13、解：[a]=[b]={a,b},[c]=[d]={c,d}
14、证明：
（1）证明R 是等价关系，即证明R 是A 上的自反、对称、传递关系，要证R 是自反、对称、传递，采用按定义证明法证明。
① 自反性：对,x y A >∈?<有x y y x +=+，所以,,x y R x y <><>，即R 是A 上的自
反关系。
② 对称性：对?<，如,,,a b c d A ><>∈,,a b R c d <><>，则，即
，所以，即R 是A 上的对称关系。
a b c d +=+c d a +=+b ,c d R a b <><,>③ 传递性：对，如,,,,,a b c d e f A ?<><><>∈,,,,,a b R c d c d R e f <><><><>f ，
则，即,c d c d e f ++=+a b a b +=e +=+。所以,,a b R e f <><>，即R 是A 上的传递关系。
由①，②，③知R 是A 上的等价关系。
（2） 首先求出A ＝S ×S 的全部元素，然后找出所有元素所对应的等价类即可。
因A ＝S ×S ＝{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,3>, <3,4>,<4,1>,<4,2>,<4,3>,<4,4>}。
[1,1]{1,1}R <>=<>
[1,2]{1,2,2,1}[2,1]R R <>=<><>=<>
[1,3]{1,3,3,1,2,2}[3,1][2,2]R R <>=<><><>=<>=<>R R R R R
[1,4]{1,4,4,1,3,2,2,3}[4,1][3,2][2,3]R R <>=<><><><>=<>=<>=<>
[2,4]{2,4,4,2,3,3}[4,2][3,3]R R <>=<><><>=<>=<>
[3,4]{3,4,4,3}[4,3]R R <>=<><>=<>
[4,4]{4,4}R <>=<>
所以
/{[,]|,}R A R x y x y A =<><>∈= {
[1,1],[1,2],[1,3],[1,4],[2,4],[3,4],[4,4]}R R R R R R <><><><><><><>16、证明：
① 对任意x A ∈，由R 是自反的，即有,,x x R x x R <>∈∧<>∈，所以,x x >∈T <，即
T 是自反的。
② 对,x y A ∈?，,(,)(,)x y T x y R y x R <>∈?<>∈∧<>∈
(,)(,),y x R x y R y x T ?<>∈∧<>∈?<>∈
所以T 是对称的。
③ 对,,x y z ?，(,)(,)x y T y z T <>∈∧<>∈
(,)(,)(,)(,)x y R y x R y z R z y R ?<>∈∧<>∈∧<>∈∧<>∈ ((,)(,))((,)(,))x y R y z R z y R y x R ?<>∈∧<>∈∧<>∈∧<>∈ (,)(,),x z R z x R x z ?<>∈∧<>∈?<>∈T
所以T 是传递的。
由①，②，③知，T 是等价关系。
33、证明：（用反证法）
假设R 是传递的，因为R 是集合A 上的对称关系。若,x y R <>∈，则有<，由传递性可得到,y x R >∈,x x ∈R <>，这与R 是反自反的相矛盾，所以R 不是传递的。
35、证明：
由于对?∈，都有，R 是对称的，可得a A ,a b R <>∈,b a R <>∈，R 是传递的，可得，所以R 是自反的，而题中已给出R 是对称和传递的，所以R 是一个等价关系。 ,a a
“关系”一词，在日常生活中十分常见，在学校，有同学关系、师生关系、同事关系等； 在家庭中，有兄弟姐妹关系，父子关系、母女关系等；在一般的工作单位，有师徒关系、上 下级关系等等。在研究科学中也有很多关系，如数学中的数的大小比较关系、整数中整除关 系、函数关系、集合中的包含关系；计算机软件的程序与其子程序关系等。 为了数学的方法来研究这类关系，我们将用集合论的观点来描述这类关系。 例如，集合{}e d c b a A ,,,,=，为五个人组成的集合，其中他们中，a 是b 的父亲，c 是d 的 父亲，c 也是e 的父亲。现将集合A 的父子关系用有序对表示，即为),(),,(),,(e c d c b a 。把 这三个有序对组成一个集合{}),(),,(),,(e c d c b a R =，我们把R 这种由集合A 导出的有序 对组成的集合R ，叫做A 上关系 R 。 我们称集合R 为集合A 的父子关系集合（简称关系）。 我们把13个数组成的集合{}10,,3,2,1 =A 也建立几个关系。 二、建立关系举例： 1、 它们之间的小于等于关系R ； ()()()()()()(){},13,13,13,12,,3,2,2,2,3,1,2,1,1,1 =R 2、 它们除以3以后余数相同的关系1R ； ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()? ?????=,10,10,7,10,4,10,1,10,9,9,6,9,3,9,8,8,5,8,2,8,10,7,7,7,4,7,1,7,9,6,6,6,3,6,8,5,5,5,2,5,10,4,7,4,4,4,1,4,9,3,6,3,3,3,8,2,5,2,2,2,10,1,7,1,4,1,1,12R 3、它们之间的整除关系2R ； ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()? ?????