北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期中考试题

绝密★启用前北京师范大学附属中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学（理科）试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根据除法运算将复数化为代数形式，得到复数对应的点后可得结论．详解：，所以复数对应的点为，位于第一象限．故选A．点睛：由复数的几何意义可得，复数、复平面内的点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可根据向量的知识来理解复数运算的几何意义．2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线的参数方程中参数的系数的意义可得，进而可得的值．详解：∵直线的参数方程为（t为参数）∴，∴．故选C ．点睛：本题考查直线的参数方程中参数系数的意义，主要考查学生的理解能力，属于容易题．3．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为近线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. 2y x =± D. 12y x =±【答案】C【解析】由题意知∴2=c 2-b 2∴渐近线方程为y=±ba 2x.故选C.视频 4．计算定积分()12xex dx +=⎰ ( )A. 1B. e-1C. eD. e+1【答案】C【解析】试题分析： ()()121002|11xx ex dx e x e e +=+=+-=⎰，故选：C ．考点：定积分． 5．下面为函数的递增区间的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出导函数，根据导函数的符号判断即可． 详解：∵， ∴，∴当时，单调递增，∴函数的递增区间的是．故选B ．点睛：解题时注意单调性与导函数符号间的关系，即当时，函数在相应区间上单调递增（减），但反之不成立．同时解题时还要注意三角函数值的符号，可借助三角函数的图象来判定．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．142 C ．2 D ．22 【答案】D【解析】试题分析：直线的普通方程为40x y --=，圆的直角坐标方程为()2224x y -+=，圆心到直线的距离d ==2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：1．参数方程化普通方程；2．极坐标与直角坐标的转化；3．直线与圆相交的弦长问题7．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：建立空间直角坐标系，设出点F,D 的坐标，求出向量,，利用GD ⊥EF求得关系式，然后可得到DF 长度的表达式，最后利用二次函数求最值．详解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0),E (0,2,1),G (1,0,2),F (x ,0,0),D (0,y ,0)，则,，由于GD⊥EF，所以，所以，故，所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．故选A．点睛：建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a【答案】B【解析】分析：令，则，可得在(∞，0)上单调递增．由函数的图象关于点(1，0)对称，可得函数的图象关于点(，0)对称，故函数为奇函数，所以函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．由于，可得．详解：令，则，∴当x∈(∞，0)时，函数单调递增．∵函数的图象关于点(1，0)对称，∴函数的图象关于点(，0)对称，∴函数为奇函数，∴函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．又，，∴．故选B．点睛：（1）本题考查函数性质的综合运用，解题时要认真分析题意，从中得到函数的相关性质．（2）解题时注意偶函数性质的运用，即若函数为偶函数，则，运用这一性质可将问题转化到同一单调区间上研究．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．【答案】【解析】分析：先求得复数z，再求|z|．详解：∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的模，解题的关键是正确得到复数，然后再根据模的定义求解．10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．【答案】【解析】分析：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线的距离公式求解．详解：由题意得，整理得，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为，所以所求距离为．故极点到直线的距离是．点睛：解题的关键是把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，其中要注意转化公式的合理利用．11．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______________．【答案】π34【解析】3003y sinx x M S 2sinxdx 2cosx |4O A A M P 4/B ππππ==⎰=-==解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线与轴围成的区域记为，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率故选．12．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．【答案】【解析】试题分析：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)． 考点：导数的几何意义．视频 13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。

