等价关系与偏序关系

第5章 等价关系与偏序关系一、选择题（每题3分）1、设Z 为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（ A ）A 、)(,小于关系：<><<ZB 、)(,小于等于关系：≤>≤<ZC 、,()ZD D <>关系：整除 D 、,()Z M M <>关系：整倍数2、序偶(),A ρ<>⊆必为（ B ）A 、非偏序集B 、偏序集C 、线序集D 、良序集3、设≤小于等于关系：Z 为整数集，下面哪个序偶能够成良序集（ D ）A 、,()R R +<>≤：正实数集 B 、,()Q Q ++<≤>有理数集：正 C 、,()Z Z ++<≤>整数集：正 D 、,()N N <≤>：自然数集4、设{,{1},{1,3},{1,2,3}}A =∅，则A 上包含关系“⊆”的哈斯图为（ C ）5、集合{ 1, 2, 3,4 }A =上的偏序关系图为则它的哈斯图为（ A ）6、某人有三个儿子，组成集合123{ , , }A S S S =，则在A 上的兄弟关系一定不是（ D ）A 、偏序关系B 、线序关系C 、良序关系D 、等价关系7、有一个人群集合12{ , ,, }n A P P P =，则在A 上的同事关系一定是（ D ） A 、偏序关系 B 、线序关系 C 、良序关系 D 、等价关系8、设A 为非空集合，则下列A 上的二元关系中为等价关系的是（ D ）A 、空关系B 、全域关系C 、恒等关系D 、上述关系都是9、设{ 1, 2, 3 }A =，则A 上不同等价关系的个数为（ C ）A 、3B 、4C 、5D 、610、设{ 1, 2, 3, 4 }A =，则A 上不同等价关系的个数为（ C ）A 、13B 、14C 、15D 、16注：除了等价关系可以对空集定义，而划分不能外，等价关系与划分是相同概念的不同描述．11、设{ 1, 2 }S =，“•”为S 中元素的普通乘法，定义S S ⨯上的等价关系 {,,, | ,,,,}R a b c d a b S S c d S S a d b c =<<><>><>∈⨯<>∈⨯•=•， 则由R 产生的S S ⨯上一个划分的分块数为（ D ）A 、1B 、2C 、3D 、4提示：记12341,1,1,2,2,1,2,2a a a a =<>=<>=<>=<>，则由R 的关系图易知1234{{},{},{},{}}S S a a a a ⨯=．12、设} 3 ,2 ,1 {=S ，“+”为S 中元素的普通乘法，定义S S ⨯上的等价关系},,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+⨯>∈<⨯>∈<><><<=，则由R 产生的S S ⨯上一个划分的分块数为（ C ）A 、3B 、5C 、7D 、9提示：因a d b c +=+，则a b c d -=-因2,1,0,1,2a b -=--，则等价关系R 产生的S S ⨯上一个划分的分块数为5．二、填充题（每题4分）1、设{ , , , }A a b c d =，其上偏序关系R 的哈斯图为则R = {,,,,,,,,,}A a b a c a d b d c d I <><><><><>．2、设{ , , ,,,, }A a b c d e f g =，偏序集,A R <>的哈斯图为a b c de fg， 则R = {,,,,,,,,,,,,,}A a b a c a d a e a f d f e f I <><><><><><><>．3、偏序集({,}),a b ρ<⊆>的Hass 图为4、对于{ 1,2,3,4,6,8,12,24 }A =，则偏序集,A <>整除关系的哈斯图为1234681224．5、设{ 1,2,3,4,6,8,12,24 }A =，“≤”为A 上整除关系，则偏序集,A <≤>的极小元为1，最小元为1，极大元为24、最大元为24．6、设{ 2,3,4,6,8,12 }A =，“≤”为A 上整除关系，则偏序集,A <≤>的极小元为2,3，最小元为无，极大元为8,12，最大元为无，既非极小元也非极大元的是4,6．