=10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,10,5,5,5,8,4,4,4,9,3,6,3,3,3,10,2,8,2,6,2,4,2,2,2,10,1,2,1,1,13 R 注意：关系有两大类关系：A 到B 的关系，A 上的关系；我们主要讨论A 上的关系。 三、关系的几种表示方法： 1、图形表示； 2、表格表示； 3、矩阵表示； 比如：{ }5,4,3,2,1=A 上的R 关系为()()()()()()(){},4,5,2,4,5,3,3,3,3,2,2,22,1=R 则??????? ? ??=01000000101010000110 00010R A
§ 2 实数基本定理等价性的证明 证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理致密性定理Cauchy收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 . 一. “Ⅰ”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ). 1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理 1 单调有界数列必收敛 . 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理 2 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有. 推论1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有. 推论2 若是区间套确定的公共点, 则有↗, ↘, . 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”: 定理 3 数列收敛是Cauchy列.
引理Cauchy列是有界列. ( 证 ) 定理 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅 读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观. 4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”： 定理5 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确 界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是 的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy 列, 由Cauchy收敛准则, 收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗. 下证.用反证法验证的上界性和最小性. 二. “Ⅱ”的证明: 1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”: 定理6 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证（突出子列抽取技巧） 定理7 每一个有界无穷点集必有聚点. 2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”： 定理8 数列收敛是Cauchy列.
等价关系与偏序关系 何英华 hyh@https://www.doczj.com/doc/5a11612340.html, 集合论与图论 04
目录 ?4.1 等价关系 –等价关系 –等价类 –商集 –集合的划分 ?4.2 偏序关系
一、等价关系 ?定义：设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。设R是一个等价关系，若
二、等价类 ?定义：设R为非空集合A上的等价关系，令x∈A [x] R ={y|y∈A∧xRy} 称[x] R 为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简 记为[x]。 ?从以上定义可以知道，x的等价类是A中所有与x 等价的元素构成的集合。例1中的等价类是： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}
等价类的性质 ?定理：设R是非空集合A上的等价关系，则 1）?x∈A，[x]是A的非空子集。 2）?x,y∈A，如果xRy，则[x]=[y]。 3）?x,y∈A，如果xRy不成立，则[x]与[y]不交。4）∪{[x]|x∈A}=A 证明： 1）x∈[x]，[x] ?A。 2）集合相等。 3）反正法。 4）集合相等。
三、商集 ?定义：设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记做A/R，即A/R={[x] |x∈A} R ?例1中的商集为{{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}