北京四中2017－2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 复数z 满足（1+i ）z=i ，则在复平面内复数z 所对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 定积分⎰+1)2(dx e x x 的值为A. e+2B. e+1C. eD. e －13. 曲线y=x 3－2x+1在点（1，0）处的切线方程为 A. y=x －1B. y=－x+lC. y=2x －2D. y=－2x+24. 函数y=xcosx 的导数为 A. y'=cosx －xsinx B. y'=cosx+xsinx C. y'=xcosx －sinxD. y'=xcosx+sinx5. 设f （x ）=x 2－2x －4 lnx ，则函数f （x ）的增区间为 A. （0，+∞） B. （－∞，－1），（2，+∞） C. （2，+∞）D. （－1，0）6. 若复数z=（x 2－4）+（x+3）i （x ∈R ），则“z 是纯虚数”是“x=2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），其导函数f'（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内极小值点的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 直线y=3x 与曲线y=x 2围成图形的面积为A.227B. 9C.427D.29 9. 若函数y=f （x ）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x ）具有T 性质. 下列函数中具有T 性质的是A. y=sinxB. y=lnxC. y=e xD. y=x 310. 函数f （x ）=x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）－f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是A. 20B. 18C. 3D. 011. 设函数f'（x ）是奇函数f （x ）的导函数，f （－1）=0，当x>0时，xf'（x ）－f （x ）<0，则使得f （x ）>0成立的x 的取值范围是A. （－∞，－1） （0，1）B. （－1，0） （1，+∞）C. （－∞，－1） （－l ，0）D. （0，1） （1，+∞）12. 设函数f （x ）=（x －2）lnx －ax+l ，若存在唯一的整数x 0，使得f （x 0）<0，则a 的取值范围是A. （0，33ln 1+） B. （21，33ln 1+]C. （33ln 1+，1）D. [33ln 1+，1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13. 下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质|x|2=x 2类比得到复数z 的性质|z|2=z 2；③已知a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b 类比得已知z 1，z 2∈C ，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中推理结论正确的是__________.14. 如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=－x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.15. 已知函数f（x）=e x－2x+a有零点，则a的取值范围是_________.16. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则（a，b）=__________.17. 函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断：①f（1）+f（－1）=0；②f（－2）>0；③函数y=f'（x）在区间（－ ，0）上是增函数. 其中正确的判断是_________. （写出所有正确判断的序号）18. 对于函数f（x）=（2x－x2）e x①（－2，2）是f（x）的单调递减区间；②f（－2）是f（x）的极小值，f（2）是f（x）的极大值；③f（x）有最大值，没有最小值；④f（x）没有最大值，也没有最小值.其中判断正确的是________.三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.19. 已知函数f （x ）=ax 3+x 2a ∈R . 在x=－34处取得极值. （I ）确定a 的值；（II ）若g （x ）=f （x ）·e x，讨论g （x ）的单调性.20. 设f （x ）=a （x －5）2+6lnx ，其中a ∈R ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴相交于点（0，6）.（I ）确定a 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间与极值. 21. 已知函数f （x ）=e x+ax -1. （I ）当a=21时，求函数f （x ）在x=0处的切线方程； （II ）函数f （x ）是否存在零点?若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由. 22. 已知函数f （x ）=xx 1ln -－ax. （I ）当a=2时，（i ）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（ii ）求函数f （x ）的单调区间；（II ）若1<a<2，求证：f （x ）<－1.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACAACBADAAAB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13①④ 14 －2011 15 （－∞，2ln2－2]16（4，－11） 17 ②③ 18 ②④三、解答题：本大题共4小题，共60分.19. 解：（I ）对f （x ）求导得f'（x ）=3ax 2+ax ，因为f （x ）在x=－34处取得极值，所以f'（－34）=0， 即3a ·916+2·（－34）=316a －38=0，解得a=21.（II ）由（I ）得g （x ）=（2321x x +）e x ，故g'（x ）=（x x 2232+）e x+（2321x x +）e x ＝（x x x 2252123++）e x=21x （x+1）（x+4）e x . 令g'（x ）=0，解得x=0，x=－1或x=－4. 当x<－4时，g' （x ）<0，故g （x ）为减函数； 当－4<x<－1时，g'（x ）>0，故g （x ）为增函数； 当－1<x<0时，g'（x ）<0，故g （x ）为减函数； 当x>0时，g'（x ）>0，故g （x ）为增函数.综上知，g （x ）在（－∞，－4）和（－l ，0）内为减函数，在（－4，－1）和（0，+∞）内为增函数.20. 解：（I ）因f （x ）=a （x －5）2+6 lnx ，故f'（x ）=2a （x －5）+x6. 令x=1，得f （1）=16a ，f' （1）=6－8a ，所以曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y －16a=6－8a （x －1），由点（0，6）在切线上可得6－16a=8a －6，故a=21.（II ）由（I ）知f （x ）=21（x －5）2+6lnx （x>0），f'（x ）=x －5+x 6=x x x )3)(2(--.令f'（x ）=0，解得x 1=2，x 2=3.当0<x<2或x>3时，f'（x ）>0，故f （x ）在（0，2），（3，+∞）上为增函数； 当2<x<3时，f'（x ）<0，故f （x ）在（2，3）上为减函数. 由此可知f （x ）在x=2处取得极大值f （2）=29+6ln2， 在x=3处取得极小值f （3）=2+6ln3. 21. 解：（I ）f （x ）=e x+a x -1，f'（x ）=e x－2)(1a x -，f' （0）=1－21a .当a=21时，f'（0）=－3. 又f （0）=－1，则f （x ）在x=0处的切线方程为y=－3x －l. （II ）函数f （x ）的定义域为（－∞，a ） （a ，+∞）. 当x ∈（a ，+∞）时，e x>0，a x -1>0，所以f （x ）=e x+ax -1>0， 即f （x ）在区间（a ，+∞）上没有零点.当x ∈（－∞，a ）时，f （x ）=e x+ax -1=a x a x e x -+-1)(，令g （x ）=e x（x －a ）+1，只要讨论g （x ）的零点即可. g'（x ）=e x（x －a+1），g'（a －1）=0.当x ∈（－∞，a －1）时，g'（x ）<0，g （x ）是减函数； 当x ∈（a －1，a ）时，g'（x ）>0，g （x ）是增函数， 所以g （x ）在区间（－∞，a ）上的最小值为g （a －1）=1－ea －1.当a=1时，g （a －1）=0，所以x=a －1是f （x ）的唯一的零点； 当a<l 时，g （a －1）=1－e a －1>0，所以f （x ）没有零点； 当a>l 时，g （a －1）=1－ea －1<0. 所以f （x ）有两个零点.22. 解：（I ）当a=2时，f （x ）=xx 1ln -－2x. f'（x ）=2ln 2xx-－2=22ln 22x x x --. （i ）可得f'（1）=0，又f （1）=－3，所以f （x ）在点（1，－3）处的切线方程为y=－3.（ii ）在区间（0，1）上2－2x 2>0，且－lnx>0，则f'（x ）>0.在区间（1，+∞）上2－2x 2<0，且－lnx<0，则f' （x ）<0. 所以f （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）. （II ）由x>0，f （x ）<－1，等价于xx 1ln -－ax<－l ，等价于ax 2－x+1－lnx>0. 设h （x ）=ax 2－x+1－lnx ，只须证h （x ）>0成立.因为h'（x ）=2ax －1－x1=x x ax 122--，1<a<2，由h'（x ）=0，得2ax 2－x －1=0有异号两根.令其正根为x 0，则2ax 20－x 0－1=0.在（0，x 0）上h'（x ）<0，在（x 0，+∞）上h'（x ）>0.则h （x ）的最小值为h （x 0）=ax 20－x 0+1－lnx 0=000ln 121x x x -+-+ =00ln 23x x --.又h'（1）=2a －2>0，h'（21）=2（232-a ）=a －3<0， 所以21<x 0<1. 则230x ->0，－lnx 0>0.因此230x -－lnx 0>0，即h （x 0）>0. 所以h （x ）>0所以f （x ）<－1.。

