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北京大学数学学院期中试题一．（16分）（1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ;（2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs .二．（16分）计算n 级行列式 D = nn 2n 1n n 22212n 12111b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）；n>2时，D = n1n 21n 11n n 12212112n 12111b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++= 0 .三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T .1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ;2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的每个列向量;3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时，β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标；4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.解: 1) 矩阵A 的行空间与A 的解空间在R 5中互为正交补 , 即向量 [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] 在A 的行空间中当且仅当 3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 且 5a 1 + 6a 2 + a 3 +2 a 4 – a 5 = 0 .解此方程组得行空间的一组基⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12052001131216500113 得 ⎩⎨⎧++=--=42152132523a a a a a a a a 1 , a 2 , a 4为自由变量. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21000501102030125234214214212154321a a a a a a a a a a a a a a a a 故A 的简化阶梯形为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- 00000210005*********. 2) A 列向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α4 , 且α3 = –3 α1 – α2 , α5 = 2 α1 + 5α2 + 2α3 ;3) A 行空间的一组基为简化阶梯形的前3个行向量；若 β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 则β在此基底下的坐标只能是 [ 1 a 3 ] T ，且有–3–a = 0 , 2 + 5 a + 6 =2a –1 .此条件当且仅当 a = –3 时成立.故当且仅当 a = –3 时β落在A 的行空间里, 此时β的坐标是[ 1 –3 3 ] T .4) A = [ a 1 a 2 a 4 ] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210005*********.四．（12分）设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100010. 记 C( A) = { X ∈ M 3 (R) | A X = X A }.1) 证明: 集合C( A )是线性空间M 3 (R) 的子空间;2) 求子空间C( A ) 的维数和一组基 .解：2) C( A ) 的一组基为 I ，A ，A 2 （ A 3 = 0 ）。
2018秋线性代数期末(回忆版)教师：⽅博汉(1)(20分) V 为实数域 ℝ 上 n 维线性空间，若正交线性映射 f:V →V 特征值为1的特征⼦空间 W 维数为 n −1 。
证明 f =id -−2P ，其中 id - 为 V 上恒同映射， P 为向 W 的正交补空间 W 0 的正交投影映射。
(2)(20分) 复数和四元数的矩阵表⽰• 设 V 为实数域上2阶实矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间，试找到⼀组基 {1,i} ，使得1 ∙1=1,1∙i =i ∙1=i,i ∙i =−1• 设 V 为实数域上2阶复矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间（所以共有8维），试找到⼀组基 {1,i,j,k} 使得1∙1=1,1∙i =i ∙1=1,1∙j =j ∙1=j,1∙k =k ∙1=1 i 2=j 2=k 2=i ∙j ∙k =−1 (3)(20分) 设矩阵A =>0000011010010000@ 若将 A 视为实数域上正交矩阵，求⼀组正交基，使得A 化为标准的分块对⾓化的形式(10分)；若将A 视为⾣矩阵，求⾣空间中⼀组正交基，使得A 对⾓化。
(10分)(4)(20分) 若A 为复数域上 n 阶⽅阵，定义exp (A )=D A E k!GEHI =I +A +A 22!+A L 3!+⋯可以⽤Jordan 标准形证明，对于任意矩阵，右边的式⼦是收敛的(你不⽤证明)。
• (10分)证明：expOtr (A )R =det (exp (A))•(10分)证明：若A是反对称矩阵，则 exp (A) 是正交矩阵。
(提⽰：先证明 若AB=BA，则 exp(A+B)=exp(A)∙exp (B) 可以直接⽤这个结论证明，得5分)(5)(20分) 设 V 为复数域上 n 维线性空间。
我们知道 V⊗V 上有同构σ(α⊗β)=β⊗α(a) (2分) 设 S={v∈V⊗V |σ(v)=v } ，S 是 V⊗V 的⼦空间(你不⽤证明这个事实)，求 S 的维数，设 V 的⼀组基为 {e\,e2,⋯,e]}。
2016年北京大学博雅计划测试数学 答案1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
2.【解答】B不妨假设0a b c a b c <≤≤+>，。
(1) 0≥； (2) 错误，a =2，b =3，c =4即为反例； (3) 正确，因为有0222a b c a b ca ++-+-=>； (4) 正确，因为有()()()()()1110ab bc c a a b b c c a -++-+--+>-+---=。
【评析】一道灵活结合了不等式和几何三角形的问题，考察学生的代数基本功，总体难度也不算大。
3.【解答】C如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⋅，因此OE ===【评析】非常简单的几何计算。
