下载文档原格式
等价关系与偏序关系何英华hyh@ 集合论与图论04目录•4.1 等价关系–等价关系–等价类–商集–集合的划分•4.2 偏序关系一、等价关系•定义：设R为非空集合上的关系。
如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。
设R是一个等价关系，若<x，y>∈R，称x等价于y，记做x～y。
•例1：设A={1,2,…,7}，那么A上的关系R： R={<x，y>|x，y∈A∧x≡y(mod3)}是等价关系。
其中x≡y(mod3)叫做x与y模3相等，即x除以3的余数与y除以3的余数相等。
二、等价类•定义：设R为非空集合A上的等价关系，令x∈A [x]R ={y|y∈A∧xRy}称[x]R 为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为[x]。
•从以上定义可以知道，x的等价类是A中所有与x 等价的元素构成的集合。
例1中的等价类是：[1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}等价类的性质•定理：设R是非空集合A上的等价关系，则1）∀x∈A，[x]是A的非空子集。
2）∀x,y∈A，如果xRy，则[x]=[y]。
3）∀x,y∈A，如果xRy不成立，则[x]与[y]不交。
4）∪{[x]|x∈A}=A证明：1）x∈[x]，[x] ⊆A。
2）集合相等。
3）反正法。
4）集合相等。
三、商集•定义：设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记做A/R，即A/R={[x]|x∈A}R•例1中的商集为{{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}四、集合的划分•定义：设A为非空集合，若A的子集族π(π是A的子集构成的集合，π⊆P(A) )满足下面的条件：1）∅∉π 2）∀x∀y(x,y∈π∧x≠y→x∩y=∅) 3）∪π=A则称π是A的一个划分，称π中的元素为A的划分块。
•A上的等价关系与A的划分一一对应。
等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系是数学中常见的两种关系，它们在数学领域和其他学科中都具有重要的应用价值。
本文将从定义、性质和应用等方面，对等价关系和偏序关系进行详细介绍，并希望能够给读者提供一些指导意义。
首先，我们来介绍等价关系。
等价关系是指集合中的元素之间存在一种对等的关系，它可以将集合划分成若干个等价类。
在等价关系中，具有相同特征或性质的元素被划分到同一个等价类中，而具有不同特征或性质的元素则被划分到不同的等价类中。
换句话说，等价关系将集合中的元素划分为互不相交的子集，每个子集都代表一个等价类。
等价关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意元素 a，a 和 a 相关。
2. 对称性：如果 a 和 b 相关，则 b 和 a 相关。
3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。
等价关系在数学中有广泛的应用，例如在代数、几何和数论等领域。
在代数中，等价关系可以帮助我们定义等价类，进而对集合进行分类和研究。
在几何中，等价关系可以帮助我们研究和描述图形的对称性质。
在数论中，等价关系可以帮助我们解决一些重要的数学问题，如素数分布等。
接下来，我们来介绍偏序关系。
偏序关系是指集合中的元素之间存在一种偏序的关系，它可以将集合中的元素按照某种方式进行排序。
在偏序关系中，元素的排列顺序可能是不确定的，即两个元素之间可能不存在比较关系。
与等价关系不同，偏序关系不能将集合划分为互不相交的子集，而是通过排序来比较元素之间的关系。
偏序关系具有以下性质：1. 反自反性：对于任意元素 a，a 和 a 不相关。
2. 反对称性：如果 a 和 b 相关且 b 和 a 相关，则 a 和 b 是相同的元素。
3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。
偏序关系在数学中也有广泛的应用，特别是在集合论、拓扑学、优化理论和离散数学等领域。
在集合论中，偏序关系可以帮助我们定义集合的包含关系和子集关系。
常用离散数学名词中英文对照集合：set元素：element严格定义:well defined成员:member外延原理:principle of extension泛集(全集):universal set空集:empty set(null set)子集:subset文氏图:venn diagram并:union交:intersection相对补集:relative complement绝对补集:absolute complement补集:complement对偶性:duality幂等律:idempotent laws组合律:associative laws交换律:commutative laws分配律:distributive laws同一律:identity laws对合律:involution laws求补律:complement laws对偶原理:principle of