北京四中2018-2018年度第一学期高三年级期中数学试题及答案（文）试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题：（每小题5分，共40分, 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. “”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 是等差数列的前项和，若，则（）A. 15B. 18C. 9D. 124. 设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：①若；②若. 那么（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题5. 若是所在平面内的一点，且满足( BO+OC )•( OC-OA )=0，则一定是（）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 斜三角形6．将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是（）A． B．C． D．7．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．8. 已知函数，给出下列四个说法：①若，则；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称．其中正确说法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：（每小题5分，共30分）9. 函数的递增区间是______.10. 向量，满足，且，，则，夹角的余弦值等于______.11．已知函数的最小正周期是，则正数______.12．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm 的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm².13．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______.14. 如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心为半径画弧…，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度______．(用表示即可)三、解答题：（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15.（本小题满分13分）在中，，.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求的面积.16.（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求函数图象的对称轴方程；（Ⅱ）求的单调增区间；（Ⅲ）当时,求函数的最大值,最小值.17.（本小题满分13分）如图，正三棱柱中，D是BC的中点，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积.18.（本小题满分13分）已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且的等比中项. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和19.（本小题满分14分）已知函数处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.20.（本小题满分14分）设数列的首项R），且，（Ⅰ）若；（Ⅱ）若，证明：；（Ⅲ）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.【参考答案】第一部分（选择题，共40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1. B2. B3. D4. D5. C提示：由题意可知，BC•AC = 0，即BC⊥AC.6. D提示：沿向量平移，即先向右平移个单位，再向上平移1个单位.7. B8. B提示：先化简f(x)可得，f (x)=，再利用它的图象和性质解决问题.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：（每小题5分，共30分）9.提示：注意定义域.10. 12011. 2提示：利用图象的对称变换，可知该函数的周期为.12. 10，400π提示：设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图：由勾股定理可知，，解得r =10.13.14. n (3n+1)π提示：设第n段弧的弧长为，由弧长公式，可得…数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈，有3n段弧，故所得整条螺旋线的长度三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由，，得，所以… 3分6分且，故… 7分（Ⅱ）解：据正弦定理得，…10分所以的面积为……13分16. （本小题13分）解：（I）. …3分令.∴函数图象的对称轴方程是……5分（II）故的单调增区间为…8分(III) , …… 10分. …… 11分当时,函数,最小值为.13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴BD是B1D在平面ABC上的射影在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD，根据三垂线定理得，AD⊥B1D（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C. ………………………… 7分∵DE平面AB 1D，A1C平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D. ……………………9分（Ⅲ）……13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则…………1分又…………2分解得…………4分. …………5分…………6分（Ⅱ）由…………9分…………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，∴f′(x)=3x2－x+b. ……2分∵f(x)在x=1处取得极值，∴f′(1)=3－1+b=0.∴b=－2. ……3分经检验，符合题意. ……4分（Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)，…5分x 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 － 0 +f(x)……7分∴当x=－时，f(x)有极大值+c.又∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c. ……8分∴c2>2+c. ∴c<－1或c>2. …………10分（Ⅲ）对任意的恒成立.由（Ⅱ）可知，当x=1时，f(x)有极小值.又…12分∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为.，故结论成立. ……14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为所以a2=－a1+4=－a+4，且a2∈（3，4）所以a3=a2－3=－a+1，且a3∈（0，1）所以a4=－a3+4=a+3，且a4∈（3，4）所以a5=a4－3=a……4分（Ⅱ）证明：当所以，……6分②当所以，综上，……8分（Ⅲ）解：①若因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立…10分②若因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立…12分③若，因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立……13分综上，若0<a<1，则k=4m；，则k=2m；若a=2，则k=m. m∈N* ……14分。

数学物理方法（上）前四章综合练习（2018-11-16）姓名 学号(本次练习共2页,总计4道大题,合计100分,完成时间120分钟)一、选择与填空（50分）1．（6分）复数()()23cos5sin 5cos3sin 3i i ϕϕϕϕ+-的（1）指数表示式=() ；（2）三角表示式=() 。

2.（6分) 对数函数()ln 1w z =+是多值函数，其原因来自：（A ）arg z 的多值性； （B ）()arg 1z +的多值性；（C ）z 数值的不确定性； （D ）()1z +数值的不确定性。

3．（6分）设函数()f z 在复连通区域G 内解析，C 为G 内的分段光滑曲线，端点为A 和B ，则积分()C f z dz ⎰（A ）与积分路径无关，但与端点坐标有关；（B ）与积分路径有关，但与端点坐标无关；（C ）与积分路径和端点坐标均无关；（D ）与积分路径和端点坐标均有关。

4．（6分）级数1sinh n in ∞=的收敛性为：（A ） 通项不趋于0； （B ） 通项趋于0，发散；（C ） 条件收敛；（D ） 绝对收敛。

5．（7分）幂级数()11n n n i z ∞=-∑的收敛半径为（A ） 1； （B； （C ）； （D ） 12 。

6．（7分）现有复数()i x e φ，其中()x φ是实变数x 的实函数，则()i x e φ的（1）实部() =；（2）虚部() =；（3） 模() =；（4）辐角() =。

