04_角动量对称性

r r r r ˆ ˆ ˆ ˆ [ J , J 12 ] = [ J , J 22 ] = 0
ˆ ˆ ˆ ˆ [ J z , J 1 z ] = [ J z , J 2 z ] = ... = 0
r r ˆ ˆ [J 2, J2 ] ≠ 0
[( )( )] [( )( )( )] ( [ ( ) ( )]
二、角动量的耦合 二、角动量的耦合
1、合成角动量的对易关系： 设有两个独立的角动量J1，J2，它们的合成为： 容易证明：
r r ˆ ˆ [J 2, J ] = 0
习题4.2 化简：
exp(− cJ + )J zexp(cJ + ); exp(− cJ − )J +exp(cJ − )
r r r ˆ ˆ ˆ J = J1 + J 2
二、转动算符的矩阵表示
1、D矩阵
转动算符在角动量表象中的矩阵元为：
r r r r D mj ' m (θ ) = jm ' R (θ ) jm = jm ' e − iθ ⋅ J / h jm
利用Taylor展开：
r r r r r r r r i r r r r R(δθ )ψ (r ) = ψ (r ) − (δθ ⋅ L )ψ (r ) + δθ ×ψ (r ) h
2）耦合表象
ˆ 根据对易关系，由 J , J z , J 1 , J 2 之间两两对易，可以 建立以它们的共同本征态作为基矢的表象，称耦合表象。
r2 ˆ
r2 r2 ˆ ˆ
j1 j 2 , jm
由于两个角动量耦合在一起，所以称为耦合表象。 本征方程： r ˆ J2 r ˆ Jz r ˆ J 12 r ˆ J 22
第四章 角动量与对称性
§4.1 角动量算符 §4.2 转动算符 §4.3 对称性与守恒律 §4.4 量子体系中特有的对称性
§4.1 角动量算符
一、角动量表象 二、角动量的耦合 三、Clebsch-Gordan系数
一、角动量表象 一、角动量表象
ˆ 1、 ( J 2 , J z ) r ˆ
由
r ˆ ⎛ J 2 − J 2 ⎞ λ m = (λ − m 2 )h 2 λ m ˆ ⎟ ⎜ z ⎝ ⎠
ˆ J 1 z j1 m 1 , j 2 m 2 = m 1 h j1 m 1 , j 2 m 2 ˆ J 2 z j1 m 1 , j 2 m 2 = m 2 h j1 m 1 , j 2 m 2
对任意态展开：
j1 j2
ψ =
m 1 = − j1 m 2 = − j 2
∑ ∑
j1 m 1 , j 2 m 2
2、算符的矩阵元
ˆ J ± jm = ( j m m )( j ± m + 1) h j , m ± 1 ( j m m )( j ± m + 1) h δ
j' j
这样可以得到： 类似可以得到：
λ = j ( j + 1) λ = j ' ( j '− 1)
可见： ˆ j ' m ' J ± jm =
j1 m 1 , j 2 m 2 = j1 m 1
j 2 m 2 ≡ j1 m 1 ⊗ j 2 m 2
直积（张量积），所以称为直乘表象。 r ˆ 本征方程： J j m , j m = j ( j + 1) h 2 j m , j m 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 r ˆ 2 J 2 j1 m 1 , j 2 m 2 = j 2 ( j 2 + 1) h j1 m 1 , j 2 m 2
们的共同本征矢
1 ( 11 + 1 − 1 )，求同时测量 ψ = 2
1m x r2 ˆ J
x
m=-j,-j+1,…j-1,j，共2j+1个。 正交归一：
j ' m ' jm = δ
j' j
ˆ 和 J x的取值几率。 ˆ （ 3）在 ψ 态上，计算 J y的平均值。
δ m 'm
习题4.1
r ˆ ˆ ˆ ˆ 求出 j = 2时 J 2、 J x、 J y、 J z的矩阵表示。
一、转动算符与转动态
1、转动算符与转动态
将一个态绕空间一个轴转过一定角度后，粒子仍处于一个完全确 定的态，则称其为原来态的转动态。
r r r r ' = R (θ ) r , r r r p ' = R (θ ) p
2、标量算符与矢量算符
1）标量算符：如果一个算符经转动变换后不变，
F ' = RFR
，
ˆ ⎧r ⎪ J 2 λm = λh 2 λm ⎨ ˆ ⎪ J z λm = m h λm ⎩
λ ，设m上限为j，下限为j’。即：
ˆ J + λj = 0 , ˆ J − λj' = 0
用J_左乘上面第一式，有
