标准答案-北京大学2016年春季学期线性代数作业

线性代数B期末试题－2016年秋第一题（20分）：令A∈M n[ℝ]为一可逆矩阵，u,v∈ℝn，定义分块矩阵C=�A u vʹ0�1)（10分）求u,v的一个充分必要条件使得矩阵C可逆。

2)（10分）在1)的条件满足的情况下求C−1。

第二题（20分）：1)（10分）求a的取值范围，使得矩阵A=�1a aa1aa a1�正定。

2)（10分）判断下列矩阵是否正定（给出判断依据）：A=�32250 12 1 0211−1003�，B=�32240000 00001111�，C=�2−1−1200−100−10 02−1−12�第三题（15分）：令矩阵A,B∈M n(ℝ)。

1)（5分）设A是对称正定矩阵，B是对称矩阵，证明存在可逆矩阵P使得PʹAP=I且PʹBP为对角矩阵。

2)（10分）设A和B均为对称半正定矩阵，证明存在可逆矩阵P使得PʹAP和PʹBP为对角矩阵。

如果B仅是对称矩阵，同样的结论是否成立？如果成立，给出证明，否则给出一个反例。

第四题（15分）：令L＝D2+2D+1为线性空间V=<1,sin(x),cos(x)−sin(x)> 上的线性变换，求其在基{1,sin (x),cos(x)−sin(x)}下的矩阵。

第五题（10分）：证明任何一个秩为r的矩阵总可以写成r个秩为1的矩阵之和。

第六题（10分）：在ℝ2中，对于任意α,β∈ℝ2，定义二元函数(α,β)=a1b1−a1b2−a2b1+4b1b2求证(α,β)是ℝ2的一个内积，并求ℝ2关于该内积的一个标准正交基。

第七题（10分）：对任一矩阵C，我们定义range(C)为矩阵C列向量组生成的线性空间，定义ker (C)为齐次线性方程组Cx=0的解空间。

ℝm是标准内积空间。

1)（5分）令A∈M m×n(ℝ)，证明ker(Aʹ)⊕range(A)=ℝm。

2)（5分）令矩阵A∈M m×n(ℝ)，β∈range(A)⊂ℝm，γ∈ℝn，d∈ℝ。

北京大学数学学院期中试题一．（16分）（1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ;（2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs .二．（16分）计算n 级行列式 D = nn 2n 1n n 22212n 12111b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）；n>2时，D = n1n 21n 11n n 12212112n 12111b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++= 0 .三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T .1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ;2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的每个列向量;3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时，β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标；4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.解: 1) 矩阵A 的行空间与A 的解空间在R 5中互为正交补 , 即向量 [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] 在A 的行空间中当且仅当 3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 且 5a 1 + 6a 2 + a 3 +2 a 4 – a 5 = 0 .解此方程组得行空间的一组基⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12052001131216500113 得 ⎩⎨⎧++=--=42152132523a a a a a a a a 1 , a 2 , a 4为自由变量. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21000501102030125234214214212154321a a a a a a a a a a a a a a a a 故A 的简化阶梯形为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- 00000210005*********. 2) A 列向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α4 , 且α3 = –3 α1 – α2 , α5 = 2 α1 + 5α2 + 2α3 ;3) A 行空间的一组基为简化阶梯形的前3个行向量；若 β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 则β在此基底下的坐标只能是 [ 1 a 3 ] T ，且有–3–a = 0 , 2 + 5 a + 6 =2a –1 .此条件当且仅当 a = –3 时成立.故当且仅当 a = –3 时β落在A 的行空间里, 此时β的坐标是[ 1 –3 3 ] T .4) A = [ a 1 a 2 a 4 ] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210005*********.四．（12分）设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100010. 记 C( A) = { X ∈ M 3 (R) | A X = X A }.1) 证明: 集合C( A )是线性空间M 3 (R) 的子空间;2) 求子空间C( A ) 的维数和一组基 .解：2) C( A ) 的一组基为 I ，A ，A 2 （ A 3 = 0 ）。

数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。

[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。

为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。

这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。

[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。

于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。

该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。

运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。

算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。

[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。

下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。

事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。

于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。

[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。

因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。

因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。

即，从而即A的LU分解是唯一的。

北大版-线性代数第一章部分课后答案详解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：习题1.2：1 .写出四阶行列式中11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有()()13241τ-11233244a a a a 或()()13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a2. 用行列式的定义证明11121314152122232425313241425152000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。