7．（7分）已知()42e f z d z πςςςς=-⎰＝，则有 （1）()() f i =；（2）()()34 f i -=。

8. （5分）请判断()sin ln i z 是（A ）多值函数； （B ）单值函数。

二、（20分）请计算（1）（12分）积分()()*25n z z f n dz z ==-⎰，其中n 是整数，*z 是复数z 的复共轭。

（2）（8分）积分()3cos 2C z I dz z z π=-⎰，C 为曲线14z =。

北京师大附中2018 届上学期高中三年级期中考试数学试卷（文科）本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟 .一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. 请将答案填写在答题纸上.1. 已知会合，，则会合中元素的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】 C【分析】由，解得：，即，∵，∴，则会合中元素的个数为 2 ，应选 C.2. 以下函数中为偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】 A ．的定义域为，定义域对于原点对称，，故其为偶函数；对于 B. 的定义域为，因为定义域不对于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于 C. 的图象对于对称，故其为非奇非偶函数； D.依据指数函数的性质可得，的图象既不对于原点对称也不对于轴对称，其为非奇非偶函数，故选 A.3. 已知直线 m， n 和平面α，假如，那么“ m⊥n”是“ m⊥ α”的（）A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】若，则，即必需性建立，当时，不必定建立，一定垂直平面内的两条订交直线，即充足性不建立，故“”是“”的必需不充足条件，故选 B.4. 已知平面向量，则a与a+b的夹角为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】∵向量，，∴，，设与的夹角为，，则由，可得，应选 A.5. 在等比数列中，，，则等于（）A. 9B.72C.9或 72D. 9 或 -72【答案】 D【分析】设等比数列的公比为，∵，，∴，解得或，故或，应选 D.6. 设 x， y 知足则的最小值为（）A.1B.C.5D.9【答案】 B【分析】作出不等式组对应的平面地区如图：的几何意义是地区内的点到定点的距离的平方，由图象知 A 到直线的距离最小，此时距离，则距离的平方，应选 B.7. 若函数的相邻两个零点的距离为，且，则函数的极值点为（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】∵函数的相邻两个零点的距离为，∴，故，又∵，即函数为奇函数，故可得，联合得，故，∴，令，得，经查验为极值点，应选 D.8.中国历法推断依照以测为辅、以算为主的原则，比如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷 (gu ǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测获得的，其余节气的晷影长则是依照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，此中115.1 寸表示 115 寸 1 分（ 1 寸 =10 分） .已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0 寸，夏至晷影长为 14.8 寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为()A. 72.4 寸B. 81.4 寸C. 82.0 寸D. 91.6 寸【答案】 C【分析】设晷影长为等差数列，公差为，，，则，解得，∴，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是寸，故选 C.二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 . 请将答案填写在答题纸上 .9. 设 i 为虚数单位，复数=______________.【答案】【分析】，故答案为.10. 在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为a，b， c.若 c=4，，则a=_______， S△ABC =_________.【答案】(1). 2(2).11.若一个几何体由正方体挖去一部分获得，其三视图以下图，则该几何体的体积为_________.【答案】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥获得的组合体，正方体的体积为：，四棱锥的体积为：，故组合体的体积，故答案为.点睛：此题考察的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档；由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥获得的组合体，分别计算他们的体积，相减可得答案.12. 已知向量a=（1,1），点A（3,0），点B为直线y=2x上的一个动点，若∥ a，则点 B 的坐标为_____________.【答案】（-3， -6）【分析】设，，∵，∴，解得，∴，故答案为.13. 已知函数，.（1）当 k=0 时，函数 g（ x）的零点个数为 ____________；（ 2）若函数g（ x）恰有 2 个不一样的零点，则实数k 的取值范围为 _________.【答案】(1). 2(2).【分析】（ 1）当时，，明显可得，当时，无零点，当当时，时，时，，当，函数单一递加，而且当有两个零点，即和，解得，故函数的零点个数为 2 个；（ 2）时，，函数单一递减，当时，即函数图象在轴的下方，函数的图象有两个交点，以下图：函数图象的最低点对应的函数值为，函数图象最高点对应的函数值为，要使两图象有两个交点，故应知足，故答案为.点睛：此题主要考察函数零点个数的判断，将方程转变为两个函数的订交个数问题是解决本题问题的基本方法，利用导数研究函数的单一性与极值是解决此题的重点，在该题中最简单出现的的错误是判断当时，函数图象一直在轴下方.14. 在平面直角坐标系xOy 中， A （ -12,0 ）， B （ 0,6），点P 在圆O：上，若，则点P 的横坐标的取值范围是_________.【答案】【分析】设，由，易得，由，可得或，由得 P 点在圆左侧弧上，联合限制条件，可得点P 横坐标的取值范围为．点睛 : 对于线性规划问题，第一明确可行域对应的是关闭地区仍是开放地区、分界限是实线仍是虚线，其次确立目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、仍是点到直线的距离等，最后联合图形确立目标函数的最值或取值范围．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.15. 已知等比数列的公比q>0，且.（ I）求公比q 和的值；（ II ）若的前n项和为，求证：.【答案】 ( Ⅰ)q=2..( Ⅱ) 证明看法析 .【分析】试题剖析：（Ⅰ）因为为等比数列，所以由等比数列的性质得，又因为，所以，因为，所以，因为，即得．因为，所以，即；（Ⅱ）由（ 1）得，，所以,因为，所以．试题分析：（Ⅰ）因为为等比数列，且，所以，因为，所以，因为，所以．因为，所以，即（Ⅱ）因为，所以因为所以,因为，所以．考点：等比数列的通项公式和乞降公式．16. 已知函数.（ I）求的值；（ II ）求函数的最小正周期和单一递加区间.【答案】 ( Ⅰ)；( Ⅱ) 最小正周期. . 单一递加区间为【分析】试题剖析：（Ⅰ）因为，直接令，即可求得的值；（Ⅱ）由正弦函数的和差公式化简得，由三角函数的周期公式即可求得函数的最小正周期，令，，即可得函数的单一递加区间．试题分析：（Ⅰ）因为所以（Ⅱ）因为所以所以周期．令，解得，．所以的单一递加区间为考点：三角函数的性质．17. 如图，在四棱锥E-ABCD 中， AE ⊥DE ， CD ⊥平面 ADE ，AB ⊥平面ADE ， CD=DA=6 ， AB=2 ， DE=3.（I）求棱锥 C-ADE 的体积；（II ）求证：平面 ACE ⊥平面 CDE ；（ III ）在线段DE 上能否存在一点F，使 AF ∥平面 BCE ？若存在，求出的值；若不存在，说明原因.【答案】 ( Ⅰ)；( Ⅱ) 证明看法析；( Ⅲ) 答案看法析.【分析】试题剖析：（ I）在中，，可得于平面，可得；（II）由平面而获得平面，即可证明平面平面；（III）在线段平面，．设为线段上的一点，且，过作线面垂直的性质可得：．可得四边形是平行四边形，于是，由，可得，进上存在一点，使交于点，由，即可证明平面试题分析：（ I ）在Rt△ ADE 中，，因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C-ADE 的体积为.（II ）因为所以平面平面，，又因为平面平面，所以，所以平面.又因为平面，，（III ）在线段上存在一点F，且，使平面.解：设为线段因为平面上一点，且，平面，过点作，所以交于，又因为，则.所以又因为，平面，所以四边形，平面是平行四边形，则，所以平面..点睛：此题考察了线面面面垂直与平行的判断与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比率定理，考察了推理能力与计算能力，属于中档题；因为“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间能够互相转变，所以整个证明过程环绕着线面垂直这个中心而睁开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，证明线面平行的几种常有形式：1、利用三角形中位线获得线线平行；2、结构平行四边形；3、结构面面平行.18.已知点 A （ a，3），圆 C 的圆心为（ 1,2），半径为 2.（I）求圆 C 的方程；（II ）设 a=3，求过点 A 且与圆 C 相切的直线方程；（ III ）设a=4，直线l 过点 A 且被圆 C 截得的弦长为，求直线l 的方程；（IV ）设a=2，直线过点A，求被圆 C 截得的线段的最短长度，并求此时的方程.【答案】（I）；（II ）（III ）或或；；（IV ）；.【分析】试题剖析：（ I ）由圆心和半径可得圆的方程为程的点斜式为，利用点到直线的距离为圆的半径2，可解出；（ II ）设切线方，当直线的斜率不存在时也知足题意；（III）由直线被圆截得的弦长为，故而圆心到直线的距离为当与，利用点到直线的距离解出的值即可得直线方程；（ IV ）第一判断点在圆内，垂直时，直线截圆所得线段最短，可得直线的方程，再求出点到直线的距离即可求出弦长.试题分析：（ I ）圆 C 的方程为；（II ）当直线斜率存在时，设切线方程的点斜式为，即则圆心到直线的距离为率不存在时，直线方程为，解得，知足题意，故过点，即切线方程为A 且与圆 C 相切的直线方程为，当斜或；（III ）设直线方程为弦心距为，，即，因为直线被圆截得的弦长为，解得或，即直线的方程为，故而或；（IV ）∵∵，∴点在圆内，当与，∴直线的斜率为，故直线的方程为，故弦长为.垂直时，直线截圆所得线段最短，，圆心到直线的距离为19. 已知函数（ I）若曲线.存在斜率为-1 的切线，务实数 a 的取值范围；（II）求的单一区间；（ III ）设函数，求证：当时，在上存在极小值.【答案】( Ⅰ).( Ⅱ) 答案看法析；( Ⅲ) 证明看法析.【分析】试题剖析：( Ⅰ) 求出函数的导数，问题转变为存在大于0 的实数根，依据在时递加，求出的范围即可；( Ⅱ) 求出函数的导数，经过议论的范围，判断导函数的符号，求出函数的单一区间即可；( Ⅲ) 求出函数的导数，依据，获得存在知足，进而获得函数的单一区间，求出函数的极小值，证出结论即可.试题分析：（ I ）由得.由已知曲线存在斜率为-1 的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单一递加，所以实数 a 的取值范围.（II ）由可得当时，，所以函数的增区间为；当时，若，，若，，所以此时函数的增区间为，减区间为.（III ）由及题设得，由可得，由（II ）可知函数在上递加，所以，取，明显，，所以存在知足，即存在知足，所以，在区间（1， +∞）上的状况以下：－0 +↘极小↗所以当 -1<a<0 时， g（ x）在（ 1， +∞）上存在极小值.（此题所取的特别值不独一，注意到），所以只要要即可)点睛：此题考察了函数的单一性、最值问题，考察导数的应用以及分类议论思想、是一道综合题，属于难题；导数的几何意义即函数在某一点处的导数即为在该点处切线的斜率，利用分类议论的思想解决含有参数的函数的单一性，在该题中主要依照导函数的零点与定义域的关系睁开议论.20. 已知椭圆C：的两个焦点和短轴的两个极点组成的四边形是一个正方形，且其周长为.（ I）求椭圆 C 的方程；（ II ）设过点 B （ 0， m）（ m>0）的直线与椭圆 C 订交于E，F 两点，点 B 对于原点的对称点为 D ，若点 D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围 .【答案】 ( Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】试题剖析：（ I）由题意列出方程组求出，，由此能求出椭圆的方程． ( Ⅱ)当直线的斜率不存在时，的方程为，，点 B 在椭圆内，由，得，由此利用根的鉴别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出的取值范围.试题分析：（ I ）解：由题意，得：又因为解得，所以椭圆 C 的方程为.（II ）当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为x=0 ，此时 E， F 为椭圆的上下极点，且，因为点总在以线段为直径的圆内，且，所以，故点 B 在椭圆内 .当直线的斜率存在时，设的方程为.由方程组得，因为点 B 在椭圆内，所以直线与椭圆 C 有两个公共点，即.设，则.设 EF的中点，则，所以.所以，，因为点 D 总在以线段EF 为直径的圆内，所以对于恒建立.所以.化简，得，整理，得，而（当且仅当k=0 时等号建立）所以，由 m>0，得.综上， m 的取值范围是.。

