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量子力学中的量子力学力学运算符与本征态量子力学是物理学中的一个重要分支，用于描述微观领域中粒子的行为。
在量子力学中，运算符是极为关键的概念，它们用于描述物理量的测量与演化。
本文将介绍量子力学中的力学运算符以及与之相关的本征态。
一、力学运算符的定义与性质力学运算符是用于描述物理量的数学对象，它们作用于波函数上，从而得到对应物理量的值。
常见的力学运算符包括位置运算符、动量运算符和能量运算符等。
1. 位置运算符在一维情况下，位置运算符x的定义为：xψ(x)=x⋅ψ(x)其中x是位置算子，ψ(x)是波函数。
位置运算符的本征态即为位置本征态，记作|x⟩，满足：x⋅|x⟩=x⋅|x⟩2. 动量运算符动量运算符p的定义为：pψ(x)=−iℏ∂ψ(x)∂x其中p是动量算子，ψ(x)是波函数，ℏ是约化普朗克常数。
动量运算符的本征态即为动量本征态，记作|p⟩，满足：p⋅|p⟩=p⋅|p⟩3. 能量运算符能量运算符H的定义为：Ĥψ(x)=Eψ(x)其中H是能量算子，E是对应的能量本征值，ψ(x)是波函数。
能量运算符的本征态即为能量本征态，记作|E⟩，满足：Ĥ⋅|E⟩=E⋅|E⟩二、力学运算符与本征态的性质力学运算符与其对应的本征态有一些重要性质。
1. 完备性对于任意一个在相应希尔伯特空间中可归一化的波函数ψ(x)，可以表示为本征态的线性组合：ψ(x)=∫c(p)⋅|p⟩dp其中c(p)是系数函数，p是动量变量。
这表明本征态构成了一个完备的基组，可以用来展开任意波函数。
2. 正交性不同本征态之间是正交的，即：⟨p|q⟩=δ(p−q)⟨E′|E⟩=δ(E′−E)这意味着不同本征态表示的物理态之间是正交的。
3. 物理量的测量在量子力学中，物理量的测量结果为其对应本征值。
测量位置时，结果为本征态|x⟩对应的位置本征值x。
测量动量时，结果为本征态|p⟩对应的动量本征值p。
测量能量时，结果为本征态|E⟩对应的能量本征值E。
三、例子与应用量子力学中的力学运算符与本征态在各个物理学领域中都有广泛的应用。
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
关于量子力学中的算符1对微观粒子的力学量不能用经典的方法来描述，而引入了一种新的数学手段——力学量用算符来表示，这实际上是量子力学的基本假设之一。
2在物理学中，只有其平均值为实数的算符才能表示量子力学中的力学量。
厄米算符的平均值是实数，因此，表示力学量的算符必须是厄米算符。
3由于量子力学中的态满足迭加原理，所以表示力学量的算符还应当是线性的。
4线性厄米算符作用在波函数上，其物理意义为：在波函数所描述的状态下，对微观粒子的某个力学量F进行测量，在测量过程中可能会出现不同的结果，但对同一状态进行多次测量，力学量F的平均值将趋于一个确定的值A。
而每一次测量结果相对于平均值都有一个误差∆F-=FFˆ来表示力学量的偏差，故力学量均方偏差的平均值为在量子力学中，引入算符F∆ˆFF-=由力学量算符的厄米性，上式可写成5在对微观粒子的不同力学量同时进行测量时，一般是不可能使每个力学量都获得准确的值的，即使是从理论上也是如此。
这与所用实验仪器的精度或实验者的能力无关，而是微观粒子的二象性所带来的必然结果，这就是量子力学中的不确定关系。
不确定关系指出了用经典方法描述微观粒子所产生误差的极限，以精炼的数学形式反映了微观粒子的二象性，是量子力学中的一个十分重要的原理。
算符理论对此关系给出了严格的证明，并以其独特的表达方式给出了不同力学量和其算符间的联系：6 所谓“力学量用算符表示”这一量子力学假设，包含着如下物理意义：（1） 力学量的平均值与算符的关系为：r d r F r F )(ˆ)(*ψψ⎰=（2） 力学量的测量值与该力学量算符之间的关系：实验中测得的力学量的值，就是该力学量所对应算符的一系列本征值；（3） 力学量之间的关系也可以通过算符之间的关系反映出来：相互对易的算符，它们对应的力学量同时具有确定的测量值。
7 力学量在一般情况下不能同时确定，若系统处于某力学量的本征态中，这个力学量就有确定值。
对两个或多个力学量同时进行测量，只要系统同时处于每个力学量共同的本征态时，它们就同时具有确定值。
《量⼦⼒学》考试知识点《量⼦⼒学》考试知识点第⼀章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（⼀）、经典物理学困难的实例（⼆）、微观粒⼦波－粒⼆象性考核要求：（⼀）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量⼦、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒⼦的波－粒⼆象性、德布罗意波。
