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§2.7函数的图象1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数的解析式．(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)．(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )．②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )．③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换①y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )．(4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？提示f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．2．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(x)，g(x)的关系是g(x)＝2b－f(2a －x)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(×)(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)(3)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(×)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)题组二教材改编2．函数f(x)＝x＋1x的图象关于()A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称答案C解析函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选C.3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________．(填序号)答案③解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________．答案(－1,1]解析在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三易错自纠5．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()答案A解析依题意，得函数定义域为R，且f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A. 6．(多选)若函数y＝a x＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有()A．a>1B．0<a<1C．b>0D．b<0答案AD解析因为函数y＝a x＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a>1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b<0，故选AD.7．将函数f(x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图象的函数解析式为________．答案y＝(2x＋3)2作函数的图象分别作出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解(1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．函数图象的辨识例1(1)(2019·武汉质检)函数f (x )＝(2x ＋2－x )ln|x |的图象大致为()答案B 解析∵f (x )定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝(2－x ＋2x )ln|－x |＝(2x ＋2－x )ln|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当x ∈(0,1)时，2x ＋2－x >0，ln|x |<0，可知f (x )<0，排除A ，C.(2)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝－|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)答案C 解析题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．跟踪训练1(1)函数f (x )＝21＋e x －1·sin x 的图象的大致形状为()答案A 解析∵f (x )＝21＋e x －1x ，∴f (－x )21＋e －x －1·sin(－x )＝－2e x 1＋e x －1x 21＋e x －1·sin x ＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，∴函数f (x )为偶函数，故排除C ，D ；当x ＝2时，f (2)21＋e 2－1·sin 2<0，故排除B ，只有A 符合．(2)(2019·贵州七校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e x xC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x 答案A 解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.函数图象的应用命题点1研究函数的性质例2(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是()A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案C解析将函数f (x )＝x |x |－2x去掉绝对值，得f (x )2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图所示，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设y ＝max{2x ,2x －3,6－x }，则y 的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．6答案C 解析画出y ＝max{2x ,2x －3,6－x }的示意图，如图所示．由图可知，y 的最小值为22＝6－2＝4，故选C.命题点2确定零点个数、解不等式例3已知f (x )x |，x >0，|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案5解析方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.对本例中函数f (x )，不等式f (x )≤1的解集为________．答案x |x ＝0或110≤x ≤10解析由图象可知f (0)＝1，当110≤x ≤10时，f (x )≤1.∴不等式f (x )≤1x |x ＝0或110≤x ≤10命题点3求参数的取值范围例4(2020·唐山月考)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________．答案12，1解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为12，1若f (x )>g (x )恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案－1，12解析如图作出函数f (x )的图象，当－1≤k <12时，直线y＝kx的图象恒在函数y＝f(x)的下方．思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值答案C解析画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．(2)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是______．答案(－1,0)解析在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．(3)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．1．