2018秋线性代数期末(回忆版)教师：⽅博汉(1)(20分) V 为实数域 ℝ 上 n 维线性空间，若正交线性映射 f:V →V 特征值为1的特征⼦空间 W 维数为 n −1 。

证明 f =id -−2P ，其中 id - 为 V 上恒同映射， P 为向 W 的正交补空间 W 0 的正交投影映射。

(2)(20分) 复数和四元数的矩阵表⽰• 设 V 为实数域上2阶实矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间，试找到⼀组基 {1,i} ，使得1 ∙1=1,1∙i =i ∙1=i,i ∙i =−1• 设 V 为实数域上2阶复矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间（所以共有8维），试找到⼀组基 {1,i,j,k} 使得1∙1=1,1∙i =i ∙1=1,1∙j =j ∙1=j,1∙k =k ∙1=1 i 2=j 2=k 2=i ∙j ∙k =−1 (3)(20分) 设矩阵A =>0000011010010000@ 若将 A 视为实数域上正交矩阵，求⼀组正交基，使得A 化为标准的分块对⾓化的形式(10分)；若将A 视为⾣矩阵，求⾣空间中⼀组正交基，使得A 对⾓化。

(10分)(4)(20分) 若A 为复数域上 n 阶⽅阵，定义exp (A )=D A E k!GEHI =I +A +A 22!+A L 3!+⋯可以⽤Jordan 标准形证明，对于任意矩阵，右边的式⼦是收敛的(你不⽤证明)。

• (10分)证明：expOtr (A )R =det (exp (A))•(10分)证明：若A是反对称矩阵，则 exp (A) 是正交矩阵。

(提⽰：先证明 若AB=BA，则 exp(A+B)=exp(A)∙exp (B) 可以直接⽤这个结论证明，得5分)(5)(20分) 设 V 为复数域上 n 维线性空间。

我们知道 V⊗V 上有同构σ(α⊗β)=β⊗α(a) (2分) 设 S={v∈V⊗V |σ(v)=v } ，S 是 V⊗V 的⼦空间(你不⽤证明这个事实)，求 S 的维数，设 V 的⼀组基为 {e\,e2,⋯,e]}。

