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控制工程基础(第四章,控制系统的时域响应分析)

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控制工程基础第四章2007

控制工程基础第四章2007

a ( ) G ( j )
( ) G ( j )
G( j ) G(s) s j 1 Ts 1 s j
对于一般线性系统均有类似的性质。当输 入正弦信号时，线性系统输出稳定后也是正弦 信号，其输出正弦信号的频率与输入正弦信号 的频率相同；输出幅值和输出相位按照系统传 递函数的不同随着输入正弦信号频率的变化而 有规律的变化，如下图所示。
典型环节的乃氏图
1.比例环节
G j K
jV
G j K G j 0

K
0
U
2.积分环节
1 G j j
G j
1
jV
G j 90

0
G j0 90

0
U
G j 0 90
线性系统
线性系统的正弦稳态响应
频率特性的定义
设系统传递函数为 G ( s ) 。定义系统输出 信号的稳态响应相对其正弦输入信号的幅值 之比 A() G( j) 为系统的幅频特性。 幅频特性描述系统在稳态下响应不同频
率的正弦输入时在幅值上的增益特性（衰减
或放大）。
定义系统输出信号的稳态响应相对其正 弦输入信号的相移 ( ) G( j ) 为系统的相频特性。
例： 例 G j
e
j
jT 1
0.4
0
-0.5 0.5

-0.8
1
1 例 G j j ( j 1)(2 j 1) 1 G j 2 2 1 (2 ) 1
G j 90 arctan( ) arctan( 2 )
大多数机电系统可简单地将拉氏变换 G ( s ) 中
《控制工程基础》教学大纲

《控制工程基础》教学大纲

《控制工程基础》教学大纲课程类别：专业教育课程课程名称：控制工程基础开课单位：机械工程学院课程编号：B03020302总学时：40 学分： 2.5适用专业：机械电子工程先修课程：高等数学、线性代数、大学物理、电工技术、电子技术基础一、课程在教学计划中地位和作用控制工程基础是机械电子工程专业的一门专业基础课程，也是后续专业课程的基础。

该课程主要是运用控制论的基本原理及基本思想方法，分析研究机械和机电工程中有关信息的传递、反馈及控制，研究机械和机电系统的动态特性，培养学生以动态的观点去看待机械系统。

要求学生掌握系统时频域建模及性能分析的相关知识，掌握系统稳定判定的方法，熟悉系统校正的方法。

培养学生具有初步设计、分析和校正系统的能力，培养学生应用控制工程基础理论知识并使用MATLAB软件分析、研究、解决复杂工程问题的能力。

为学生从事相关专业技术工作和科学研究工作提供必要的理论知识支撑。

二、课程目标1.通过本课程的学习，培养学生能利用控制系统的基本原理表述与解决工程问题，建立学生能在创建系统数学模型的基础上，对系统的性能进行分析、研究的能力；（支撑毕业要求1、2、4）2.能利用系统频率特性的基本知识，对系统进行辨识，培养学生掌握解决工程问题的程序与方法；（支撑毕业要求1、2）3.能够利用系统稳定的条件判断系统系统是否稳定，并能对不稳定的系统进行校正，培养学生能用理论知识进行工程问题规划与设计，适时体现创新意识；（支撑毕业要求1、2、3）4.能够有效利用MATLAB软件对控制工程实际问题进行模拟、分析与预测。

（支撑毕业要求5）三、课程内容及基本要求第一章绪论（2学时）1．熟悉控制系统得基本工作原理；2．了解控制系统的分类，熟练掌握控制系统的反馈工作原理及反馈控制系统基本构成；3．了解控制理论的研究对象及方法；4．理解控制系统的最基本要求。

