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探讨三次函数及其图像三次函数是高中数学中一个重要的内容，它的图像特点和性质经常被用于解决实际问题。
本文将探讨三次函数及其图像的相关知识。
一、三次函数的定义和形式三次函数是指函数的最高次幂为3的多项式函数，通常表示为y=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、d为常数且a≠0。
三次函数的定义域为全体实数。
二、三次函数的图像特点1. 定义域和值域：三次函数的定义域为全体实数，值域的范围是整个实数空间。
2. 对称性：三次函数的图像可以有对称的特点。
当a为正数时，图像关于y轴对称；当a为负数时，图像关于x轴对称。
3. 零点和极值点：三次函数的零点是使得函数取值为0的横坐标点，也就是方程ax³+bx²+cx+d=0的解。
根据高中代数学的知识可知，三次函数至多有三个零点。
而极值点是函数的最高点或最低点，求解极值点的方法是求导。
4. 拐点：拐点是三次函数图像由凹变凸或由凸变凹的转折点。
根据高中微积分的知识可知，三次函数有至多两个拐点。
三、三次函数的图像三次函数的图像形态丰富多样，可以通过分析函数的系数来判断图像的具体形状。
1. 当a>0时，函数的图像是开口向上的，并且在拐点附近是向下凹的。
2. 当a0时，函数的图像是开口向下的，并且在拐点附近是向上凸的。
3. 当a=0时，函数的图像是二次函数的图像。
此时，三次函数变成了二次函数。
四、三次函数的应用三次函数的图像特点和性质经常被用于解决实际问题。
1. 利用图像特点解方程：由于三次函数的零点对应图像的横坐标，因此可以通过观察图像来解三次函数的方程。
2. 利用极值点求解最优问题：三次函数的极值点对应图像的最高点或最低点，在解决最优问题时可以通过求解极值点来得到最优解。
3. 利用拐点解决变化问题：三次函数的拐点对应图像的转折点，可以用来解决某个变量随另一个变量变化而产生转折的问题。
综上所述，三次函数是高中数学中的重要内容。
诚西郊市崇武区沿街学校函数())0,0(,sin >>+=ωϕωA x A y 的图象教学设计说明1、内容与内容分析三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决实际问题的工具，又是学习高等数学及其他学科的根底.学习())0,0(,sin >>+=ωϕωA x A y 的图象及其性质的过程,有助于学习其他的三角函数的图象及其性质.教材先研究了正、余弦函数图象的性质,再由特殊到一般,由简单到复杂,由详细到抽象,逐步分解,分别对函数())0,0(,sin y>>+=ωϕωA x A 中的参数ϕω,,A 进展分解研究,从三个不同角度研究函数())0,0(,sin y>>+=ωϕωA x A 图象与函数x y sin =图象之间的变换关系,从而提醒函数())0,0(,sin y>>+=ωϕωA x A 图象与函数x y sin =图象之间的内在联络,最终形成由函数x y sin =图象变换得到函数())0,0(,sin y >>+=ωϕωA x A ())0,0(,sin y >>+=ωϕωA x A 图象的变换方法. 根据本节教材内容的安排和课标对学生才能的要求,确定如下教学重、难点:教学重点：函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象以及参数ϕω,,A 对图象变换的影响.函数x y sin =的图象与函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象之间的变换关系. 教学难点：函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象与函数x y sin =的图象与之间的变换关系.2、目的与目的分析根据课标对本节课的教学要求，以贯穿创新意识和理论才能的培养为宗旨，从教材的特点和所教的学生的实际出发点，设定教学目的如下：知识与技能结合物理中的简谐振动，理解()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的实际意义； 用“五点法〞作出()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象,并借助图形计算器动态演示三角函数图象，研究参数ϕω，，A 对函数图象变化的影响，让学生进一步理解三角函数图象各种变换的本质和内在规律；在经历参数A 、ϕ、ω对()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 图象影响的过程中认识到函数x y sin =与()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的联络.过程与方法经历x y sin =到()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 图象变换探究的过程，培养学生的数学发现才能和概括总结才能；让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用，体验各种变换的内在联络，进步学生的推理才能、分析问题和解决问题的才能；在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，浸透数形结合的思想和数学学习的一般方法．情感、态度、价值观通过三角函数图象各种变换的探求，培养学生的探究才能、钻研精神和科学态度；通过学习，探求三角函数图象各种变换，培养学生团结协作的精神.3、技术手段分析利用CASIO9750图形计算器进展“数学实验〞.本节课假设采用传统方法讲授，作图量大，耗时多.在实际教学中,大多数教师苦于教学条件的限制,只能用计算机进展演示,学生并没有时机亲自动手绘制图象.我利用CASIO9750图形计算器强大的作图功能，学生现场动手操作，自主探究,对三角函数图象的变换直接进展“数学实验〞,亲身经历并探求图象变化的一般规律．卡西欧图形计算器操作简单，学生容易掌握，通过学生主动参与，互相，营造和谐活泼的课堂气氛.结合电子白板交流展示,使理性分析更直观.