duality有限集:finite set计算原理:counting principle类:class幂集:power set子类:subclass子集合:subcollection命题:proposition命题计算:proposition calculus语句:statement复合:compound子语句:substatement合取:conjunction析取:disjuction否定:negation真值表:truth table重言式:tautology矛盾:contradiction逻辑等价:logical equivalence命题代数:algebra of propositions 逻辑蕴涵:logicalimplication关系:relation有序对:ordered pair划分:parti-on偏序:partial order整除性:divisibility常规序:usual order上确界:supremum下确界:infimum上(下)界:upper(lower) bound乘积集:product set笛卡儿积:cartesian product笛卡儿平面:cartesian plane二元关系:binary relation定义域:domain值域:range相等:equality恒等关系:identity relation全关系:universal ralation空关系:empty ralation图解:graph坐标图:coordinate diagram关系矩阵:matrix of the relation 连矢图:arrow diagram有向图:directed graph逆关系:inverse relation转置:transpose复合:composition自反:reflexive对称的:symmetric反对称的:anti-symmetric可递的:transitive等价关系:equivalence relation半序关系:partial ordering relation 函数:function映射:mapping变换:transformation像点:image象:image自变量:independent variable因变量:dependent variable函数图象:graph of a function合成函数:composition function可逆函数:invertible function一一对应:one to one correspondence 内射:injective满射:surjective双射:bijective基数度:cardinality基数:cardinal number图论:graph theory多重图:multigraphy顶点:vertix(point,node)无序对:unordered pair边:edge相邻的adjacent端点:endpoint多重边:multiple edge环:loop子图:subgraph生成子图:generated subgraph平凡图:trivial graph入射:incident孤立点:isolated vertex连通性:connectivity通路:walk长度:length简单通路:chain(trail)圈:path回路:cycle连通的:connected连通分支:connected component距离:distance欧拉图:eulerian graph欧拉链路:eulerian trail哈密顿图:hamilton graph哈密顿回路:hamilton cycle货郎行程问题:traveling salesman完全图:complete graph正则图:regular graph偶图:bipartive graph树图:tree graph加权图:labeled graph同构图:isomorphic graph同构:isomorphism同胚的:homeomorphic平面图:planar graph着色问题:colortion区域:region地图:map非平面图:nonplanargraph着色图:colored graphs顶点着色:vertex coloring色散:chromatic number四色原理:four color theorem对偶地图:dual map退化树:degenerate tree生成树:spanning tree有根树:rooted tree根:root水平(深度):level(depth)叶子:leaf分支:branch有序有根树:ordered rooted tree二元运算符:binary operational symbol半群:semigroup单位元素:identity element右(左)单位元素:right(left) identity左(右)消去律:left(right) cancellation law) 逆:inverse并列:juxtaposition有限群:finite group正规子群:normal subgroup非平凡子群:nontrivial subgroup循环群:cyclic group环:ring整环:integral domain域:field交换环:commutative ring加性环:additive group汇合:meet格:lattice有界格:bounded lattice分配格:distributeve lattice补格:complemented lattice表示定理:representation theorem。
