 2a =，则()2sin cos αα-=__________.【正确答案】15##0.2【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可．【详解】()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++．故答案为.15四、双空题15．函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，则21m n+的最小值为______.【正确答案】(1,2)；8【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得21m n+的最小值.【详解】当1x =时，1112a -+=，则函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点(1,2)P ，点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，可得2100)m n m n +=>>(，，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当122m n ==时等号成立）故(1,2)；8五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是___________.【正确答案】π8-【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】莱洛三角形的周长为π2，可得弧长6πA BCB AC===，则等边三角形的边长π16π23AB BC AC====，分别以点A、B、C为圆心，圆弧,,AB BC AC所对的扇形面积均为1π1π26224⨯⨯=，等边ABC的面积1122416S=⨯⨯=，所以莱洛三角形的面积是ππ3224168⨯-⨯.故答案为六、解答题17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求sin cosαα+的值；(2)求sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++的值.【正确答案】(1)15-；(2)14【分析】（1）先利用三角函数定义求得sin cos αα、的值，进而求得sin cos αα+的值；（2）先求得tan α的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则43sin ,cos 55αα=-=，则431sin cos 555αα+=-+=-；（2）由（1）得43sin ,cos 55αα=-=，则4tan 3α=-，则sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数()a f x x x=+.(1)若()15f =，判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若()43f =，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并加以证明.【正确答案】(1)()f x 是奇函数，理由见解析(2)()f x 在(0,)+∞上的单调递增，证明见解析【分析】（1）由(1)5f =求出a ，从而得()f x ，由函数奇偶性的定义求解即可；（2）由()43f =求出a ，从而得()f x ，由函数单调性的定义进行判断证明即可.【详解】（1）()f x 是奇函数，理由如下：∵()af x x x=+，且()15f =，∴15a +=，解得4a =∴4()f x x x=+，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 又44()()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在(0,)+∞上的单调递增，理由如下：∵()af x x x=+，且()43f =，∴434a +=，解得4a =-，∴4()f x x x=-设120x x <<，则2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵120x x <<，∴21x x -0>，12410x x +>故21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >所以()f x 在(0,)+∞上的单调递增.19．已知函数1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【正确答案】(1)5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为14-.【分析】（1）根据周期可以求出2ω=，进而求出()f x 的单调递减区间；（2）根据π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，进而求出()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值与最小值.【详解】（1）由题意可得2πT==πω，则2ω=，则1π()sin(2)23f x x =-，所以()f x 的单调递减区间需要满足：ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈，解得5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为.5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知1π()sin(2)23f x x =-，因为π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin(2),32x ⎡-∈-⎢⎣⎦，则1(),4f x ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-.20．已知函数||1()()2x f x a b =+的图象过点()0,2，且无限接近直线1y =但又不与该直线相交．(1)求函数()y f x =的解析式：(2)解关于x 的不等式3(ln )2f x <．【正确答案】(1)()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点()0,2得,a b 的关系，根据图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交求出b ，从而得解；（2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点()0,2，得()02f a b =+=，∵函数||1()()2x f x a b =+无限接近直线1y =，但又不与该直线相交，∴1b =，从而1a =，∴()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由3(ln )2f x <得|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则ln 1x >，所以ln 1x <-或ln 1x >，解得10ex <<或e x >．所以不等式3(ln )2f x <的解集为()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的25%．现有三个奖励模型：80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据： 1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈，当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立）【正确答案】奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求，理由见解析【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅，根据函数的性质一一验证即可．【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅．对于0.2y x =，易知满足①，但当25x >时，>5y ，不符合公司的要求；对于 1.02x y =，易知满足①，但当82x ≥时， 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=，不符合公司的要求；对于8log 1y x =+，函数在[10,1000]上单调递增，而且函数的最大值8log 1000 3.3225≈<，因而满足①②，因为当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立，所以当[10,1000]x ∈时，8log 125%x x +<⋅，满足③，故符合公司的要求．综上，奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求．22．对于定义在I 上的函数()f x ,若存在实数0x I ∈,使得()00f x x =,则称0x 是函数()f x 的一个不动点,已知2()2(0)f x ax x a =-+≠有两个不动点12,x x ,且122x x <<(1)求实数a 的取值范围；(2)设[]()log ()a F x f x x =-，证明：()F x 在定义域内至少有两个不动点.【正确答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到210ax x -+=的两个实数根为12,x x ，设2()1p x ax x =-+，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，根据1x =是方程()g x x =的实数根，得出()2()220n n h n a an n a =--+=>，结合函数()h x 单调性，即可求解．