在教学过程中利用卡西欧电脑模拟软件,结合电子白板,对学生的操作进展示范指导,动态演示,加强师生交流,使图象变化本质的过程明晰可见.4、教学问题诊断分析教学中，学生在以下几个方面可能出现问题：由于本节课涉及ϕω,,A 三个参数对图象变换的影响,假设仅用传统方法作图讲授，学生被动承受，教学效果并不理想.而借助CASIO 图形计算器强大的作图功能进展教学,让学生亲历图象变换过程,主动探求并发现规律,进步学生的学习数学的兴趣，调动学生学习数学的积极性.学生对ωϕ,对图象带来的影响在理解上有一定的难度.为此让学生在数学实验的根底上，引导学生发现并比较对应变化点的坐标之间的联络，从而理解变换的本质.由函数x y ωsin =变换得到函数()0,0)sin(≠>+=ϕωϕωx y 是教学中的又一难点,教学中引导学生变化形式,换元考虑,从而化复杂为简单,变陌生为熟悉,打破难点．5、教学过程及预期效果分析根据教学内容结合学生详细情况，我采用了教师启发引导和学生自主探究相结合的教学方式.在整个学习过程中，让学生充分动手操作，动脑考虑，形象直观与理性分析相结合，调动学生学习积极性，激发学生学习兴趣．课前准备[设计意图]通过作三组不同函数的图象，进一步体会“五点法〞作函数图象的根本方法,同时为本节课的图象变换做好准备.创设情境，引出问题[设计意图]结合生活中简谐振动创设问题情境,加强数学与物理学科的联络,让学生体会到数学的应用价值.x y sin =为()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的特殊情况引起学生的探究兴趣,通过设置问题,引起认知冲突,激发求知欲望，引导学生学会学习.互助探究，感受规律以问题为中心的探究式的学习方法的好处是学生主动参与知识的发生、开展的过程，在探究的过程中学习科学的研究方法，对学生的终生学习都有积极意义.课前将全班学生分成八个方阵,分组讨论图象的变换过程.问题1：寻找函数x y sin =，x y sin 2=，x y sin 21=三者图象之间的联络. 问题2：寻找函数x y sin =，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin πx y ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y 三者图象之间的联络. 问题3寻找函数三者x y sin =，y=sin2x ，y=sin 21x 图象之间的联络.在研究函数图象之间关系时安排了以下步骤：（1） 作图观察：使用卡西欧图形计算器作出函数图象，观察比较，大胆猜想；（2） 理性考虑：为什么函数的图象之间有这样的关系？（3） 得到详细的结论：（4） 一般化：其中前两个步骤由组内同学互助探究,后两个步骤请组内推选代表汇报本组“研究成果〞，组与组之间可以互相质疑或者者补充，从而明确参数ϕω，，A 分别对函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象.典例分析，形成才能[设计意图]互动探究部分将ϕω,,A 三元素对图象变换的影响进展分解,本环节通过例题让学生体会三者结合对图象变化的作用,并着重分析先周期后相位与先相位后周期在图象变换过程中的注意点. 回忆反思,拓展深化[设计意图]引导学生从知识和方法两个方面进展小结.培养学生及时总结，概括提升的才能，为在课后能继续独立探究考虑埋下伏笔.课后研究，突出重点[设计意图]通过阅读让学生理解数学学科与人类社会开展间的互相关系，体会数学的科学价值和应用价值；通过考虑题使知识更加完好，落实知识的掌握与思想方法的理解.在课堂上注重学生的主体参与，努力创设教师指导下的学生自主探究、交流的学习方式，通过课堂练习及课后作业，课前制定的教学目的根本得以实现.以上就是我对本节课的一些考虑，由于经历缺乏肯定会有缺乏之处,恳请各位专家批评指导！谢谢！。
三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一闭区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y 轴相交的位置．其中运用的较多的一次函数不等式性质是：在上恒成立的充要条件接着，我们同样学习了二次函数，利用已学知识归纳得出：当时（如图1），在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时（图2），在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中决定函数的开口方向，同时决定对称轴，决定函数与轴相交的位置．总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？三次函数专题一、定义定义1 形如的函数，称为“三次函数” （从函数解析式的结构上命名）。
定义2 三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
系列探究1：从最简单的三次函数开始反思1：三次函数的相关性质呢？O 反思2：三次函数的相关性质呢？反思3：三次函数的相关性质呢？例题1. (2012 天津理4) 函数在区间内的零点个数是( )( A) 0 (B)1 (C)2 (D)3探究一般三次函数的性质：先求导1、单调性：(1)若，此时函数f(x)在R上是增函数；( 2)若，令两根为x1,x2且，则在上单调递增，在上单调递减。
2、零点(1) 若b2 3ac 0，则恰有一个实根；(2)若, 且，则恰有一个实根；(3)若, 且，则有两个不相等的实根；(4)若, 且，则有三个不相等的实根.说明:(1)(2) 有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值同号.2b 23ac 0，且 f(x 1) f(x 2) 0;(4) f (x) 0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y f (x)与 x 轴有三个公共点， 即 f( x)有一个极大值，个极小值，且两极值异号 .所以 b23ac 0且 f (x 1) f(x 2) 0.3、奇偶性： 函数当且仅当 时是奇函数。