第⼆章：波函数和薛定谔⽅程考核知识点：（⼀）、波函数及波函数的统计解释（⼆）、含时薛定谔⽅程（三）、不含时薛定谔⽅程考核要求：（⼀）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的⾃然条件、⾃由粒⼦平⾯波2.领会：微观粒⼦状态的描述、Born⼏率解释、⼏率波、态叠加原理（⼆）、含时薛定谔⽅程1.领会：薛定谔⽅程的建⽴、⼏率流密度，粒⼦数守恒定理2.简明应⽤：量⼦⼒学的初值问题（三）、不含时薛定谔⽅程1. 领会：定态、定态性质2. 简明应⽤：定态薛定谔⽅程第三章：⼀维定态问题⼀、考核知识点：（⼀）、⼀维定态的⼀般性质（⼆）、实例⼆、考核要求：1.领会：⼀维定态问题的⼀般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应⽤：定态薛定谔⽅程的求解、第四章量⼦⼒学中的⼒学量⼀、考核知识点：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归⼀化”（四）、算符的共同本征函数（五）、⼒学量的平均值随时间的变化⼆、考核要求：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质1.识记：算符、⼒学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本⼒学量算符的对易关系（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征⽅程、本征值、本征函数、正交归⼀完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、⼒学量可取值及测量⼏率、⼏率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归⼀化”1.领会：连续谱的归⼀化、箱归⼀化、本征函数的封闭性关系（四）、⼒学量的平均值随时间的变化（⼀）、表象变换，⼳正变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量⼦态的不同描述⼆、考核要求：（⼀）、表象变换，⼳正变换1.领会：⼳正变换及其性质2.简明应⽤：表象变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应⽤：平均值、本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应⽤：利⽤算符矩阵表⽰求本征值和本征函数（三）、量⼦态的不同描述第六章：微扰理论⼀、考核知识点:（⼀）、定态微扰论（⼆）、变分法（三）、量⼦跃迁⼆、考核要求:（⼀）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应⽤：简并态能级的⼀级，⼆级修正及零级近似波函数4.综合应⽤：⾮简并定态能级的⼀级，⼆级修正、波函数的⼀级修正。
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第四章态和力学量的表象第三章中介绍了量子力学中的力学量用厄米算符表示，力学量的测量值为算符的本征值，力学量取唯一确定值的状态为算符的本征函数，力学量本征函数的集合具有正交性和完备性，微观粒子的任何态函数可以用力学量算符的本征函数进行展开，展开系数为在该状态中取值的概率幅。
前面所用的波函数ψ(x，t)本身可以看成微观状态用坐标算符的本征函数展开的概率幅，由此可以求出它用任意力学量(或者力学量完全集)的本征函数展开的概率幅。
反之，如果知道了概率幅，也可以还原出波函数。
从这个意义上说，粒子微观状态可以用任意力学量的概率幅来完全描述，波函数只是一个特例。
我们把概率幅称为状态在相应力学量中的表象，量子力学中常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
相应地，量子力学中的算符也可以有不同的表示形式，力学量算符的表象为厄米矩阵。
不同表象之间可以通过线性变换来相互联系，由于本征函数具有正交归一性，因此表象变换矩阵为幺正矩阵。
我们也可以脱离具体的表象来进行量子力学研究，这时状态用抽象的态矢量来表示，力学量用作用在态矢量空间上的抽象厄米算符来表示。
利用狄拉克方法，可以脱离具体表象来直接计算力学量的本征值和状态的演化规律，非常简洁。
本章的主要知识点有1．微观状态的表象(1)离散谱情况设力学量Q的本征方程为 (x)=qn un(x)，n∈Z，任意波函数ψ(x，t)取值qn 的概率幅为cn(t)=∫un*(x)ψ((x，t)dx，概率幅的全体可以用一个列向量ψ=(…，c(t)，c1(t)，c2(t)，…)T，简写为ψ=({cn(t)}) (4-1)来表示，称为状态ψ((x，t)在Q表象下的形式，简称状态ψ((x，t)的Q表象。
在离散谱的Q表象中，状态的归一化条件为(3)典型表象典型的离散表象有束缚态能量表象和角动量表象。
(3)混合谱情况有时候，力学量Q的本征值既有离散谱，又有连续谱。
这时Q表象下的波函数为归一化条件为力学量为具有分块矩阵形式．力学量对状态的作用为3．量子力学的抽象理论采用具体表象后，量子力学状态、力学量和物理公式都表现为矩阵的形式，历史上称之为矩阵力学。
