量子力学中的守恒量

量子力学中的对称性与守恒定律量子力学是现代物理学的一大支柱，它描述了微观世界的行为规律。

在量子力学中，对称性与守恒定律是两个非常重要的概念。

本文将深入探讨量子力学中的对称性与守恒定律，并分析它们在物理学中的应用。

首先，让我们来了解一下对称性在量子力学中的意义。

对称性是指某个系统在某种变换下保持不变的性质。

在量子力学中，对称性扮演着非常重要的角色，它不仅能够帮助我们理解物理现象，还能够简化问题的求解过程。

量子力学中常见的对称性包括平移对称性、旋转对称性和时间平移对称性等。

平移对称性是指系统在空间中的平移下保持不变。

在量子力学中，平移对称性导致了动量的守恒定律。

根据量子力学的基本原理，一个粒子的动量是与其波函数的相位相关的。

如果系统具有平移对称性，那么它的波函数在空间平移下不发生变化，从而导致动量守恒。

这一定律在许多物理现象中都得到了验证，如粒子在势场中的运动以及粒子的碰撞等。

旋转对称性是指系统在空间中的旋转下保持不变。

在量子力学中，旋转对称性导致了角动量的守恒定律。

角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与系统的对称性密切相关。

如果系统具有旋转对称性，那么它的波函数在空间旋转下不发生变化，从而导致角动量守恒。

这一定律在原子物理学中得到了广泛应用，如电子在原子轨道中的运动以及原子核的自旋等。

时间平移对称性是指系统在时间平移下保持不变。

在量子力学中，时间平移对称性导致了能量的守恒定律。

能量是系统的重要属性，它与系统的稳定性和演化规律密切相关。

如果系统具有时间平移对称性，那么它的波函数在时间平移下不发生变化，从而导致能量守恒。

这一定律在许多物理过程中得到了验证，如粒子的衰变过程以及能量传递等。

除了上述常见的对称性与守恒定律外，量子力学中还存在一些特殊的对称性与守恒定律。

例如，粒子统计对称性与粒子数守恒定律是量子力学中的重要概念之一。

根据粒子的统计性质，量子力学将粒子分为玻色子和费米子两类。

玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计，而费米子遵循费米-狄拉克统计。

《量子力学》练习题一一、基本概念及简答1. 简述2|(,)|x t ψ的物理意义及其实验基础。

2．简述迭加原理。

若nnnc ψψ=∑，^nnnf Fψψ=，n c 的物理意义是什么？3．三维空间中运动的粒子,其波函数的方位角(ϕ)部分 ()ϕΦ=ϕ3cos ,求zL ˆ的平均值。

4．设^^F F +=，^^G G+=A.若^^[]0,F G =，是否^F 的本征态一定是^G 的本征态，举例说明。

B.若^^[]0,F G ≠，^^,G F 是否就一定无共同本征态，举例。

C.若^^[],iC F G =，C 是常数，^^,G F 是否能有共同本征态，证明你的结论。

5、判定^x p x及^x p i 是否厄迷算符。

6、^^^[,]0G C F =≠，^^F F+=，^^G G+=，试问^F ，^G 是否必然没有共同本征态，举例说明7、已知 ，ˆˆ,B C 为厄米算符，ˆˆˆAiBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 8、能否把,,x y z σσσ看作自旋角动量算符的矩阵表示？9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？ 10、对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？11. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。

12. 如果ˆˆAA +=，ˆˆBB +=且ˆˆˆˆ,C i A B C +⎡⎤==⎣⎦，ˆˆ,,Aa a a Bb b b == a b 和都是束缚态，则ˆˆ0.a Ca b C b == 13．什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征是什么？14．已知ˆˆ[,]1αβ=，求证 1ˆˆˆˆˆn n n n αββαβ--= 15．已知 ，ˆˆ,B C 为厄米算符，则ˆˆˆAiBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 16．若一个算符与角动量算符J ˆ的两个分量对易，则其必与J ˆ 的另一个分量对易；17.设 22,0,1,0,2x V m x x ω∞≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当当 且已知以一维线性谐振子的能量本征值n E ，本征函数()n x ψ，及()n x ψ的宇称为()1n-。