《充要条件证明题》 1、数列{}n x 满足：2 * 110,()n n n x x x x c n N +==-++∈ 证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < 证明：必要条件：当0c <时，2 1n n n n x x x c x +=-++=-++?<= 得：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < 2、设数列12,,n a a a 中的每一项都不为0.证明，{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n N ∈，都有1223111 111n n n n a a a a a a a a +++++= . 证明：先证必要性 设数列{},0,n a d d =的公差为若则所述等式显然成立， 若0d ≠，则 1223132 12112233 12231111111111 1()1111111(()()())1111()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a d a a a a a a a a d a a d a a ++++++++++---= +++=-+-++--= -= 11 .n n a a += 再证充分性. 证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切n +∈N 都成立，首先，在等式 122313 112 a a a a a a += ① 两端同乘123132123,2,,,a a a a a a a a a +=即得所以成等差数列， 记公差为21,.d a a d =+则
第38卷第24期2008年12月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R Y V o l 138 N o 124 D ecem.,2008 教学园地 实数系基本定理等价性的完全互证 刘利刚 (浙江大学数学系,浙江杭州 310027) 摘要: 综合给出了实数系六个基本定理的等价性的完全互证方法,并归纳了各种证明方法的规律,旨在把抽象的证明转化为容易掌握的基本方法. 关键词: 实数系;连续性;等价;极限 收稿日期:2005206210 实数系基本定理是数学分析中重要组成部分,是分析引论中极限理论的基础,也称为实数系的连续性定理.能够反映实数连续性的定理很多,它们是彼此等价的.现有的教材都是按照某一顺序将这些定理进行一次循环证明就验证了它们的等价性[122].虽然不同的教材对于循环证明的顺序有所不同,但每一次循环证明看起来都似乎没有关联,并没有综合归纳其中的方法技巧.这么多相互独立的证明使得不少学生都感到数学分析中这部分内容太抽象,难以理解.因而当遇到一个教材中没有给出的2个定理之间的等价性证明时就无从下手.为此,在讲述这些定理的时候,我们把这些定理的相互证明详细地整理出来,并且归纳给出了这些定理的完全互证方法与规律,使学生在学习这部分内容时不再感到无所适从. 我们使用的教材[1]中给出的实数系的六个基本定理及其描述为: 1)确界存在定理(pp .12):上(下)有界的非空数集必存在唯一上(下)确界. 2)递增(减)有界数列必有极限(pp .34). 3)闭区间套定理(pp .41):设I 1,I 2,…,I n ,…是一串有界闭区间,I 1=I 2=…=I n = …,且I n 的长度 I n →0,称{I n }为闭区间套.则闭区间套{I n }的交∩∞ n =1 I n 必不空且为单点集. 4)Bo lzano 2W eierstrass 定理(pp .44):有界数列必有收敛子列 .5)Cauchy 收敛准则(pp .299):数列{x n }收敛Ζ{x n }是基本数列. 6)有限开覆盖定理(pp .308):若开区间族{O Α}覆盖了有界闭区间[a ,b ],则从{O Α}中必可挑出有限个开区间O Α1,O Α2,…,O Αn 同样覆盖了[a ,b ]:[a ,b ] 三角形内心充要条件的证明 三角形内心充要条件的表述如下： 在如下三角形ABC中，则O为ABC ?内心的充要条件是： ?+?+?= a OA b OB c OC 图示1(r为内接圆半径) 下面证明： ?充分性： 充分性表述成，若O为ABC ?所在平面内的点，当满足条件：?+?+?=时，O即为ABC a OA b OB c OC ?的内心。 证明： 0 ()()0 ()0 ()() a OA b OB c OC a OA b OA AB c OA AC a b c OA b AB c AC a b c OA b AB c AC ?+?+?=? ?+?++?+=? ++?+?+?=? ++?=-?+? 11 () () (|b c OA BA CA a b c a b c bc bc OA BA CA a b c c a b c b bc BA CA OA a b c c b bc BA OA a b c BA ?= ?+?++++? = ??+??++++? = ?+++? = ?++这一步最为关键) ||| CA CA + ||BA BA 即为BA 方向的单位向量，|| CA CA 即为CA 方向单位向量，所以||||BA CA BA CA + 即为以BA 和CA 构成角的角平分线。 (原因如下图所示： 1||BA e BA =，2||CA e CA =，12e e e =+，向量12e e +即为以1e 和2e 为边构 成的平行四边形的对角线，由于1e 和2e 为单位向量，即构成的平行四边形为菱形，所以12e e +即e 为以1e 和2e 构成角的角平分线) 《二元关系》部分习题参考答案 3.5 等价关系和划分（P129） 第2题 证明：?x∈A， (c)它不是等价关系。因为<0,0>?R,故它不具有自反性，有<0,1>∈R,但<1,0>?R，故它不具有对称性。R诱导的等价关系是： { 证明热力学第三定律的两种表述是等价的 080311班 赵青 080311044 证明热力学第三定律的两种表述是等价的 一、热力学第三定律 英文名称： Third law of thermodynamics 热力学第三定律是在低温现象的研究中总结出来的一个普通规律。 1906年，德国物理学家能斯特（Nernst ，右图）在研究低 温条件下物质的变化时，把热力学的原理应用到低温现象和化学反应过程中，发现了一个新的规律，称为能斯特定律，简称能氏定理。这个规律被表述为：“当绝对温度趋于零时，凝聚系(固体和液体）的熵（即热量被温度除的商）在等温过程中的改变趋于零。”即： 0)(lim 0 =?→T T S 式中T S )(?为可逆等温过程中熵的变化。德国著名物理学家普朗克把这一定律改述为：“当绝对温度趋于零时，固体和液体的熵也趋于零。”这就消除了熵常数取值的任意性。 德国物理学家普朗克(Max Karl Ernst Ludwig Planck, 1858～ 1947)（右图） 是量子物理学的开创者和奠基人，他早期的研究领域主要是热力学，他的博士论文就是《论热力学的第二定律》。他在能斯特研究的基础上，利用统计理论指出：各种物 质的完美晶体在绝对零度时熵为零。1911年普朗克也提出了对热力学第三定律的表述，即“与任何等温可逆过程相联系的熵变， 随着温度的趋近于零而趋近于零”。 1912年，能斯特又将这一规律表述为绝对零度不可能达到原理：“不可能使一个物体冷却到绝对温度的零度。”这就是热力学第三定律。 1940 年R.H.否勒和 E.A.古根海姆还提出热力学第三定律的另一种表述形式：任何系统都不能通过有限的步骤使自身温度降低到0K ，称为0K 不能达到原理。此原理和前面所述及的热力学第三定律的几种表述是相互有联系的。但在化学热力学中，多采用前面的表述形式。 通常认为，能氏定理和绝对零度不能达到原理是热力学的两种表述。 第5章 等价关系与偏序关系 一、选择题（每题3分） 1、设Z 为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（ A ） A 、)(,小于关系：<>< 概念问题 二进制关系：A和B的笛卡尔积的子集称为从A到B的二进制关系。集合上的关系：从a到a的关系。 关系的性质 反射，抗反射，对称，抗对称和传输。 没有列出概念，但应注意以下方面： （1）所有属性的概念都是逻辑表达式，即判断是非，必须严格按照定义判断是非； （2）它们都是用全名量词表示的逻辑表达式，因此必须为真才能保持一致； （3）它们全部由隐含条件语句表示。如果前提为假，则它也为真，也就是说，所有未出现在真之后再为假的内容都为真。 关系代表 （1）设置符号（适合定义和表示）； （2）图表表示（适合直观感觉和观察特性）； （3）关系矩阵表示（适合计算）；特别地，关系矩阵是布尔矩阵，即逻辑矩阵，其描述A中的第i个元素是否与B中的第j个元素有关。 关系运作 （1）交叉，合并与区别 R1?R2————M1ùM2 R1èR2————M1úM2 （2）综合 合成操作非常重要且容易出错。注意其顺序以及对集合，图形和矩阵的相应计算。 自我及其综合运算形成力量。 例如，R 2对应于由点直接连接的边，这些点可以从图形上的每个点分两步到达。 另一个例子 R1°R2 ————M2M1 R ^ 2 ————M ^ 2 关系的应用 （1）n元关系的应用 一般来说，当2元关系扩展到N元关系时，它就成为数据库的基本框架。N元有序对是N个字段的记录，因此关系操作对应于数据库操作。我们只知道这部分内容（与数据库重复）。 （2）封闭的应用 首先，介绍了三种闭包的概念。如果用一句话来概括，R的自反/对称/传递闭包是包含R的自反/对称/传递关系中最小的。 然后其应用着重于掌握传递闭包的应用，它可以显示传递性直接通过连接边可到达的点的连通性。 然后讨论三个闭包的计算： （3）等价关系的应用 首先是等价关系的概念，以及等价类和划分的扩展概念。 其次，等价关系的应用仅仅是分类。因为等价与划分之间存在一一对应的关系。 A.如果一个关系是集合a上的等价关系，写出每个元素的等价类，然后删除重复项，则由非重复等价类组成的集合就是原始集合a的除法。B，如果子集族是集合A的划分，则根据“属于同一个子集的人如果有关系就可以配对”的规则，二元有序对的集合必须满足反射性，对称性和可传递性，是等价的关系。 （4）偏序关系的应用 第一个是偏序的概念，并扩展了“小于或等于”，“小于”和“可比”。然后是整个顺序，然后是良好顺序（自己比较概念）。 例谈充要条件的证明问题 充要条件是本章的一个重要内容，也是高考及其他考试的一个热点。证明p 是q 的充要条件，，即要证明命题“p q ?”为真，又要证明命题“q p ?”