4.【解答】D满足(0,1)x ∈，且1()7f x >的x 的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
5.【解答】A根据题意，有()()2242313=x x x x c x ax bx c --+-+++，于是a =-c -10，b =3c -3，从而有a +b -2c =-13。
【评析】简单的待定系数法，注意计算不要出错。
6.【解答】B令2log k x =，则a +x ，a +12x ，a +13x 成等比数列，从而可得x =-4a ，进而可得公比为13。
【评析】涉及等比数列的运算，较为基础。
7.【解答】D 依据题意，有2102458367910coscoscoscos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 11111111111111111111111111πππππππππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224816cos cos cos cos cos 1111111111πππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭而24816116coscoscos cos cos 2sin cos ...cos 11111111111111112sin 11πππππππππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1221613212sin cos ...cos ...sin 11111111324sin 32sin 1111ππππππ⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 故原式值为11024-【评析】熟悉余弦二倍角连乘的点鞭炮公式的话，此题不算难题，但是要注意计算不能出错。
..2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分)1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det (a ij )的项⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( B )(A) 5541342312a a a a a (B) 2451421533a a a a a (C) 4124335215a a a a a (D) 5433451122a a a a a解 根据n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断).题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。
其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。
所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。
其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t (31452)+t (35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 15a 24a 33a 42a 51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”. 同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2. 已知n 阶行列式D =1，将D 逆时针旋转90o，得行列式D ~，则D ~的值为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (n -1)/2 (D) (-1)n /2解 将D 逆时针旋转90o ，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n (n -1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3. n 阶行列式D n =0的必要条件是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( D )(A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零(D) 以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解解 选项(A)(B)(C)都是D n =0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为充分必要条件.4. 已知A , B 均为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( D )(A) 若A ≠B ，则∣A ∣≠∣B ∣(B) 若(A -E )(B -E )=O ，则A =E 或B =E (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) A 2-E =( A +E )( A -E )解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112B 选项(B)错误。
2•用行列式的泄义证明习题1.2：如如如如1 •写岀四阶行列式中幻I'2勺3"24含有因子的项“3】a 32 a 33a 34«41勺 2«43仙解：由行列式的泄义可知，第三行只能从@2、中选，第四行只能从厲2、中选，所 以所有的组合只有（-l ）f （，324）如给角2知或（-1）"网 a H a 23a 34a 42，即含有因子勺］“23的项为一如吹32% 和 a H a 23a 34a 42证明：第五行只有取他「山2整个因式才能有可能不为°,同理，第四行取“42,第三 行取①I 、©2，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0 •以第 五行为参考，含有的因式必含有0,同理，含有的因式也必含有0“故所有因式都为0 •原命题得证・。
3 •求下列行列式的值:0 1 0♦ • ♦0 •… 0 1 00 02 ♦ • 00 ... 2 0 0(1)■ ■ ■ ■■ ；（2）• • ■ • • •0 00 • • ”一〃 一 1 0 0 0n 0 0 • •• 00 …0 H0 1 0 ♦ • • 00 2• • • 0解：（1） ■ ■ ■■ ■ ■ ■■ ■/lX r(234...nl)=("1)Ix2x3x--•xn =(-1)*"1 n\0 0 ・•・//-In 0 0 • • • 0a 2l0 01 0 0 ■ …2 • •0 ■ 0 ■■ ”一• • …0 • 0 ■0 0 00 n=(-1)侶心5)» B= 如■ •“22 ■■f 1-n…5少…如尸■5肝・・・a nn证明:A=BoE (T 严•”%叫2…％沪Wi"叫z (T 严％%…讣A 叩2・・％和巾 时2 ••叭和巾命题得证。