【详解】（1）因为函数()f x 有两个不动点12,x x ，所以方程()f x x =，即2220ax x -+=的两个实数根为12,x x ，记2()22p x ax x =-+，则()p x 的零点为1x 和2x ，因为122x x <<，所以(2)0a p ⋅<，即(42)0a a -<，解得102a <<，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）因为()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，即2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设2()22p x ax x =-+，因为10,4(12)02a a <<∆=->，所以()0=p x 有两个不相等的实数根．设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，不妨设m n <．因为函数2()22p x ax x =-+图象的对称轴为直线1x a =，且1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121m n a a <<<<．记()2()22x h x a ax x =--+，因为(1)0h =，且(1)0p a =>，所以1x =是方程()F x x =的实数根，所以1是()F x 的一个不动点，()2()220n n h n a an n a =--+=>，因为102a <<，所以24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭，且()h x 的图象在2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象是不间断曲线，所以0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，又因为()p x 在2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()0()0p x p n >=，所以0x 是()F x 的一个不动点，综上，()F x 在(,)a +∞上至少有两个不动点．。

2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。

2019-2020 学年度第一学期期末联考高一数学试题第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．每题只有一个正确答案）1．若 A={0,1,2 } , B = { x 1? x 2} , 则A?B（）{ } { 0,1,2 }{}{1,2 }A ． 1B ．C ． 0,1D ．2． sin15 o cos15o 值为（）A ．1B ．1C．3 D． 324243． 函数 f ( x)1lg(1 x) 的定义域是 ()1 xA ．( － ，－ 1)B ．(1，＋ )C ．(－1，1)∪(1，＋ )D ．(－ ，＋ )4．已知点 P( x,3) 是角终边上一点，且 cos4），则 x 的值为（B ． 55D ． 4A ． 5C ． 45．已知 a0.7 0.8 ,blog 2 0.8, c1.10.8 ，则 a,b, c 的大小关系是（）A ． a b cB ． b a cC ． a c bD ． b c a6．设函数 y ＝ x 3 与 y( 1 )x 2 的图像的交点为 ( x 0，y 0) ，则 x 0 所在的区间是 ()2A ．(0，1)B．(1 ，2) C ．(2 ， 3) D ．(3 ，4)7．在自然界中，存在着大批的周期函数，比方声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y 1 3sin 100 t , y 2 3cos 100 t ，则这两个声波合成后即yy 1 y 2 的振幅为（）A ． 3B ． 6C ． 3 2 D． 6 28．以下函数中，不拥有奇偶性的函数是 ( )A ． yexexB ． y lg1 x1 xC ． ycos2xD ． y sin x cos x9．若 yAsin( x)( A0,0,| |) 的最小值为2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为2 ，且图像过点（20， 1），则其分析式是（）A ． y 2sin( x )6B． y 2sin( x )3C ． y2sin( x) 2 6xD ． y 2sin( )2 310．如右图，点 P 在半径为 1的半圆上运动， AB 是直径， P当 P 沿半圆弧从 A 到 B 运动时，点 P 经过的行程 x 与 APBxB O A的面积 y 的函数y f ( x) 的图像是以下图中的（）yy11 12OC π2πx OD第 II卷（非选择题）π2πx二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分．将答案填在题后横线上）11．(log29)(log 3 4)．12．把函数y＝ 3sin2 x的图象向左平移个单位获得图像的函数分析是．13．已知tan 2 ，则 cos26．14．若函数f x 知足 f ( x 1) f ( x) ，且当x1,1 时， f x x ，则 f 2 f 3f4．15．函数f ( x)| cos x | cos x 具备的性质有．（将全部切合题意的序号都填上）（ 1）f (x)是偶函数；（ 2）f (x)是周期函数，且最小正周期为；（ 3）f (x)在[, ] 上是增添的；2（ 4）f (x)的最大值为2．三、解答题（本大题共 6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知会合M ={x 1 < x < 2}，会合Nx 3x 4 ．2（ 1）求AèB；P ={}（ 2）设会合x a < x < a + 2，若 P 腿(A B) ，务实数 a 的取值范围．117．（本小题满分12 分）已知tan2, tan，此中0,0．3（ 1）求tan() 的值；（ 2）求角的值．18．（本小题满分12 分）已知函数 f (x) sin( x)sin( x) ．32（ 1）求f (x)的最小正周期；3，求 g(x) 在区间[0,] 上的值域．（ 2）若g (x) f ( x)4219．（此题满分12 分）辽宁号航母纪念章从2012 年10 月5 日起开始上市．经过市场检查，获得该纪念章每 1 枚的市场价y(单位 : 元) 与上市时间x(单位 : 天 ) 的数据以下:上市时间x 天41036市场价y 元905190(1) 依据上表数据联合散点图，从以下函数中选用一个适合的函数描绘辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x 的变化关系并说明原因: ①y ax b ；②y ax 2bx c ；③y a log b x ．(2)利用你选用的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价钱．20． ( 本小题满分13 分)已知函数 f (x)cx1, 0 x c，知足 f (c)9 x．2 c 21, c ≤ x128(1)求常数 c 的值；(2)解对于 x 的不等式 f (x)21．821． ( 本小题满分14 分 ) 已知函数mf( )|x|1( x0)．x x（ 1）当m 2时，判断f (x)在(,0) 的单一性，并用定义证明．（ 2）若对随意x R ，不等式 f (2x)0 恒建立，求 m 的取值范围；（ 3）议论f (x)零点的个数．2019-2020 学年度第一学期期末 考高一数学参照答案参照答案： 一、1．A2．B 3 ．C4．D5．B 6 ．B 7 ．C 8 ．D 9 ．C10．A 二、填空11． 4 12． 13 ．3 14． 115．（ 1）（ 3）（4）56三、解答{ x 1 < x < 4}16．解：（ 1） A? B⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 （ 2）由（1） A ? B {x 1 < x < 4 }， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分ì?a 3 1?1＃a2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分í?2 ? 4?a +1tantan217．解：（ 1） tan()37⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1 tan tan1 ( 2) 131tantan2（ 2） tan(31⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分)tan tan111( 2)1 3因 tan2 0,tan0 ，3因此， 022因此2，2故4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分18．解：f (x)( 1 sin x3cos x)cos x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分221 sin x cos x3cos 2 x221sin 2x3(1 cos 2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分441sin(2 x3) 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分24（ 1）因此T 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分21（2）g (x)) ，sin(2 x23因 0 ≤ x ≤2 ，因此3 ≤ 2x3 ≤ ，3因此3≤ sin(2 x)≤1，233≤ 1sin(2 x) ≤ 1，423 2因此 g(x) 在区 [0,] 上的 域 [3 ,1] ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分24 219．