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性。以下两例，供参考。 例1 已知数列{}n a 的前n 项和为(0n n S aq b a =+≠，q 是不等于0和1的常数），求证数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=。 分析：证明充分性就是证明条件能推出结论，证明必要性则是证明结论能推出条件。 证明：（1）先证充分性。 ∵0a b +=， ∴n n n S aq b aq a =+=-。 ∵1n n n a S S -=-1()() n n aq a aq a -=---1(1)(1)n a q q n -=->， ∴11 (1)(1)n n n n a a q q a a q q +--=-(1)q n =>， 又∵1a aq a =-，22a aq aq =-， ∴221 a aq aq q a aq a -==-。 故数列{}n a 是公比为q 的等比数列。 （2）再证必要性 ∵数列{}n a 为等比数列， ∴1(1)1n n a q S q -=-1111n a a q q q =---。 ∵n n S aq b =+， ∴11a a q =--，11a b q =-。 ∴0a b +=。 综上所述，数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=。 评注：证明充要条件，首先要找到条件和结论，如本题“证明数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=”说的很明白，条件是0a b +=，结论是数列{}n a 为等比数列。充分性和必要性要逐一证明，并有必要的文字说明。 例2 已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是3322 0a b ab a b ++--=。 一、问题提出 确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的 还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6． 定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛． 定理1.3 (区间套定理）设为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆 盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖． 定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则) 数列收敛的充要条件是：，只要 恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具． 下图中有三种不同的箭头，其含义如下： ：(1)～(3) 基本要求类 ：(4)～(7) 阅读参考类 ：(8)～(10) 习题作业类 下面来完成(1)～(7)的证明． 二、等价命题证明 (1)（用确界定理证明单调有界定理） (2)（用单调有界定理证明区间套定理） (3)（用区间套定理证明确界原理） *(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理） *(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理） *(6)（用聚点定理证明柯西准则） *(7)（用柯西准则证明单调有界定理） (1)（用确界定理证明单调有界定理） 〔证毕〕 (返回) (2)（用单调有界定理证明区间套定理）设区间套． 实数系基本定理的等价性证明 摘 要 说明了确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理这六个定理是等价的.也就是说，以这六个定理中的任意一个作为公理都可以推出另外五个.本文把闭区间套定理作为公理，证明了这六个定理之间是相互等价的. 关键词 上、下确界、闭区间套、有限覆盖、收敛、等价性 在数学分析课程中我们学习了实数系的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理和有限覆盖定理.实数系这六个基本定理是相互等价的，即以其中任何一个定理作为公理都可推出另外五个定理. 在《数学分析》教材中，一般都是以确界原理作为公理，然后去证明其余 的五个定理.我们现以“闭区间套定理”作为公理，然后去推证其余的五个定理，并证明这六个定理是等价的. 六个定理的顺序： ① 确界原理 ② 单调有界定理 ③ 闭区间套定理 ④ 致密性定理 ⑤ 柯西收敛原理 ⑥ 有限覆盖定理 按以下顺序给予证明： ③?⑥?④?⑤?①?②?③ 1 闭区间套定理?有限覆盖定理[]1 闭区间套定理 若闭区间列][{}n n b a ,满足： ①[]n n b a ,?[]11,++n n b a ，n =1,2,3,…； ②∞ →n lim ()n n a b -=0 ； 则存在唯一ξ，使得∞ →n lim n a =∞ →n lim n b =ξ，ξ是所有区间的唯一公共点. 