故所有因式都为0.原命题得证.。

3.求下列行列式的值：（1）01000020;0001000n n -L L M M M OM L L（2）00100200100000n n-L L M O M O M L L； 解：（1）010000200001000n n -LLM M M OM LL=()()23411n τ-L 123n ⨯⨯⨯⨯L =()11!n n --（2）00100200100000n n-L LM OM O M L L=()()()()12211n n n τ---L 123n ⨯⨯⨯⨯L =()()()1221!n n n --- 4.设n 阶行列式：A=1111nn nna a a a LM OM L，B=11111212212221212n n nn n n n n nna ab a b a b a a b a b a b a -----L L MMOM L，其中0b ≠，试证明：A=B 。

2016~2017学年春季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设A 为3阶方阵，A 的第3列的元素分别为1,-3,2，其对应的余子式为3,1,2，则||A =10．．解析：313233||(1)13+(1)3)1+(1)2210(-A +++=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=注释本题知识点：行列式按行按列展开答案：102．设矩阵1223135()4()2()αααααα-+-=+，其中1=(3,-1,0,1)Tα，2=(3,-3,6,3)Tα则3=α(1,0-1,0)T，解析：由1223135()4()2()αααααα-+-=+得到12336ααα-=所以31211=3-=(9-303)(3-36,3)(10-10)66（），，，，，，，，T T T ααα⎡⎤-=⎣⎦注释本题知识点：向量的运算答案：0（1，0，-1，）T3.设四元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且12-2=(2,1,1,1)T ηη，3=(0,2,1,1)T η，则齐次方程组的通解为(2,3,2,2),T k k R∈．解析：因为四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，所以其对应的齐次线性方程组的基础解系中只包含一个解量，而123-2+=(2,3,2,2)Tηηη为齐次线性方程组0Ax =的解，则齐次方程组的通解为(2,3,2,2)()Tk k R ∈注释本题知识点：（1）齐次线性方程组的基础解系所包含的向量个数n r-（2）齐次线性方程组的通解1122+++(,1,2,)n r n r i k k k k R i n r ξξξ--∈=-L L 答案：(2,3,2,2)()T k k R ∈4．设矩阵123(,,)A ααα=有三个不同的特征值，且312=+ααα，则矩阵的秩()R A =2．解析：由312=+ααα知向量123,,ααα线性相关，而三个特征值不同，所以12,αα线性无关，故()2R A =注释本题知识点：矩阵的秩等于矩阵中行向量组或者列向量组的最大无关组的秩，即最大无关组所包含的向量的个数。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。

