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第三章-量子力学中的力学量(下)

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量子力学课后习题答案

量子力学课后习题答案

量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

第三章-表示力学量算符-习题答案

第三章-表示力学量算符-习题答案

第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。

3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。

[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。

第3章 量子力学中的力学量

第3章 量子力学中的力学量

第3章 量子力学中的力学量§1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如：动量算符ˆpi =-∇ ， 单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如：算符x , ˆx p i x∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xp x i x ψψ∂=-∂ i x xψ∂=-∂(2) ˆ()x p x i x x ψψ∂=-∂ i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

第三章 量子力学中的力学量

第三章 量子力学中的力学量
* *
λ ∫ψ ψ d τ = λ ∫ψ ψ d τ
λ = λ（实数）
*
6.力学量算性质 6.力学量算性质 力学量算符为线性的厄米算符。 力学量算符为线性的厄米算符。 1.证明动量算符的一个分量 ˆ 例1.证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符。
∂ ˆ 证明: ϕdx 证明: ∫ ψ pxϕdx = −ih∫ ψ −∞ −∞ ∂x * ∞ ∂ψ ∞ * ∞ ˆ = −ihψ ϕ + ih∫ ϕdx = ∫ ( pxψ )*ϕdx −∞ −∞ ∂x −∞
第 三 章 量子力学中的力学量
The Dynamical variable in Quantum Mechanism
引 言
只有粒子性
状态： 状态：
用坐标和动量来描述。 用坐标和动量来描述。
经典粒子 力学量： 力学量： 在任何状态下都有确 定值。 定值。
波粒二象性
状态： 状态：
用波函数来描述。 用波函数来描述。
v v v ψ (r ) P (r )dτ = A2 ∫ e ψ ∫
* v P′
i v v v ( P − P′)⋅r h
dτ
A = ( 2π h )
−3 / 2
归一化本征函数为： 归一化本征函数为：
v v (r ) = ψP 1 e 3/ 2 (2π h)
i vv P⋅ r h i ( px x + p y y + pz z ) 1 h = e 3/ 2 (2π h)
这正是自由粒子德布罗意波的空 间部分波函数， 间部分波函数，对应的本征值 v 取连续值。 P 取连续值。
的立方体内运动， ⅱ)若粒子处在边长为 L 的立方体内运动，则用所谓 箱归一化方法确定常数 A 。 的立方体内时， 当粒子被限制在边长为 L 的立方体内时，本征函数 v v (r ) 满足周期性边界条件。 ψP 满足周期性边界条件。

3第三章量子力学中的力学量

3第三章量子力学中的力学量

ˆ2Y 2Y L
1 1 2 2 (sin ) 2 Y ( , ) 2Y ( , ) (18) 2 sin sin 1 1 2 或 (sin ) 2 Y ( , ) Y ( , ) (19) 2 sin sin
ˆ <2> 坐标算符： r r (4)
2 2 ˆ <3> 哈密顿算符： H U (r ) (5) 2 p2 ˆ 经典的哈密顿函数：H T V U (r ) ，将 p p i 2 2 ˆ ˆ p 2 2 代入 H 中得：



分部积分
i |

i dx x


ˆ ˆ ( px ) dx, px i x
§3.2 动量算符和角动量算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
i p (r ) p p (r ) (1)
2 2 ˆ H U (r ) 2
<4> 量子力学中力学量用算符表示的规则： 如果量子力学中的力学量 F 在经典力学中有相 ˆ ( r , p ) 中将 p 换 ˆ 应的力学量，则算符 F 由经典表示式F ˆ 为算符 p 而得出： ˆ F (r , p) F (r , i) ˆ ˆ ˆ ˆ F (6)
du 如xu v，表示x与u相乘得函数v。又如 v， dx ˆ d ， 2u v, 算符F 2，等等。 ˆ 则F dx ˆ 设波函数１经算符F 作用后变为２ ，则粒子状态 由１态变为２态。
２、算符的本征值方程
ˆ 如果一个算符F 作用于一个函数 ，结果等于 乘 上一个常数， ˆ F （2）