有限覆盖定理 若开区间所成的区间集E 覆盖一个闭区间[]b a ,，则总可从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[]b a ,. 证明 用反证法 设[]b a ,不能被E 中有限个区间所覆盖.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个部分区间不能被E 中有限个区间所覆盖，把这一区间记为 []11,b a .再等分[]11,b a ，记不能被E 中有限个区间所覆盖的那个部分区间为 []22,b a .照这样分割下去，得到一个区间列][{}n n b a ,，这区间列显然适合下面两 个条件： （i ） 每一[]n n b a ,皆不能被E 中有限个区间所覆盖； （ii ） []b a ,?[]11,b a ?[]22,b a ?…； （iii ）n b -n a = n a b 2-→0； 有条件（ii ）及（iii ），于是由闭区间套定理，必有唯一点ξ∈[]b a ,使n a →ξ， n b →ξ.按覆盖概念及定理所设条件，在E 中至少存在一个开区间，设为)(βα,，使 ξ∈)(βα, 即 α＜ξ＜β 有数列极限的性质知道，?正整数N ，当n ＞N 时，有 α＜n a ＜n b ＜β 即当n ＞N 时，有 []n n b a ,?)(βα, 也就是用E 中一个区间)(βα,就可覆盖所有形如[]n n b a ,﹙n ＞N ﹚的区间，与（i ）矛盾. 定理证毕 2 有限覆盖定理?致密性定理[]2 致密性定理 有界数列必有收敛的子列. 证明 设{}n x 为有界数列，a 是它的一个下界，b 是它的一个上界，于是下列两种情形之一成立： （i ） α∈[]b a ,，使在α的任何邻域中都有{}n x 的无穷多项； 等价关系（4学时） 【教学目的】 了解、掌握等价关系及相应的等价类与集合划分的基本概念及例子 【教学要求】 正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；给定A上的等价关系R，会求所有的等价类和商集A/R，或者求与R相对应的划分；反之给定集合 A上的划分π，求对应于π的等价关系 【教学重点】 等价关系、偏序关系的各种性质的判断和证明； 【教学难点】 如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系 【教学方法】 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 【教学手段】 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 【课型】新授课 教学过程 4.1一种特殊的二元关系——等价关系(Equivalence Relation). 一、等价关系(Equivalence Relation) 1、定义4.18 设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的, 则称R为A 上的等价关系.设R是一个等价关系, 若 数学归纳原理和最小数原理的等价性证明 这两个原理都是自然数公理系统中最基本的原理，人们常常用最小数原理证明数学归纳原理。我发现用数学归纳原理也可以证最小数原理。所谓的最小数原理是指：自然数集合的任意非空子集必有最小元素。 一：用数学归纳原理证最小数原理。当自然数的非空子集只含一个元素时，这个元素就是最小元素。设n 元集有最小元素，对于n+1 元集，新加入的元素与n元集中的最小数比较，若新加入的元素不大于该最小数，则新加入的元素为最小数，否则，原来的n元集中的最小数仍是n+1元集的最小数。由数学归纳原理，含任意个自然数数目的自 然数子集都有最小数。得证。 二：用最小数原理证数学归纳原理：p(o)成立，且p(n)成立可导出p(n+1)成立，则对于一切自然数n,p(n)成立。否则，若对于若干个（可能有限个，也可能无限个）自然数m1,……mi……(i≥1）使命题不成立，由最小数原理，这若干个自然数有最小数记为w，而且，w一定是正数，那么，就一定存在唯一的自然数b,b+1=w.b不属于这个使命题不成立的元素组成的集合，因为b比最小数还小。则p(b)是成立的，由规则，p(b+1)也成立即p(w)成立。矛盾。故对于一切自然数n,p(n)成立。证毕。 其实以上发现也没啥大不了的，很直观浅显。这两个原理的等价性得证后，两者中的任意一条都可以作为皮亚杰五条公理中的一条吗？不行！因为最小数原理中的小于最开始还是没有定义的！。 还有，该等价关系非我第一次发现，由于其十分简单，在我发现等价性后，我在华罗庚的《数学归纳法》 最后找到了同样的结论。 归纳原理和数学归纳法 1．数学归纳法的理论依据 归纳法和演绎法都是重要的数学方法．归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法；不完全归纳法是非逻辑方法，只适用于数学发现思维，不适用数学严格证明． 数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，是一种递归推理，其理论依据是下列佩亚诺公理Ⅰ—Ⅴ中的归纳公理： Ⅰ．存在一个自然数0∈N； Ⅱ．每个自然数a有一个后继元素a′，如果a′是a的后继元素，则a叫做a′的生成元素； Ⅲ．自然数0无生成元素； Ⅳ．如果a′=b′，则a=b； Ⅴ．