(2019·山东师范大学附属中学月考)函数y ＝log 2|x |的图象大致是()答案C 解析函数y ＝log 2|x |为偶函数，作出x >0时y ＝log 2x 的图象，再作其关于y 轴对称的图象即得，故选C.2．已知函数f (x )3x ，x ≤1，13log x，x >1，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是()答案D解析方法一先画出函数f (x )3x ，x ≤1，13log x，x >1的草图，令函数f (x )的图象关于y 轴对称，得函数f (－x )的图象，再把所得的函数f (－x )的图象，向右平移1个单位，得到函数y ＝f (1－x )的图象(图略)，故选D.方法二由已知函数f (x )的解析式，得y ＝f (1－x )31－x ，x ≥0，13log (1)x ，x <0，故该函数过点(0,3)，排除A ；过点(1,1)，排除B ；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.3．将函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )等于()A ．e x＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e －x －1答案D 解析与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x ，将函数y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图象，∴y ＝f (x )＝e－(x ＋1)＝e －x －1.4．(2019·衡水中学调研卷)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案C 解析∵y ＝lg x ＋310lg(x ＋3)－1.∴选C.5．(2020·佛山质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是()A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案A 解析当x >0时，f (x )＝1－2－x >0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )<－12的解集和f (x )>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1，即x >1，则f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.6．函数f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a >0，b >0，c >0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0答案C 解析由f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2及图象可知，x ≠－c ，－c >0，则c <0.当x ＝0时，f (0)＝b c2>0，所以b >0，当y ＝0时，ax ＋b ＝0⇒x ＝－b a>0.7．(多选)关于函数f (x )＝|ln|2－x ||，下列描述正确的有()A ．函数f (x )在区间(1,2)上单调递增B ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2＝4D ．函数f (x )有且仅有两个零点答案ABD 解析函数f (x )＝|ln|2－x ||的图象如图所示，由图可得，函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确；若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2的值不一定等于4，C 错误；函数f (x )有且仅有两个零点，D 正确．8．(多选)(2019·河南浉河区校级月考)将函数f (x )的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g (x )的图象，则下列函数f (x )不能满足条件的是()A ．f (x )＝1x ＋1B ．f (x )＝e x －1－e 1－x C ．f (x )＝x ＋2xD ．f (x )＝log 2(x ＋1)＋1答案ACD 解析由题意知，f (x )必须满足两个条件：①f (1)＝0，②f (1＋x )＝－f (1－x )．对于选项A ，C ，D ，f (1)均不为0，不满足条件；对于选项B ，f (1)＝e 0－e 0＝0，f (1＋x )＝e x －e －x ，f (1－x )＝e －x －e x ＝－f (1＋x )．9．已知函数f (x )πx ，0≤x ≤1，2020x ，x >1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是__________．答案(2,2021)解析函数f (x )πx ，0≤x ≤1，2020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2020，所以2<a ＋b ＋c <2021.10．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是__________．答案－13，解析由题意作出f (x )在[－1,3]上的图象如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象在[－1,3]内有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.11．(2020·济南模拟)设a 为实数，且1<x <3，试讨论关于x 的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数．解原方程即a ＝－x 2＋5x －3.作出函数y ＝－x 2＋5x －3＋134(1<x <3)的图象，得当a >134或a ≤1时，原方程的实数解的个数为0；当a ＝134或1<a ≤3时，原方程的实数解的个数为1；当3<a <134时，原方程的实数解的个数为2.综上，a >134或a ≤1时有0个解；a ＝134或1<a ≤3时有1个解；3<a <134时有2个解．12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个实数解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是()答案B 解析函数f (x －1)的图象向左平移1个单位长度，即可得到函数f (x )的图象；∵函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，∴函数f (x －1)的图象关于原点对称，∴函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，选B.14．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )－x －1，x ≤0，(x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则实数a 的取值范围为________．答案(－∞，1)解析当x ≤0时，f (x )＝2－x －1,0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．15．(2020·广州月考)函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，其图象上任一点P (x ，y )满足x 2－y 2＝1，则给出以下四个命题：①函数y ＝f (x )一定是偶函数；②函数y ＝f (x )可能是奇函数；③函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增；④若y ＝f (x )是偶函数，其值域为(0，＋∞)．其中正确的序号为________．答案②解析由题意可得，函数y ＝f (x )的图象是双曲线x 2－y 2＝1的一部分．由函数的定义可知，该函数的图象可能是如图所示的四种情况之一．其中，图(1)(4)表示的函数为偶函数，图(2)(3)表示的函数是奇函数，所以命题②正确，命题①错误；由图(2)(4)可知函数y ＝f (x )可以在区间(1，＋∞)上单调递减，故命题③错误；由图(4)可知，该函数的值域也可能为(－∞，0)，所以命题④错误．综上可知，填②.16．已知函数f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数k 的取值范围．解对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是－∞，74∪94，＋∞。