折合质量柯尼希定理（也称为折合质量守恒定律）是原子物理学中的一个基本原理，它指出在量子力学中，一个封闭系统的总折合质量（即所有粒子质量的代数和）是一个守恒量。

这意味着在粒子间的相互作用过程中，折合质量不会发生变化，因此可以用来验证理论的正确性和预测实验结果。

折合质量的概念是指粒子所具有的质量与其运动状态无关，只与其静止质量有关。

在相对论中，静止质量是一个粒子的固有属性，而折合质量则表示粒子在运动时的惯性质量。

折合质量守恒定律表明，在一个封闭系统中，粒子的静止质量和折合质量之间的关系是守恒的。

这个原理在许多物理过程中都得到了验证，包括粒子加速器中的粒子碰撞、原子核的衰变和核聚变等。

通过实验测量和理论计算，科学家们可以验证这个原理的正确性，并进一步探索物质的本质和基本相互作用。

总之，折合质量柯尼希定理是原子物理学中的一个基本原理，它表明在一个封闭系统中，折合质量是一个守恒量。

这个原理对于验证理论正确性和探索物质本质具有重要意义。

第五章 对称性对称性是一个体系最重要的性质。

前面求解一维Schroedinger 方程时，我们看到，利用体系相互作用的左右对称性，导致态有确定的宇称，可以大大简化方程的求解。

1.守恒量若力学量的平均值不随时间变化0d Fdt=， 则称力学量为守恒量。

F 由 ˆF F ψψ= 和Schrodinger 方程 ˆi H tψψ∂=∂ ， 有ˆˆˆˆ1ˆˆ,d FF F Fdt t t tF F H t i ψψψψψψ∂∂∂=++∂∂∂∂⎡⎤=+⎣⎦∂若不显含时间， ˆFt 1ˆˆ,d F F H dt i ⎡⎤=⎣⎦ 若与ˆFˆH 对易，则为守恒量。

ˆF 例如：a ）对于自由粒子体系，2ˆˆ2p H m =，动量不显含时间t ，且ˆp ˆˆ,p H ⎡⎤0=⎣⎦，有动量守恒； b ）对于一般体系，()2ˆˆ2p H V x m=+ˆˆ,0p H ⎡⎤，≠⎣⎦，动量不守恒； c ）对于中心场体系，()()22222ˆˆˆ222p L H V r r V m mr r r mr∂∂⎛⎞=+=−++⎜⎟∂∂⎝⎠2r ，轨道角动量算符2ˆL ，均不显含时间，且，有轨道角动量及其任意分量守恒； ˆi L t 2ˆˆˆˆ,,i L H L H ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎣⎦0=d ）若ˆH 不显含时间，，有能量守恒。

t ˆˆ,H H ⎡⎤=⎣⎦0故一个力学量是否为守恒量，由体系的性质，即ˆH的性质来决定。

守恒量的性质：a ）在任意态的平均值与时间无关（定义）；b ）在任意态的取值几率与时间无关 证明：，，ˆˆ,0F H ⎡⎤=⎣⎦ˆF ˆH 有共同完备本征矢n ， ˆn F n F n =，ˆnH n E n = 对于任一态 ()()n nt C t ψ=∑n ， ()()n C t n t ψ=，ˆF 取值为的几率为 n F 2()nC t 。

因为1ˆ()()()()()n n n nE E d C t n t n H t n t C t dt t i i i ψψψ∂====∂， 故 ()(0)n i E t n n C t C e−=，2()(0)n n C t C =2与时间无关。

量⼦⼒学复习题量⼦⼒学复习题(2013)⼀、填空题1. 在空间发现粒⼦的概率密度为_________；概率流密度为_______________。

2. 波尔的量⼦化条件为。

3. 坐标和动量的测不准关系是___________________________。

4. 德布罗意关系为。

5. 对氢原⼦，不考虑电⼦的⾃旋，能级的简并度为________________，考虑⾃旋但不考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合时，能级的简并度为________________，如再考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合，能级的简并度为__________________。

