最新标准答案 北京大学春季学期线性代数作业资料

线性代数参考题一答案：（注：为了大家共同的利益，我做了每一道题，希望你发现有做错处及时告诉我，谢谢，你的朋友冯国晨 gcfeng@ ）一. 填空题(每小题3分,满分30分)1．42342311a a a a 与44322311a a a a -；2.b a =；3.)(211E A A -=-；4.可逆阵或满秩阵或非奇异阵；5.特征根为0；6.1-=α；7.)()(T r A r =；8.3R ；9.负定；10.25≠t二. 陈治中版《线性代数》例题1.5.7（p.26）答案：nn bc ad D )(2-=三. 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=130231,3512,343122321C B A 则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--2115.053,2153,1115.235.123111X BA四. 令),,,(4321αααα=A ，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==0000310020101013130631120140121),,,(4321ααααA 因而3)(=A r ，321,,ααα构成一个极大无关组，且321432αααα+-=五. 陈治中版《线性代数》习题4.6（p.121）答案：p.211 六. 将二次型f 化成矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=211121112A ，显然A 为实对称阵，可以正交对角化的，即 由特征方程0||=-E A λ，得01=λ，33,2=λ当01=λ 对应的特征向量为T)1,1,1(1=α，标准化为T)1,1,1(311=η；当33,2=λ 对应的特征向量为T)0,1,1(2-=α和T)1,0,1(3-=α正交化T)0,1,1(22-==αβ，标准化为T)0,1,1(212-=ηT)1,1,0(,,2222333-=⋅><><-=ββββααβ，标准化T)1,1,0(213-=η因而),,(321ηηη=P ，且232233y y f += 七. 令αααααααααααααααβββββL n nn=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3213213212113211111111111............由 1||=L 以及n αα,,1 线性无关得n ββ,,1 线性无关。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。

(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。

(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。

（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。

（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。

北大版-线性代数第一章部分课后答案详解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：习题1.2：1 .写出四阶行列式中11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有()()13241τ-11233244a a a a 或()()13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a2. 用行列式的定义证明11121314152122232425313241425152000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。

故所有因式都为0.原命题得证.。

3.求下列行列式的值：（1）01000020;0001000n n -L L M M M OM L L（2）00100200100000n n-L L M O M O M L L； 解：（1）010000200001000n n -LLM M M OM LL=()()23411n τ-L 123n ⨯⨯⨯⨯L =()11!n n --（2）00100200100000n n-L LM OM O M L L=()()()()12211n n n τ---L 123n ⨯⨯⨯⨯L =()()()1221!n n n --- 4.设n 阶行列式：A=1111nn nna a a a LM OM L，B=11111212212221212n n nn n n n n nna ab a b a b a a b a b a b a -----L L MMOM L，其中0b ≠，试证明：A=B 。