7、设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，}},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S =，}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S = 则A 的覆盖有12345,,,,S S S S S ，A 的划分有345S S S ，，．8、设{ 1, 2, 3,4 }A =，{{1},{2,3},{4}}S =为A 的一个分划，则由S 导出的等价关系为 R = {1,1,2,2,2,3,3,2,3,3,4,4}<><><><><><>．提示：R =({1}{1})({2,3}{2,3})({4}{4})⨯⨯⨯．9、非空正整数子集A 上的模k 等价关系R 的秩为k ，/A R ={[0],[1],,[1]}k k k k -．{}b a ,{}a {}b Φ三、问答题（每题6分）1、试比较偏序集合、线序集合与良序集合．答：若集合A 上的二元关系R 是自反的，反对称的和传递的，称序偶,A R <>为偏序集； 偏序集中的各元素并非都能比较，若都能比较，偏序集成为线序集；在线序集中，若A 的任一非空子集都有一最小元素，则线序集成为良序集．2、设||5A =，R 是A 的等价关系，由R 诱导的A 的划分块数为3，则不同的R 有多少种？ 答：一个集合上的等价关系数目与该集合的划分数目是一致的，因而，该题只需求出将5个元素的集合分成3份的划分种数即可．如果3份中元素个数分别为3，1，1，则共有35C 种，如果3份中元素个数分别为2，2，1，则共有25C 种，因此，A 上秩为3的等价关系共有35C +2520C =． 3、设A 是实数集合，试判断{,3}R x y x A y A x y =<>∈∧∈∧-=是A 上的偏序关系吗？等价关系吗？为什么？答：都不是；因 ∀x ∈A ，x －x =0≠2，所以<x ,x >∉R ，R 不是自反的．四、画图填表题（每题10分）1、设{ , , ,,}A a b c d e =上的关系R = {,}A c d I <>，画出偏序集,A R <>的哈斯图， 列表给出A 的子集123{ ,, ,,},{ ,},{,,}B a b c d e B c d B c d e ===的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界．解：哈斯图如图4.44所示：其子集,1,2,3i B i =上的各种特殊元素如下表所示，极大元 极小元 最大元 最小元 上界 下界 上确界 下确界 B 1a ,b ,d ,e a ,b ,c ,e 无 无 无 无 无 无 B 2d c d c d c d c B 3 d ,e c ,e无 无 无 无 无 无 2、设{ , , }A a b c =的幂集()A ρ上的关系⊆= {,()()}x y x A y A x y ρρ<>∈∧∈∧⊆， 画出偏序集(),A ρ<⊆>哈斯图，列表给出()A ρ子1{ ,{},{}}B a b =∅2,{{},{}}B a c =，3{{,},{,,}}B a c a b c =的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界． 解：哈斯图如图4.45所示：其子集,1,2,3i B i =上的各种特殊元素如下表所示，极大元 极小元 最大元 最小元 上界 下界 上确界 下确界 B 1⎨a ⎬,⎨b ⎬ ∅ 无 ∅ ⎨a ,b ,c ⎬, ⎨a ,b ⎬ ∅ ⎨a ,b ⎬ ∅ B 2⎨a ⎬,⎨c ⎬ ⎨a ⎬,⎨c ⎬ 无 无 ⎨a ,b ,c ⎬, ⎨a ,c ⎬ ∅ ⎨a ,c ⎬ ∅ B 3 ⎨a ,b ,c ⎬ ⎨a ,c ⎬ ⎨a ,b ,c ⎬ ⎨a ,c ⎬ ⎨a ,b ,c ⎬ ⎨a ,c ⎬ ⎨a ,b ,c ⎬ ⎨a ,c ⎬3、试填出{1,2,3,4,5}A =上的等价关系R ，其产生划分/{{1,2},{3},{4,5}}A R =,并画出关系图． 解：{1,2}{1,2}{3}{3}{4,5}{4,5}R =⨯⨯⨯其关系图为：六、证明题（每题10分）1、设R 是A 上的二元关系，如果R 是传递的和反自反的，称R 是A 上的拟序关系， 证明：如果R 是A 上的拟序关系，则()A r R R I =是A 上的偏序关系．