5•证明：如下2007阶行列式不等于61 2 …2006 200722 32 …20072 2OO82 D=33 • 43 • …20083 • • 20083■• ■■ •• • • •■ ■证明：最后一行元素，除去2007*”是奇数以外，其余都是偶数，故含2008^7的因式也都 是偶数。
习题1.2：1 .写出四阶行列式中11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有()()13241τ-11233244a a a a 或()()13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a2. 用行列式的定义证明11121314152122232425313241425152000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。
故所有因式都为0.原命题得证.。
3.求下列行列式的值：（1）0100002;0001000n n -（2）001002001000n n-；解：（1）0100020001000n n -=()()23411n τ-123n ⨯⨯⨯⨯=()11!n n --（2）001002001000n n-=()()()()12211n n n τ---123n ⨯⨯⨯⨯=()()()1221!n n n ---4.设n 阶行列式：A=1111nn nna a a a ，B=11111212212221212n n n n n n n n nna ab a b a ba ab a b a b a -----，其中0b ≠，试证明：A=B 。
证明：B=11111212212221212n n n n n n n n nna ab a b a ba ab a b a b a -----=()()[]1212121212121n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a b a b a b τ---∈-∑！=()()[]1212121212121()n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a a a b b b τ---∈-∑！=()()[]12121212(1)(2)()121n n n n s s s s s s n s s s n s s s n a a a b τ-+-+-∈-∑！=()()[]121212121n n n s s s s s s n s s s n a a a τ∈-∑！=A命题得证。
北大版线性代数答案【篇一：北京大学2015年春季学期线性代数作业答案】class=txt>一、选择题（每题2分，共36分）1.（教材1.1）行列式a.13b.11c.10 （c ）。
d.1（ a）。
c.0d. 2.（教材1.1）行列式a.b.3.（教材1.2）行列式（ b）。
a.40b.-40c.0d.14.（教材1.3）下列对行列式做的变换中，（ a）会改变行列式的值。
a.将行列式的某一行乘以3b.对行列式取转置c.将行列式的某一行加到另外一行d.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行5.（教材1.3）行列式（b ）。
(提示：参考教材p32例1.3.3)a.2/9b.4/9c.8/9d.0有唯一解，那么（d）。
6.（教材1.4）若线性方程组a.2/3b.1c.-2/3d.1/3【篇二：线性代数期末考试试卷+答案合集】txt>一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）11. 若0?3521x?0，则??__________。
?2?1??x1?x2?x3?0?2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解，则?应满足。
?x?x?x?023?13．已知矩阵a，b，c?(cij)s?n，满足ac?cb，则a与b分别是阶矩阵。
?a11?4．矩阵a??a21?a?31a12??a22?的行向量组线性。
a32??25．n阶方阵a满足a?3a?e?0，则a?1?1. 若行列式d中每个元素都大于零，则d?0。
（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）?，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1，a2，?，as线性相关。
3. 向量组a1，a2，（）?0?14. a???0??0100?000??，则a?1?a。
（）?001?010?5. 若?为可逆矩阵a的特征值，则a?1的特征值为?。
()三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
2016~2017学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高二上学期文科期中数学试卷选择1. 双曲线 14-5x 22=y 的焦点坐标为（ ）． A. (3, 0)和(−3, 0) B. (2, 0)和(−1, 0) C. (0, 3)和(0, −3) D. (0, 1)和(0, −1)2. 下列命题中，假命题是（ ）．A. 平行于同一条直线的两条直线平行B. 平行于同一个平面的两个平面平行C. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行D. 平行于同一条直线的两个平面平行3. 下列图形中不一定是平面图形的是（ ）．A. 三角形B. 四边相等的四边形C. 梯形D. 平行四边形4. 曲线C 1 : x − y + 1 = 0与曲线C 2 :134x 22=+y 的交点有（ ）． A. 0个 B.1个C. 2个D. 无法确定5. 直线y= kx − 2与抛物线y 2 = 8x 交于A ，B 两点，且A 中点的横坐标为2，则k 的值是（ ）．A. −1B. 2C. −1或2D. 以上都不对6. 已知夹在两平行平面α、β内的两条斜线段AB = 8cm ，C D = 12c m ，A B 和C D 在α内的射影的比为3 : 5，则α、β的距离为（ ） A. 15cm B. 17cm C. 19 cm D. 21 cm7. 若直线l 过点(5, 0)与双曲线4x 2 − 9y 2 = 36有且只有一个公共点，则这样的直线有（ ）．A. 0条B. 1条C. 2 条D. 4条8. 已知点A (0, 2) ，B (2, 0 )，若点C 在函数y= x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为（ ）．A. 4B. 3C. 2D. 1填空9. 如图所示的几何体中，主视图与左视图都是长方形的是 ．10. 斜率为2的直线与圆锥曲线交于A(x 1, y 1 )，B(x 2, y 2)两点，若弦长|AB|=52，则|y 1 − y 2| = ．11. 椭圆1169x 22=+y 的内接正方形的周长为 ．12. 已知定点A ，B ，且|AB|= 4，动点P 满足|PA| − |PB|= 3，则|P A 的最小值是 ．