量子力学中的力学量

量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。

四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。

五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。

第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。

2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。

量子力学中力学量的测量原理量子力学中力学量的测量引言•量子力学是一门研究微观世界的物理学理论，它描述了微观粒子的行为。

•在量子力学中，我们可以通过测量来了解粒子的性质和状态。

力学量•在经典力学中，力学量是描述物体运动状态的量，如速度、质量和位置等。

•在量子力学中，力学量也被称为可观察量，它们对应着物理量的算符。

物理量的算符•物理量的算符是量子力学中描述力学量的数学工具。

•量子力学中的物理量算符通常用大写字母表示，如位置算符为X，动量算符为P。

•利用物理量算符，我们可以对量子态进行测量，得到相应的物理量的数值结果。

测量的过程1.准备态：首先，我们需要准备一个量子态，描述了粒子的状态。

2.选择算符：根据我们想要测量的力学量，选择相应的算符。

3.作用算符：将选定的算符作用在量子态上，得到一组特定的本征态。

4.测量结果：进行实际测量，获取力学量的定量结果。

5.归一化：根据测量结果，归一化量子态，使其表示测量后的状态。

物理量的本征态和本征值•在量子力学中，力学量的本征态是力学量算符的本征方程的解。

•根据本征方程，每个力学量都有一系列对应的本征态，每个本征态对应着一个特定的本征值。

•本征值表示在测量时可能得到的物理量数值。

测量结果的统计性质•在量子力学中，测量结果通常是物理量的本征值，但测量结果是随机的。

•根据测量原理，我们只能预测测量结果出现的概率，无法预测具体的单次测量结果。

测量的不确定性原理•测量的不确定性原理是量子力学中一项重要的原理，它描述了力学量的不确定度之间的关系。

•根据该原理，对于某对不对易力学量（如位置和动量），不能同时精确地测量它们的值。

•不确定性原理对于解释某些现象（如波粒二象性）具有重要意义。

小结•在量子力学中，我们可以通过测量力学量来了解粒子的性质和状态。

•测量的过程涉及准备态、选择算符、作用算符、测量结果和归一化等步骤。

•测量结果是随机的，只能预测出现结果的概率。

•不确定性原理描述了力学量的不确定度之间的关系。

量子力学中的量子力学力学量的期望与方差量子力学是研究微观粒子行为的理论体系，它具有独特的物理规律和奇特的现象。

在量子力学中，描述粒子性质的力学量扮演着重要的角色。

而了解力学量的期望与方差对于理解粒子的行为和量子系统的描述起着至关重要的作用。

一、量子力学的基本概念了解量子力学中力学量的期望与方差之前，我们首先需要了解量子力学的基本概念和表述。

量子力学描述的对象是微观粒子，而不同于经典力学中粒子位置和动量的确定，量子力学中的粒子状态由波函数表示。

波函数是一个复数函数，它包含了粒子的全部信息。

在量子力学中，力学量用算符来表示，而这些算符对应着可观测的物理量，比如位置、动量、能量等。

如何计算力学量的期望值和方差，则是我们接下来要讨论的内容。

二、力学量的期望与方差力学量的期望值可以理解为对于同一量子态的多次测量结果的平均值。

在量子力学中，期望值可以通过力学量的算符（对应于力学量的数学表达式）作用于波函数得到。

对于某一力学量A，其期望值的计算公式为：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩其中，|ψ⟩表示量子态的波函数。

利用算符作用于波函数后，可以得到一个新的波函数，然后再将其与原波函数进行内积，得到力学量的期望值。

方差则是表示每次测量结果与其期望值之间的偏离程度。

在量子力学中，对于某一力学量A，其方差的计算公式为：σ²(A) = ⟨(A - ⟨A⟩)²⟩其中，A - ⟨A⟩表示每次测量结果与期望值的差值，然后再对这些差值进行平方，再取平均值。

