离散数学等价关系和偏序关系共19页文档

离散数学中的关系
离散数学中的关系指的是集合之间元素的联系或对应关系。

这种关系可以描述为有序对的集合，其中每个有序对都由一对元素组成。

在离散数学中常见的关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。

等价关系是一种自反、对称和传递的关系，即元素之间具有相等的性质。

例如，集合中两个元素的相等关系就是一种等价关系。

偏序关系是一种自反、反对称和传递的关系，即对元素之间存在一种偏序或排序关系。

例如，在集合中，可以通过元素之间的比较来确定它们的顺序关系。

全序关系是一种偏序关系，它不仅是自反、反对称和传递的，还具有完备性，即对于集合中任意两个元素，它们之间必定存在一种顺序关系。

离散数学中还有其他类型的关系，如函数关系、包含关系等。

函数关系是一种特殊的关系，它对于集合中的每个元素，都存在唯一的映射元素。

包含关系则描述了两个集合之间的包含或包含于关系。

通过对这些关系的研究和分析，可以帮助理解和解决离散数学中的问题。

同时，关系的性质和特征也为其他学科如计算机科学、逻辑学等提供了基础。

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思考：
设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 问哪些是A的划分, 哪些不是 A 的划分？ 答案： π 1和π 2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分.
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同年龄关系 R是等价关系。
4
再如设集合A的情况同上所述 若令集合A={a , b , d , c , e , f } 同房间 同房间
其中a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 如果同住一个房间的大学生认为是相关的，那么 “同房间”关 系 R也是等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同房间的，所以满足自反性；
7
（1）a ,b,c都姓“张”，d,e,f 都姓“李” a b
√ √ √
c
√ √ √
d
e
f
a √ b √
c √ d e f
a b c
√ √ √ √ √ √ √
d e f
√
√
a 1 1 1 0 0 0
b c d e f 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
用刀分
{

(x,y)∊R当且仅当x|y。 证明(Z+，R)是偏序集
5
例2 (p109)证明(Z+，R)是偏序集
对于任意的x,y∊Z+，(x,y)∊R当且仅当x|y。
（1）对于任意的x∊Z+,显然有x|x,所以(x,x)∊R,即R 是自反的。
（2）对于任意的x,y∊Z+,若(x,y)∊R,且(y,x)∊R，则 x|y,即存在n∊Z+,y=nx 且 y|x,即存在 m∊Z+,x=my，所以x=mnx，而n,m∊Z+，所以只有 n=m=1，
d
j
k
h
4
c
e
h
i
e
f
g
2
3b
f
g
b
c
d
1
a
bc de
a
a
(a)
(b)
(c)
(d)
29
极大、极小与最大最小元的找法： 1、孤立点。
既是极大元也是极小元。 若图中有孤立点，则必无最大、最小元。 2、除孤立点外， 其他极小元是图中所有向下通路的终点； 其他极大元是图中所有向上通路的终点。 3、若极小元唯一则其为最小元； 若极大元唯一则其为最大元；
显然
2覆盖1 3覆盖1 4覆盖2，但4不覆盖1
4
2
3
1
哈斯图
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二、哈斯图（Hasse Diagram)
设(A，≺ )是一个偏序集， A是一个有限集，|A|=n。 可以用一个图形来表示偏序集（A，≺）， 这个图形有 n个顶点，每一个顶点表示A中 一个元素， 两个顶点 x与y，若有y覆盖x，则点x在点y 的下方，且两点之间有一条直线相连结。
即x=y时才有(x,y)∊R,且(y,x)∊R ，即R有 反对称性。

16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
离散数学 等价关系与偏序系
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿

等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系是数学中常见的两种关系，它们在数学领域和其他学科中都具有重要的应用价值。