解 :(1) ∵跟着 x 的增添， y 的 先减后增，而所 的三个函数中y ax b 和 ya logb x 然都是 函数，不 足 意，∴ yax 2 bx c ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2) 把点 (4 ， 90) ， (10 ， 51) ， (36 ， 90) 代入 yax 2 bx c 中，16a 4b c90得 100a 10bc 51⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分1296a 36b c 90解得 a 110， c 126⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分， b1 4 1∴ yx 2 10x 126 (x 20)2 26 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44∴当 x 20 ， y 有最小 y min 26 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分答： 宁号航母 念章市 价最低 的上市天数 20 天，最低的价钱 26 元．⋯⋯⋯⋯12 分20．解： (1)∵ f ( c)9 ，即 c c1 9 ，2 8 28解得 c1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分．21 x 1, 0 x 1(2) 由 (1) 得 f ( x)21, 1≤ x2 ，2 4x12由 f ( x)2，适当 0x12 x1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分1，解得4 ；822当1≤ x 1 ，解得 1≤ x5 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分228∴不等式 f ( x)2 1的解集 { x | 2 x 5} ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分8 4821．分析：（ 1）当 m2 ，且 x0 ， f ( x)x 2 1 是 减的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分x明： x 1x 2 0 ，f (x 1)f (x 2 )x 12 1 ( x 22 1)x 1x 2(x 2 x 1 ) (2 2x 1)x 2( x 2 x 1 )2( x 2 x 1)x 1x 2( x 22 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分x 1 )(1 ) x 1 x 2又 x 1 x 2 0 ，因此 x 2 x 1 0 ， x 1x 2 0 ，因此 ( x 2 x 1 )(1 2 0)x 1x 2 因此故当f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ，即 f (x 1) f (x 2 ) ，m 2 ， f ( x) x2在 ( ,0) 上 减的． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1 x（ 2）由 f (2 x ) 0 得 | 2x | m x1 0 ，形 (2 x )22x22x(2 x ) 2m 0 ，即 m而 2x(2 x )2(2 x 1)21 ，12 41当 2x即 x1 (2 x (2 x )2 )max ，2 14因此 m⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分．4（ 3）由 f (x)0 可得 x | x | xm 0( x 0) ， m x | x | x(x 0)令 g( x)x x | x |x 2 x, xx 2x, x 0作 y g (x) 的 像及直y m ，由 像可得：当 m1 1f ( x) 有 1 个零点．或 m，4 4当 m10 或 m1或 m， f (x) 有 2 个零点；41 14当 0mm0 ， f ( x) 有 3 个零点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分或44。

绝密★启用前2020-2021学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，4}D．{﹣1，4}2．已知角α的终边经过点（x，﹣3），且，则x＝（）A．±4B．4C．﹣4D．3．已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+2＜6B．∀x∈R，x2+2≥6C．∃x0∈R，x02+2＜6D．∃x0∈R，x02+2≥64．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．5．设函数f（x）＝x+log2x﹣m，若函数f（x）在上存在零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．6．x2＞y2的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．|x|＞|y|C．x＞|y|D．7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）A．B．C．10s D．8．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n 的最小整数值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．6B．7C．8D．9二、选择题（共4小题）.9．下列命题中错误的是（）A．当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，的最小值是4B．当x＜0时，的最大值是﹣2C．当0＜x＜1时，的最小值是2D．当时，的最小值是210．关于函数，下列结论正确的是（）A．该函数的其中一个的周期为﹣πB．该函数的图象关于直线对称C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到y＝3cos2x+1的图象D．该函数在区间上单调递减11．下列几种说法中，正确的是（）A．面积相等的三角形全等B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件C．若a为实数，则“a＜1”是“”的必要不充分条件D．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题12．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）＝f（2﹣x），已知当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x，则有（）A．函数f（x）是周期函数，且周期为2B．函数f（x）的最大值是4，最小值是1C．当x∈[2，4]时，f（x）＝22﹣xD．函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f（x）＝log5（8﹣3x）的定义域为．14．求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝．15．已知函数f（x）＝2x2+ax﹣1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a的取值范围是．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，，若对于任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集；（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．18．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求cos（α+β）．19．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）．（1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；（2）当a＝﹣2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）当时，解不等式f（x）的值域；（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式f（x）≥0．21．5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润．22．已知函数f（x）＝log2（x2+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3；（2）设函数g（x）＝2f（x）+，若g（x）在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，4}D．{﹣1，4}解：∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x＜0或x＞4}，∴A∩B＝{﹣1}．故选：A．2．已知角α的终边经过点（x，﹣3），且，则x＝（）A．±4B．4C．﹣4D．解：∵角α的终边经过点（x，﹣3），且＝，则x＝﹣4，故选：C．3．已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+2＜6B．∀x∈R，x2+2≥6C．∃x0∈R，x02+2＜6D．∃x0∈R，x02+2≥6解：命题是全称命题，则否定是：∃x0∈R，x02+2＜6，故选：C．4．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．解：由函数f（x）的图象知A＝2，T＝2×（+）＝4π，∴ω＝＝，由五点法作图可得×+φ＝π，且|φ|＜π，∴φ＝，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．故选：D．5．设函数f（x）＝x+log2x﹣m，若函数f（x）在上存在零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x+log2x﹣m在区间（0，+∞）上为增函数，由函数f（x）在上存在零点，∴f（）＝﹣2﹣m＜0，f（8）＝8+3﹣m＞0，解得﹣＜m＜11，故函数f（x）在上存在零点时，m∈．故选：B．6．x2＞y2的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．|x|＞|y|C．x＞|y|D．