三、力学量的期望与方差的物理意义力学量的期望值和方差与量子系统的本征态（能量的本征态、动量的本征态等）以及不确定性原理密切相关。

首先，期望值作为力学量的平均值，反映了粒子在某一给定状态下的一般性质。

比如，在一个粒子处于能量本征态时，其能量的期望值就等于能级的本征值，这相当于经典力学中的能量。

其次，方差则表示了粒子在某一给定状态下对力学量测量结果的分散程度。

方差越小，说明测量结果越准确，即粒子对于该力学量的测量结果越稳定。

量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。

在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。

本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。

一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。

然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。

力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。

对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。

这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。

这个方程称为力学量的本征值方程。

二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。

位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。

对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。

2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。

动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。

对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。

3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。

能量算符H描述粒子的能量状态。

能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。

能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。

三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。

当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。

力学量的本征值对应着可能的测量结果。

例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。

量子力学中的量子力学力学量的守恒定律量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论，它揭示了微观世界中的各种现象和规律。

在量子力学中，存在着一些重要的力学量，它们的守恒定律是研究量子世界中物质运动和相互作用的基础。

本文将就量子力学中的一些重要力学量及其守恒定律展开讨论。

一、动量守恒定律在经典力学中，动量是质量乘以速度，通过质点的质量和速度来描述物体的运动状态。

在量子力学中，动量也是一个十分重要的量子力学力学量。

动量算符的本征值代表了相应粒子的运动状态。

量子力学中的动量守恒定律指出，在一个孤立系统中，粒子在相互作用过程中的总动量保持不变。

这可以通过量子力学中的动量算符对应的守恒定律来描述。

二、能量守恒定律能量是描述物体状态的一个基本物理量，它在物质的变化过程中起着至关重要的作用。

在量子力学中，能量也是一个极为重要的力学量。

根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总能量保持不变，这意味着在相互作用过程中，能量可以从一种形式转化为另一种形式，但总能量守恒。

这一定律是量子力学中能量守恒的基础。

三、角动量守恒定律角动量是描述物体围绕某一轴心旋转的运动状态的物理量。

在量子力学中，角动量也是一个非常重要的力学量。

根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总角动量保持不变。

这意味着，在相互作用过程中，物体的角动量可以通过转移、转换等方式进行变化，但系统的总角动量保持不变，这是量子力学的一个重要特征。

四、自旋守恒定律自旋是描述微观粒子自身旋转性质的物理量。

在量子力学中，自旋也是一个重要的力学量。

根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总自旋保持不变。

这意味着，在相互作用过程中，粒子的自旋可以发生变化，但总自旋守恒。

自旋守恒定律在量子力学的各个领域中都有重要的应用，特别是在粒子物理学中更为明显。

五、电荷守恒定律电荷是描述物质中基本粒子带有电性的特征，是量子力学中的一个重要力学量。

根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总电荷保持不变。

第三章例题剖析1 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是ILH 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。

（1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动[解]：（1）ϕ∂∂-= i L zˆ 22222ˆˆϕ∂∂-= zL L2222222ˆ2ˆˆϕ∂∂-===I IL IL Hz能量的本征方程： )()(ˆϕψϕψE H =，or )()(2222ϕψϕψϕE I =∂∂- 引入 222IE =λ⇒=+0)()(222ϕψλϕψϕd dλϕϕψi Ae=)(由波函数的单值性 )()2(ϕψϕπψ=+λϕλϕπi i AeAe=+)2( ⇒ 12=πλi eππλn 22= ⇒ n =λ ,2,1,0±±=nIn E n 222 =∴，ϕψin Ae=其中 π21=A（2） IL H2ˆˆ2=，在球极坐标系中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1ˆϕθθθθθ L 体系的能量算符本征方程：),(),(ˆϕθψϕθψE H= ),(),(sin 1sin sin 122222ϕθψϕθψϕθθθθθE I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂- ),(),(sin 1sin sin 1222ϕθλψϕθψϕθθθθθ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂其中22IE =λ，以上方程在πθ≤≤0的区域内存在有限解的条件是λ必须取)1(+l l ，),2,1,0( =l ，即 )1(+=l l λ ,2,1,0=l于是方程的形式又可写成),()1(),(sin 1sin sin 1222ϕθψϕθψϕθθθθθ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂l l 此方程是球面方程，其解为),(),(ϕθϕθψlm Y =lm l ±±±==,,2,1,0,2,1,0由)1(+=l l λ及IE 2=λ，可解得体系的的能量本征值Il l E l 2)1(2+=,2,1,0=l2 氢原子处于 ()()()32121113,,,,,,44r r r ψθϕψθϕψθϕ=+状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （4）角动量的z 分量有无确定值？如果有，求其确定值。