本文将从定义、性质和应用等方面，对等价关系和偏序关系进行详细介绍，并希望能够给读者提供一些指导意义。

首先，我们来介绍等价关系。

等价关系是指集合中的元素之间存在一种对等的关系，它可以将集合划分成若干个等价类。

在等价关系中，具有相同特征或性质的元素被划分到同一个等价类中，而具有不同特征或性质的元素则被划分到不同的等价类中。

换句话说，等价关系将集合中的元素划分为互不相交的子集，每个子集都代表一个等价类。

等价关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意元素 a，a 和 a 相关。

2. 对称性：如果 a 和 b 相关，则 b 和 a 相关。

3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。

等价关系在数学中有广泛的应用，例如在代数、几何和数论等领域。

在代数中，等价关系可以帮助我们定义等价类，进而对集合进行分类和研究。

在几何中，等价关系可以帮助我们研究和描述图形的对称性质。

在数论中，等价关系可以帮助我们解决一些重要的数学问题，如素数分布等。

接下来，我们来介绍偏序关系。

偏序关系是指集合中的元素之间存在一种偏序的关系，它可以将集合中的元素按照某种方式进行排序。

在偏序关系中，元素的排列顺序可能是不确定的，即两个元素之间可能不存在比较关系。

与等价关系不同，偏序关系不能将集合划分为互不相交的子集，而是通过排序来比较元素之间的关系。

偏序关系具有以下性质：1. 反自反性：对于任意元素 a，a 和 a 不相关。

2. 反对称性：如果 a 和 b 相关且 b 和 a 相关，则 a 和 b 是相同的元素。

3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。

偏序关系在数学中也有广泛的应用，特别是在集合论、拓扑学、优化理论和离散数学等领域。

在集合论中，偏序关系可以帮助我们定义集合的包含关系和子集关系。

• 定理2.16 设R1和R2是A上的等价关系， 则 R1R2是A上的等价关系。
• 例：设A={1, 2, 3, 4, 5}，A上的二元关系R 中，有多少个是等价关系？
• 因为等价类划分和等价关系是一一对应的， 所以A上的二元关系中等价关系的个数等于 A的划分个数。 • 西安交通大学1998考研
例： A是学生集合，是在A中按学院的划分， ’是在A中按专业的划分。和’确定A 上的等价关系R:同学院同学关系和R’:同专 业同学关系，显然R’R。
• 证明： • /*’细分 R’R ，基本法*/ • 对于任一<a, b>R’，存在'的某块S’，使a, bS’。因为’细分，所以必存在的块S， 使S’S。因此a, bS，从而<a, b>R。 • /* R’R ’细分 */ • 设S’是‘的一块，aS’则[a]R’ ={x|xR’a}=S’ （请展开证明）。由于R’R，若xR’a必有 xRa。因此{x|xR’a}{x|xRa}，即 [a]R’[a]R。 ’的一块包含在的一块中，所以’细分 。
• /*北京航空航天大学1996考研试题*/
2.7 次序关系
• 二 拟序关系 • 定义2.22（拟序关系） A上的二元关系 R是反自反的和传递的，称 R为A上的拟序关系。称(A, R)为拟序集，或记为 (A, <)。（不意味着小于）
• 定理2.24 A上的二元关系 R是拟序的，则R必为反对称 的。 证明：反证法
– 位置关系：若a b，则结点a在b之下； –Байду номын сангаас连线规则：若a与b之间不存在其他元素c，使a c，c b则在a与b之间用一线相连。
2.7 次序关系
• 例题： Rosen《离散数学及其应用（本科教学 版）》p225例13、例14、P226例18

Think
about why the definition needs these tree properties?
Answer: it is the abstraction and induction.
3
4
Examples
• • • • • • The following are all equivalence relations: "Has the same first name as" on the set of all people. "Is similar to" or "congruent to" on the set of all triangles. "Is congruent to modulo n" on the integers. "Has the same image under a function" on the elements of the domain of the function.
1
七ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等价关系
Equivalence relations
等价关系的定义（引入…）
Think about this: when we say something equivalent, what does it mean?
Introduction to equivalence relation… Equivalence relations are used to relate objects that are similar in some way. Or we can say a kind of “similar”, a very special type of binary relation.

6
等价类
设R是非空集合A上的等价关系， 则A上互相等价的元素构成了A的 若干个子集，称作等价类
定义 设R为非空集合A上的等价关系, x∈A，令
[x]R = { y | y∈A∧xRy } 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简 记为[x].
实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}
如果顶点 xi 连通到xk , 则 从 xi到 xk 有 边
1
例：给定集合X={a,b,c}，R和S是X中的关系，给
定
R {a,b, a, c, c, b}
S {a,b, b, c, c, a}
试求出t(R),t(S)，并画出关系图
解：t(R) R1 R2 R3 R
t(S) S1 S2 S3 S1 S2 S3
11
例题
例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：
π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
关系性质判别
定义
条件 关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
x(x∈A→<x x(x∈A→
,x>R)
<x,x>R)
xy(x,y∈A∧ <x,y>∈R→<y,x >∈R)