(归纳公理)自然数集N的每个子集合M，如果M含有0，并且含有M每个元素的后继元素，则M＝N 自然数就是满足上述佩亚诺公理的集合N中的元素．关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论．由佩亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素，如果记0′＝1，1′=2，2′=3，…，n′=n＋1，…，则 N=｛0，1，2，…，n，…｝ 由佩亚诺公理所定义的自然数与前面由集合所定义的自然数，在本质上是一致的．90年代以前的中学数学教材中，将自然数的起始元素视作1，则自然数集即为正整数集．现在已统一采取上面的记法，将0作为第一个自然数． 定理1(最小数原理)自然数集N的任一非空子集A都有最小数． 这本是自然数集N关于序关系∈(＜)为良序集的定义．现在用归纳公理来证明． 证设M是不大于A中任何数的所有自然数的集合，即 M=｛n｜n∈N且n≤m，对任意m∈A｝ 博云制作 QQ：418230691 三角形内心充要条件的证明 三角形内心充要条件的表述如下： 在如下三角形ABC中，则O为ABC ?内心的充要条件是： ?+?+?= a OA b OB c OC 图示1(r为内接圆半径) 下面证明： 充分性： 充分性表述成，若O为ABC ?所在平面内的点，当满足条件：?+?+?=时，O即为ABC a OA b OB c OC ?的内心。 证明： 欢迎访问我的博客 https://www.doczj.com/doc/5a11612340.html, 0 ()()0 ()0 ()() a OA b OB c OC a OA b OA AB c OA AC a b c OA b AB c AC a b c OA b AB c AC ?+?+?=? ?+?++?+=? ++?+?+?=? ++?=-?+? 11 () () (|b c OA BA CA a b c a b c bc bc OA BA CA a b c c a b c b bc BA CA OA a b c c b bc BA OA a b c BA ?= ?+?++++? = ??+??++++? = ?+++? =?++这一步最为关键) ||| CA CA + ||BA BA 即为BA 方向的单位向量，|| CA CA 即为CA 方向单位向量，所以||||BA CA BA CA + 即为以BA 和CA 构成角的角平分线。 (原因如下图所示： 1||BA e BA = ，2|| CA e CA =，12e e e =+，向量12e e +即为以1e 和2e 为边构成的平行四边形的对角线，由于1e 和2e 为单位向量，即构成的平行四边形为菱形，所以12e e +即e 为以1e 和2e 构成角的角平分线) //3700// 3.7 几何中的一些极值问题 折射定律 质点花时间最短运动轨迹 选址问题 实验演示 几何中一些求极值问题，可以用微分法求解，也可借助几何或物理概念寻求特殊的技巧解法。下面举几个例子。 问题一：(折射定律) 设有一质点从点A ()11,y x 运动到点B ()22,y x ()0,021<>y y ，该质点的运动速度在上半平面为常数v 1，下半平面为常数v 2.此质点应沿什么路径运动才能使花费时间最短? 问题二：(质点花时间最短运动轨迹) 设一质点从点A(x 1,y 1)运动到点B(x 2,y 2), 其运动速度是纵坐标的可微函数v(y).若要求所花时间最短，求它的运动轨迹。 问题三：(选址问题) 设有m 个村庄m A A A ,,,21 各有小学生m n n n ,,,21 人，今要合建一所小学校，使全部学生所走的总路程最短，问应如何选择校址？ //3710 一. 折射定律 设有一质点从点A ()11,y x 运动到点B ()22,y x ()0,021<>y y ，该质点的运动速度在上半平面为常数v 1，下半平面为常数v 2.此质点应沿什么路径运动才 能使花费时间最短? 显然该质点在上半平面和下 半平面都应是直线。故从A 到B 应 为折线，只需求出折点C 即可。 设AC 、 BC 与y 轴的夹角分别为 i 1, i 2, 我们来证明当 2 1 21sin sin v v i i = (*) 时，所花费的时间最短。 （*）式就是光的折射定律：当光从一种介质进入另一种介质时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等于光在两种介质中的速度比。 证明： 方法一（用几何方法） 方法二（用微分方法） //sm3711 用几何方法证明: 任取另一路径AC 1B, 质点经路径ACB 所花时间为 2 1v BC v AC + 经AC 1B 所花时间为 2 1 11v BC v AC + 只需证当 (*) 成立时, 2 1 1121v BC v AC v BC v AC + ≤+. 过C 1分别向AC 延长线和CB 作垂线C 1D 1和C 1D 2,则 11CD AD AC -=, 22CD BD BC += )v CD v CD (v BD v AD )v CD v BD ()v CD v AD (v BC v AC 1 1 2222112222111121-++=++-=+∴ (**) 212111221111i sin CC CD ,i sin CC CD i D CC i D CC ==∴=∠=∠， ， 01 12211122(*) )v i sin v i sin (CC v CD v CD =-=-∴ 2 1 112211211211v BC v AC v BD v AD v BC v AC ,BC BD ,AC AD (**)+≤+=+∴≤≤ //sm3712 用微分方法证明: 设折点C 的坐标为()0,x 则质点经ACB 所花时间 热力学第二定律的两种表述及其等效性证明 落叶永离，覆水难收。