第三章量子力学中的力学量

第三章量子力学中的力学量

v v v 电子相对于核的坐标： r = r − r 1 2
x = x1 − x2 , y = y1 − y2 , z = z1 − z 2
球坐标：
x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ
z = r cosθ ˆ = ih (sin ϕ ∂ + ctgθ cos ϕ ∂ ), Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih (cos ϕ ∂ − ctgθ sin ϕ ∂ ), Ly ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih ∂ ; Lz ∂ϕ
用分离变量法求解：
设ψ (r , θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ ) zes2 2µ λ 2 ∇ r R(r ) + [ 2 ( E + ) − 2 ]R ( r ) = 0 h r r L2Y (θ , ϕ ) = λh 2Y (θ , ϕ )
（1） （2）
λ = l (l + 1)
两算符相乘其次序不能随便调换。 线性算符（态叠加原理 态叠加原理） 态叠加原理
ˆ ˆ ˆ 定义：若 F (C1Ψ1 + C2 Ψ2 ) = C1 FΨ1 + C2 FΨ2
ˆ 则 F 是线性的。 Ψ1 , Ψ2 是任意函数，C1、C2是常数
∂ x, 是线性的， ∂x
若
是非线性的。
厄米算符：ψ ( x), φ ( x) 是任意函数。
n, l,
l = 0,1,2, L n − 1 m = 0,±1,±2, L ± l (2l + 1) = n 2 ∑
l =0 n −1
§3.4
氢原子
∂ h2 2 h2 2 v v v v ih Ψ (r1 , r2 , t ) = [− ∇1 − ∇ 2 + U ]Ψ (r1 , r2 , t ) ∂t 2 µ1 2µ2 电子 ( x1 , y1 , z1 , µ1 ) 核 ( x2 , y 2 , z 2 , µ 2 )

第三章 量子力学中的力学量

第三章量子力学中的力学量[教学目的]：力学量算符的性质，力学量算符的本征值与本征函数，力学量算符本征函数的性质，常见算符的本征函数，算符的对易关系，氢原子的能级与波函数，算符随时间的变化。

由于微观粒子的波粒二象性，微观粒子的力学量与经典力学中的力学量不同，经典力学中的力学量有确定的值，而微观粒子的力学量不一定有确定的值，表示微观粒子的力学量也不同于经典力学，量子力学中的力学量需用算符表示。

第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。

用表示一算符。

二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：,,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。

二单位算符保持波函数不改变的算符三算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。

四算符之积定义: 算符与的积为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。

五逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。

，六算符的复共轭，转置，厄密共轭1．两个任意波函数与的标积2．复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节力学量算符的本征值与本征函数一厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。

3量子力学中的力学量


（1）算符相等 如果算符 Fˆ 和 Gˆ分别作用于任意函数 u，且 Fˆu = Gˆu，
则称算符 Fˆ 和算符 Gˆ 相等，记为 Fˆ = Gˆ 。
（2）单位算符 Iˆ
算符 Iˆ 作用到任意函数 u上，u不变，即有 Iˆu = u
（3）算符之和 如果两个算符 Fˆ和 Gˆ作用于任意函数 u，
有：( Fˆ+ Gˆ)u = Fˆu+ Gˆu = Êu 则 Fˆ + Gˆ = Ê 称为算符之和。
|a|
f (x) (x x0 ) f (x0 ) (x x0 )
3. 函数可写成 Fourier 积分形式



x eik (x)dx 1

(x) 1 1 eikxdk 1 eikxdk 函数
2
2
的积分
表示式
例如:
Hˆ Tˆ Uˆ
表明：哈密顿算符 Hˆ 等于体系的动能算符
Tˆ 和势能算符Uˆ 之和。
显然，算符之和满足交换律和结合律。
交换律 Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ 结合律 (Fˆ Gˆ ) Mˆ Fˆ (Gˆ Mˆ )
注意：算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + (-Û)
采用分离变量法，令：


p
(r
)