《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。

（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

线性代数练习册答案第五章 相似矩阵及二次型51ξ- 内积52ξ- 方阵的特征值与特征向量一．填空题：1.A 是正交矩阵，则A1A =± . 2.已知n 阶方阵A 的特征值为12,,,n λλλ⋅⋅⋅， 则E A λ-= ()()()12n λλλλλλ--⋅⋅⋅- .3.已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则232B A A =-的特征值为 1,5,8 ；A = 2- ；A 的对角元之和为 2 .4.若0是A 的特征值，则A 不可逆 （可逆，不可逆）.5.A 是n 阶方阵，A d =，则AA *的特征值是 ,,,d d d ⋅⋅⋅（共n 个） . 二．用施密特法把下列向量组规范正交化123111(,,)124139ααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：()111,1,1Tβα==[]()()()2122121,61,2,31,1,11,0,13TT Tαββαββ=-=-=- [][]313233122212,,αβαββαββββ=--()()()1481211,4,91,1,11,0,1,,32333TTTT⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭故)1111,1,1T b ββ==，)2221,0,1T b ββ==-，)3331,2,1Tb ββ==-.三．求下列矩阵的特征值和特征向量1. 1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2. 100020012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：1. A 的特征多项式为12(3)(1)21A E λλλλλ--==-+-故A 的特征值为123,1λλ==-.当13λ=时，解方程()30A E x -=.由221132200rA E --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:得基础解系111P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1(0)kPk ≠是对应于13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系211P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是对应于21λ=-的全部特征向量.2. B 的特征多项式为2100020(1)(2)012B E λλλλλλ--=-=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===.当11λ=时，解方程()0B E x -=.由000011010010011000r B E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系1100P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故1(0)kP k ≠是对应于11λ=的全部特征向量. 当232λλ==时，解方程()20B E x -=.由1001002000000010010r B E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系2001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是对应于232λλ==的全部特征向量.四．证明下列各题1. x 为n 维列向量，且1T x x =，求证：2T H E xx =-是对称的正交阵.2. 设A 、B 为同阶正交阵，证明：AB 也是正交阵. 证明：1. ()()222TTTTT TT T H E xx H E xxE xx H =-⇒=-=-=故H 为对称阵.又()()()224444T T T T T T T T H H E xx E xx E xx x x x x E xx xx E =--=-+=-+=故H 为正交阵.2. 因,A B 为同阶正交阵，故,T T A A E B B E ==. 又()()TT T T T AB AB B A AB B EB B B E ====，故AB 为正交阵.五．A 是n 阶方阵，命题P 为：A 的特征值均不为0.请尽量多的列举与P 等价的命题.（如A 可逆.至少列举3个） 解：等价命题：1P ：A 的列（行）向量组线性无关 2P ：0A ≠3P ：齐次线性方程组0Ax =只有0解 4P ：A 的秩为n53ξ- 相似矩阵54ξ- 实对称矩阵的相似矩阵一．填空题：1.若ξ是A 的特征向量，则 1P ξ- 是1P AP -的特征向量.2.若A 与B 相似，则A.3.20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则x = 0 ，y = 1 .4.若λ是A 的k 重特征根，则必有k 个相应于λ的线性无关的特征向量， 不对 （对，不对），若A 是实对称的呢？ 对 （对，不对）.二．多项选择题（选出全部正确的选项，可能不只一个）1.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个（ C ） （A ）互不相同的特征值； （B ）互不相同的特征向量； （C ）线性无关的特征向量； （D ）两两正交的特征向量；2.方阵A 与B 相似，则必有（ BD ）（A ）E A E B λλ-=-； （B ）A 与B 有相同的特征值； （C ）A 与B 有相同的特征向量； （D ）A 与B 有相同的秩； 3.A 为n 阶实对称矩阵，则（ ACD ）（A ）属于不同特征值的特征向量必定正交； （B ）0A >；（C ）A 必定有n 个两两正交的特征向量； （D ）A 的特征值均为实数；三．100021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试求一个可逆矩阵P 使得1P AP -为对角阵，并求m A .解：先求A 的特征值和特征向量.2100021(1)(3)012E A λλλλλλ--=-=--- 故A 的所有特征值为1233,1λλλ===.当13λ=时，解方程()30A E x -=.2001003011011011000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:令1011P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 即为对应于13λ=的特征向量. 当231λλ==时，解方程()0A E x -=.000000011011011000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:令23100,101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,P P 即为对应于231λλ==的特征向量.显然，123,,P P P 线性无关.令()123010,,101101P P P P ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则11110031313102211313022mm m m mm P AP A P P A P P ---⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪+-+ ⎪⎪Λ==⇒=Λ⇒=Λ= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭-++ ⎪⎪⎝⎭四．三阶实对称矩阵A 的特征值为0,2,2，又相应于特征值0的特征向量为1111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求出相应于2的全部特征向量.解：因为A 为三阶实对称矩阵，故A 有三个线性无关的特征向量，且对应于不同特征值的 特征向量两两正交.已知对应于10λ=的特征向量为1P ，设对应于232λλ==的特征向量为23,P P ，则12130,0T T P P P P ==.即23,P P 为齐次线性方程组10T P x =的两个线性无关的解.由10T P x =得1230x x x ++=.令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11,1x =--.取23111,001P P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,P P 即为对应于232λλ==的特征向量.令2233k P k P ξ=+（23,k k 不全为零），则ξ为对应于232λλ==的全部特征向量. 五．设3阶方阵A 的特征值为1231,0,1λλλ===-，对应的特征向量分别依次为1231222,2,1212P P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求A .解：因为123λλλ≠≠，故A 可对角化，且123,,λλλ所对应的特征向量123,,P P P 线性无关.显然()()112312323,,,,A P P P P P P λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令()123,,P PP P =， 故1112311021001231220A P P P P λλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.55ξ- 二次型及其标准形56ξ- 用配方法化二次型为标准形57ξ- 正定二次型一．填空题：1. 22(,)22f x y x xy y x =+++是不是二次型？答： 不是 .2. 123121323(,,)422f x x x x x x x x x =-++的秩是 3 ；秩表示标准形中 平方项 的个数．3．21101000A k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A 为正定矩阵,则k 满足 大于1 .二．A 为实对称矩阵，选出全部的A 为正定矩阵的充分必要条件（ 12346 ） 1.对任意的列向量0x ≠，0x Ax '> 2.存在可逆方阵C ，使得A C C '= 3.A 的顺序主子式全部大于零 4.A 的主子式全部大于零 5.A 的行列式大于零 6.A 的特征值全部大于零三．212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；2.求正交变换x Py =，将二次型化为标准形.解：1. 2112312331232123001(,,)(,,)300(,,)343043x x f x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212233343x x x x x =+++ 故二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.2. 