什么是量子力学的量子力学力学量和态矢量？量子力学中的量子力学力学量和态矢量是描述量子体系的重要概念。

下面我将详细解释量子力学力学量和态矢量，并介绍它们的特性和相互关系。

1. 量子力学力学量:量子力学力学量是指描述量子体系物理性质的可观测量，例如位置、动量、角动量、能量等。

在量子力学中，每个力学量都对应一个线性厄米算符，称为观察算符。

观察算符是一个作用在波函数上的算符，用于计算量子体系在给定力学量上的测量结果。

观察算符的本征值问题是量子力学中的重要问题，它涉及到观察算符的本征值和本征态。

观察算符的本征值是对应于量子体系在给定力学量上的可能测量结果，而本征态是对应于观察算符的本征值的态。

量子力学力学量具有以下特性：-量子力学力学量的测量结果是离散的，而非连续的。

这是与经典物理的区别之一。

-量子力学力学量的测量结果是随机的，遵循概率分布。

这是与经典物理的另一个区别。

-量子力学力学量的测量会导致波函数的坍缩，即波函数从可能的态坍缩到与测量结果相对应的本征态上。

2. 态矢量:态矢量是量子力学中描述量子体系的数学工具，它是一个复数的矢量，通常用符号|ψ⟩表示。

态矢量包含了量子体系的所有信息，包括位置、动量、自旋等性质的概率分布。

它可以表示量子体系的可能态和相应的概率。

态矢量具有以下特性：-态矢量是在希尔伯特空间中的向量，它可以进行线性组合和叠加。

-态矢量的模长的平方给出了量子体系处于某个状态的概率。

即，对于态矢量|ψ⟩，|⟩ψ|ψ⟩|^2表示量子体系处于态矢量|ψ⟩的概率。

-态矢量的归一化条件要求其模长的平方等于1，即⟩ψ|ψ⟩=1。

态矢量与量子力学力学量之间的关系可以通过观察算符进行描述。

观察算符作用在态矢量上，可以得到观察算符对应的物理量的期望值和本征值的概率分布。

量子力学力学量和态矢量是量子力学中关键的概念，它们帮助我们描述和理解量子体系的物理性质和行为。

它们的研究和应用对于量子信息科学、量子计算和量子通信等领域具有重要意义。

量子力学中力学量的测量原理量子力学是研究微观世界的物理学理论，它描述了微观粒子的行为和性质。

而力学量则是用来描述微观粒子的运动状态和性质的物理量。

测量力学量是量子力学中的一个重要概念，它涉及到了测量原理。

在量子力学中，力学量的测量原理是指在对某个力学量进行测量时，所得到的结果是一个特定的数值，而不是一个连续的数值范围。

这是与经典物理学中不同的地方，因为在经典物理学中，力学量的测量结果是一个连续的数值范围。

量子力学中的力学量有很多，比如位置、动量、能量等。

测量一个力学量的过程包括两个步骤：选择合适的测量方法和测量结果的处理。

首先是选择合适的测量方法。

量子力学中的测量方法有很多种，比如位置的测量可以使用光子的散射进行，动量的测量可以使用康普顿散射进行。

不同的测量方法适用于不同的力学量，选择合适的测量方法可以保证测量结果的准确性和可靠性。

其次是测量结果的处理。

在量子力学中，测量结果是一个数值，但这个数值并不是确定的，而是具有一定的概率性。

这是由于量子力学中的不确定性原理所决定的。

不确定性原理指出，对于某个力学量的测量，无法同时确定其精确的数值和动量的精确数值。

因此，测量结果是一个概率分布，而不是一个确定的数值。

测量结果的处理可以使用概率密度函数来描述。

概率密度函数是描述概率分布的一种数学函数，通过它可以计算出测量结果落在某个数值区间内的概率。

在量子力学中，概率密度函数可以通过波函数的模的平方来计算得到。

波函数是描述量子系统状态的数学函数，它包含了关于测量结果的所有信息。

测量原理的重要性在于它揭示了量子力学中的一些基本规律和特性。

例如，测量原理说明了观测者对系统的测量会对系统的状态产生扰动，这是由于测量过程中的相互作用导致的。

另外，测量原理还说明了测量结果的不确定性，即无法同时确定一个力学量的精确数值和动量的精确数值。

总结起来，量子力学中的力学量的测量原理是指在对某个力学量进行测量时，所得到的结果是一个特定的数值，而不是一个连续的数值范围。