第7页，共28页。
实例
例6：设A＝{a, b, c, d}, 给定 1, 2, 3, 4, 5, 6如下 1={{a, b, c},{d}}， 2={{a, b},{c},{d}} 3={{a},{a, b, c, d}}， 4={{a, b},{c}}
5={,{a, b},{c, d}}， 6={{a,{a}},{b, c, d}}
2,3,6,12都是子集{24,36}的下界。 12是子集{24,36}的下确界。
第27页，共28页。
实例
例9：令A={2,3,6,12,24,36},A在整除关系“”下构成一个偏序集
(A,)。 A中有最大元素和最小元素吗？
A中没有最大元素也没有最小元素。 因为24与36不可比，2与3也不可比。 但是A中没有比24和36更大的元素，也没有比2与3更小
一对应的，并且互相确定。
第9页，共28页。
商集
等价关系R确定的划分是R的所有等价类之集
{[x]xX}
定义4 设R是X上的等价关系，由R所确定的X的划分 也就是R的所有等价类之集称为X对R的商集，并记X/R。 即：X/R={[x] xX，[x]是x的等价类}。
第10页，共28页。
实例
例7：令A={1, 2, …, 8}。
其次由于偏序关系是传递的，那么只要在前驱与后继 间联线即可。
最后由于反对称性，若x<y，xy，则点y画在x的上方， 这样就不必用矢线了，按上述方法画出的图称为(X,≤)的哈
斯图。
第20页，共28页。
哈斯(Hasse)图的特点
哈斯图就是利用偏序的自反、反对称、传
递性简化了的关系图。
特点： (1)每个结点没有环; (2)两个连通的结点之间的序关系通过结点位置

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等价关系与偏序关系
• 引言 • 等价关系 • 偏序关系 • 等价关系与偏序关系的比较 • 等价关系与偏序关系在数学中的应用 • 等价关系与偏序关系在计算机科学中的应用 • 总结与展望
目录
Part
01
引言
目的和背景
研究目的
探讨等价关系与偏序关系的性质、特 点及其在数学和其他领域的应用。
研究背景
等价关系与偏序关系是数学中的基本 概念，对于理解数学的许多分支以及 解决实际问题具有重要意义。
偏序关系与集合的排序
偏序关系在集合论中被用来描述元素之间的 排序关系。通过偏序关系，可以对集合中的 元素进行排序，从而形成有序集合。
在图论中的应用
等价关系与图的同构
在图论中，如果两个图具有相同的结构性质，则称它们是同构的。等价关系可 以用来定义图的同构关系，即如果两个图之间存在一个保持顶点和边关系的双 射，则它们是同构的。
Part
07
总结与展望
研究成果总结
等价关系研究
在等价关系方面，我们深入探讨了等价关系的性质、分类、构造方法以及等价类与划分之间的联系。通过实例分析和 理论推导，我们揭示了等价关系在数学、计算机科学等领域中的广泛应用。
偏序关系研究
在偏序关系方面，我们系统研究了偏序集的定义、性质、结构以及偏序关系与序偶、全序关系之间的联系。通过对比 分析不同偏序集的特点，我们总结了偏序关系在解决实际问题中的优势与局限性。
在数据结构中的应用
等价类划分
利用等价关系将数据元素划分为 互不相交的子集，便于数据的分 类和组织。
偏序集合
在数据结构中，偏序关系可用于 定义元素间的部分排序，如优先 队列、堆等。

学情分析
学生已经掌握了关系的性质和等价关系表示方法。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上课程视频，网络微课教学
教学过程：
一、偏序关系
1、定义3-12.1若集合A上的二元关系R是自反的、反对称的和传递的，则称R是A的偏序关系，记作≼。设≼为偏序关系，如果<x,y>∈≼，则记作x≼y，读作“小于或等于”。序偶<A,≼>称为偏序集合。（Partially Ordered Relations）
R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>,<c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪IA
补充说明
要能熟练写出COV A
x≺y，y≺x，x=y，x与y不可比。
例如设A={1, 2, 3}
(1)≼是A上的整除关系，则：1≺2, 1≺3, 1＝1, 2＝2, 3＝3，2和3不可比；
(2)≼是A上的大于等于关系，则: 2≺1, 3≺1, 3≺2, 1＝1, 2＝2，3＝3。
2、定义3-12.2在偏序集<A ,≼>中，如果x,yA，x≼y，xy，且没有其他元素z满足x≼z、z≼y，则称元素y盖住元素x。并且把所有具备盖住性质的续偶集合记作COV A，
注意：这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏序关系中的顺序性。x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，x排在y的前边或者x就是y。
定义设R为非空集合A上的偏序关系，定义
(1)x, yA, x≺y当且仅当x≼y且x≠y