北京师范大学2017-2018学年度第二学期高二文科数学期中考试试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合A={x∣x<1}，B={x∣3x<1}，则( )A. A∩B={x∣x<0}B. A∪B=RC. A∪B={x∣x>1}D. A∩B=∅2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A. y=x+sin2xB. y=x2−cosxC. y=2x+1D. y=x2+sinx2x3. 若复数z满足z(1+i)=2i（i为虚数单位），则∣z∣=( )A. 1B. 2C. √2D. √34. 设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，⋯⋯，则a10+b10=( )A. 28B. 76C. 123D. 199单调递增的区间可能是( )6. 使函数y=4x2+1xA. (0,+∞)B. (−∞,1),+∞) D. (1,+∞)C. (12(a>0)，若∃x0∈R，使得∀x1∈[1,2]都f(x1)<f(x0)，则7. 函数f(x)=lnx−xa实数a的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,+∞)D. (0,1)∪(2,+∞)8. 如图，在棱长为 a (a >0) 的正四面体 ABCD 中，点 B 1,C 1,D 1 分别在棱 AB,AC,AD 上，且 平面B 1C 1D 1∥平面BCD,A 1 为 △BCD 内一点，记三棱锥 A 1−B 1C 1D 1 的体积为 V ，设AD 1AD=x ，对于函数 V =f (x )，则 ( )A. 当 x =23 时，函数 f (x ) 取到最大值 B. 函数 f (x ) 在 (12,1) 上是减函数C. 函数 f (x ) 的图象关于直线 x =12 对称D. 存在 x 0 使得 f (x 0)>13V A−BCD （其中 V A−BCD 为四面体 ABCD 的体积）二、填空题（共6小题；共30分）9. 复数 z =(2−i )2 在复平面内对应的点在第 象限．10. 若变量 x,y 满足约束条件{x −y +1≤0,x +2y −8≤0,x ≥0,则 z =3x +y 的最小值为 ．11. 若实数 x ，y 满足 xy =1 ，则 x 2+2y 2 的最小值为 ．12. 函数 f (x )=x 2−2lnx 的单调减区间是 ．13. 已知函数 f (x )=e x −mx +1 的图象为曲线 C ，若曲线 C 存在与直线 y =ex 垂直的切线，则实数 m 的取值范围为 ．14. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：房间A 房间B 房间C35 m 220 m 228 m 2涂料1涂料2涂料316元/m218元/m220元/m2那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 元．三、解答题（共6小题；共80分）15. 已知函数f(x)=xe x（e为自然对数的底）．（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．16. 如图：梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，AD=CD=1AB，且O为AB中点．2（1）求证：BC∥平面POD；（2）求证：AC⊥PD．17. 已知椭圆的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x−y+2√2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M，N．当∣AM∣=∣AN∣时，求m的取值范围．18. 如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．（1）求三棱锥A−PDE的体积；（2）线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM?若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．19. 已知函数f(x)=ax3+bx2+4x的极小值为−8，其导函数y=fʹ(x)的图象经过点(−2,0)，如图所示．（1）求f(x)的解析式；（2）若函数y=f(x)−k在区间[−3,2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．20. 已知函数f(x)=lnx−ax在x=2处的切线l与直线x+2y−3=0平行．（1）求实数a的值；,2]上恰有两个不相等的实数根，（2）若关于x的方程f(x)+m=2x−x2在[12求实数m的取值范围；（3）记函数g(x)=f(x)+1x2−bx，设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极2，且g(x1)−g(x2)≥k恒成立，求实数k的最大值．值点，若b≥32答案第一部分1. A2. D 【解析】选项A是奇函数，选项B是偶函数，选项C是偶函数，只有选项D既不是奇函数也不是偶函数．3. C 【解析】因为z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，所以∣z∣=∣1+i∣=22=√2．4. D 【解析】当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．5. C【解析】解法一：由a+b=1，a2+b2=3得ab=−1，则a10+b10=(a5+b5)2−2a5b5=123．解法二：令a n=a n+b n，则a1=1，a2=3，a3=4，a4=7，⋯⋯，得a n+2=a n+ a n+1，从而a6=18，a7=29，a8=47，a9=76，a10=123．6. C 【解析】令yʹ=8x−1x2=8x3−1x2>0，(2x−1)(4x2+2x+1)>0，x>12．7. D 【解析】由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，fʹ(x)=1x −1a(a>0)，当x∈(0,a)时，fʹ(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(a,+∞)时，fʹ(x)<0，f(x)单调递减；故f(x)max=f(a)，∃x0∈R，使得∀x1∈[1,2]都有f(x1)<f(x0)，即f(a)>f(x1)对∀x1∈[1,2]恒成立，故a∉[1,2]，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(2,+∞)．8. A 【解析】由题意可知△B1C1D1∽△BCD，而C1D1CD =AD1AD=x，所以S△B1C1D1S△BCD=x2 .棱锥A1−B1C1D1与棱锥A−BCD的高之比为1−x .设V A−BCD=V0，所以V A1−B1C1D1=f(x)=x2(1−x)V0 .因此根据函数关系式，通过导数求单调区间易判断当x=23时，函数f(x)取到最大值．第二部分9. 四【解析】因为复数z=(2−i)2=3−4i，所以其在复平面内对应的点的坐标为(3,−4)，位于第四象限．10. 111. 2√212. (0,1)【解析】因为f(x)=x2−2lnx(x>0)，所以fʹ(x)=2x−2x =2x2−2x=2(x+1)(x−1)x，令fʹ(x)<0，得0<x<1．