第三章 量子力学中的力学量§1.1 学习指导实验表明，微观粒子具有波粒二象性，在传播过程中出现干涉和衍射现象，显示出波动的特性；在相互作用过程中出现碰撞，能量和动量守恒，显示出粒子性。

量子力学理论中用波函数来描述微观粒子的状态，很好地解释了微观粒子波动性的一面，这在上一章中已经作了介绍。

本章主要介绍量子力学中力学量的描述，来处理其粒子性的一面。

在经典力学中，粒子的状态用广义坐标和广义动量来描述，力学量是广义坐标和动量的函数。

在量子力学中，粒子的状态用波函数来描述，坐标和动量成为作用在波函数上的算符。

按照对应原理，量子力学中的力学量应该是坐标算符和动量算符的函数，也是一个作用在波函数上的算符。

根据实验，微观粒子的波函数满足叠加原理，因此力学量算符必须是线性算符；力学量的测量结果为相应算符的本征值，它们都是实数，因此力学量算符必须是厄密算符。

用波函数来描述微观粒子的状态，用线性厄密算符(以下称厄密算符)来描述微观粒子的力学量，两者相互配合，形成了一个可以全面处理微观粒子波粒二象性特点的完整理论。

本章的主要知识点有 1．力学量算符 1）力学量的描述量子力学中的力学量Q 用厄密算符ˆQ 表示，位置算符ˆrr =v v 和动量算符ˆp i =-∇vh 是量子力学中最基本的力学量算符，而能量算符，即哈密顿算符122ˆ()mHp U r =+v是最重要的力学量算符。

厄密算符ˆQ是自共轭的，即ˆˆQ Q +=。

对于任意两个态函数,ψϕ，都有 ˆˆ()Q d Q d ψϕτψϕτ**=⎰⎰ （3-1）厄密算符ˆQ 的本征值nq 为实数，对应的本征函数()n r ϕv满足本征方程 ˆ()()n n nQ r q r ϕϕ=v v ， （3-2） 本征函数之间具有正交性。

归一化的本征函数()n r ϕv满足正交归一性关系,()()m n m n r r d ϕϕτδ*=⎰v v， （3-3）其集合具有完备性(')()(')n n nr r r r ϕϕδ*=-∑v v v v。

算符即运算规则算符即运算规则。

它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某种运算种运算，，得到另一个函数ϕ(x)§1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符例：)()(ˆx x Fϕψ=)()(ˆx xf x f x =)()(ˆx f x f I =dxd D =ˆ1、定义2、乘法与对易算符的乘法一般不服从交换律:)ˆ(ˆˆψψB A BA ≡AB B Aˆˆˆˆ≠例如:则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有：则称和对易:引入记号: ψψA B B Aˆˆˆˆ=A ˆB ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆB A A B B A≡−0]ˆ,ˆ[=B AI x Dˆ]ˆ,ˆ[=h i p xx =]ˆ,ˆ[易证:可定义算符的可定义算符的n n 次方为：A A AA n ˆˆˆˆ⋅⋅⋅=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。

例如：3、线性算符设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足：则称其为线性算符则称其为线性算符。

量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：：22112211ˆˆ)(ˆΨ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x pH y x x ˆ,ˆ,,2∂∂∂∂∂算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值λ为算符的本征值的本征值，，为算符的本征值为λ的本征函数的本征函数。