(
x
)
(
y)
(
z
)
代入动量本征 方程且等式两 边除以上式， 可得：
i d ( x ) ( x ) dx
i d ( y ) ( y) dy

px py
i d ( z ) ( z ) dz

第三章 量子力学中的力学量


1 2πh
eipx/ h
hk E= ≥0 2m
ˆ H p H Lz与 ˆ，ˆ与 ˆ
2 2
k可 续 值 故 是 续 。 连 取 ， E 连 的
能 二 简 。 级 度 并
为啥具有相同的本征态？
（5）坐标算符的本征值和本征函数 ）
ˆ xϕ x′ ( x) = x′ϕ x′ ( x) x′取一切实数 ϕ x′ ( x) = δ ( x − x′)
,
n = 1,2,3L l = 0,1, L n - 1 m = 0,±1 L ± l ，
二、量子力学的基本原理四
在 意 ψ中 ψ = ∑anϕn 任 态 ，
n
测量力学量A，可得到各种可能取值，可能取 值必为某一本征值。
ˆ在 征 谱 取 的 率 | a |2 。 A 本 值 中 A 几 为 n n
2 2 ˆ2 ˆ = Lz = − h ∂ H 2I 2I ∂ϕ2
z
h2 ∂2 − ψ = Eψ 2 2I ∂ϕ
1 imϕ ψm(ϕ) = e 2π m2h2 Em = ≥0 2I
m = 0 ±1 ± 2 L ，， ，
要求： 要求：会求解
(3)求 量 分 px的 征 。 动 x 量ˆ 本 态
∂ −ih ψ = px'ψ ∂x
ˆz = x py − y px = −ih(x ∂ − y ∂ ) ˆ ˆ L ∂y ∂x
1 ∂ ∂2 ∂ 1 ˆ2 L = − h2 sin θ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ
从而有
ˆ = ihsin ϕ ∂ +cotθ cosϕ ∂ Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ihcosϕ ∂ −cotθ sin ϕ ∂ Ly ∂θ ∂ϕ ˆz = −ih ∂ L ∂ϕ

第三章：量子力学中的力学量_6讲

A的平均值是实数 ˆ ψ）＝（A ˆ ψ，ψ） A A* （ψ，A
令： 1 2
ˆ ( ))＝（A ˆ ( )， ((1 2 )，A (1 2 )） 1 2 1 2 ˆ ψ )+(ψ ，A ˆ ψ )＝（A ˆ ψ ，ψ ）（ ˆ ψ ，ψ ） (ψ1，A + A 2 2 1 1 2 2 1
ˆ ˆ ˆ ( r )A ( r ) dr A ( ,A ) A * ( , ) ( r ) ( r ) dr
算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑
因此，先定义出各种力学量算符是必要的
二、由经典物理引进量子力学量算符
五、线性算符的运算 1. 算符的和： 算符的和运算满足交换律和结合律
ˆ ˆ ˆ ˆ A+B=B+A
ˆ ˆ ˆ A+(B+C) ˆ ˆ ˆ (A+B)+C
2. 算符的积 算符的积不一定满足交换律
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
3. 算符的对易式, 定义：
ˆ ˆ ˆ ˆ ，称两算符对易，否则称不对易 如果： [A,B]=[B,A]
px