第三章集合与关系
3.等价类性质 R是A上等价关系，任意a,b,c∈A
⑴同一个等价类中的元素，彼此有等价关系R。 即任意x,y∈[a]R，必有<x,y>∈R
证明：任取x,y∈[a]R，由等价类定义得，<a,x>∈R, <a,y>∈R ,由R对称得，<x,a>∈R，又由R传递得
<x,y>∈R。 ⑵ [a]R∩[b]R=Φ， 当且仅当 <a,b>R。 证明:(充分性)设<a,b>R，假设[a]R∩[b]R≠Φ,则存在
所以商集A/R是A的一个划分。
定理2： 设R1和R2是非空集合A上的等价关系，则 R1=R2当且仅当A/R1=A/R2 。
(这个定理显然成立。)
第三章集合与关系
证明:(必要性) 因为A/R1={[a]R1 |a∈A}； A/R2={[a]R2 |a∈A}，由于R1=R2，对任意的 a∈A有 [a]R1={x|x ∈A,<a,x>∈R1} ={x|x ∈A,<a,x>∈R2}= [a]R2 即A/R1=A/R2 。 (充分性)对任意的<a,b>∈R1 a ∈[a]R1∧ b∈[a]R1
A/R={[a]R |a∈A} 例如A={1,2,3,4,5,6,7} , R上模3同余关系，则
A/R= {[1]R,[2]R,[3]R} ={{1,4,7},{2,5},{3,6}}
练习 X={1,2,3},X上关系R1、R2 、R3，如上图所示。
X/R1={[1]R1,[2]R1,[3]R1}={{1},{2},{3}}
3-12 序关系
第三章集合与关系
次序关系也是常遇到的重要关系，例如： 数值的≤、＜、≥、＞关系； 集合的、关系； 图书馆的图书按书名的字母次序排序； 词典中的字(词)的排序； 计算机中文件按文件名排序； 程序按语句次序执行；…….

4.4关系的闭包[定理1]：设R是A上的二元关系，则R∪IA一定是自反的，而且是包含R，具有自反性的最小关系。

（其中IA是A上的恒等关系）。

[定义1]：称R∪IA是R的自反闭包，记为r(R)。

证明：对∀x∈A，<x,x>∈IA ⊆R∪IA，且R⊆R∪IA。

若R’包含R且具有自反性，则IA ⊆R’，R⊆R’，IA∪R⊆R’。

即IA∪R 为最小。

[推论1]：当且仅当R是自反闭包，R具有自反性。

证明：(1)R是自反闭包，R=IA∪R⇒IA ⊆R；(2)R具有自反性，IA ⊆R，R∪IA=R. [定理2]：设R是A上的二元关系，则R∪R-1是对称的，包含R的最小关系。

（其中R-1是R的逆关系）。

[定义2]：称R∪R-1是R的对称闭包，记为s(R)。

证明：(1)若<x,y>∈R∪R-1，则<x,y>∈R 或<x,y>∈R-1，⇒<y,x>∈R-1 或<y,x>∈R故<y,x>∈R∪R-1（对称性）。

(2)若R’为包含R，且对称的二元关系，则对∀<x,y>∈R∪R-1，<x,y>∈R⇒<x,y>∈R’；<x,y>∈R-1 ⇒<y,x>∈R ⇒<y,x>∈R’又R’具有对称性，<x,y>∈R’，故R∪R-1⊆R’。

[推论2]：当且仅当R是对称闭包时，R具有对称性。

证明：(1)R具有对称性，若<x,y>∈R，则<y,x>∈R，又<y,x>∈R-1即∀<y,x>∈R-1，<x,y>∈R⇒<y,x>∈R⇒R-1⊆R⇒R∪R-1＝R；(2)R是对称闭包时，R＝R∪R-1⇒R具有对称性。

[定理3]：传递闭包t(R)＝R∪R2∪R3∪…例6：设A={1,2,3}，R={<1,1>,<1,2>,<2,3>}，求t(R) 。