解：x2＞y2等价于|x|＞|y|，若x＝1，y＝﹣2，则x＞y，但|x|＜|y|，故选择A错误；|x|＞|y|是x2＞y2的充要条件，故选项B错误；当x＞|y|时，则有x2＞y2，但x2＞y2不能得到x＞|y|，比如x＝﹣2，y＝1，故选项C正确；当x＝1，y＝2时，，但是x2＜y2，故选项D错误．故选：C．7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）A．B．C．10s D．解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，∴T＝，则ω＝，振幅A为筒车的半径，即A＝4，K＝，由题意，t＝0时，d＝0，∴0＝4sinφ+2，即sinφ＝﹣，∵＜φ＜，∴φ＝．则+2，由d＝6，得6＝4sin（）+2，∴sin（）＝1，∴，k∈Z，得t＝，k∈Z．∴当k＝0时，t取最小值为（s）．故选：D．8．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n 的最小整数值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．6B．7C．8D．9解：∵0.8×100＝80，∴喝酒后驾驶员100mL血液中酒精含量为80mg，则n小时后的血液中酒精含量为80×（1﹣20%）n＝80×0.8n，由80×0.8n＜20，解得，因为他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，所以n≥7，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题中错误的是（）A．当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，的最小值是4B．当x＜0时，的最大值是﹣2C．当0＜x＜1时，的最小值是2D．当时，的最小值是2解：对于A，当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，y＝2﹣x＞2，＝＝＝∈（﹣∞，0），所以A错；对于B，当x＜0时，＝﹣（）≥﹣＝﹣2，x＝﹣1时“＝“成立，所以B对；对于C，当0＜x＜1时，，而函数f（t）＝t+在（0，1）上单调递减，无最小值，所以C错；对于D，当时，0＜sin x≤1，而函数f（t）＝t+在（0，1]上单调递减，≥1，x＝时“＝“成立，所以D对；故选：BD．10．关于函数，下列结论正确的是（）A．该函数的其中一个的周期为﹣πB．该函数的图象关于直线对称C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到y＝3cos2x+1的图象D．该函数在区间上单调递减解：令f（x）＝；对于A，因为f（x+（﹣π））＝＝＝＝fx），所以A对；对于B，因为f（）＝＝＝＝fx），所以B对；对于C，f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数f（）＝＝，函数f（）与函数y＝3cos2x+1不同，所以C错；对于D，⇒⇒f（x）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，⊂，所以D对；故选：ABD．11．下列几种说法中，正确的是（）A．面积相等的三角形全等B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件C．若a为实数，则“a＜1”是“”的必要不充分条件D．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题解：对于A，因为同底等高三角形未必全等，所以A错；对于B，当x＝0，y＝4时，x（y﹣3）＝0，但，x2+（y﹣3）2＝1≠0，所以B错；对于C，当a＜1，未必有，如a＝﹣1，所以不充分；反之，⇒a＞0⇒a＜1，则“a＜1”是“”的必要条件，所以C对；对于D，先求出命题“若a＞b＞0，则”的否命题，￢（a＞b＞0）⇔￢（（a＞b）∧（b＞0））⇔￢（a＞b）∨￢（b＞0）⇔（a≤b）∨（b≤0），￢（）⇔，所以命题“若a＞b＞0，则”的否命题是：“若a≤b或b≤0，则”，分情况说明：①若b＝0，无意义，所以不成立，②若b＜0，取a＝b＞b，则不成立，③若a≤b，取b＞0，a＜0，则不成立，由①②③知，否命题为假，所以D对；故选：CD．12．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）＝f（2﹣x），已知当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x，则有（）A．函数f（x）是周期函数，且周期为2B．函数f（x）的最大值是4，最小值是1C．当x∈[2，4]时，f（x）＝22﹣xD．函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，即f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，又由f（x+2）＝f（2﹣x），则f（﹣x）＝f（4+x），则有f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，A错误，对于B，当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x＝，在区间[0，2]上为减函数，则其最大值为f（0）＝4，最小值为f（2）＝1，又由f（x）为偶函数，则区间[﹣2，0]上，其最大值为f（0）＝4，最小值为f（﹣2）＝f（2）＝1，又由f（x）是周期为4的周期函数，函数f（x）的最大值是4，最小值是1；B正确，对于C，当x∈[2，4]，则4﹣x∈[0，2]，f（x）是周期为4的偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝f（4﹣x）＝22﹣（4﹣x）＝2x+2，C错误，对于D，f（x）是偶函数且在区间[0，2]上为减函数，则f（x）在[﹣2，0]上为增函数，f（x）是周期为4的周期函数，则函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减，D正确，故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f（x）＝log5（8﹣3x）的定义域为（﹣∞，）．解：由题意得8﹣3x＞0，解得x＜，故函数的定义域是（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．14．求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝﹣1．解：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝sin25°cos（90°+25°）+cos（180°﹣25°）cos25°＝﹣sin25°sin25°﹣cos25°cos25°＝﹣sin225°﹣cos225°＝﹣1．故答案为：﹣1．15．已知函数f（x）＝2x2+ax﹣1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a的取值范围是（﹣∞，﹣]．解：若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则∀x∈（1，2），a≤恒成立，只需a≤（）min，x∈（1，2），令g（x）＝，x∈（1，2），所以g′（x）＝＝＜0，所以g（x）在（1，2）上单调递减，所以g（x）＞g（2）＝＝﹣，所以a≤﹣，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，，若对于任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣]．解：当x≥0时，f（x）＝﹣，∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝，∴f（x）＝，∴f（x）在R上是单调递减函数，且f（x）可化为f（x）＝﹣，且满足2f（x）＝f（﹣4x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）＝f（﹣4x）在x∈[t，t+1]恒成立，∴x+t≤﹣4x在[t，t+1]恒成立，即5x≤﹣t在[t，t+1]恒成立，∴5t+5≤﹣t，解得t≤﹣，即t的取值范围是（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集；（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．解：（1）不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3可化为x2﹣3x+2＜0，即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，所以该不等式的解集为（1，2）；（2）x≥1时，x﹣1≥0，所以（2x3+1）﹣（2x+x4）＝（2x3﹣2x）﹣（x4﹣1）＝2x（x2﹣1）﹣（x2﹣1）（x2+1）＝（x2﹣1）（2x﹣x2﹣1）＝﹣（x+1）（x﹣1）3≤0，所以2x3+1≤2x+x4．18．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求cos（α+β）．解：（1）∵，∴tanα＝＝＝，＝＝＝＝＝．（2）∵，，∴+β∈（，），则cos（+β）＝﹣＝﹣，﹣α∈（﹣，﹣），则﹣α∈（﹣，0），则sin（﹣α）＝﹣，则cos（α+β）＝cos[（+β）﹣（﹣α）]＝cos（+β）cos（﹣α）+sin（+β）sin （﹣α）＝×+（﹣）×＝．19．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）．（1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；（2）当a＝﹣2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明．解：（1）显然f（x）的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（0）＝1+a＝0，∴a＝﹣1，经检验a＝﹣1时，f（x）为奇函数，∴a＝﹣1时，函数f（x）为奇函数．