所以函数f(x)=x2−2lnx的单调减区间是(0,1)．13. (1e,+∞)【解析】函数f(x)=e x−mx+1的导函数为fʹ(x)=e x−m，要使曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则需e x−m=−1e 有解，即m=e x+1e有解，由e x>0，得m>1e．则实数m的取值范围为(1e,+∞)．14. 1464【解析】共有6种方案：①35×16+20×18+28×20=560+360+560=1480元．②35×16+20×20+28×18=560+400+504=1464元．③35×18+20×16+28×20=630+320+560≡1510元．④35×18+20×20+28×16=630+400+448=1478元．⑤35×20+20×16+28×18=700+320+504=1524元．⑥35×20+20×18+28×16=700+360+448=1508元．其中方案②总费用最低，为1464元，即面积大的房间用价格最低的涂料，面积最小的房间用最贵的涂料，面积中等的房间用费用中等的涂料．第三部分15. （1）fʹ(x)=e x+xe x．令fʹ(x)>0⇒x>−1，即函数f(x)的单调递增区间是(−1,+∞)．（2）因为f(1)=e，fʹ(1)=2e，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即2ex−y−e=0．16. （1）因为O为AB中点，所以BO=12AB，又 AB ∥CD ，CD =12AB ， 所以有 CD =BO ，CD ∥BO ．所以 ODCB 为平行四边形，所以 BC ∥OD ， 又 DO ⊂平面POD ，BC ⊄平面POD ． 所以 BC ∥平面POD ．（2）连接 OC ．因为 CD =BO =AO ，CD ∥AO ，所以 ADCO 为平行四边形， 又 AD =CD ，所以 ADCO 为菱形， 所以 AC ⊥DO ，因为正三角形 PAB ，O 为 AB 中点， 所以 PO ⊥AB ，又因为 平面ABCD ⊥平面PAB ，平面ABCD ∩平面PAB =AB ， 所以 PO ⊥平面ABCD ，而 AC ⊂平面ABCD ，所以 PO ⊥AC ， 又 PO ∩DO =O ，所以 AC ⊥平面POD ． 又 PD ⊂平面POD ，所以 AC ⊥PD ． 17. （1） 依题意可设椭圆方程为 x 2a 2+y 2=1，则右焦点 F(√a 2−1,0)， 由题设 ∣∣√a 2−1+2√2∣∣=3，解得 a 2=3， 故所求椭圆的方程为x 23+y 2=1．（2）设P为弦MN的中点，由{y=kx+m, x23+y2=1,得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2−1)=0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m2<3k2+1, ⋯⋯①所以x P=x M+x N2=−3mk3k2+1，从而y P=kx P+m=m3k2+1，所以k AP=y P+1x P =−m+3k2+13mk，又∣AM∣=∣AN∣，所以AP⊥MN，则−m+3k2+13mk =−1k，即2m=3k2+1, ⋯⋯②把②代入①得2m>m2解得0<m<2，由②得k2=2m−13>0，解得m>12．故所求m的取值范围是(12,2)．18. （1）因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．又四边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD .因为PD∩CD=D，所以AD⊥平面PCD，所以AD是三棱锥A−PDE的高．因为E为PC的中点，且PD=DC=4，所以S△PDE=12S△PDC=12×(12×4×4)=4.又AD=2，所以V A−PDE=13AD⋅S△PDE=13×2×4=83.（2）存在．取 AC 的中点 M ，连接 EM ，DM ，因为 E 为 PC 的中点，所以 EM ∥PA ． 又因为 EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ， 所以 PA ∥平面EDM ． 易知 AM =12AC =√5．即在线段 AC 上存在一点 M ，使得 PA ∥平面EDM ，AM 的长为 √5． 19. （1） fʹ(x )=3ax 2+2bx +4，且 y =fʹ(x ) 的图象过点 (−2,0)， 所以 −2 为 3ax 2+2bx +4=0 的根，代入得 3a −b +1=0, ⋯⋯① 由图象可知，f (x ) 在 x =−2 时取得极小值，即 f (−2)=−8， 得 b =2a, ⋯⋯②由 ①② 解得 a =−1，b =−2， 所以 f (x )=−x 3−2x 2+4x ．（2） 由题意，方程 f (x )=k 在区间 [−3,2] 上有两个不相等的实数， 即方程 −x 3−2x 2+4x =k 在区间 [−3,2] 上有两个不相等的实数． fʹ(x )=−3x 2−4x +4，令 fʹ(x )=0，解得 x =−2 或 x =23， 可列表如下： x −3(−3,−2)−2(−2,23)23(23,2)2fʹ(x )−0+0−f (x )−3↘极小值−8↗极大值4027↘−8由表可知，当 k =−8 或 −3<k <4027时，方程 −x 3−2x 2+4x =k 在区间 [−3,2] 上有两个不相等的实根，即函数 y =f (x )−k 在区间 [−3,2] 上有两个不同的零点． 20. （1） fʹ(x )=1x −a ，因为函数在 x =2 处的切线 l 与直线 x +2y −3=0 平行，所以 k =fʹ(2)=12−a =−12，解得 a =1．（2） 由（1）得 f (x )=lnx −x ，所以 f (x )+m =2x −x 2，即 x 2−3x +lnx +m =0 在 [12,2] 上恰有两个不相等的实数根．设 ℎ(x )=x 2−3x +lnx +m (x >0)，则 ℎʹ(x )=2x −3+1x =(2x−1)(x−1)x．令 ℎʹ(x )=0，得 x 1=12，x 2=1，列表得 x 12(12,1)1(1,2)2ℎʹ(x )0−0+ℎ(x )极大值↘极小值↗m −2+ln2所以当 x =1 时，ℎ(x ) 的极小值为 ℎ(1)=m −2，且 ℎ(12)=m −54−ln2，ℎ(2)=m −2+ln2．因为方程 x 2−3x +lnx +m =0 在 [12,2] 上恰有两个不相等的实数根，所以 {ℎ(12)≥0ℎ(1)<0ℎ(2)≥0，即 {m −54−ln2≥0m −2<0m −2+ln2≥0，解得：54+ln2≤m <2．（3） 因为 g (x )=lnx +12x 2−(b +1)x ，所以 gʹ(x )=1x+x −(b +1)=x 2−(b+1)x+1x，所以 x 1+x 2=b +1，x 1x 2=1，所以 x 2=1x 1．因为 b ≥32，所以 {x 1+1x 1≥520<x 1<1x1，解得 0<x 1≤12． 所以 g (x 1)−g (x 2)=ln x 1x 2+12(x 12−x 22)−(b +1)(x 1−x 2)=2lnx 1−12(x 12−1x 12)．设 F (x )=2lnx −12(x 2−1x 2)(0<x ≤12)， 则 Fʹ(x )=2x −x −1x 3=−(x 2−1)2x 3<0，所以 F (x ) 在 (0,12] 上单调递减，所以当 x 1=12 时，F (x )min =F (12)=158−2ln2．所以 k ≤158−2ln2，所以 k max =158−2ln2．。