第二章拉普拉氏变换（2学时）1．了解拉氏变换与拉氏反变换的定义；2．掌握典型时间函数的拉氏变换和拉氏变换定理；3．熟练掌握拉氏反变换的数学方法。

控制工程基础第四章频域响应法

控制工程基础第四章频域响应法

控制工程基础第四章频 域响应法
2020/8/1
频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工 程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方 法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于 分析和设计系统有如下优点：
（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法 就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特 性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特 点。
例6 某单位反馈系统的开环传函为： 试概略绘制系统开环幅相图。
例7 某单位反馈系统的开环传函为： 试概略绘制系统开环幅相图。
例8 某单位反馈系统的开环传函为： 试概略绘制系统开环幅相图。
4-5 最小相位系统和非最小相位系统
（1）如果系统开环传递函数在右半S平面上没有极点和零点，则称该系统为 最小相位系统，如
=0.7sin(2t-45o)
二、频率特性表示法
频率特性可用解析式或图形来表示。
（一）解析表示 系统开环频率特性可用以下解析式表示 幅频-相频形式 ：
指数形式(极坐标) ：
三角函数形式：
实频-虚频形式： （二）系统频率特性常用的图解形式
1. 极坐标图—奈奎斯特图 （Nyqusit） —幅相特性曲线
（2）系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具有 明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列 写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。
（3）可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适 用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节的 系统和部分非线性系统的分析。
（4）用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪声 的系统。
在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得到系统的频率 特性。
控制系统的时域响应分析

控制系统的时域响应分析

控制系统的时域响应分析
控制系统是指将环境及机器内部参数调节到所需状态的系统，它通过检测及控制参数的变化来实现控制的目的，稳定状态，使之不受外界参数的干扰。

控制系统的时域响应分析，是指控制系统对系统参数和环境影响做出的时间分布响应。

时域响应分析可以根据控制系统的结构特征和实现方式来进行，具体可以分为三类：一是闭环响应分析，在这种情况下，系统中的输出经过一定的误差修正后，又会作为输入反馈回系统，实现系统本身的稳定性。

二是开环响应分析，在这种情况下，系统的输出受到输入的影响，但没有反馈回系统，因此，系统不能自行稳定，而只能在输入变化的情况下，通过外部调节来实现。

第三是多参数响应分析，在这种情况下，控制系统不仅考虑输入和输出，还考虑参数的变化，对待调参数进行调节。

一般来说，控制系统的时域响应分析可以包括系统的调节时间、调节准确度、均衡时间等。

调节时间，指的是控制系统输出参数达到稳定态所需要的时间，它可以反映出控制系统的稳定性。

机电控制工程基础课件：控制系统的时域分析

机电控制工程基础课件：控制系统的时域分析


式中,(t - T )代表输出量的稳态分量 c t ( ∞ );
代表输
出量的瞬态分量,通常以 ct ( t )表示, t 趋于无穷大时,瞬态分 量趋于零。
一阶系统的单位斜坡响应曲线如图 3－4 所示。
控制系统的时域分析
图 3－4 一阶系统的单位斜坡响应曲线
控制系统的时域分析 该指数曲线的特点如下: (1 )指数曲线的初始斜率为零,因为
控制系统的时域分析
控制系统的时域分析
3. 1 典型输入信号与系统性能指标 3. 2 一阶系统的时间响应 3. 3 二阶系统的时间响应 3. 4 高阶系统的时间响应 习题
控制系统的时域分析
3. 1 典型输入信号与系统性能指标
3. 1. 1 典型输入信号 典型输入信号一般应具备两个条件:一是信号的数学表
响应曲线的初始斜率为
控制系统的时域分析
图 3－5 一阶系统的单位脉冲响应曲线
控制系统的时域分析
3. 2. 5 一阶系统的三种响应之间的关系 比较一阶系统对单位脉冲、单位阶跃和单位斜坡输入信
号的响应,可以发现这三种信号之间有以下关系:
控制系统的时域分析
即系统对输入信号导数的响应,等于系统对该输入信号 响应的导数。或者说系统对输入信号积分的响应,等于系统 对该输入信号响应的积分。这一重要特点适用于任意线性定 常系统,但不适用于线性时变系统和非线性系统。