证明：（1）因()A A r R R I I =⊇，有()r R 是自反的；（2）设,(),x y r R <>∈而x y ≠，则,,x y R <>∈若,,y x R <>∈由R 的传递性，知,,x x R <>∈与R 的反自反性矛盾，则,,y x R <>∉又,,A y x I <>∉有,()A y x R I r R <>∉=，于是有()r R 是反对称的；（3）由R 的传递性，知R R R ⊆，因()()()()(())(())A A A A A r R r R R I R I R I R R I I ==(()())(()())()()A A A A A R R I R R I I I R R R I r R ==⊆，则()r R 可传递； 综上所述，可证()r R 是A 上的偏序关系．2、设R 是A 上的二元关系，如果R 是传递的和反自反的，称R 是A 上的拟序关系， 证明：如果R 是A 上的偏序关系，则A R I -是A 上的拟序关系．证明：（1）()()()A A A A A A R I I R I I R I I R -===∅=∅，则A R I -反自反；（2）设,,,A A x y R I y z R I <>∈-<>∈-，则,,,x y R y z R <>∈<>∈，而,x y y z ≠≠，因R 是传递的，有,x z R <>∈；若x z =，则,,,z y R y z R <>∈<>∈，由R 的反对称性，知y z =，与y z ≠矛盾，于是x z ≠，则,A x z R I <>∈-，有A R I -是传递的； 综上所述，可证A R I -是A 上的拟序关系．3、设R 是A 上的对称和传递关系，证明：若,,,a A b A a b R ∀∈∃∈∂<>∈，则R 是A 上的等价关系．证明：,,,a A b A a b R ∀∈∃∈∂<>∈，因R 是对称的，有,b a R <>∈，又因R 是传递的，所以,a a R <>∈，则R 在A 上自反，故R 是A 上的等价关系．4、设R 是S 上的偏序关系，证明：1R -是S 上的偏序关系．证明：（1）x S ∀∈，因R 在S 上的自反性，则,x x R <>∈，有1,x x R -<>∈，于是，1R -在S 上是自反的；（2）设1,,x y R -<>∈而x y ≠，则,,y x R <>∈因R 在S 上的反对称性，有,,x y R <>∉则1,,y x R -<>∉于是，1R -在S 上是反对称的；（3）设11,,,x y R y z R --<>∈<>∈，则11,,,z y R y x R --<>∈<>∈，因R 在S 上的传递性，有,,z x R <>∈则1,,x z R -<>∈于是，'R 在'S 上是传递的；综上所述，可证1R -是S 上的偏序关系．（题4在证明中用了定义法）5、设R 是S 上的等价关系，证明：1R -是S 上的等价关系．证明：（1）因R 在S 上的自反性，有S I R ⊆，则11S S I I R --=⊆，有1R -在S 上自反； （2）因R 在S 上的对称性，有1R R -=，则111()R R R ---==，有1R -在S 上对称；（3）因R 在S 上的传递性，有2R R ⊆，则1221()R R R R --=⊆=，有1R -在S 上可传递；则2'(')('(''))('')'R R R R S S R S S R ⊆⨯⊆⨯=，有'R 在'S 上是对称的； 综上所述，可证1R -是S 上的等价关系．（题5在证明中用了集合法）6、设,R S 是A 上的偏序关系，证明：R S 是A 上的偏序关系．证明：（1）x A ∀∈，因,R S 在A 上的自反性，则,x x R S <>∈，有R S 在A 上自反；（2）设,,x y R S <>∈而x y ≠，则,,,,x y R x y S <>∈<>∈因,R S 在A 上的反对称性，有,,,,y x R y x S <>∉<>∉则,,y x R S <>∉于是，R S 在A 上是反对称的；（3）设,,,x y R S y z R S <>∈<>∈，则,,,;,,,x y R y z R x y S y z S <>∈<>∈<>∈<>∈，因,R S 在A 上的传递性， 有,,,x z R x z S <>∈<>∈,则,x z R S <>∈，于是，R S 在A 上是传递的； 综上所述，可证R S 是A 上的偏序关系．（题6在证明中用了定义法）7、设,R S 是A 上的等价关系，证明：R S 是A 上的等价关系．