一、填空题1．描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。
【答案】2．力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.3．（1）自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在 x和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067（2）上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050【答案】（1）B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为（2）A【解析】取x为原点，则有波函数为所求概率即4．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。
【答案】波粒二象性5．一维谐振子升、降算符、a的对易关系式为_____;粒子数算符N与、a的关系是;哈密顿量H 用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的归一化本征态为_____。
【答案】6．—粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。
【答案】二、选择题7．__________。
【答案】8．设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的取值为_____的可能值为_____的平均值为_____。
【答案】9．（1）_____；（2）_____。
【答案】10．下面关于厄米算符的定义式中.正确的为（）.【答案】A【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数.厄米算符定义式为11．量子谐振子的能量是（）.【答案】A【解析】由于谐振子的哈密顿算符为而本征值为n，于是谐振子能量为第 4 页，共 47 页12．设粒子处于态为归一化的球谐函数，则的平均值为（）。
量子力学中的量子力学力学量与对易关系量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，涉及到许多基本概念和量子力学力学量。
量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，如位置、动量、能量等。
而对易关系则是指在量子力学中，力学量的相互关系满足的一组重要规律。
本文将探讨量子力学力学量的基本概念以及它们之间的对易关系。
一、量子力学力学量的基本概念量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，它们是由算符表示的。
算符是量子力学中用来进行物理量测量的工具，它们对应于物理量的数学表达。
在量子力学中，位置、动量和能量是最基本的力学量。
1. 位置算符位置算符表示粒子在空间中的位置。
在一维情况下，位置算符通常用符号x表示，其算符表示为^x。
位置算符的本征态对应于一维空间中的位置本征态，即波函数的极值点。
2. 动量算符动量算符表示粒子的动量。
在一维情况下，动量算符通常用符号p表示，其算符表示为^p。
动量算符的本征态对应于一维空间中的动量本征态，即平面波。
3. 能量算符能量算符表示粒子的能量。
在量子力学中，能量算符通常用符号H表示，其算符表示为^H。
能量算符的本征态对应于粒子的能量本征态，即定态薛定谔方程的解。
二、量子力学力学量的对易关系在量子力学中，不同力学量之间的相互关系通过对易关系描述。
对易关系是量子力学中最基本的关系之一，它体现了量子力学的离散性、不确定性以及测量过程的干涉效应。
1. 位置与动量的对易关系量子力学中，位置算符与动量算符之间的对易关系是非常重要的。
根据海森堡不确定性原理，位置与动量不能同时被完全确定。
这一不确定性体现在它们的对易关系上，其对易关系可以表示为：^[x, p] = iħ其中^表示算符，[x, p]表示位置算符和动量算符的对易子，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数。
这个对易关系的存在意味着位置和动量的测量结果受到不确定性的限制。
2. 能量与时间的对易关系能量算符与时间算符之间的对易关系也是量子力学中的重要关系之一。
⎝ H r 一、力学量的算符表示力学量的算符表示是量子力学的又一基本假设：在量子力学中，系统的任何力学量均 对应一算符，力学量所能取的值是其相应算符的本征值。