控制系统的时域分析
图 3－1 是某二阶系统在单位阶跃函数作用下的时间响 应,即单位阶跃响应。 c (输出, r (t )表示输入。为了便于分析 和比较,假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态, 而且输出量及各阶导数均等于零。对于大多数控制系统来说, 这种假设是符合实际情况的。描述系统性能的指标通常为:
控制工程基础4.3

控制工程基础4.3


4.7 单位脉冲响应函数在时间响应中的作用
单位脉冲响应函数与传递函数互为Laplace变换对。系统任意输入及 其响应如下
第 4 章
再 见
第 4 章
解：由条件1）可知，系统必为Ⅰ型系统，又为三阶系统，则开环传递
函数可写成如下形式：
G(s)
K
s(s2 as b)
K
K
Kv
lim sG(s) lim s
s0
s0 s(s 2 as b)
b
1.2
第 4
b 1.2K
章
4.6 系统误差分析与计算
例题
例2 系统的闭环传递函数为
GB (s)
i 1
n2
pj)
(s2
2 k nk s
2 nk
)
j 1
k 1
第
4 章
部分分式展开： X o (s)
A0 s
A n1 j
j 1 s p j
n2
Bk s Ck
k 1
s2
2 k nk s
2 nk
4.5 高阶系统的时间响应
高阶系统的时间响应可视为多个一阶环节和多个二阶环节的叠加
单位阶跃响应：
n1
结论：
1）稳态误差与输入信号有关；
2）稳态误差与系统型次有关。型次越高，稳态误差越小；
3）稳态误差与系统的开环增益有关。开环增益越大，稳态误 差越小；
4）当系统存在几个输入作用时，可按叠加原理进行计算。系 统存在干扰作用时，总的偏差等于给定输入和干扰分别引起
的偏差之和；
第 4
5）单位反馈系统稳态误差与稳态偏差相同。
1
s G(s)H
(s)
X
i
控制工程基础教案实验2控制系统时域响应分析

控制工程基础教案实验2控制系统时域响应分析

4线性系统的时域分析6.4.1零输入响应分析MATLAB 中使用initial 命令来计算和显示连续系统的零输入响应。

语法：initial(G ,x0, Ts) %绘制系统的零输入响应曲线initial(G1,G2,…,x0, Ts) %绘制系统多个系统的零输入响应曲线[y,t,x]=initial(G ,x0, Ts) %得出零输入响应、时间和状态变量响应说明：G 为系统模型，必须是状态空间模型；x0是初始条件；Ts 为时间点，如果是标量则为终止时间，如果是数组，则为计算的时刻，可省略；y 为输出响应；t 为时间向量，可省略；x 为状态变量响应，可省略。

【例 6.8】某反馈系统，前向通道的传递函数为4s 12G1+=，反馈通道传递函数为3s 1H +=，求出其初始条件为[1 2]时的零输入响应，如图6.7所示。

G1=tf(12,[1 4]);H=tf(1,[1 3]);GG=feedback(G1,H)G=ss(GG);initial(G,[1 2])%绘制零输入响应6.4.2脉冲响应分析1. 连续系统的脉冲响应连续系统的脉冲响应由impluse 命令来得出。

语法：impulse(G , Ts) %绘制系统的脉冲响应曲线[y,t,x]=impulse(G , Ts) %得出脉冲响应说明：G 为系统模型，可以是传递函数、状态方程、零极点增益的形式；y 为时间响应；t 为时间向量；x 为状态变量响应，t 和x 可省略；Ts 为时间点可省略。

【例6.8续】求出初始条件为零，该系统的单位脉冲响应并画曲线，如图6.8所示。

impulse(G)%绘制脉冲响应曲线 t=0:0.1:10;y=impulse(G,t) %根据时间t 得出脉冲响应6.4.3阶跃响应分析1. 连续阶跃响应图6.7 零输入响应曲线阶跃响应可以用step命令来实现。

语法：step(G, Ts) %绘制系统的阶跃响应曲线[y,t,x]=step(G, Ts) %得出阶跃响应图6.10 阶跃响应曲线6.4.4任意输入的响应1. 连续系统的任意输入响应连续系统对任意输入的响应用lsim命令来实现。