13. 过抛物线y 2 = 2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若1225=AB ，|AF | < |BF |，则|AF | = ．14. 设椭圆C ： 1a x 2222=+b y (a > b > 0 )的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为直线23a x =上一点，∆F 2P F 1是底角为30∘的等腰三角形，则C 的离心率为．解答15. 设椭圆C ： 1a x 2222=+b y (a > b > 0 )过点(0, 4)，离心率为 53． （1） 求C 的方程；（2） 求过点(3, 0)且斜率为54的直线被C 所截线段的中点坐标．16. 在空间四边形ABC D 中，AD= BC = a ，与直线A D ，BC 都平行的平面分别交A B ，AC ，C D ，B D 于 E ，F ，G ，H ．（1） 求证：四边形EF GH 是平行四边形．（2） 求四边形EF GH 的周长．-2，求以F 为一个焦点，A ，B分别为长、17. 如图在△AF B中，∠AF B = 150∘，S△AF B= 3短轴的一个端点的椭圆方程．18. 已知平面α∩平面β= b，直线a//α，a//β，求证：a// b ．19. 设抛物线y 2 = 2px(p > 0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ,B两点，点C 在抛物线的准线上，且BC //x轴．证明：直线AC 经过原点O．20. 如图，已知正方体ABC D − A 1B1C1D1的棱长为3，M ，N 分别是棱AA1，A B上的点，且AM = AN = 1．（1）证明：M N //C D1．（2）平面M N C D1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．2016~2017学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高二上学期文科期中数学试卷选择1. A2. D3. B4. C5. B6. C7. C8. A填空9. （ 1）（ 3）（4 ）10. 411. 96/512. 7/213. 5/614. 3/4解答15. （1） 11625x 22=+y（2）(65-23，)16. （1）证明略．（2）2a ．17. 128x 22=+y18. 证明略．19. 证明见解析20. （1）证明略．（2）41/13 （答案为13/41 亦可）．。
《线性代数B 》课程试卷一、填空(本题共6小题，每小题3分，共18分)1. 设A 是四阶方阵，且,1=A 则=2-1-A16 .2．设三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E A A B 2+5-=2的特征值为 -2，8，-4.3. 已知321ααα,,线性相关,3α不能由21αα,线性表示，则21αα,线性 相关.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-0151-4-02021=t A 的秩为2，则t = 3 . 5. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021032=A ，则1-A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4100021-03-2.6．设4阶矩阵[]321=γγγα,,,A ，[]321=γγγβ,,,B ，且,2=A ,3=B 则=+B A 40.二、单项选择(本题共5小题，每小题3分，共15分)1. 矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r)(A A 中任何1+r 列线性相关；)(B A 中任何r 列线性相关；)(C A 中有r 列线性无关； )(D A 中线性无关的列向量最多有r 个.2. 若n 阶方阵B A , 均可逆，C AXB = ，则=X （ C ） C BAA 1-1-)( ; 1-1-ACBB )(; 1-1-CBAC )(; 1-1-CABD )( .3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a A1111，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A B1111，其中ij A 是ij a 的 代数余子式（i ，j=1，2，…，n ），则 （ C ）)(A A 是B 的伴随矩阵； )(B B 是A 的伴随矩阵；)(C B 是T A 的伴随矩阵； )(D B 不是TA 的伴随矩阵.4. A 与B 均为n 阶矩阵，若A 与B 相似，则下列说法正确的是（ C ）．)A (A 与B 有相同的特征值和特征向量； )B ( B E A E -=-λλ；)C (对任意常数k ，有 A kE -与B kE -相似； )D (A 与B 都相似于同一对角阵.5. 非齐次线性方程组b Ax =中A 为)(n m n m ≠⨯矩阵，则（ B ）(A) 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 仅有零解；(B) 若b Ax =有唯一解，则0=Ax 仅有零解; (C) 若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解; (D) 若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解.三、计算.（10分）1-1-1-n 2121n 21a a a a a a a a a n解 )1-=∑1=ni i n a D （1-11-11222n n n a a a a a a分4=)1-∑1=ni i a （1-0101-1001分8 1-1-=n )()1-∑1=ni i a （分10四、（10分）设B A ,满足关系式A B AB +2=，且 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103=A ， 求矩阵B . 解 A E A B 1-2-=)( 分3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4121001101-1103101=2- )(A E A 分5 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡410211-12-1-1-0103101−→−分6 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-1002-3-40102-2-5001−→−分9⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 (分或8⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111-1-2-21-1-2=2-1- )(E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 )五、 (14分) 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032，问a 、b 为何值时，方程组有解，并求出所有解。