（2）当a＝﹣2时，f（x）＝e x﹣2e﹣x，此时f（x）在R上单调递增，证明如下：证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝∵x1，x2∈R且x1＜x2，∴，，∴＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在R上单调递增．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）当时，解不等式f（x）的值域；（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式f（x）≥0．解：（1）f（x）＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+2×＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．由2x+＝kπ，得2x＝kπ﹣，得x＝﹣，即函数的对称中心为（﹣，），k∈Z．（2）当时，2x∈（﹣，），2x+∈（﹣，），则sin（2x+）∈（sin（﹣），sin]，即sin（2x+）∈（﹣，1]，2sin（2x+）∈（﹣1，2]，则2sin（2x+）+∈（﹣1，2+]，即函数f（x）的值域为（﹣1，2+]．（3）由f（x）≥0得2sin（2x+）+≥0，得sin（2x+）≥﹣，得2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴当k＝0时，≤x≤，当k＝1时，≤x≤π，当k＝﹣1时，﹣π≤x≤﹣，即不等式的解集为[﹣π，﹣]∪[，]∪[，π]．21．5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润．解：（Ⅰ）当0＜x＜70时，y＝100x﹣（），当x≥70时，y＝100x﹣（101x+﹣2060）﹣400＝1660﹣（x+）．∴；（Ⅱ）当0＜x＜70时，y＝﹣＝，当x＝60时，y取最大值1400万元；当x≥70时，y＝1660﹣（x+），当且仅当，即x＝80时y取最大值1500．综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元．22．已知函数f（x）＝log2（x2+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3；（2）设函数g（x）＝2f（x）+，若g（x）在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．解：（1）∵f（x）＝log2（x2+1）≥0．∴由方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3可得f（x）＝2，∴log2（x2+1）＝2，∴，∴方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3的解集为{，﹣}；（2）∵2f（x）＝x2+1，∴函数g（x）＝2f（x）+＝＝（x+）2﹣2b（x+）+b2﹣2，令t＝x+，（1≤x≤2），则t，g（x）＝h（t）＝t2﹣2bt+b2﹣2＝（t﹣b）2﹣2，t∈[2，]，①当b时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（）＝2，整理可得4b2﹣20b+9＝0，解答b＝或（舍）②当b≤2时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（2）＝2，整理可得4b2﹣4b＝0，解答b＝0或4（舍）③当2时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（b）＝﹣2≠2，综上，b的值为0或．。

2019-2020学年上学期期中三校联考高一数学一、选择题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4,5A =，{}2,3,6B =，则()U B A =I ð（ ） A ．{}1,6B ．{}2,3C ．{}6D ．∅2．下列函数中与函数()f x x =相同的是（ ）A ．()2g x =B ．()ln x g x e =C ．()ln xg x e=D ．()2x g x x=3．函数()12x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点（ ） A ．()0,3B ．()1,3C ．()1,2D ．()1,3-4．偶函数()f x 在()0,+∞上单调递增，下列函数满足条件的是（ ）A ．12x⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()22x x f x -=-C ．()ln f x x =D ．22x x -5．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<6．如图1所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图像只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．用二分法求方程的近似解，求得()329f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程329x x +=的近似解可取为（ ） A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.98．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()21x f x e -=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的6.24%，则该生物生存的年代距今约（ ） A ．1.7万年B ．2.3万年C ．2.9万年D ．3.5万年10．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，已知当0x >时，()f x 图像与()2x a g x +=的图像关于直线y x =对称，且()()241f f -+-=，则a =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2二、多项选择题11．以下四个选项表述正确的有（ ） A ．0∈∅B ．{}0∅ÜC ．{}{},,a b b a ⊆D ．{}0∅∈12．若实数,a b 满足log 2log 2a b <，则下列关系中可能成立的有（ ） A ．01b a <<<B ．01a b <<<C ．1a b >>D ．01b a <<<13．定义域和值域均为[],a a -（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图2所示，则下列说法正确的有（ ）A ．方程()()0f g x =有两正数解和一负数解 B ．方程()()0g f x =最多只有三个解 C ．方程()()0ff x =可能存在五个解D ．方程()()0g g x =有且仅有一个解.三、填空题14．已知函数()12log ,042,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩，则()()8f f =______.15．已知幂函数()f x过点1,22⎛ ⎝⎭，则关于x 的不等式()2f x <的解集是______.16．函数（function ）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发.函数的近代定义是给定一个数集A ，假设其中的元素为x ，对A 中的元素x 施加对应法则f ，记作()f x ，得到另一数集B ，假设B 中的元素为y ，则y 与x 之间的等量关系可以用()y f x =表示.其中核心是对应法则f ，它是函数关系的本质特征.已知集合{}1,2,3A B ==，:f A B →是从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.17．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为70元/盒、65元/盒、85元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到128元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%. ①当15x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付______元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为______. 四、解答题18．（1）计算：()()()4123320.2522π⎡⎤⎡⎤--⨯-⎣⎦⎣⎦（2）已知23a =，35b=，用,a b表示3log 19．已知函数()()2log 4f x x =-的定义域为集合A ，集合{}211B x m x m =-≤<+. （1）当0m =时，求A B U ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若A B =∅I ，求实数m 的取值范围.20．设()f x 为定义在[]5,5-上的奇函数，当02x ≤≤时，()2f x x =，当25x <≤时，()y f x =的图象是顶点为()3,5P 且过点()2,4A 的抛物线一部分. （1）求函数()f x 的解析式；（2）在图3中的直角坐标系中画出函数()f x 的图象； （3）写出函数()f x 的值域和单调区间.21．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中%x ()0100x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 取何值时，公交群体的人均通勤时间等于自驾群体的人均通勤时间？（2）已知上班族S 的人均通勤时间计算公式为()()()%40100%g x f x x x =⨯+⨯-，讨论()g x 单调性，并说明其实际意义.22．已知函数()af x x x=+（a 为常数）. （1）当1a =-时，判断()f x 在(),0-∞的单调性，并用定义证明； （2）若对任意x R ∈，不等式()21x f >恒成立，求a 的取值范围； （3）讨论()f x 零点的个数. 23．