证明：（1）因,R S 在A 上自反，有,A A I R I S ⊆⊆，则A I R S ⊆，有R S 在A 上自反；（2）因,R S 在A 上对称，有11,RR S S --==， 则111()R S R S R S ---==，有R S 在A 上对称；（3）因,R S 在A 上传递，有22,R R S S ⊆⊆，则222()(())(())R S R S R R S S RS R S ⊆⊆⊆，有R S 在A 上可传递； 综上所述，可证R S 是A 上的等价关系．（题7在证明中用了集合法）8、设R 是S 上的二元关系，'S S ⊆定义'S 上的二元关系'('')R R S S =⨯,证明：如果R 是S 上的偏序关系，那么'R 是'S 上的偏序关系．证明：（1）'x S S ∀∈⊆，因R 在S 上的自反性，则,x x R <>∈，而,''x x S S <>∈⨯， 有,('')'x x R S S R <>∈⨯=，于是，'R 在'S 上是自反的；（2）设,',x y R <>∈而x y ≠，则,,x y R <>∈因R 在S 上的反对称性，有,,y x R <>∉ 则,('')',y x R S S R <>∉⨯=于是，'R 在'S 上是反对称的；（3）设,',,'x y R y z R <>∈<>∈，因R 在S 上的传递性，有,,x z R <>∈而,''x z S S <>∈⨯，则,('')'x z R S S R <>∈⨯=，于是，'R 在'S 上是传递的； 综上所述，可证'R 是'S 上的偏序关系．（题8在证明中用了定义法）9、设R 是S 上的二元关系，'S S ⊆定义'S 上的二元关系'('')R R S S =⨯,证明：如果R 是S 上的等价关系，那么'R 是'S 上的等价关系．证明：（1）因R 在S 上的自反性，则S I R ⊆，而'S S ⊆,有'S S I I R ⊆⊆，而'''S I S S ⊆⨯， 有'('')'S I R S S R ⊆⨯=，于是，'R 在'S 上是自反的；（2）因R 在S 上的对称性，有1RR -=，而1('')''S S S S -⨯=⨯， 则1111(')((''))('')'R R S S R S S R ----=⨯=⨯=，有'R 在'S 上是对称的； （3）因R 在S 上的传递性，有2R R ⊆， 有2'R R R R ⊆⊆，而2'('')('')''R S S S S S S ⨯⊆⨯=⨯，则2'(')('(''))('')'R R R R S S R S S R ⊆⨯⊆⨯=，有'R 在'S 上是传递的； 综上所述，可证'R 是'S 上的等价关系．（题9在证明中用了集合法）10、若R 是A 上的等价关系，则{,|,(,,)}S a b a b A c A a c R c b R =<>∈∧∃∈<>∈∧<>∈也是A 上的一个等价关系．证明：（1）A a ∈∀，由R 自反，则,,a a R a a R <>∈∧<>∈，S a a >∈∴<,，有S 自反；（2）,a b S ∀<>∈，则c A ∃∈，使,,,,a c R c b R <>∈<>∈由R 在A 上对称，有,,,,b c R c a R <>∈<>∈有,b a S <>∈，知S 对称；（3）若,,,a b S b c S <>∈<>∈，则d A ∃∈，使,,,,a d R d b R <>∈<>∈同时e A ∃∈，使,,,,b e R e c R <>∈<>∈由R 在A 上传递，知,,,,a b R b c R <>∈<>∈有,a c S <>∈，有S 传递；综上所述，可证S 是A 上的等价关系．（题10在证明中用了定义法）六、证明计算题（每题10分）1、设{1,2,3}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ a b c d +=+， “+”为普通加法，证明：R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[1,3],/R A A R <>⨯． 