数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
2016年北京大学博雅计划测试数学学科注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考 试用条形码。
2.客观题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。
主观题用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题共20小题，在每小题的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，选对得5分，多选、少选或选错扣1分，不选不得分。
1. 直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D.前三个答案都不对2. 已知三角形ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下四个命题：（1（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以,,222a b b c c a +++为边长的三角形一定存在； （4）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D.前三个答案都不对3. 设,AB CD 是圆O 的两条垂直直径，弦DF 交AB 于点E ，24DE =,18EF =,则OE 等于（ ）A. B. C. D. 前三个答案都不对4. 函数()1,,,,,()0q x p q p q N p p f x x Q *⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩==1，，则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 前三个答案都不对5. 若方程2310x x --=的根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ）A. 13-B. 9-C. 5-D. 前三个答案都不对6. 已知1k ≠，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公比为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 前三个答案都不对7. 210cos cos cos111111πππ的值为（ ） A. 116- B. 132- C.164- D.前三个答案都不对8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，方程20ax bx c ++=的两个虚数根12,x x 满足212x x 为实数，则2015102()k k x x =∑等于（） A. 1 B. 0 D. 前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种数为（ ）A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对10.设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5BF BD BE ===,BAD ACD ∠=∠,BAF CAE ∠=∠,则BC 的长为（ ）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K ，大圆的弦AB 与小圆切于L ，已知:2:5AK BK =,10AL =,则BL 的长为（ ）A.24B.25C.26D. 前三个答案都不对12.()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=，则(f 等于（ ）A.0B.12 C.13 D.前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个，使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）A.30B.36C.42D.前三个答案都不对14.已知正整数,,,a b c d 满足ab cd =，则a b c d +++有可能等于（ ）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对15.三个不同实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）A.1-B.0C.1D.前三个答案都不对16.已知1a b c ++=（ ）A.[10,11)B. [11,12)C.[12,13)D. 前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD 中，6BD =，30ABD CBD ∠==︒,则四边形ABCD 的面积等于（ ）A.B.C. D.前三个答案都不对 18.1!2!2016!+++除以100所得的余数为（ ） A.3 B.13 C.27 D.前三个答案都不对19.方程组23234345x y z x y z x y z⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩的实数解组数为（ ）A.5B.6C.7D.前三个答案都不对20.方程333()333x x x x x +++=的所有实根的平方和等于（ ）A.0B. 2C.4D.前三个答案都不对。
线性代数参考题一一. 填空题(每小题3分,满分30分)1. 写出4阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 中含因子2311a a 的项为_________。
2. 行列式01112222=+b b a a b ab a 的充分必要条件为___________。
3. 设A 为方阵,满足022=--E A A ,则=-1A _________。
4. C B A ,,同阶方阵,0≠A ,若AC AB =,必有C B =,则A 应为_______矩阵。
5. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为_________。
6. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-α51,则=α_________。
7. 设向量组r A αα,,:1 是向量组T 的一个最大无关组,则A 与T 间关系为___________。
8. 由()()()0,1,1,1,0,1,1,1,0321===ααα所生成的线性空间为_________。
9. 二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性为________。