控制工程基础第四章频域响应法.pptx

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sp
传递 函数
微分 方程
系统
j p
频率 特性
p d dt
s j
【例】某单位反馈控制系统得开环传递函数为 G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sin t时系统的稳态输出
解 首先求出系统的闭环传递函数(s) ，令s=j 得
如=2, 则 (j2)=0.35 -45o 则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o)
() G( j)
幅相频率特性G(j) : G(j) 的幅值和相位均随输入正弦信
号角频率的变化而变化。 G( j ) A(w)e j ()
在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得到系统的频率 特性。
G(s) 1 1 RCs
G( j) 1 1 1 RCj 1 Tj
频率特性与传递函数具有十分相的形式 G( j) G(s) s j
=0.7sin(2t-45o)
二、频率特性表示法
频率特性可用解析式或图形来表示。
（一）解析表示 系统开环频率特性可用以下解析式表示 幅频-相频形式 ：
指数形式(极坐标) ：
三角函数形式：
实频-虚频形式： （二）系统频率特性常用的图解形式
1. 极坐标图—奈奎斯特图 （Nyqusit） —幅相特性曲线
i1
稳态响应Css(t) 瞬态响应（t 趋向于零）
a
G(s) A s2 2
(s
j) s j
G( j)
(s
A j)(s
(s
j)
j) s j
G( j) A
2j
a
G(s)
A s2 2
(s
j ) s j
G( j)
控制工程基础(第四章,控制系统的时域响应分析)

控制工程基础(第四章,控制系统的时域响应分析)


, b2
a1a 4 a0a5 a1
,
b3
a1a 6
a0a7 a1
,L
c1
b1a3 a1b2 b1
, c2
b1a5 a1b3 b1
,
c3
b1a7 a1b4 b1
,L
（1）若表中第一列的系数均为正值，则系统稳定； （2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数 等于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为 不稳定。
为系统的阻尼比;n为系统的无阻尼自然频率
根据阻尼比的大小分类，对应的极点分布情况
s1.2 n n 2 1
欠阻尼时，d n 1 2为阻尼振荡频率
特征根分布与响应形式之间的关系
1、二阶系统的单位阶跃响应
（1）欠阻尼 0 1 时 s1.2 n jn 1 2 n jd
令Rs 1/ s，则
一阶系统单位 斜坡响应
线性定常系统的性质：
（1）一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号的 时域响应的导数；
（2）一个输入信号积分的时域响应高于该输入信号的 时域响应的积分；
输入信号的选取。 由典型信号的响应曲线特征，可推知系统特征参数、 结构特征。
三、二阶系统的时域响应
Cs
n2
R s s2 2n s n2
s2 2knk s
2 nk
j 1
k 1
2
A0 q
Aj
r Bk
s j1 s p j k1
s knk Cknk s2 2knk s
1
2 nk
k
即：
C t
A0
q j1
Aje pjt
r
eknkt
k 1
Bk
第四章系统的时间响应分析 控制工程基础课件

第四章系统的时间响应分析 控制工程基础课件

Mp
第四章 系统的时间响应分析 最大超调量
控
td
制
工
程
基
调节时间
础
tr
tp
上升时间
ts
峰值时间
图4-3-1 单位阶跃响应曲线
t
page14
机电工程学院
第四章 系统的时间响应分析
１．延滞时间 t d ——单位阶跃响应曲线到达其稳
态值50%所需的时间。
２. 上升时间 t r ——单位阶跃响应曲线从其稳态值
标(Steady-State Specifications)两部分组成。
控 制
工程上，阶跃信号最容易实现，又反映了许多实
工 程
际信号的形式，且更抽象、更严格。故通常以阶跃响
基 础
应来衡量系统性能的优劣，并定义时域性能指标。系
统的单位阶跃响应曲线如图4-3-1所示：
page13
机电工程学院
延滞时间
c (t)
r (t)
控
制
At
工
程
基
础
0
t
图4-2-2 单位斜坡函数
如果系统的输入信号是随时间线性增长的函数， 则应选斜坡信号，以符合系统的实际工作情况。
page 9
机电工程学院
第四章 系统的时间响应分析
３.等加速度信号（抛物线信号）
r(t)
1 2
At2
t 0
0
t 0
控 制
r (t)
工
程 基
A t2
础
2
0
t
图4-2-3 等加速度信号（抛物线信号）
机电工程学院
第四章 系统的时间响应分析
主要内容
第一节 时域响应概述
控制工程基础课后习题答案