证明：（1）,,,,,,,a b A A a b a b a b a b R ∀<>∈⨯+=+∴<<><>>∈即R 自反；（2）,,,,,,a b c d R a b c d c d a b ∀<<><>>∈+=++=+∴则则,,,c d a b R <<><>>∈，即R 对称；（3）,,,,,,,,a b c d R c d e f R ∀<<><>>∈<<><>>∈a b c d e f +=+=+则， ,,,,a b e f R ∴<<><>>∈即R 传递；综上得出，R 是A A ⨯上的等价关系，且[1,3]R <>{,,,4}{1,3,2,2,3,1}a b a b A A a b =<><>∈⨯+==<><><>, /{[1,1],[1,2],[1,3],[2,3],[3,3]}R R R R R A A R ⨯=<><><><><>．2、设{1,2,3,4}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ c b d a +=+， “+”为普通加法，证明：R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[2,4],/R A A R <>⨯． 证明：（1）,,,,,,,a b A A a b b a a b a b R ∀<>∈⨯+=+∴<<><>>∈即R 自反；（2）,,,,,,a b c d R a d b c c b d a ∀<<><>>∈+=++=+∴则则,,,c d a b R <<><>>∈，即R 对称；（3）,,,,,,,,a b c d R c d e f R ∀<<><>>∈<<><>>∈,a d b c c f d e a d c f b c d e +=++=++++=+++∴则有 a f b e +=+，,,,,a b e f R ∴<<><>>∈即R 传递；综上得出，R 是A A ⨯上的等价关系，且[2,4]R <>{,,,2}{1,3,2,4}a b a b A A a b =<><>∈⨯=-=<><>,/{[1,1],[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[1,4],[4,1]}R R R R R R R A A R ⨯=<><><><><><><>．3、设{1,2,3,4}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ a d b c =， “” 为普通乘法，证明： R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[2,4],/R A A R <>⨯． 证明：（1）,,,,,,,a b A A a b b a a b a b R ∀<>∈⨯=∴<<><>>∈即R 自反；（2）,,,,,,a b c d R a d b c c b d a ∀<<><>>∈==∴则则,,,c d a b R <<><>>∈，即R 对称；（3）,,,,,,,,a b c d R c d e f R ∀<<><>>∈<<><>>∈,a d b c c f d e a d c f b c d e ===∴则，有 a f b e =，,,,,a b e f R ∴<<><>>∈即R 传递；综上得出，R 是A A ⨯上的等价关系，且[2,4]R <>{,,,2}{1,2,2,4}a b a b A A a b =<><>∈⨯==<><>,/{[1,1],[1,2],[2,1][1,3],[3,1],[1,4],[4,1]}R R R R R R R A A R ⨯=<><><><><><><>．4、设{ 1, 2, 3, 4 }A =，在A 的幂集()A ρ上规定{,|,()(||||}R s t s t A s t ρ=<>∈∧=， 证明：R 是()A ρ上的等价关系，并写出商集()A R ρ．证明：⑴()s A ρ∀∈ ，由于||||s s =，所以R s s >∈<,，即R 自反的；⑵,()s t A ρ∀∈ ，若R t s >∈<,，则||||||||s t t s =⇒=，R s t >∈∴<,，R 是对称的； ⑶,,()s t u A ρ∀∈，若R u t R t s >∈<>∈<,,且，即||||||u t s ==，则,s u R <>∈ 所以R 是传递的；综上得出，R 是()A ρ上的等价关系，(){[],[{1}],[{1,2}],[{1,2,3}],[{1,2,3,4}]}R R R R R A R ρ=∅．。