死灰无法复燃，破镜难以重圆。四季更迭，时光却永远不会倒转。自然界好像如此奇妙，但其中却蕴含着无尽的奥妙。这些现象告诉我们自然现象的不可逆性。 自然界有许多过程都满足热力学第一定律，能够自动发生，但也有许多过程，虽不违背热力学第一定律，却不会自动发生。自然界实际自发生的过程都有方向性，是不可逆的。在热力学第一定律之外还有一条定律，这就是热力学第二定律。 热力学第二定律的两种表述： 克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。 开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量使之完全变为有用功而不产生其他影响。 克劳修斯的表述也相当于：不可能造成这样一台机器，在一个循环动作后，只是将热量从低温物体传送到高温物体而不产生其它影响，这种机器就是制冷机。制冷机的系数为： W Q 2=ε W 为外界所做的功，2Q 为从低温物体吸取的热量，如果W →0，则∞→ε，该机器在一个循环动作完成后，外界没有变化，唯一的结果是把热2Q 从低温物体传送到高温物体。 开尔文的表述相当于：不可能造成这样一种机器，在一个循环动作后，只是从单一热源吸取热量，使之全部变成功而不产生其他影响。这是热机工作的总结。热机的效率为 1211Q Q Q Q W -='=η 热机从热源吸取的热量1Q 全部变为W '，也即2Q =0，该机器唯一的结果就是从单一热源吸取热量全部变为功而不产生其它影响。 我们把能从单一热源吸取热量吸取热量对外做功的机器，即1=η的机器称为第二类永动机。因而开尔文的表述又可改为第二类永动机是不可能制造成功的。 下面就热力学第二定律的表述再作几点讨论。 单一热源：指温度均匀并且恒定不变的系统。 其他影响：指除了从单一热源吸取的热量，以及所做的功以外的其他一切影响：或者除了从低温物体吸取的热量和高温物体得到相同的热量外，其它一切的影响和变化。 关于不可能：在两种表述中所说的不可能，实际上是热机或致冷机在系统循环终了时，除了从单一热源吸取热量对外做功以及热量从低温物体传到高温物体 离散数学等价关系 离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。 离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。 离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。 离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯·格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。那么这能否从数学上进行证明呢？100多年后的1976年，肯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）使用计算机辅助计算，用了1200个小时和100亿次的判断，终于证明了四色定理，轰动世界，这就是离散数学与计算机科学相互协作的结果。 离散数学可以看成是构筑在数学和计算机科学之间的桥梁，因为离散数学既离不开集合论、图论等数学知识，又和计算机科学中的数据库理论、数据结构等相关，它可以引导人们进入计算机科学的思维领域，促进了计算机科学的发展。 关于凹凸函数充要条件的证明 衡阳县第一中学 魏致远 命题：对于在区间D 上连续的函数)(x f (可以是分段函数)，如果它的导数)('x f 存在（但可能存在不可导的点），证明：D x x ∈?21,，0,21>λλ且121=+λλ，有)('x f （对区间D 上所有可导的点而言）单调递增?)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≤+，当且仅当21x x =时取等号. 现给出不同与网上的用泰勒展开式证明的证法： （1）证)('x f 单调递增?)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≤+. 要证)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≤+， 即证0)()()(22112211≥+-+x x f x f x f λλλλ，把21,x x 的同时变化看作1x 相对于2x 的变化，故构造函数)()()()(221221x x f x f x f x g λλλλ+-+=，且D x ∈，即证0)(≥x g ， )(')(')('22111x x f x f x g λλλλ+-=)](')('[221211x x f x x f λλλλλ+-+=， 由于)('x f 递增，则当2x x >时0)('>x g ，当2x x <时0)('三角形内心充要条件的证明
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