px | c( px ) |2 dpx c ( px ) px c( px )dpx
i px x 1 ( x)e dx px c( px )dpx 2
i px x 1 ( x )e px c( px )dxdpx 2 i px x 1 d ( x)(i )e c( px )dxdpx dx 2
ˆ A
厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数， ˆ 的本征值， 为属于 的本征函数，此方程称 则称 是 A ˆ 的本征值方程。全部本征值 { }是且仅是相应力学 为算符 A 量A的所有可能取值（或测量值）.
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2 2 2 2 2 2 2 2 A h k A h k A 4h k A 4h k A 0× + × + × + × − + × − 2 2µ 4 2µ 4 2µ 4 2µ 4 5h2k2 平均动能 = = 2 2 2 2 2 8µ (2× A/ 4) + ( A/ 4) + ( A/ 4) + (− A/ 4) + (− A/ 4)
1= ∫ψ ψdV = ∑∑c c ∫ψ ψ dV =∑∑c c δ =∑cn
* * n m * n m * n m nm n m n m n
2
第5(6)节 算符与力学量的关系 5(6
ˆ 量子力学基本假定：力学量 对应厄米算符 对应厄米算符, 量子力学基本假定：力学量F对应厄米算符 算符F的本征函数构成 描述时， 完全系。当系统由归一化 归一化波函数 完全系。当系统由归一化波函数 ψ = ∑ cnψ n 描述时，测量力学
角动量算符本征函数
* Y lm (θ , ϕ )Y l ' m ' (θ , ϕ )d Ω ≡ ∫ 2π
波函数 ψ
r p
r (r ) =
1 e ( 2πh )3 / 2
r r ip⋅ r h
波函数 Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl|m| (cosθ )e imϕ
* d ϕ ∫ sin θ d θ Y lm (θ , ϕ )Y l 'm ' (θ , ϕ ) = δ ll 'δ mm ' ∫ 0 0
的结果必定是对应算符的本征值， 量F的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值 f n 的几率 的结果必定是对应算符的本征值 是 cn 2。 ˆ 如果测量F的结果为 如果测量 的结果为 fn， 波函数塌缩为ψ = ∑cnψn →ψn (Fψ n = f nψ n ) 。
展开系数
n
cn 称为几率幅。 称为几率幅。
n
∫
平均值公式
2 ˆ ˆ F = ∑ f n cn = ∫ ψ * Fψ dV n
ˆ = f c 2 df = ψ * Fψ dV F ∫ f ∫ ˆ
ˆ ψ * F ψ dV ∫
未归一化波函数 平均值公式
ˆ F ≡
ˆ F
=
∑
n
fn cn cn
2 n
2
∑
=
ψ *ψ dV ∫
定理) 例题 (定理 任何状态下，厄密算符的平均值都是实数。 定理 任何状态下，厄密算符的平均值都是实数。 任何状态下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。 例题 任何状态下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。 氢原子处于基态，求电子动量的几率分布。 例题 氢原子处于基态，求电子动量的几率分布。 rr 1/ 2 −3/ 2 − ip⋅r / h r * r − r / a0 3 − r 氢原子基态 ψ 100 ( r ) = ( π a0 ) e , 动量的本征态 ψ p ( r ) = ( 2π h ) e r r r r r r r r r ψ 100 (r ) = ∫ c pψ p (r )dp ⇔ c p = ∫ ψ * (r )ψ 100 (r )dV p
∞ 2 2 ∞ 2 − 2λx 2
∫
∞
0
x2n e−ax d x =
2
(2n −1)!! π 2n+1 a2n+1
∫
∞
0x n e − axFra bibliotekdx =n! a n +1
2! 2 1 =A ⇒ 可取A = 2λ3 / 2 1) 1 = ∫ ψ dx = A ∫ x e dx = A (2λ)3 4λ3 0 −∞ 2 2 E + λ2 − 2λ / x, x > 0 h d h2 ψ ′′ ⇒V = 2) x > 0, − ψ + Vψ = Eψ ⇒ V = E + 2 2µ dx 2µ ψ ∞, x < 0
c =
r p
几率密度
( 2 h a0 0 (2ha0 )3 h 2 | c r |2 =
π
p
2 3/ 2
2π
∫ r dr ∫ e )
2 −1
∞
1
− r / a0 − iprξ / h
dξ =
2 π ( a0 p 2 + h 2 )
( 2 ha 0 )
3/ 2
h
2
,
ξ = cos θ
2 π 2 (a0 p 2 + h 2 )
一维无限深势阱
∞
波函数
a * m
−∞
∫ψ
* m
ψ n dx = ∫ ψ ψ n dx = δ mn
0
动量算符本征函数
2 nπ x sin ψ n ( x) = a a , 0 < x < a 0, 其它地方
r r r r r (r ) r (r ) = δ ( p'− p ) ∫ dVψ * p' ψ p
按(2) ：
2
2
2
2
2
A A A A A 0hk × + hk × + (−hk)× + 2hk × − + (−2hk)× − 2 4 4 4 4 =0 平均动量 = (2× A/ 4)2 + ( A/ 4)2 + ( A/ 4)2 + (− A/ 4)2 + (− A/ 4)2
第5(6)节 算符与力学量的关系 5(6
求此时粒子的平均动量和平均动能
2 题设 时 例题 (p101 3.6题)设t=0时，粒子处于状态 ψ ( x) = A sin kx + coskx,