离散数学中的偏序关系是一个核心概念，它描述了集合中元素之间的一种特定关系。

与等价关系和全序关系不同，偏序关系允许集合中的元素之间只有部分元素之间存在比较关系，而不是全部元素之间都有比较关系。

偏序关系是一种二元关系，通常表示为集合上的一个小于或等于的符号（≤）。

这种关系满足两个基本性质：自反性和传递性。

自反性意味着集合中的每一个元素都小于或等于自己；传递性则意味着如果元素a小于或等于元素b，元素b小于或等于元素c，那么可以推出元素a小于或等于元素c。

偏序关系的一个重要特点是它允许集合中存在不可比较的元素对。

也就是说，对于某些元素a和b，我们不能确定a小于b，也不能确定b小于a。

这种不可比较性使得偏序关系比全序关系更加灵活和实用。

偏序关系在实际应用中有广泛的应用。

例如，在计算机科学中，偏序关系可以用于描述程序的执行顺序、任务之间的依赖关系等。

在数据结构中，偏序关系可以用于定义优先队列、堆等数据结构，从而实现对元素的快速排序和检索。

此外，偏序关系还与数学中的其他概念密切相关，如格、有向无环图等。

通过偏序关系，我们可以对集合中的元素进行排序、分类和比较，从而更好地理解和分析问题的本质。

总之，离散数学中的偏序关系是一种重要的二元关系，它描述了集合中元素之间的部分比较关系。

偏序关系具有自反性、传递性和不可比较性等特点，广泛应用于计算机科学、数据结构、数学等领域。

通过偏序关系的研究和应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。

等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系是数学中常见的两种关系，它们在数学领域和其他学科中都具有重要的应用价值。