控制工程基础课后习题答案

根据频率响应的特性，设计控制系统。
详细描述
通过调整系统的传递函数，可以改变系统的 频率响应特性。在设计控制系统时，我们需 要根据实际需求，调整传递函数，使得系统 的频率响应满足要求。例如，如果需要提高 系统的动态性能，可以减小传递函数在高频 段的增益。
06 第五章 控制系统的稳定性 分析
习题答案5-
习题答案
• 习题1答案：该题考查了控制系统的基本概念和组成。控制系统的基本组成包 括被控对象、传感器、控制器和执行器等部分。被控对象是实际需要控制的物 理系统或设备；传感器用于检测被控对象的输出状态，并将检测到的信号转换 为可处理的电信号；控制器根据输入的指令信号和传感器的输出信号，按照一 定的控制规律进行运算处理，并输出控制信号给执行器；执行器根据控制信号 对被控对象进行控制操作，使其达到预定的状态或性能要求。
控制工程基础课后习题答案
目 录
• 引言 • 第一章 控制系统概述 • 第二章 控制系统的数学模型 • 第三章 控制系统的时域分析 • 第四章 控制系统的频域分析 • 第五章 控制系统的稳定性分析 • 第六章 控制系统的校正与设计
01 引言
课程简介
01
控制工程基础是自动化和电气工 程学科中的一门重要课程，主要 涉及控制系统的基本原理、分析 和设计方法。
总结词
控制系统校正的概念
详细描述
控制系统校正是指在系统原有基础上，通过加入适当的 装置或元件，改变系统的传递函数或动态特性，以满足 性能指标的要求。常见的校正方法有串联校正、并联校 正和反馈校正等。校正装置通常安装在系统的某一环节 ，以减小对系统其他部分的影响。
习题答案6-
总结词
控制系统设计的一般步骤
习题答案5-
总结词