6. ⽤来解释光电效应的爱因斯坦公式为。

7.σ为泡利算符，2σ= ，2,z σσ??=?? ，,x y σσ?= 。

8. 波函数的统计解释为。

9. 隧道效应是指__________________________________。

10. 波函数的标准化条件为。

11. ()(,)nlm nl lm R r Y ψθ?=为氢原⼦波函数，,,n l m 的取值范围为。

12. 表⽰⼒学量的算符应满⾜的两个性质是。

13. 乌伦贝克和哥德斯密脱关于⾃旋的两个基本假设是 _____________________。

14. 厄⽶算符的本征函数具有，其本征值为，不同本征值对应的本征函数。

15.[],x x p = ，,y x L L ??=?? ，[],x L y = 。

16. 在z σ表象中，x σ的矩阵表⽰为，x σ的本征值为，对应的本征⽮为。

17. 若两⼒学量,A B 有共同本征函数完全集，则[],A B = 。

18. ⾃旋⾓动量与⾃旋磁矩的关系为。

19. 在定态的条件下，守恒的⼒学量是。

20. 原⼦电偶极跃迁的选择定则为。

21. 设体系处在|ψ?态，在该态下测量F 有确定值λ，则表⽰该⼒学量的算符?F与态⽮量|ψ?的关系为。

22. 轨道磁矩与轨道⾓动量的关系为，⾃旋磁矩与⾃旋⾓动量的关系为。

第一至四章 例题一、单项选择题1、普朗克在解决黑体辐射时提出了 【 】A 、能量子假设B 、光量子假设C 、定态假设D 、自旋假设2、若nn n a A ψψ=ˆ，则常数n a 称为算符A ˆ的 【 】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量3、证实电子具有波动性的实验是 【 】A 、 戴维孙——革末实验B 、 黑体辐射C 、 光电效应D 、 斯特恩—盖拉赫实验4、波函数应满足的标准条件是 【 】A 、 单值、正交、连续B 、 归一、正交、完全性C 、 连续、有限、完全性D 、 单值、连续、有限 5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et ir Et i rϕϕψ+-=, )exp()()exp()(22112t E i r t E i rϕϕψ+-=,)exp()()exp()(213Et ir Et i r-+-=ϕϕψ,)exp()()exp()(22114t E ir t E i r-+-=ϕϕψ其中定态波函数是 【 】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ46、在一维无限深势阱⎩⎨⎧≥∞<=a x ax x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为 【 】A. πμ22222 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ222216 n a. 7、量子力学中用来表示力学量的算符是 【 】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符8、]ˆ ,ˆ[x p x= 【 】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、29、守恒量是 【 】A 、处于定态中的力学量B 、处于本征态中的力学量C 、与体系哈密顿量对易的力学量D 、其几率分布不随时间变化的力学量10、某体系的能量只有两个值1E 和2E ，则该体系的能量算符在能量表象中的表示为【 】A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1221E E E E B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100E E C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0021E E D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211E E E E 11、)(r nlmψ为氢原子归一化的能量本征函数，则=''⎰τψψd m l n nlm 【 】A 、0B 、1C 、m m l l ''δδD 、m l lm ''δδ 二、填空题 1、19世纪末20世纪初，经典物理遇到的困难有（举三个例子） 。

量子力学期末考试题解答题[标签:标题]篇一：量子力学期末考试题解答题1. 你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。

(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。

首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。

2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率?0，当照射光频率0时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻?10?9s观测到光电子。

爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。

(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。

(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。

量子力学期末复习完美总结一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，2．德布罗意关系为：hE h p k γωλ====； 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。

这是量子力学的基本原理之一。

波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。

5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。

6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1± 。

7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。

8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。

即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。

9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。

10.i ；ˆxi L ；0。

11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。

12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。

自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。

14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。

15． 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。

16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。

量子力学中的量子力学力学量守恒练习题及解答量子力学中的量子力学力学量守恒练习题及解答量子力学作为现代物理学的重要分支，探讨了微观粒子的行为和性质。

其中，量子力学力学量守恒是研究的重要内容之一。

本文将为您提供一些量子力学中力学量守恒方面的练习题和相应的解答，帮助您加深对该领域的理解。

练习题一：考虑一个质量为m的自由粒子，其波函数表示为ψ(x,t)。

在不考虑外力作用的情况下，该自由粒子的波函数满足薛定谔方程iħ∂ψ(x,t)/∂t = -ħ²/(2m)∂²ψ(x,t)/∂x²。

请证明在这种情况下，动量算符p = -iħ∂/∂x是守恒量。

解答一：为了证明动量算符p是守恒量，我们需要证明其对时间的导数为零，即d⟨p⟩/dt = 0。

根据动量算符的定义，p = -iħ∂/∂x。

因此，我们需要计算其对时间的导数，即d⟨p⟩/dt。

首先，计算出算符 p 在波函数ψ(x,t) 上的期望值⟨p⟩，即⟨p⟩= ∫ψ*(x,t)·p·ψ(x,t) dx将动量算符 p 的定义代入上式，得到⟨p⟩ = -iħ∫ψ*(x,t)·(∂/∂x)·ψ(x,t) dx接下来，对上式右侧的积分进行分部积分。

令f(x) = ψ*(x,t)，g'(x) = (∂/∂x)·ψ(x,t)。

根据分部积分的公式，我们有∫f(x)·g'(x) dx = [f(x)·g(x)] - ∫f'(x)·g(x) dx将 f(x) 和 g'(x) 代入上式，得到∫ψ*(x,t)·(∂/∂x)·ψ(x,t) dx = [ψ*(x,t)·∂ψ(x,t)/∂x] -∫(∂/∂x)·[ψ*(x,t)·∂ψ(x,t)/∂x] dx将以上结果代入到⟨p⟩的表达式中，得到⟨p⟩ = -iħ·[ψ*(x,t)·∂ψ(x,t)/∂x] + iħ∫(∂/∂x)·[ψ*(x,t)·∂ψ(x,t)/∂x] dx我们可以观察到，上式右侧的两项是一个净的积分。