本文将从定义、性质和应用等方面，对等价关系和偏序关系进行详细介绍，并希望能够给读者提供一些指导意义。

首先，我们来介绍等价关系。

等价关系是指集合中的元素之间存在一种对等的关系，它可以将集合划分成若干个等价类。

在等价关系中，具有相同特征或性质的元素被划分到同一个等价类中，而具有不同特征或性质的元素则被划分到不同的等价类中。

换句话说，等价关系将集合中的元素划分为互不相交的子集，每个子集都代表一个等价类。

等价关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意元素 a，a 和 a 相关。

2. 对称性：如果 a 和 b 相关，则 b 和 a 相关。

3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。

等价关系在数学中有广泛的应用，例如在代数、几何和数论等领域。

在代数中，等价关系可以帮助我们定义等价类，进而对集合进行分类和研究。

在几何中，等价关系可以帮助我们研究和描述图形的对称性质。

在数论中，等价关系可以帮助我们解决一些重要的数学问题，如素数分布等。

接下来，我们来介绍偏序关系。

偏序关系是指集合中的元素之间存在一种偏序的关系，它可以将集合中的元素按照某种方式进行排序。

在偏序关系中，元素的排列顺序可能是不确定的，即两个元素之间可能不存在比较关系。

与等价关系不同，偏序关系不能将集合划分为互不相交的子集，而是通过排序来比较元素之间的关系。

偏序关系具有以下性质：1. 反自反性：对于任意元素 a，a 和 a 不相关。

2. 反对称性：如果 a 和 b 相关且 b 和 a 相关，则 a 和 b 是相同的元素。

3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。

偏序关系在数学中也有广泛的应用，特别是在集合论、拓扑学、优化理论和离散数学等领域。

在集合论中，偏序关系可以帮助我们定义集合的包含关系和子集关系。

离散数学笔记总结一、命题逻辑。

1. 基本概念。

- 命题：能够判断真假的陈述句。

例如“2 + 3 = 5”是真命题，“1 > 2”是假命题。

- 命题变元：用字母表示命题，如p,q,r等。

2. 逻辑联结词。

- 否定¬：¬ p表示对命题p的否定，若p为真，则¬ p为假，反之亦然。

- 合取wedge：pwedge q表示p并且q，只有当p和q都为真时，pwedge q才为真。

- 析取vee：pvee q表示p或者q，当p和q至少有一个为真时，pvee q为真。

- 蕴含to：pto q表示若p则q，只有当p为真且q为假时，pto q为假。

- 等价↔：p↔ q表示p当且仅当q，当p和q同真同假时，p↔ q为真。

3. 命题公式。

- 定义：由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。

- 赋值：给命题变元赋予真假值，从而确定命题公式的真值。

- 分类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。

4. 逻辑等价与范式。

- 逻辑等价：若A↔ B是重言式，则称A与B逻辑等价，记作A≡ B。

例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q（德摩根律）。

- 范式：- 析取范式：由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。

- 合取范式：由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。

- 主析取范式：每个简单合取式都是极小项（包含所有命题变元的合取式，每个变元只出现一次）的析取范式。

- 主合取范式：每个简单析取式都是极大项（包含所有命题变元的析取式，每个变元只出现一次）的合取范式。

二、谓词逻辑。

1. 基本概念。

- 个体：可以独立存在的事物，如人、数等。

- 谓词：用来刻画个体性质或个体之间关系的词。

例如P(x)表示x具有性质P，R(x,y)表示x和y具有关系R。

- 量词：- 全称量词∀：∀ xP(x)表示对于所有的x，P(x)成立。

- 存在量词∃：∃ xP(x)表示存在某个x，使得P(x)成立。

既是等价关系又是偏序关系等价关系是指集合中的元素之间具有相等的关系，而偏序关系是指集合中的元素之间存在一种偏序关系，即可以进行大小比较。

有些关系既是等价关系，同时又是偏序关系。

以下是一篇用中文生成的内容生动、全面、有指导意义的文章，解释了这种关系的概念和应用。

在我们的生活中，有很多关系是并不那么容易理解的。

然而，等价关系和偏序关系这两个概念却是十分重要且有指导意义的。

这两个关系既有联系又有区别，同时又有其独特之处。

首先，让我们来了解一下等价关系。

等价关系是指一个集合中的元素之间具有相等的关系。

也就是说，如果两个元素之间存在等价关系，那么它们之间是相互等于的。

举个例子来说，我们可以将“等于”定义为一个等价关系。

如果我们有两个数3和3，它们之间是等价关系，因为它们是相等的。

同样地，如果我们有两个人，他们的年龄相等，它们之间也可以被视为等价关系。

与此同时，偏序关系是指一个集合中的元素之间存在某种偏序关系，也即可以进行大小比较。

这种关系是有序的，而不仅仅是相等。

举个例子来说，我们可以将“大于”定义为一个偏序关系。

比如，如果我们有两个数5和3，我们可以说5大于3。

同样地，如果我们有两个人，他们的年龄可以按照大小顺序排列，那么我们可以将年龄视为一个偏序关系。

然而，有一些关系既是等价关系又是偏序关系。

这种关系使得我们能够更好地理解和描述我们周围的世界。

举个例子来说，考虑到集合A中的人群，我们可以定义两个人之间的关系R，这个关系可以表示为“谁的年龄较大”。

这个关系是等价关系，因为如果两个人的年龄相等，那么它们是相互等于的。

但同时它也是偏序关系，因为我们可以根据年龄的大小来对人们进行排序和比较。

这种既是等价关系又是偏序关系的关系在实际中有着广泛的应用。

在数学中，这种关系可以帮助我们从大到小对数进行排序和分类。

在计算机科学中，我们可以使用等价关系和偏序关系来对数据进行分类和排序。

在社会科学中，我们可以使用这种关系来比较不同人群之间的各种属性。