控制系统的时域分析


C(s)
n 2
1
(s＋n－n 2－1)(s＋n＋n 2－1) s
c(t) 1
n
e－p1t
e－p2t
(
)
2 2－1 p1
p2
其中 p1 s2 n n 2 1 p2 s1 n n 2 1
33
二阶系统在不同阻尼比情况下对单位阶跃信号的时间响应曲线
34
5 负阻尼(ξ<0)情况
s1、2 n n 2 1
二阶系统的特征方程为: s2＋2n s＋n2 0
特征根为：
s1,2 n n 2 1
根据阻尼比的不同取值，对特征根和阶跃响应分下面几种情况
（1）欠阻尼情况： (0 1) （2）零阻尼情况： ( =0) （3）临界阻尼情况： ( =1) （4）过阻尼情况： ( 1)
s1,2 n jn 1 2
1t
xo (t) t T Te T
输入信号微分 系统响应的微分 输入信号积分 系统响应的积分
23
4.3 二阶系统的时间响应
1. 系统的数学模型
二阶系统是用二阶微分方程描述的系统，如图所示的弹簧 －质量－阻尼系统，x(t)为输入作用力，y(t)输出位移。
微分方程为：
m d 2 y + B dy + ky= x
xo (t) 2
n
(e e ) ( 2 1)nt
( 2 1)nt
2 1
40
4 斜坡响应
Back
G(s)
s2
n2 2n s
n2
Xi (s)
1 s2
(t0)
欠阻尼：0< <1 无阻尼：=0 临界阻尼： =1
过阻尼： >1
稳态误差 ess=2ξ/ωn
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2、系统稳定的充要条件
系统稳定、不稳定时根的分布
3、系统稳定性的判断 （1）稳定判断的必要条件
令系统特征方程为：
a0 s n a1s n1 an1s an 0, a0＞ 0
如果方程所有的根均位于S平面的左方，则方程中多项系 数均为正值，且无零系数。
对于一阶和二阶系统，其特征方程式的多项系数全为正值 是系统稳定的充分和必要条件。对三阶及三阶以上系统， 特征方程的多项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件而 非充分条件。
s2 2knk s
2 nk
j 1
k 1
2
A0 q
Aj
r Bk
s j1 s p j k1
s knk Cknk s2 2knk s
1
2 nk
k
即：
C t
A0
q j1
Aje pjt
r
eknkt
k 1
Bk
cos
nk
1
2
t
k
r k 1
Ck
sin
nk
1
（2）系统瞬态分量的形式由极点的性质决定，调整时间的长 短主要取决于最靠近虚轴的闭环极点；闭环零点只影响瞬态分 量幅值的大小和符号的正负。
（3）如果传递函数中有一极点距坐标原点很近，设为A，而其 余极点与虚轴距离大于5A，称为远极点，则其产生的瞬态分量 可略去不计。 （4）如果有一对（或一个）极点距离虚轴最近，且其附近没有 零点，而其它极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以 上，则称此对极点为系统的主导极点。 （5）如果传递函数中有一个极点与一个零点十分靠近，称为偶 极子，则该极点所对应的瞬态分量幅值小，也可略去。 （6）如果所有极点均具有负实部，则所有的瞬态分量将随着时 间的增长面不断衰减，最后只有稳态分量。极点均位于S左半平 面系统，称为稳定系统。
系统稳定的充要条件为：
ai 0(i 0,1, 2, 3),且a1a2>a0a3
例 已知系统的特征方程为
s3 41.5s 2 517 s 1670 1 K 0
求系统稳定的K值范围
s3
1
517
0
s2
41.5 16701 K
s1 41.5 517 -16701 K
0
41.5
s0
16701 K
tp / d
（3）超调量Mp
M
p
c
t p c c
或M p％
c
t
p c c
100 ％
M p c t p 1 e 1 2 ，只与阻尼比有关！
可反求得：
1
2
ln M p
1
（4）调整时间ts 阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值的误差范围±Δ,并且从
此不再超越这个范围的时间称为系统的调整时间,用ts表示之， 其中Δ为5%或2%。
可用系统的单位脉冲响应函数 gt 来描述系统的稳定性。
对于系统的单位脉冲响应
m
Ks z1
C s G s q
i 1 r
s s p1
s2 2knk s
2 nk
j 1
k 1
2
q
Aj
rB
j1 s p1 k1
s knk Cknk s2 2knk s
1
2 nk
k
（2） 劳斯稳定判据 令系统特征方程为
a0 s n a1s n1 an1s an 0, a0＞ 0
排劳斯表： s n
a0
a2
a4
a6
s n1 a1
a3
a5
a7
s n2 b1
b2 b3
b4
s n3 c1
s2
d1
s1
e1
s0
f1
c2 c3
d2 d3 e2
b1
a1a2 a0a3 a1
2 1
A3 2
1
2 1
2 1
C t
1 A e A e 2 1 nt 2
2 1 nt
3
2、二阶振荡系统阶跃响应的性能指标
二阶系统瞬态响应的性能指标
（1）上升时间
当被控制量c(t)首次由零上升到其稳态值所需的时间，