（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。

(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。

(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。

(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。

若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。

若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。

《线性代数》©THZ-PKU主题•数学重要主题:方程+函数•微积分:非线性 线性(一次)•线性代数:一次方程组+一次函数组y i =y i (x 1,⋯,x n )=a i,1x 1+⋯+a i,n x nb i =a i,1x 1+⋯+a i,n x n , i=1,2,…,m线性变换: n 个n 元线性函数组线性方程组一次方程组n 元线性函数可由其中的系数排列成矩阵来表示线性代数的难与易•易:1.简【方程函数千千万，一次最简单】2.少【算法少：1+1】(1)矩阵初等变换，(2)矩阵乘法•难:概念抽象(应用广泛),运算繁琐(大量重复)•代数好算不好懂,几何好懂不好算•攻略：代数几何熔一炉,空间为体,矩阵为用基本任务•始以正合：熟练掌握两个算法(矩阵初等变换，矩阵乘法),包括借助计算机实现算法•终以奇胜：将遇到的问题变成可用算法来计算的形式(建模),用算法解决(a,b)的二元函数极小最小二乘问题未知量(a,b)的二元一次方程组b前面的系数相同第一章线性方程组的解法§1.1 线性方程组的初等变换引例中学数学: 用数学归纳法证明S n=12+22+…+n2 =n(n+1)(2n+1)/6质疑: 1. 怎样想出来?2. 能否如法炮制S n=1k+2k+…+n k?国际歌:•从来就没有救世主, 也不靠神仙皇帝,•要创造人类的幸福, 全靠我们自己.尝试自己创造例1:求S=12+22+…+n2n-S n-1=n2分析:Sn反过来, 若一个函数f(n)满足f(n)-f(n-1)=n2, 则S n =(f(1)-f(0))+(f(2)-f(1))+…+(f(n)-f(n-1))=f(n)-f(0),∴当f(0)=0时, S n =f(n).★当f(n)是多项式时, f(n)-f(n-1)是次数降1的多项式.实施解:(待定系数法) 待定Sn =f(n)=an+bn2+cn3满足n2=f(n)-f(n-1)=a+b(2n-1)+c(3n2-3n+1)=(a+b+c)+(2b-3c)n+3c n2比较等式两边的系数，得线性方程组c=1/3b=1/2a =1/6S n=(1/3)n3+(1/2)n2+(1/6)n如法炮制求:S=14+24+…+n4n=f(n)=a1n+a2n2+a3n3+a4n4+a5n5解:待定Snn4= f(n)-f(n-1)⇔a 1,⋯,a n ,b 为已知给定的数,x 1,⋯,x n 为未知量•n 元一次或线性方程组:m 个n 元一次或线性方程组成•n 元一次方程或n 元线性方程a i,1x 1+⋯+a i,n x n =b i , i=1,2,…,ma 1,1x 1+⋯+a 1,n x n =b 1a 2,1x 1+⋯+a 2,n x n =b 2⋮a m,1x 1+⋯+a m,n x n =b m或a 1x 1+⋯+a n x n =b 如果方程组(1.1.3)中的未知量x 1,⋯,x n 分别替换为n 个已知数c 1,⋯,c n 得到m 个恒等式a i,1c 1+⋯+a i,n c n =b i , i=1,2,…,m, 则称有序数组(c 1,⋯,c n )为(1.1.3)的一个解. (1.1.3)如果(1.1.3)中所有的b i =0,则称其为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组.齐次线性方程组有零解(称为平凡解)方程组的全体解的集合称为方程组的解集.例A4:齐次方程组x 1+x 2+x 3=0x 1+x 2−x 3=0解: (0,0,0), (1,-1,0), (-1,1,0), (2,-2,0), ….例A1: 非齐次方程组x 1−x 2=−13x 1+x 2=9解: (2,3)例A2:非齐次方程组x 1−x 2=03x 1−3x 2=1无解!线性方程组何时无解?何时有解? 何时有惟一解? 如何求解?三个未知量的线性方程确定一空间平面. 三个平面的交点就是三个方程组成的线性方程组的解.例A3:非齐次方程组x 1−x 2=13x 1−3x 2=3解: (2,1), (1,0), (3,2),…..1.为什么要学习线性方程组2.三角形方程组的解法3. 不是三角方程组怎么办?方法: 保持同解,变成三角形. 线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组. 大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组，因此线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位.上三角形线性方程组:从上到下每个方程比上一个方程少含一个未知数,即等号左边左下角是空白.插值问题例2. 求曲线y = ax2+bx+c 过(1,1),(2,2),(3,0). 解:尝试用中学的加减消去法a =-3/2, b= 1/2,c=-3因此，曲线方程y =(-3/2)x2+(1/2)x-3§1.1.2(Page 3)方程(3)减方程(2);方程(2)减方程(1);方程(3)减方程(2);基本同解变形1. 两个方程互换位置:2. 某个方程乘非零常数:3. 某个方程的常数倍加到另一方程:•任意方程组U 中各方程分别乘常数再相加得到的新方程称为方程组U 的线性组合•变形前后方程组互为线性组合 它们同解§1.1.2(Page 4)上述三类变形称为线性方程组的初等变换一般的线性方程组的求解化成三角形求解(消元法)U, W 表示方程组作业•习题1.1(Page 7): 3, 4, 5§1.2(Page 7)分离系数法方程组同解变形只是对系数运算(加减乘除):将系数排成矩阵(纵横排列的二维数据表格)代表方程组,进行同样的变形•方程组U的线性组合/初等变换, 相应的是“系数矩阵”的行的线性组合/矩阵的初等行变换.Page 8在数学中，矩阵(Matrix)是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵. 这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出.矩阵是线性代数中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中. 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵. 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题. 将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算. 对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法. 在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广.a 1,1a 1,2⋯a 1,n a 2,1a 2,2⋯a 2,n ⋮⋮⋱⋮a m,1a m,2⋯a m,nm ×n 矩阵: 由m n 个数排列成的m 行n 列的矩形数表m,n 为正整数a i,j 为第i 行第j 列的元素或第(I,j)元素数表中的每个数称为矩阵的一个元素或分量n 维行向量: 1×n 矩阵a 1,1a 1,2⋯a 1,n a 1,a 2,⋯,a n m 维列向量: m ×1矩阵a 1,1a 2,1⋮a m,1a 1a 2⋮a m m =n 时的矩阵称为m 阶方阵简记为简记为零矩阵:a i,j =0, 1≤i ≤m,1≤j ≤n零向量a i =0, ∀i•PageRank，网页排名，又称网页级别、Google左侧排名或佩奇排名，是一种由搜索引擎根据网页之间相互的超链接计算的技术，而作为网页排名的要素之一，以Google公司创办人拉里·佩奇(Larry Page)之姓来命名. Google用它来体现网页的相关性和重要性，在搜索引擎优化操作中是经常被用来评估网页优化的成效因素之一. Google的创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林于1998年在斯坦福大学发明了这项技术.•PageRank通过网络浩瀚的超链接关系来确定一个页面的等级.Google把从A页面到B页面的链接解释为A页面给B页面投票，Google根据投票来源(甚至来源的来源，即链接到A页面的页面)和投票目标的等级来决定新的等级。