2•用行列式的泄义证明习题1.2：如如如如1 •写岀四阶行列式中幻I'2勺3"24含有因子的项“3】a 32 a 33a 34«41勺 2«43仙解：由行列式的泄义可知，第三行只能从@2、中选，第四行只能从厲2、中选，所 以所有的组合只有（-l ）f （，324）如给角2知或（-1）"网 a H a 23a 34a 42，即含有因子勺］“23的项为一如吹32% 和 a H a 23a 34a 42证明：第五行只有取他「山2整个因式才能有可能不为°,同理，第四行取“42,第三 行取①I 、©2，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0 •以第 五行为参考，含有的因式必含有0,同理，含有的因式也必含有0“故所有因式都为0 •原命题得证・。

3 •求下列行列式的值:0 1 0♦ • ♦0 •… 0 1 00 02 ♦ • 00 ... 2 0 0(1)■ ■ ■ ■■ ；（2）• • ■ • • •0 00 • • ”一〃 一 1 0 0 0n 0 0 • •• 00 …0 H0 1 0 ♦ • • 00 2• • • 0解：（1） ■ ■ ■■ ■ ■ ■■ ■/lX r(234...nl)=("1)Ix2x3x--•xn =(-1)*"1 n\0 0 ・•・//-In 0 0 • • • 0a 2l0 01 0 0 ■ …2 • •0 ■ 0 ■■ ”一• • …0 • 0 ■0 0 00 n=(-1)侶心5)» B= 如■ •“22 ■■f 1-n…5少…如尸■5肝・・・a nn证明:A=BoE (T 严•”%叫2…％沪Wi"叫z (T 严％%…讣A 叩2・・％和巾 时2 ••叭和巾命题得证。

5•证明：如下2007阶行列式不等于61 2 …2006 200722 32 …20072 2OO82 D=33 • 43 • …20083 • • 20083■• ■■ •• • • •■ ■证明：最后一行元素，除去2007*”是奇数以外，其余都是偶数，故含2008^7的因式也都 是偶数。