例如（1）动量算符：（2）坐标算符：（3）动能算符：p r → p r ˆ = −i h ∇ r r → r r ˆ = r r（4）能量算符：E ˆk = p r ˆ ⋅ p r ˆ = 2m − h 2∇2 2mp r 2 E = 2m+U (r r ) ˆ = − h 2 ∇2 + (r ) U r（5）角动量算符： 2mr r r ˆ r r ˆ i j k L = r × p = x y z p ˆx p ˆy pˆz 一般来说，将一个算符作用在一个函数上，会将其变成另一个函数；而这里动量算符的作用结果仅仅相当于乘以一个常量。
算符作用结果相当于乘以一个常量的函数称为该算符的本征函数（eigen function ），该常量称为该算符的本征值（eigen value ）。
例如，将算符 ∂ i pxp ˆx = −i h ∂x作用于波函数ϕ(x )= e h ，则 ∂ ⎛ i px ⎞ i px p ˆx [ϕ(x )]= −i h ∂x ⎜⎜e h ⎟ = p ⋅e h ⎠= p ⋅ϕ(x )二、算符的对易性设ϕ(x )为任意波函数，将动量算符 p ˆx 作用于 x ⋅ϕ(x )，得到p ˆ [x ⋅ϕ(x )]= −i h ∂ [x ⋅ϕ(x )]= −i h ⎛1+ x ⋅ ∂ ⎞ϕ(x )= −i h ⋅ϕ(x )+ x ⋅ p ˆ ϕ(x ) x ∂x ⎜ ∂ ⎟ x⎝ x ⎠ (p ˆx x − x pˆx )ϕ(x )= −i h ⋅ϕ(x ) 位置变量 x 也可以看做是一个算符xˆ ，那么p ˆx x − x pˆx = −i h ≠ 0 可见，算符的“乘积”一般不满足交换律，或者说算符的顺序一般是不可对易的。
第四章：力学量用算符表示(2)证明以下诸式成立：(1)(证明)根据坐标分角动量对易式为了求证该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x分量。
以及看到由于轮换对称性，得到特征的公式。
(2)（证明）证法与（1）类似，但需先证分量与分量的对易律同理可证明其他轮换式，由此得普通式取待证的公式等号左方的x 分量，并用前一式加以变形：根据轮换对称性，证明待证式成立。
(3)注意 与x 没有共同坐标。
(4)注意没有共同坐标，因此可以对易即，故)()(2222z y x x z y l l p p l l A +-+=zz x x z z x x z z y y x x y y x x y y x x x x y x x y l l p p l l p p l l l l p p l l p p l l l p p l l p p l )()()()(2222-+-+-+-=-+-=z x z x z z y x y x y y l p l p l l l p l p l l ],[],[],[],[+++=}{z y y z y z z y l p p l l p p l hi ++--= )}(){(y z z y y z z y p l p l l p l p hi ---=})(){(x x p l l p hi*-*=(3) l为粒子角动量。
F 为另一力学量，证明： )(],[pF p r F r hi F l ∂∂*+∂∂*-=(6)证明是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。
另一方法是根据厄密算符的定义：用于积分最后一式： 前式=说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证(A 等是实数)是厄密算符（证明）此算符 F( ) 不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则运用这个关系于下面的计算：τϕτψτϕτψd P A d P F n nˆ)ˆ(∑•≡•⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰•∑=>ττϕψd PA n nn n ˆ0⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P PA n n )ˆ(ˆ1 ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P PA n n )ˆ()ˆ(1 ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P PP A n n )ˆ(ˆ)(2 τϕψd P P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆˆ(3-•∑= ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(32 τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(42-•∑= ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(42 ⎰⎰⎰•=ττϕψd PF ])ˆ([ )ˆ(PF 满足厄密算符的定义。