等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系是数学中两种常见的关系类型。
它们在数学和现实生活中都有重要的应用。
等价关系是指具有相同性质或属性的对象之间的关系。
简单来说，如果两个对象之间的关系是等价关系，那么它们在某个方面是相等的。
比如，假设我们以身高作为判断两人是否同一等级的标准，那么所有身高相同的人构成了一个等价类。
在这个等价类中，每个人与其他人都具有相等的身高。
在这种情况下，身高就是构成等价关系的“等价性质”。
在数学中，等价关系具有以下三个基本特征：1. 反身性：每个对象与自身都具有相同的性质。
换句话说，对于任何一个对象a，a与a之间的关系是等价关系。
2. 对称性：如果对象a与对象b之间的关系是等价关系，那么对象b与对象a之间的关系也是等价关系。
3. 传递性：如果对象a与对象b之间的关系是等价关系，且对象b与对象c之间的关系也是等价关系，那么对象a与对象c之间的关系必须是等价关系。
举个例子来说，如果我们以相等作为判断两个数值关系的标准，那么对于任意两个数a和b，如果a等于b，那么b也等于a，而且如果b等于c，那么a也等于c。
因此，这种数值关系具有反身性、对称性和传递性，是一个等价关系。
与等价关系不同，偏序关系则是一种可以对对象进行排序的关系。
在偏序关系中，我们可以将对象按照某种标准排列成一个序列，其中一个对象优于另一个对象。
例如，在学生的考试成绩中，如果一个学生的成绩高于另一个学生，我们可以说前者优于后者。
在这种情况下，优劣可以作为构成偏序关系的“有序性质”。
对于偏序关系，它具有以下三个基本特征：1. 反身性：每个对象与自身之间的关系是偏序关系。
也就是说，对于任何一个对象a，a与a之间的关系是偏序关系。
2. 反对称性：对于两个不同的对象a和b，如果a与b之间的关系是偏序关系，那么b与a之间的关系就不能是偏序关系。
3. 传递性：如果对象a与对象b之间的关系是偏序关系，且对象b与对象c之间的关系也是偏序关系，那么对象a与对象c之间的关系必须是偏序关系。
等价关系、偏序关系
等价关系是抽象的根基
定义
【等价关系】设 R ⊆X ×X ，如果 R 是⾃反、对称、传递 关系，则 R 就称为等价关系
【等价类】设 R ⊆X ×X 是 X 上的等价关系，∀x ∈X , [x ]={y ∈X ∣(y ,x )∈R } 称为 R 的⼀个等价类
【集合的划分】设 X 是⼀个集合，A 是 X 的⾮空⼦集构成的集合，如果 A 满⾜「A ,B ⊆A ,A ∩B =∅」与「⋃A i ∈A A i =X 」，则称 A 是集合 X 的⼀个划分
【偏序关系与偏序集】设 ≤:X →X ，如果 ≤ 是⾃反、传递、反对称的，则称 ≤ 是 X 上的偏序关系，(X ,≤) 称为偏序集
【全序关系与全序集】设 ≤:X →X ，若 ∀x ,y ∈X , (x ,y )∈≤ 或 (y ,x )∈≤，则称 ≤ 为全序关系，(X ,≤) 称为全序集定理
【不同等价类⽆交集】[x ]≠[y ]→[x ]∩[y ]=∅
【等价关系与集合划分⼀⼀对应】给定集合 X 上的⼀个划分 A ，由 A 可以确定⼀个等价关系
理解
1. 若 I ⊆R , R −1⊆R , R 2⊆R ，则 R 就是等价关系
2. 因为并⾮所有集合元素都存在序关系，所以叫偏序关系
Processing math: 100%。
由等价关系得到划分Equivalence Relations （III）A 上等价关系A 的划分●例 ●R ( a ) = { a , b , c , d } R ( b ) = { a , b , c , d } R ( c ) = { a , b , c , d } R ( d ) = { a , b , c , d }R ( e ) = { e , f }R ( f ) = { e , f } ●P ={ {a , b , c , d }, {e , f } }b afc d e定理设R是A上的一个等价关系，则P = A/R = { R(a) | a A } 是A的一个划分，而且R就恰是由P决定的等价关系。
定理的证明：要证明P是一个划分：(a) A中每一个元素都属于一个等价类。
对于任意a∈A，由R的自反性有a∈R(a) 。
(b) 若R(a) ≠R(b)则R(a)∩R(b) = ∅。
否则若存在c∈R(a)∩R(b)则c∈R(a)且c∈R(b)，即aRc且bRc。
由引理有R(a) = R(c) = R(b)，产生矛盾。
定理的证明：而且由引理知，aRb当且仅当a, b属于P= A/R = { R(a) | a A } 的同一个划分块，因此P决定的等价关系就是R。
A 上等价关系A 的划分●定理所构造的划分 P 由 R 的所有等价类构成，也记作 A /R 。
●A /R ={ {a , b , c , d }, {e , f } }ba fc d e●由划分与等价关系的一一对应，可得：●定理设R1 和R2 为非空集合A上的等价关系，则R= R2 当且仅当A/R1 = A/R2 。
1E nd。