拟题学院（系）： 数理学院适用专业： 全校 2015-2016学年 1 学期 线性代数（必修）B 卷 试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. -2M2.11B A --3.111,,336- 4. 0 5. 2k >二、选择题（每小题3分，共15分）1. C2. D3. A4. B5. B三、计算题(每小题10分，共20分)1.解：888811111511151181151115111151115==原式——————————————————————5分11110400851200400004==2. 解：()22AX B X A E X B =+⇒-=1112012,002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ————————————3分()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———————————— 8分所以111100101X --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

—————————————————————— 10分四、计算题(第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分)拟 题 人： 周红燕书写标准答案人： 周红燕1.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=00000100000120011221~10000500000120011221~13600512000240011221~46063332422084211221),(b A ————————————8分3)(,2)(==B R A R 因此 ——————————————————10分2. 解：111111101152321130012263(,)01226300000054331200000B A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭————8分基础解系为123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，特解为23000η-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，—————————————13分通解为112233x k k k ξξξη=+++。

线性代数参考题一一. 填空题(每小题3分,满分30分)1. 写出4阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 中含因子2311a a 的项为_________。

2. 行列式01112222=+b b a a b ab a 的充分必要条件为___________。

3. 设A 为方阵,满足022=--E A A ,则=-1A _________。

4. C B A ,,同阶方阵,0≠A ,若AC AB =,必有C B =,则A 应为_______矩阵。

5. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为_________。

6. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-α51,则=α_________。

7. 设向量组r A αα,,:1 是向量组T 的一个最大无关组,则A 与T 间关系为___________。

8. 由()()()0,1,1,1,0,1,1,1,0321===ααα所生成的线性空间为_________。

9. 二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性为________。

10.若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322101,且()3=A R ,则=t _________。

二. (8分)计算2n 阶行列式d cdc dc b a ba ba D n 0002=三. (8分)解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302313512343122321X求?=X四. (10分)设向量组A:()()()()3,6,2,0,1,3,0,1,3,1,1,2,0,1,4,14321-=--=--==αααα求向量组A 的秩及一个最大无关组. 五. 12分)讨论方程组的解的情况⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型323121232221222222x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设n n ααβααβαβ++=+== 121211,,,且n αα,,1 线性无关, 证明:n ββ,,1 线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iE A i均不可逆.则A 可否对角化?线性代数参考题二一、 填空题(每小题3分,满分30分) 1． 设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A ,则=A B2． 已知0222=++I A A ,则=+-1)(I A (其中I 是n 阶单位阵)3． ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12241031x A 设,已知矩阵A 的秩r(A)=2,则=x4．()814370122222632144-==⨯ija A 设,又ij A 是ij a 的代数余子式,则=+++44434241A A A A5．若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组6．设3221232221321222),,(x tx x x x x x x x x f ++++=是正定二次型, 则t 的取值区间为7．设A 是n 阶正交矩阵,1-=A ,则()=*TA8．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20002121x A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--211,则=x9．设非齐次线性方程组b AX =的两个解为)(,,2121ξξξξ≠A 的秩为1-n ,则 b AX =的一般解=ξ .10．已知向量组[][][]1,4,2,1,0,,0,2,1,1,2,1321--==-=αααt 的秩为2,则=t 二．(8分)计算n 阶行列式ba a a ab a a a a b a D n n n n ---=212121三．(8分)求矩阵X 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡1041120112201117241X 四．(10分)设[][][][]10,2,1,2,4,1,5,1,3,6,3,11,5,5,10,2,3,2,1,24321-==-=-=αααα求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数b a ,各取何值时, 方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=++++=+-=+++,5853,34232,12,1432143214324321x a x x x b x x a x x x x x x x x x 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型()323121232221321222222,,x x x x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设向量432,,,1αααα线性无关,且43214432134321243211,,,ββββαββββαββββαββββα+---=-+--=--+-=---=证明向量组4321,,,ββββ线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iI A i均不可逆。