r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 = J − J + λ j = ( J 2 − J z2 − h J z ) λ j = ( λ − j 2 − j ) h 2 λ j
上式中的第三分量可化为：
上式称为Wigner函数。例如：绕z轴转动的Wigner函数为： r D mj 'm (θ e z ) = jm ' e − iθ J z / h jm = e − im θ δ m 'm
其中( S j )ik = −ih ε jik
(δθ ×ψr ) = ε
r
i
ijk
δθ jψ k = −ε jik δθ jψ k = −
2）三个角量子数之间的关系
j1 − j 2 ≤ j ≤ j1 + j 2
∑
j1 m 1 , j 2 m 2
j1 m 1 , j 2 m 2 = 1
3）正交归一性质
可知：
j1 j 2 , jm =
m1 m 2
∑
j1 m 1 , j 2 m 2
j1 m 1 , j 2 m 2 j1 j 2 , jm
∑
j m1 m 2
但：
r r ˆ ˆ [ J 2 , J1 ] ≠ 0 ,
)
角动量合成的实例：
1）一个粒子，考虑轨道、自旋后的总角动量： 2）两个全同粒子，总自旋为：
r r r ˆ ˆ ˆ J =L+S
r r r ˆ ˆ ˆ S = S1 + S 2
2、直乘表象和耦合表象 1）直乘表象
ˆ ˆ ˆ ˆ 根据对易关系，由 J 12 , J 1 z , J 22 , J 2 z 之间两两对易，可以 建立以它们的共同本征态作为基矢的表象，称直乘表象。 r r
−1
= F
则该算符为标量算符。如：动能算符等。
例：如果 θ = θ e z
r
r
则
− sin θ cos θ 0 0 ⎞⎛ x ⎞ r r ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ y ⎟ ≡ R (θ ) r ⎟⎜ z ⎟ 1 ⎠⎝ ⎠
⎛ x ' ⎞ ⎛ cos θ r ⎜ ⎟ ⎜ r ' = ⎜ y ' ⎟ = ⎜ sin θ ⎜ z'⎟ ⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎝
∑
以上两组基之间的幺正变换矩阵元 即称为Clebsch-Gordan系数（C-G系数）。 C-G系数的个数：(2j1+1)(2j2+1)
j1 m 1 , j 2 m 2 j1 j 2 , jm
上式当j=j’，m’=m=m1+m2时，有
m1 , m2
∑
j1m1 , j2 m2 j1 j2 , jm
2
=1
δ m ', m ± 1
几个算符的矩阵写法：(2j+1)阶矩阵
例题：当 j = 1时 r ˆ ˆ （1）求出 J 2、 J x的矩阵表示，并求出它 ( 2 ) 若体系处于状态
以上两式联立，得到两个解：j’=-j（保留）；j’=j+1（舍去） 改记： 态的作用：
λ m → jm
ˆ ⎧r ⎪ J 2 jm = j ( j + 1) h 2 jm ⎨ ˆ J z jm = m h jm ⎪ ⎩
i (δθ j S j )ikψ k h
由：
r r r r r [ J 2 , R (θ )] = [ J 2 , e − iθ ⋅ J / h ] =
代入前式，有
∑ k! ⎜ − ⎝
k
1 ⎛
r i r r r i r r R (δ θ ) = 1 − δ θ ⋅ ( L + S ) = 1 − δ θ ⋅ J h h
表象
ˆ ˆ ˆ J ± = J x ± iJ y
可以推知：
λ ≥ m2
任一角动量记为J（可以代表轨道、自旋等等）。 引入升降算符： 对易关系：
r ˆ ˆ 设 ( J 2 , J z ) 的共同本征态为 λ m
r ˆ ⎧ J J = J 2 − J 2 ± hJ ˆ ˆ ˆ ˆ z z ⎪ ± m ˆ ˆ ˆ ⎪ [ J z , J ± ] = ± hJ ± r2 ⎨ ˆ ˆ [J , J± ] = 0 ⎪ r2 ⎪ ˆ ˆ [J , J z ] = 0 ⎩
j1 m 1 , j 2 m 2 j1 j 2 , jm j1 m 1 , j 2 m 2 j1 j 2 , jm
j1 m '1 , j 2 m ' 2 j1 j 2 , jm = δ m1 m '1 δ m 2 m ' 2 j1 m 1 , j 2 m 2 j1 j 2 , j ' m ' = δ jj 'δ mm '
r r r r ˆ ˆ ˆ ˆ [ J 2 , J 12 ] = [ J 2 , J 22 ] = 0, J 22 ] = 0