称上升时间tr 。
ctr 1
1
1 2
e ntr
s6 1 8 20 16 0
s5 2 12 16 0
令Ps 2s 4 12s 2 16
s4 2 12 16 0 s3 0 0 0 s3 8 24 s2 6 16 s1 8 3 0 s0 16
dPs 8s3 24s
ds
s1,2 j 2, s3,4 j2, s5,6 1 j
例 用劳斯判据检验下列方程
C s
n2
s s2 2n s n2
1 s
s
s n
n 2
d
2
s
n
n 2
d 2
C t 1 ent cosdt
1 2
sin dt
t 0
=1
ent
1 2
sin dt
,
arccos
阻尼比和固有频率
当 0时,s1.2 jn
对响应的影响！
则，C t 1 cosdt
（2）临界阻尼 1
例 已知系统的特征方程为
s3 2s2 s 2 0 ，试判别相应系统的稳定性
解：列劳斯表 s3 1 1 0
s2 2 2 0
s1 0
s0 2
方程中有对虚根，系统不稳定。
例 已知系统的特征方程为
s3 3s 2 0
试用劳斯判据确定方程式的根在S平面上的具体分布 解：列劳斯表
s3 1 -3 0
单位脉冲响应： y (t)
n ent sin( 1 2
1 2nt)
为一衰减振荡信号，幅值衰减为指数形式。
4、二阶振荡系统的单位斜坡响应
C s
n 2
s2 s2 2n s n 2
c(t)
t
2 n
ent
n 1 2
sin(d t
),
2 arccos
稳态误差：
ess
2 n
四、高阶系统的响应
, b2
a1a 4 a0a5 a1
,
b3
a1a 6
a0a7 a1
,L
c1
b1a3 a1b2 b1
, c2
b1a5 a1b3 b1
,
c3
b1a7 a1b4 b1
,L
（1）若表中第一列的系数均为正值，则系统稳定； （2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数 等于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为 不稳定。
控制工程基础
——郭世伟
第四章 控制系统的时域响应分析
一、控制系统的时域响应
R(s) G(s) C(s)
C（t）的求解方法 C(s) R(s) G(s)
典型测试信号；时间幂函数信号，谐波信号，指数信号等。 典型系统：一阶惯性系统、二阶振荡系统，以及一般高阶
系统； 系统时域响应函数的结构形式与特征；瞬态响应与稳态响
T
1
Ct 1 eT t
一阶系 统单位 斜坡响 应
调整时间：ts 3T (5%误差带) ts 4T (2%误差带) 稳态误差：ess e() 0
一阶系统单 位阶跃响应
3、单位斜坡响应
令R
s
1/
s2时, C
s
s2
1
1
Ts
1 s2
T s
T2 1 Ts
Ct
t
T
1
e
1 T
t
e(t) T (1 et /T )
例 一调速系统的特征方程为
s3 41.5s 2 2.3104 0
s3 1 517
0
s 2 41.5 2.3104
s1 - 38.5
s0 2.3 104
表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有 二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。
对于三阶系统，特征方程为：
a3s3 a2s2 a1s a0 0
欲使系统稳定则应满足
41.5 517 -16701 K＞ 0
16701 K＞ 0
1＜K＜11.9
排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况：
1）劳斯表中某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项 不全为零。解决的办法是以一个很小正数ε来代替为零的这 项。然后完成劳斯表的排列。
如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表 示方程中有一对其它虚根存在；如果第一列系数中有符号变 化，其变化的次数等于该方程在S平面右方根的数目。
一阶系统单位 斜坡响应
线性定常系统的性质：
（1）一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号的 时域响应的导数；
（2）一个输入信号积分的时域响应高于该输入信号的 时域响应的积分；
输入信号的选取。 由典型信号的响应曲线特征，可推知系统特征参数、 结构特征。
三、二阶系统的时域响应
Cs
n2
R s s2 2n s n2
为系统的阻尼比;n为系统的无阻尼自然频率
根据阻尼比的大小分类，对应的极点分布情况
s1.2 n n 2 1
欠阻尼时，d n 1 2为阻尼振荡频率
特征根分布与响应形式之间的关系
1、二阶系统的单位阶跃响应
（1）欠阻尼 0 1 时 s1.2 n jn 1 2 n jd
令Rs 1/ s，则
2s3 10s2 13s 4 0
是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂直线S=-1的右方
解： 列劳斯表 又令s z 1代入方程
q
r
gt
Ajepjt
B eknkkt k
cosnk
1