问题可转化为求正交矩阵P ，将A 化为对角形.21032(1)(5)023A E λλλλλλ--=-=--- 故A 的特征值为1231,5λλλ===.当121λλ==时，解方程()0A E x -=.000011022000022000r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:.令1310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得20,1x =-.取12100,101ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ξξ即为对应于121λλ==的特征向量.显然，12,ξξ正交.将12,ξξ单位化得121212010,0P P ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭当35λ=时，解方程()50A E x -=.4001005022011022000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:.令31x =，得1201x x =⎧⎨=⎩.取3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3ξ即为对应于35λ=的特征向量.将3ξ单位化得3330P ξξ⎛⎫⎪ ⎪==. 令()123P P P P =，则1115P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故123(,,)f x x x 的标准形为2221235y y y ++.四．已知A 和B 都为n 阶正定矩阵，求证A B +的特征值全部大于零. 证明：因为,A B 都为n 阶正定矩阵，则对任意n 维列向量0x ≠， 有()0,00T T T x Ax x Bx x A B x >>⇒+>.即A B +是正定矩阵. 故A B +的特征值全部大于零. 五．已知A 为n 阶正定矩阵，求证1A E +>.证明：因为A 为n 阶正定矩阵，则A 的n 个特征值12,,,n λλλ⋅⋅⋅全大于零且存在正交矩阵P ，使得112211n n P AP A P P λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=⇒= ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由1122111n n A E P P PP P E P λλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121111n P P λλλ-+⎛⎫⎪+⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭，得()()()121121111111n n A E PP λλλλλλ-+++==++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+六.求22:1L x xy y ++=围成的面积.解：设二次型()22112(,),112x f x y x xy y x y y ⎛⎫ ⎪⎛⎫=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 令112112A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 是对称矩阵且正定.设12,λλ为A 的特征值，可知存在正交矩阵P ，使得11200T P AP P AP λλ-⎛⎫== ⎪⎝⎭.由0E A λ-=，得1213,22λλ==. 因为正交变换不改变向量的长度，故可用正交变换12z x P z y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得1221122T T T T X AX Z P APZ Z P APZ z z λλ-===+，其中12,z x X Z z y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上可知，经过正交变换后，221213(,)22f x y z z =+.故L 的面积即为椭圆： 221213122z z +=的面积.面积S =.第五章 复习题三、计算题1、设3阶对称阵A 的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为()11,1,1Tp =，求A解：因为对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是两两正交的，所以求对应于3的特征向量即为求与()1,1,1T正交的特征向量。

线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

线性代数习题册答案第一章 行列式 练习 一班级 学号 姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 .4．00342215= －24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4． 计算下列行列式：(1)111ab c a b c abc +++ = 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c b ca b ca b c-----+-==++++++(2)xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5．计算下列n 阶行列式：(1)n x a aa x a D a a x=（每行都加到第一行，并提公因式。

）(2)131111n +(3)123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。

线性代数课后习题答案全）习题详解前言因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。

第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）7110025*********4；（2）-265232112131412；（3）---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-?---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 11111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(+++++++++++++++ +=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边964412964412964412964412241312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)11))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =?---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n nn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 000100000000 00001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-?-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--?-+n n n a a a(再按第一行展开)n n n nn a a a+-?-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?-?-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即∏=-=ni i i iin D c b d22)(而 111111112c b d a d c b a D -==得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0 432111111111111111111111 --------------n n n n ,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n (6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100 00100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------000 00000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x上一页下一页。

数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。

[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。

为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。

这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。

[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。

于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。

该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。

运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。

算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。

[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。

下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。

事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。

于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。

[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。

因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。

因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。

即，从而即A的LU分解是唯一的。