已知函数()f x x x a x =-+. （1）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，讨论函数()f x 在区间[]1,m ()1m >上的最大值的表达式()g m .2019-2020学年上学期期中三校联考高一数学参考答案一、选择题10．【解析】因为2xy =与函数2log y x =图像关于y x =对称，所以即点()00,x a y +在2xy =上，则()00,y x a +在2log y x =上，所以当0x >时，()2log f x x a =-，因为是奇函数，所以()()241f f +=-，所以321a -=-，所以2a =. 二、多项选择题三、填空题 14．31815．()4,4- 16．7 17．140 1618．解：（1）()())240111332230.2522127-⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⨯⨯-+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦141612=-⨯16412=-+ 1632=- 1252=-（2）因为23a=，2log 3a =，35b=，3log 5b =，()33331111log log 30log 5log 211222b a ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭19．解：（1）由40210x x ->⎧⎨->⎩解得142A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.（1）当0m =时，[)1,1B =-，所以[)1,4A B =-U （2）当B =∅时，211m m -≥+，2m ≥，符合B A ⊆.当B ≠∅时，根据B A ⊆得211121214m m m m -<+⎧⎪⎪->⎨⎪+≤⎪⎩，解得23m <≤.综上所述，m 的取值范围是()2,+∞（3）当B =∅时，211m m -≥+，2m ≥，符合A B =∅I .当B ≠∅时，211112m m m -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩或211214m m m -<+⎧⎨->⎩，解得12m ≤-. 综上所述，m 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U20．解：（1）当25x <≤，设()()235f x a x =-+，因为()f x 过点()2,4A ，所以()()222354f a =-+=，所以1a =- 所以()()()23525f x x x --+<≤，设20x -≤<，所以02x <-≤，所以()()22f x x x -=-=-，又因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以有()()220f x x x =-≤<， 设52x -≤<-，所以25x <-≤，所以()()()223535f x x x -=---+=-++， 又因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以有()()()23552f x x x =+--≤<-，综上所述，()2264,522,2264,25x x x f x x x x x x ⎧++-≤<-⎪=-≤≤⎨⎪-+-<≤⎩（2）图像如图所示（3）由图像观察知()f x 的值域为{}55y y -≤≤， 单调增区间为()3,3-，单调减区间为()5,3--和()3,5 21．解：（1）由题意知，当30100x <<时， 令()180029040f x x x=+-=，化简得2659000x x -+=，解得20x =或45x =. 因此，当20x =或45x =时，公交群体的人均通勤时间等于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x <≤时，()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-； 当30100x <<时，()()2180013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭∴()240,030101358,301005010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩当030x <≤时，函数()g x 单调递减； 当3032.5x <≤时，函数()g x 单调递减； 当32.5100x <<时，函数()g x 单调递增.说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少. 22．解：（1）当1a =-，()1f x x x=-在(),0-∞单调递增，以下证明： 假设120x x <<，()()()()12121212121212111111f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<，所以120x x -<，120x x >，12110x x +>， 所以()1212110x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x <， 所以()f x 在(),0-∞单调递增 （2）因为212xx a +>，所以()222x x a <-，设2x t =，所以0t >， 设()()20g t t t t =->，所以()1124g t g ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭，所以14a <-. 所以当14a <-时，有()21x f >恒成立 （3）()f x 定义域为()(),00,-∞+∞U ，显然是奇函数，所以只要研究0x >的情况. 当0a ≥时，()0f x >在()0,+∞恒成立，所以()f x 无零点； 当0a <时，()f x 在()0,+∞单调递增，又因为0f=，所以()f x 在()0,+∞有唯一零点.综上所述，当0a ≥时，()f x 无零点；当0a <时，()f x 有两个零点.23．解：（1）由题知()()()221,1,x a x x af x x a x x a⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩因为0a >，所以12aa --<，所以()f x 在区间[),a +∞单调递增； 当01a <≤时，12a a +≥，所以()f x 在区间(),a -∞单调递增； 当1a >时，12a a +<，所以()f x 在区间1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在区间1,2a a +⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； 综上所述，当01a <≤，()f x 在(),-∞+∞单调递增； 当1a >，()f x 在1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和[),a +∞单调递增，在1,2a a +⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （2）由（1）知，()f x 在区间3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和[)2,+∞单调递增，在区间3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减， 当312m <≤时，()f x 在[]1,m 单调递增，所以()()23g m f m m m ==-+；当32m <≤时，()3924f m f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以()94g m =；当m >时，()()2g m f m m m ==-. 综上所述：()2233,1293,42,m m m g m m m m m ⎧-+<≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪->⎪⎩。

2022-2023学年广东省广州市协和中学等三校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2A =-，下列选项正确的是（ ）A ．{}1A -∈B ．{}1A -⊆C ．1A -⊂D ．1A -⊆【答案】B【分析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合A 的关系即可.【详解】由题设，{}1A -⊆且1A -∈，所以B 正确，A 、C 、D 错误.故选：B2．函数()2log f x x =的定义域为（ ）A ．(],2-∞B ．()0,∞+C ．[)0,2D ．(]0,2 【答案】D【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可得答案．【详解】解：因为()2log f x x =， 所以由020x x >⎧⎨-≥⎩，可得02x <≤， 所以函数()f x 的定义域为(]0,2，故选：D.3．如果函数()y f x =在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由零点存在性定理得出“若()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点”举反例即可得出正确答案.【详解】由零点存在性定理可知，若()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点而若函数()y f x =在(,)a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅<不一定成立，比如2()f x x =在区间(2,2)-内有零点，但(2)(2)0f f -⋅>所以“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的充分而不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.4．