例如，e 2x 是微商算符的本征函数：)()(ˆx x Fλψψ=)(x ψFˆF ˆF ˆ定态薛定谔方程：它是哈密顿算符的本征方程它是哈密顿算符的本征方程，，波函数ψ 是哈密顿算符的本征函数征函数，，能量E 是哈密顿算符的本征值是哈密顿算符的本征值。

例如例如：：ψψE H=ˆ2211ˆˆΨ=ΨΨ=ΨλλF F )(ˆˆ)(ˆ221122112211Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+ΨC C F C F C C C F λ则：狄拉克符号：〉≡ψψ|)(r v |)(*ψψ〈≡r r ∗〉〈=〉〈≡∫ψϕϕψτϕψ||)()(*d r r v v一个算符如果满足如下关系一个算符如果满足如下关系，，则称为厄米算符则称为厄米算符，：，：其中积分遍及整个空间其中积分遍及整个空间，，函数ψ, ϕ是任意的品优函数是任意的品优函数。

量子力学中的量子力学力学量与对易关系量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，涉及到许多基本概念和量子力学力学量。

量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，如位置、动量、能量等。

而对易关系则是指在量子力学中，力学量的相互关系满足的一组重要规律。

本文将探讨量子力学力学量的基本概念以及它们之间的对易关系。

一、量子力学力学量的基本概念量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，它们是由算符表示的。

算符是量子力学中用来进行物理量测量的工具，它们对应于物理量的数学表达。

在量子力学中，位置、动量和能量是最基本的力学量。

1. 位置算符位置算符表示粒子在空间中的位置。

在一维情况下，位置算符通常用符号x表示，其算符表示为^x。

位置算符的本征态对应于一维空间中的位置本征态，即波函数的极值点。

2. 动量算符动量算符表示粒子的动量。

在一维情况下，动量算符通常用符号p表示，其算符表示为^p。

动量算符的本征态对应于一维空间中的动量本征态，即平面波。

3. 能量算符能量算符表示粒子的能量。

在量子力学中，能量算符通常用符号H表示，其算符表示为^H。

能量算符的本征态对应于粒子的能量本征态，即定态薛定谔方程的解。

二、量子力学力学量的对易关系在量子力学中，不同力学量之间的相互关系通过对易关系描述。

对易关系是量子力学中最基本的关系之一，它体现了量子力学的离散性、不确定性以及测量过程的干涉效应。

1. 位置与动量的对易关系量子力学中，位置算符与动量算符之间的对易关系是非常重要的。

根据海森堡不确定性原理，位置与动量不能同时被完全确定。

这一不确定性体现在它们的对易关系上，其对易关系可以表示为：^[x, p] = iħ其中^表示算符，[x, p]表示位置算符和动量算符的对易子，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数。

这个对易关系的存在意味着位置和动量的测量结果受到不确定性的限制。

2. 能量与时间的对易关系能量算符与时间算符之间的对易关系也是量子力学中的重要关系之一。

填空 第一章 绪论6、玻尔的量子化条件为 n L =9德布罗意关系为 k p E==,ω 。

1、 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 221mv A h +=ν 。

2、 戴微孙-革末 实验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系为 k p E==,ω 。

第二章 波函数和薛定谔方程1、波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。

4、2),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。

5、dr r r 22),,(⎰ϕθψ表示 在r —r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率 。

第三章 量子力学中的力学量2如两力学量算符有共同本征函数完全系，则0 。

3、设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__ψλψ=Fˆ_______。

5、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。

10坐标和动量的测不准关系是_2≥∆∆x p x ___________________________。

自由粒子体系，_动量_________守恒；中心力场中运动的粒子___角动量________守恒3、 设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为___在p —p+dp 范围内发现粒子的几率____________________________________________。

3、厄密算符的本征函数具有 正交，完备性 。

10、=]ˆ,[x p x i ； =]ˆ,ˆ[zy L L x L i ；第四章 态和力学量的表象量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__________；算符是希尔伯特空间的__算符__________。

力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的第五章 微扰理论第七章 自旋与全同粒子7.为泡利算符，则=2ˆσ 3 ，=]ˆ,ˆ[y xσσz i σˆ28、费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_交换反对称性__ _______, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____交换对称性____ 。