1 2

sin2 kx = (1 − cos2kx) / 2, cosθ = e iθ + e − iθ / 2
k
f1 ≠ f 2 ⇒ ∫ ψ *φdV = 0
定理2：若厄米算符某个本征值存在 个不同 线性无关)本征函数 个不同(线性无关 本征函数， 定理 ：若厄米算符某个本征值存在k个不同 线性无关 本征函数，则必可从 它们的线性组合中选择k个彼此正交的 本征）函数。 个彼此正交的（ 它们的线性组合中选择 个彼此正交的（本征）函数。
π
∞
一维线性谐振子 氢原子
−∞
∫ψ
* m
ψ n dx = δ mn
波函数 ψ n ( x ) = N n H n (ξ )e
r
−ξ 2 / 2
∫ψ
* n 'l 'm '
ψ nml dV = δ nn'δ ll 'δ mm '
波函数 ψ nlm (r ) = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
第5(6)节 算符与力学量的关系 5(6
{
ˆ ψ n | Fψ n = fnψ n ,
n
* ψ nψ mdV = δ nm ∫
}
满足∀ψ , ψ = ∑ cnψ n , 则称该函数集构成完全系或完备集， 则称该函数集构成完全系 完备集， 完全系或
* 称为几率幅 几率幅。 展开系数 cn = ∫ ψ nψ dV 称为几率幅。
注意展开系数满足
3
4
3
r 几率分布 | c p | d p = 2
( 2 h a0 )
h2
2
π
2
电子动量在 p → p + dp 范围的几率 5 32 h p 2 dp ω ( p )dp = 4 π a0 h 2 π 2 + p2 a0
(a
2 0
p +h
2
)
4
p 2 sin θ dpdθ dϕ
∞ ∞ *
x
c p x dp x = 0 实际上，平均动量一看就知道为零。 实际上，平均动量一看就知道为零。 ˆ = ∫ ψ ( x ) p xψ ( x )dx = − ih ∫ ψ * ( x )ψ ′( x )dx = 0
−∞ −∞
积分是实数！ 积分是实数！
第5(6)节 算符与力学量的关系 5(6
ˆ F φ j = f φ j , j = 1, 2,L , k ,
k
∑c φ
j =1 j
j
= 0 ⇒ all c j = 0
k ˆ φ = f φ , ψ = c φ ⇒ Fψ = f ψ ⇒ V = c φ , FV ⊆ V ˆ ˆ F j ∑ ij j ∑ j j j i i i j =1 j =1
ˆ ˆ F φ = f 2φ ⇒ ∫ ψ * F φ dV = f 2 ∫ ψ *φ dV 定理：厄米算符的本征值是实数 定理： ˆ ˆ ˆ F是厄米算符 ⇒ ∫ ψ * Fφ dV = ∫ ( Fψ )* φdV = f1* ∫ ψ *φ dV = f1 ∫ ψ *φ dV
⇒ ( f 2 − f1 )∫ ψ *φ dV = 0,
2 2
− ih
d imkx e = mhkeimkx dx
∑f
n n
n
cn
2 n
2
∑c
2 2 2 2 h2k 2 2 2 2 h k 2 h k ( A / 2) × 0 ⋅ + ( A / 2) × 1 ⋅ + (− A / 2) × 2 ⋅ 5h2k 2 2µ 2µ 2µ 按(1) ：平均动能 = = 2 2 2 6µ ( A / 2) + ( A / 2) + (− A / 2)
2
2
2
2
2
第5(6)节 算符与力学量的关系 5(6
1) 归一化常数 归一化常数A=?