10.若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322101,且()3=A R ,则=t _________。
二. (8分)计算2n 阶行列式d cdc dc b a ba ba D n 0002=三. (8分)解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302313512343122321X求?=X四. (10分)设向量组A:()()()()3,6,2,0,1,3,0,1,3,1,1,2,0,1,4,14321-=--=--==αααα求向量组A 的秩及一个最大无关组. 五. 12分)讨论方程组的解的情况⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型323121232221222222x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设n n ααβααβαβ++=+== 121211,,,且n αα,,1 线性无关, 证明:n ββ,,1 线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iE A i均不可逆.则A 可否对角化?线性代数参考题二一、 填空题(每小题3分,满分30分) 1． 设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A ,则=A B2． 已知0222=++I A A ,则=+-1)(I A (其中I 是n 阶单位阵)3． ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12241031x A 设,已知矩阵A 的秩r(A)=2,则=x4．()814370122222632144-==⨯ija A 设,又ij A 是ij a 的代数余子式,则=+++44434241A A A A5．若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组6．设3221232221321222),,(x tx x x x x x x x x f ++++=是正定二次型, 则t 的取值区间为7．设A 是n 阶正交矩阵,1-=A ,则()=*TA8．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20002121x A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--211,则=x9．设非齐次线性方程组b AX =的两个解为)(,,2121ξξξξ≠A 的秩为1-n ,则 b AX =的一般解=ξ .10．已知向量组[][][]1,4,2,1,0,,0,2,1,1,2,1321--==-=αααt 的秩为2,则=t 二．(8分)计算n 阶行列式ba a a ab a a a a b a D n n n n ---=212121三．(8分)求矩阵X 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡1041120112201117241X 四．(10分)设[][][][]10,2,1,2,4,1,5,1,3,6,3,11,5,5,10,2,3,2,1,24321-==-=-=αααα求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数b a ,各取何值时, 方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=++++=+-=+++,5853,34232,12,1432143214324321x a x x x b x x a x x x x x x x x x 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型()323121232221321222222,,x x x x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设向量432,,,1αααα线性无关,且43214432134321243211,,,ββββαββββαββββαββββα+---=-+--=--+-=---=证明向量组4321,,,ββββ线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iI A i均不可逆。
北京大学数学学院期中试题2006－2007学年第一学期考试科目 线性代数B 考试时间 2006年11月9日 姓 名 学 号 注：填空题答案抄在答题本上，计算题要有必要过程.一．（20分）填空题.1．设 α1 = , α2 = , α3 = , β=当c= 时, β可由α1, α2, α3线性表出. 当c= 时, 线性表出的方式唯一.2．设A 是一个m ×n 矩阵. 若线性方程组AX= β对任意m 维向量β都有解, 则A 的秩 = .3．行列式 第二列元素的余子式是 .4．已知向量组α1 , α2 , α3 , α4 线性无关，以下向量组线性无关的有 .A ．α1+α2 , α2+α3 , α3+α4 , α4+α1 ;B. α1 , α1+α2 , α1+α2+α3 , α1+α2+α3+α4 ;C. α1 , α2 - α3 , α1 - α3 +α4 ;D. α1+α4 , 3 α2+2 α4 , α2+5 α3+α4 , 3 α1+2 α2+α3 , α1-7α3 .二．（20分）求下列行列式的值.三．（10分）将以下矩阵A 写成A = PJ 的形式，其中P 是可⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111c ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111c ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-c 111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21c c逆矩阵，J 是简化阶梯型矩阵.四．（10分）已知 ，求 .五．（25分）1) 用初等行变换将矩阵A 化为简化阶梯型;2) 写出A 列向量组的一个极大无关组, 并将其余的列向量用此极大无关组线性表出;3) 写出A 行空间的一组基;4) 写出齐次方程组 AX = 0 的解空间的一组基.六．（10分）对不同的a ，b 值, 以下矩阵的秩是多少?七．（10分）设A 是n 阶方阵. 若存在正整数s 及向量α使得A s α = 0而A s-1 α≠0 , 证明 α, A α, A 2α, …, A s-1α线性无关.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0201122001103402A 2=d c b a 222222d cd c bd bc ad ac b ab a +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=5221032111b b a A。