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据函数的定义，可知因变量y 与自变量x 是一一对应的，可以判断出各个选项中的图像是否是函数图像，来进行作答.【详解】由函数的定义可知，选项B 中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况.故选：B5．若“2[1,3],2x x a ∃∈-≤”为真命题，则实数a 的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．6D ．7 【答案】B【分析】由题知22[1,7]x -∈-，再根据题意求解即可.【详解】解：当[1,3]x ∈时，2[1,9]x ∈，所以22[1,7]x -∈-.因为命题“2[1,3],2x x a ∃∈-≤”为真命题，所以1a ≥-，实数a 的最小值为1-.故选：B6．已知ln3a =，23πsin3b =，233c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B【分析】根据给定条件利用指数、对数函数性质，三角函数诱导公式并借助“媒介”数即可比较判断作答.【详解】函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，而3e >，则ln3lne 1a =>=， ππ3sin 8sin 0332b π⎛⎫=-=-=-< ⎪⎝⎭， 函数3x y =在R 上单调递增，而203-<，则2030331-<<=，即01c <<， 所以a c b >>.故选：B7．函数()1e cos 1e xx f x x -=⋅+，[]π,πx ∈-的图象形状大致是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】D 【分析】先根据函数奇偶性排除AC ，再结合特殊点的函数值排除B.【详解】定义域[]π,πx ∈-，且()()()1e e cos cos 1e 1e 1x x x xf x x x f x ----=⋅-=⋅=-++-，所以()f x 为奇函数，排除AC ；又()ππ1e cos 1e ππ>0f =-⋅+，排除B 选项. 故选：D8．2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，碳14的半衰期为5730 年，lg0.5 1.1665lg0.552≈，以此推断水坝建成的年份大概是公元前（ ）A ．3500年B ．2900年C ．2600年D ．2000年【答案】B【分析】根据碳14的半衰期是5730年，即每5730年含量减少一半，设原来量为1，经过t 年后则变成0.552，列出方程，即可求解.【详解】根据题意设原来的量为1，经过t 年后则变成155.2%0.552⨯=，可得573011()0.5522t ⨯=，两边取对数，可得0.5log 0.5525730t =， 即0.5lg 0.5525730log 0.55257304912lg 0.5t =⨯=⨯≈， 又由4912201012903-+=， 所以以此推断水坝建成的年份大概是公元前2900年.故选：B.二、多选题9．（多选）若角α是第二象限角，则2α是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】AC【分析】先根据已知条件写出角α的取值范围，再计算2α的范围，并在该不等式范围中对 ()k k Z ∈分奇偶讨论，从而得到2α所在的象限． 【详解】∵α是第二象限角，∴222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，∴422k k παπππ+<<+，Z k ∈. 当k 为偶数时，2α是第一象限角；当k 为奇数时，2α是第三象限角. 综上，可知A ，C 正确.【点睛】本题考查了等分角所在的象限问题，属于基础题.同时考查了学生对()k k Z ∈分奇偶讨论的思想和计算能力.10．下列命题为真命题的是（ ）A ．若0a b <<，则2a ab <B ．若23,12a b -<<<<，则42a b -<-<C ．若0,0b a m <<<，则m m a b > D ．若,a b c d >>，则a b d c> 【答案】BC【分析】利用作差法判断选项A ；利用不等式的性质判断选项B ；利用不等式的性质判断选项C ；利用列举法判断选项D ．【详解】A 项，2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以A 选项是错误的；B 项，若23,12a b -<<<<，可得：21b -<-<-，故42a b -<-<，故B 正确；C 项，若0,b a <<可得011b a >>，由0m <可得：m m a b >，故C 正确；D 项，举当1,0,1,2a b c d ===-=-时，则不成立，故D 不正确；故选：BC ．11．已知函数()log 412a y x =--（0a >且1a ≠）的图象过定点P ，且角θ的终边经过P ，则（ ） A ．()4,12P -B ．12sin 13θ=-C ．5cos 13θ=-D ．π7tan 417θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【分析】先根据对数函数的性质求出定点P ，再根据三角函数的定义及两角和的正切公式计算即可【详解】令41x -=，得5x =，进而12y =-()5,12P ∴-， 则12sin 13θ=-，5cos 13θ=，5t n 1a 2θ-=， 12πtan 151217tan 41tan 1715θθθ+⎛⎫+===- ⎪-+-+⎝⎭. 故选：BD.12．下列说法正确的是（ ）A ．函数1sin sin y x x=+的最小值为2 B ．函数24x y =+的最小值为4C ．若正实数a ，b 满足1a b +=，则122a b +的最小值为92D ．若正实数a ，b 满足24a b +=，则ab 的最大值为2【答案】CD【分析】A.由sin 1x =-判断；B.由指数函数的值域判断； C.利用基本不等式判断； D.利用基本不等式判断.【详解】A.因为sin 1x =-，所以=2y -，故错误；B. 因为x ∈R ，则20x >所以244x y =+>，故错误；C.因为正实数a ，b 满足1a b +=， 所以()55921212222222b a a b a b a a b b ⎛⎫+=++≥+=+ +⎪⎝⎭， 当且仅当22b a a b =，即12,33a b ==时，等号成立，故正确；D.因为正实数a ，b 满足24a b +=，所以211222222a b ab ab +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =，即1,2a b ==时，等号成立，故正确.故选：CD三、填空题13．已知幂函数()233m y m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =___________. 【答案】1-【分析】由系数为1解出m 的值，再由单调性确定结论．【详解】由题意2331m m --=，解得1m =-或4m =，若4m =，则函数为4y x =，在(0,)+∞上递增，不合题意．若1m =-，则函数为1y x =，满足题意．故答案为：1-．14．已知扇形的圆心角为3π，弧长为1，则其面积为___________. 【答案】32π 【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．【详解】扇形的圆心角为3π，弧长为1， 则扇形的半径为r 133l ===παπ， 面积为11331222S lr ==⨯⨯=ππ． 故答案为：32π． 15．已知α与β都是锐角，且()1sin 3αβ-=，()cos αβ+=则sin 2α=______.【分析】由题意判断ππ0,022αβαβ<-<<+<，求得cos(),sin()αβαβ-+的值，根据()sin 2sin[()]ααβαβ=-++，利用两角和的正弦公式展开计算，可得答案.【详解】因为α与β都是锐角，故ππ,0π22αβαβ-<-<<+< ，由于()1sin 3αβ-=，()cos αβ+=，所以ππ0,022αβαβ<-<<+<，故1cos())2αβαβ-=+， 故()sin 2sin[()]sin()cos()cos()sin()ααβαβαβαβαβαβ=-++=-++-+1132=，16．已知函数()()112,03,0x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】116a ≤< 【分析】由题意可得10123a a ->⎧⎪⎨≥⎪⎩，计算不等式组即可求得结果. 【详解】∵函数()()112,03,0x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，又当0x ≥时，1133x -≥， ∴10123a a ->⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得116a ≤<. 故答案为：116a ≤<.四、解答题17．（1）计算：()221212log 0log 334143312e ⎛⎫⨯+⨯-- ⎪⎝⎭． （2）已知tan 2α=，求()()cos 2sin cos 2πααπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-的值． 【答案】（1）3；（2）2【分析】（1）根据指数的运算性质及对数的运算性质计算即可得解；（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可得解.【详解】解：（1）原式222211log 3log log 2032222312311313+-=⨯+-=+-=+-=； （2）原式()()cos sin 2sin cos 2sin cos παααπααα⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-+--+sin cos sin cos cos cos αααααα-=-+ tan tan 1αα-=-+ 221-=-+ 2=.18．已知函数()223f x x ax =++，[]4,6x ∈-．(1)当2a =-时，求()f x 的最值；(2)若()f x 在区间[]4,6-上是单调函数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()min 1f x =-，()max 35f x =.(2)(][),64,-∞-+∞【分析】（1）利用二次函数的性质求()f x 的最值即可.（2）由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求a 的取值范围．【详解】（1）当2a =-时，()()224321f x x x x =-+=--，∴()f x 在[]4,2-上单凋递减，在2,6上单调递增，∴()()min 21f x f ==-，()()()()2max 4444335f x f =-=--⨯-+=. （2）()()222233f x x ax x a a =++=++-，∴要使()f x 在[]4,6-上为单调函数，只需4a -≤-或6a -≥，解得4a ≥或6a ≤-．∴实数a 的取值范围为(][),64,-∞-+∞．19．已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期π． (1)求函数()f x 单调递增区间和对称中心；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】(1)答案见解析(2)[]1,2-【分析】（1）先由最小正周期求得ω，再结合sin y x =的性质即可求得所求；（2）利用整体法及sin y x =的单调性即可求得()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 【详解】（1）因为()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期π， 所以2ππω=，得2ω=，故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 则由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈， 由π2π,Z 6x k k +=∈得ππ,Z 122k x k =-+∈， 所以()f x 单调递增区间为()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，对称中心为()ππ,0Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. （2）因为π02x ≤≤，所以ππ7π2666x +≤≤， 所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，故π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即()12f x -≤≤， 所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-. 20．我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产x （千台）电脑需要另投成本()T x 万元，且2+100+1000,0<<40,()=10000601+-7450,40,ax x x T x x x x ≥⎧⎪⎨⎪⎩另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式;(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【答案】(1)210+500-2350,0<<40,()=10000+6100,40.x x x W x x x x ---≥⎧⎪⎨⎪⎩(2)100千台，最大年利润为5 900万元.【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可 （2）由（1）知当040x <<时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当40x ≥时，利用基本不等式性质求最大值.【详解】（1）解：10 000台=10千台,则(10)1002000T a =+，根据题意得：0.610000100200013501650a ⨯---=，解得=10a ，当040x <<时，22()0.610001350101001000105002350W x x x x x x =⨯----=-+-， 当40x ≥时，1000010000()0.61000135060174506100W x x x x x x=⨯---+=--+， 综上所述210+5002350,0<<40()=10000+6100,40x x x W x x x x ----≥⎧⎪⎨⎪⎩. （2）当040x <<时，22()10500235010(25)3900W x x x x =-+-=--+当25x =时， ()W x 取得最大值max ()3900W x =；当40x ≥时，1000010000()61006100900W x x x x x=--+≤-+=， 当且仅当=100x 时，max ()5900W x =因为59003900>，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元. 21．已知函数2()(0)21xf x a a =->+的图象在直线1y =的下方且无限接近直线1y =. (1)判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明），并求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并用定义证明；(3)求函数()f x 的值域.【答案】(1)函数2()2+1x f x a =-在R 上单调递增，2()12+1x f x =- (2)奇函数，证明见解析(3)(1,1)-【分析】（1）根据函数的单调性情况直接判断；（2）根据奇偶性的定义直接判断；（3）由奇偶性直接判断值域.【详解】（1）因为随着x 增大，22+1x 减小，即22+1x -增大，故()f x 随x 增大而增大，所以函数2()2+1x f x a =-在R 上单调递增. 由()f x 的图象在直线1y =下方，且无限接近直线1y =，得1a =，所以函数的解析式2()12+1x f x =-. （2）由（1）得2()12+1x f x =-，整理得21()2+1x x f x -=， 函数()f x 定义域R 关于原点对称，211221()()211221x x xx x xf x f x ------===-=-+++， 所以函数()f x 是奇函数.（3）方法一：由（1）知()1f x <，由（2）知，函数图象关于原点中心对称，故()1f x >-， 所以函数()f x 的值域为(1,1)-.方法二：由x R ∈，得20x >，得211x +>，得10121x <<+，得22021x --<<+，得211121x --<+<+，所以函数()f x 的值域为(1,1)-.22．已知函数()g x ax b =+，2()1h x x =+，()()()g x f x h x =． 若不等式()()30h x g x --≤的解集为[]1,2- (1)求,a b 的值及()f x ；(2)判断函数()f x 在区间0,1上的单调性，并利用定义证明你的结论． (3)已知()12,0,,x x ∀∈+∞且12x x <，若()()12f x f x =.试证：122x x +>. 【答案】(1)1,0a b ==；()21xf x x =+ (2)函数()f x 在区间0,1上的单调递增，证明见解析 (3)见解析【分析】（1）根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值（2）定义法证明单调性，假设12x x <，若()()12f x f x <，则单调递增，若()()12f x f x >，则单调递减（3）单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大 【详解】（1）()()30h x g x --≤，即220x ax b ---≤，因为不等式解集为[]1,2-，所以1204220a b a b +--=⎧⎨---=⎩，解得：10a b =⎧⎨=⎩ ，所以()21xf x x =+ （2）函数()f x 在区间0,1上的单调递增，证明如下： 假设12x x <，则120x x -<()()()()()()()()22121212121212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++，因为()12,0,1x x ∈，所以1210x x ->，所以()()()()()()12121222121011x x x x f x f x xx ---=<++，即当12x x <时，()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间0,1上的单调递增（3）由（2）可得：函数()f x 在区间0,1上的单调递增， 在区间1,上的单调递减，因为()()12f x f x =，且()12,0,x x ∈+∞，12x x <，所以()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，()121,x -∈+∞证明122x x +>，即证明212x x >-，即证明()()212f x f x <-，因为()()12f x f x =，所以即证明()()112f x f x <-，代入解析式得：()()1122112121x x x x -<+-+，即 ()()11221120121x x x x --<+-+，令()()()()222,0,1121x x x x x x ϕ-=-∈+-+，因为()21x f x x =+在区间0,1上的单调递增，根据复合函数同增异减的性质可知，()()2221x x --+在区间0,1上的单调递减，所以()()()()222,0,1121x x x x x x ϕ-=-∈+-+单调递增，即()()max 10x ϕϕ==，所以()0x ϕ<在区间0,1上恒成立，即()()1122112121x x x x -<+-+，得证：122x x +> 【点睛】小问1求解析式，较易；小问2考察定义法证明单调性，按照常规方法求解即可；小问3难度较大，解题过程中应用到以下知识点：（1）可以通过证明函数值的大小，结合函数的单调性，反推出变量的大小，即若()()212f x f x <-，且()f x 单减，则212x x >-；解题过程（2）单调性的性质，复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数。